Διευθύνοντα Μέλη του

Transcript

1

2 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τουςεπιμελητέςτου Μετατροπές σε LaT E X: Φωτεινή Καλδή, Νίκος Κατσίπης, Αναστάσης Κοτρώνης, Θάνος Μάγκος, Λευτέρης Πρωτοπαπάς, Αλέξανδρος Συγκελάκης, ΑχιλλέαςΣυννεφακόπουλοςΔημήτρηςΧριστοφίδης, Σχήματα: ΜιχάληςΝάννος, ΧρήστοςΤσιφάκηςΣελιδοποίηση: ΑναστάσηςΚοτρώνης, Νίκος Μαυρογιάννης, Αλέξανδρος Συγκελάκης, Εξώφυλλο: ΓρηγόρηςΚωστάκος. Στοιχειοθετείται με το LaT E X. Μπορεί να αναπαραχθεί και να διανεμηθεί ελεύθερα. Εικοσιδωεκάεδρο φιλοτεχνημένο από τον Leonardo da Vinci Το εικοσιδωδεκάεδρο είναι ένα πολύεδρο (3-εδρο) με είκοσι τριγωνικέςέδρεςκαι δώδεκα πενταγωνικές. Εχει 3 πανομοιότυπεςκορυφέςστιςοποίες συναντώνται δύο τρίγωνα και δύο πεντάγωνα και εξήντα ίσεςακμέςπου η κάθε μία τουςχωρίζει ένα τρίγωνο από ένα πεντάγωνο. Είναι αρχιμήδειο στερεό - δηλαδή ένα ημικανονικό κυρτό πολύεδρο όπου δύο ή περισσότεροι τύποι πολυγώνων συναντώνται με τον ίδιο τρόπο στιςκορυφέςτου - και ειδικότερα είναι το ένα από τα δύο οιωνεί κανονικά - quasiregular πολύεδρα που υπάρχουν, δηλαδή στερεό που μπορεί να έχει δύο τύπους εδρών οι οποίεςεναλλάσσονται στην κοινή κορυφή (Το άλλο είναι το κυβο - οκτάεδρο). Το εικοσιδωδεκάεδρο έχει εικοσιεδρική συμμετρία και οι συντεταγμένεςτων κορυφών ενόςεικοσαέδρου με μοναδιαίεςακμέςείναι οι κυκλικέςμεταθέσειςτων (,, ( ±ϕ), ±, ± ϕ, ± ) +ϕ, όπου ϕ ο χρυσόςλόγος + 5 ενώ το δυαδικό του πολύεδρο είναι το ρομβικό τριακοντάεδρο. Πηγή: Απόδοση: ΠαναγιώτηςΓιαννόπουλος Ο δικτυακόςτόπος ανήκει και διευθύνεται σύμφωνα με τον κανονισμό του που υπάρχει στην αρχική του σελίδα από ομάδα Διευθυνόντων Μελών. Σ Αιρετά Μέλη Διευθύνοντα Μέλη του Σε παρένθεση είναι το όνομα χρήστη. ΜιχάληςΛάμπρου (Mihalis_Lambrou) ΓενικόςΣυντονιστής. ΝίκοςΜαυρογιάννης(nsmavrogiannis) ΓενικόςΣυντονιστής 3. ΜπάμπηςΣτεργίου (ΜπάμπηςΣτεργίου) ΓενικόςΣυντονιστής 4. ΣπύροςΚαρδαμίτσης(ΚαρδαμίτσηςΣπύρος) ΥπεύθυνοςΕνημέρωσης 5. ΜίλτοςΠαπαγρηγοράκης(m.papagrigorakis) Υπεύθυνος Οικονομικών 6. ΓιώργοςΡίζος(ΓιώργοςΡίζος) ΥπεύθυνοςΕκδόσεων 7. Σεραφείμ Τσιπέλης(Σεραφείμ) ΥπεύθυνοςΠρογραμματισμού Μόνιμα Μέλη Ε. ΓρηγόρηςΚωστάκος(grigkost) Διαχειριστής. ΑλέξανδροςΣυγκελάκης(cretanman) Διαχειριστής. ΣτράτηςΑντωνέας(stranton). ΑνδρέαςΒαρβεράκης(ΑΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ) 3. ΚωνσταντίνοςΒήττας(vittasko) 4. Φωτεινή Καλδή (Φωτεινή) 5. ΣπύροςΚαπελλίδης(s.kap) 6. ΝίκοςΚατσίπης(nkatsipis) 7. ΑναστάσιοςΚοτρώνης(ΚοτρώνηςΑναστάσιος) 8. ΧρήστοςΚυριαζής(chris_gatos) Μ. ΡοδόλφοςΜπόρης(R BORIS) 3. ΜιχάληςΝάννος(ΜιχάληςΝάννος) 4. ΛευτέρηςΠρωτοτοπαπάς(ΠρωτοπαπάςΛευτέρης) 5. ΔημήτρηςΣκουτέρης(dement) 6. ΣωτήρηςΣτόγιας(swsto) 7. ΑχιλλέαςΣυνεφακόπουλος(achilleas) 8. ΚωνσταντίνοςΤηλέγραφος(ΤηλέγραφοςΚώστας) 9. ΧρήστοςΤσιφάκης(xr.tsif). ΔημήτρηςΧριστοφίδης(Demetres). ΣπύροςΒασιλόπουλος(spyros). ΠαναγιώτηςΓιαννόπουλος(p_gianno) 3. ΚώσταςΖυγούρης(kostas.zig) 4. ΓιώργηςΚαλαθάκης(exdx) 5. ΧρήστοςΚαρδάσης(ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ) 6. ΘανάσηςΜπεληγιάννης(mathfinder) 7. ΜάκηςΠολλάτος(mathematica) 8. ΘωμάςΡαϊκόφτσαλης(ΘωμάςΡαϊκόφτσαλης) 9. ΚωνσταντίνοςΡεκούμης(rek) 9. ΘάνοςΜάγκος(matha). ΒασίληςΜαυροφρύδης(mathxl). ΓιώργοςΜπαλόγλου (gbaloglou). ΓιώργοςΡοδόπουλος(hsiodos). ΣταύροςΣταυρόπουλος(ΣταύροςΣταυρόπουλος). ΒασίληςΣτεφανίδης(bilstef)

3 Διασκεδαστικά Μαθηματικά ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Atemlos) Ο κ. Χρήστος έγραψε δυο αριθμούς στον πίνακα και ζήτησε από τους μαθητές του να υπολογίσουν το γινόμενο. Το ψηφίο μονάδων του ενός από τους δυο αριθμούς ήταν 8 άλλα δεν ήταν γραμμένο καθαρά. Ο Γιάννης το πήρε λαν- ϑασμένα για 6 και η απά ντησή του ήταν 474 ενώ η Μαίρη το πέρασε για 3 και η απάντησή της ήταν Ποια είναι τελικά η σωστή απάντηση; ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Να βρεθεί τετραψήφιος ακέραιος που είναι τέλειο τετράγωνο και έχει την ιδιότητα: Αν αυξήσουμε τα ψηφία του κατάμία μονάδα, προκύπτει τέλειο τετράγωνο. Μαθηματικά Α Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 6 8, 8 6 χωρίς να υπολογίσετε τις δυνάμεις. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Τους φυσικούς αριθμούς,, 3, 4,..., τους γράφουμε όπως δείχνει το παρακάτω διάγραμμα: (α) Ποιος είναι ο πρώτος και ποιος ο τελευταίος αριθμός της ης σειράς, αν συνεχίσουμε να συμπληρώνουμε τον πίνακα; (β) Σε ποια γραμμή και σε ποια στήλη ϑα μπει ο αριθμός ; ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Αν για τις πλευρές a(b + c) c(a + b) a, b, c ενός τριγώνου ABC ισχύει ότι + = a + c, να a + b b + c αποδειχθεί ότι το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές με κορυφή το B. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης) Υπολογίστε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: 5 ) A = ) B = Μαθηματικά Α Λυκείου, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο KARKAR) Να βρεθούν οι αριθμοί x, y, y για τους οποίους ισχύει : x + y = x + 4 ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Κώστας Καπένης) Αν x, y, z μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει x + y + z = να αποδείξετε ότι: x + y x + y + y + z y + z + z + x z + x = x3 yz + y3 zx + z3 xy. Μαθηματικά Α Λυκείου, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο KARKAR ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC (Â = 9 ), E είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και AD το ύψος προς την υποτείνουσα. Οι διχοτόμοι των DÂC, DÂB τέμνουν τις CE, BE στα S, T αντίστοιχα. Δείξτε ότι AE ST. Μαθηματικά Β Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο KARKAR) Το ένα ορθογώνιο αποτελείται από δύο τετράγωνα πλευράς a. Συγκρίνατε τα εμβαδάτων δύο ορθογωνίων και βρείτε το τμήμα x συναρτήσει της a. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Δημήτρης Ιωάννου) Να συγκριθούν οι αριθμοί: (α) A = 3 83 και B = (β) Γ= 3 58 και Δ= 3. 4 Μαθηματικά Γ Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο KARKAR Σε τρίγωνο ABC φέρω τη διάμεσο AM. Αν είναι Ĉ εξωτ. = 5, A MC = 35, να βρείτε την A BC.

4 Μαθηματικά Β Λυκείου, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει η Φωτεινή Καλδή) Να δειχθεί η συνεπαγωγή ημ (x) + συν (x) = = ημ(x) + συν(x) =. (Συμπλήρωση από το Μιχάλη Λάμπρου: Ισχύει και η αντίστροφη συνεπαγωγή) ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει η Ζωή Κρυφού) Να υπολογιστούν οι y πραγματικοί αριθμοί a, b αν είναι γνωστό ότι οι αριθμοί 3, x είναι ρίζες του πολυωνύμου P(x) = 3x 3 + ax + bx 6, όπου(x, y ) y = 3 x + 6 είναι η λύση του συστήματος:. x + log 3 y = 3 Μαθηματικά Β Λυκείου, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Στάθης Κούτρας) Δίνεται τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O, R) και H το ορθόκεντρό του. Αν K AB : AK = AH και L AC : AL = AO να δειχθεί ότι: KL = R. Μαθηματικά Β Λυκείου, Κατεύθυνση ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο KARKAR) Θέλοντας να τριχοτομήσουμε την πλευρά BC ενός τριγώνου ABC, ακολουθούμετηνεξής πορεία: Βρίσκουμε το μέσο M της BC, στη συνέχεια το μέσο N της AM και ακολούθως το μέσο L της BN. ΗπροέκτασητηςAL τέμνει την BC στο σημείο S.Νααποδείξετεότι BS = 6 BC. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Δημήτρης Ιωάννου) Θεωρούμε διάνυσμα a με a = 5 καθώς και ένα άλλο διάνυσμα b που είναι τέτοιο, ώστε να ισχύει ότι: 3 b a b = 5 b + 3 a a. Να βρείτε τον αριθμό a b. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Γενική Παιδεία ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Απόκης Γιώργος) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = xe αx+α, x R, α >. (α) Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση ( ) ( f α f α α ) α f ( ) =. α (β) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της C f στο M (, f ()) να σχηματίζει γωνία 45 με τον xx. (γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. (δ) Να βρείτε την τιμή του α ώστε το ελάχιστο της f να πάρει τη μέγιστη τιμή του. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Περικλής Παντούλας) Εστω f (x) = x + (3 α)x (α + 5), x,α R. Για ποια τιμή του α το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της f είναι ελάχιστο; Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Μιγαδικοί Αριθμοί ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Στάθης Κούτρας) Εστω τρίγωνο ABC και AD, BE, CZ τα ύψη του. Αν H A, H B, H C είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων ZAE, DBZ, ECD αντίστοιχα, να δειχθεί ότι H A H B H C = DEZ. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Σάκης) Εστω οι z, z, z 3, z 4 που ανήκουν στο C, ώστεz, z διάφοροι του και να ανήκει στο C \ R. z z Εστω ότι οι z + z 3 + z 4 z + z 3 + z 4, είναι πραγματικοί. Δείξτε ότι z z z + z + z 3 + z 4 =.

5 ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Κ77) Οι διανυσματικές ακτίνες των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών z, w σχηματίζουν γωνία 6. Να δείξετε ότι z + w 3 z w. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ορια, Συνέχεια ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και ισχύει f ( f (x)) = x για κάθε x R, να δείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιος ώστε f (ξ) = ξ. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Chris) Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη και συνεχής στο R με f (x), x R. Αν ισχύει: f (8) =, f (9) = f ( f (x)) f ( f (x) + 3) και =, x R τότε: f ( f (x) + ) f ( f (x) + ) Α) Να δείξετε οτι f () f (3) = f (4) f (5). Β) Να δείξετε οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα ρ [, 3] τέτοιο ώ- στε: f (ρ) = f () f (3). Γ) Δείξτε οτι η f δεν είναι. Δ) Αν η f είναι γνησίως αυξουσα στο [8, 9] και x, x [8, 9], να δείξετε οτι υπάρχει ένα μοναδικό x [8, 9] τέτοιο ώστε: 3 f (x ) = f (x ) + f (x ). Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Διαφορικός Λογισμός ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφύδης) Εστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα f (x), x R. Νααποδείξετεότι: f (x + f (x)) f (x), x R. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Pla.pa.s) Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R ισχύει f (x) ( ln( f (x) + x ) + x 4) = ( f (x) ημ( f (x) + x ) ) για κάθε x R. f (x) Να βρεθεί η παράγωγος της. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ολοκληρωτικός Λογισμός Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ασκήσεις σε όλη την Υλη ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο BAGGP93) Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [, + ) R για την οποία ισχύει f () = και f (x) 6x για κάθε x [, + ). Ισχύει επίσης ότι 6x 3 [ f (x) f (x) 6 ] = f 6 (x) 8xf 4 (x) + 8 [ xf(x) ], για κάθε x [, + ). i) Να δείξετε ότι f (x) 6x = ii) Να υπολογίσετε την παράσταση e x + με x [, + ). [ f 4 (x) xf (x) ] dx + 7 e ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Χρήστος Κυριαζής) Εστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο διάστημα [a, b], ώστε να ισχυουν οι παρακάτω:. f (x) = f (x), x [a, b]. f (x) > f (x), x [a, b] 3. f (b) f (b) = f (a) f (a). Να δείξετε ότι: b a f (x) f (x) f (x) dx = (b a). Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Θέματα με Απαιτήσεις ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Εστω η συνεχής συνάρτηση f :[, ] R που είναι τέτοια ώστε να ισχύει ( x ) f (x) f + ( x ) 4 f = x για κάθε x [, ]. Να βρείτε τον τύπο 4 της f. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Εστω οι συναρτήσεις: f : R + R παραγωγίσιμη και g : R R αύξουσα, για τις οποίες ισχύει: f () = g() = και f (x) + g( f (x)) =, x. Να δειχθεί ότι: f (x) =, x. x tdt ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνουν οι Σωτήρης Λουρίδας - Μυρτώ Λιάπη ) Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R που ικανοποιούν τη σχέση x x 3 f (t)dt f (t)dt = x + x + x R. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνουν οι Μίλτος Παπαγρηγοράκης - Κώστας Καπένης) Εστω συνάρτηση f :[, + ) R συνεχής για την οποία ισχύει x Να αποδείξετε ότι f (x) >, f (t)dt < f (x), x [, + ). x [, + ). Ασκήσεις μόνο για μαθητές ΑΣΚΗΣΗ 33 (Προτείνει ο Αναστάσιος Κοτρώνης) Βρείτε το lim x + x ln x x (ln x) x + x. ΑΣΚΗΣΗ 34 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : R R για τις οποίες f () = και f (x + y) f (x) + f (y), x, y R. 3

6 Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Juniors, Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών-Συνδυαστική ΑΣΚΗΣΗ 35 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης ) Δίνεται η εξίσωση x(x + ) = pq(x y), όπου p, q πρώτοι, διαφορετικοί μεταξύ τους. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες (x, y) N, στις οποίες το y είναι κοινό. ΑΣΚΗΣΗ 36 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : N N ώστε f (x) + y x + f (y) + f (x)y xf(y) (x + y) =, x, y N f (x + y) Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Juniors, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 37 (Προτείνει ο Γιάννης Τσόπελας) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB = AC και έστω τα σημεία K, L μεταξύ των A, B, ώστε να είναι AK = KC και CL διχοτόμος της γωνίας ACK και BK = KL. Να υπολογίσετε τις γωνίες του ABC. ΑΣΚΗΣΗ 38 (Προτείνει ο Πέτρος Ράπτης) Με δοσμένο το κυρτό τετράπλευρο ABCD κατασκευάζουμε ένα νέο τετράπλευρο ως εξής : Παίρνουμε το σημείο E έτσι ώστε το A να είναι το μέσον του DE. Ομοίως το σημείο Z ώστε το B να είναι μέσον του AZ. Ομοίως το σημείο H ώστε το C να είναι μέσον του BH και τέλος το σημείο K ώ- στε το D να είναι μέσον του CK. Αποδείξτε ότι (EZHK) = 5(ABCD). Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Seniors, Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών-Συνδυαστική ΑΣΚΗΣΗ 39 (Προτείνει ο Δημήτρης Χριστοφίδης) Κάποια κελιά ενός πίνακα έχουν μολυνθεί από μια ασθένεια. Η ασθένεια επεκτείνεται και στα υπόλοιπα κελιάμε βάση τον ακόλου- ϑο κανόνα: Για κάθε τέσσερα γειτονικά κελιά που σχηματίζουν ένα υποπίνακα, αν τα τρία είναι μολυσμένα, τότε μολύνεται και το τέταρτο. Να υπολογιστεί ο ελάχιστος αριθμός μολυσμένων κελιών ώστε να μπορούν να μολύνουν με βάση τον πιο πάνω κανόνα όλα τα υπόλοιπα κελιά. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Να βρείτε τους μη μηδενικούς πραγματικούς x, x,...,x n για τους οποίους ισχύει x + x = x + x 3 = = x n + x n = x n + x = ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Στάθης Κούτρας) Εστω τρίγωνο ABC και (I) ο εγγεγραμμένος κύκλος του. Οι κάθετες ευθείες επί των AI, BI, CI στο σημείο I, τέμνουν τυχούσα εφαπτομένη του (I) σε σημείο του έστω S, στα σημεία M, N, P, αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες AM, BN, CP τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω T. Θέματα Διαγωνισμών ΕΜΕ ΑΣΚΗΣΗ 43 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Να βρεθεί η μέγιστητιμήτηςπραγματικήςσταθερήςm έτσι ώστε ( (a + bc)(b + ac)(c + ab) a + b + ) Mabc c για όλους τους ϑετικούς πραγματικούς αριθμούς a, b, c για τους οποίους a + b + c =. ΑΣΚΗΣΗ 44 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Στο επίπεδο δίνονται (α) σημεία. Να δείξετε ότι υπάρχει ευθεία που αφήνει σε κάθε ημιεπίπεδο που ορίζει, ακριβώς 5 από αυτά τα σημεία. (β) σημεία. Να δείξετε ότι υπάρχει κύκλος που περιέχει στο εσωτερικό του ακριβώς 5 από αυτάτα σημεία και τα υπόλοιπα 5 σημεία βρίσκονται στο εξωτερικό του. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Φοιτητές ΑΣΚΗΣΗ 45 (Προτείνει ο Πέτρος Βαλέττας) Εστω f :[, ] [, ) κοίλη συνάρτηση. Να δειχθεί ότι x f (x) dx f (x) dx. ΑΣΚΗΣΗ 46 (Προτείνει ο Δημήτρης Χριστοφίδης) Να εξεταστεί αν υπάρχουν άπειρα πολυώνυμα της μορφής x n με n περιττό τα οποία να έχουν διαιρέτες όλων των βαθμών μικρότερου ή ίσου του n στο Z[x]. Άλγεβρα ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 47 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Σε μια ομάδα G υπάρχουν στοιχεία a, b τέτοια ώστε a 3 b = ba και a b = ba 3. Να δείξετε ότι a 5 = e, όπουe είναι το ταυτοτικό στοιχείο της G. ΑΣΚΗΣΗ 48 (Προτείνει ο Βαγγέλης Μουρούκος) Εστω H μια α- βελιανή ομάδα και C = x η κυκλική ομάδα τάξης με γεννήτορα x. Θεωρούμε τον ομομορφισμό ομάδων ϕ : C Aut(H) που ορίζεται από τη σχέση ϕ(x)(h) = h για κάθε h H. (Εφόσον η H είναι αβελιανή, η ϕ είναι καλάορισμένη). Θεωρούμε το ημιευθύ γινόμενο G := H ϕ C. Να αποδείξετε ότι η ομάδα G είναι αβελιανή αν και μόνο αν ισχύει h = για κάθε h H. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Seniors, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Γρηγόρης Κακλαμάνος) Εστω οξυγώνιο ABC. Ο κύκλος με διάμετρο το ύψος BD τέμνει τις πλευρές AB και BC στα σημεία K και L αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες στα σημεία K και L τέμνονται στο σημείο X. ΝααποδειχθείότιηBX διχοτομεί την AC. Ανάλυση ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 49 (Αναστάσιος Κοτρώνης) Η x n ορίζεται αναδρομικά για κάποια x, x από τον τύπο (n ) c x n = + (n ) c x n + + (n ) c x n,όπουc >. Βρείτε το lim x n. n + 4

7 ΑΣΚΗΣΗ 5 (Σπύρος Καπελλίδης) Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f : R R με f (x) f (y) d(x, y),γιαόλαταx, y R, όπου d είναι η Ευκλείδεια απόσταση στον R. ΑΕΙ Μαθηματική Λογική και Θεμέλια Μαθηματικών ΑΣΚΗΣΗ 58 (Προτείνει ο KARKAR) Τόξο ST σταθερού μήκους s, (s < πr ), μετακινείται επί του τόξου AB, τουτεταρτοκυκλικού τομέα OAB. Απόταάκρατου,φέρωτατμήματαSD, TE,κάθετα προς την OA, καιταsz, TH,κάθεταπροςτηνOB. Φέροντας και τη χορδή ST, σχηματίζονται δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Δείξτε ότι το: E + E + E 3, είναι σταθερό. (E, E, E 3 είναι τα εμβαδάτων σχημάτων) ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει η Φωτεινή Καλδή) Να βρείτε όλα τα σύνολα X P(Ω) για τα οποία ισχύει: (B C) X = (B X) (C X) όπου B,C δύο δοθέντα σύνολα (υποσύνολα του Ω). ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει η Φωτεινή Καλδή) Να βρείτε όλα τα σύνολα X P(Ω) για τα οποία ισχύει: A (X B) = (A X) B όπου A, B δύο δοθέντα σύνολα (υποσύνολα του Ω). Θεωρία Αριθμών ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 53 (Προτείνει ο Γιώργος Κοτζαγιαννίδης) Να δείξετε ότι για κάθε ν N ισχύει n+3 6n 7. ΑΣΚΗΣΗ 54 (Προτείνει ο Σωτήρης Χασάπης) Θεωρούμε a και b ϑετικούς αριθμούς. Η διαίρεση με υπόλοιπο τών a b με το a + b μάς δίδει μονοσήμαντα ορισμένους αριθμούς q και r με a b = q(a + b) + r με r < a + b. Βρείτεόλαταζεύγη(a, b) για τα οποία ισχύει q + r =. Ο Φάκελος του καθηγητή, Ανάλυση ΑΣΚΗΣΗ 55 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R για τις οποίες f () = και για κάθε x R έχουμε f (x) x + f (x) και f (3x) x + f (x). ΑΣΚΗΣΗ 56 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Εστω f :[, ] R συνάρτηση τέτοια ώστε f (x) f (y) x y, για κάθε x, y [, ]. Να δείξετε ότι ( x ) f (t)dt dx + f (x)dx. Ο Φάκελος του καθηγητή, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 57 (Προτείνει ο KARKAR) Οι διαγώνιοι του εγγεγραμμένου ABCD, τέμνονταιστοk, ενώ οι προεκτάσεις των CB, DA, στο S. Αν M, N τα μέσα των πλευρών AB, CD και είναι: CD = AB, δείξτε ότι: MN = 3 4 SK. Ο Φάκελος του καθηγητή, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ 59 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Αν z 5 =, να υπολογίσετε τα αθροίσματα A = B = z + z + z + z 4 + z3 + z + z4 + z 3, z z + z z 4 + z3 z + z4 z 3. Για το ο άθροισμα, ϑεωρούμε z. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Αν x, x,..., x n είναι ϑετικοί αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση n n x k nx + x k = x k x k= έχειρίζα το και n διαφορετικούς μεταξύ τους ϑετικούς αριθμούς k= Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών (ΑΣΕΠ) ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Εστω Ω το χωρίο του επιπέδου, το οποίο αποτελείται από τα σημεία (x, y) για τα οποία ισχύει x y και y. Να βρεθεί το εμβαδόν του Ω. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Στράτης Αντωνέας) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 4 3x 3 + 5x + ax =, a R, έχει δύο ετερόσημες πραγματικές ρίζες και δύο μιγαδικές ρίζες. 5

8 Επιμελητής: Γιώργος Ρίζος ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Atemlos) Ο κ. Χρήστος έγραψε δυο αριθμούς στον πίνακα και ζήτησε από τους μαθητές του να υπολογίσουν το γινόμενο. Το ψηφίο μονάδων του ενός από τους δυο αριθμούς ήταν 8 άλλα δεν ήταν γραμμένο καθαρά. Ο Γιάννης το πήρε λανθασμένα για 6 και η απάντησή του ήταν 474 ενώ η Μαίρη το πέρασε για 3 και η απάντησή της ήταν Ποια είναι τελικάη σωστή απάντηση; (x )5 = 474 x = 38. Η σωστή απάντηση είναι: 5 38 = 477 ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Να βρεθεί τετραψήφιος ακέραιος που είναι τέλειο τετράγωνο και έχει την ιδιότητα: Αν αυξήσουμε τα ψηφία του κατάμία μονάδα, προκύπτει τέλειο τετράγωνο Λύση (Θανάσης (KARKAR) ) Εστω x, y οι δύο αριθμοί. Σύμφωνα με τα δεδομένα: (x )y = 474 και (x 5)y = Αφαιρώντας τις: 3y = 45 y = 5 επομένως: Λύση (Αλέξανδρος Συγκελάκης) Αν abcd ο ζητούμενος αριθμός τότε ϑέλουμε a + b + c + d = k και ταυτόχρονα (a+)+(b+)+(c+)+(d +) = l. Άρα k + = l οπότε (l k)(l + k) = άρα l k = και l+k = οπότε k = 45 κι έτσι ο ζητούμενος αριθμός είναι το 5. 6

9 Επιμελητής: Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 6 8, 8 6 χωρίς να υπολογίσετε τις δυνάμεις. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Τους φυσικούς αριθμούς,, 3, 4,...,τουςγράφουμεόπως δείχνει το παρακάτω διάγραμμα: 33&t 69 Λύση (Μιχάλης Λάμπρου) Ζητάμε σύγκριση των και 6 8 = ( 4 ) 8 = = (3 ) 6 = Απλοποιώντας το 6 έχουμε να συγκρίνουμε τους αρι- ϑμούς 56 = ( 7 ) 8 και (3 4 ) 8, οπότε τελικά τους 7 = 8 και 3 4 = 8. Από δω παίρνουμε το ζητούμενο. Λύση (Βασίλης Μαυροφρύδης) Επειδή οι αριθμοί μας είναι ϑετικοί, αρκεί να συγκρίνουμε το πηλίκο τους (προσφέρεται για ιδιότητες δυνάμεων) με την μονάδα : ( ) = 8 ( 6 ) = = = ( ) 8 ( ) = < Σχόλιο: Το μέλος μας Αρχιμήδης 6 επεσήμανε ότι ο πρώτοςαριθμόςέχειψηφίακαιοδεύτερος (α) Ποιος είναι ο πρώτος και ποιος ο τελευταίος αριθμός της ης σειράς, αν συνεχίσουμε να συμπληρώνουμε τον πίνακα; (β) Σε ποια γραμμή και σε ποια στήλη ϑα μπει ο αριθμός ; 33&t 37 Λύση (Μάκης Χατζόπουλος) (α) Η πρώτη γραμμή τελειώνει στο =, η δεύτερη γραμμή τελειώνει στο = 4, η τρίτη γραμμή τελειώνει στο 3 = 9,..., η 9η γραμμή τελειώνει σε 9 = 36. Συνεπώς, η η γραμμή ξεκινάει με το 36+ = 36, ενώ τελειώνει με το = 44. (β) Αφού 44 = 936 και 45 = 5, το είναι στην 45η γραμμή (4ος αριθμός πριν το τέλος και 74ος από την αρχή). 7

10 Επιμελητής: Σωτήρης Στόγιας ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο KARKAR) Το ένα ορθογώνιο αποτελείται από δύο τετράγωνα πλευράς a. Συγκρίνατε τα εμβαδάτων δύο ορθογωνίων και βρείτε το τμήμα x συναρτήσει της a. 34&t 737 Λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης). Ας συμβολίσουμε με δ τη διαγώνιο του ορθογωνίου με διαστάσεις a και a. Από το πυθαγόρειο ϑεώρημα έπεται ότι a + (a) = δ οπότε δ = 5a. Ας συμβολίσουμε με k την άλλη διάσταση του δεύτερου ορθογωνίου. Τότε για το εμβαδόν του κοινού kδ τριγώνου των δύο ορθογωνίων ισχύει = a οπότε k = 5a. Άρα το εμβαδόν του δεύτερου ορθογωνίου 5 είναι 5a 5a = a, οπότε τα δύο ορθογώνια είναι 5 ισεμβαδικά. Επίσης x + k = a,οπότεx = a 5. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Δημήτρης Ιωάννου) Να συγκριθούν οι αριθμοί: (α) A = 3 83 και B = (β) Γ= 3 58 και Δ= &t 539 Λύση (Γιώργος Απόκης) (α) Είναι και (β) Αφού 9 >, ισχύει 8 Γ= 3 A = 3 83 = (3 3 ) 6 = 7 6 B = = 35 ( ) = 35 = ( 5 ) 6 = 3 6 > A = (3 ) 3 ( 3 ) = 9 και αφού < 5 <, είναι 8 Άρα, Γ > Δ. Δ= 58 4 = (53 ) 6 ( 7 ) 6 = = ( ) 9 8 = >, 8 ( ) 6 5 <. 8 8

11 Επιμελητής: Γιώργος Ρίζος ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Αν για τις πλευρές a, b, c ενός τριγώνου ABC ισχύει ότι a(b + c) c(a + b) + = a + c, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές με κορυφή το a + b b + c B Λύση (Δημήτρης (Eagle) ) Κάνοντας τις πράξεις (ταυτότητες, παραγοντοποιήσεις, επιμεριστικές, α- παλοιφές) έχουμε: a(b + c) c(a + b) + = a + c a + b b + c a(b + c) + c(a + b) = (a + c)(a + b)(b + c) ab + abc + ac + ca + abc + cb = a b + abc + ab + cb + ca + ac + abc + c b abc = a b + c b a ac + c = (a c) = a = c. Ετσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης) Υπολογίστε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: 5 ) A = ) B = Λύση (angvl (μαθητής) ) Για το ο: Ο πρώτος όρος γράφεται στη μορφή = = ( 5+ ) 5 8 = 8 = Ομοια ο δεύτερος όρος παίρνει την μορφή. 6 Αν αφαιρέσουμε τώρα τους δύο όρους βρίσκουμε αποτέλεσμα 3. Λύση (Αρσενόη Μουτσοπούλου (μαθήτρια))για το ο: B = = = με απλοποιήσεις καταλήγουμε η τελευταία παράσταση να είναι ίση με = 5 = 8. 9

12 Επιμελητής: Στράτης Αντωνέας ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο KARKAR) Να βρεθούν οι αριθμοί x, y, για τους οποίους ισχύει : x + y = x + y 4 9&t 443 Λύση (Αχιλλέας Συννεφακόπουλος) Για x και y η δοθείσα είναι ισοδύναμη με την (x ) x (y 4 y + ) =, a = b = ( ) x = y = δεκτές x = a = y = b = x = x = y = 4 y = 5 ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Κώστας Καπένης) Αν x, y, z μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει x + y + z = να αποδείξετε ότι:, δηλ. ( x y ) + ( ) =, x + y x + y + y + z y + z + z + x z + x = x3 yz + y3 zx + z3 xy. απ όπου παίρνουμε x = και y =. 9&t 86 Συνεπώς, x = 5 4 και y = 5. Λύση (Νίκος Αντωνόπουλος) Το πρώτο μέλος γράφεται Λύση (parmenides5) Θέτω x = a y = b x = a y = b x = a + () y = b + (), οπότε για x καιy η δοσμένη λόγω των (),() γίνεται a + b = a + + b + 4 4a + 4b = 4a b + 4a 4a + + b 4b 4 = (a ) + (b ) =, οπότε a = b = ως μηδενικό άθροισμα μη αρνητικών όρων, συνεπώς x + y z + y + z x + z + x y x 3 y + xy 3 + y 3 z + yz 3 + z 3 x + zx 3 = xyz x 3 (y + z) + y 3 (x + z) + z 3 (x + y) xyz x 4 y 4 z 4 xyz Λύση (Φωτεινή Καλδή) = = x3 yz + y3 xz + z3 xy x + y x + y + y + z y + z + z + x z + x = ( ) x + y + y + z + z + x = z x y ( ) x z + x y + y z + y x + z x + z = y ( ) x (y + z) + y (z + x) + z (x + y) = yz xz xy =

13 x 3 yz + y3 xz + z3 xy Λύση 3 (dr.tasos) Το πρώτο μέλος είναι ίσο με : A = (x + y) xy x + y A = A = + (z + y) zy z + y + (x + z) zx z + x ( xy z + yz x + zx ) y ( x y + z y + x z xyz ). Το δεύτερο μέλος ειναι ίσο με : B = (x + y + z ) (x y + z y + x z ). xyz Εξισώνω και έχω (x + y + z ) = 4(x y + z y + x z ). Άπο την δοσμένη έχω (x + y + z ) = 4(x y + z y + x z ) + 8xyz(x + y + z) (x + y + z ) = 4(x y + z y + x z ), άρα το ζητούμενο απεδείχθη.

14 Επιμελητής: Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο KARKAR ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC (Â = 9 ), E είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και AD το ύψος προς την υποτείνουσα. Οι διχοτόμοι των DÂC, DÂB τέμνουν τις CE, BE στα S, T αντίστοιχα. Δείξτε ότι AE ST. ύψος. Άρα DÂT + CÂD = 45 x + x = 45 + x = CÂT, δηλαδή οι AĈE, CÂT είναι συμπληρωματικές. Ετσι η CE είναι κάθετη στην AT. Ομοίως αποδεικνύουμε ότι η BE είναι κάθετη στην SA. Ετσι το E είναι ορθόκεντρο και η AE είναι κάθετη στην ST. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο KARKAR Σε τρίγωνο ABC φέρω τη διάμεσο AM. Αν είναι Ĉ εξωτ. = 5, A MC = 35,ναβρείτετηνA BC. &t 8759 Λύση (KARKAR) Εστω ότι οι C BA και AĈB έχουν μέτρο x και 9 x αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AS T. &t 8 Λύση (Μιχάλης Νάννος) Φέρω BD AC και εφόσον Ĉ = 3 εύκολα συμπεραίνουμε πως σχηματίζεται το ισοσκελές MDC (, 3, 3 ),τοισόπλευροmbd και το ορθογώνιο και ισοσκελές BAD. Ετσι η ζητούμενη γ- ωνία είναι = 5. Αφού η CE είναι διχοτόμος η AĈE = 45 x. Επίσης DÂB = AĈD, γιατί το AD είναι ύψος. Άρα η DÂT = 45 x. Είναι ακόμα CÂD = D BA, γιατί το AD είναι

15 Λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης) Ας φέρουμε το ύψος AK του τριγώνου. Τότε το τρίγωνο AKM είναι ορ- ϑογώνιο και ισοσκελές. Άρα AK = KM. Από το ορθογώνιο AKC προκύπτει AC = AK. Εστω B το συμμετρικό του B ως προς το K. Τώρα B C = KB + BM = KM = AK = AC. Άρα το τρίγωνο AB C είναι ισοσκελές, οπότε B = 75. Επομένως A ˆBC = 5 o. 3

16 Επιμελητής: Φωτεινή Καλδή ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει η Φωτεινή Καλδή) Να δειχθεί ησυνεπαγωγή ημ (x) + συν (x) = = ημ(x) + συν(x) =. (Συμπλήρωση από το Μιχάλη Λάμπρου: Ισχύει και η αντίστροφη συνεπαγωγή) ημ x ( ημ 9 x ) = συν x ( συν 9 x ) Είναι: ημx ημ 9 x ημ 9 x ημ x ( ημ 9 x ) Λύση (Γιώργος Ροδόπουλος) Χάριν συντομίας ονομάζουμε a = ημx, b = συνx. Τότε a + b = (). Από την () προκύπτει ότι a και b. Πράγματι αν για παράδειγμα ήταν b < τότε () a = b > που είναι αδύνατο. Αν τώρα a καιb έχουμε: a α () και b b (3) με το ίσον στις (), (3) να ισχύει μόνο όταν a = καιb = αντίστοιχα. Επειδή δεν μπορεί να ισχύει ταυτόχρονα a = b = παίρνουμε με πρόσθεση κατά μέλη των (), (3): a + b < a + b <, άτοπο. Συνεπώς a = (καιb = ) ή b = (καιa = ). Σε κάθε περίπτωση ισχύει a + b =. Για το αντίστροφο. Αν a + b = τότε (a + b) = a + b + ab = ab = (a = καιb = ) ή (b = καιa = ). Σε κάθε περίπτωση ισχύει η (). Λύση (Γιώργος Ρίζος) Μία παρόμοια αντιμετώπιση ημ x + συν x = ημ x + συν x = ημ x + συν x ημ x ημ x = συν x συν x συνx συν 9 x συν 9 x συν x ( συν 9 x ). Οπότε είναι: ημ x ( ημ 9 x ) = συν x ( συν 9 x ) = ημx =, συνx = ή άρα ημx + συνx = ημx =, συνx = ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει η Ζωή Κρυφού) Να υπολογιστούν οι πραγματικοί αριθμοί a, b αν είναι γνωστό y ότι οι αριθμοί 3, x είναι ρίζες του πολυωνύμου P(x) = 3x 3 + ax + bx 6, όπου(x, y ) είναι η λύση του y = 3 x + 6 συστήματος:. x + log 3 y = Λύση (Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Το σύστημα ορίζεται για y >. Από την η εξίσωση βρίσκουμε ότι: y 6 = 3 x log 3 (y 6) = x, για y > 6, την οποία αντικαθιστούμε στην η εξίσωση και βρίσκουμε ότι: log 3 (y 6) + log 3 y = 3 log 3 (y y) = 3 y 6y = 7 y = 9 (αφού η λύση y = 3 < 6 απορρίπτεται). Συνεπώς προκύπτει και ότι x =, άρα x =, y = 9. Επιπλέον γνωρίζουμε ότι τα x = y, = 3 είναι ρίζες του πολυωνύμου, οπότε ισχύει 3 { { P( ) = 4 + 4a b 6 = ότι: P(3) = 8 + 9a + 3b 6 =... { a = b = 9 4

17 Επιμελητής: Ανδρέας Βαρβεράκης ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Στάθης Κούτρας) Δίνεται τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O, R) και H το ορθόκεντρό του. Αν K AB : AK = AH και L AC : AL = AO να δειχθεί ότι: KL = R. &t 53 Λύση (Σωτήρης Λουρίδας) Εστω T το μέσο του AK και F το μέσο της BC. OFC =9, OF = ΑΗ = ΑΤ, FOC = Α, OC = AL AT L = OFC LT AT. ΑυτόσημαίνειότιηLT είναι μεσοκάθετη σ- το AK, οπότεal = LK = R. Αν Z είναι το συμμετρικό τουh ως προς την AC, τα τρίγωνα AOZ, AKL είναι ίσα, καθώς AO = AL, AK = AH = AZ και OAB = LAH, LAZ = LAH OAZ = KAL. Επομένως, KL = OZ = R. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Στάθης Κούτρας) Εστω τρίγωνο ABC και AD, BE, CZ τα ύψη του. Αν H A, H B, H C είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων ZAE, DBZ, ECD αντίστοιχα, να δειχθεί ότι H A H B H C = DEZ. Λύση (Ανδρέας Βαρβεράκης) Άλλη μία αντιμετώπιση, χρησιμοποιώντας ότι το συμμετρικό του ορθοκέντρου ενός τριγώνου ως προς μία πλευρά, είναι σημείο του περίκυκλου και ότι η ακτίνα προς μία κορυφή και το αντίστοιχο ύψος είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας ( OAC = BAH): Λύση (Κώστας Δόρτσιος) Τα τρίγωνα αυτά ϑα δείξουμε ότι έχουν τις τρείς πλευρές ίσες. 5

18 Πρώτα δείχνουμε πως το τετράπλευρο H a EDH b είναι παραλληλόγραμμο. Πράγματι: H a E = R A cos E () όπου: R A = AH και Ê = AEZ ˆ = AHZ. ˆ Ομοια είναι DH b = R B cos D () όπου: R B = BH και ˆD = BDZ ˆ = BHZ ˆ Θα δείξουμε ότι H a = H b (3). Σύμφωνα με τις () και () η (3) ισοδυναμεί: R A cos E = R B cos D AH cos( AHZ) ˆ = BH cos( BHZ) ˆ HZ = HZ. Η τελευταία ισχύει. Άρα και η (3). Ακόμα είναι: H a //H b ως κάθετες στην AB. Άρα το σχήμα H a EDH b είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς DE = H a H b. Ομοια δείχνονται και οι άλλες δύο ισότητες των πλευρών. Άρα αυτα τα τρίγωνα είναι ίσα. 6

19 Επιμελητής: Λευτέρης Πρωτοπαπάς ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο KARKAR) Θέλοντας να τριχοτομήσουμε την πλευρά BC ενός τριγώνου ABC, ακολουθούμε την εξής πορεία: Βρίσκουμε το μέσο M της BC, στη συνέχεια το μέσο N της AM και ακολού- ϑως το μέσο L της BN. ΗπροέκτασητηςAL τέμνει την BC στο σημείο S.Νααποδείξετεότι BS = 6 BC Λύση (Καπένης Κώστας) Εστω σημείο K της SM ώστε BS = SK. Τότε στο BNK ϑα έχουμε LS NK. Τότε στο AS M το K πρέπει να είναι μέσο της SM, αφού N μέσο της AM και KN AS. Άρα BS = SK = KM = BM 3 = BC 6. Λύση (Απόκης Γιώργος) Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και B(, ), C(a, ), A(p, q) με a, p, q ( a ) ( p + a. Τότε M,, N, q ) ( p + a, L, q ) = 6q 6p a, άρα Αν a 6p έχουμε λ AL = q q 4 p p+a 8 (AL) :y q = 6q (x p). Για το σημείο S (s, ) είναι 6p a q = 6q (s p) s = 6p a BS = 6 BC. 6pq 6p a q 6q 6p a = aq 6q = a 6. Άρα Αν a = 6p, τότεηas είναι κατακόρυφη, οπότε άμεσα προκύπτει το ζητούμενο. Λύση 3 (Καλδή Φωτεινή) BS = xbc = x( b a), () BS = BL+ LS = BN + yas, y, () BN = ( BM a), BM = BC = ( b a), () BS = 8y 3 8( y) a + 8( y) b, (3) (), (3) = x = 6 BS = BC. 6 AS = a+ BS. Λύση 4 (Δόρτσιος Κώστας) Εφαρμόζουμε το ϑεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο BNM με διατέμνουσα την S L A. Δηλαδή: BS SM MA AN NL LB = BS SM = AN AM BS BS + SM = AN AN + AM BS BM = BS BM = 3. AM AM + AM = 3 Το σημείο δηλαδή S τριχοτομεί την BM. Κατόπιν αυτού αν λάβουμε το συμμετρικό του B ως προς το S τριχοτομούμε την πλευρά BC. Λύση 5 (Γιαννόπουλος Παναγιώτης) Φέρω KN//BM. Τότε: BLS = NLK KN = BS (). Επίσης: KN = SM (K, N μέσα πλευρών του SAM)() Τέλος: (), () BS = SM BM = 3BS BC = 6BS. Λύση 6 (Ρίζος Γιώργος) Φέρνουμε την ML που τέμνει την AB στο K. BS Από Θ. Ceva στο ABM ισχύει: SM MN NA AK KB = BS SM = KB AK BS BM = KB AB (). Φέρνουμε την παράλληλη από το N στην KM που τέμνει την AB στο T. Τότε από Θ. Θαλή για TN//KM είναι AT TK = AN NM AT = TK και για KL//TN έχουμε BK KT = BL LN BK = KT. Οπότε BK = AB, άρα από την () προκύπτει 3 BS = 3 BM BS = 6 BC. Λύση 7 (Μπαλόγλου Γιώργος) Προεκτείνουμε την CB κατά μήκος BD = BM, οπότε η AB είναι διάμεσος του ADM, όπως βέβαια και η DN. Συμπεραίνουμε ότι το σημείο τομής P των AB και DN είναι το βαρύκεντρο του ADM, άρα η MP τέμνει την AD στο μέσον 7

20 της, έστω Q. Επειδή όμως BN//DA, η MP οφείλει να τέμνει και την BN στο μέσον της, δηλαδή στο L. Είναι λοιπόν οι AS, BN, MP συντρέχουσες στο τρίγωνο ABM, οπότε από το Θεώρημα του Ceva προκύπτει BS SM = NA MN PB AP = = (καθώς N μέσον του AM και P βαρύκεντρο του ADM) καιτελικά BS BM = 3. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Δημήτρης Ιωάννου) Θεωρούμε διάνυσμα a με a = 5 καθώς και ένα άλλο διάνυσμα b που είναι τέτοιο, ώστε να ισχύει ότι: 3 b a b = 5 b + 3 a a. Ναβρείτετοναριθμό a b Λύση (Καλδή Φωτεινή) Λόγω της 3 b a b = 5 b + 3 a a έχουμε ότι τα a, b είναι ομόρροπα, άρα b = p a, p >. Τότε: 3 b a b = 5 b + 3 a a 3 p a p a = 5p + 3 a a 3p 3p = 5p + 3, άρα (3p 3p = 5p + 3ή3p 3p = 5p 3) p = 3 ή p = 3. Συνεπώς αφού p >, προκύπτει ότι b = 3 a, άρα a b = 5. Λύση (Σταματογιάννης Γιάννης) Θέτουμε x = a b, οπότε b = x 5. Από τη σχέση που δόθηκε τα διανύσματα a, b είναι ομόρροπα, οπότε ϑα ισχύουν οι σχέσεις a b = 5 x 5 ή a b = x 5 5 5, αφού για 5 5 τα ομόρροπα διανύσματα a, b ισχύει: a b = a b, a b = b a. Ισχύει 5 b + 3 a = 5(x + 6x + 9), άρα 5 b + 3 a = 5 x + 3. Επίσης a b = 5 x 5. Αν 5 πολλαπλασιάσουμε τη δοθείσα σχέση με το διάνυσμα a, καταλήγουμεστηνεξίσωση3 5 x x = 5 x + 3, που έχει λύση x = 5. 8

21 Επιμελητής: Χρήστος Τσιφάκης ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Απόκης Γιώργος) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = xe αx+α, x R, α >. (α) Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση ( ) ( f α f α α ) α f ( ) =. α (β) Εχουμε ότι f () = e α. Εστω ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο x = σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 45.Τότε f () = εϕ45 e α = α =, άτοπο γιατί α>. (γ) f (x) = e αx+α + αxe αx+α με x R, α>τότε (β) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του α ώστε η ε- φαπτομένη της C f στο M (, f ()) να σχηματίζει γωνία 45 με τον xx. (γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. (δ) Να βρείτε την τιμή του α ώστε το ελάχιστο της f να πάρει τη μέγιστη τιμή του. και f (x) = e αx+α + αxe αx+α = e αx+α ( + αx) = + αx = x = α 8&t 955&start Λύση (Κατσίποδας Δημήτρης) (α) Εχουμε f (x) = xe αx+α, x R, α >, οπότε f ( α ) = α e+α με α>. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγισίμων συναρτήσεων με f (x) = e αx+α + αxe αx+α με x R, α>οπότε f ( α ) = e+α με α>. Ακόμα η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f (x) > e αx+α + αxe αx+α > e αx+α ( + αx) > + αx > x > α. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, α ] και γνησίως αύξουσα στο [ α, + ). Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη ϑέση x = α με τιμή f ( α ) = α eα. (δ) Θεωρούμε την συνάρτηση g(α) = α eα,α >. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f (x) = αe αx+α + αe αx+α + α xe αx+α = αe αx+α + α xe αx+α με x R,α> οπότε f ( α ) = 3αe+α με α>. Ετσι έχουμε f ( α ) α f ( α ) α f ( α ) = 3αe +α αe +α α α e+α = 3αe +α 3αe +α = g (α) = α eα α eα = α eα ( α α ),α>. Εχουμε g (α) = α eα α eα = α eα ( α α ) = α α = α = 9

22 και g (α) > α eα α eα > α eα ( α α ) > α α > α< άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ). Παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη ϑέση α = μετιμήg() =. Οπότε το ελάχιστο της f παίρνει την μέγιστη τιμή του για α =. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Περικλής Παντούλας) Εστω f (x) = x + (3 α)x (α + 5), x,α R. Για ποια τιμή του α το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της f είναι ελάχιστο; 8&t 955&start 6 Λύση (Δημήτριος Κατσίποδας) Αρχικά πρέπει η δευτεροβάθμια να έχει δύο ρίζες, οπότε Δ > (3 α) + 4(α + 5) > 9 6α + α + 4α + > α α + 9 >. Επειδή Δ = < άρα για κάθε α R η f έ- χει δύο ρίζες. Εστω x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας. Εχουμε ότι: S = α 3καιP = (α + 5) οπότε x + x = (x + x ) x x = S P = (α 3) + (α + 5) = α 4α + 9. Θεωρούμε την συνάρτηση g(α) = α 4α+9 με α R. Η g είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγισίμων συναρτήσεων με g (α) = α 4μεα R. Εχουμε και g (α) = α 4 = α = g (α) > α 4 > α>. Οπότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για α = μετιμήg(α) = 5.

23 Επιμελητής: Κώστας Τηλέγραφος ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Σάκης) Εστω οι z, z, z 3, z 4 που ανήκουν στο C, ώστεz, z διάφοροι του και z z να ανήκει στο C \ R. Εστω ότι οι z + z 3 + z 4, z + z 3 + z 4 z z είναι πραγματικοί. Δείξτε ότι z + z + z 3 + z 4 =. 5&t 939 και z + z 3 + z 4 R z + z 3 + z 4 + R z z z + z + z 3 + z 4 z R z z + z + z 3 + z 4 R Λύση (Αλέξανδρος Συγκελάκης) Ας υποθέσουμε ότι z + z + z 3 + z 4. Αφού z + z 3 + z 4 R άρα z + z 3 + z 4 z + = z + z + z 3 + z 4 z R. () Ομοια αφού z + z 3 + z 4 z z R άρα z + z 3 + z 4 z + = z + z + z 3 + z 4 z R. () Από τις (), () παίρνουμε Άρα z + z + z 3 + z 4 =. z +z +z 3 +z 4 z z +z +z 3 +z 4 = z z z Λύση (Χρήστος Λαζαρίδης) Θέτουμε R, άτοπο. w = z + z + z 3 + z 4. Τότε z + z 3 + z 4 = w z = w w και R z z z z w R. Αντίστοιχα w R. Εστω w. Τότε z z w/z = z R, άτοπο, άρα w =. w/z z Λύση 3 (Μάκης Χατζόπουλος) Από τα δεδομένα έ- χουμε z C \ R z = α + βi,β z z z = (α + β i) z,α,β R,β. () Εστω ότι z + z + z 3 + z 4. Τότε z + z 3 + z 4 R z + z 3 + z 4 + R z z z + z + z 3 + z 4 z R z z + z + z 3 + z 4 R () οπότε, ( ) z z + R z + z + z 3 + z 4 z + z + z 3 + z 4 z + z R z + z + z 3 + z 4 () (α + β i) z + z R z + z + z 3 + z 4 () z ( + α + β i) R z + z + z 3 + z 4 z ( + α + β i) R z + z + z 3 + z 4 z δηλαδή β = πουείναιάτοπο,αφού z + z + z 3 + z 4 ο κάθε παράγοντας είναι μη μηδενικός, άρα z +z +z 3 + z 4 =. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Κ77) Οι διανυσματικές ακτίνες των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών z, w σχηματίζουν γωνία 6. Να δείξετε ότι z + w 3 z w. 5&t 9645 Λύση (Θάνος Μάγκος) Επειδή το τρίγωνο OAB (A, B οι εικόνες των μιγαδικών και O η αρχή) έχει ÂOB = 6 είναι από τον νόμο των συνημιτόνων z w = z + w z w. () Επίσης, είναι, ως γνωστόν, z+w + z w = ( z + w ), οπότε, λόγω της () λαμβάνουμε z + w = z + w + z w. ()

24 Τότε βλέπουμε ότι η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται, με χρήση των (),() ( z w ), το οποίο ισχύει. Λύση (Γιώργος Κ77) Εστω A, B οι εικόνες των z, z, αντίστοιχα και M το μέσο του τμήματος AB Τότε: z + w 3 z w OM 3 AB 4 OM 3 AB. () Από πρώτο ϑεώρημα διαμέσων η () γίνεται OA + OB AB 3 AB AB OA + OB. () Τελικά, χρησιμοποιώντας το νόμο των συνημιτόνων η () ( ) γίνεται: OA + OB OA OB OA + OB ( OA ) OB, που ισχύει.

25 Επιμελητής: Μίλτος Παπαγρηγοράκης ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Αν ησυνάρτηση f είναι συνεχής και ισχύει f ( f (x)) = x γιακάθεx R, να δείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιος ώστε f (ξ) = ξ. 5&t 34 Λύση (Γιώργος Μανεάδης) Εστω ότι δεν υπάρχει ο ζητούμενος ξ R. Τότεηg (x) = f (x) x δεν έχει ρίζες στο R και είναι συνεχής, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Επομένως είναι g (x) > γιακάθεx στο R () ή g (x) < γιακάθεx στο R () Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f είναι στο R, οπότε υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f. Στην f ( f (x)) = x, ϑέτω όπου x το f (x), οπότε f (x) = f (x) για κάθε πραγματικό αριθμό x. Ανισχύει η () τότε f (x) > x, ϑέτω όπου x το f (x), οπότε x > f (x) x > f (x) άτοπο (όμοια αν ισχύει η () προκύπτει άτοπο). Τελικά υπάρχει ξ R ώστε f (ξ) = ξ. Λύση (Μίλτος Παπαγρηγοράκης) Αν f () = τότεξ =. Αν f () (υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι f () > ) τότε στο διάστημα [, f () ] ησυνάρτηση h (x) = f (x) x είναι συνεχής με h () = f () > και h ( f ()) = f ( f ()) f () = f () <. Επομένως σύμφωνα με ϑ. Bolzano υπάρχει ξ (, f ()) ώστε h (ξ) = f (ξ) = ξ. Λύση 3 (Ανδρέας Πούλος) Αν f (x ) = f (x ) τότε f ( f (x ) = f ( f (x ), δηλαδή x = x. Τώρα, αφού η συνάρτηση είναι καισυνεχήςστοr, τότεϑαείναι γνησίως μονότονη. Εστω ότι είναι γνησίως αύξουσα. Αν δεν υπάρχει κάποιο x o ώστε να ισχύει f (x o ) = x o, τότε ϑα έχουμε f (x o ) > x o ή f (x o ) < x o. Εστω ότι ισχύει το πρώτο. Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ϑα ισχύει και f ( f (x o )) > f (x o ) ή x o > f (x o ), άτοπο. Με όμοιο τρόπο εργαζόμαστε και για τη δεύτερη υποπερίπτωση και στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Είναι απαραίτητο να τονίσουμε ότι, επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο R και το σύνολο τιμών είναι τοr, μπορούμε να βρούμε για κάθε x ένα και μόνο f (a), το οποίο να είναι οσοδήποτε μεγάλο ή μικρό. Λύση 4 (Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Εστω g(x) = f (x) x, x R. Ανf () =, τότε το ζητούμενο ξ είναι το μηδέν. Αν f () = α, χωρίς βλάβη της γενικότητας ϑεωρούμε α>. Τότε: f (α) = f ( f ()) =. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [,α] ως διαφορά των συνεχών συναρτήσεων f (υπόθεση) και x (πολυωνυμική), με g (α) = f (α) α = α <, g () = f () = α, δηλαδή, g(α) g() και η = (g(α), g()), οπότε από το ϑεώρημα των ενδιαμέσων τιμών υπάρχει ξ (,α) τέτοιο ώστε g (ξ) = η = f (ξ) = ξ. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Chris) Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη και συνεχής στο R με f (x), x R. Αν ισχύει: f (8) =, f (9) = f ( f (x)) f ( f (x) + 3) και =, x R τότε: f ( f (x) + ) f ( f (x) + ) Α) Να δείξετε οτι f () f (3) = f (4) f (5). Β) Να δείξετε οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα ρ [, 3] τέτοιο ώστε: f (ρ) = f () f (3). Γ) Δείξτε οτι η f δεν είναι. Δ) Αν η f είναι γνησίως αυξουσα στο [8, 9] και x, x [8, 9], να δείξετε οτι υπάρχει ένα μοναδικό x [8, 9] τέτοιο ώστε: 3 f (x ) = f (x ) + f (x ). 5&t 8 Λύση (Θάνος Μάγκος) Καταρχάς, λόγω συνέχειας και επειδή f (x), f (8) >, είναι f (x) > παντού. Για το ο ερώτημα: Από το ϑεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει q (8, 9) ώστε f (q) =. Θέτουμε τότε 3

26 στη δοθείσα x = q και προκύπτει η ζητούμενη. Για το ο ερώτημα: Αν f () = f (3) τότε r = ήr = 3. Ας είναι λοιπόν, f () f (3). Ας είναι π.χ. f () > f (3). Τότε f () > f () f (3) > f (3) (εύκολο). Οπότε πάλι, από το ϑεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ρ (, 3) ώστε f (ρ) = f () f (3). Για το 3ο ερώτημα: Αν ήταν -, ως συνεχής ϑα ήταν γνησίως μονότονη. Ομως από το ) έχουμε f () f (4) = f (5) f (3), άτοπο. Αν f γνησίως αύξουσα, το αριστερό μέλος <, ενώ το δεξί >. Ομοίως η γνησίως φθίνουσα. Γιατο4οερώτημα: Λόγω της μονοτονίας και επειδή x, x [8, 9], έ- χουμε = f (8) f (x ) f (9) =, = f (8) f (x ) f (9) =, άρα f (x ) + f (x ), και το συμπέρασμα 3 προκύπτει πάλι από το ϑεώρημα ενδιάμεσων τιμών, σε συνδυασμό με τη μονοτονία της f. (η περίπτωση της ισότητας είναι απλή.) Λύση (Chris) Για το 3ο Ερώτημα Απο το Β) ερώτημα έχουμε: f (ρ) = f () f (3), ρ [, 3]. Ομοίως: f (k) = f (4) f (5), k [4, 5] Άρα λόγω του Α) είναι f (k) = f (ρ) f (k) = f (ρ) [ f (x) > ],γιακάθεx R. Επειδή k ρ αφού ρ [, 3] και k [4, 5] έπεται η f δεν είναι. 4

27 Επιμελητής: Ροδόλφος Μπόρης ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφύδης) Εστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα f (x), x R. Νααποδείξετεότι: f (x + f (x)) f (x), x R. 53&t 86 Λύση (Μάνος Μανουράς) Αν το x είναι τέτοιο ώστε f (x) = τότε η ανισότητα κρατάει ως ισότητα! Σταθεροποιούμε ένα x (εάν υπάρχει) ώστε να είναι f (x) < και από ΘΜΤ στο [x + f (x), x] είναι f (x) f (x + f (x)) = f (c) f (x) για κάποιο c ωστε x + f (x) < c < x και f (c) f (x) <. άρα f (x) f (x + f (x)) = f (c) f (x) < πουείναιτοζητούμενο. Σταθεροποιούμε επίσης ένα x (εάν υπάρχει) ώστε να είναι f (x) > και από ΘΜΤ στο [x, x + f (x)] και ομοίως έπεται το ζητούμενο. Λύση (Χρήστος Κυριαζής) Μη σχολική λύση : Αρχικά λόγω της σχέσης που δίνεται η συνάρτηση είναι κυρτή. Επομένως η πρώτη παράγωγος είναι αύξουσα. Ας πάμε με απαγωγή σε άτοπο. Εστω πως υπάρχει x R ώστε f (x + f (x )) < f (x ) Αποκλείεται f (x ) = γιαλόγουςπροφανείς. Εστω f (x ) >. Τότε μπορώ να εφαρμόσω Θ.Μ.Τ στο [x, x + f (x )] Επομένως: f (ξ) = f (x + f (x )) f (x ) f <, (x ) ξ ( x, x + f (x ) ) Ομως: ξ>x f (ξ) f (x ) > Αντίφαση. Αν τώρα f (x ) < ϑαεργαστώστο[x + f (x ), x ]. Τότε f (ξ) = f (x ) f (x + f (x )) f >. (x ) Ομως ξ<x f (ξ) f (x ) < Αντίφαση. Επομένως f (x + f (x)) f (x), x R. Λύση 3 (Ροδόλφος Μπόρης) Μια ακόμη ιδέα είναι να πάμε με μονοτονία. Η f είναι αύξουσα άρα έχει όριο στο έστω ίσο με Α.. Αν A τότε f (x), x R άρα f και x + f (x) x f (x + f (x)) f (x).. (αʹ) Αν A < και υπάρχει a : f (a) = τότε f στο(, a] οπότε f και x + f (x) x, f (x + f (x) f (x), x (, a] για x [a, + ), f (x) f (a) = και όπως στην προκύπτει το ζητούμενο. (βʹ) Αν A < και δεν υπάρχει a : f (a ) = τότε f (x) <, x R, οπότεόπωςστην(α) προκύπτει πάλι το ζητούμενο. Ετσισεκάθεπερίπτωσηισχύει f (x+ f (x)) f (x). ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Pla.pa.s) Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R ισχύει f (x) ( ln( f (x) + x ) + x 4) = ( f (x) ημ( f (x) + x ) ) f για κάθε x R. (x) Να βρεθεί η παράγωγος της. 53&t 9535 Λύση (Pla.pa.s) Η αρχική σχέση ισοδυναμεί με την f (x)( ln( f (x) + x ) + x 4 ημ( f (x) + x ) + f (x) = ), x R. Επειδήλόγωτηςυπόθεσηςείναι f (x), x > ϑαείναι ln( f (x) + x ) + x 4 ημ( f (x) + x ) + f (x) > ln f (x) + f (x) () 5

28 Θέτουμε τη συνάρτηση g(u) = ln u + u μεπεδίοορισμού D g = (, + ). Τη παραγωγίζουμε και βρίσκουμε ότι g (u) = u κι οπότε η g είναι αρνητική στο (, ), ϑετικήστο(, + ) ενώ μηδενίζεται για u = όπουηg παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με g() =. Επομένως ϑέτοντας u = f (x) έχουμε u ln f (x) + f (x) (). Άρα από τις () και () έχουμε ότι ln( f (x) + x ) + x 4 ημ( f (x) + x ) + f (x) >, x R. Επομένως για να ισχύει η αρχική ϑα πρέπει f (x) =, x R. Συνεπώς f (x) =. 6

29 Επιμελητής: Αναστάσιος Κοτρώνης ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνουν οι Σωτήρης Λουρίδας - Μυρτώ Λιάπη ) Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R που ικανοποιούν τη σχέση ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνουν οι Μίλτος Παπαγρηγοράκης - Κώστας Καπένης) Εστω συνάρτηση f :[, + ) R συνεχής για την οποία ισχύει x x 3 f (t)dt f (t)dt = x + x + x R. x f (t)dt < f (x), Να αποδείξετε ότι f (x) >, x [, + ). x [, + ). 54&t 99 Λύση (Αλέξανδρος Συγκελάκης) Οι συναρτήσεις σ- τα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες άρα παραγωγίζοντας παίρνουμε 3 f (x) + f ( x) = 4x + γιακάθεx R. Θέτουμε όπου x το x στην τελευταία και έτσι 3 f ( x) + f (x) = 4x +, οπότε λύνοντας το σύστημα παίρνουμε τελικά f (x) = x + συνάρτηση που δυστυχώς δεν επαληθεύει την αρχική άρα δεν υπάρχει συνάρτηση με τις ζητούμενες ιδιότητες. Το ϑέμα αυτό κάνει φανερό ότι σε τέτοιου τύπου ασκήσειςείναιαπαραίτητηηεπαλήθευση. 54&t 55 Λύση (Βαγγέλης Μουρούκος) Θέτουμε x g (x) = e x f (t)dt Είναι g (x) = e x [ f (x) x x [, + ) ] f (t)dt > για κάθε x [, + ), άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). Επομένως, για x > είναι g (x) > g() =, οπότε x f (t)dt >, άρα και f (x) >. Τέλος, από τη δοσμένη σχέση προκύπτει άμεσα ότι f () >, οπότε τελικά είναι f (x) > γιακάθεx [, + ). 7

30 Επιμελητής: Σπύρος Καρδαμίτσης ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο BAGGP93) Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [, + ) R για την οποία ισχύει f () = και f (x) 6x για κάθε x [, + ). Ισχύει επίσης ότι 6x 3 [ f (x) f (x) 6 ] = f 6 (x) 8xf 4 (x) + 8 [ xf(x) ], για κάθε x [, + ). i) Να δείξετε ότι f (x) 6x = ii) Να υπολογίσετε την παράσταση e x + με x [, + ). [ f 4 (x) xf (x) ] dx + 7 e 3 Λύση (Βασίλης Κακαβάς) x i) Αν g(x) = f (x) 6x από υπόθεση έχουμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο [, + ) άρα και συνεχής και ισχύει g() = f () =. Αφού g(x), x [, + ) η δοθείσα ισότητα γίνεται g (x) = g 3 (x) και αφού g(x) ισχύει g (x) g 3 (x) = ή ( g (x) ) = (x), x [, + ) οπότε έχουμε ότι = x + c, x [, + ). g (x) Για x = προκύπτειc = άρα x + = g (x) άρα g(x) = tdt g (x) = x + ή x +, x [, + ). Επειδή g(x), x [, + ) και συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [, + ) και επειδή g() = > ϑα είναι g(x) > επομένως g(x) =, x [, + ) ή f (x) 6x = x + x +, x [, + ). ii) Είναι e και ( f (x) x)dx = e και ακόμη άρα είναι = = g (x)dx = e e e e x e = e e (g (x) 36x )dx g (x)dx e dx = [ln(x + )]e x + e [ tdt dx = = e t ] x x dx ( f 4 (x) xf (x) ) dx + 7 g (x)dx e g (x)dx = e 36x dx + e dx e x 36x dx 36x dx tdt dx dx = [ln(x + )]e. x + ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Χρήστος Κυριαζής) Εστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο διάστημα [a, b], ώστε να ισχυουν οι παρακάτω:. f (x) = f (x), x [a, b]. f (x) > f (x), x [a, b] 3. f (b) f (b) = f (a) f (a). Να δείξετε ότι: b a f (x) f (x) f (x) dx = (b a). 8

31 Λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης) Αν τότε I J = b a ενώ I + J = b a f (x) + f (x) f (x) f (x) dx = I = J = b a b a f (x) f (x) f (x) dxκαι f (x) f (x) f (x) dx b a f (x) f (x) f (x) f (x) dx = [ ln( f (x)) f (x) ] b a =. Άρα I = b a οπότε έχουμε το ζητούμενο. 9

32 Επιμελητής: Βασίλης Μαυροφρύδης ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Εστω η συνεχής συνάρτηση f :[, ] R που είναι τέτοια ώστε να ισχύει f (x) f + ( x ) ( x ) 4 f = x για κάθε 4 x [, ]. Να βρείτε τον τύπο της f Λύση (Ροδόλφος Μπόρης) Θέτω g(x) = f (x) ( x f η δοσμένη σχέση γίνεται g(x) ( x ) g = x ( x ) g(x) n n g = x ( n g x ) ( x ) n n n g n = x 4 n Δίνω τιμες n =,,..., n στο n, προσθέτω τις σχέσεις, παίρνω όρια όταν n + και προκύπτει g(x) = x /4 = 8x 3 άρα ( f x ) ( x ) n n n f n = (8x/3) 4. n Επαναλαμβάνοντας τα ίδια παίρνουμε f (x) = (8x/3)(4/3) = 3 9 x, λύση που επαληθεύει τις προϋποθέσεις του προβλήματος. Λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης) Θέτουμε g(x) = f (x) 3 9 x. ( x Τότε g(x) = g ) ( x ) 4 g. 4 ) ). Τότε h(x) = Θέτουμε κατόπιν h(x) = g(x) ( x ( g x ) h. Τα παραπάνω ισχύουν για κάθε x στο [, ]. Αν M η μέγιστη τιμή της h στο [, ] τότε h(x) M. Άρα M M οπότε M =. Επομένως h(x) = για κάθε x στο [, ]. Άρα g(x) = ( x ) g οπότε ομοίως g(x) = γιακάθε x στο [, ]. Επομένως f (x) = 3 x για κάθε x στο [, ], 9 λύση που επαληθεύει τις προϋποθέσεις του προβλήματος. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Εστω οι συναρτήσεις: f : R + R παραγωγίσιμη και g : R R αύξουσα, για τις οποίες ισχύει: f () = g() = και f (x) + g( f (x)) =, x. Να δειχθεί ότι: f (x) =, x Λύση (Γιώργος Ροδόπουλος) f (x) + g( f (x)) = για κάθε x (). Εστω α πραγματικός με α >. Η f είναι συνεχής στο [,α], άρα έχει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. Αν η f παρουσιάζει ένα από τα δύο ολικά ακρότατα σε εσωτερικό σημείο του διαστήματος [,α] διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: i) Εστω ότι η f παρουσιάζει μέγιστο στο k (, a). Από το ϑεώρημα του Fermat ϑα είναι f (k) = () g( f (k)) = () Επίσης για κάθε x [, a] έχουμε: f (x) f (k) g g( f (x)) g( f (k)) () g( f (x)) (3) f () (x) f (x) Δηλαδή η f είναι αύξουσα στο [,α] οπότε για κάθε x [, a] ϑα ισχύει f () f (x) g g() g( f (x)) g( f (x)) (4). Τώρα απο τις (3), (4) προκύπτει ότι για κάθε x [, a] ισχύει g( f (x)) = καιλόγωτης() f (x) =. Άρα η f είναι σταθερή στο [,α] και επειδή f() = ϑαείναικαιf(α) =. 3

33 ii) Εστω ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο k (, a). Η περίπτωση αυτή εξετάζεται ομοίως. Αν η f παρουσιάζει και τα δύο ολικά ακρότατα στα άκρα του διαστήματος διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: (i) Εστω ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο και μέγιστο στο α. Τότε δείχνουμε όπως στην πρώτη λύση μου ότι g( f (a)). Για κάθε x [, a] έχουμε: f () f (x) f (a) g g() g( f (x)) g( f (a)) g( f (x)) g( f (a)) g( f (x)) = () f (x) = και όπως προηγουμένως βρίσκουμε f(α) =. (ii) Ομοια και για την περίπτωση που η f παρουσιάζει μέγιστο στο και ελάχιστο στο α. Επομένως σε κάθε περίπτωση ϑα είναι f(α) = καιέτσι f (x) = γιακάθεx. Λύση (Νίκος Ζανταρίδης) Επειδή η g είναι αύξουσα στο R ϑα ισχύει: f (x)g( f (x)), x (εύκολο). Ετσι για κάθε x έχουμε: () [ f (x) + g( f (x)) ] f (x) = f (x) f (x) + f (x)g( f (x)) = f (x) f (x) = f (x)g( f (x)) ( f (x) ) άρα η f είναι φθίνουσα στο [, + ) οπότε για κάθε x ισχύει: f (x) f () f (x) f (x) = επομένως είναι: f (x) =, x, που ικανοποιεί την υπόθεση. 3

34 Επιμελητής: Σπύρος Καπελλίδης ΑΣΚΗΣΗ 33 (Προτείνει ο Αναστάσιος Κοτρώνης) Βρείτε το lim x + x ln x x (ln x) x + x Λύση (Μιχάλης Λάμπρου ) Αφού για x > e έχουμε ln x > >, ισχύει x ln x x >. Άρα < x ln x x (ln x) x + x x ln x (ln x) x + x x ln x (ln x) x ( ). Για x e e είναι ln x e οπότε το τελευταίο κλάσμα ln x x στην ( ) είναι < e x. Θα δείξουμε τώρα ότι το δεξί μέλος τείνει στο κα- ϑώς x +. Παίρνοντας λογάριθμο του δεξιού μέλους, αρκεί να δείξουμε ότι (ln x) x. Αλλά αυτό είναι απλό (υπάρχουν πολλοί τρόποι, π.χ. αφού πρώτα δείξουμε με l Hospital ότι (ln x) x. x ΑΣΚΗΣΗ 34 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : R R για τις οποίες f () = και f (x + y) f (x) + f (y), x, y R Λύση (Θάνος Μάγκος) Σταθεροποιούμε το y και ϑεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f (x + y) f (x). Η g είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει g(x) f (y) = g(), για κάθε x. Δηλαδή, η g παρουσιάζει στο ολικό μέγιστο. Τότε, από το ϑεώρημα Fermat, ισχύει g () =. Είναι g (x) = f (x+y)(x+y) f (x) = f (x+y) f (x), άρα f (y) = f (). Η σχέση αυτή ισχύει για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό y. Επομένως, έχουμε f (y) = yf (), αφού f () =. 3

35 Άλγεβρα, Θεωρία Γεωμετρία Αριθμών, Συνδυαστική Επιμελητής: Φωτεινή Καλδή ΑΣΚΗΣΗ 35 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης ) Δίνεται η εξίσωση x(x + ) = pq(x y), όπου p, q πρώτοι, διαφορετικοί μεταξύ τους. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες (x, y) N, στις οποίες το y είναι κοινό. Οπως στην περίπτωση () υπάρχει ακριβώς μία λύση της μορφής αυτής. Εχουμε λοιπόν ακριβώς λύσεις: Η μία λύση (ap, a (p b)) με p > b > καιbq ap =. Επιπλέον q > a. Η δεύτερη λύση (mq, m (q k)) με q > k > και kp mq =. Άρα bq ap = kp mq = οπότε (b + m) q = p (a + k). Άρα q/ (a + k). Είναι a + k < q. Άρα a + k = q οπότε b + m = p. Άρα a(p b) = m(q k) Λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης ) Εστω (x, y) στους ϑετικούς ακεραίους ώστε x(x + ) = pq(x y), όπου p, q πρώτοι, διαφορετικοί μεταξύ τους. Τότε οι p, q διαιρούν ο ένας το x και ο άλλος το x +. Πράγματι αν x = apq όπου a ϑετικός ακέραιος τότε a (x + ) = x y οπότε x + a (x + ) = x y < x, άτοπο. Αν x + = apq τότε έχουμε πάλι άτοπο αφού x ax = x y < x. Υπάρχουν επομένως δύο περιπτώσεις. Περίπτωση η: x = ap και x + = bq όπου οι a, b ϑετικοί ακέραιοι. Τότε ab = x y. Επομένως y = a (p b). Άρα p > b > () Ακόμα bq ap = (). Ετσι η επίλυση της αρχικής διοφαντικής εξίσωσης, σε αυτή την περίπτωση, ανάγεται στην εύρεση ϑετικών ακεραίων a, b ώστε να ισχύουν οι (),(). Οι p, q είναι διαφορετικοί πρώτοι, άρα πρώτοι μεταξύ τους. Ε- πομένως υπάρχει ένα ζεύγος (a, b ) ώστε να ισχύει η (). Υπάρχουν άπειρα ζεύγη (a, b) ώστε να ισχύει η () που προκύπτουν από τους τύπους a = a + kq και b = b + kp όπου ο k είναιακέραιος. Γιαναισχύειη () ϑα πρέπει b p > k > b. Υπάρχει ακριβώς ένας p ακέραιος που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση. Περίπτωση η: x + = kp και x = mq όπου οι k, m ϑετικοί ακέραιοι. Τότε km = x y. Επομένως y = m (q k). Άρα q > k > (). ΑΣΚΗΣΗ 36 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : N N ώστε f (x) + y x + f (y) + f (x)y xf(y) (x + y) =, x, y N f (x + y) 86 Λύση (Μιχάλης Λάμπρου) Απάντηση: f (x) = x, x N. Για x = y = n έχουμε f (n) + n n + f (n) + f (n)n nf(n) = 4n f (n), άρα f (n) = n ( ). Εστω f () = a N. Βάζοντας x =, y = παίρνουμε + + a + a = 6 a(3a + 6),οπότε f (3) = = f (3) a + a + a(a + 5) a +. Για να είναι φυσικός το τελευταίο κλάσμα, δεδομένου ότι οι a και a + είναι πρώτοι προς αλλήλους, πρέπει a + a + 5. Ειδικά a + a +, δηλαδή a 4. Με έλεγχο βλέπουμε ότι a = ήa = 4. Το επόμενο βήμα είναι να αποκλείσουμε το a = 4. Πράγματι η x = 4, y = μαζίμετην( ) στην περίπτωση f (4) = 4, δίνει a + 4 4a = 5a(a + 4). Άρα f (5) =, που για a = 4 δεν είναι φυσικός. Τελικά το μόνο υποψήφιο f (5) 3a + είναι το a =. Ειδικά, f () = a =. Θέτοντας x = n, y =, μαζί με την ( ), παίρνουμε n + n + + n (n + ) =,δηλαδή f (n + ) = n +, n f (n + ) που μαζί με την ( ) έχουμε f (m) = m, m, η οποία επαληθεύει την αρχική. Λύση (Αλέξανδρος Συγκελάκης) Για y = x παιρνουμε f (x) = x. 33

36 Για x =, y = επειδη f (3) N παιρνουμε f () = και f (3) = 3ειτε f () = 4και f (3) =. Αν f () > 4τοτε f (3) N. Αν ήταν f () = 4τότεγιαx =, y = βρίσκουμε f (3) = 8 που έρχεται σε αντίθεση με τα προηγούμενα. Άρα f () = και ϑέτοντας x =, y = x τότε βρίσκουμε f (x + ) = x +. Άρα τελικά f (x) = x η οποία επαληθεύει την αρχική. 34

37 Γεωμετρία Επιμελητής: Κώστας Βήττας ΑΣΚΗΣΗ 37 (Προτείνει ο Γιάννης Τσόπελας) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB = AC και έστω τα σημεία K, L μεταξύ των A, B, ώστε να είναι AK = KC και CL διχοτόμος της γωνίας ACK και BK = KL. Να υπολογίσετε τις γωνίες του ABC. &t 438 σημείο K ώστε το D να είναι μέσον του CK. Αποδείξτε ότι (EZHK) = 5(ABCD). &t 7457 Λύση (Ηλίας Καμπελής) Στα τρίγωνα AEZ, ABD ισχύει EAZ + BAD = 8 o Λύση (KARKAR ) Θέτουμε KL = x, AL = y, οπότε KC = x + y και AB = AC = 3x + y. Στο ισοσκελές τρίγωνο KAC, σύμφ ωνα με το Θεώρημα διχοτόμου, έχουμε CK CA = LK LA = x + y 3x + y = x y = 3x + xy = xy + y = y = x 3 Άρα, στο ορθογώνιο τρίγωνο DAK, όπου D είναι το μέσον του AC,ισχύει συνa = AD 3x+x 3 AK = x + x = ( 3 + = = A = 3o και B = C = 75 o ΑΣΚΗΣΗ 38 (Προτείνει ο Πέτρος Ράπτης) Με δοσμένο το κυρτό τετράπλευρο ABCD κατασκευάζουμε έ- να νέο τετράπλευρο ως εξής : Παίρνουμε το σημείο E έτσι ώστε το A να είναι το μέσον του DE. Ομοίως το σημείο Z ώστε το B να είναι μέσον του AZ. Ομοίως το σημείο H ώστε το C να είναι μέσον του BH και τέλος το άρα έχουμε (AEZ) (ABD) = (AZ)(AE) (AB)(AD) = (AB)(AD) (AB)(AD) = = (AEZ) = (ABD) () Επίσης, στα τρίγωνα CHK, CBD ισχύει HCK + BCD = 8 o και άρα έχουμε (CHK) (CBD) = (CK)(CH) (CB)(CD) = (CD)(CB) (CB)(CD) = = (CHK) = (CBD) () Από (), () = (AEZ) + (CKH) = (ABD) + (CBD) = (ABCD) (3) Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι 35

38 (BZH) + (DEK) = (BAC) + (DAC) = (ABCD) (4) Από (3), (4) = (EZHK) = (AEZ) + (CHK) + (BZH) + (DEK) + (ABCD) = 5(ABCD). 36

39 Άλγεβρα, Θεωρία Αριθμών, Συνδυαστική Επιμελητής: Αχιλλέας Συνεφακόπουλος ΑΣΚΗΣΗ 39 (Προτείνει ο Δημήτρης Χριστοφίδης) Κάποια κελιά ενός πίνακα έχουν μολυνθεί από μια ασθένεια. Η ασθένεια επεκτείνεται και στα υπόλοιπα κελιάμε βάση τον ακόλουθο κανόνα: Για κάθε τέσσερα γειτονικάκελιάπου σχηματίζουν ένα υποπίνακα, αν τα τρία είναι μολυσμένα, τότε μολύνεται και το τέταρτο. Να υπολογιστεί ο ελάχιστος αριθμός μολυσμένων κελιών ώστε να μπορούν να μολύνουν με βάση τον πιο πάνω κανόνα όλα τα υπόλοιπα κελιά. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Να βρείτε τους μη μηδενικούς πραγματικούς x, x,...,x n για τους οποίους ισχύει x + x = x + x 3 = = x n + x n = x n + x = &t 48 &t 699 Λύση (Γιώργος Βλαχος) Κάθε τετραγωνάκι μπορεί να χρησιμοποιηθεί το πολύ μία φορά για να μολύνει κάποιο κελί. Ο πίνακας έχει τετραγωνάκια, οπότε ϑα χρειαστούμε τουλάχιστον = + = 4 μολυσμένα κελιά αρχικά, αφού στη συνέχεια μπορεί να μολυνθούν το πολύ κελιά. Εύκολα βλέπουμε ότι αν αρχικά η μία διαγώνιος του πίνακα και τα σημεία που βρίσκονται ακριβώς από κάτω της είναι αρχικά μολυσμένα, ο πίνακας τελικά ϑα μολυνθεί ολόκληρος. ΣΧΟΛΙΟ: Το παραπάνω πρόβλημα αποτέλεσε έμπνευση για το πρόβλημα Λύση (Θάνος Μάγκος) Καταρχάς, αποδεικνύουμε, ότι όλα τα x i είναι ϑετικά. Εστω π.χ. x <. Τότε, από την εξίσωση x + x =, προκύπτει < x <, οπότε από την εξίσωση x + = προκύπτειότι x 3 < x 3 < 3 και συνεχίζοντας κατά αυτόν τον τρόπο καταλήγουμε στο ότι x n < n n. Λόγω της τελευταίας εξίσωσης είναι όμωςx n >, οπότε < n n, άτοπο. Άρα είναι x i > για όλα τα i =,,...,n. Τότε, προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις βρίσκουμε δηλαδή, n x i + i= n i= n i= x i = n, ( xi xi ) =, άρα x i = γιακάθεi =,,...,n. 37

40 Γεωμετρία Επιμελητής: Κώστας Βήττας ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Γρηγόρης Κακλαμάνος) Εστω οξυγώνιο ABC. Ο κύκλος με διάμετρο το ύψος BD τέμνει τις πλευρές AB και BC στα σημεία K και L αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες στα σημεία K και L τέμνονται στο σημείο X. Να αποδειχθεί ότι η BX διχοτομεί την AC. &t 9853 Λύση (Σάκης Τσαρέας) Εστω E το σημείο τομής του κύκλου (O) με διάμετρο το AD, από την ευθεία BX. Επειδή οι XK, XL είναι εφαπτόμενες του (O) και η τέμνουσα αυτόν ευθεία BE περνάει από το X, έχουμε ότι το KBLE είναι αρμονικό τετράπλευρο και επομένως η δέσμη D.KBLE, πουσυνδέειτοσημείοd του (O) με τις κορυφές του, είναι αρμονική. Δια του B φέρνουμε την παράλληλη ευθεία BT προς την AC και από BK DK και BT DB και BL DL και BE DE, προκύπτουν ίσες οι γωνίες που σχηματίζονται από τις ομόλογες ευθείες των δεσμών D.KBLE, B.AT LE και άρα, η δέσμη B.AT LE είναι επίσης αρμονική. Επειδή τώρα ισχύει AC BT, συμπεραίνεται ότι MA = MC, όπου M AC BX και το ζητούμενο έ- χει αποδειχθεί. Λύση (Σάκης Τσαρέας) Εστω τα σημεία M AC XK και N AC XL. Οκύκλος(O) με διάμετρο το BD είναι παρεγγεγραμμένος στο τρίγωνο XMN και έστω (I) ο εγγεγραμμένος κύκλος στο ίδιο τρίγωνο ο οποίος εφάπτεται στη AC, στοσημείοέστωf. Είναι γνωστό ότι τα σημεία D, F, είναι συμμετρικά ως προς το μέσον της πλευράς MN του XMN και άρα έχουμε FN = MD, () Θεωρείται επίσης γνωστό ότι οι ευθείες KD, KB, περνάνε από τα σημεία F, F, όπου F είναι το αντιδιαμετρικό του F στον κύκλο (I). Από τα ορθογώνια τρίγωνα KAD, LCD, όπου εύκολα αποδεικνύεται ότι τα M, N είναι αντιστοίχως τα μέσα των AD, CD, έχουμε MA = MK = MD, () και NC = NL = ND, (3) Από (), (), (3) = FC = NF+NC = MD+ND, (4) Από (4) = FC = AD + CD = AC και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Στάθης Κούτρας) Εστω τρίγωνο ABC και (I) ο εγγεγραμμένος κύκλος του. Οι κάθετες ευθείες επί των AI, BI, CI στο σημείο I, τέμνουν τυχούσα εφαπτομένη του (I) σε σημείο του έστω S, στα σημεία M, N, P, αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες AM, BN, CP τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω T. &t 36 Λύση (Παναγιώτης Λώλας) Εστω D, E, F, τα σημεία 38

41 επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου (I) του ABC, στις πλευρές του BC, AC, AB, αντιστοίχως. Η πολική ευθεία του σημείου A ως προς τον κύκλο (I) είναι η ευθεία EF και η πολική ευθεία του σημείου M ως προς τον ίδιο κύκλο, είναι η δια του S κάθετη ευθεία επί την MI, η οποία τέμνει την EF MI στο σημείο έστω Y. Δηλαδή, η προβολή Y του S επί της EF, ως το σημείο τομής των πολικών ευθειών των σημείων A, M ως προς τον κύκλο (I), είναι ο πόλος της ευθείας AM ως προς τον ίδιο κύκλο. Ομοίως, οι προβολές X, Z του S επί των DF, DE αντιστοίχως, είναι οι πόλοι των ευθειών BN, CP αντιστοίχως, ως προς τον (I). Ως γνωστό τα σημεία X, Y, Z, ανήκουνστηνευθεία Simson του σημείου S, ως προς το τρίγωνο DEF. Επειδή τώρα τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά, συμπεραίνεται ότι οι πολικές τους ευθείες AM, BN, CP ως προς τον κύκλο (I), τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω T και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί. 39

42 Επιμελητής: Αλέξανδρος Συγκελάκης ΑΣΚΗΣΗ 43 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της πραγματικής σταθερής M έτσι ώστε ( (a + bc)(b + ac)(c + ab) a + b + ) Mabc c για όλους τους ϑετικούς πραγματικούς αριθμούς a, b, c για τους οποίους a + b + c = Λύση (Θάνος Μάγκος) Θέτουμε στην ανισότητα a = b = c = 64 και προκύπτει M. Για να 3 3 ολοκληρωθεί η απόδειξη, αποδεικνύουμε την ανισότητα για M = Επειδή a + b + c =, είναι a + bc = (a + b)(a + c), b + ca = (b + a)(b + c), c + ab = (c + a)(c + b) και η προς απόδειξη γράφεται σε ομογενή μορφή ως [ ] ( (a + b)(b + c)(c + a) a + b + ) c 64 3 (a + b + c) abc. φ Οπως έχουμε δει και άλλες ορές (π.χ. εδώ, ισχύει (a + b)(b + c)(c + a) 8 (a + b + c)(ab + bc + ca). 9 Επομένως, είναι τελικά αρκετό να αποδείξουμε, ότι (ab + bc + ca) 3 7(abc), η οποία ισχύει από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ. ΑΣΚΗΣΗ 44 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Σ- το επίπεδο δίνονται (α) σημεία. Να δείξετε ότι υπάρχει ευθεία που αφήνει σε κάθε ημιεπίπεδο που ορίζει, ακριβώς 5 από αυτάτα σημεία. (β) σημεία. Να δείξετε ότι υπάρχει κύκλος που περιέχει στο εσωτερικό του ακριβώς 5 από αυτάτα σημεία και τα υπόλοιπα 5 σημεία βρίσκονται στο εξωτερικό του Λύση (Δημήτρης Χριστοφίδης) (α) Κοιτάμε όλες τις ευθείες οι οποίες περιέχουν τουλάχιστον δύο από αυτά τα σημεία. Υπ- άρχει πεπερασμένος αριθμός τέτοιων ευθειών και επομένως μπορούμε να πάρουμε μια ευθεία η οποία δεν είναι παράλληλη με καμία από αυτές. Περιστρέφοντας το επίπεδο μπορούμε χωρίς βλάβη να ϑεωρήσουμε πως αυτή η ευθείαείναιοάξοναςτωνx και άρα ότι κάθε δύο από τα δοσμένα σημεία έχουν διαφορετική τεταγμένη. Εστω ότι έχουν τεταγμένες y < y < < y. Βλέπουμε τώρα ότι η ευθεία y = (y 5 + y 5 )/ έχει την ζητούμενη ιδιότητα. (β) Με παρόμοιο σκεπτικό βρίσκουμε ένα σημείο P σ- το επίπεδο ώστε κάθε δυο από τα δοσμένα σημεία να έχουν διαφορετική απόσταση από αυτό. Αυτό είναι δυνατό αφού το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από δύο από τα δοσμένα σημεία είναι ένωση πεπερασμένου αριθμού ευ- ϑειών (των μεσοκαθέτων των ευθυγράμμων τμημάτων που ενώνουν τα σημεία) και άρα δεν μ- πορούν να καλύπτουν όλο το επίπεδο. ( ) Υποθέτουμε τώρα ότι τα σημεία έχουν αποστάσεις r < r < < r από το P και βλέπουμε ότι ο κύκλος με κέντρο το P και ακτίνα (r 5 + r 5 )/ έχει την ζητούμενη ιδιότητα. ( ) Ο ισχυρισμός ότι πεπερασμένος αριθμός ευθειών δεν μπορεί να καλύπτει το επίπεδο αν και «προφανής» ϑέλει απόδειξη. Γνωρίζω μια όμορφη και σύντομη απόδειξη αλλά σας αφήνω να το σκεφτείτε. Απόδειξη από τον AlexandrosG: Εστω ότι οι ευ- ϑείες είναι ν το πλήθος. Θεωρούμε ένα τυχαίο κύκλο. Είναι γνωστό ότι κύκλος και ευθεία έχουν το πολύ κοινά σημεία. Άρα ο κύκλος έχει με τις ευθείες το πολύ ν κοινά σημεία. Άρα οι ευθείες δεν καλύπτουν το επίπεδο αφού ο κύκλος έχει άπειρα σημεία. 4

43 Επιμελητής: Δημήτρης Χριστοφίδης ΑΣΚΗΣΗ 45 (Προτείνει ο Πέτρος Βαλέττας) Εστω f :[, ] [, ) κοίλη συνάρτηση. Να δειχθεί ότι x f (x) dx f (x) dx Λύση (Νίκος Κολλιόπουλος) Από την υπόθεση, για κά- ϑε a, x, y [, ] έχουμε f (ax + ( a)y) af(x) + ( a) f (y) af(x) και σε αυτήν για y =, a = x παίρνουμε xf(x) f (x ). Αυτό ισχύει για κάθε x [, ] οπότε έχουμε x f (x) dx = = = xf(x)xdx f (x )xdx f (x )d(x ) f (x) dx. ΑΣΚΗΣΗ 46 (Προτείνει ο Δημήτρης Χριστοφίδης) Να εξεταστεί αν υπάρχουν άπειρα πολυώνυμα της μορφής x n με n περιττό τα οποία να έχουν διαιρέτες όλων τωνβαθμώνμικρότερουήίσουτουn στο Z[x]. 59&t 779 Λύση (Ηλίας Ζαδίκ) Υπάρχουν. Ισοδύναμα, αρκεί να δειχθεί ότι για κάθε m n υπάρχουν διαιρέτες d,...,d k του n με φ(d i ) = m. (Το καλούμε f -άθροισμα για ευκολία.) Θα δείξουμε ότι το γινόμενο των πρώτων k πρώτων χωρίς το για κάθε k ικανοποιεί. Πράγματι το 3 είναι εντάξει. Εστω ότι έχουμε το αποτέλεσμα για το γινόμενο p p n. Αν πάρουμε ένα m p p n+, από ευκλείδια διαίρεση έχουμε m = (p n+ )t + r, με < r p n+ p p n. (Αφού το p p n + είναι περιττός με διαιρέτες πρώτους με τα p,...,p n.) Αν t < p p n τότε ϑέτουμε a = t, b = r. Αλλιώς ισχύει r + (t p p n )(p n+ ) = m p p n (p n+ ) p p n. Συνεπώς ισχύει m = (p n+ )p p n + r + (t p p n )(p n+ ) = a(p n+ ) + b, για a = p p n, b = r + (t p p n )(p n+ ). Σε κά- ϑε περίπτωση m = (p n+ )a + b με a, b p p n. Συνεπώς από την επαγωγική υπόθεση τα a, b γράφονται ως f -άθροισμα διαιρετών του p p n και απλά τώρα για να πάρουμε το ζητούμενο προσθέτουμε το p n+ σε αυτούς του a. 4

44 Επιμελητής: Δημήτρης Χριστοφίδης ΑΣΚΗΣΗ 47 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Σε μια ομάδα G υπάρχουν στοιχεία a, b τέτοια ώστε a 3 b = ba και a b = ba 3.Ναδείξετεότιa 5 = e, όπουe είναι το ταυτοτικό στοιχείο της G. &t 79 Λύση (Σιλουανός Μπραζιτικός) Πολλαπλασιάζοντας με τον αντίστροφο τις δύο σχέσεις έχουμε a 3 = ba b και a = ba 3 b. Υψώνοντας την πρώτη στο τετράγωνο και τη δεύτερη στην τρίτη παίρνουμε a 6 = ba 4 b και a 6 = ba 9 b. Από τις τελευταίες δύο έχουμε a 4 = a 9, επομένως a 5 = e που είναι το ζητούμενο. Λύση (Δημήτρης Ιωάννου) Εχουμε Τώρα έχουμε a 3 b = a(a b) = a(ba 3 ) = aba 3 a 3 b = aba 3 ba = aba 3 b = aba. a 3 b = ba a 3 aba = ba a 4 b = ba a(a 4 b) = a(ba) a 5 b = aba a 5 b = b a 5 = e. ΑΣΚΗΣΗ 48 (Προτείνει ο Βαγγέλης Μουρούκος) Εστω H μια αβελιανή ομάδα και C = x ηκυκλική ομάδα τάξης με γεννήτορα x. Θεωρούμε τον ομομορφισμό ομάδων ϕ : C Aut(H) που ορίζεται από τη σχέση ϕ(x)(h) = h για κάθε h H. (Εφόσον η H είναι αβελιανή, η ϕ είναι καλάορισμένη). Θεωρούμε το ημιευ- ϑύ γινόμενο G := H ϕ C.ΝααποδείξετεότιηομάδαG είναι αβελιανή αν και μόνο αν ισχύει h = για κάθε h H. &t 73 Λύση (Ζωή Κρυφού) Για το αντίστροφο, h = h H = h = h h H = ϕ(x) = H = H ϕ C = H H C = H C. Επομένως η G είναι αβελιανή ως ευθύ γινόμενο α- βελιανών. Για το ευθύ, αφού η G είναι αβελιανή, έχουμε (h, )(, x) = (, x)(h, ) h H = (h ϕ()(), x) = ( ϕ(x)(h), x ) h H = (h, x) = (h, x) h H = h = h h H = h = h H. 4

45 Επιμελητής: Γρηγόρης Κωστάκος ΑΣΚΗΣΗ 49 (Αναστάσιος Κοτρώνης) Η x n ορίζεται αναδρομικάγια κάποια x, x από τον τύπο x n = Βρείτε το (n ) c + (n ) c x n + + (n ) c x n,όπουc >. lim n + x n. 9&t 954 Λύση (Σεραφείμ Τσιπέλης) Αν x = x τότε x = c + c x + + c x = x, x 3 = c + c x + + c x = x κ.λ.π. οπότε x n = x και τελικά lim x n = x (τετριμμένη περίπτωση). n Θεωρούμε x x.τότε + (n )c x n = x n + + (n )c + (n )c x n = x n + (n )c (x n x n ) x n x n = + (n )c (x n x n ). Θέτουμε y n = x n x n,τότε y n = + (n )c y n με y = x x = A. Για την ακολουθία {y n } n=,,3.. έχουμε y = + c A, y 3 = + c y = επαγωγικά y n = Άρα x n = x n + x n + a n A,όπουa n = ( + c)( + c) A και ( ) n ( + c)( + c)...( + (n ) c) A. ( ) n ( + c)( + c).. ( + (n ) c) A = ( ) n ( + c)( + c).. ( + (n ) c). Ομως x n = x n + a n A n n n x k = x k + A x n = x + A k= k= k= n x n = x + a k x k= a k n k= a k n k= a k Τότε lim x n = x n + a k x a k. k= k= Μένει συνεπώς να υπολογιστεί η σειρά S = + c ( + c)( + c) + ( + c)( + c)( + 3c)... η οποία φανερά συγκλίνει (εναλλάσσουσα-μηδενική). Ορίζουμε την συνάρτηση S (x) = x + c x ( + c)( + c) x 3 + ( + c)( + c)( + 3c)... που για x [, ] συγκλίνει ομοιόμορφα. Τότε S = S () και cs (x) = c + c xc +... και ( + c)( + c) S (x) x S (x) x = + c x ( + c)( + c) +...,οπότε + cs (x) = + c x ( + c)( + c) +...= x ( + c) + x ( + c)( + c)... S (x) x + cs (x) = S (x). Αρα S (x) + cs (x) = S (x) ( x + ) S (x) + S (x) = c x c. Πολλαπλασιάζουμε με e x/c x /c, οπότε έχουμε e x/c x /c S (x) + ( + ) e x/c x /c S (x) = c x c ex/c x /c ( e x/c x /c S (x) ) = c ex/c x /c ( e x/c x /c S (x) ) dx = e x/c x /c dx c 43

46 e /c S () = c S = c e /c και τελικά e x/c x /c dx e x/c x /c dx lim n x n = x ( + S ) x S. ΑΣΚΗΣΗ 5 (Σπύρος Καπελλίδης) Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f : R R με f (x) f (y) d(x, y),γιαόλαταx, y R, όπου d είναι η Ευκλείδεια απόσταση στον R. 9&t 799 Λύση (Πέτρος Βαλέττας) Θεωρούμε τα σύνολα E m = {x R : f (x) m} για m =,,... Τότε, από το ϑεώρημα του Baire υπάρχει m N ώστε int(e m ). Επεκτείνουμε την f στο E m σε μια F διατηρώντας την επεκτατική ιδιότητα: F(x) F(y) x y για κάθε x, y E m. (Π.χ. αν x E m \ E m τότε υπάρχει ακολουθία (zn x) E m ώστε zn x x. Επιπλέον, f (zx n ) m κι από Bolzano- Weierstrass περνώντας σε μια υπακολουθία μπορούμε να υποθέσουμε ότι η ( f (zn)) x συγκλίνει σε ένα z x [ m, m]. ΟρίζουμεF(x) = z x = lim n f (zn).) x Τώρα έχουμε την F : E m [ m, m] ώστε F(x) F(y) x y. Εφόσον, int(e m ) το E m περιέχει ένα τετράγωνο, ας πούμε το T = [a, b] [a, b]. ΕστωN N. Διαμερίζουμε το [ m, m] σε N ισομήκη διαστήματα πλάτους m/n. Επίσης, διαμερίζουμε το T σε N ίσα τετράγωνα, τα οποία ορίζουν (N + ) σημεία (τις κορυφές τους). Από την αρχή του περιστερεώνα υπάρχουν δυο κορυφές - έστω x, y -ώστε F(x) F(y) m. Από την άλλη μεριά N x y b a N.ΑυτόδίνειαντίφασηγιαμεγάλαN N. Λύση (Πέτρος Βαλέττας) Άλλη μια ιδέα, η οποία στηρίζεται στην έννοια του μέτρου: Γράφουμε E = f (R ) και g : E R για την αντίστροφη της f, η οποία είναι -, επί και -Lipschitz. Θεωρούμε την s n = + / /n και ϑέτουμε E n = E (, s n ). Τέλος, ϑεωρούμε την ακολουθία A = E και A n = E n \ E n για n και παρόμοια En = E ( s n, ) και A n = E n \ E n. Τότε, τα A n, A n είναι ξένα ανά δύο και n= (A n A n) = E. Επιπλέον, έχουμε diam(g(a k )), diam(g(a k )) k, άρα κά- ϑε g(a k ), g(a k ) περιέχεται σε μια μπάλα B k, B k αντίστοιχα, ακτίνας /k. Αν συμβολίσουμε με m το εξωτερικό μέτρο Lebesgue στον R, τότε παίρνουμε: m (g(e)) k= m (g(a k)) + m (g(a k )) k= m (B k) = k= π k < +, κι έχουμε αντίφαση, αφού m (g(e)) = m (R ) =. 44

47 Επιμελητής: Δημήτρης Σκουτέρης ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει η Φωτεινή Καλδή) Να βρείτε όλα τα σύνολα X P(Ω) για τα οποία ισχύει: (B C) X = (B X) (C X) όπου B, C δύο δοθέντα σύνολα (υποσύνολα του Ω) Λύση (Δημήτρης Χριστοφίδης) Αν x X τότε και x (B C) X x (B X) (C X) Επομένωςημόνηπιθανήλύσηείναιη η οποία επαληθεύει. X = ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει η Φωτεινή Καλδή) Να βρείτε όλα τα σύνολα X P(Ω) για τα οποία ισχύει: όπου A, B δύο δοθέντα σύνολα (υποσύνολα του Ω) Λύση (Δημήτρης Χριστοφίδης) Αν x A B, τότε και άρα x (A \ X) \ B x A \ (X \ B) Επειδή όμως x A, πρέπει επίσης και x X \ B. Αυτό όμως είναι άτοπο αφού επιπλέον x B. Άρα πρέπει A B =. Σε αυτήν όμως την περίπτωση, οποιοδήποτε X και να πάρουμε έχουμε A \ (X \ B) = A \ X = (A \ X) \ B A (X B) = (A X) B 45

48 Επιμελητής: Νίκος Κατσίπης ΑΣΚΗΣΗ 53 (Προτείνει ο Γιώργος Κοτζαγιαννίδης) Να δείξετε ότι για κάθε ν N ισχύει n+3 6n &t 964 Λύση (Θάνος Μάγκος) Είναι 3 3n+3 6n 7 = 7(7 n ) 6n = 7(7 )(7 n + 7 n ) 6n = 6(7 n + 7 n n). Το ζητούμενο έπεται άμεσα, αφού η παρένθεση είναι διαιρετή με το 6. Πράγματι, 7 n + 7 n n = (7 n ) + (7 n )+ + (7 ) (mod 6). Μάλιστα αποδείξαμε, ότι 6 3 3n+3 6n 7. f (x) = (n + )x n (n + ). Είναι f () = και f () =. Επομένως, το είναι τουλάχιστον διπλή ρίζα του f (x). Άρα, υπάρχει πολυώνυμο g(x) ώστε f (x) = x g(x) (3) Ομως, είναι f (6) = 7 n+ 6(n + ) και το ζητούμενο έπεται από την (3). Λύση 4 (Φωτεινή Καλδή) Με επαγωγή. Για n =, n = ηπρότασηισχύει. Εστω ότι ισχύει για τυχαίο n N,δηλαδή 3 3n+3 6n 7 = πολ69. Θα δείξουμε ότι ισχύει και για τον αμέσως επόμενο, δηλαδή Εχουμε 3 3n+6 6(n + ) 7 = πολ69. Λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης) Παρατηρούμε ότι 3 3n+3 6n 7 = 7(7 n ) 6n = 3(7 n ) + 7 n 6n. Είναι αρκετό να δείξουμε ότι ο 7 n 6n είναι πολλαπλάσιο του 69. Είναι 7 n 6n = 6(7 n + 7 n n) = 3 [(7 n ) + (7 n )+ + (7 )]. Κάθε προσθετέος μέσα στην αγκύλη είναι πολλαπλάσιο του 6, άρα και του 3. Λύση 3 (Μάγκος Θάνος) ϑεωρούμε το πολυώνυμο f (x) = (x + ) n+ (n + )x με 3 3n+6 6(n + ) 7 = 7 3 3n+3 6n 53 = 7(πολ69 + 6n + 7) 6n 53 = πολ69. ΑΣΚΗΣΗ 54 (Προτείνει ο Σωτήρης Χασάπης) Θεωρούμε a και b ϑετικούς αριθμούς. Η διαίρεση με υπ- όλοιπο τών a b με το a + b μάς δίδει μονοσήμαντα ορισμένους αριθμούς q και r με a b = q(a + b) + r με r < a + b. Βρείτεόλαταζεύγη(a, b) για τα οποία ισχύει q + r =. 46

49 63&t 395 Λύση (Αχιλλέας Συνεφακόπουλος) Από τη δοθείσα σχέση παίρνουμε και q < q + Επίσης, q = 44, (4) r a + b = ab κι άρα a + b q < a και q < b. (5) (a q)(b q) = ab q(a + b) + q = r + q = κι άρα από την (5) (όπου είναι a q > καιb q > ), αφού ο είναι πρώτος, αναγκαστικά ϑα έχουμε a q = καιb q = ή a q = και b q =. Λαμβάνοντας υπόψη και την (4), (a, b, q, r) παίρνουμε είναι οι (q +, q +, q, q ) και (q +, q +, q, q ) οι τετράδες που για q =,,...,44, δηλαδή οι παρακάτω 9 τον αριθμό (,,, ), (,,, ) (,,, ), (,,, ) (3, 3,, 7), (3, 3,, 7)... (45, 55, 44, 75), (55, 45, 44, 75). 47

50 Επιμελητής: Μιχάλης Λάμπρου ΑΣΚΗΣΗ 55 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R για τις οποίες f () = και για κάθε x R έχουμε f (x) x + f (x) και f (3x) x + f (x) Λύση (air) Εστω x R τυχαίος. Από τις δοθείσες προκύπτει τότε επαγωγικά ότι: f (x) n n x + f ( x n ) n N και ότι f (x) 3n 3 n x + f ( x 3 n ) n N. Παίρνοντας όρια για n και δεδομένης της συνέχειας της f προκύπτει αντίστοιχα ότι: f (x) x + f () = x και f (x) x + f () = x δηλαδή f (x) = x. Και αφού x R τυχαίος προκύπτει ότι η ζητούμενη συνάρτηση είναι η ταυτοτική. ΑΣΚΗΣΗ 56 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Εστω f :[, ] R συνάρτηση τέτοια ώστε f (x) f (y) x y, για κάθε x, y [, ]. Να δείξετε ότι ( x ) f (t)dt dx + f (x)dx. Λύση (Θάνος Μάγκος) Καταρχάς, απλοποιούμε την προς απόδειξη ανισότητα. Κάνοντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες στο «αριστερό» ολοκλήρωμα, έχουμε να αποδείξουμε ότι f (x)dx xf(x)dx + f (x)dx, ( ) δηλαδή, ότι x f (x)dx. Τώρα, ϑέτουμε f (x) = x + g(x). Πλέον, η προς απόδειξη σχέση γράφεται (x )g(x) (απλόϑέμα πράξεων). Ομως, η αρχική σχέση γίνεται g(x) g(y) + x y x y για κάθε x, y [, ] ( ). Από εδώ προκύπτει, ότι η g είναι φθίνουσα στο [, ]. Πράγματι, έστω x, y [, ] με x > y. Αν υποθέσουμε, ότι ισχύει g(x) > g(y), από την ( ) έχουμε g(x) g(y) + x y x y g(x) g(y), άτοπο. Άρα είναι g(x) g(y) και η g είναι φθίνουσα. Τώρα, η x είναι αύξουσα και η g είναι φθίνουσα. Άρα από την ανισότητα Chebyshev είναι (x )g(x)dx = (x )dx g(x)dx = g(x)dx

51 Επιμελητής: Γιώργος Μπαλόγλου ΑΣΚΗΣΗ 57 (Προτείνει ο KARKAR) Οι διαγώνιοι του εγγεγραμμένου ABCD, τέμνονταιστοk, ενώ οι προεκτάσεις των CB, DA, στοs. Αν M, N τα μέσα των πλευρών AB, CD και είναι: CD = AB, δείξτεότι: MN = 3 4 SK. Λύση (Στάθης Κούτρας) Κατ αρχήν έχουμε δείξει εδώ: με εμβαδά ότι τα μέσα των διαγωνίων πλήρους τετραπλεύρου είναι σημεία συνευθειακά δηλαδή αν L MN KS L το μέσο του KS. edit&f 6&p 9955 Λύση (Κώστας Ρεκούμης) Ονομάζουμε CB = a, AD = b, CSˆ D = x. Είναι (εύκολο): DS = BS, BS = a + b, KB 3 KD = a b Ακόμα: NM = CB + DA 4MN = CB + DA + CBDAcosx = = a + b + abcosx και ακόμα: KB KD = a b SK = a SD+ bsb a + b SK = a SD + 4b SB + 4abS DS Bcosx (a + b) SK = 4a SB + 4b SB + 8abS B cosx (a + b) SK = 4SB a + b + abcosx = (a + b) (a + b) 4MN = 4 9 (a + b) = 6 9 MN. Προφανώς (από την εγγραψιμότητα) του ABCD εμφανίζονται (εύκολα γωνιακά) οι ομάδες των ομοίων τριγώνων:( SAB SDC), ( KAB KDC) με λόγο ομοιότητα (των πρώτων προς τα δεύτερα) AB DC δηλαδή είναι SAB SDC SB SD = SA SC = AB DC = SD= SB : () SC = SA : () DC = AB : (3) DC=AB = και με όμοιο τρόπο από το άλλο ζεύγος των ομοίων KD = KA : (4) τριγώνων προκύπτει ότι: KC = KB : (5) Από τις ομοιότητες των ζευγών των τριγώνων ( SAB SDC), ( KAB KDC) προκύπτει ότι και οι ομόλογες διάμεσοι ϑα έχουν επίσης λόγο,δηλαδή SM SN SAC SDC = KAC KDC = SN = SM : (6) KN = KM : (7) KM KN Επίσης είναι KMB KNC από τα μισά των αναλόγων πλευρών των ομοίων τριγώνων KAB KDC και τις ομόλογες διαμέσους ή από το, 49

52 Θεώρημα της Πεταλούδας (που έχει συζητηθεί αρκετές φορές εδώ στο Mathematica οπότε: KNC = KMB : (8) Ομοίως από την ομοιότητα SMB SND (για παρόμοιο λόγο) προκύπτει ότι: ŜND= ŜMB : (9). Με πρόσθεση των σχέσεων (8), (9) KNC + ŜND= KMB+ ŜMB KNC+ŜND=8 ŜNK, KMB+ŜMB= KMS 8 ŜNK = KMS ŜNK+ ŜNK = 8 KMS,KNS (KMS) (KNS) = (MK)(MS) (NK)(NS) NK=KM,NS=MS MM NN = 4 LN MN LN ()... (KMS) (KNS) = 4 LNN LMM MM NN = LM LN κοινή βάση (KS) (KMS) (KNS) = MM NN LM LN = 4 = 4 MN LN = 4... MN = 3 4 LN : KAS = NPL :(5) Από (), (3), (5) Π Γ Π NPL = SAK LN = KS ():MN= 3 4 LN MN = 3 4 KS ΑΣΚΗΣΗ 58 (Προτείνει ο KARKAR) Τόξο ST στα- ϑερού μήκους s, (s < πr ), μετακινείται επί του τόξου AB, του τεταρτοκυκλικού τομέα OAB. Απόταά κρα του, φέρω τα τμήματα SD, TE,κάθεταπροςτηνOA, και τα SZ, TH, κά θετα προς την OB. Φέροντας και τη χορδή ST, σχηματίζονται δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Δείξτε ότι το: E + E + E 3, είναι σταθερό. (E, E, E 3 είναι τα εμβαδά των σχημάτων) 6&t 98 Εστω P το μέσο του SD τότε: N μέσο της DC DS C : P μέσο της DS. NP = SC SC=AS NP = AS : () NP//SC NPD = DS B : () L μέσο της DK Ομοίως: DS K : P μέσο της DS. LP = KD KD=KA LP = KA : (3) LP//KD LPS = KDS : (4) Στο τρίγωνο BDS ĈBD(εξωτερική ) ĈBD = DS B + KDS (),(4),ĈBD=ĈAD(εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο ) ĈAD = NPD + LPS 8 KAS = 8 NPL ĈAD=8 KAS, NPD+ LPS=8 NPL Λύση (σύνθεση λύσεων Λάμπρου Ευσταθίου και Γιώργου Ρίζου) Θεωρούμε για λόγους απλότητας R =. Εστω D(x, ), E(x, ), Z(, y ), H(, y ). Το ζητούμενο εμβαδό είναι: E oλ = (OE)(OZ) (OD)(OH) = = x y x y = = cos(toa) sin(soa) cos(soa) sin(toa) = = sin(soa TOA) = sin(sot). 5

53 Λύση (Σωτήρης Λουρίδας, Παναγιώτης Γιαννόπουλος) ZO SP (SZP) = (SOP), OD PT (PDT) = (POT) (SZP) + (PDT) + (SPT) = (SOT) E + E + E = (SOT). 5

54 Επιμελητής: Νίκος Μαυρογιάννης ΑΣΚΗΣΗ 59 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Αν z 5 =, να υπολογίσετε τα αθροίσματα A = B = z + z + z + z 4 + z3 + z + z4 + z 3, z z + z z 4 + z3 z + z4 z 3. Για το ο άθροισμα, ϑεωρούμε z. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Αν x, x,..., x n είναι ϑετικοί αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση nx + n x k = k= n k= x k x k x έχει ρίζα το και n διαφορετικούς μεταξύ τους ϑετικούς αριθμούς 6&t &t 44 Λύση (Λευτέρης Πρωτοπαπάς ) = A = z + z + z + z 4 + z3 + z + z4 + z 3 = z z 3 z 3 + z 3 z + z z z + z 4 z + z3 + z + z4 + z 3 = = z 4 z 3 + z 5 + z3 z + z 5 + z3 + z + z4 + z = 3 = z4 z z3 z + = z 4 (z + )(z z + ) + z3 z + = = z 4 (z + )(z z + ) + z3 (z z + ) (z + )(z z + ) = = z4 + z 3 (z z + ) (z + )(z z + ) = B = = z3 (z + ) z 3 + = z3 (z + z z + ) z 3 + = (z5 + z 3 ) z 3 + = z z + z z 4 + z3 z + z4 z 3 = z z 3 z 3 z 3 z + z z z z 4 z + z3 z + z4 z 3 = = z 4 z 3 z 5 + = z4 z 3 + z3 z z 5 + z3 z + z3 z + z4 z = 3 z3 z + z4 z = 3 = Λύση (Χρήστος Κυριαζής) Αν x = τότεισχύει n n x i = i= δηλαδή επαληθεύει την εξίσωση. Υποθέτω (χωρίς βλάβη) πως x < x <... < x n Τότε (για x ) έχω: n n x i nx + x i = x i x απ οπου: nx + nx + nx + i= n x i = i= n x i = i= n i= n x i = nx + i= x n i= n i= i= i= i= x i n x i x + x x i x (x i x)(x i + x) x i x n x i + i= n i= x i x = x x i x = + x x i x x x i x Ας ϑεωρήσω τώρα τη συνάρτηση f με f (x) = x x + x x x n x, x (x i, x i+ ), i =,...n τότε αυτή είναι συνεχής,ως πράξεις συνεχών, παραγωγίσιμη με ( ) ( ) ( ) f (x) = , x x x x x n x 5

55 x (x i, x i+ ), i =,...n δηλαδή η συνάρτηση είναι γν.αύξουσα στο εκάστοτε διάστημα. Τώρα ειναι σε κάθε διάστημα (x i, x i+ ), i =,...n lim f (x) = x x i lim f (x) =+ x x i+ και λόγω της μονοτονίας και της συνέχειας της συνάρτησης αυτή έχει για σύνολο τιμών το R. Ομως R συνεπώς υπάρχει ξ i (x i, x i+ )(i =,...n ) και μάλιστα μοναδικό (λόγω μονοτονίας) ώστε να ισχύει: f (ξ i ) = (i =,...n ) Λύση (Σπύρος Καπελλίδης) Ας δούμε και έναν διαφορετικό τρόπο για τις ρίζες της εξίσωσης n k= x k x = () Αν ϑεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x) = (x x )(x x )...(x x n ) τότε η () γράφεται ισοδύναμα g (x) g(x) = g (x) = η οποία είναι μία πολυωνυμική εξίσωση n βαθμού και έχει μία ρίζα ξ k σε κάθε ένα από τα διαστήματα (x k, x k+ ), k =,,..., k, (Rolle) άρα k ρίζες. 53

56 Επιμελητής: Χρήστος Κυριαζής ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Εστω Ω το χωρίο του επιπέδου, το οποίο αποτελείται από τα σημεία (x, y) για τα οποία ισχύει x y και y. Να βρεθεί το εμβαδόν του Ω. 7&t 6 Λύση (Σωτήρης Χασάπης) Αυτό είναι το εξής διπλό ολοκλήρωμα : + y y dxdy, που είναι y-απλός τόπος και ολοκληρώνουμε πρώτα ως προς x και έπειτα ως προς y και κάνει 6. Λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης) Το χωρίο ορίζεται από τις γραμμές y =, y =, x = y + καιx = y όπως φαίνεται στο σχήμα : Η εξίσωση γράφεται ως g(x) = a, όπου g(x) = x 3 3x + 5x, x. x Είναι g (x) = 3x 6x >, άρα η g είναι x γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ), (, ) και επειδή είναι lim g(x) =, lim g(x) =+ και x x + lim x g(x) =+, lim g(x) =, + x το σύνολο τιμών της g σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ), (, ) είναι το R. Άρα η εξίσωση g(x) = a έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες στο R, οι οποίες είναι ετερόσημες, και επομένως το ίδιο ισχύει και για την εξίσωση x 4 3x 3 + 5x + ax =. Λύση (Κώστας Σερίφης) Με Vieta: Εστω x i, i =,, 3, 4 οι 4 ρίζες της εξίσωσης. Θα είναι: Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι το εμβαδόν ενός ορ- ϑογωνίου αν αφαιρέσουμε δύο τριγωνάκια, δηλαδή E = 4 = 6τ.μ. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Στράτης Αντωνέας) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 4 3x 3 + 5x + ax =, a R, έχει δύο ετερόσημες πραγματικές ρίζες και δύο μιγαδικές ρίζες. 7&t 68 Λύση (Θάνος Μάγκος) Το δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. 4 i j= 4 x i = 3 (6) i= x i x j = 5 (7) 4 x i = (8) i= Η ισότητα (8) αποκλείει να είναι και οι 4 ρίζες μη πραγματικές. Η ταυτότητα: 4 4 x i = x i i= i= (6)(7) = 9 = 4 i j= x i x j αποκλείειοι4ρίζεςναείναιπραγματικές. 54