1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x

Transcript

1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Στο σχήμ 4 έχουμε τη γρφιή πράστση μις συάρτησης οτά στο Πρτηρούμε ότι, θώς το ιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργμτιό ριθμό, οι τιμές υξάοτι περιόριστ ι γίοτι μεγλύτερες πό οποιοδήποτε θετιό ριθμό Μ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η συάρτηση έχει στο όριο ι γράφουμε Στο σχήμ έχουμε τη γρφιή πράστση μις συάρτησης οτά στο Πρτηρούμε ότι, θώς το ιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργμτιό ριθμό, οι τιμές ε- λττώοτι περιόριστ ι γίοτι μιρότερες πό οποιοδήποτε ρητιό ριθμό M M > Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η συάρτηση έχει στο όριο ι γράφουμε ΟΡΙΣΜΟΣ M -M 4 Έστω μι συάρτηση που είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, Ορίζουμε β, ότ γι άθε M > υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε γι άθε,, β, με < < δ ισχύει > M, ότ γι άθε M > υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε γι άθε,, β, με < < δ ισχύει < M Αάλογοι ορισμοί μπορού διτυπωθού ότ ι

2 74 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 C C C g C g a β Όπως στη περίπτωση τω πεπερσμέω ορίω έτσι ι γι τ άπειρ όρι συρτήσεω, που ορίζοτι σε έ σύολο της μορφής,, β, ισχύου οι πράτω ισοδυμίες: Με τη βοήθει του ορισμού ποδειύοτι οι πράτω ιδιότητες: Α, τότε > οτά στο, εώ, τότε < οτά στο Α, τότε, εώ, τότε Α ή, τότε Α ι > οτά στο, τότε, εώ ι < οτά στο, τότε Α ή, τότε Α, τότε k Σύμφω με τις ιδιότητες υτές έχουμε:

3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 ι γειά *, Σχ 7 7 β εώ ι γειά ι γειά,, Σχ 7β Επομέως, δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της, Γι τ όρι θροίσμτος ι γιομέου δύο συρτήσεω ποδειύοτι τ πράτω θεωρήμτ: ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο θροίσμτος Α στο το όριο της είι: - - ι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: - - ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γιομέου Α στο, το όριο της είι: ι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: > < > < ; ; - -

4 76 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Στους πίες τω πρπάω θεωρημάτω, όπου υπάρχει ερωτημτιό, σημίει ότι το όριο υπάρχει εξρτάτι άθε φορά πό τις συρτήσεις που πίρουμε Στις περιπτώσεις υτές λέμε ότι έχουμε προσδιόριστη μορφή Δηλδή, προσδιόριστες μορφές γι τ όρι θροίσμτος ι γιομέου συρτήσεω είι οι: ι ± Επειδή g g ι, προσδιόριστες μορφές γι τ όρι της g g διφοράς ι του πηλίου συρτήσεω είι οι:, ι ±, ± Γι πράδειγμ: πάρουμε τις συρτήσεις ι g, τότε έχουμε:, g ι g εώ, πάρουμε τις συρτήσεις ι g, τότε έχουμε:, g ι g Αάλογ πρδείγμτ μπορούμε δώσουμε ι γι τις άλλες μορφές ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ N βρεθού τ όρι: i 6 ii ΛΥΣΗ

5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 77 i Επειδή ι επιπλέο είι > οτά στο, είι Eπειδή 6, έχουμε: 6 6 ii Επειδή ι > οτά στο, είι Επειδή επιπλέο είι 4, έχουμε Ν βρεθού τ πλευριά όρι της συάρτησης στο ι στη συέχει εξετσθεί, υπάρχει το όριο της στο ΛΥΣΗ Επειδή ι επιπλέο, έχουμε > γι >, είι Επειδή Επειδή ι επιπλέο, έχουμε < γι <, είι Επειδή Πρτηρούμε ότι τ δύο πλευριά όρι δε είι ίσ Επομέως δε υπάρχει όριο της στο

6 78 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε υπάρχει το όριο της στο ότ: i, 4 ii, 4 4 iii, Ν βρείτε υπάρχει το όριο της στο, ότ: 4 i, ii iii, Β ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε εφόσο υπάρχει το Ν ποδείξετε ότι:, π i Η συάρτηση εφ δε έχει όριο στο ii Η συάρτηση σφ δε έχει όριο στο Δίοτι οι συρτήσεις λ ι N βρείτε τις τιμές τω όρι g μ λ, μ γι τις οποίες υπάρχου στο τ ι g Στη συέχει υπολογίσετε τ πρπάω όρι 4 Ν βρείτε το, ότ: 4 i ii iii [ ]

7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 79 7 ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g β h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με οποιοδήποτε τρόπο, το προσεγγίζει όσο θέλουμε το πργμτιό ριθμό l Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η έχει στο όριο το l ι γράφουμε l το g υξάετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η g έχει στο όριο το ι γράφουμε g το h μειώετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η h έχει στο όριο το ι γράφουμε ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ h Από τ πρπάω προύπτει ότι γι ζητήσουμε το όριο μις συάρτησης στο, πρέπει η είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, Αάλογοι ορισμοί μπορού διτυπωθού, ότ γι μι συάρτηση που είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, β Ετσι, γι τις συρτήσεις, g, h τω πράτω σχημάτω έχουμε:

8 8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 C l Cg g β C h γ h l g ι h Γι το υπολογισμό του ορίου στο ή εός μεγάλου ριθμού συρτήσεω χρειζόμστε τ πράτω βσιά όρι: ι,, -, Γι πράδειγμ, άρτιος περιττός, ι ι * *, Γι τ όρι στο, ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω ορίω στο με τη προϋπόθεση ότι: οι συρτήσεις είι ορισμέες σε τάλληλ σύολ ι δε τλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή Όριο πολυωυμιής ι ρητής συάρτησης Έστω η συάρτηση Α εφρμόσουμε τις ιδιότητες τω ορίω γι το υπολογισμό του, τλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή Στη περίπτωση υτή εργζόμστε ως εξής: Γι έχουμε Επειδή ι έχουμε Γειά

9 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Γι τη πολυωυμιή συάρτηση, με ι- P L σχύει: P ι P Γι πράδειγμ, Έστω τώρ η συάρτηση 7 Γι έχουμε: 7 7 Επειδή 7 7 ι έχουμε Γειά, Γι τη ρητή συάρτηση β β β β L L,, β ισχύει: β ι β Γι πράδειγμ, 6

10 8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όρι εθετιής - λογριθμιής συάρτησης Αποδειύετι ότι: 6 Α > Σχ 6, τότε, log, log a loga Α < < Σχ 6, τότε a 6, log, log Πεπερσμέο όριο ολουθίς Η έοι της ολουθίς είι γωστή πό προηγούμεες τάξεις Συγεριμέ: ΟΡΙΣΜΟΣ log a Αολουθί οομάζετι άθε πργμτιή συάρτηση : * Η ειό της ολουθίς συμβολίζετι συήθως με, εώ η ολουθί συμβολίζετι με Γι πράδειγμ, η συάρτηση *, είι μι ολουθί Επειδή το πεδίο ορισμού άθε ολουθίς, είι το * {,,, 4,}, έχει όημ μελετήσουμε τη συμπεριφορά της γι πολύ μεγάλες τιμές του, δηλδή ότ Ο ορισμός του ορίου ολουθίς είι άλογος του ορισμού του ορίου συάρτησης στο ι διτυπώετι ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Η πόδειξη πρλείπετι

11 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Θ λέμε ότι η ολουθί έχει όριο το l ι θ γράφουμε l, * ότ γι άθε ε >, υπάρχει τέτοιο, ώστε γι άθε > ισχύει l < ε Οι γωστές ιδιότητες τω ορίω συρτήσεω ότ, που μελετήσμε στ προηγούμε, ισχύου ι γι τις ολουθίες Με τη βοήθει τω ιδιοτήτω υτώ μπορούμε υπολογίζουμε όρι ολουθιώ Γι πράδειγμ, 4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε τ όρι: i ii iii 8 ii vii 4 v vi 4 viii Ν βρείτε τ όρι: i 4 iii v 4 4 Ν βρείτε τ όρι: ii 9 iv β, β i ii iii iv

12 84 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ v vi B ΟΜΑΔΑΣ Γι τις διάφορες πργμτιές τιμές του μ, υπολογίσετε τ πράτω όρι: i μ ii μ μ 6 N προσδιορίσετε το λ, ώστε το λ υπάρχει στο Α β, βρείτε τις τιμές τω, β, γι τις ο- ποίες ισχύει 4 Ν βρείτε τ όρι: i ii 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4 iii ρισμός της συέχεις Έστω οι συρτήσεις, g, h πράτω σχήμτ τω οποίω οι γρφιές πρστάσεις δίοτι στ C h 6 l C l g C g l l a Πρτηρούμε ότι: Η συάρτηση είι ορισμέη στο ι ισχύει: β γ

13 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Η συάρτηση g είι ορισμέη στο λλά g g Η συάρτηση h είι ορισμέη στο λλά δε υπάρχει το όριό της Από τις τρεις γρφιές πρστάσεις του σχήμτος μόο η γρφιή πράστση της δε διόπτετι στο Είι, επομέως, φυσιό οομάσουμε συεχή στο ΟΡΙΣΜΟΣ μόο τη συάρτηση Γειά, έχουμε το όλουθο ορισμό Εστω μι συάρτηση ι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέ- με ότι η είι συεχής στο, ότ Γι πράδειγμ, η συάρτηση είι συεχής στο, φού Σύμφω με το πρπάω ορισμό, μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: Δε υπάρχει το όριό της στο ή β Υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετιό πό τη τιμή της,, στο σημείο Γι πράδειγμ:, Η συάρτηση δε είι συεχής στο, φού, >, εώ, οπότε δε υπάρχει το όριο της στο Η συάρτηση, δε είι συεχής στο, φού,, εώ

14 86 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μί συάρτηση που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Γι πράδειγμ: Κάθε πολυωυμιή συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι άθε ισχύει P P Κάθε ρητή συάρτηση Q P είι συεχής, φού γι άθε του πεδίου ο- ρισμού της ισχύει P P Q Q Οι συρτήσεις ημ ι g συ είι συεχείς, φού γι άθε ισχύει ημ ημ Τέλος, ποδειύετι ότι: ι συ συ Οι συρτήσεις ι g log, < είι συεχείς Πράξεις με συεχείς συρτήσεις Από το ορισμό της συέχεις στο πράτω θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις ι g είι συεχείς στο ι οι συρτήσεις: g, c, όπου c, g, ι τις ιδιότητες τω ορίω προύπτει το, τότε είι συεχείς στο, g ι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Γι πράδειγμ: Οι συρτήσεις εφ ι g σφ είι συεχείς ως πηλί συεχώ συρτήσεω Η συάρτηση είι συεχής στο πεδίο ορισμού της,, φού η συάρτηση g είι συεχής

15 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 87 Η συάρτηση ημ είι συεχής, φού είι της μορφής g, όπου g ημ η οποί είι συεχής συάρτηση ως γιόμεο τω συεχώ συρτήσεω ι ημ Τέλος, ποδειύετι ότι γι τη σύθεση συεχώ συρτήσεω ισχύει το όλουθο θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Α η συάρτηση είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους go είι συεχής στο ι η συάρτηση g είι συεχής στο Γι πράδειγμ, η συάρτηση φ ημ είι συεχής σε άθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύθεση τω συεχώ συρτήσεω ι g ημ o g g ωημημ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Γι ποι τιμή του η συάρτηση, ημ είι συεχής;, >