INTEGRAZIO-METODOAK. f funtzioa emanik, F funtzioa f-ren jatorrizkoa dela esaten da baldin F = f.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "INTEGRAZIO-METODOAK. f funtzioa emanik, F funtzioa f-ren jatorrizkoa dela esaten da baldin F = f."

Ηιονη Διαμαντόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

INTEGRAZIO-METODOA.- INTEGRAL MUGAGABEA f funtzio mnik, F funtzio f-rn jtorrizko dl stn d ldin F = f. Bldin f funtziok jtorrizko t du, ordun infinitu ditu t hin rtko difrntzi konstnt d.

1 INTEGRAZIO-METODOA.- INTEGRAL MUGAGABEA f funtzio mnik, F funtzio f-rn jtorrizko dl stn d ldin F = f. Bldin f funtziok jtorrizko t du, ordun infinitu ditu t hin rtko difrntzi konstnt d. Hu dl t, f funtziorn jtorrizko guztik ostzn dutn multzori intgrl mugg stn zio t hurrngo rr dirztn d: f ( d ) = F Intgrl rgilk linltsun-propitt ttzn du: ( f + g ) d= f( d ) + gd Gi hontko hluru ngusi mndko funtzio tn intgrl mugg klkultz d, r jtorrizko urkitz lgi. Ondotik dtozn intgrzio-mtodok ohikonk dir..- INTEGRAZIO-METODOA..- Intgrl rhlkok Honko tul hontn urkztn dirn mitzk, funtzio lmntln dritun zrrndtik rrz ondoriozttzn dir: n d = n+, n n + ( f ) n n ( f ) f ( ) d = n + +, n d = L f ( ) d = L f f d = L f f ( ) d = f ( L ) sin d = cos f ( ) sin( f ) d = cos( f ) cos = sin f ( ) cos( f ) d = sin( f ) tn = L cos f tn( f) d= L cos( f) cot = L sin f cot( f) d= L sin( f)

2 cos d = tn d = cot sin f d= tn f ( f ) cos ( f ) sin f d= cot f + f d = f f + + C d = rctn rctn ( ) - d = rcsin f d= rcsin ( f ) f - + d = + + c + + c..- Aldgi-ldkt (ordzktz printzipio) I = f g g d intgrl klkultu nhi dugul. Bldin g = t ldgi-ldkt gitn d, ordun g d = dt, t urrko intgrl I = f( t) dt ihurtuko zigu. Bldin f-rn jtorrizko F d, ordun I = Ft () = F( g). Dmgun [ ] cos Adiid: lkultu I = d sin Intgrl hu ztko sin = t ldgi-ldkt gin ditk. Ordun cos d = dt t I dt =. Intgrl hu rhlko d: t..- Ztikko intgrzio dt t I = = t dt t = + = + = + t sin uv ' d= uv u'( v ) d Intgrlrn dskonposkt honk rilgrritsun prktiko izngo du igrrn intgrl lhnngo ino rrzgo dnn. Adiid: lkultu I = L d

3 Honko dskonposkt hu gingo dugu: d L = u = du d = dv = v Ordun, I = L d= L d L d L = = +..- Funtzio rzionln intgrlk su hontn intgrtu hr dn funtzio i polinomiorn rtko ztidur d: I P = d Q Dmgun p znkitzilko polinomiorn mil dl t q izndtzilko. su i grt ditzk: ) Bldin p q ztikt urutuko dugu. Honl, hsirko intgrl i intgrln rtko tukt ihurtzn d: P H I = d = Z d d Q + Q Lhnngo tugin ztidur polinomio dugu t r intgrl rhlko d. Bigrrnn, rriz, st intgrl rzionl sortu zigu. Znkitzilko polinomio ztiktrn hondrr d t, rz, r mil izndtzilko ino tikigo d. Et honk igrrn ksur rmtn gitu. ) Bldin p < q Q polinomiorn rrok iltuko ditugu, fktor sinpltko dskonposizio lortzko. Polinomiorn rrok rrlk do konpluk izn ditzk, sinplk do nizkoitzk Dmgun, diid gis, i rro rrl ditul, sinpl t m nizkoiztsunko, t rro konplu t, α ± iβ sinpl. ontun izn rro konpluk ti ink grtzn dirl, α + iβ t r konjoktu α iβ. Brz, Q polinomio honlko d: m Q = ( ) ( ) ( α) + β non ( β α ) + idrkgi idrkt honttik sortzn d: [ ( α + iβ )] [ ( α iβ )] = [( α) iβ ] [ ( α) + iβ ] = ( α) ( iβ ) = ( α) + β ( i = )

4 Hu dl t, hsirko polinomion rtko ztidur r hontn dskonpostzn d: P A B B B C+ D Q ( ) ( ) ( α) + β m = m () Orin, rdintzko skuinn grtzn dn tukt klkultuko d, izndtziln multiplo komuntko tikin jrriz ( Q polinomio hin zuzn r) t rdintzko ld itko znkitzilk konprtuko dir A, B, B,..., B m, C t D kofizintk trtzko. Bhin hori lortut, () rdintz intgr ditk. Eskuinn grtzn dirn intgrl guztik rhlkok do i rhlkok dir: d L = + m+ d m ( ) = ( ) d=, m m ( ) m+ A + B A + Aα Aα + B A Aα Aα + B d = d = d + d ( α) + β ( α) + β ( α) + β ( α) + β Btugi hutko lhnngorn soluzio logritmo d t igrrnrn rku tngnt: A ( α) A ( α) A d = d = L( α) + β ( α) + β ( α) + β Aα + β Aα + β d Aα + β α d = = rctn + ( α) + β β α β β + β Mtodo honi frkzio sinpltko dskonposizio stn zio. Ohrr: Nhiz t mtodo hu rro konplu nizkoitzk ditugunn r plikgrri izn, gokigo dn st mtodo t dgo, Hrmit-rn mtodo hin zuzn r. Hl r, r zgur unirtsittz knpoko milri z dgokiol ust dugu t horrgtik z d hmn zltzn. Adiidk: lkultu hurrngo intgrl huk: d.- I = rz, polinomio honn rrok konpluk dir. Izn r, intgrl i rhlko d, rku tngnt hin zuzn r:

5 I d d d d + = = = = = rctn 5 ( ) ( ) I = d 8+ 5 Izndtziln igrrn milko polinomio dugunz t znkitzilko lhnngo milko dnz, situko gr lortzn znkitziln izndtzilrn dritu: +.- I = d I = d = d = L ( ) Intgrl rzionl hu i rhlko d. Hsiko gr znkitzilko polinomio izndtzilkorn dritu ihurtzn: I = d = d = d + d Bi tugi hutko lhnngon logritmo dugu: Et igrrnn rku tngnt: d = L ( + 6) d 7 d 7 d 7 d = 7 = = = rctn + 6 ( ) + ( ) I = d = L rctn + 6 Brz, I = d Polinomiorn fktortko dskonposizio lortuko dugu: = ( + + ) + + = 0 kuziorn rrok iltzko Ruffini pliktuko dugu: 5

6 t Brz, = ( ) ( + ). Orin frkzio sinpltko dskonposiziorn mtodo pliktuko dugu: A B C D+ E = ( ) + Eskuinko tuktn izndtziln multiplo komuntko tikin polinomio d t rz, = A ( ) ( + ) + B ( ) ( + ) + C ( + ) + ( D+ E ) ( ) = = = ( ) ( ) ( ) A+ B+ D + E D A B+ C + D E+ A+ B + C A B+ E + A Znkitzilk konprtuz, honko sistm hu tzi hrko dugu: A+ B+ D= 0 E D A B + C = 0 D E + A + B = 0 A = B = C = D = 0 E = C A B + E = 0 A = Ordun, d d d d I = L L rctn + + = + + ( ) + ( ).- BESTE ZENBAIT ADIBIDE.- lkultu I = d ( + ) Intgrl irrzionl d r, intgrl rhlkotzt hr dzkgu: 6

7 I d d d + = = rcsin = = + ( + ) ( + ) +.- lkultu I = d Intgrl irrzionl hu r intgrl rhlko ihur ditk. Hstko znkitziln izndtzilko polinomiorn dritu lortu hr dugu: + I = d = d d = = = d Lhnngo tugi rhlko d: d = + d Bigrrnn, urrko diidn zl joktuko dugu rku sinu funtzio lortzko: d d d d = = 5 = 5 (+ ) 5 (+ ) + d + = rcsin 5 = Ordun, + I = d = rcsin 5.- Funtzio trigonomtrikoz osturiko dirzpnri intgrl trigonomtriko stn zio. Znit ksutn ldgi-ldkt rzi hrko d r, oro hr funtzio trigonomtrikon oinrrizko propitttn oinrrituz gro klkul ditzk intgrl huk. Ikus ditzgun ondorngo diidk: I = sin cos d Aldgi-ldkt hu gingo dugu: sin = t cos d = dt Ordun: I sin cos d sin cos cos d t ( t ) dt = = = = 5 5 t t sin sin = = 5 5 7

8 I = tn d Hurrngo formul huk strik z ditugu kontun hrtu hrko: cos cos cos (tn ) = cos sin cos tn = = = Hori dl t, I tn d tn tn d = = = tn tn tn cos d = cos d d Btugi itn intgrl rhlkok lortu dir. Lhnngon: d tn = t = dt cos t (tn ) tn d = t dt = = cos Et igrrnn: tn d = L cos Ordun, tn I = tn d= L cos.- INTEGRAL MUGATUA Izn di [, ] trt finitun dfinituriko f funtzio mugtu. f ( d ) dirzpnri f- rn intgrl mugtu stn zio. Hmn z d dfinizio forml zlduko; itzitik, intgrl mugturi uruzko i gi prktikogotn rrt jrriko dugu: Nol klkultzn dn intgrl mugtu Zrtrko ril ditkn intgrl mugtu...- Brrow-n rrgl Izn di f jrritu [, ] trtn. Bldin F f-rn jtorrizko d ordun, f ( d ) = F F 8

9 Eskurki, f ( d ) = F = F F idtziko dugu. Formul horrn rr, intgrl mugturn klkuluk i pusu hr ditu:.- Jtorrizko lortu (urrko tltn horrtn ritu gr).- Bliozttu jtorrizko hori t puntutn. Adiid: lkultu d Dkigunz, d =. Brz, 7 d= = =..- Plnoko skuldrn zlrrn klkulu Intgrl mugtuk hint plikzio ditu r, hmn horitko grrntzitsunz rdurtuko gr, zlrrn klkuluz hin zuzn r. Izn di y = f 0 funtzio jrrituk t OX rdtzk mugturiko plnoko skuld = t = zuznn rtn. Hu d: {(, ) /,0 } R = y y f y = f R Ordun, Azlr( R) = f d Bldin y f 0 [, ] = ordun, Azlr( R) = f d = f d Et, oro hr, ldin R = {( y, ) /, f y g }, ordun: 9

10 [ ] Azlr( R) = f g d Adiid: lkultu y = kurk t y = + zuznk mugtzn dutn plnoko skuldrn zlr lhnngo kodrntn. y = t y = + kurn rtko ki-puntuk klkultuko ditugu: ± + = + = = = Lhnngo kodrntn dfinituriko skuld dnz, urrko i soluziotko tk strik z du lio, positio dnk hin zuzn r. urrn t zuznrn rtko posizio rltiori dgokionz rriz, = + < 0 0, 6. Brz, y = kur y = + zuznrn zpitik dgo. Hori dl t, honko rmu hu dugu: = + R (, y) /0, y R Ordun, Azlr( R) = + d = + = + = PROPOSATURIO ARIETA.- lkultu hurrngo intgrlk: 0

11 ) d ) d ) ( ) d ) d / 5) d 6) d 7) d ) d 8) cos d 9) rctn d 0) rcsin d cos( cos( ) d ) Ld ) d ( ) d ) + 9 d d ) d ) d ) d + 7) + 8 d

12 8) d ) d + + d 0) 9 ) d + d ) d + ) d + d ) ( ) d 5) ( + ) 6) 9 6 d 7) + d + + 8) d +.- lkultu = zuznn rtn. y = t y L = kurk mugturiko skuldrn zlr = t.- y = prol t r zuzn ukitzil = puntun mnik: ) lkultu prolk, zuzn ukitzilk t OY rdtzk mugturiko skuldrn zlr. ) lkultu prolk, zuzn ukitzilk t OX rdtzk mugturiko skuldrn zlr.

13 .- f = ( ) funtziok plnoko kur t dfinitzn du (supostu > 0 ). lkultu prmtrorn lio, kur horrk t OX rdtzk mugtzn dutn skuldrn zlr 6 izn ddin. 6.- PROPOSATURIO ARIETEN SOLUZIOA ) d = ) d = ) ) 5) 5 ( ) d = 5 d= / / d = 6) d = 7) d= 8) cos d= sin + cos + sin( ) cos( ) d= sin( ) cos( ) d= L 9) d = + rctn rctn L 0) ) ) rcsin rcsin d = + L Ld = 9 L d = +

14 d = ( ) ) d = rctn d + = rctn d = L ) + + d = L rctn ) + 5 6) d = L + L L d = L + L + + rctn + 8 7) 8) d L = + 9) d = rctn + L( + ) 0) d 9 = rcsin + + ) rctn d = ) rcsin d = d ( ) = rcsin ) + + d = + + ) d ( ) = rcsin( )

15 5) d ( + ) + = rcsin + 6) 9 d = rcsin + 6 7) d = rctn + + 8) + + d = Azlr = L +.- ) ).- = 6 Azlr = Azlr = 5

Σχετικά έγγραφα

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II Giz et Gizrte Zientzik (. mil Giz et Gizrte Zientzik Mtemtik II. ebluzio - Funtziok: Limitek, Deribtu - Integrlk Igncio Zulog B.H.I. (Eibr -- FUNTZIOAK (II Ignzio Zulog B. I. (Eibr Giz et Gizrte Zientzik