3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Transcript

1 Πγκόσμι χωριό γνώσης ΜΑΘΗΜΑ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.. Έννι της πργώγυ Ορισμός: Αν f/α είνι μι συνάρτηση κι Α, νμάζετι πράγωγς της f στ σημεί κι συμβλίζετι f(), τ όρι: f() f f() () εφόσν βέβι υπάρχει κι νήκει στ. Θέτντς, η σχέση (), γίνετι: f( ) f( ) f() 0 () ς ρισμός Πλευρική πράγωγς στ Τ όρι Τ όρι. f() f νμάζετι δεξιά πράγωγς στ. f() f νμάζετι ριστερή πράγωγς στ Γι ν είνι μι συνάρτηση f/α πργωγίσιμη στ Α, πρέπει ν υπάρχει η f(). Δηλδή πρέπει ν ισχύει: πυ συμβλίζετι: f() f( ) f() f( ) f f δ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

2 Πγκόσμι χωριό γνώσης Ορισμός: Αν f/α είνι μι συνάρτηση, νμάζετι πράγωγς συνάρτηση της f ή πλά πράγωγς της f στ Α κι συμβλίζετι f(), μι νέ συνάρτηση η πί πρέρχετι πό την f κι γι την πί ισχύει: f() f f Α Πρδείγμτ:. Αν Λύση:, ν βρεθύν τ f (), f (), f ( ), f (0). Ισχύει: f() / f() f f Α Στη σχέση υτή ν θέσω f(), έχω: ( ) ( ) ( ) ( )( ) Πυ σημίνει ότι: 6 f 6 Επμένως: f() 6 f () 6, f () 8, f ( ) -, f (0) 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

3 Πγκόσμι χωριό γνώσης. Αν ν 0 f() ημ ν > 0 0 Ν βρεθύν τ f (), f ( ), f (0) Λύση: Πρτηρώ ότι: f() f() ημ ημ ημ ( ) ημ i 0 0 ημσυν συνημ ημ 0 συν ημ ημ συν συν 0 f συν ii. ( ) ( ( ) ) f() f( ) ( ) ( ) 6 f ( ) 6 iii. f() f(0) ημ f(0) δ f () f (0) f (0) Άρ δεν υπάρχει η f(0), δηλδή η f στ 0 δεν είνι πργωγίσιμη. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

4 Πγκόσμι χωριό γνώσης.. Πργώγιση κι συνέχει. Θεώρημ: Κάθε συνάρτηση πργωγίσιμη σ έν σημεί Α, είνι υπχρεωτικά κι συνεχής στ. η σημείωση: Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στ Α, δεν είνι πρίτητ κι πργωγίσιμη στ. η σημείωση: Αν η συνάρτηση δεν είνι συνεχής στ Α, τότε δεν θ είνι ύτε πργωγίσιμη στ. Είνι υτνόητ, διότι ν είνι πργωγίσιμη, τότε είνι κι συνεχής. Πράδειγμ: Ν βρεθύν τ β,, ώστε η συνάρτηση: β ν > f() ν ν είνι πργωγίσιμη στ. Λύση: i. Κτ ρχήν η συνάρτηση f πρέπει ν είνι συνεχής στ χ. Αυτό σημίνει ότι: ( β ) β Δηλδή: ii. Επειδή: κι Πρέπει κόμ ν είνι: β () f () f () δ β f() f() f () ( ) ( β) ( β) ( β) f() f() f δ() Άρ: ( ) κι β ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

5 Πγκόσμι χωριό γνώσης.. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Αν στη γρφική πράστση μις συνάρτησης f θεωρήσυμε έν στθερό σημεί Α (,f() ) κι κάπι μετβλητό σημεί Β,f(), τότε η ΑΒ είνι χρδή τότε κι τ σημεί Β τείνει ν τυτιστεί με τ Α ( Α Β) της κμπύλης κι έχει συντελεστή διευθύνσεως λ, πυ είνι: ΑΒ f() f( ) εφω λ ΑΒ Πρτηρύμε ότι ότν:. Στην περίπτωση υτή η χρδή ΑΒ, γίνετι πλέν εφπτμένη (ε) της κμπύλης της f. Στ σημεί η εφπτμένη (ε), θ έχει συντελεστή διευθύνσεως λ ε, τ όρι τυ κλάσμτς: Δηλδή: f() f( ) ΚΛΙΣΗ της f στ f() f λ ε f Εφ όσν υπάρχει κι είνι στ Επμένως γεωμετρικά η πράγωγς συνάρτησης f στ σημεί, εκφράζει τν συντελεστή διεύθυνσης λ ε της εφπτμένης (ε) της κμπύλη της f στ σημεί. Η εξίσωση της εφπτμένης (ε) στ σημεί είνι: y f f () ότν υπάρχει η f(). Αν είνι: f() f ή ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

6 Πγκόσμι χωριό γνώσης τότε ρίζυμε: ε :.4.. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Απλές συνρτήσεις: Πράγωγι υτών: f() c f() 0/ f() f() / f() β f() / ν f(), ν, ν f() ν / f(),, f() f() κ f() κ f(), { } e f() f() / f() / f() / κ κ κ f() e / f() / 0, f() / f() / n f() n / συν ημ f() εφ συν f() σφ ημ f() n / f() e f() n f() f() n log, > 0, f(), > 0, f() ημ f() / f() συν f() / f() εφ f() σφ f(), 0 f() e > ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

7 Πγκόσμι χωριό γνώσης.4.. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθρίσμτς: Γινμένυ: Στθερά επί συνάρτηση: Συμμετρικής: Πηλίκυ: f g f g f g f g f g cf ( cf) f f f f f g f g g g Δύνμης φυσικύ κ : k k f k f f ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

8 Πγκόσμι χωριό γνώσης f() d f () d f () d f ν ( ν) () ν ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ f y f() χ f (5) κ.λ.π. d d d 5 7 f (7) d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ