TRIGONOMETRIA. honetarako erabiltzen da. triangelu ez angeluzuzenetan ALTUERAREN ESTRATEGIA. honetan datza

Transcript

1 7 Trigonometri Unitteren urkezpen ngelu bten tngente u d: tringelu ngeluzuzen bten urkko ktetoren et lboko ktetoren rten dgoen erlzioren et tringelu orren ntzekok diren guztietkoen rten dgoenren rteko erlzio. Hori zpimrrtu ni d sierko egoerrekin: tket bten et orren itzlren luzerk dkizkigu; erlzio ber egongo d orien rten et zeli orizontl orretn duden zuitzen ltueren et orien itzlen ltueren rten. Unitteren bigrren orrilden plntetzen den unitte sierko dibide onetn, tringeluk ntzekotsunetik bitut ebzten dir; izn ere, komeni d trigonometri ntzekotsunrekin lotut lntzen ste. rrzoi trigonometrikoen definiziok zein diren jkin ondoren, iksleek orietko btzuk metodo grfikoren bidez klkultze izngo d egokien, kontzeptu finktu dezten. Kodrnte goniometriko erbiltze ere oso lgungrri izngo d, ngelu zorrotzen rrzoi trigonometrikok bistrtzeko. rrzoi trigonometriko ngusiek grrntzi teoriko et prktiko ndi dutenez, komeni d iksleek klkulgilu erbiltze; bi ngelu bten rrzoi trigonometrikok klkultzeko, bi rrzoietko bt ezgun duen ngelu bt zein den klkultzeko ere. Izn ere, gero, rrzoi orrettik bitut, beste guztik klkultu l izngo dir. Kontun rtu ber dugu, orrez gin, 0, 4 et 60 -ren rrzoi trigonometrikok lortzek et ikstek interes prktiko zein teoriko ndi duel. Unitte biribiltzeko, tringelu ngeluzuzenk ebzten iksiko dugu. Plntemendu on bt erbilit (ltuerren estrtegi) edozein tringelu mot ebtzi l izngo dugu. Edozein ngeluren rrzoi trigonometrikok nol klkultzen diren ere lnduko dugu, lgungrrik izngo bitir funtzio trigonometrikoen erikuntzn. ngeluen neurri rdinetn emterekin ere beste orrenbeste egingo dugu, funtzio zirkulrren definizioetrko bkrrik bit interesgrri. Hemen oso lbur definituko ditugu funtzio oriek, et orien grpen skon btxilergorko utziko dugu. Gutxieneko ezgutzk ngelu bten rrzoi trigonometrikok definitze. Grfiko bidez lortze (zuzenkik tringelu ngeluzuzen bten ginen neurtut) et kodrnte goniometrikoren bidez. Oinrrizko erlziok erbiltze rrzoi trigonometriko bt ezgutu et beste bt lortzeko. 0, 4 et 60 -ren rrzoi trigonometrikok lortze. Klkulgilu trebe erbiltze ngelu bten rrzoi trigonometrikok lortzeko, edot rrzoi bt jkind ngelu lortzeko. Tringelu ngeluzuzenk ebzte. Unitteren eskem TRIGONOMETRI onetrko erbiltzen d tringelu ngeluzuzenetn TRINGELUK ETZI lde et ngelu ezgun btzuettik bitut ezezgunk diren beste btzuk lortze orretrko, uek erbiltzen dir tringelu ez ngeluzuzenetn FUNTZIO TRIGONOMETRIKOK rrzoi trigonometrikoen ldkuntz: y = sin x y = cos x y = tg x x ngeluren rber RRZOI TRIGONOMETRIKOK sin = cos = tg = urkkokteto ipotenus lboko kteto ipotenus urkkokteto lbokokteto erlzio u dute LTUERREN ESTRTEGI onetn dtz tringelu bt ebtz ditezkeen bi tringelu ngeluzuzenetn bntuko duen ltuer ukertze orretrko ngelu rdinetn dierzi ber d rdin = 80º 7,º π sin cos = tg 6

2 Osgrri grrntzitsuk ltuerren estrtegi erbiltze tringelu ngelukmutsk ebzteko. Edozein ngeluren rrzoi trigonometrikok lortze. ngelu osgrrien rrzoi trigonometrikoen rten dgoen erlzio ztertze. Ekuzio trigonometriko errzk ebzte. Rdin et funtzio trigonometrikok lntze. Lnk urrertu i tringelu ngeluzuzen ntzekok noiz diren erbkitze. Itzlk erbiltze leku iristezinetko luzer btzuk klkultzeko. Ondorengo tul onetn, lnkidetzn ikste, pentsmendu ulerkorr, pentsmendu kritiko, diziplinrtekotsun, ekimen et problemen ebzpen lntzeko et orri guztiri rret jrtzeko riketk bildut geri dir. tzuk iksleren liburun (I.L.) propostut dude, et, emen, zer orrildetn duden et zer riket diren dierzi d. este btzuk, rgi zezten den modun, Proposmen Didktikon (P.D.) irdokit dude. Irdokizun uetko btzuk ikur btekin mrktut dude iksleren liburun; emen, (*) ikurr erbiliz nbrmendu ditugu. LNKIDETZN IKSI PENTSMENDU ULERKORR PENTSMENDU KRITIKO 44. or. P.D. onetn irdokitko riket (*) 4. or. Ebtzi 6. or.. (*) riket 4. or. Pentstu et egin 49. or. riket ebtzi. P.D. onetn irdokitko riket (*) 46. or. Pentstu et egin (*) 0. or. riket ebtzik (*) 47., 48., 49. et 0. or. Pentstu et egin. or. 4.,. et 6. (*) riketk. or. Pentstu et egin (*). or. 4.,. et 6. (*) riketk. et 4. or. Pentstu et egin 4. or. riket ebtzi. or. Pentstu et egin (*) 6. or. ztertu (*) 8., 9. et 60. or. - riketk 7. or. riket et problem ebtzik (*) 60. or. - 4 (*) riketk 6. or. Hinbt geometri(*) 6. or riketk 6. or. 48. (*) riket DIZIPLINRTEKOTSUN IKTk EKIMENK PROLEMK ETZI 4. or. P.D. onetn irdokitko riket (*) 4. or. P.D. onetn irdokitko riket (*) 4. or. Ebtzi (*) Iksleren liburun propostutko problem guztik tl onetn brnertut dude. Hemen prteko interes duten btzuk nbrmentzen dir. 48. or.. (*) riket 44. or. Pentstu et egin 60. or. - 4 riketk 49. or. Pentstu et egin (*) 0. or. Pentstu et egin. or. Pentstu et egin 4. or.. (*) riket 4. or. Pentstu et egin (*) 6. or (*) riketk 6. or. Lortu informzio (*) 6. or. Trebtu problemk ebtziz (*) 7

3 7 Trigonometri Greziko bi stronomo ndi Historin, trigonometriren grpen stronomiren grpenrekin lotut egon d. ntzinko Grezin bi stronomo ndi nbrmendu ziren: Hiprko Nizekok (K ), «stronomiren it» omen den zientzilrik, sistem irurogeitrr sendotu et finktu zuen ngeluk neurtzeko. Trigonometriren funts neurri ngelurren lekun neurri linelk jrtze del kontun iznd, tul btzuk egin zituen ngelu bkoitzren neurri zegokion kordren luzerrekin c lotzeko. Ptolomeo lexndrikok (8-6) Hiprkoren ln skondu et obetu zuen, et miru liburuko stronomi-ln izugrri idtzi zuen: lmgesto, (ndien). Trigonometriren oinrri Trigonometri tringelu zuzenen ntzekotsunen oinrritzen d: Tringelu zuzen bten bi lderen rteko rrzoi et tringelu orren ntzeko beste tringelu bten lde orien rteko rrzoi berdink dir. ztertu nol erbiltzen den propiette ori, onko dibide onetn: Lgun tlde btek lursil lu bteko zuitzen ltuerk neurtu ni ditu. Horretrko, onel joktu dute: Lurren tket bertikl srtu dute, et 6 cm utziz gerin. Ondoren, zuitzek et tketk egiten dituzten itzlen muturrk dierzi dituzte, lik et rinen. Hori egin osten, lsigo, neurrik rtu et bildu dituzte. Tketren et ltzifre bten itzlek onenbeste neurtzen dute: tketren itzl = 76 cm ltzifreren itzl =,7 m = 7 cm ntzekotsun erbiliz ebtziko dugu: x = 6 8 x = 7 6 = 08 cm =,08 m Hiprko Nizeko trigonometriren smtziletzt jotzen d. ltzifreren ltuer orren itzlren luzer bider 6 =,4 eginez lor dezkegu. 76 Zenbki ori 6 -ko ngelu duen edozein tringelu ngeluzuzenen ktetok ztituz gero lortzen den emitz d. erz, ngelu orrekin lotut dgoen zenbki d. 6 -ren tngente deitzen d. 6 Ptolomeoren «lmgesto» lnren XIII. mendeko rgitlpen. Mdrilgo Liburutegi Nzionlen gordet dgo. ntzin, zenbki oriek biltzen zituen tul bt erbiltzen zuten. Gur egun, klkulgilurekin lortzen ditugu Trigonometriren ondorengo bilker Indirrek grezirrek zeukten ikuspegitik ldendut zegoen trigonometri mot bt grtu zuten iv. et v. mendeetn: ngelu bkoitz ngelu orren bikoitzren kord-erdiren luzerrekin erlziontu zuten (geror ngeluren sinu deitu s izn den), et, orrel, erbiltzeko errzgok diren ngelu zuzenekin ln egite lortu zuten. rbirrek (ix-x mendeetn), Ptolomeoren lmgesto ln inspirzio iturritzt rtuz, sinuen tulk erbili zituzten, et beste neurri btzuetr zbldu et obetu zituzten. Oinrri sendoko trigonometri prktiko sortu zuten et Europ osor zbldu zen xii. mendetik urrer. xiii. mendeko strolbio islmiko. stronomiko tresn u Hiprkok smtu zuen, et ezinbesteko izn zen lur neurtzileentzt et nbigtzileentzt xviii. mender rte. Ebtzi. ) rrzoitu tketk et orren itzlk tringelu ngeluzuzen ertzen dutel. Guz ber gerttzen d zuitz bkoitzrekin et orren itzlrekin? b) Zergtik dierzi ber dituzte lik et rinen itzlen muturrk? rrzoitu zuitzek, edo tketk, et bkoitzri dgokion itzlk ertzen dituzten tringelu guztik ntzekok direl. c),9 m-ko itzl egin duen mkl bt dgoel jkind, klkultu zuitz orren ltuer. 4 4 Unitteren sier rrzoi trigonometriko bt ngelu bkoitzri lotzen zion zenbki bt d. Zenbki orrek ngelu bereizten du irizpide jkin bten rber. Interesgrri izngo d orrilde onetn geri diren bi irizpideei buruzko gogoet egite: grezirr (ngeluri lotut dgoen kord) nturlgo d; indirren irizpide (ngelu bikoitzren kord erdi), berriz, sofistiktugo d, bin komeni d ori erbiltze, tringelu ngeluzuzenk erbiltzen bititu. zkenen irizpide ori gilendu zen, sinu izenez. Iksleek zer dkiten rgitzeko glderk 4. orrilden propostzen den riket ebzteko, iksleek rgi izn ber dute tringelu ngeluzuzenen rteko ntzekotsunren idei (urreko unitten et urreko iksturteetn lndu izn dugu). Helburu d ikslek s ditezel trigonometriren oinrri zein den lntzen: tringelu zuzen bten bi lderen rteko rrzoi et tringelu orren ntzeko tringelu ntzekoetko lde korrespondenteen rteko rrzoi berdink dir. «Ebtzi» tlren soluziok ) ngeluzuzen d, lurrren ginen egiten duelko itzl, tketrekiko perpendikulr. b) lik et zkrren ibili ber dute, Eguzkiren mugimenduk itzletn erginik izn ez dezn. Tringeluk ntzekok dir, ngeluzuzenk direlko et ngelu zorrotz bt berdin dutelko (Eguzki-izpien inklinziori dgokion). c) 8,407 m OHRRK Diziplinrtekotsun riket u egite irdokitzen d: Honko uen dibidek emngo dituen orm-irudi egin: ) Trigonometriren et stronomiren rteko erlziok. b) Trigonometrik beste rlo btzuetn duen erbiler: lursilk neurtzeko, rkitekturn, krtogrfin IKTk riket u egite irdokitzen d: Irkurgin zltzen diren ntzinko mtemtikriei et trigonometriren sorkuntzn et bilkern izn zuten grrntziri buruzko informzio biltze Interneten et, gero, btertze-ln egite. 8

4 ngelu zorrotz bten rrzoi trigonometrikok urreko orrilden ikusi dugunez, tketren ltuerren et itzlren rteko rrzoi (6/76) et zuitzren ltuerren et itzlren rteko berdink dir. Horrel, bd, mkl bten ltuer klkultzeko,,9 m-ko itzl bider 6/76 egingo dugu. Ztidur orri ngeluren tngente esten diogu. 6 cm 76 cm,9 m Webgunen istrtu ngelu zorrotz bten rrzoi trigonometrikok. Pentstu et egin. Mrrztu urreko ngeluren moduko bten ginen (4 -ko) = 00 mm-ko duen tringelu ngeluzuzen bt. Klkultu orren rrzoi trigonometrikok et egizttu goiko dibideko blio berk lortzen dituzul. Trigonometri tringelu ngeluzuzenen ntzekotsunen oinrritzen d: Tringelu zuzen bten bi lderen rteko rrzoi et tringelu orren ntzeko beste tringelu bten lde orien rteko rrzoi berdink dir. Tringelu ngeluzuzen bten bi lderen rten egon ditezkeen rrzoi posible guztik lnduko ditugu. ngelu bten sinu, kosinu et tngente Eskuineko orren moduko ngelu zorrotz bten ginen, tringelu ngeluzuzen eriki dugu. -ren urkko kteto ztertu rrzoi trigonometriko esten zien ngeluren onko erlzio uek. -ren ondoko kteto ipotenus -ren sinu = - renurkkoktetoren luzer sin = ipotenusren luzer -ren kosinu = - renondokoktetoren luzer ipotenusren luzer cos = -ren tngente = - renurkkoktetoren luzer tg = - renondokoktetoren luzer rrzoi trigonometrikoen klkulu grfiko (urbildu) Definiziok berk emten digu ngelu zorrotz bten rrzoi trigonometrikok klkultzeko metodo bt. ngelu bt mrrztuko dugu. dibidez, 4. ldeetko bten puntu btetik, beste lderekiko perpendikulr bt mrrztuko dugu. Horrel, tringelu zuzen bt ertuko dugu. Tringeluren ldek neurtuko ditugu. Gure dibiden: = 4 mm, = 8 mm, = 0 mm Dtu oriekin, 4 ngeluren rrzoi trigonometrikok klkultuko ditugu: sin = = 8 =, 0 06 ; cos = = 4 = 08, ; tg = = 8 = 068, 0 4 Neurket oriek gutxi gorbeerkok dir, et, berz, zken erlziok ere lkok dir.. Mrrztu 4 -ko ngelu bten ginen 0 cm-ko ipotenus duen tringelu ngeluzuzen bt. Goiko dibiden bezl, klkultu 4 -ren rrzoi trigonometrikok. Nolkok dir berien rten sinu et kosinu? Zenbt blio du tngentek? zldu zergtik. O 4 " ' ' " 0, Pentstu et egin. Goiko pper milimetrtuko txntiloi orren moduko et ngelu-grrigilu erbiliz, klkultu 0, 0, 0, 40, 0, 60, 70 et 80 -ren sinu et kosinu et, l den guztietn, tngente ere bi. rrzoi trigonometrikok ngeluren rberkok dir, ez tringeluren rberkok Zer gerttuko d urreko ngelu orren ginen beste tringelu zuzen bt mrrztuz gero? urreko orrildeko. riketn ikusi dugunez, 4 ngelurko lortu ditugun rrzoi trigonometrikok berdink dir, neurketren zeztugbetsunk ergindko lde txiki btzuk gorbeer. Tringeluen ntzekotsunen oinrritut, edozein ngeluren ksun ori gerttzen del frogtuko dugu: -n ''-n ''''-n sin / ' '/ ' '' ''/ '', '' et '''' tringeluk ntzekok dir, ngeluzuzenk direlko et ngelu zorrotz bt berdin dutelko. erz: = ' ' = '' '' ' '' Hu d, berdin dio sinu zein tringelutn klkultzen den. Et guz ber gerttzen d kosinu et tngente klkultzeko ere. rrzoi trigonometrikok neurtzeko txntiloi Pper milimetrturen ginen 0 cm-ko errdio duen zirkunferentziren kodrnte bt mrrztuko dugu. Unittetzt rtuko dugu. ngeluk koktzeko, lde bt X rdtzren ginen jrriko dugu. OS tringelu ngeluzuzenren ipotenusk neurtzen du; berz: sin4 = S 8 sin 4 = S T cos 4 = O 8 cos 4 = O S 0, S et O pper milimetrturen ginen neurtu et u lortzen dugu: sin 4 = 0,6 cos 4 = 0,8 OU = denez, tngente ere zuzenen neurtzen d: tg 4 = UT = UT = UT =068, OU Ikusten duzunez, ngelu zetz btetik urrer tngente ezin d zuzenen neurtu, txntiloitik irteten bit. U 4. Klkultu 4 -ren sinu, kosinu et tngente rrzoi trigonometrikok et egizttu bt dtozel urreko orrildeko. riketn klkultu dituzunekin (mrrenetn izn ezik) Irdokizunk Orrilde onetn, steko, ngelu zorrotz bten rrzoi trigonometrikok definitzen dir. Iksleek leenengoz drbiltenez esku rten kontzeptu ori, rretz zinduko dugu rrzoi trigonometrikok zer diren ondo ulertzen dutel: ngelu bti loturik duden zenbkik dir et tringelu ngeluzuzen bten ldek erlziontzeko blio dute. Denborz ibiliz gero, komeni d iksle bkoitzk edozein tringelu ngeluzuzen irudiktze, orren ldek neurtze et ngelu zorrotzetko bten rrzoi trigonometrikok klkultze. Gero, neur deztel ngelu grrigilurekin et egizt ditztel emitzk klkulgilurekin. ngelu zorrotz btzuen rrzoi trigonometrikok bistrtzeko, pper milimetrtu erbiltze ere oso lgungrri izngo d. Mteril ori ez bdute, 0 0 kodrikul emn dkieke tlren miern propostut geri den riket egiteko. Ksu onetn, ktetok irkurtzen zifr mrtr bt erbiliko dugu, edo geienez ere bi, eunenk zer blio rtuko duen rgi ikusten denen. Lnkidetzn iksi Orrilde uetko «Pentstu et egin» tleko riketk et, orokorren, iksi berri duden edukik finktzeko elburuz emten diren riket guztik elkrlnen egin ditezke, tlde txikietn, berdinen rteko iksket bultztuz. Soluziok tlden dostu ondoren, tldekide guztiek guz izn ber dute ebzpenen erbilitko prozesu et lortutko soluzio deskribtzeko et justifiktzeko. Indrtzeko et skontzeko riket uek gomendtzen dir: MTEMTIKKO RIKETK 4. kodernotik: Indrtzeko:. orrildeko.,. et. riketk.. orrildeko. riket. Skontzeko: 6. orrildeko 4. et. riketk.. orrildeko. et. riketk. INKLUSIO ET NIZTSUNREN RRET fotokopitzeko blibidetik: Indrtzeko: fitxko Egin tleko. riket. «Pentstu et egin» tlren soluziok sin 4º = 0,6; cos 4º = 0,8; tg 4º = 0, cm 7, cm 7, cm sin 4º= = 0,7; cos 4º = = 0,74; tg 4º = = Tringelu ngeluzuzen et isoszele d, et orregtik 4º-ren sinu et kosinu berdink dir et tngente d. sin cos tg 0º 0,8 0,98 0,8 0º 0,4 0,94 0,7 0º 0, 0,86 0,8 40º 0,64 0,76 0,84 0º 0,76 0,64 60º 0,86 0, 70º 0,94 0,4 80º 0,98 0,8 4 sin 4º= E = 0,7; cos 4º = O = 0,7; tg 4º = D = O 9

5 Oinrrizko erlzio trigonometrikok Idzker (sin ) idtzi berren, sin idzten d. Er beren: (cos ) = cos et (tg ) = tg in oitur gorbeer, et errkuntzrik egon ez ddin, iksturte onetn prentesidun dierzpenk erbiliko ditugu. ngelu bten sin, cos et tg rrzoik ez dir skek; elkrrekin erlziontut dude et, berz, orietko bten blio jkind, beste bik klkul ditzkegu. rrzoik elkrrekin lotzeko erlziok uek dir (oinrrizko erlzio esten zie): (sin ) + (cos ) = [I] sin = tg [II] cos erdintz oriek egizttzen errzk dir: [I] (sin ) + (cos ) = e o + e o = + (*) = = (*) Pitgorsen teoremren rber, + = betetzen d. [II] sin = : = = tg cos Hurrengo riket ebtzi uetn ikusten denez, ngelu bten rrzoi trigonometrikoetko bt jkind beste bik klkul ditezke , 4 et 60 -ren rrzoi trigonometrikok 4, 0 edo 60 -ko ngelu zorrotzk dituzten tringelu ngeluzuzenk srri geri dir; berz, oso interesgrrik dir geometrin. ngelu orien rrzoi trigonometrikok klkultuko ditugu orin. 4 -ren rrzoi trigonometrikok Ktetok ekok dituen tringelu ngeluzuzen isoszele onen ipotenus u d: 4 = + = erz: sin 4 = = cos 4 = tg 4 = Pentstu et egin riket ebtzik. cos = 0,6 del jkind, klkultu s = sin et t = tg. I berdintzri jrrituz, sin jkind cos lor dezkegu, et lderntziz. s + 0,6 = s = 0,6 = 0,60 s = 0, 60 = 0,777 (Erro positibo bino ez dugu rtuko, sin positibo izn ber bit). t = 0, 777 =, 06, Soluzio: sin = 0,777 tg =,. tg = del jkind, klkultu s = sin et c = cos. I et II berdintzei jrritut, tg jkind et ekuzio-sistem bt ebtzit, sin -ren et cos -ren bliok lortuko ditugu: s = s = c c 4 s c + = ( c) + c = 8 4c + c = 8 c = c erro positibo c rrzionliztuz = = c = ; s = rtuko dugu Soluzio: sin = = 0, 894 cos = = 0, 447. sin = 0,6. Klkultu cos et tg.. tg β = 0,. Klkultu sin β et cos β sin cos tg urkitu grfikon tuln geri diren rrzoik. Pentstu et egin. tg 4 = del kontun rtuz, esn zein diren sin 4 -ren et cos 4 -ren bliok, oinrrizko erlziok ezrriz. 4. sin 0 = / del kontun rtuz, urkitu cos 0 -ren et tg 0 -ren bliok, oinrrizko erlziok ezrriz.. Klkultu kosinu 0,8 duen ngelu bten sinu et tngente. 6. Klkultu tngente 0,7 duen ngelu bten sinu et kosinu. 0 et 60 -ren rrzoi trigonometrikok lde eko duen tringelu ldekide onen ltuer klkultuko dugu: 0 = c m = = = / erz: sin 0 = cos 0 = tg 0 = / / = = sin 60 = cos 60 = / tg 60 = = / 7. Kopitu kodernon rrzoi trigonometrikoen tul et ostu: sin 0,94 4/ cos 0,8 / tg, Ztikik edo errok geri diren ergiketetn, oriekin ln egin; ez erbili dierzpen mrtrr. 46 Webgunen Lortu 0, 4 et 60 -ren rrzoi trigonometrikok. 47 Irdokizunk tl onetn lndu berreko idei ngusi u d: ngelu bten rrzoi trigonometrikoetko bt zein den jkite niko d ginerko rrzoik berel lortzeko. tlren miern propostut geri diren riket btzuen elburu d ikslek oitu ditezel 0, 4 et 60 -ren rrzoi trigonometrikoen bliok lortzen et erbiltzen. Indrtzeko et skontzeko riket uek gomendtzen dir: MTEMTIKKO RIKETK 4. kodernotik: Indrtzeko: 7. orrildeko 6. et 7. riketk. 9. orrildeko., 4.,. et 6. riketk. 0. orrildeko 7. riket. Skontzeko: 9. orrildeko. et. riketk. 0. orrildeko 8., 9., 0. et. riketk. INKLUSIO ET NIZTSUNREN RRET fotokopitzeko blibidetik: Indrtzeko: fitxko Egin tleko. et. riketk. 6 sin = 0,7; cos = 0,8 7 sin cos tg 0,94 0,67,76 0,7 0,8 0, ,96 0,4, OHRRK «Pentstu et egin» tlren soluziok cos = 0,8; tg = 0,7 sin β = 0,47; cos β = 0,88 cos 4º = 4 cos 0º = sin 4º = ; tg 0º = sin = 0,6; tg = 0,7 0

6 Klkulgiluren erbiler trigonometrin Tekl trigonometrikok rrzoi trigonometrikok klkultzeko et lntzeko, orin rte klkulgiluren ergiket ritmetikok bkrrik erbili ditugu: + - * / et $. tl onetn, trigonometrikok bino ez diren teklk erbiltzen iksiko dugu. Klkulgilu zientifikoek zuzenen emten digute ngelu bten sinuren, kosinuren et tngenteren blio. rrzoi trigonometriko bt jkind, zein ngeluren den ere esten digute. Ikus dezgun, urrtsez urrts, nol erbili ber den klkulgilu trigonometrin ln egiteko. Deg modu (grdu irurogeitrrk) Klkulgiluek ngeluk neurtzeko iru unitte erbiltzen dituzte: Grdu irurogeitrrk (deg). Normlen erbiltzen ditugunk dir. Grdu eundrrk (gr). ngelu zuzen btek 00 grdu eundr ditu. Ez dugu neurri-unitte u inoiz erbiliko. Rdink (rd). ngeluen neurri-unitte u rrzoi trigonometrikoen iksket funtzionlrekin lotut dgo (funtzio trigonometrikok). Hurrengo iksturtetik urrer srri erbiliko dugu. Iksturte onetn, grdu irurogeitrrk erbiliko ditugu i beti, et oriek bkrrik. erz, uttu klkulgilun deg modu, klkulgilu modeloren rber M edo! tekl sktuz. idtzi ngelu bt. O tekl 8 ' 6'' ngelu idzteko, onel joktuko dugu: 8OO6O{«\\\\\ } so{ «o o«\} ngelu modu mrtrren idtzi ngelu modu irurogeitrren idtzi pntil deskriptiboko klkulgiluetn ere berdin joktuko dugu (ngelu zuzenen geri d er irurogeitrren): Gogon izn \ lortutko zken emitz gordetzen duen memoriko leku bt d. Webgunen Indrtu klkulgiluren erbiler trigonometrin. lderntzizko funtziok: fi (sß), Â (s ), T (st) Zein d sinu 0, duen ngelu? dkigu 0 del. Klkulgiluri onel esktuko diogu emitz ori: s ß 0, = { «} Er beren: cos = 0,6? s 0,6 =so{ o \o««} tg =? st =so{ o««o } Klkultu rrzoi trigonometriko bt, beste bt jkind cos = 0,6 d. Zenbt d tg? Problem u ebzteko, leengo oinrrizko berdintzk erbili ditugu (46. orrilde). Orin, zuzenen egin dezkegu, klkulgiluko tekl trigonometrikok erbilit: s 0,6={ } t={ «\ \ } Kosinu 0,6 duen ngelu Horren tngente pntil deskriptiboko klkulgiluekin ere berdin joktuko dugu: s 0,6= t\= in zuzenen ere egin dezkegu: ts 0,6= Kosinu 0,6 duen ngeluren tngente,69 d. di Klkulgilu zr btzuetn, rrzoi trigonometrikoen teklk et orien lderntzizkok zenbki idtzi et gero sktu ber dir. sin 47 klkultzeko: 47 ß Pentstu et egin. Klkultu onko rrzoi trigonometriko uek et idtzi emitzk milrenetr biribildut. ) sin 86 b) cos 9 8OO6O= rrzoi trigonometriko bt klkultu. ß t teklk sin (47 ') klkultzeko, u egingo dugu: ß47OO { \\\\\ } = { «\ «} Hu d, sin 47 ' = 0,76 Modu beren joktuko dugu kosinurekin,, et tngenterekin, t. c) tg d) sin ' 4'' e) cos 9 7' f) tg 86 ' g) sin 0 0'' (di, 0 0' 0'') riket ebtzi tg = d. Zenbt d cos? st={\««} ={ «} cos = 0,447 Tngente duen ngelu Pentstu et egin. dierzi ngeluren bliok er irurogeitrren onko ksu uetn: ) sin = 0,9 b) tg =,8 c) cos = 0,4 d) tg = 0,4 e) sin = 0,08 f) cos = 0,88 pntil deskriptiborekin: st = ngelu orren kosinu. ) Klkultu sin, jkind cos = 0,9 del. b) Klkultu cos, jkind tg = 6,4 del. c) Klkultu tg, jkind cos = 0,06 del. d) Klkultu tg, jkind cos = 0,96 del. e) Klkultu sin, jkind tg = 0, del Irdokizunk Nesk-mutilek rrzoi trigonometrikok trebe erbiltzen dkitenen, klkulgiluko tekl trigonometrikok erbiltzen irktsiko diegu. Iksleek onko riket uek egin ditzkete tekl orien erbiler lntzeko: ngeluk form irurogeitrren idzte; form mrtrretik form irurogeitrrer igrotze, et lderntziz; ngelu bten rrzoi trigonometriko bt klkultze, edo rrzoi trigonometriko bti dgokion ngelu lortze. Horrez gin, d et G teklen rteko lde irktsiko dugu, et bein et berriro zpimrrtuko dugu, klkulu trigonometrikok egiten si bino leen, klkulgilu d modun eduki ber del. Horrel egiten ez bdugu, lortuko ditugun emitzk ez dir zuzenk izngo. ) = 6º 0' 9" b) = 80º 6' " c) = 6º 9' " d) = 8º 46' 4" e) = 4º ' 9" f ) = 8º ' 7" ) cos = 0,9 sin = 0,4 b) tg = 6,4 cos = 0,4 c) cos = 0,06 tg = 6,67 d) cos = 0,96 tg = 0,9 e) tg = 0, sin = 0,099 OHRRK Pentsmendu ulerkorr i 49. orrildeko riket ebtzin, bit urrengo orrildekoetn ere, ikslek, siern, «dgoeneko bdkitenrekin» ebzten si ditezke riketk, ziltsunk et blokeok non dituzten utemteko. Gero, testun emten diren prozesuk ztertuko dituzte. Indrtzeko et skontzeko MTEMTIKKO RIKETK 4. kodernotik: Indrtzeko:. orrildeko. et. riketk. Skontzeko:. orrildeko. et 4. riketk. «Pentstu et egin» tlren soluziok ) 0,998 b) 0, c) 0,404 d) 0,66 e) 0,08 f ) 8,68 g) 0,74

7 4 Tringelu ngeluzuzenen ebzpen Webgunen Klkulu-orri, tringelu ngeluzuzenk ebzteko. c b = c c = cos ^ b = tg ^ sen ^ = c ^ = 90 ^ riket ebtzik. Tringelu ngeluzuzen bten bi ktetoek 7 cm et 40 cm dituzte. Klkultu tringeluren ngeluk.. Tringelu ngeluzuzen bten, ngelu zorrotz bt 7 -ko d, et ipotenus, 46 m-ko. Klkultu bi ktetok.. Zer luzer du 0 cm-ko lde duen pentgono erregulr bten potemk? Pentstu et egin. Tringelu ngeluzuzen bteko ktetoek 48 cm et 7 cm dituzte. Klkultu bi ngelu zorrotzk.. Tringelu ngeluzuzen bten, ngelu zorrotz bt 7 -ko d, et orren urkko kteto, 87 m-ko. Klkultu beste kteto et ipotenus. Tringelu bt ebzte elementu ezgun btzuettik bitut elementu ezezgun bt edo geigo (ldek edo ngeluk) urkitze d. rrzoi trigonometrikoek tringelu ngeluzuzenk ebzteko modu emten digute. bi lde jkind Hirugrren lde Pitgorsen teoremren bidez lortuko dugu. ngelu zorrotzk klkultzeko, ngelu orietko bkoitz et ezgun ditugun bi ldek erlziontzen dituen rrzoi trigonometriko erbiliko dugu. lde bt et ngelu bt jkind este lde bt klkultzeko, lde ori et ezgun ditugun lde et ngelu erlziontzen dituen rrzoi trigonometriko erbiliko dugu. este ngelu zorrotz ezgutzen dugun ngeluren osgrri d. 7 ngelu tngenteren bidez erlziontzen d bi ktetoekin: tg = 7 = 0, Tngente 0,4 duen ngelu klkulgilurekin lortuko dugu: st0,4=so{ «o o«}. Hu d, = ' ''. este ngelu orren osgrri d: 90 ' '' = 66 8' 8'' 46 m 7 c b 7 -ko ngeluren urkko kteto b d. erz: sin 7 = b b = 46 sin 7 = 0,88 m 46 Er beren: cos 7 = c c = 46 cos 7 = 40,99 m 46 l/ cm = 60 : 0 = 6 tg 6 = 8 6 = = 688, tg 6 potemk 6,9 cm ditu. Webgunen Indrtu tringelu ngeluzuzenen ebzpen.. Klkultu 0 cm-ko lde duen oktogono erregulr bten errdio. Zenbteko d potem? 4. Klkultu 0 cm-ko errdio duen eptgono erregulr bten potem. Klkultu bit lderen luzer ere. Tringelu zeirren ebzpen 4 cm? 48 7 cm. problemri buruzko gogoet ltuerk bi tringelu ngeluzuzenetn ztitu du tringelu zeirr. ten geri diren elementuek besten lde klkultzeko blio dute m. problemri buruzko gogoet Ksu onetn, bi tringelu ngeluzuzenk bter ebtzi ber izn ditugu. Ondoriok modu ljebrikon erlziontuz (ekuziosistem bten bidez), bil gbiltzn zuzenkik lortu ditugu. Webgunen Skondu teori: sinuen et kosinuen teoremk. Pentstu et egin?. tringelun, klkultu, jkind = 7 cm, = 0 cm et ì = direl.. problem lboko tringelu ori ez d zuzen. lde ezezgun klkultzeko, ltuerren bidez bi tringelu ngeluzuzenetn ztituko dugu, lde ori bi tringeluen iznik. H tringelu ngeluzuzen d. ertn ipotenus et ngelu zorrotz dkizkigu. i ktetok klkul ditzkegu: sin 48 = = 4 sin 48 = 0,4 cm 4 4 cm 48 x H cos 48 = x 4 x = 4 cos 48 = 9,7 cm 7 cm H tringelu ngeluzuzenen, H = = 0,4 cm dkigu et errz klkul dezkegu H = y = 7 x = 7 9,7 = 7,6 cm. i ktetok jkind, ipotenus klkultuko dugu: = + y = 0, 4 + 7, 6 =,9 cm. problem Ksu onetn, lboko tringelu ebzteko, urreko ksun bezl joktuko dugu: ltuerk bi tringelu ngeluzuzen zezten ditu. Horiekin, x et y erlziontuko ditugu. 8 x H y 87 m _ & H tringelun, tg = 8 = xtg x b xtg = y tg 8 ` & H tringelun, tg 8 = 8 = ytg 8, x = 0, y y b x + y = 87 denez, bi ezezguneko bi ekuzio dituen sistem bt dugu: x + y = 87 x = 87 y 4, x = 0, y 87, ( y) = 0, y 8 y = 6, m y jkind, klkul dezkegu: & y H tringelun, cos 8 = 8 = 6, = 70, 4 m cos 8 ngeluzuzen ez den edozein tringelu ltuerren estrtegi erbiliz ebtz diteke. Tringeluren ltuer ondo ukertzen jkite d gko: bnk edo elkrrekin ebtz ditezkeen bi tringelu ngeluzuzen ertzeko modu emngo digun ltuer.. urkitu tringeluren et ldek, = 00 cm, ì = 4 et ì = 8 direl jkind. y 0 Webgunen Lndu tringelu zeirren ebzpen. Klkultu poligono izrtuen lde. Irdokizunk tl onetn, errelitteko egoeretn lnduko dugu tringelu ngeluzuzen ebzpen. Irkslek inbt riket propostuko ditu, ikslek konturtu ditezen zein grrntzitsu den problemren enuntzitu dierziko duen tringelu bt irudiktze, et orren ginen eskur duzkgun dtuk et klkultu ber ditugunk idzte. Hori eginez gero, errz ikusiko dute dtuk erlziontzen dituen rrzoi trigonometriko zein den. tl onetn emten diren problem ebtzik gid modun erbil ditezke. Indrtzeko et skontzeko riket uek gomendtzen dir: MTEMTIKKO RIKETK 4. kodernotik: Indrtzeko:. orrildeko. riket. Skontzeko:. orrildeko. et. riket. INKLUSIO ET NIZTSUNREN RRET fotokopitzeko blibidetik: Indrtzeko: fitxko Egin tleko 4. riket. fitxko Egin tleko 4. riket. Skontzeko: fitxko Erbili tleko.,.,. et 4. riketk. «Pentstu et egin» tlren soluziok = 4º ' 9,7"; β = º 86',7" este kteto,4 m Hipotenus 44,6 m r = 6, cm potem = 4,4 cm 4 ldek 8,68 cm ditu, et potemk, 9 cm. Irdokizunk rlo didktikori begirtut, oso interesgrri izten d iksten ri denk lik et probetxu ndien tertze dkienri. Ikslek, orin rte lndu et iksi dutenrekin, guz dir tringelu ngelukmutsk ebzteko, tresn berrik lntzen ibili berrik gbe. ltuerren estrtegi, berz, tringelu ngeluzuzen ez den ksuetn erbiltzeko bultzd txiki bt bino ez d; izn ere, ltueretko bt mrrztut, bi tringelu ngeluzuzen lortuko dituzte et oriek ebzten bdkite. Tringelu oriek bnk ebtz ditzkete, bt besteren tzen, edo bik ldi beren (ljebr erbiliz). Gure ustez, sinuren et kosinuren teoremk urrengo iksturten lntzeko utzi berko lirteke. Den del, irksleren btek bere eskoletn lndu niko blitu, iksleentzko webgunen srtu ditugu, orien erbiler et guzti. Indrtzeko et skontzeko riket uek gomendtzen dir: MTEMTIKKO RIKETK 4. kodernotik: Indrtzeko:. orrildeko 4.,. et 6. riketk. Skontzeko: 4. orrildeko 7., 8. et 9. riketk. INKLUSIO ET NIZTSUNREN RRET fotokopitzeko blibidetik: Indrtzeko: fitxko Egin tleko. riket. «Pentstu et egin» tlren soluziok = 7,04 cm =,7 cm = 77, cm

8 rteko rrzoi trigonometrikok ERRDIO = Y Sinuren et kosinuren zeinu Puntu bten koordentuek bezl, ngelu bten sinuk et kosinuk ere zeinu bt edo beste izngo dute ngeluren bigrren lde zer kodrntetn dgoen kontun rtuz. SINU KOSINU Tngenteren zeinu Tngente positibo d leenengo et irugrren kodrnteetn, et negtibo, bigrren et lugrren kodrnteetn. TNGENTE X Zirkunferentzi goniometriko Koordentu-sistem bten ginen, errdio eko duen zirkunferentzi bt mrrztuko dugu. Zirkunferentzi goniometriko esten diogu. ertn, oso errz definitzen et bistrtzen dir edozein ngeluren rrzoi trigonometrikok. ngeluk onel koktzen dir zirkunferentzi ginen: Erpin, zentron. ldeetko bt, X-ren rdtzerdi positiborekin bt etorrit. este lde, dgokion lekun, ngelu erlojuko orrtzen kontrko nornzkon zblduz. 0 et 60 rteko ngelu bten sinu et kosinu ϕ edozein ngelu zirkunferentzi 90 Y goniometrikoren ginen koktuz gero, ngeluren cos bigrren ldek zirkun- ferentzi ebkitzen duen punturen cos b koordentuk (cos ϕ, sin sin b b sin ϕ) dir. g 80 Definizio ori bt dtor O ' sin g d ngelu zorrotzetko sin et cos kontzeptuekin. erz, punturen koordentuk (cos, sin ) dir. cos g sin d cos d D 70 X 0 et 60 rteko ngelu bten tngente ) sin 8 d) cos 0 b) cos 0 e) cos 0 c) tg 00 f ) tg 9 edozein ngelu zirkunferentzi goniometrikoren gi- T g) cos 7 ) sin 8 i) tg 6 nen koktuko dugu. t zuzen 90º. Esn zer kodrntetn duden, β, γ et ϕ: mrrztuko dugu, zirkunferentzirekiko ukitzile U pun- tg ) sin < 0 et tg > 0 b) cos β > 0 et tg β < 0 tun. c) sin γ < 0 et cos γ < 0 d) cos ϕ > 0 et sin ϕ < 0 β ngeluren bigrren ldek, tg γ Zer zeinu du ksu bkoitzen flt den rrzoi trigonometrikok? edo orren luzpenk, t zuzen 80º U γ T puntu bten ebkitzen du. ngeluren tngente et UT tg β. Irudiktu ngelu uek zirkunferentzi goniometrikoren δ zuzenkiren luzer berdink ginen, pper milimetrtun: dir; positibo d gorntz et 6, 4, 4 et 00 sin = tg negtibo beerntz. cos 70º tg δ dierzi orien rrzoi trigonometrikok et emn 90 et 70 -ko ngeluek ez gutxi gorbeerko blio. dute ukitzilerik. Webgunen Estimtu ngeluk zirkunferentzi goniometriko erbiliz. Webgunen 0 et 60 rteko ngeluen rrzoi trigonometrikok. TNGENTE POSITIO TNGENTE NEGTIO riket ebtzi Koktu zirkunferentzi goniometrikoren ginen 4, et 8 -ko ngeluk. dierzi orien rrzoi trigonometrikok (sin, cos, tg) et emn zenbkizko blio. Webgunen Zirkunferentzi goniometriko pper milimetrtun. Webgunen ngelu grrigilu zirkulrr (0 -tik 60 -rinoko ngeluk). Webgunen Indrtu rrzoi trigonometrikoen klkulu zirkunferentzi goniometriko erbiliz. Pentstu et egin. dierzi onko rrzoi trigonometriko uetko bkoitzren zeinu, ngeluk zirkunferentzi goniometrikon gutxi gorbeer koktuz: rrzoi trigonometrikoen zenbkizko bliok errzgo emteko, toptu Interneten pper milimetrtun mrrztutko zirkunferentzi goniometriko et inprimtu. Hemen, izn oi duen tminren erdir bino gutxigor dierzi dugu. ngeluk ber bezl koktuz gero, berel lortuko duzu rrzoi goniometrikoen bliok zein diren. 0,8 0,78 0,6 4 0,6 8 0,9 0,7, 4. urreko orrilden, sinu et kosinu dierzteko erbili dugun zirkunferentzi goniometrikon, O' tringelu geri d mrgotut. ) ere ginen rrzoituz et O = del kontun rtuz, justifiktu cos = O' et sin = ' direl. b) Ezrri Pitgorsen teorem tringelu orretn et rrzoitu (sin ) + (cos ) = del. c) Justifiktu (sin β) + (cos β) = del, dgokion tringeluren ginen rrzoituz.. Zein d sin -ren et cos -ren bliok ngelu 0, 90, 80, 70 et 60 denen. 6. O' et OUT-ren tringeluen ntzekotsun et OU = del kontun rtuz, egizttu onko u: 0,4 0,8 sin 4 = 0,6 cos 4 = 0,78 tg 4 = 0,8 sin = 0,8 cos = 0,6 tg =, sin 8 = 0,7 cos 8 = 0,9 tg 8 = 0,40 sen cos O ' U T tg Irdokizunk Kodrnte goniometriko oso lgungrri izn zen ngelu zorrotz bten rrzoi trigonometrikok bistrtzeko; bd, zirkunferentzi goniometriko ere oso lgungrri izngo d edozein ngeluren rrzoi trigonometrikok bistrtzeko. Horrel, bd, ngelu zorrotz bten rrzoi trigonometrikoettik bitut ngelu ndigokoenk orokortuko ditugu. Indrtzeko et skontzeko riket uek gomendtzen dir: MTEMTIKKO RIKETK 4. kodernotik: Indrtzeko: 6. orrildeko.,. et. riketk. 7. orrildeko 4. riket. 9. orrildeko. et. riketk. Skontzeko: 7. orrildeko., 6., 7. et 8. riketk. 8. orrildeko 9., 0. et. riketk. 9. orrildeko. riket. INKLUSIO ET NIZTSUNREN RRET fotokopitzeko blibidetik: Indrtzeko: fitxko Egin tleko. et. riketk. Skontzeko: fitxko Egin tleko. riket. 6º 4º 4º 00º sin 0,88 0,44 0,89 0,87 cos 0,47 0,9 0,4 0, tg,88 0,49,96,7 4 ) cos = 6 O' O' = = O' O b) (sin ) + (cos ) = O = c) (sin β) + (cos β) = O = 0º 90º 80º 70º 00º sin cos 0 0 O' OU = UT = ' UT ' $ OU ' = tg = O' O' ' sn i = O' cos «riketk et problemk» tlren soluziok ) sin 8º < 0 b) cos 0º > 0 c) tg 00º < 0 d) cos 0º > 0 e) cos 0º < 0 f ) tg 9º < 0 g) cos 7º > 0 ) sin 8º > 0 i) tg 6º > 0 OHRRK ) III. kodrnte; cos < 0 b) IV. kodrnte; cos β < 0 c) III. kodrnte; tg γ > 0 d) IV. kodrnte; tg ϕ < 0

9 7 Edozein neurritko ngeluk. rrzoi trigonometrikok 8 Funtzio trigonometrikok. Rdin = Webgunen Skondu ngelu btzuen rrzoi trigonometrikoekin erlziontzen diren beste ngelu btzuen rrzoien klkulu. bitrte onetko rrzoi blio dt sinu 90 et 90 kosinu 0 et 80 tngente 90 et 90 riket ebtzi dierzi onko ngeluk 80 et 80 bitrteko blioen bidez: ) 77 b) et 60 rteko blioek edozein ngelu neurtzeko blio digute. in beste neurri btzuei ere zentzu emn dieziekegu. dibidez, 400 bir oso bt (60 ) gei 40 -ko ngelu bt d. Hu d, 400 = = 40. erz, 400 -ren rrzoi trigonometrikok et 40 -renk berdink dir. Orokorren, [0, 60 ) et β = + 60 n bdir, n zenbki oso iznik (positibo zein negtibo), funtsen β ngelu et berdink dir; et, berz, β-ren rrzoi trigonometrikok et -renk berdink dir. ngelu negtibok 00 -ko ngelu onel dierz dezkegu: 00 = = 60. Horregtik, srritn, X zpin gertzen diren ngeluk (u d, 80 et 60 rtekok), neurri negtibo bten bidez dierzten dir. Klkulgilu Klkulgiluek zuzenen emten digute edozein ngeluren sin, cos, tg rrzoik. dibidez: ß 84 = { } sin 84 = 0,88 97 = { \««} cos ( 97 ) = 0,4 t 84 = { \ \ } tg 8 4 = 0,97 Klkulgiluri zenbki zetz bt zer ngeluren rrzoi trigonometriko den gldetzen bdiogu, onel erntzungo digu: Iß 0, = { «} Iß 0,8 = { ««} I 0, = { } I 0,8 = {«\ \ } It 4 = { \«} It = { } Hu d, rrzoi trigonometriko ori duten ngelu guztien rten, klkulgiluk bt dierziko digu, lboko tuln ikusten duzun irizpideri jrrituz. ) b) = 60 + = 400 = = 0 = = = 0 60 = 40 ngelu unitte berrirekin dierzi 60 8 π 8 x = π 8 x 60 Webgunen Rdinren esni et ngeluk neurtzeko erbiltze. Gogon izn rd 60 -ko ngelu bino pur bt txikigo d. [0, 60 ] trteko ngelu bkoitz dgokion sinurekin lotzen duen funtzio irudiktuko dugu. Sinu ngelu grdutn Funtzio orren definizio-eremu [0, 60 ] d. Ikusten duzunez, oso eskl desberdink erbili ber izn ditugu irudiktzeko. kts ori zuzentzerren, orren ntzeko beste funtzio bt erikiko dugu, bin ngeluk neurtzeko beste modu bt erbilit: ngeluren neurri modun, orren rkuk zirkunferentzi goniometrikon duen luzer rtuko dugu (gogon izn r = del). ir oso bten (60 ) luzer π d: 60 π erz, -ko ngelu bti π dgokio neurri berri modun. 60 ngeluk neurtzeko unitte onekin, funtzio bi rdtzetn eskl ber rtuz dierz dezkegu: Sinu y = sin x funtzio π π π ngelu «rku luzer» deritzonetn neurtut. π [0, π] trten definitut dgo. Rdin ngeluk neurtzeko ikusi berri dugun unitte rdin d et onel definitzen d: O ngelu btek zezten duen rku et rku mrrzteko erbilitko errdio luzer berekok direnen, ngelu orri rdin esten zio. Hu d, rdin bt d, rkuren luzer et errdioren berdink direlko: \-ren luzer = O Grduettik rdinetr igrotzeko = π rd berdintz erbiltzen d. 60 Rdin btek onenbeste blio du: rd 7 7' 4'' Pentstu et egin. dierzi ngelu uek 80 et 80 bitrteko blioen bidez: ) 87 b) 8 c) 8 d) 80 Ksu bkoitzen, egizttu klkulgilurekin ngelu bten et besteren rrzoi trigonometrikok bt dtozel. Pentstu et egin. Pstu rdinetr ngelu uek: ) b) 00 c) 0 d) 0 dierzi emitz π-ren funtzion et, gero, modu mrtrren. dibidez: 80 = π rd =,4 rd.. Pstu grduetr ngelu uek: ) 0, rd b), rd c) π rd d) π rd 4 e) 4,8 rd f ) π rd 4 Irdokizunk tl onetn, komeni d iksleei zltze klkulgiluk mug btzuk dituel edozein ngeluren ergiket trigonometrikok egiten; izn ere, rrzoi trigonometriko bten blio bt jkind, ngeluren blio 90 et 90 rteko izngo d sinuren et tngenteren ksun, et. edo. kodrnteko kosinuren ksun. Klkulgilurekin egiten diren ergiket guztietn bezl, ldez urretik emitz estimtze et ztertze bultztuko dugu. Irdokizunk tl onetn, funtzio trigonometrikok gertuko dizkiegu leenengoz iksleei. Dtorren iksturten zorrotzgo lnduko dituztenez, orin funtzio orien esniri et jtorriri buruzko zleko zlpen bt bino ez dugu emngo. Oso grrntzitsu d rgi gertze ngeluen neurri berrik (rdin) funtzio uek rrzoitzeko ordun bino ez duel zentzu; berz, ez dugu ngeluen neurri emteko erbiliko. «riketk et problemk» tlren soluziok ) 87º = 7º sin 87º = 0,60 cos 87º = 0,799 tg 87º = 0,74 b) 8º = 8º sin 8º = 0,88 cos 8º = 0,469 tg 8º =,88 c) 8º = 9º sin 8º = 0,87 cos 8º = 0, tg 8º =,664 d) 80º = º sin 80º = 0,4 cos 80º = 0,906 tg 80º = 0,466 «riketk et problemk» tlren soluziok ) 0,44 rd b),74 rd c),6 rd d) 4,6 rd ) 8º 9' 6" b) 8º 9' 4" c) 60º d) º e) 7º 8' 6" f ) 40º OHRRK 4

10 Webgunen sin x funtzio. cos x funtzio. tg x funtzio. Nomenkltur Funtzio trigonometrikoei funtzio zirkulr ere esten zie. ztertu y = sin x, y = cos x funtziok Á oson definitut dude et periodikok dir, π periododunk. y = tg x funtzio, x= π + kπ puntuetn izn ezik, Á oson definitut dgo. Periodiko d, π periododun. Pentstu et egin Funtzio trigonometrikok [0, π] trten Sinu funtzio erikitzeko egin bezl, kosinu et tngente funtziok erikitzeko ere rdin r dezkegu ngeluen neurri-unitte modun. Ikus ditzgun ksu oriek: sin x cos x π π π π π π π π y = sin x, y = cos x, y = iru funtzio oriei funtzio trigonometriko esten zie et [0, π] trten definitut dude. bzis ngeluren neurri d, rdinetn dierzit; et ordentu, ksu bkoitzeko rrzoi trigonometrikoren blio. Á oson definituriko funtzio trigonometrikok Hiru funtzio oriek zuzen errel osor zbltzen bditugu periodikoki, u lortzen dugu: sin x π π π π π π π cos x. Egi l gezurr? ) Rdin errdioren bliokide den luzer-neurri d. b) Rdin 60 -ko ngelu bino pur bt txikigo d. c) Zirkunferentziren luzer πr denez, ngelu oso btek (60 ) π rdin ditu. d) 80 -ko ngelu rdin bino pur bt gutxigo d. π π π π π π π tg x 0 π π 0 π π π π π tg x e) ngelu zuzen btek π/ rdin ditu. f) Funtzio trigonometrikok periodikok dir. g) sin x et cos x funtzioek π-ko periodo dute. ) tg x funtzioren periodo π d. i) cos x funtzio sin x funtzio bezlko d, π/ mugitut ezkerrer. π π π π riket et problem ebtzik. Lurr stelite btetik ikusit Stelite rtifizil btetik 40 -ko ngelupen ikusten d Lurr. Klkultu: ) Zer distntzitr dgoen Lurr. b) Stelitetik ikusten den Lurreko ztiren zler. Lurrren errdio: 6 7 km Egizu zeuk. Egin urreko problem ori, bin stelitetik Lurr 00 -ko ngelupen ikusten del kontun rtuz.. Gor igo, urruner ikusteko Lurrzletik zer ltuerrino igo ber dugu 000 km-r dgoen leku ikusteko? Egizu zeuk. Zer ltuerrino igo ber dugu 00 km-r dgoen leku ikusteko? L R S 70 d H 0 O R OS = R + d OH = R ) OLS tringelun: cos 0 = OL = R OS R + d R + d = R 8 cos 0 8 d = R R 408, 88 cos 0 = km Stelite Lurretik 40 km-r dgo, gutxi gorbeer. b) S-tik ikusten den txpel esferikoren zler klkultzeko, txpelren ltuer klkultu ber dugu; izn ere, = πr. OHL & tringelun, cos 0 = OH = R R = R cos 0 O L R = R R cos 0 = R ( cos 0 ) = 84, km Txpelren zler = πr = 809 km Ikusten den Lurreko zti milioi km -ko d. Lurreko meridinoren kodrnte btek km ditu et 90 -ko ngelu bti dgokio. erz, 000 km-ko rku bti 9 -ko ngelu dgokio. S O & LS tringelun: cos OL R 8 R d R d 9 = = + = 8 OS R + d cos 9 L 8 d = R R cos 9 d = 6 7 c m = 79,4 km R R cos 9 9 Soluzio: 80 km igo ber dugu. O 000 km. Zuitzren ltuer et ibiren zbler Ibi bten zbler et ibi Irudi egingo dugu. bzterren dgoen zuitzren ltuer jkin ni dituzu. y esngo diogu, et Ibiren zblerri x Horretrko, beste bzterren zuitzren ltuerri, y. jrri zr, zuitz urren, et goibururinoko begi-lerrok 4 m x orizontlrekin zer ngelu ertzen duen neurtu duzu tg 4 = yx / 8 y = x 087, (4º). Ondoren, bzterrrekiko 4 4 0,87x = 0,4x + 0,4 tg = y/( x + ) 8 y = ( x + ) 04, perpendikulr urrundu zr, m. ngelu berriro neurtu et º-ko d orin. 0,4x = 0, x =,; y =, 0,87 = 0, Soluzio: Ibik, m-ko zbler du, et zuitzk, 0, m-ko ltuer. Egizu zeuk. Egin problem ori, bin dtu uekin:. neurketn, 0 ; 0 m urrundu;. neurketn,. 6 Webgunen Ebtzi «Stelite» problem. 7 Irdokizunk Funtzio trigonometrikoei buruzko urkezpen lbur onetn, iksleei funtzio orien ezugrri ngusiei buruzko gogoet egiteko esktuko diegu: definizio-eremu, jrritutsun, sintotk, mximok et minimok, periodikotsun tl onen miern geri diren riketen elburu d iksleek, rrzoitze teorikoren bidez, tlen zer lndu dituzten kontzeptu ngusik finktu ditztel. Irdokizunk «riket et problem ebtzik» tlren orrilden, inbt estrtegi, irdokizun, zntzu et pentser zltzen dir, et oriek guztik oso lgungrrik izngo dir iksleentzt ondoren edo unitteren mierko orrildeetn propostzen diren riketk ebzteko. riket oriek guztiek elburu rgi bt dute: ikslek, urrez urre problemzko egoer bt dutenen, guz izn ditezel ntzeko prozedurk erbiltzeko. «Pentstu et egin» tlren soluziok ) G b) E c) E d) G e) E f ) E g) E ) E i) E OHRRK «Egizu zeuk» tlren soluziok ) 946 km b) 60 milioi km inguru. 9 km-rino igo ber dugu. Ibik 6, m-ko zbler du, et zuitzk, 7,77 m-ko ltuer. OHRRK

11 riketk et problemk Trebtu ngelu zorrotz bten rrzoi trigonometrikok. Klkultu ngeluren rrzoi trigonometrikok onko tringelu uetn: ) b) c) 8 7 m m,6 cm 8 m m. Klkultu tringelu ngeluzuzen uen (^ = 90 ) ngelu zorrotzen rrzoi trigonometrikok: ) b = 6 cm; = 6, cm b) b =,6 cm; c = 4, cm c) c = 6 cm; = 6 cm. % Klkultu ^, ^, D % et D ngeluen rrzoi trigonometrikok. cm cm D Oinrrizko erlziok 6 cm 60 m 4. sin = 0,8 bd, klkultu cos et tg oinrrizko erlziok erbiliz ( < 90 ).. Klkultu sin -ren et tg -ren blio zetzk (erro et guzti), cos = / ( < 90 ) del jkind. 6. tg = bd, klkultu sin et cos ( < 90 ). 7. Kopitu tul u kodernon et ostu rrzoi trigonometrikok, < 90 iznik. Erbili errok, l denen. sin 0,9 / cos 0, / tg 0,7 8. Klkultu onko dierzpen uen bliok klkulgilu erbili gbe: ) sin 4 cos 4 b) sin 0 + cos 60 c) sin 0 + cos 0 d) tg 0 + tg 60 e) tg 4 cos 60 f) tg 4 + sin 4 Klkulgilu 9. Ostu kodernon onko tul u, klkulgilu erbiliz: 0' 7 ' 40'' 8, sin cos tg 0. Klkultu < 90 ngelu ksu uetn. dierzi grdu, minutu et segundotn. ) sin = 0,8 b) cos = 0,7 c) tg =, d) sin = e) cos = f) tg =. Honko ksu uetn, urkitu < 90 ngeluren beste rrzoi trigonometrikok klkulgiluren lguntzz: ) sin = 0, b) cos = 0,74 c) tg =,7 d) sin = e) tg = f) cos = Tringeluen ebzpen. Ebtzi tringelu ngeluzuzen uek (^ = 90 ), elementu ezezgun guztien neurrik klkultuz: ) = cm, b = cm. Klkultu c, ^, ^. b) = 4 m, ^ = 7. Klkultu b, c, ^. c) = 7 m, ^ = 8. Klkultu b, c, ^. d) c =,8 km, ^ = 7. Klkultu, b, ^.. Eguzki-izpiek lurrrekin 40 -ko ngelu ertzen dutenen, zuitz bten itzl 8 m-ko d. Zer ltuer du zuitzk? 4. m-ko eskiler bt ormren kontr jrrit dgo. Zer ngelu ertzen du eskilerk lurrrekin, oinrri ormtik, m-r bdgo? 8 ) 0 b) 9 c) e) + d) 4 f ) + º º 0' 7º ' 40" 8,º sin 0,6 0,8 0,9 0,997 cos 0,97 0,7 0,0 0,078 tg 0,7,4,6,7 0 ) º 7' " b) 4º 4' " c) 68º ' " d) 48º ' " e) 4º 44' 8" f ) 76º 44' 4" ) cos = 0,97; tg = 0,4 b) sin = 0,67; tg = 0,9 c) sin = 0,87; cos = 0, d) cos = 0,7; tg = e) sin = 0,87; cos = 0, f ) sin = 0,; tg = 0,8 ) c = cm b) W = º W = º 7' " W = 67º ' 49" c = 7,4 m b = 7,06 m c) W = º d) W = 9º b =,0 m c =, m Zuitzk, m ditu. 4 = 66º ' 9" =,48 km b =,89 km «riketk et problemk» tlren soluziok OHRRK sin cos tg ) 0,8 0,96 0,9 b) 0,74 0,69,0 c) 0,47 0,88 0, ) sin W = 0,90; cos W = 0,48; tg W =,0 sin X = 0,48; cos X = 0,90; tg X = 0,487 b) sin W = 0,99; cos W = 0,; tg W = 7,467 sin X = 0,; cos X = 0,99; tg X = 9,9 c) sin W = 0,896; cos W = 04,! ; tg W =,06 sin X = 04,! ; cos X = 0,896; tg X = 0,496 % % W W D D sin 0,8 0,6 0,6 0,8 cos 0,6 0,8 0,8 0,6 tg!, 0,7 0,7!, 4 cos = 0,96; tg = 0,9 sin = 6 sin = ; tg = 0 ; cos = sin 0,9 0,99 0,6 / 7/ / cos 0,9 0, 0,8 / / / tg,6 8, 0,7 / 4 / 6

12 c) II. kodrnte cos =. Klkultu tringelu isoszele bten perimetro et zler, jkind ngelu desberdin 7 -ko del et ngelu orren urkko ldek 6 m dituel. 6. Mst bt lurrer lotut dgo lurrrekin 0º-ko ngelu ertzen duten m-ko bi kbleren bidez. Klkultu mstren ltuer et oinrritik euste-puntuetr dgoen distntzi. 7. Klkultu tringelu uen ltuer et zler: 8 cm 8 cm 6 D cm D cm 8. Zuitz bten ltuer neurtzeko, oinrritik 0 m-r jrri gr et, lurzorutik, 0 º-ko ngelupen bistrtu dugu goiburu. Zer neurri du zuitzk? 9. Komet bt 0 m-ko ri btekin dgo lurrer lotut et orizontlrekin 60º-ko ngelu ertzen du. Zer ltuertn dgo komet? Edozein ngeluren rrzoi trigonometrikok 0. Koktu ngelu uek zirkunferentzi goniometrikon et dierzi zer zeinu duten bkoitzren rrzoi trigonometrikoek: ) 8 b) 98 c) 87 d) 98 e) 8 f) 0 Egizttu klkulgilurekin.. zldu zer kodrntetn dgoen ngelu ksu uetko bkoitzen et klkultu flt diren rrzoi trigonometrikok: ) sin = 0,6; cos < 0 b) cos = /; tg > 0 c) tg = ; sin > 0 d) sin = /; tg < 0 dierzi ngelu zirkunferentzi goniometriko bten, ksu orietko bkoitzen.. rrzoitu zer kodrntetn dgoen ksu uetko bkoitzen et klkultu ginerko rrzoi trigonometrikok: ) sin = 4/; < 90 b) cos = /; > 70 c) tg = ; >80 d) cos = /4; < 80 Erbili iksitko. Klkultu: ) luzer. b) tringeluren zler. cm D cm 4. Erronbo bten lde 8 cm-ko d et ngelu txiki 8 -ko. Zer neurri dute erronboren digonlek?. Klkultu prlelogrmo bten zler, 6 cm et 4 cm-ko ldek dituel et 40 -ko ngelu ertzen dutel jkind. 6. Mendi errepide bten, 78 m-ko ltitude dierzten duen seinle dgo. Hiru kilometro urrergo, ltitude 06 m-ko d. Klkultu errepideren btezbesteko mld et orizontlrekin ertzen duen ngelu. 7. ) -n ngeluzuzen den tringelun, klkultu H et H. 7 cm 4 cm 4 H cm b) urkitu zein diren ì ngeluren rrzoi trigonometrikok tringelun et H tringelun, et egizttu bt dtozel. 8. Klkultu, tringelu uetko bkoitzen, ltuer et lde ezezgun: ) b) 8 cm 6 P cm 7 cm 9 cm 0 x 9. 6 cm-ko errdio duen zirkunferentzi bten kord mrrztu dugu O zentrotik cm. urkitu O % ngelu. 0. ) dierzi rdinetn 0, 4, 60 et 90 ngeluk, 80 = π rd bliokidetsunetik bitut. b) dierzi rdinetn ondorengo ngelu uek, kontun rtut urrekoen multiplok direl: 0 ; ; 40 ; 00 et 70. P y sin = d) IV. kodrnte cos = sin = ) I. kodrnten 4 cos = ; tg = b) IV. kodrnten sin = ; tg = c) III. kodrnten cos = 0 0 ; sin = d) II. kodrnten sin = tg 7 ; tg = 47 sin cos 0 0 cos sin 9 ) = 4,84 cm b) 9,49 cm «riketk et problemk» tlren soluziok Perimetro = 4, m zler = 88, m 6 Mstk 9,9 m-ko ltuer du, et oinrritik euste-puntuetr 7,7 m dude. 7 = 6, cm; = 60,8 cm = 6, cm; = 04,6 cm 8 Zuitzk,8 m ditu. 9 m-ko ltuern dgo. 0 8º 98º 87º 98º 8º 0º sin cos tg + + ) II. kodrnte cos = 0,8 tg = 0,7 sin cos 4 Digonl txikik, cm ditu, et ndik,, cm. 46,7 cm 6 % 9, 7 ) H =,04 cm; H = 6,7 cm b) sin W = 0,8; cos W = 0,96; tg W = 0,9 8 ) = 6, cm; =,4 cm b) x = 0,9 cm; = 0, cm; y =,9 cm % 9 O = 0º 0 ) 0º = π 6 rd 4º = π 4 rd 60º = π rd 90º = π rd π b) 0º = 6 rd º = π 4 rd 4π π 40º = rd 00º = rd π 70º = rd OHRRK b) III. kodrnte sin = tg = cos sin 7

13 riketk et problemk OHRRK. dierzi grdutn rdinetn emndko ngelu uek: π ; π ; π ; 7π ; π; π ) 8 cm-ko errdio duen zirkunferentzi bten,, rdineko ngelu mrrztu dugu. Zer luzer izngo du ngelu orri dgokion rkuk? b) Zirkunferentzi orretko rku btek cm bditu, klkultu ngelu zentrlren neurri grdutn et rdinetn. Ebtzi problemk. Ngoen lekutik urren dudn erikinren gorengo punturino don begi-lerrok 8 -ko ngelu ertzen du orizontlrekin. 0 m urbiltzen bniz, ngelu 40 -ko d. Zer ltuer du erikink? 4. i erikin bt bestetik 90 m-r dude. Erikin orien rten dgoen lurreko puntu btetik erikin bkoitzren punturik ltuener dozen begi lerroek et 0 -ko ngeluk ertzen dituzte orizontlrekin. Zer ltuer dute erikinek, bt beste bino 6 m ltugo del jkind?. P egzkin bt bestetik 0 km-r duden et irien rteko egldi egiten ri d. Hegzkinetik P = 0 et P = 0 ngeluk neurtu % % ditugu. Zer ltuertn dgo? 6. Erikitzen ri diren erikin bten ginen 4 m-ko grbi dgo. Lurreko puntu btetik, orizontlrekiko 4º-ko ngelupen ikusten d grbiren punturik ltuer, et erikinren gorengo puntu, 40º-ko ngelupen. Klkultu erikinren ltuer. 7. Erikinren PQ ltuer klkultzeko, irudin geri diren ngeluk neurtu ditugu. dkigu S-tik Q-r joteko 0 m-ko luzer duen funikulr bt dgoel. Klkultu PQ. 60 S m P Q R 8. Emisor klndestino bt rtzeko, bt bestetik 0 km-r duden et rgiluek emisor dgoen lekurntz dituzte jrrit ntenk. E Norbide oriek 40 et 6 -ko ngeluk ertzen dituzte -rekin. -tik et -tik zer distntzir dgo emisor? 40 0 km 9. Itss milren ginetik 0 m-r dgoen lbr btetik, elikoptero bt ikusi dugu slbmendu-riketk egiten. Helikopterotik bertikl pertson bt jitsi d ontzi bterino, rriskun dgoen pertson bten bil. eket-ngeluk uek dir: elikopteroren ksun, 7 ; et ontziren 7 ksun, 8. Zer neurri 8 du elikopterotik itssontzirino don 0 m kblek? 40. et D oinrrik dituen trpezio isoszele bten, bdkigu = m et = m direl et oinrri ndik lde zeirrekin ertzen dituen ngeluk 4 -kok direl. Klkultu zler. 4. F fro btetik, kost-lerrorekiko 4º-ko ngelupen ikusten d itssontzi; et itssontzi, -ko ngelupen. ontzi kosttik km-r dgo, et ontzi, km-r. Klkultu zer distntzi d dgoen ontzien rten. 4 km km F 4. Lukizuzen itxurko lursil bt rgizttzeko, P puntun iru foku jrri dituzte % P, P et PD rgiztpen-ngeluk berdink izn ditezen. 0 m P D Erdiko foku erre egin d et ez du rgirik emten. Zenbteko d ilundutko ztiren zler et perimetro, P = 0 m bd? Webgunen Klkultu neurri iristezink. Ebtzi «Itssontzi» problem. 6 «riketk et problemk» tlren soluziok π rd = 0º π rd = 70º π 4 rd = º 7π 6 rd = 0º π 9 rd = 0º π rd = 6º ) rkuk 0 cm-ko luzer izngo du. b) ngelu zentrl, rd = 8º 9' 4"-ko izngo d. Erikink 9,0 m ditu. 4 i soluzio posible dude: erikinek, m et 9, m izn ditzkete, edo bestel, 7,6 m et,6 m. Hegzkin,6 km-ko ltuern dgo. 6 Erikink 0,86 m ditu. 7 Erikinren ltuer 6,67 m-ko d. 8 Emisor -tik 9,8 km-r et -tik 6,64 km-r dgo. 9 Kblek, m-ko luzer du. 40 zler = 4 m 4 Ontzien rten,6 km dude. 4 Perimetro =,4 m zler = 44, m 8

14 4. D lursilen, bdkigu ^ = D^= 90 ; ^ = 0 ; D = 8 m et = 9 m direl. digonlren luzer jkin ni dugu. 9 m 8 m D Lgun topogrfo btek et D ldek P puntun elkr ebkitzen duten rte luztzeko esn digu, % et klkultzeko zer neurri duen PD ngeluk. Egizu zeuk. «+» problemk 44. Zirkunferentzi goniometrikoren ginen, ngelu dierzi dugu leenengo kodrnten et, ortik bitut, beste ngelu uek mrrztu ditugu: iltu zer erlzio dgoen onko uen rten: ) sin (80 ) et sin 80 cos (80 ) et cos tg (80 ) et tg b) sin (80 + ) et sin cos (80 + ) et cos tg (80 + ) et tg c) sin (60 ) et sin cos (60 ) et cos tg (60 ) et tg Koktu emndko ngelu zirkunferentzi goniometrikoren ginen et dierzi orren rrzoi trigonometrikok ngelu zorrotz bt erbiliz, dibiden bezl: ngelu: sin = sin cos = cos tg = tg ) 0 b) 40 c) 00 d) e) 00 f ) urkitu zein diren onko ekuzio uek betetzen dituzten 0 et 60 rteko ngeluk, dibiden bezl: cos x = 0 cos x = / x = 60 ; x = 00 ) sin x = b) sin x = c) tg x + = 0 d) (sin x) = e) (sin x) sin x = 0 f ) 4(sin x) = 0 g) (cos x) cos x = Oinrrizko erlziok erbiliz, egizttu berdintz uek: ) (sin + cos ) + (sin cos ) = b) ( sin ) + sin ( cos ) = sin c) ( sin ) + sin ( cos ) = tg cos d) + ( tg ) = ( cos ) Egin teoriri buruzko gogoet 48. Egi l gezurr? rrzoitu et emn dibidek. ) ngelu zorrotz bten, sinu tngente bino ndigo d beti. b) Ez d existitzen sin = / et tg = /4 betetzen duen ngelurik. c) π rdineko ngelu bten kosinu d. d) ngelu bten tngenteren blio mximo d. e) 70 < < 60 bd, ordun tg < 0 et cos > 0. f ) Ez d existitzen ondorengo u betetzen duen ngelurik: sin + cos = 0 g) Tringelu bten ltuer ldeetko bten et lde orrek oinrrirekin ertzen duen ngeluren sinuren rteko biderkdur d. 49. Tringelu ngeluzuzen bten bi ngelu zorrotzei osgrri esten zie, orien rteko btur ngelu zuzen bt delko. ztertu irudi, kopitu et ostu tul, et dierzi emitz sinbolikoki: c 90 b sin cos tg 90 6 f ) sin 0º = sin 40º cos 0º = cos 40º tg 0º = tg 40º 46 ) x = 60º; x = 0º b) x = º; x = º c) x = º; x = º d) x = 90º; x = 70º e) x = 0º; x = 80º; x = 90º f ) x = 0º; x = 0º; x = 0º; x 4 = 0º g) x = 0º; x = 0º; x = 40º 47 ) (sin + cos ) + (sin cos ) = b) c) = (sin + cos + sin cos ) + (sin + cos sin cos ) = = + sin cos + sin cos = sn i + sn i $ cos sn i ( sn i + cos ) = = sin sn i sn i + cos = sn i + sn i $ cos sn i ( sn i + cos ) sn i $ = = = cos cos cos sin = =tg cos d) + tg sin cos + sn i = + = = cos cos cos 48 ) G b) E c) E d) G e) E f ) G g) E 49 90º «riketk et problemk» tlren soluziok % 4 PD = 0º; = 47,4 m 44 ) sin (80º ) = sin cos (80º ) = cos tg (80º ) = tg b) sin (80º + ) = sin cos (80º + ) = cos tg (80º + ) = tg c) sin (60º ) = sin cos (60º ) = cos tg (60º ) = tg sin b/ c/ cos c/ b/ tg b/c c/b sin = cos (90º ) cos = sin (90º ) tg = /tg (90º ) OHRRK 4 ) sin 0º = sin 0º cos 0º = cos 0º tg 0º = tg 0º b) sin 40º = sin 60º cos 40º = cos 60º tg 40º = tg 60º c) sin 00º = sin 60º cos 00º = cos 60º tg 00º = tg 60º d) sin º = sin 4º cos º = cos 4º tg º = tg 4º e) sin 00º = sin 80º cos 00º = cos 80º tg 00º = tg 80º 9

15 Tller Mtemtik-lntegi de mtemátics Trebtu problemk ebzten Tringeluren zlerko zer zti dgo mrgotut? m m Lortu informzio Eklipsek Eguzki-eklipse Eguzkiren et Lurrren rten Ilrgi srtzen denen gerttzen d. Eguzkiren dimetro 400 ldiz d Ilrgiren. Et Lurrerino duen distntzi ere Ilr- β R d gik duen bino 400 ldiz ndigo d. Ilrgi Horregtik, Ilrgiren et Eguzkiren diskok i-i berdink dir Lurretik ikusit. Egizttu: Ostu kodernon tuln flt diren dtuk et egizttu β ngelu ntzeko del Ilrgiri dgozkion dtuettik zein Eguzkiri dgozkion dtuettik klkultuz gero. dimetro (km) lurrerinoko btezbesteko distntzi (km) tg ilrgi ?? eguzki ?? estlde, deskribtzen dituzten orbitk (Ilrgik Lurrren ingurun, et Lurrk Eguzkiren ingurun) zirkulrrk brik eliptikok direnez, Lurrerinoko distntzi ldtuz do une btetik bester. erz, btzuetn Eguzkik itxurz duen tmin Ilrgiren bino pur bt ndigo izngo d, et beste btzuetn, kontrr. Horregtik dude inbt eklipse mot. Erronboren zler 4 cm -ko d, et digonl txiki dienren iru lurden d. Klkultu inskribturiko zirkuluren zler. β d' Erztun eklipse. r Eklipse oso. izn ekimen et iksi R' Eguzki Irkurri et ulertu Hinbt geometri Geometri konbentzionl, gure ingurun ikusten dugun espzio ztertzeko erbiltzen dugun, geometri eukliderr deitzen d. Kontun rtu, esterko, Tringelu bten ngeluen rteko btur 80º d printzipio: egi d pper bten lerroktut ez duden iru puntu lotzen dituzten zuzenk mrrzten dituzunen. in pents Lurrren ginzlen tringelu ndigo irudiktzen dugul, zirkulu mximoen zuzenkik erbiliz. ldek zirkunferentzien rkuk izngo dir et printzipio onel enuntzitu dezkegu: Tringeluren ngeluen rteko btur 80 bino geigo d. Printzipio ori onrtzen duen geometriri geometri eliptiko esten diogu. ^ ^ ^ + ^ + ^ = 80 Et tringelu itzel erikitzen bdugu, izr ms btek edo zulo beltz btek deformturiko espzio kurbtu bten (bdirudi espzion orrelkok gerttzen direl), urrekok ez bezlko tringelu lortuko dugu. ldintz orietn, Tringeluren ngeluen rteko btur 80º bino txikigo d. (Geometri iperboliko). geometri eliptiko geometri iperboliko Geometri eukliderr ere kontun rtzen duten «beste» geome- tri orokorrgo orien erbilerk urrerkuntz ndik ekrri ditu fisik modernon (strofisik, erltibitteren teori, uinen edpenren MS nlisi, etb.). ^ + ^ + ^ > 80 ^ + ^ + ^ < 80 utoebluzio Webgunen riket uen ebzpen.. ) cos = 0, et < 90 bdir, klkultu sin et tg. b) tg β = et β < 90 bdir, klkultu sin β et cos β.. Konps bten cm-ko besoek 0 -ko ngelu ertzen dute. Zein d zbler orrekin mrrztu ditekeen zirkunferentziren errdio?. Ibi bten zbler neurtzeko, irudin geri diren neurrik rtu ditugu. Klkul ezzu zbler. 6 0 m 4 4. Tringelu onetn, klkultu -ren gineko ltuer, tringeluren zler et ^. geometri eukliderr 7 m ^ ^ ^ 68 8 m. rtze bten, m-ko zbler duen putzu bt dgo. Hutsik dgoenen, kreletik ondoren urrez urreko egl ikusten dugu, 70 -ko ngelupen orizontlrekin. Ur gork donen, ur-ginzlren urrez urreko egl 4 -ko ngelupen ikusten dugu. Zer ltuer du putzuk? Zenbt igo d ur? 6. cos = / et tg < 0 bdir, esn zer kodrntetn dgoen ngelu et klkultu ginerko rrzoi trigonometrikok. 6 6 Trebtu problemk ebtziz Tringeluren ginzlren /8 dude mrgotut. Zirkuluren zler 8,09 cm -ko d. Lortu informzio Eklipsek Lurretik ikusit Ilrgiren et Eguzkiren dimetrok itxurz berdink izte ksulitte d, bin oso ksulitte ederr, Eguzki-eklipse osok edo erztun-eklipsek gerttzeko modu emten bitu. tl onetn oriei buruzko gogoet egiten d, ntzekotsun erbiliz. Soluzio dimetro (km) lurrerinoko btezbesteko distntzi (km) tg ilrgi ,0047 0º ' 0" eguzki , º ' 9" β Errdio = 0,4 cm Ibik 8 m-ko zbler du. 4 -ren gineko ltuer,76 m-ko d. Tringeluren zler = 0,64 m X = 6º Putzuk, m-ko ltuer du. Ur, m-rino igo d. 6 II. kodrnten. 6 sin = tg = 6 OHRRK Irkurri et ulertu Hinbt geometri Eukliderrk ez diren geometriei buruzko gogoet. Iksleek ezgun duten geometri erbiliz guzek ondo funtziontzen bdute ere et gure inguru rrzoiz et zentzuz interprettzeko blio bdute ere, beste esprru btzuetn guzk desberdink direl ikusrzi ni zie. utoebluzioren soluziok ) sin = 0,8; tg =,6 b) sin β = ; cos β = 0