Univerzitet u Sarajevu Građevinski fakultet Katedra za matematiku, programiranje, nacrtnu geometriju i fiziku
|
|
|
- Ἀχείμ Κούνδουρος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Uiverzitet u Sarajevu Građeviski fakultet Katedra za matematiku, programiraje, acrtu geometriju i fiziku Ispita pitaja za drugi parc. ispit iz teor. osova predmeta «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA» Akademska godia 008/009. Predmeti astavik/ositelj: Va. Prof. Dr. sci. Huse Fatkić E mail: hfatkic@etf.usa.ba. Šta je statistika? Šta je matematička statistika? Šta je predmet, a šta su zadaci izučavaja statistike?. Opišite početak, razvoj i začaj statistike.. Šta je obilježje, a šta statistički podatak? Šta je populacija (osovi skup), a šta statistička masa (ili statistički skup)?. Objasite pojam statističkog istraživaja. 5. Objasite sljedeće pojmove: statističko posmatraje/promatraje (prikupljaje statističkih iformacija i jihova prva obrada), sređivaje i grupisaje statističkih materijala, obrada i aaliza podataka (prikazivaje statističkih podataka). 6. Za koje se obilježje kaže da je umeričko? Navedite primjere umeričkih obilježja i primjere obilježja koja isu umerička (Kako azivamo ta obilježja?). 7. Defiirajte pojam slučajog uzorka i opišite metod(u) slučajog uzorka. 8. Defiirajte pojam empirijske fukcije distribucije i formulišite fudametali teorem statistike. 9. Na kokretom primjeru slučajog uzorka objasiti kako se određuje aalitički oblik i kostruiše grafik empirijske fukcije distribucije. 0. Defiirajte pojam karakterističe fukcije distribucije i avedite jea osova svojstva.. Defiirajte pojmove slabog i jakog zakoa velikih brojeva, a zatim formulišite Beroullijev zako velikih brojeva i Borelov (ili Kolmogorovljev) zako velikih brojeva.. Formulišite jedu od graičih torema i teorema cetralog limesa u teoriji vjerovatoće.. Defiirajte pojam statistike u užem smislu i pojam dopustive familije distribucija, a zatim avedite ekoliko važih primjera statistika.. Objasite kako se vrši ocjea parametara po uzorku, te defiirajte pojam cetriraa (epomjerljiva, epristrasa) ocjea epozatog parametra. 5. Defiirajte pojmove stabila (postojaa, kozisteta, moća) ocjea parametra, ajefektivija (ajefikasija) ocjea parametra. 6. Defiirajte pojmove: veličia klase / razreda, sredia klase (razreda sredia). Šta je sredja vrijedost (prosjek, sredia obilježja)? Nabrojte vrste sredjih vrijedosti. 7. Defiirajte pojmove: osova sredia, sredia uzorka, osova disperzija / varijasa, disperzija uzorka i empirijska disperzija. 8. Dokažite da je disperzijaa D uzorka pomjerljiva ocjea osove disperzije D o. 9. Dokažite da je empirijska disperzija S epomjerljiva (epristrasa) ocjea osove disperzije D o, tj. da je E (S ) = D o.
2 0. Kojom vrstom grafika prikazujemo distribuciju frekvecija ili umerički iz (umeričku seriju)? Objasite kako se crta poligo frekvecija, a kako histogram.. Empirijske distribucije i jihove karakteristike (relativa frekvecija g i, fukcija relativih frekvecija f*, kumulativa fukcija F*, sredie, varijas(c)a, stadarda devijacija, cetrali r - ti momet μ r /za diskreti slučaj i općeito u vjerovatoći /, koeficijet asimetrije γ i koeficijet spljošteosti γ, mod M i medija m).. Statističke procjee (Metode statističkih procjea. Najosovije formule. Metod Maximum- Likelihood (tačkasta procjea). Itervala procjea).. Čemu služe tablice površia ispod ormale krive (grafičkog prikaza stadardizirae ormale/gaussove distribucije)? Šta se alazi u predkoloi, a šta u zaglavlju te tablice? Šta predstavljaju brojevi u brojčaom dijelu te tablice?. Šta je to Studetova ili t-distribucija? Kakva je oa u usporedbi s ormalom distribucijom? Kako se određuje broj stepei/stupjeva slobode? Kada se koristimo Studetovom distribucijom? 5. Statističko testiraje (Pojam statističkog testiraja.šta se ustaovljava statističkim testirajem? Formule o testiraju ekih parametara distribucija osovog skupa: ) testiraje sredie E () za slučaj Gaussove distribucije; ) testiraje jedodimezioalih distribucija / χ - test / i dr.). 6. Defiirajte/objasite sljedeće pojmove: Nauča/zastvea hipoteza, statistička hipoteza, ulta hipoteza i alterativa hipoteza. Koja je razlika između ulte i alterative hipoteze? Kako se iterpretiraju rezultati statističkih testova (da li se pomoću jih hipoteza dokazuje ili oi ukazuju a ešto drugo kometirajte to)? Da li statistička hipoteza predstavlja pretpostavku vezau za vrijedost : pozatog parametra zadae distribucije, epozatog parametra zadae distribucije ili ivoa sigifikatosti? 7. Navedite osove parametarske i eparametarske statističke testove, a zatim opišite Studetov test (T - test) / ili Fisherov test (F test, Egzakti test) ili Medijaa test / ili objasite postupak testiraja hipoteze o aritmetičkoj sredii osovog skupa a bazi velikog slučajog uzorka ( Z - test). (Napomea. Naziv "egzakti" za Fisherov test potječe od samog R.A. Fishera da se aglasi suprotost s približim hi-kvadrat testom. Međutim premda bolji, jer se temelji a permutacijama i kombiacijama, Fisherov test je vrlo zahtjeva za račuaje (i za račuar!), pa ga valja koristiti samo za maje uzorke (<00). Za velike uzorke koristite se hi-kvadrat testom, koji daje potpuo jedake rezultate.) 8. Hi kvadrat test : vrste i karakteristike. Kako se određuje teorijska hi kvadrat vrijedost? Koje hipoteze je moguće testirati tim testom? Kada se e smije primjejivati hi kvadrat test? 9. Metoda ajmajih kvadrata (Načelo a kojemu se zasiva metoda ajmajih kvadrata i matematički razlozi za prihvataje ovog ačela. Postupak određivaja parametara metodom ajmajih kvadrata. Određivaje parametara a, b za liearu vezu f(a, b): = a x + b /određivaje regresijskog pravca/. Određivaje primjeree krive. Veze koje se svode a lieare). 0. Korelacija i regresija (Pojmovi korelacije, /fukcije/ regresije, koeficijeta korelacije. koeficijeta determiiraosti, jedostruke i višestruke/multiple korelacije. Formule za izračuavaje: ) koeficijeta /jedostruke/ korelacije; ) koeficijeta višestruke korelacije. Osova svojstva ovih koeficijeata).
3 D o d a t a k: Neki primjeri ispitih zadataka Zadatak. Dato je kuglica u kutiji koje čie jedu populaciju. Neka kuglica može biti bijele ili crvee boje. Obilježje eka je boja kuglice: ( ω ) =, ako je kuglica ω bijela, a ( ω ) = 0 ako ( ) je kuglica ω crvea. Iverza slika ([ ab, )) je { } ( ) kuglica, odoso ( 0) = - podskup skupa bijelih - podskup skupa crveih kuglica. Normalizovaa mjera (vjerovatoća) P može se defiirati, pr., formulama broj bijelih kuglica broj crveih kuglica P( { x= } ) =, P( { x= 0 }) =. Neka je P( { x= } ) = p. Oda je P( { x= 0} ) = p= q. U ovom slučaju obilježje je slučaja veličia diskretog tipa. Odredite aalitički oblik fukcije distribucije F tog obilježja. Zadatak. Zadaa je raspodjela frekvecija uzorka obima = 60: x i i Odredite raspodjelu relativih frekvecija, empirijdku fukciju raspodjele, matematičko očekivaje, disperziju i stadardu devijaciju zadaog uzorka. Zadatak. Nađite empirijsku fukciju raspodjele i empirijsku disperziju prema zadaoj statističkoj raspodjeli: x i (f i =) i 0 5 Zadatak. Na jedoj stočoj farmi je statistički posmatraa mliječost stotiu krava, tj. broj hl mlijeka koje svaka krava daje godišje. Podaci su prvo sređei, pa su oda apisai u sljedećoj tabeli. Nacrtati odgovarajući dijagram frekvecija i histogram frekvecija, te izvesti odgovarajuće prirode zaključke. Klase obilježja x Sredia Klase Broj krava f Relativa frekvecija f / ,0-0 0, , , , 9-0 0, - 0, Ukupo 00
4 Zadatak 5. Nađite koeficijete asimetrije ( α ) i zaobljeosti (spljošteosti, α ) distribucije prema zadaoj statističkoj raspodjeli: x i (f i =) i 0 5 Zadatak 6. a) Za proizvolja uzorak obilježja, zada tabelom (statističkom raspodjelom) p i x i x x... k i = p p... k x k p k x +... x p +... p izračuajte medijau. b) Na osovu a) izračuajte medijau i (aritmetičku) srediu uzorka zadaog sljedećom tabelom: x i 0 i Koliki su koeficijeti asimetrije ( α ) i zaobljeosti (spljošteosti, α ) posmatrae distribucije? Zadatak 7. Ocijeite parametar p u biomoj distribuciji za = tako da je vrijedost obilježja x =, po maximum likelihood metodi. (Rezultat. p max = 0,67. ) Zadatak 8. Izvuče je uzorak iz populacije i posmatrao je obilježje. Dobivei rezultati su zadai u tablici: x i i Izračuajte karakteristike položaja, asimetrije, ekscesa i druge važe uzoračke karakteristike, pa dajte ocjee za odgovarajuće karakteristike čitave populacije (statističke mase). Zadatak 9. Fukcija distribucije obilježja eke populacije zadaa je formulom a) 0, x < 0, F ( ): x x =, 0 x <,, x ; 0, x, F ( ): x = arc si, < x 5, π a, x > 5. b) ( x ) Odredite vrijedost kostate a, mod(us), medija(u), (aritmetičku) sredju vrijedost, varijasu i aalitički oblik fukcije gustoće f vjerovatoće za zadau slučaju varijablu /obilježje, a zatim skicirajte grafike fukcija F i f. Zadatak 0. Stadardi propisuju da obilježje za određeu populaciju treba da ima ormalu distribuciju N (75, 0). Pri tom uzorak iz te populacije obima = 90 ima 0 vrijedosti majih
5 od 60, 5 u polusegmetu [60, 70), 75 u polusegmetu [70, 80), 60 u segmetu [80, 90] i 0 većih od 90. Treba provjeriti hipotezu da obilježje ima ormalu distribuciju N (75, 0), tj. da je fukcija distribucije za zadaa formulom sa ivom začajosti α = 0,05. t 75 0 x F( x) = e d t, 0 π Zadatak. Neka je obilježje broj automobila koji u jediici vremea prođu kroz jeda presjek puta. Pretpostavimo da je u ( = ) 00 mjereja kostatovao sljedeće: Broj automobila 0 Broj pokusa Treba sa pragom začajosti α = 0,0 testirati hipotezu da obilježje ima Poissoovu distribuciju P( λ ). Zadatak. Zadae su realizacije dva ezavisa uzorka sljedećom tabelom: Testirajte hipotezu da su zadai uzorci izvučei iz osovih skupova sa idetičom eprekidom distribucijom (raspodjelom, rasporedom, razdiobom). (Uputa i rezultat. Primijeite test Kolmogorova i Smirova. Za vrijedosti x = 0, 0, 5, 50, 55, 60 obilježja zadaih uzoraka, izračuati vrijedosti F ( x ) i G ( ) x odgovarajućih empirijskih fukcija distribucije zadaih uzoraka, a zatim izračuati apsolute vrijedosti jihovih razlika F ( x ) G ( x ) (pogodo je sve to i tabelaro predstaviti ), te uvidjeti da je 6 max D6,6 = F ( ) ( ) x G x = i (iz statističkih tablica) d 6,6; 0,5 =. Kako je D6,6 < d6,6;0,5, to 6 usvajamo hipotezu H 0.) Zadatak. Izračuajte koeficijet korelacije ako su i dva saobraćaja obilježja čije su vrijedosti avedee u sljedećoj tabeli: (Rezultat. r, = 0,977. ) Zadatak. Za uzorak zada tabelom ,8,9.0,,,,,, izračuajte koeficijete regresioog pravca oblika * = a + b. 5
6 (Rezultat. * = - 7,99 +,07. ) Napomee:. Osim ovdje avedeih, kao pripreme zadatke za drugi parcijali ispit koristite sliče i druge zadatke/primjere u pribilješkama i štampaim materijalima sa predavaja i dodate astave (za uvježbavaje rješavaja zadataka) te odgovarajuće zadatke u preporučeoj literaturi za predmet «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA»!»! Pri tome se posebo preporučuje da se prerade zadaci : 8, 9, 5, 55, 59, 6, 7; 76, 79, 80, 8-90; 9, 9; 09,, ;,. i 7. iz Zbirke zadataka iz Matematike III autora Stjepaa Skoka. (Ovo e podrazumijeva da će eki od avedeih zadataka obavezo biti zadatak a prvom parcijalom (redovom ili popravom) ispitu ili a itegralom pismeom ispitu ili a završom ispitu iz ovog predmeta!). Ovaj materijal zajedo sa odgovarajućim materijalom pod aslovom «Pitaja za prvi parcijali ispit iz teorijskih osova predmeta «VjEROVATNOĆA I STATISTIKA» Akademska godia 008/009. «predstavlja cjeliu materijala o teoretskim i umeričkim pitajima i zadacima za završi ispit iz predmeta «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA»!. Sarajevo,
nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE
//0 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Z-TEST I T-TEST Beograd, 0 Ass. dr Zora Bukumirić Z-TEST I T-TEST z-testom i Studetovim t-testom testiramo razliku: jede aritmetičke sredie i pretpostavljee vredosti
Sadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 11 MATEMATIČKA STATISTIKA 3 11.1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA..................... 5 11. Poovimo................................. 15 1 Radi materijal Poglavlje 11 MATEMATIČKA STATISTIKA
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 12 TEORIJA PROCJENA
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 2 TEORIJA PROCJENA 3 2. TOČKASTE PROCJENE......................... 5 2.2 REGRESIJSKA ANALIZA........................ 2.3 ML-PROCJENITELJI tko želi zati više................. 5 2.4 Poovimo.................................
Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.
4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Statistika. Statističke metode služe nam da uočimo pravilnosti i zakonitosti po kojima se vlada cijeli kolektiv, a ne jedna odredena jedinka.
Statistika Statistika je zastvea disciplia koja se bavi prikupljajem podataka, jihovim orgaizirajem (sistematizirajem) i aalizirajem, te iiterpretacijom dobiveih rezultata Sami podaci mogu biti umeričke
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
VJEROVATNOĆA-POJAM. Definicija vjerovatnoće Σ = f x f. f f. f x f. f f ... = Σ = Σ. i...
VJEROVATNOĆA-OJAM Defiicija vjerovatoće f f f f f f f m X i i... ) + + + Σ p p p p f f f f f i i i i i i i ) )... ) )... + + + Σ + + Σ + Σ Σ Σ µ µ Aditivo i multiplikativo pravilo. Ako su E i E slučaji
PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE
PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE Iferecijala statistika je skup postupaka kojima se a osovi rezultata iz uzorka doose zaključci o populaciji. INFERENCIJALNA STATISTIKA Procjee parametara Testiraje hipoteza
OPISNA STATISTIKA GRAFIČKE METODE. Pravila kolokvija PROMJENE RASPOREDA: Dozvoljene formule s weba (M. Grbić) HISTOGRAMI
PROMJENE RASPOREDA: Kolegij SOM (prvi kolokvij) Opća fizika (predavaje) Numerička matematika Stari termi. ožujka -h. ožujka -h. ožujka -h Novi termi. ožujka -h. ožujka -h. travja - Pravila kolokvija Dozvoljee
Osnove teorije uzoraka
Oove teorije uzoraka Oove teorije uzoraka UZORAK: lučaji, reprezetativi dio oovog kupa populacije Uzorci: 1.uzorak:,, 1 1.uzorak:,, i.uzorak:,, i i Razdioba aritmetičke redie uzorka f ( ) f ( ) razdioba
Tačkaste ocene parametara raspodele
Tačkaste ocee parametara raspodele Na osovu uzorka treba da se odredi kakva je raspodela obeležja a populaciji Ako je tip raspodele pozat, treba da se odrede parametri raspodele Pošto je realizovaa vredost
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
UVOD U STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE
STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 1/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 2/22 UVOD U STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE riječ STATISTIKA (lat. status = staje) Statistika deskriptiva iferecijala
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Testiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA
Matematički kolokvijum (Baja Luka) MAT-KOL (Baja Luka) XIV()(2008), 59-83 TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA Uvod Aleksadra Vasilić Prirodo-matematički fakultet Baja Luka, Mladea
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Uvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Verovatnoća i Statistika. II deo. Osnovi Statistike. Beleške Prof. Aleksandra Ivića
Verovatoća i Statistika II deo. Osovi Statistike Beleške Prof. Aleksadra Ivića 0.1 Osove statističke veličie Osovi zadatak matematičke statistike sastoji se u tome da se iz jedog dela eke geerale kolekcije
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Ivan Lulić. Zagreb, 2014.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Iva Lulić Zagreb, 2014. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Metori: Prof. dr. sc. Nedeljko Štefaić,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Izrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike
Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 39 Uvod Osnovna zadaća Statistike je na temelju uzorka ocijeniti kakvu razdiobu
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Z A D A C I - Grupe A i B Z A P R O D U Ž E N I
Elektrotehički fakultet Uiverziteta u Sarajevu Z A D A C I - Grupe A i B Z A P O D U Ž E N I POPAVNI (PAC I INTEGALNI) ISPIT IZ PEDMETA INŽENJESKA MATEMATIKA Akademska 008-009 godia Sarajevo, 04 09 009
Granične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
STATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi
STATISTIKA. Osovi pojmovi Matematička statistika se bavi proučavajem skupova sa velikim brojem elemeata, koji su jedorodi u odosu a jedo ili više zajedičkih kvalitatitvih ili kvatitativih svojstava. Kako
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja se nazivaju neparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
4 Testiranje statističkih hipoteza
4 Testiranje statističkih hipoteza 1 4.1. Statistička hipoteza Promatramo statističko obilježje X. Statistička hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o (populacijskoj) razdiobi od X. Kažemo da je statistička
Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013.
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013. 1. Novqi se baca tri puta. (a) Zapisati skup svih mogu ih ishoda. (b) Oznaqimo sa A k događaj da je u k-tom bacanju palo pismo, k {1, 2, 3}. Koriste
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
2.9. Regresiona analiza
.9. Regresioa aaliza U prethodom tekstu je avedeo da se u ekoomskim aalizama mogu koristiti različite matematičke fukcije za opisivaje zavisosti između posmatraih veličia. Za fukciju ukupih troškova, a
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
METODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.