Mehanika gravitacije. nebeski balet

Transcript

1 ehanika gaitacije nebeski balet

2 eocentiza s. heliocentiza Tek pije 500 godina poljski sećenik Nikola Kopenik ( ) ožiljaa ideju gčkih islilaca i stalja Sunce ujesto Zelje u centa staanja De eolutionibus obiu celestiu (objaljeni tek nakon njegoe sti). Tycho Bahe ( ) ujeen u geocentiza; na teelju njegoih opažanja asa njego asistent Johannes Keple ( ) dolazi epiijski do soja ti zakona u djelu Haonice undi (69.)

3 . Kepleo zakon Planetane obite iaju oblik elipse, u čije je jedno fokusu Sunce. f 0 e nueički ekscenticitet staze e = f / a f a b x a žaišna f elika ala b y duljina OF poluos poluos lineani OF ekcenticitet f a b Segentni oblik jednadžbe elipse s ishodište u (0,0) staze KONIKE (ČUNOSJEČNICE) e = 0 kužnica 0 < e < elipsa e = paabola e > hipebola

4 Konike (Čunosječnice)

5 PRAKTIČAN RAD: CRTANJE ELIPSE Nactajte elipsu pooću konca, dije pibadače, katona i oloke.

6 Izgled putanja s neki ijednostia ekscenticiteta: Ekscenticiteti planetanih obita eku 0.06 Venea Zelja as Jupite Satun Uan Neptun Pluton 0.5

7 . Kepleo zakon Planeti u jednaki eenski intealia opisuju jednake pošine. Pošinska bzina: oje pošine koju pijeđe adij ekto i eenskog inteala. A h A t n h t const. no. const. L /

8 ZADATAK. Odedite oje najeće i najanje udaljenosti asa od Sunca, tj. adij ektoa u afelu i peihelu, a takođe i oje tenutnih bzina u ti položajia. Nueički ekscenticitet asoe staze e = 0,09. a f e f a f a,05 : / e e a f a f a Peihel i afel: sao noalna koponenta bzine (. Kepleo zakon):,05. A P P A n konst

9 . Kepleo zakon Kadati ophodnih eena planeta oko Sunca odnose se kao kubusi njihoih elikih poluosi. F =. k T k T 4 Teći Kepleo zakon dugačije je napisana bzina kuženja: haonija sjetoa

10 ZADATAK. Izačunaj Sunčeu asu iz podataka o gibanju Zelje: tajanje jednog ophoda je godina, a adijus staze je astonoska jedinica. k T T, T 59,60 ( ,540 ) ,670 0 kg

11 Newtono zakon gaitacije F 6,670 N aitacijska sila je uzajana, centalna i pilačna! Zakon ijedi za ATERIJALNE TOČKE točkaste ase. A što kada tijela nisu točkasta? aitacijsko polje postaje lo složeno! ˆ kg Teba suiati po si eleentani asaa i jednog i dugog tijela!

12 Ujeti pijene Newtonoog zakona gaitacije. Izeđu ateijalnih točaka. Izeđu hoogenih kugli koje ne podiu jedna u dugu. Izeđu kugli u kojia gustoća oisi sao o, a kugle ne podiu jedna u dugu

13 Slobodni pad Odedio akceleaciju alenog tijela ase koji se nalazi u polju sfene ase. Pea. Newtonoo aksiou: F F g g g

14 ZADATAK. asa Sunca i njego poluje nogo je eća od ase i polujea Zelje. Koliko je eća pošinska akceleacija Sunca? Z = 5, kg R Z =678 k, S = 0 0 kg, R S =6, k ,76 9,8 8, 8, ) 0 (6, ,974 0 s s g R R R R g g s S Z Z S Z Z S S Z S

15 ZADATAK 4. Razak centaa Zelje i jeseca je u posjeku k. Na kojoj udaljenosti od Zelje su pilačne sile Zelje i jeseca jednake a supotnih sjeoa? Kako ješenje daje, negatini pedznak dugog koijena? Uputa: odnos asa Zelje i jeseca je 8,. Z Z Z 8, Z Z k Z 9, 0 Z Z () () 9 Z z k 8440 k k k k Što je s negatino ijednosti Z = - 9???? Pozitina ijednost - položaj gdje su sile bile jednake nalazio se izeđu jeseca i Zelje. Kada je oje udaljenosti negatian, položaj jednakih sila oa se nalaziti s dalje stane jeseca. Sile ogu biti jednake i s bliže i s dalje stane jeseca

16 Kuženje satelita. kozička bzina Jedno je tijelo znatno eće ase od dugoga (satelita): >>. Centa staze je u centu onoga tijela koje ia znatno eću asu u slučaju kužne staze to je centa kužnice, a u slučaju eliptične, to je žaište elipse (I. Kepleo zakon). F = g Za Zelju: 4 60 kg, 678 k 7,9 k/ s. kozička bzina Bzina kuženja na saoj pošini za bilo koju dugu isinu teba ačunati nou ijednost!

17 Oslobađanje satelita. kozička bzina Što se događa kada se bzina satelita poeća iznad bzine kuženja? Staza postaje se izduženija ujesto kužne postaje eliptična a zati i paabolična kada će napustiti Zeljinu blizinu i otići u eđuplanetani posto. Tada ia bzinu oslobađanja. Potencijalna enegija ase u blizini ase : E P Dogoono ia negatian pedznak s poećanje azaka E P postaje anje negatina, a na beskonačnoj udaljenosti iznosi 0. Zaislio poces oslobađanja tijela u slučaju kada je tijelo na početku ioalo na Zelji a na kaju ioalo na beskonačnoj udaljenosti od Zelje: EP EP 0 Iz zakona sačuanja enegije, ta se enegija ogla dobiti sao iz kinetičke enegije koju so dali tijelu kada so ga poslali sa Zelje početno bzino 0 : E K 0 0 Za Zelju : 0, k/ R s

18 Ako tijelo eć kuži oko Zelje (. kozička bzina), do bzine oslobađanja (. kozička bzina) teba doesti još toliko enegije koliko je eć ia: K 0 Kolika je ukupna enegija tijela koje se giba na stalnoj udaljenosti oko tijela? E E U U E E K p E ; E K P E K P E K i E U su po iznosu jednake, i jednake su E P /! Vezani sustai iaju negatinu enegiju - da bi se susta azdojio teba utošiti enegiju! Isto ijedi i za atoe u olekuli, atoskoj jezgi i elektonu

19 ZADATAK 5. Odedite bzinu oslobađanja s pošine jeseca. = 7,5 0 kg R = 78 k,7 k/ R 0 s

20 . kozička bzina Bzina oslobađanja iz Sunčeog gaitacijskog polja, lansianje sa Zelje: 0 6,670, , k/ s Ako lansiao aketu u sjeu gibanja Zelje koja se eć giba bzino od 9,8 k/s onda na teba još ooliko enegije: E 4, 9,8k / s,k / s K Ukupno aketi teba dati sljedeću enegiju (da bi lansiana sa Zelje sladala gaitacijska polja i Zelje i Sunca):,k/ s,k/ s 6,6 k/ s KORISNO ZA UŠTEDU ORIVA!

21 ibanje ujetnih satelita asa i je uglano zaneaia u odnosu na Zelju; osi Zelje na putanju satelita utječu i Sunce i jesec. aitacijsko polje Zelje takođe je lo složeno zbog oblika Zelje i aspoeda ase. Dugi uzok pojene putanje je otpo atosfee! Kada satelit pelazi na nižu stazu, potencijalnu enegiju izgubi da puta iše nego ukupnu, a kinetička enegija poaste koliko se ukupna enegija sanji. Bzina kuženja na nižoj stazi je eća. E E U U E P E E E K p K E ; E K P E P E K P E K E P 0 VIRIJALNI TEORE ujet stabilnosti

22 ZADATAK 6. Izačunajte kolika je dodatna bzina potebna satelitu koji oko Zelje kuži s polujeo k da bi postigao bzinu oslobađanja? E U E K E P K Tijelo je slobodno kada ukupna enegija poaste do nule, odnosno kada se udaljenost beskonačno poeća: 6, ,5k/ s Lakše je ubzati tijelo kada je ono eć u obiti astonautika!

23 Dinaika dojnog sustaa F 4 T g 4 T g Sila izeđu tijela je stalna obje akceleacije stalne ako je azak stalan što zadooljaaju koncentične kužne staze. Tijela obiđu staze u isto ijee tijela se uijek nalaze na dijaetalno supotni točkaa: = + što je jednako azaku tijela. Ophodne bzine su u isto odnosu u koje su i opsezi/polujei staza: Polujei staza su obnuto popocionalni asaa:

24 Razak tijela od zajedničkog centa kuženja obnuto je popocionalan asaa tijela! CENTAR ASE/TEŽIŠTE SUSTAVA Složeno tijelo u gaitacijsko polju giba se kao da je sa asa postaljena u centa ase a saa tijela obilaze oko centa ase. jesec Zelja: oko Sunca po elipsi putuje centa ase sustaa Zelja-jesec Jedina egzaktna etoda jeenja zjezdanih asa! 4 T g 4 T g 4 T ) ( 4 T. Kepleo zakon: +

25 ZADATAK 7. Izačunaj oje pilačnih sila oih paoa: Sunca i jeseca te Zelje i jeseca. Pilače li se jače jesec i Zelja ili jesec i Sunce? F F S Z S S Z Z S Z Z S ,844 49,6, Sunčea pilačna sila da je puta eća od Zeljine. Pea toe, jesec je pije Sunče satelit nego Zeljin!

26 Dinaika tojnog sustaa Si planeti su u eđusobnoj inteakciji što doodi do petubacije ili poeećenja od gibanja pea Kepleoi zakonia. Poeećaj staze Uana pokenula je taženje ase koja je doela do otkića Neptuna 846., a zati i Plutona 90. Rješenje je pedidio jedino u slučaju kada je teća asa zaneaia pea poj i dugoj. Tada teće tijelo zadžaa gotoo stalan položaj u odnosu na pa da tijela, ako se nalazi u Lagangeoi točkaa L do L 5 tada ia jednaki peiod eolucije. Točke 4 i 5 nalaze se na hoia jedankokačnoga tokuta. U sustau Sunce- Jupite, oko tih točaka laiaju asteoidi Tojanci (isped Jupitea asteoidi iaju iena gčkih ličnosti iz Tojanskoga ata, a iza Jupitea iaju iena banitelja Toje).

27 U sustau Sunce Zelja, u točku L ubacuju se opseatoiji koji poučaaju Sunce i jee Sunče jeta (np. SOHO). Kao pedstaža dojaljuju nailazak plaze iz bljeskoa i kooninih izbačaja te Sunčee kozičke zake što ože doesti do poeećaja u Zeljinoj atosfei: ugoziti djeloanje kounikacijskih i dugih satelita, te pidonijeti izloženosti začenju na zakoploni isinaa i tlu. Tijelo u točki L giba se s isti peiodo eolucije kao i Zelja (iako je bliže Suncu, ne lada se po Kepleoi bzinaa). SOHO je ušao u halo-obitu oko točke L u kojoj ostaje, obilazeći je za 78 d. Pecizni ubacianje u stazu ušteđeno je goio koje će se za koekciju položaja oći koistiti 0 god. L je od Zelje udaljena,5 il. k. Lansianje.XII. 995.

28 Odeđianje ase ETODA. Izjeio pošinsko ubzanje na Zelji i poluje: g R gr ETODA. Iz bzine kuženja satelita: Ako uzeo bzinu kuženja Zelje oko Sunca =9,8 k/s i sednju udaljenost izeđu njih =, k : (9,8 0 / s),4960 6,670 N kg kg

29 ETODA. Iz. Kepleoog zakona F =. k T k T 4 Teći Kepleo zakon dugačije je napisana bzina kuženja: T 4

30 ETODA 4. Iz. Kepleoog zakona za dojne sustae, np. dojne zijezde 4 T g 4 T g 4 T ) ( 4 T. Kepleo zakon: + Za točne iznose asa, potebno je odediti oje njihoih udaljenosti od centa ase: Oje udaljenosti se odeđuje opažanjia ili spektoskopski jeenje bzina je je on jednak:

31 ZADATAK 8. Odedite asu Venee na teelju podataka da je seiska letjelica aine obilazila oko Venee na udaljenosti 5 00 k po kužno luku bzino,05 k/s. ETODA. Iz bzine kuženja satelita: Ako uzeo bzinu kuženja letjelice aine oko Venee =,05 k/s i sednju udaljenost izeđu njih = 500 k : (,050 / s) ,670 N kg 4,890 4 kg

32 ZADATAK 9. Kako je odeđena asa jeseca Oko Sunca po elipsi putuje C sustaa Zelja-jesec, Zelja kao da tetua u itu jesečeih obilazaka/faza. C se giba Kepleoo bzino, a Zelja ili bza ili zaostaje za kut piidnog gibanja Sunca α = 6,44. Udaljenost centa Zelje od C sustaa (luk kužnice polujea aj udaljenosti do Sunca): 6 6 R 500 k,0 ad 468, k Ta se točka nalazi unuta Zeljine kugle! Onda je udaljenost jeseca od C = udaljenost od jeseca do Zelje udaljenost Zelje do C: 84400k468, k 7976, 7 Pea etodi Z Z Z k

33 Na tijela u kugli polujea ne utječu one ase koje se nalaze izan sfee, se gaitacijske sile poništaaju se: Sila na ateijalnu točku unuta kugle A V A V dje su A i A pošine baze aljka kojeg isjecaju ase i i koje su popoc.: A A ase i pilače tijelo ase u supotni sjeoia jednaki silaa: F i F Rezultanta sila IŠČEZAVA! Iako na tijelo ase djeluju se ase u si ljuskaa aspoeđene su po sjeu i eličini tako da se PONIŠTAVAJU!

34 Za saku udaljenost iao: F 4 V F 4 4 Oblik sile nije Newtonoski oa je sila popocionalna s udaljenosti poput elastične sile? Raste do pošine lineano gdje ia aksiu a onda opada s kadato udaljenosti! U centu je jednaka 0! Što bi bilo s tijelo koje i slobodno padalo koz oto koz Zelju? Oscilialo bi od jedne do duge pošine ako ne bi bilo otpoa zaka! Haonijsko gibanje je djeluje elastična sila!

35 Hidostatski tlak i hidostatska anoteža Tlak koji saka ljuska pitišće jednak je ojeu težine i pošine ljuske: p g S Vg 4 4 g 4 g Tlak na nekoj dubini u kugli pi polujeu nastaje dopinoso sih ljuski iznad (polujea ećeg od ). Tlak je najeći u centu kugle! Tlak u centu kugle (pibližan ačun) Zaislio da je cijela kugla jedna sfena ljuska čija je debljina = R (poluje kugle). Za ubzanje uziao ubzanje na poloici polujea kugle: g R R p g 4g R g R R HIDROSTATSKA RAVNOTEŽA SVEIRSKO OBJEKTA: hidostatski tlak uanotežen je s unutanji tlako.

36 Tlak u centu kugle (koektan ačun) g p d d g d 4 0 p R d d 4 0

37 Plina sila i Rocheoa ganica SUNCE SUNCE JESEC JESEC F F d / d / F F d F F d / d / d d / d / d / d / d 4 d Budući da se tijelo puža u postou (d) na njegoe dijeloe djeluju nejednake sile - azlika tih sila je PLINA SILA.

38 Kada plina sila postane destuktina Petpostaio da su dije ase poezane jedino gaitacijsko kohezijo, i kada je ta sila jednaka plinoj tijelo se nalazi na ganici aspadanja: F F d d d Ako na desnu stanu ujesto ase tijela ustio gustoću: 6 4 d d V 6 d d KRITIČNA USTOĆA (tijelo ostaje cijelo) Rocheoa ganica - piodni sateliti - Satuno psten Ako na desnu stanu ujesto ase tijela koje uzokuje pliu ustio gustoću: V , 4

39 ZADATAK 0. Odedi plinu silu izeđu diju asa od kg etikalno azaknutih na pošini: a) bijelog patuljka (tijelo polujea Zelje a ase Sunca), b) neutonske zijezde (tijelo polujea od 0 k a ase Sunca), c) cne jae (poluje k, asa Sunca)! 0 d 6,670 N kg 0 kgkg F, 0N 6700 F F 0 d 6,670 N kg 0 kgkg, d 6,670 N kg 0 kgkg N N

40 Plia i udaljaanje jeseca Plini aloi zaostaju za tnjo Zelje i stoga je koče što sanjuje kutnu količinu gibanja. Kako u zatoeni sustaia kutna količina gibanja oa biti sačuana sanjenje količine gibanja Zelje poećaa se kutna količina gibanja jeseca: Zbog pojae plinih ispupčenja, sila izeđu da tijela pestaje biti centalna. Tangencijalna koponenta pilačne sile, Ft na dijelu jesečea puta obalja ad i poećaa u enegiju enegija satelita poećaa se tako da u se poeća poluje staze. Ukupna enegija ezanog tijela je: 4 c/god E u E u Ek E p / E p F Poećanje enegije satelita sanjuje u se negatina ijednost - poećaa se poluje staze.