Προτάσεις που χρησιμοποιούνται στη λύση ασκήσεων και χρειάζονται απόδειξη. Πρόταση 1

Transcript

1 Προτάσεις που χρησιμοποιούντι στη λύση σκήσεων κι χρειάζοντι πόδειξη Πρότση 1 Έστω η συνάρτηση f: A R η οποί είνι γνησίως ύξουσ Ν δείξετε ότι ) η f ντιστρέφετι ) η f -1 είνι γνησίως ύξουσ στο f(α) γ) Οι εξισώσεις f(x) = f -1 (x) κι f(x) = x είνι ισοδύνμες στο σύνολο Α f(a) ) Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ είνι κι 1 1 η f ντιστρέφετι ) Έστω ότι η f -1 δεν είνι γνησίως ύξουσ στο f(a) Τότε υπάρχουν y1,y2 f(a) τέτοι ώστε y1 < y2 κι f -1 (y1) f -1 (y2) δηλδή f(x1) < f(x2) κι x1 x2 που είνι άτοπο φού η f είνι γνησίως ύξουσ στο Άρ η f -1 είνι γνησίως ύξουσ στο f(α) γ) Ευθύ : Έστω ότι το xo Α f(a) είνι ρίζ της εξίσωσης f(x) = f -1 (x) Θ δείξουμε ότι το xo είνι ρίζ κι της εξίσωσης f(x) = x δηλδή f(xo) = xo Είνι f(xo) = f -1 (xo) (1) Έστω ότι f(xo) xo f(xo) < xo ή f(xo) > xo Αν f(xo) < xo (2) τότε f -1 (f(xo)) < f -1 (xo) xo < f -1 (xo) πό (1), που είνι άτοπο πό τη (2) Αν f(xo) > xo (3) τότε f -1 (f(xo)) > f -1 (xo) xo > f -1 (xo) πό (1), που είνι άτοπο πό τη (3) Δηλδή f(xo) = xo Αντίστροφ : Έστω ότι το xo Α f(a) είνι ρίζ της εξίσωσης f(x) = x δηλδή f(xo) = xo τότε είνι xo = f -1 (xo) Οπότε f(xo) = f -1 (xo) Οι δοσμένες εξισώσεις έχουν τις ίδιες κριώς ρίζες, δηλδή είνι ισοδύνμες

2 Πρότση 2 Δίνετι συνάρτηση f ορισμένη κοντά στο xo. Ν ποδείξετε ότι 2 Αν lim f (x) = 0 τότε lim f(x) = 0 x 0 x 0 Γι κάθε x ισχύει ότι: ( ) ( ) ( ) Από το κριτήριο πρεμολής προκύπτει ότι: lim f ( x) = f ( x) = f x f x f x = f ( x). x x0 Πρότση 3 Κάθε πολυώνυμο περιττού θμού έχει μί τουλάχιστον πργμτική ρίζ (θεμελιώδες θεώρημ της άλγερς) ν ν 1 Έστω f(x) = νx + ν 1x x + 0 με ν 0 κι x (, + ). Επειδή ν 0 υποθέτουμε ότι ν > 0. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο (, + ), ως πολυώνυμο. Είνι lim f(x) = lim x + x + > 0 κι ν περιττός. ν Είνι lim f(x) = lim x x > 0 κι ν περιττός. ν ( x + x x + ) = ν ν 1 ν ν ( x + x x + ) = ν ν 1 ν ν lim x + lim x ν (νx )=+ φού ν (νx )=- φού Οπότε υπάρχει κ σε περιοχή του με f(κ) < 0 κι λ σε περιοχή του + με f(λ) > 0. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο [ κ, λ], f(κ) f(λ) < 0 οπότε πό το θεώρημ υπάρχει τουλάχιστον έν ρ ( κ, λ ) (, + ) έτσι ώστε f(ρ) = 0

3 Πρότση 4 1. Αν f, g συνρτήσεις ορισμένες σε περιοχή του xo με f(x) > g(x) κι lim g(x) = + τότε lim f(x) = + 2. Αν ισχύει f(x) g(x) κοντά στο xo κι lim g(x) = -, τότε είνι lim f(x) = - x x o Επειδή lim g(x) = + g(x) > 0 σε περιοχή του xo 1 1 f(x) > g(x) > 0 0< < f(x) g(x) έχουμε 1 lim = 0 x xo g(x) 1 κριτήριο πρεμολής lim = 0 με f(x) f(x) > 0 σε περιοχή του xo οπότε lim f(x) = + κι lim 0 = 0 οπότε πό

4 Πρότση 5 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι 1 1 σε έν διάστημ Δ, ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως μονότονη Αρκεί ν ποδείξετε ότι γι οποιδήποτε,, γ Δ με < < γ θ είνι ή f() < f() < f(γ) ή f() > f() > f(γ) Έστω ότι γι < < γ είνι f() < f(γ) < f() Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,] Είνι f() f() κι f(γ) (f(), f()) πό την (1) Σύμφων με το θεώρημ ενδιάμεσων τιμών θ υπάρχει έν τουλάχιστον xo (,) τέτοιο ώστε f(xo) = f(γ) Επειδή η f είνι 1 1 θ είνι xo = γ Οπότε γ (,) που είνι άτοπο φού < < γ. Στο ίδιο συμπέρσμ κτλήγουμε κι στις περιπτώσεις που f(γ) < f() < f() ή f() < f() < f(γ) ή f() < f(γ) < f() Πρότση 6 Αν η f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ Δ, ν δείξετε ότι μετξύ δύο διδοχικών ριζών της f στο Δ υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ της f Έστω x1, x2 Δ (x1 < x2 ) δυο ρίζες της f. Οπότε f(x1) = f(x2) = 0. Γι την f ισχύουν οι υποθέσεις του θ. Rolle στο διάστημ [x1, x2] Δ, φού Είνι συνεχής στο [x1, x2 ] ως πργωγίσιμη Είνι πργωγίσιμη στο (x1, x2) κι Ισχύει f(x1) = f(x2) Άρ η f έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (x1, x2)

5 Πρότση 7 Έστω f : R R μι συνάρτηση, η οποί είνι πργωγίσιμη κι ισχύει f (x) 0 γι κάθε x R τότε ν δείξετε ότι η f είνι 1 1 Έστω ότι η συνάρτηση f δεν είνι 1 1 Τότε θ υπάρχουν x1, x2 R με x1 x2 κι f(x1) = f(x2) Αν x1 < x2, τότε γι την f ισχύουν οι υποθέσεις του θ. Rolle στο διάστημ [x1, x2], φού Είνι συνεχής στο [x1, x2 ] ως πργωγίσιμη Είνι πργωγίσιμη στο (x1, x2) κι Ισχύει f(x1) = f(x2) Άρ υπάρχει ξ (x1, x2), τέτοιο ώστε f (ξ) = 0, που είνι άτοπο, φού f (x) 0, γι κάθε x R. Άρ η f είνι 1 1 Πρότση 8 Αν f,g είνι συνεχείς στο [,] με f(x) g(x) γι κάθε x [,] τότε f(x)dx g(x)dx f(x) g(x) f(x) g(x) 0 [ f ( x ) g ( x )] dx 0 f(x)dx g(x)dx f(x)dx - g(x)dx 0

6 Πρότση 9 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, ]. Αν f(x) 0 γι κάθε x [,] κι f(x)dx = 0 τότε f(x) = 0 γι κάθε x [,] Είνι f(x) 0 γι κάθε x [,], ν υπάρχει xo [,] τέτοιο ώστε f(xo) 0 τότε η συνάρτηση f δεν είνι πντού μηδέν στο [,] κι θ ισχύει οποίο είνι άτοπο. Άρ f(x) = 0 γι κάθε x [,] f(x)dx > 0 το Πρότση 10 Έστω οι συνρτήσεις f,g είνι συνεχείς στο [,] κι γι κάθε x [,] ισχύει f(x) g(x). Αν υπάρχει xo [,] τέτοιο ώστε f(xo) g(xo) ν δείξετε ότι f(x)dx > g(x)dx Έστω η συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) η οποί είνι συνεχής στο [,] είνι h(x) 0 γι κάθε x [,] κι δεν είνι πντού μηδέν στο [,] Επομένως h(x)dx > 0 f(x) - g(x) dx > 0 f(x)dx > g(x)dx

7 Πρότση 11 Έστω g : R R μι συνεχής συνάρτηση γι την οποί ισχύει g(x) 0, x R. 2 Aν g (x)dx = 0 ν δείξετε ότι = Ισχύει g 2 συνεχής στο R κι g 2 (x) > 0 γι κάθε x R Αν < τότε Αν < τότε Άρ = g 2 (x)dx > 0, άτοπο g (x)dx > 0 g (x)dx > 0 g (x)dx < 0, άτοπο Πρότση 12 Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση στο διάστημ [,] τότε υπάρχουν m, M R τέτοιοι ώστε m( ) f(x)dx Μ( ) Επειδή η f είνι συνεχής στο [,] πό θεώρημ μέγιστης ελάχιστης τιμής υπάρχουν m, M έτσι ώστε m f(x) M ή mdx f(x)dx Mdx ή m 1dx f(x)dx M 1dx m[x] f(x)dx M[x] ή m( ) f(x)dx Μ( ) ή

8 Πρότση 13 Αν f συνεχής στο [,] είνι f(x)dx f(x) dx - f(x) f(x) f(x) ή - f(x) dx f(x)dx f(x) dx ή ή ή - f(x) dx f(x)dx f(x) dx f(x)dx f(x) dx