Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο

Transcript

1 0 ΜΑΘΗΜΑ.4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.4.. Συνέχει συνάρτησης στ o Ορισμός: Μι συνάρτηση f/α νμάζετι συνεχής στ σημεί Α, ότν υπάρχει τ lim f () ι είνι: lim f() = f( ) ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ότν υπάρχει δ > 0 ώστε γι άθε Α ν ισχύει: 0 < <δ f() f( ) <ε ε> 0 Τότε η συνάρτηση f/α είνι συνεχής στ Α. Πρτήρηση: Γι ν έχυμε συνέχει της f στ, πρέπει: i. Ν είνι πρίτητ Α ii. Ν υπάρχει τ lim f (). Αυτό σημίνει ότι: lim f () = lim f () iii. Ν είνι + lim f () ±.4.. Συνεχείς συνρτήσεις στ Δ Α Μι συνάρτηση είνι συνεχής σ έν διάστημ Δ Α, ότν ισχύει: lim f() = f( ) Δ Δηλδή είνι συνεχής σε άθε σημεί τυ Δ. Τέτιες συνρτήσεις είνι:. Στθερές. 4. Ρητές. 7. Εθετιές.. Τυττιές. 5. Άρρητες. 8. Λγριθμιές. 3. Πλυωνυμιές. 6. Τριγωνμετριές 9. Η ντίστρφη συνεχύς συνάρτησης ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

2 .4.3. Ιδιότητες συνεχών συνρτήσεων Αν ι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στ Δ ή σε λόληρ τ Δ, τότε θ είνι επίσης συνεχείς στ ή στ Δ ι ι πράτω συνρτήσεις:. f ± g. f g 3. f, λg 4. f, g λ 5., f,g 0 6. f g f g, f,g 0 g f 7. f, λ g f,g 0, * λ 8. f, g 9. f g ι g f.4.4. Θεωρήμτ συνέχεις ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στ [,β] ι f( ) f( β< ) 0, τότε υπάρχει έν τυλάχιστν ξ (, β), ώστε ν ισχύει f ( ξ ) = 0. Δηλδή η συνάρτηση f έχει μι τυλάχιστν ρίζ στ (,β). ΘΕΩΡ. ΕΝΔΙΑΜ. ΤΙΜΗΣ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στ [,β] ι ( f( ),f( β) ) ή f( β),f( ), με ( ) ( ) f ( ) f β τότε υπάρχει έν τυλάχιστν ξ (, β) ώστε ν ισχύει f (ξ) = Δηλδή τ σύνλ τιμών της f/[,β] είνι τ f(a)=[m,m] ΘΕΩΡ. ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στ [,β], τότε υπάρχυν υπχρεωτιά δυ τιμές ξ, ξ [, β] ώστε ν ισχύει: f( ξ ) f( χ) f( ξ ) χ [, β] Πρφνώς είνι: Min(f)=f(ξ )=m Ma(f)=f(ξ )=M Δηλδή υπάρχυν λιά ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

3 .5. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ NEWTON έχω: Θέτω Από την γνωστή τυτότητ (ΔΙΩΝΥΜΟ Νεύτων): 3 β = β + β + β β ( )( ) β = =, β= με, > 0 ι έχω: β β * =, όρι * {} Από τη σχέση υτή, μπρύμε ν έχυμε χρήσιμυς τύπυς, πυ βηθύν στυς μετσχημτισμύς. Έτσι λιπόν, έχω: Γι =. = + Γι =3 Γι =4 Γι =5 = 3 3 = 4 4 = ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

4 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ Αν > = = = = 8 =... = Αν < = = = = 8 =... = Αν > = = = 7 =... = Αν = = = =... = < ( ) ( ) ( ).6. ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ.6. Ορισμί Ότν: + Θ λέμε ότι η f/α έχει:.. 3. lim f () + lim f () + lim f () + =+, ότν υπάρχει > 0, ώστε με > ν ισχύει: f() >Μ Μ> 0 =, ότν υπάρχει > 0, ώστε με > ν ισχύει: f() <ε ε> 0 =, ότν υπάρχει > 0, ώστε με > ν ισχύει: f() < Μ Μ > 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

5 Ότν: Θ λέμε ότι η f/α έχει:.. 3. lim f () lim f () lim f () =+, ότν υπάρχει > 0, ώστε με < ν ισχύει: f() >Μ Μ> 0 =, ότν υπάρχει > 0, ώστε με < ν ισχύει: f() <ε ε> 0 =, ότν υπάρχει > 0, ώστε με < ν ισχύει: f() < Μ Μ > 0 f(χ) Μ l+ε l + - l-ε -Μ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

6 ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. ημ lim = 0 επίσης ± συν Διότι: ή συν lim = 0 ± συν, ενώ lim ± = 0 ±. lim λ =+ με + * λ, ενώ όμ είνι lim = 0 + λ 3. lim λ + λ = άρτις = λ=περιττς ι lim = 0, λ * λ ν 4. Αν η Ρ () = / είνι πλυωνυμιή συνάρτηση, ισχύει: ν lim Ρ () = lim ν ± ν ± Δηλδή τ όρι της πλυωνυμιής συνάρτησης, είνι τ όρι τυ μεγιστβάθμιυ όρυ. ν Ρ() ν Αν η f() = = μ Ρ () β β μ ± lim f () = ν lim ν μ ± βμ είνι ρητή συνάρτηση, ισχύει: 6. Κάθε πλυωνυμιή περιττύ βθμύ συνάρτηση, έχει μι τυλάχιστν ρίζ στ. 7. Ισχύυν ι ιδιότητες τω συγλινυσών ι των ρίων. 8. Ισχύυν ι πράξεις στ. ( Μνημνιί νόνες ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

7 .6.. Τρόπι άρσης της ριστίς I. ΙΙ. ΙΙΙ. IV. 0 : Κάνω πργντπίηση ι πλπίηση. 0 ± : Βγάζω ινό πράγντ τν μεγιστβάθμι όρ. ± 0. : Πλλπλσιάζω με τν συζυγή ή Newton. : Βγάζω ινό πράγντ τν μεγιστβάθμι όρ. V. ( ) f < 0. ή : Εξετάζω την συνάρτηση f ( ), ν f ( ) > 0 ή 0 0 Συνήθως με πλευριά. VI. Αν έχω άρρητες ι πρύπτει ριστί, τότε χρησιμπιώ Newton ή άνω πρσθφίρεση τυ 3 τάλληλυ ριθμύ > 0 ή,,, ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΙΩΝ Πρτηρώ ότι ισχύυν: π π, {} 0 ημ < < εφ ι ημ Συνέπει υτών, έχω: ημ εφ συν lim = lim = lim = ± ημ ημ ημ lim =, 0 lim = 0 ± Επειδή: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

8 ημ ημ lim ημ = lim = lim = 0 Δεδμένυ ότι ότν, τότε 0. Έτσι λιπόν, έχω: lim ημ = ± Ενώ: ημ ημ lim ημ = lim = lim = διότι ότν 0, έχω = ±. Επμένως: lim ημ = 0 0 Πρτηρώ ότι: συν ( συν )( +συν) συν lim lim lim 0 = 0 = 0 = +συν +συν ( ) ( ) ημ ημ = lim = lim 0 = +συν 0 +συν Επμένως έχω: =. = = +συν 0 + συν lim = 0 Στν ίδι τύπ μπρώ ν τλήξω, ν θέσω: συν = ημ ι Ενώ Αόμη, πρτηρώ ότι: ημ ημ lim = lim 0 = = 0 = ημ ημ lim = lim 0 = 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

9 συν lim = 0 0 Πρσχή: Δεν υπάρχυν τ: ( ημ ), lim ( συν ), lim ( εφ ) ± ± ± lim ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ημ = ημ. συν συν = συν = ημ = συν ημ εφ εφ = εφ ημ = ημ. συν συν = συν = ημ = συν ημ εφ εφ = εφ ΑΠΟΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ + συν = συν συν = ημ συν = εφ + συν ημ χ + συν χ = + εφ χ = συν χ + συν = συν συν = ημ συν = εφ + συν συν χ = ημ χ ημ χ = συν χ + σφ χ = ημ χ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

10 Αθρίσμτ σε γινόμεν Α + Β Α Β ημ Α + ημβ = ημ συν Α Β Α + Β ημ Α ημβ = ημ συν Α + Β Α Β συνα + συνβ = συν συν συν Α συνβ = Α + Β Β Α ημ ημ Γινόμεν σε θρίσμτ ημ. συνβ = ημ( + β) + ημ( β) συν. ημβ = ημ( + β) ημ( β) συν. συνβ = συν( β) + συν( β) ημ. ημβ = συν( β) συν( + β).8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Bolzano Α. Ότν θέλυμε ν δείξυμε ότι μι εξίσωση έχει μι τυλάχιστν, β. τότε άνυμε τ εξής: ρίζ σε έν διάστημ ( ) Μετφέρυμε όλυς τυς όρυς στ μέλς ι άνυμε πλιφή πρνμστών, ν είνι λσμτιί. Θέτυμε g( ) τ μέλς. Δηλδή η εξίσωση πίρνει τη μρφή g( ) = 0. 3 Δείχνυμε ότι η g είνι συνεχής στ διάστημ [ β., ] 4 Δείχνυμε ότι g( ) g( β ) < 0 Εφ όσν ισχύυν τ βήμτ 3 ι 4 γι τη g, ισχύει τ θ. Bolzano, β, η πί επληθεύει την επμένως υπάρχει μι τυλάχιστν ρίζ στ ( ) g( ) = 0, άρ την ρχιή, με την πί είνι ισδύνμη. Σημείωση η : Ότν η εφώνηση δεν δίνει διάστημ [ β,, ] τότε τ βρίσυμε μόνι μς, με διμές ή δείχνυμε ότι ή ντίστρφ, ότν g()/. lim g() > 0 ι + lim g() < 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

11 Σημείωση η : Ότν η εφώνηση ζητά ν δείξυμε ότι μι εξίσωση έχει, β, τότε δείχνυμε ότι η g είνι μνδιή ρίζ σε έν διάστημ ( ) γνησίως μνότνη, ή χρησιμπιώντς πγωγή σε άτπ. Β. Ότν θέλυμε ν δείξυμε ότι μι σχέση της μρφής g() = f() ξ, β, άνυμε τ εξής: ισχύει γι άπι ( ) Θέτυμε: h() = g() f() Δείχνυμε ότι η h είνι συνεχής στ διάστημ [, β ]. Δείχνυμε ότι: h( ) h( β ) < 0 Με τις πρϋπθέσεις υτές, ισχύει τ θ. Bolzano, άρ υπάρχει έν τυλάχιστν ξ (, β), ώστε ν ισχύει: h ( ξ ) = 0 g ( ξ ) f( ξ) = 0 g( ξ ) = f( ξ) Άρ η πρότση ισχύει. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ