Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II

Transcript

1 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Giz et Gizrte Zientzik Mtemtik II. ebluzio - Funtziok: Limitek, Deribtu - Integrlk Igncio Zulog B.H.I. (Eibr --

2 FUNTZIOAK (II Ignzio Zulog B. I. (Eibr Giz et Gizrte Zientzik (. mil -k hr ditzkeen blioen multzori funtzioren eistentzi-eremu esten zio, et D(f ern dierziko dugu. Adibidez, funtzion -k ezin du blio hrtu berz, eistentzi-eremu R {} d. f ( 0 Eistentzi- eremu: D(f R- {0} b f ( 0 Eistentzi-eremu: D(f [-, ] Funtziok ( hrtzen dituen blio guztien multzori ibiltrte esten zio. Adibidez, funtzioren ibiltrte [ 0, d. Ariket. Aurki itzzu ondoko funtzioen eistentzi-eremu: milko funtzio polinomikok: b (zuzenk, zuzenren mld d. b0 denen, zuzen (0,0 puntutik pstzen d. OX rdtz 0 zuzen d, et OY rdtz 0 zuzen. k zuzen, horizontl d k, orde, bertikl. Zein d irudiko zuzenren dierzpen nlitiko? OY A(0, et B(,0 puntuettik pstzen d. A mld B OX 0 0 Bi ertn egingo dugu: I b form du. A(0, puntu zuzenen dgo hots, (0b Berdin (,0 puntu: 0(b. Berz, b et -/. Zuzenren ekuzio: -/ II P(, puntu bt et m mld ezgutuz, zuzenren ekuzio m( d. Puntu, A(0, d et m -/. Berz, - -/( - 0 -/ --

3 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Blio bsolutuk»» 0 < »» ( < fhl»» fhl»» ,. et. milko funtzio polinomikok fh L ^ fhl fhl fhl^^ fhl^^

4 Giz et Gizrte Zientzik (. mil. milko funtzio irrzionlk è Eistentzi-eremu: è!!!!! - { 0} è Eistentzi-eremu: OY { } 0 6 è!!!!!!!!! OX Ariketk. Adierzi grfikoki ondoko funtziok:. Zein d funtzio huen dierzpen nlitiko? fhl 6 f H L 5 H,5L H,L H -, 8 L 8 H -, L fhl fhl OY H,L OX

5 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Alderntziz proportzionlk diren funtziok - 0 fhlê Eistentzi-eremu: D(f R 0 Asintot bertikl: 0 zuzen (OY rdtz. -0, -0, , 0, lim f ( 0 lim f ( Asintot horizontl: 0 zuzen (OX rdtz lim f ( 0 ± -0 - fhlêhl 0 Eistentzi-eremu: D(f R Asintot bertikl: zuzen 0,9 0, ,, lim f ( lim f ( Asintot horizontl: 0 zuzen (OX rdtz -0 lim f ( ± 0-5-

6 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Funtzio esponentzilk: - (/ 9 Asintot horizontl (OX rdtz eskuin ldetik lim 0 Edozein -rentzt (Eistentzieremu:R, funtzioren blio,, beti d positibo 0, Ibiltrte: ( 0 / Oinrri e zenbki (, duten funtzio esponentzilk e 7.9 e lim e e 0 e 0 e,7... e 7, /e 0, Asintot horizontl (OX rdtz ezker ldetik e - fhle^hl 7.9 Asintot horizontl (OX rdtz eskuin ldetik lim e e 0 e e - 7,89... e - 0,08... e - 0,5... Oinrri e zenbki (, duen funtzio logritmiko: ln Ez dgo zenbki negtiboen logritmorik ln 0.5 Eistentzi-eremu: {>0} 0 0,69,099 0,5-0,69-6-

7 Giz et Gizrte Zientzik (. mil -7- irudiktzen d. zuzen - denen, < funtzio. denen, < funtzio. 8 denen, < < 8 < < 0 0 < 0 0 Ztik definituriko funtziok Ariketk. Irudiktu grfikoki ondoko funtziok. Ksu bkoitzen seinltu zein den eistentzi-eremu et, eistitzen bdir, sintotk. e. Zein d funtzio huen dierzpen nlitiko?,999,

8 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Simetrik Simetri 0Y rdtzri begir Y X - - fhl f simetriko d rdtzri begir et ek irudi berdin dutenen, hots, f( f(- denen Adibidez: et - et - Mot horietko funtziok funtzio bikoitik direl esten d. Simetri (0,0 punturi begir Y 6 fhl X f simetriko d (0,0 punturi begir et ek irudi urkko dutenen, hots, f(- f(- denen Mot horietko funtziok funtzio bkoitik direl esten d. - Ariket. Azter ezzu ondoko funtzioen simetrik: Funtzioen konposizio Adibide : Emn ditzgun f ( et g( - funtziok. Klkul ditzgun (g o f( et (f o g( funtzio konpostuk. (g o f( g[f(] g ( ( (f o g( ksun, f funtzio g-ren emitzri pliktu behr zio: g( f(g(. Hu d, (f o g( f[g(] f[-] (f o g et (g o f ez dir berdink Ariketk. f( et g( iznik, klkul itzzu f o g et g o f funtzio konpostuk. Betetzen l d truktze propiette? Klkul itzzu (f o g( et (g o f(. Egizt ezzu ( 0 funtzio funtzio konpostu del. Horretrko,hr itzzu f( 0 et g( - funtziok et klkultu (f o g(. -8-

9 Limitek Ignzio Zulog B. I. (Eibr Giz et Gizrte Zientzik (. mil Albo-limitek < Demgun f ( funtzio et bzisko puntu f-ren lbo-limite ezkerrldetik rntz donen d, et eskuinldetik rntz donen d. Honel idtziko ditugu: lim f ( lim f ( f(,9,9,99,99,999,999 f(, 0,9,0 0,99,00 0,999 Funtzio btek puntu bten limite izngo du bldin lbo-limitek berdink direnen hu d: lim f ( lim f ( Aurreko dibiden, f funtziok ez du limiterik puntun. Limite eistitzen bd, bkrr d. Ezin ditu bi blio ezberdin eduki. Adibide Demgun < f ( funtzio. Klkultu lim f ( et lim f ( b lim lim. f ( f ( 6 lim f ( lim f ( 6 Ez dgo lim f ( lim f ( 6 Limite infinituk puntu bten. Limitek infinitun. Y Ezkerreko grfikon, funtzio blior hurbiltzen d ldgi rntz donen. Hu d, lim f ( X O Y 5 O X Aldiz, grfiko honetn, funtziok r jotzen du ldgik erntz hurbiltzen eskuinetik. Hu d: lim f ( OY Ariket. Demgun ondoko grfiko. Zenbt d? lim f ( lim f ( lim f ( lim f ( 0 lim f ( f (0 f ( f (5 lim f ( OX -9-

10 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Limiteen klkulu lim ( lim 5.( 5 6 lim Indeterminzio ksuk k. Ksu horretn, limiteren blio edo d. Adibidez, 0 f ( funtzion lim f ( et lim - f ( b 0 0 indeterminzio. Hori ginditzeko, deskonpostu fktoreetn zenbkitzile et izendtzile, et ondoren sinplifiktu. Adibidez, (.( lim lim lim (.( m P(... c indeterminzio. Bldin funtzio f ( bd, hiru n Q( b... ksu huek gert ditezke: m > n izte. Ordun, lim f ( ±. Adibidez, lim lim lim lim 5 5 lim lim 5 m < n izte. Ksu honetn limiteren blio 0 d. Este bterko, lim lim 5 5 m n izte. Ordun, lim 5 lim f ( b lim lim Ariket. Klkul itzzu: lim lim 5 6 lim 0 lim ( lim lim lim lim -0-

11 Adr infinituk. Asintotk Ignzio Zulog B. I. (Eibr Giz et Gizrte Zientzik (. mil Asintot horizontlk 5 Grfiko zuzener hurbiltzen d ldgi rntz donen. Hu d, lim f ( zuzen f funtzioren sintot horizontl del esten d. lim f ( L betetzen bd, L zuzen f ± funtzioren sintot horizontl del esten d. P( Futzio rrzionlen ksun, f (, sintot horizontlk lortzeko, nhiko d Q( frkzioko zenbkitzileko et izendtzileko polinomioen milk ztertze. Adibide. Lortu P(-ren mil Q(-ren mil bino tikigo bd, 0 zuzen (OX rdtz d sintot horizontl. Bik, P( et Q(, mil berekok bdir, mil hori drmten koefizienteen rteko ztidur d sintot horizontl. f ( et g( funtzioen sintot horizontlk. lim f ( lim f (. Berz, zuzen f-ren sintot horizontl d, lde biettik. b lim f ( lim f ( 0. Berz, 0 zuzen (OX rdtz f-ren sintot horizontl d, lde biettik. Funtzio esponentzilen ksun ere gertzen dir sintot horizontlk e - Demgun e funtzio. lim e e 0 e 0 zuzen (OX rdtz d f-ren sintot horizontl, et, ksu honetn, hurbilket ezker ldetik soilik egiten d. Funtzio esponentziletn, berretzile egiten den ksuetn, OX rdtz du sintot horizontltzt. --

12 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Asintot bertiklk OY - - OX Ezkerreko grfikon, funtziok -rntz jotzen du ldgik rntz hurbiltzen ezkerretik, et - rntz ldgi rntz hurbiltzen eskuinetik. Hu d: lim f ( et lim f ( zuzen f funtzioren sintot bertikl del esten d. Funtzio btek sintot bertikl izngo du puntun, bldin et lim f ( ± bd. P( Futzio rrzionlen ksun, f (,sintot bertikl edukiko du Q( Q( izendtzile 0 egiten duten -ren blioetn, bldin et -ren blio horietrko P( zenbkitzile nultzen ez bd. Adibide. Lortu 5 f ( et 9 g ( funtzioen sintot bertiklk. I -9 0 et - lim f ( lim f ( Berz, - et zuzenk dir f-ren sintot bertiklk. II - 0 ( lim g( lim lim lim Berz, g funtziok ez du sintot bertiklik puntun, ez inon. Ariket ebtzi Demgun funtzio. Aurkitu eistentzi-eremu et sintot bertiklk et horizontlk. Ondoren, dierzi grfikoki. Eistentzi-eremu: R {} 8 Asintot bertikl: zuzen. lim f ( lim f ( Asintot horizontl: zuzen. lim f ( ± OX --

13 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Ohrrk: Funtzio polinomikoek ez dute sintotrik Funtzio btek infinitu sintot bertikl eduki ditzke. Adibidez, tg funtziok Funtzio btek gehienez sintot horizontl bt eduki dezke btzutn lde btetik, et beste btzuetn bi ldeettik ( - rntz et - - rntz. Ariketk.. Lor itzzu ondoko funtzioen sintot bertiklk et horizontlk. d b e 5 c f e 5 6 b. Klkultu et b prmetroen bliok f ( funtzioren ksun zuzen sintot bertikl et zuzen sintot horizontl izn ditezen. --

14 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Jrritutsun Definizio. f funtzio jrritu d puntun, bldin hiru bldintz huek betetzen bdir: f( eistitzen d. lim f ( eistitzen d et finitu d. lim f ( f ( d. Berz, jrritu ez bd punturen bten, ondoko rrzoi btengtik izngo d: g funtzio ez d eistitzen puntun hu d, ez dgo g( bliorik. h funtzio eten egiten d puntun, ezkerldeko et eskuinldeko limitek besberdink direlko hots, ez d eistitzen lim h( i funtzio eten egiten d puntun, zeren lim i( eistitzen den rren, horren blio ez d i( blioren berdin.. dibide Aztertu ondoko funtzioren jrritutsun: Azter dezgun - puntun: f(- (- lim f ( ( lim lim f ( f ( ez d eistitzen. Berz, eten d - puntun. < < 0 0 Azter dezgun 0 puntun: f(0 0 lim f ( 0 lim f ( 0 0 lim f ( f (0 denez jrritu d 0 puntun. 0 --

15 Giz et Gizrte Zientzik (. mil. dibide Aztertu ondoko funtzioren jrritutsun prmetroren rber > denen, f funtzio puntuetn jrritu d. Et en? lim lim f (. f ( f ( puntun limite edukitzeko, - izn behr du hu d, ½. Berz: denen, f funtzio jrritu d puntu guztietn denen, f funtzio eten d puntun.. dibide Aztertu ondoko funtzioren jrritsun: f( ez d eistitzen, puntu ez bit f-ren eistentzieremuko. Berz, ez d jrritu n. Zein mottko eten duen determintzeko, puntuko lbo-limitek klkultu behr ditugu. lim lim Ez du zentzurik jrritutsunri buruz hitz egite funtzio eistitzen ez den eremun. Adib., funtzio ezin d jrritu izn < trteko puntuetn. Berz, f funtziok sintot bertikl du et juzi infinituko eten du puntun.. dibide Aurkitu k-ren blio, funtzio jrritu izn ddin k bzisko puntun. f( k ( ( lim lim lim ( f( lim f ( bete behr denez, k izn behrko du -5-

16 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Jrritutsun trte bten Trte bten jrritu d funtzio bt bldin trteko puntu guztietn jrritu denen. b c funtzio ez d jrritu [-, ] trten, brneko puntu bten (0 eten bit < funtzio ez d jrritu [0, ] trten. Zergtik? et funtzio polinomiko guztik jrrituk dir R oson. Ariketk. Aztertu funtzio huen jrritutsun: 9 e. Aztertu funtzio huen jrritutsun et urkitu sintotk. Ondoren, egizu < 0 dierzpen grfiko 0 >. Lortu et b prmetroek izn behr duten blio funtzio hu jrritu izn ddin R multzok. 5 b < (Sol.: et b-8 > -6-

17 DERIBATUA (II Funtzio bten btez besteko ldket-ts Ignzio Zulog B. I. (Eibr Giz et Gizrte Zientzik (. mil Kontsider dezgun irudiko grfikon dierzitko f funtzio, et P (, f( et P (b, f(b puntuk. fhbl Zuzenebkitzile P Funtzioren btez besteko ldket-ts -ren et b-ren rten hue d: f ( b f ( BBAT [, b] b fhl P b- fhl fhbl-fhl b Ztidur horren blio α ngeluren tngente trigonometrikoren blioren berdin d et, hori, ldi beren, P et P puntuettik pstzen den zuzenren (kurbrekiko ebkitzile mldren berdin d. f funtziok [, b] trten duen btez besteko ldket-ts grfikoren (, f( et (b, f(b puntuettik pstzen den zuzen ebkitzileren mldren berdin d. BBATren interpretzio fisiko Higikri btek denborren rber duen posizioren funtzio kontsidertuz gero, trte bteko btez besteko ldket-tsk higikri horrek trte horretn duen btez besteko bidur dierziko du. Btzuetn, f funtzioren BBAT er honetn dierzten d: f edo. dibide Demgun f ( funtzio. Klkultu: - Btez besteko ldket-ts [, ] trten. - et bzis puntuettik pstzen den zuzen ebkitzileren mld. - Aurreko zuzen ebkitzilek OX rdtzrekin ertzen duen ngeluren tngente. fhl fh L ÅÅÅÅÅÅ t - Higikri bten posizio denborren funtzion s ( t ern dierzten bd, zenbt d btez besteko bidur h et h bitrten? glderk modu beren klkultzen dir, et blio ber dute hu d: 5 f ( f ( 5 5 BBAT [, ] shtl t ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ -7-

18 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Funtzioen deribtu puntu bten Puntu bteko lduiuneko ldket-tsk grrntzi hndi du funtzioen zterketn et mtemtikoki funtziok puntu horretn duen deribtu deritzo. fhbl fhl P Q Q Abzisk bliotik gero et hurbilgo duden b, b, b... bliok hrtzen, horiei dgozkien PQ, PQ, PQ... zuzen ebkitzilek hinbt et hurbilgo dude puntutik pstzen den t zuzen tngenterekin edo zuzen ukitzilerekin. b b b b Zuzen ukitzile horren mld PQ n zuzen ebkitzileen mlden limite izngo d, legi, f funtzioren BBATen f ( b f ( limite: lim. f ( ern dierzten d. b b Kontur zitezkeenez, h b- eginez, b h dugu. Giner, b blio -rntz joten denen h b- blio zerorntz joten d. Berz, er honetn idtz dezkegu urreko f ( h f ( dierzpen: f '( lim h 0 h Berz, honko hu biezt dezkegu: Q Q fhl f funtziok bzisko puntun duen deribtu funtzioren grfikoko (, f( puntuko zuzen ukitzileren mld d. t Deribturen interpretzio fisiko Higikri btek denborren rber duen posizioren funtzio Gehikuntzen notzio erbiliz, er honetn dierz dezkegu f (: f '( f df lim 0 d Adibide Definizio erbilit, klkul dezgun f ( funtzioren deribtu puntun. ( h f ( h f ( ( h h h h f '( lim lim lim lim h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h h( h h lim lim 0,5 h 0 h h 0 Modu errzgon klkul diteke hu d, deribtuen formulk erbilit: f '( f '( 0,5-8-

19 Giz et Gizrte Zientzik (. mil. dibide. Demgun f ( funtzio. Klkultu: - Aldiuneko ldket-ts blioko bzis puntun. - bzis puntutik pstzen den zuzen ukitzileren mld. shtl t ÅÅÅÅÅÅÅ fhl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - f-ren deribtu bzis puntun. - Higikri bten posizio denborren funtzion t s ( t ern dierzten bd, zenbt d ldiuneko bidur t seg. denen? glderk modu beren klkultzen dir, et blio ber dute hu d: f '( 0,5 Zuzen ukitzileren ekuzio Lortu f ( funtzioren grfikok bzisko puntun duen zuzen ukitzileren ekuzio. Ondoko d zuzen bten puntu-mld motko ekuzio: 0 m( 0 P( 0, 0 et m mld lortu behr ditugu. Puntu: bd, f ( d. Berz, zuzen (, ¼ puntutik pstzen d Mld, f (, lehengo klkultu dugu: m f ( 0,5 Blio horiek 0 m( 0 ekuzion ordezktuz, 0,5( edo 0 Ariketk. Izn bedi funtzio. Aurki ezzu btez besteko ldket-ts [, ] trten. Zein d bere esngur geometriko? baurki ezzu ldiuneko ldket-ts bzisko puntun.zein d bere esngur geometriko?. Aurki ezzu funtzioren zuzen ukitzileren ekuzio - bzisko puntun -9-

20 Giz et Gizrte Zientzik (. mil. Izn bedi f( - 8 funtzio. Lor ezzu bzisko puntutik pstzen den zuzen ukitzileren ekuzio. bzein puntutn zuzen ukitzile d OX rdtzren prlelo? czein puntutn zuzen ukitzile d 5 zuzenren prlelo?. Idtzi zuzen ukitzile horren ekuzio.. Ondoko grfiko duen f( funtzion, nolkok dir deribtuen blioen zeinuk, b, c, d, e et f puntuetn? Positibo, negtibo l zero? b c d e f Y X Funtzio deribtu f funtzio bt kontsider dezkegu, bzisko puntu bkoitzri f funtziok puntu horretn duen deribturen blio egokitzen dion. f '( lim h 0 f ( h h f ( Horrel definituriko funtziori f-ren funtzio deribtu deritzo edo, lbur esnd, deribtu. f( iznik, zein d funtzio deribtu? Et bigrren deribtu et hirugrren? f '( f ''( 6 f '''( 6 f'''hl f''hl f'hl Hon hemen f(, f (, f ( 6 et f ( 6 funtzio deribtuen grfikok. fhl Puntu bten klkultu nhi iznez gero, nhiko d funtzio deribtun -ren blio ordezktze. -0-

21 Albo-deribtuk Funtzio bt deribgrri d puntu bten bldin et soilik bldin puntu horretn ezkerrldeko et eskuinldeko deribtuk berdink bdir. Ignzio Zulog B. I. (Eibr Giz et Gizrte Zientzik (. mil Adibide Klkultu f ( funtziok 0 bzisko puntun dituen lbo- deribtuk 0 f ( < 0 Ezkerrldeko deribtu: f '( berz, f '(0 Eskuinldeko deribtu: f '( berz, f '(0 f '(0 et f '(0 desberdink direnez, ez d eistitzen f '(0 Adibide Klkultu f ( funtziok bzisko puntun dituen lbo- ( > deribtuk Ezkerrldeko deribtu: f '( berz, f '( Eskuinldeko deribtu: f '(.(. f '(.(. 0 f '( f '( denez gero, f funtzio ez d deribgrri puntun Deribgrritsun et jrritutsun bzisko puntun f funtzio deribgrri izn ddin, behrrezko d f jrritu izte puntu horretn. Nolnhi den, deribgrri izteko puntun ez d nhiko puntun jrritu izte, zeren gert bititeke puntun f jrritu izte bin deribgrri ez izte. Este bterko,iptu berri ditugun bi funtziok: f ( et f ( ( < Lehen 0 puntun jrritu d, bin ez d deribgrri Bigrren puntun jrritu d, bin ez d deribgrri. Bldin f funtzio deribgrri bd puntun, ordun f funtzio jrritu d puntun. --

22 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Adibide Aztertu f ( funtzioren jrritutsun et deribgrritsun puntun. Mrrztu funtzio. f ( ( Jrritutsun puntun : lim f ( 0 lim f ( 0 Jrritu d f( 0 < Deribgrritsun puntun: f '( Ez d deribgrri f '( fhl Adibide Aztertu f ( < < funtzioren jrritutsun et deribgrritsun. Mrrztu funtzio. puntun: Jrritutsun puntun : lim f ( lim f ( f( Jrritu d Deribgrritsun puntun: f '( : f '( f '(. f '( 0 Ez d deribgrri puntun puntun: lim f ( lim f ( f( Ez d jrritu n. Berz, ez d deribgrri puntun. Intuitiboki zer esn genezke: Grfikoren norbide bt-bten ldtzen bd puntu bten (erpin irudiktzen d, puntu horretn funtzio ez d deribgrri --

23 Giz et Gizrte Zientzik (. mil -- Adibide 5 > ( f funtzio emnik, determintu -ren blio, funtzio jrritu et deribgrri izn ddin puntun. Jrritutsun puntun : f ( ( lim f ( lim f( - Jrritu izteko puntun, bete behr du hu d: et ± Ikus dezgun -ren bi blio horientzt f funtzio deribgrri den puntun Deribgrritsun puntun denen: > ( f '( '( : '( '( '( : '( f f f f f f Deribgrri d denen. Deribgrritsun puntun denen: > ( f '( '( : '( '( '( : '( f f f f f f Ez d deribgrri denen

24 Giz et Gizrte Zientzik (. mil -- Ariketk. Aztertu funtzio huen jrritutsun et deribgrritsun, dierzitko puntuetn: ( f, - puntun < ( f, puntun < ( f, puntun. Aztertu funtzio huen jrritutsun et deribgrritsun. ( f < < 8 8 ( g. Aztertu irudin dierzitko funtzioren deribgrritsun.

25 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Deribtuen klkulu. Formulk Ergiketk Konstnte bten et funtzio bten rteko biderkdurren deribtu k. g( ' k. g '( Btur funtzioren deribtu f ( ± g( ' f '( ± g '( Biderkdur funtzioren deribtu f (. g( ' f '(. g( f (. g' ( Ztidur funtzioren deribtu f ( g( ' f '(. g( [ g( ] f (. g'( Funtzio konposturen deribtu: kteren erregel Adibidek (f o g( f [g(]. g ( I sin funtzio funtzio konpostu bt d, f( sin et g( direlrik. Izn ere, (f o g( f[g(] f( sin Bere deribtu: f [g(]. g ( cos[g(].g ( cos. II Klkul dezgun ( - 0 funtzioren deribtu. Funtzio konpostu d. Izn ere, f( 0 et g( ( - hrtut, (f o g( f[g(] f( - ( - 0 Kteren erregel: f [g(]. g ( [g(] 9.g ( ( 9.(8-0 Orokorren, funtzio konpostu denen u letrz dierziko dugu hu d, sin [g(] edo sin u funtzioren deribtu u.cos u idtziko dugu. -5-

26 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Deribtuen tul Funtzio bkunk Funtzio konpostuk f( k f ( 0 Notzio errzteko, u delkok -ren funtzio bt dierzten du f( f ( f( n f ( n n f( u n f ( nu n u' f( f( n f( ln f ( f( u f ( n n f( n u n f( ln u f ( u ' f ( u f ( n n u' u f ( u u' n f( log f ( f( log u ln f ( u' u ln f( e f ( e f( e u f ( e u u' f( f (. ln f( u f ( u u' ln f( sin f ( cos f( sin u f ( u' cosu f( cos f ( -sin f( cos u f ( u' sin u f( tg f ( sec cos f( tg u f ( ' sec cos u u u -6-

27 Giz et Gizrte Zientzik (. mil -7- Ariketk. Klkultu ondoko funtzioen deribtuk: ( ( d c b 5.sin sin cos ( ln sin sin e e b ln..ln. ln(ln 5 sin. Izn bedi f( 5. Klkultu f (, f ( et f (. Aurki itzzu et b-ren bliok, bldin f( b funtzion f(0 et f (0 bdir. Grfiko huetn, zienek dierzten du f funtzio et zeinek f funtzio deribtu?

28 Giz et Gizrte Zientzik (. mil 5. Ze blio hrtzen du funtzio honen deribtuk 0, et puntuetn? Arrzon ezzu. fhl Ze puntutn hrtzen du zero blio funtzioren deribtuk?. Nolko izngo d puntu horretn zuzen ukitzileren mld?. Zein d zuzen horren ekuzio? 7. Klkul itzzu funtzio huek emndko puntuetn dituzten zuzenukitzileen ekuziok: f(, - bzisko puntun. b g (, bzisko puntun. 8. Biltu f ( funtzioren grfikoren zein puntutn den zuzen ukitzile - zuzenren prlelo, et lortu ukitzile horren ekuzio. 9. f ( funtzio emnik, determintu et b- b > ren bliok, funtzio jrritu et deribgrri izn ddin. -8-

29 Giz et Gizrte Zientzik (. mil - DERIBATUEN ZENBAIT APLIKAZIO Funtzio gorkorrk et beherkorrk f( f( Gorkorr puntun f ( > 0 Beherkorr puntun f ( < 0 Teoremk: f( funtzio gorkorr d puntun bldin f (>0 bd f( funtzio beherkorr d puntun bldin f (<0 bd Mimo et minimo erltibok (muturrk f > 0 M f < 0 f < 0 Min f > 0 Mimo bd ren ezker lden gorkorr d (f >0 et eskuin lden beherkorr (f <0. Berz, deribgrri denez puntun, ezker et eskuin deribtuk berdink izn behr dir hu d, f (0 Minimoren ksun, ren ezker lden f <0 d et eskuinen f >0. Berz, puntun f (0 izn behr du. Behrrezko bldintz. puntun, mimo et minimo erltiborik bdu, derrigorren f ( 0 izn behr du, Bldintz hori ez d nhiko. Gert diteke f (0 izte et puntun ez edukitze ez mimo ez minimorik. Adibidez, funtziok 0 puntun Nhikotsun bldintzk. f (0 iznik, nol ziurttu puntun mimo edo minimo erltiborik duen l ez?. Bi ertn egin diteke: I f (0 noski. Giner, ren lboetn deribtu zeinuz ldtzen bd, mimo edo minimo izngo du f <0 f >0 f >0 f <0 min m Alboetko deribtuen zeinuk berdink bdir, ez du mimo ez minimorik -9-

30 Giz et Gizrte Zientzik (. mil II f ( 0 iznik, bldin: - f (>0 bd, minimo erltibo du puntun - f (<0 bd, mimo erltibo du puntun Et zer gerttzen d f (0 et f (0 bdir? Jrritu ondoko teorem: Izn bedi f ( f ( f (... f n- ( 0 et f n ( 0. Zer betetzen d: - n bikoiti bd, mimo edo minimo du: f n (>0 bd, minimo : f n (<0 bd, mimo - n bkoiti bd, ez du mimo ez minimorik. Inflesio du puntun Ariket. Azter itzzu funtzio huen monotoni (gorpen et beherpen et mutur erltibok (mimo-minimok. b c d 5 Ahur et gnbiltsun. Inflesio puntuk f( f( f( f( Gnbil Ahurr Inflesio puntu Inflesio puntu puntun hurr edo konkbo del diogu, bldin -ren ingurunen f( funtzioren blio zuzen ukitzileren bino hndigo denen hots, kurb zuzenren goitik donen Gnbil edo konbeu d bldin f(-ren blio zuzen ukitzileren bino tikigo denen hots, kurb zuzenren zpitik donen Alde bten hndigo et besten tikigo (edo lderntziz denen, inflesio-puntu du denen I Kurb zti hori konkbo(hurr d goitik ikusit. Zuzen ukitzileen mldk A, B, C...F puntuetn gero et hndigok dir (A-n negtibo, B-n ez d hin negtibo, D- n positibo d... Berz, f ( funtzio gorkorr d. f gorkorr bd, f -ren deribtu (f positibo d. Berz, f( konkbo f gorkorr f (>0 II Kurb zti hori konkeu (gnbil d. Zuzen ukitzileen mldk gero et tikigok dir. Berz, deribtu funtzio, f (, funtzio beherkorr d. f( konkeu f beherkorr f (<0 Behrrezko bldintz: puntu inflesio bldin bdu, derrigorren f (0 izn behr du. Bldintz hori ez d nhiko. Lehen gerttutko rzo ber dukgu. -0-

31 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Inflesio punturen nhikotsun bldintzk. f (0 iznik, nol ziurttu puntun inflesiorik duen l ez?. Bi ertr egin diteke: I f (0 noski. Giner, ren lboetn deribtu zeinuz ldtzen bd, bdu mimo edo minimo f <0 f >0 f >0 f <0 Inf-puntu Inf-puntu Alboetko bigrren deribtuen zeinuk berdink bdir ez du inflesio-punturik II f ( 0 iznik, bldin f ( 0 bd, inflesio du puntun Et zer gerttzen d f (0 et f (0 bdir? Jrritu ondoko teorem: Izn bedi f ( f (... f n- ( 0 et f n ( 0. Zer betetzen d: - n bkoiti bd, inflesio-puntu du denen - n bikoiti bd, ez du inflesio-punturik. Ariketk.- Aurkitu funtzioren hur et gnbil trtek et inflesio-puntuk. Aurki itzzu ere gorpen et beherpen trtek et mutur erltibok. Ondoren egizu dierzpen grfiko.- Aztertu funtzio huen gorpen et beherpen, mutur erltibok, hur et gnbiltsun et inflesio-puntuk. Egizu dierzpen grfikok b c.- Aurki itzzu et b, b funtziok inflesio-puntu bt izn dezn (-,-n.- b c kurbk bzis rdtz ebkitzen du - puntun et inflesio-puntu du (,en. Klkultu, b, c et idtzi funtzio. Ohrrk Funtzio btek, infinitu mimo edo minimo erltibo eduki ditzke dibidez, sin. Mutur erltibo edo lokl deitzen diogu, lboetko puntuetn bino blio hndigo (m edo tikigo (min hrtzen duelko. Definizio-eremun edo trte bten hrtzen duen blio hndienri mimo bsolutu deitzen diogu et tikienri minimo bsolutu Mimo bsolutu: puntun Minimo bsolutu: - puntun Mimo erltibo: 0 puntun Minimo erltibo: puntun

32 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Optimizzio problemk Zientzi, ekonomi, politik et brreko rlo skotn, et hinbt mtemtik problemtn, funtziok optimiztze, hu d, hien mimo et minimok urkitze, interestzen zigu. Hori gerttzen d, dibidez, bldintz jkin btzuen pen lntegi bten produkzio kostu minimiztu nhi bdugu, edo lursil bten brzkien produkzio mimiztu nhi bdugu. Horrelko problemk ebzteko, honkok egin behrko ditugu: - Optimiztu behrreko funtzio ter. - Funtzio horrek bi ldgi edo gehigo bduzk, ekuzio lgungrrik urkitu, ldgi bkr bten bidez dierzi hl izn dezgun. - Funtzioren mimo edo minimo erltibok urkitu. - Emitzk interprettu, nolko problem den kontun iznik zentzurik ez dutenk bztertuz. Adibide: Lursil hndi bt dukgu errepide bten ondon, et hren zlerko metro krrtuko zti errektngelur bti hesi jrri nhi diogu knping bt egiteko. Hesik knping oso ingurtuko luke errepide ondoko 0 metro izn ezik, bertn srrer jrriko dugu et. Hesi kntitte tikien erbilit knping nol jrri behr dugun urkitu nhi bdugu, optimizzio problem bten urren gude. Alboko irudiri begirtut, honko funtzio optimiztu behr dugul ikusiko dugu: - 0 f(, - 0 Bi ldgiko funtzio denez, ekuzio lgungrri bt urkitu behrko dugu. Ksu honetn, bdkigu knpingren zler m -ko del berz: ordezktuz f(, -n, hon zer dugun: f ( 0 Aurki ditzgun funtzio horren minimo erltibok: ( f f ( 0 00 edo f (00 0,0 > 0 00 minimo erltibo bt d f ( f ( 00 0,0 < 0 00 mimo erltibo bt d Hesiren luzer minimiztu nhi dugunez, funtzioren blio minimo bino ez dugu izngo kontutn: 00. blio hori funtzion ordezktuz, 00 terko zigu berz, hon plnteturiko problemren ebzpen: 00 metroko ldeko eremu krrtu bt egingo dugu et 90 metro hesi erbiliko. --

33 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Ariketk - Deskonpos ezzu bi btugitn 8 zenbki, hien biderkdur mimo izn ddin. - Bi zenbkiren rteko btur 5 d. Bten krrturen et beste krrturen lukoitzren btur minimo del jkinik, urki itzzu bi zenbkiok - Orrilde btek 8 zm testu eduki behr du. Goiko et beheko mrjinek bin zentimetro izn behr dituzte, et lboetkoek bn. Aurki itzzu orriren neurrik, pperren kostu minimo izn ddin. - zm-ko perimetro duen lukizuzen guztien rten, zeinek du digonlik tikien? ARIKETAK.- Demgun - funtzio. Aztertu gorkor et beherkortsun, mutur erltibok, hur et gnbiltsun et inflesio-puntuk. Egizu dierzpen grfikok.- Aurkitu funtzioren definizio eremu et mutur erltibok.- Aurki ezzu -ren blio funtziok bere minimo puntun / blio dezn.- Klkul itzzu, b et c-ren bliok jkinik b c funtziok minimo bt duel (0,- puntun et inflesio-puntu bt (, -n. 5.- Ondoko grfiko f( funtzioren deribturen d. Y f ( X Aurkitu f funtzioren gorpen et beherpen trtek. b Determin itzzu mutur erltibok c Esn zeintzuk diren trte hur et gnbilk d Klkultu inflesio-puntuk 6.- Ondoko grfiko f funtzioren deribturen d. Hortik bitut, urki itzzu: f funtzioren gorpen et beherpen trtek. b f-ren mutur erltibok c Trte hur et gnbilk d Inflesio-puntuk Y - f ( X --

34 Giz et Gizrte Zientzik (. mil 6.- Esn zeintzuk diren f funtzioren gorpen etbeherpen trtek et mutur erltibok, jkinik hren deribtuk honko grfiko hu duel. Zer gerttzen zio f-ri -, 0 et puntuetn? f ( - 7. Aurki itzzu et b. funtziok sintot bertikl bt eduki dezn - b puntun et (0, ¼ puntutik ps ddin. X 8.- Zer zenbki positibok egizttzen du berorren lderztzizko btuz gero, tertzen den btur minimo izte? 9.- 6m -ko zlerko leiho errektngelur bten mrko egin nhi dugu. Atl horizontlren metro linel bkoitz eurotn tertzen d, et tl bertiklren 8 eurotn. Klkul itzzu leihoren neurrik mrkoren kostu minimo izn ddin b Zein d mrkoren kostu? m -ko zler duten lukizuzen guztien rten, urki ezzu perimetrorik tikien duen.. - m. et m.-ko ldek dituen lmin bti, lu ertzetn krrtu bn ebkitzen diogu. m. m. Lor ditekeen bolumen mimoko kut irekiren dimentsiok klkultu hu d, zenbteko izn behr du ebkitzen dugun krrturen lde, kutren bolumen mimo izn ddin?. - Et urreko lmin krrtu blitz, bere lde 0 zm-ko iznd? --

35 Giz et Gizrte Zientzik (. mil FUNTZIOEN ADIERAZPEN GRAFIKOAK Funtziok, ziltsunk dituenen edo zterket skon behr duenen, komeni d urreko gietn ikusi ditugun blibide guztik erbiltze. Horretrko, informzio et teknik ugri ditugu eskur. Eistentzi eremu Zein -rentzt dgo definitut f( funtzio? Hori d lehehengo ztertu behr den. Gogor dezgun: Funtzio polinomikok, e -, 5, n (n, bkoiti,...i. R f ( ztikietn, I R - { / g( 0}. Adib. g( I R - { ± } 0 I R f ( I { / f( 0 } Adib. I { } I (, ] [, I [,] I R Ez dgo 0 et zenbki negtiboen logritmorik. Berz, ln( I (, Ariket. Klkultu hurrengo funtzioen izte-eremuk: 0 9 ln( 5 < 0 Koordentuekin ebki-puntuk OX rdtzrekin. Egin 0 et ebtzi ekuzio. OY rdtzrekin. Egin 0 et ebtzi ekuzio. Simetrik OY rdtzrekiko f(- f( Adib., cos -5-

36 Giz et Gizrte Zientzik (. mil b O jtorri-punturekiko f(- -f( Adib., sin, OX rdtzrekiko: ± f ( denen. Adib., ± Periodikotsun Funtzio periodiko bd, nhiko dugu periodo bten ztertze Asintotk Deribtuk - Gorpen et beherpen - Mutur erltibok - Ahur et gnbiltsun. Inflesio-puntuk... Ohrr. Srritn, ez d behr horrelko zterket skon bt egite grfiko irudiktu hl izteko. Gehienetn, begird btekin kurbren itur jkin hl d et elementu gutikin grfiko egin. Adibidek.- Adierzi grfikoki funtzio Funtzio polinomiko d berz, esistentzi- eremu R d, et deribgrri (et jrri d R oson. Ez du sintotrik Koordentuekin ebki puntuk: 0 egind 5 tertzen d berz, (0, 5 puntun mozten du OY rdtz. Mutur erltibok: f ( 9 0 et f >0 f <0 f <0 f <0 f( 9 et f( 5 minimo (, 9 et mimo (, 5 Inflesio puntuk f ( 6 0 f( 7 I (, 7 f <0 f >0-6-

37 Giz et Gizrte Zientzik (. mil - Irudiktu funtzio. I.E. R {0} Eten 0 puntun: lim 0 lim 0 f ( f ( 0 ezinezko Ardtzekin ebki-puntuk: 0 /, P(,0 Ez du simetririk Asintotk. Bertikl: 0 zuzen Horizontl: zuzen Mimo-minimok: 0 Ez du m-min. Beherkorr I.e. guztin. Infleio-puntuk: 0 Ez du infleio-punturik > 0 denen, > 0, f( hurr < 0 denen, < 0, f( gnbil Blio-tul -/ 0-7-

38 Giz et Gizrte Zientzik (. mil JARRAITUTASUNA, DERIBATUEN APLIKAZIOAK, GRAFIKOAK,... (riketk.- Aztertu funtzioren jrritsun et deribgrritsun. Adierzi grfikoki.- Klkultu et b ondoko funtzio jrri et deribgrri izn ddin 0 denen f ( b > 0 denen.- Klkultu et b, f( funtzio jrri izn ddin bldin < f ( b bldin < 0 bldin 0 bd Aurkitutko et b blioekin, ztertu f(-ren deribgrritsun.- Aurkitu kurbren zuzen ukitzileren ekuzio puntun 5.- Demgun - kurb. Aurki ezzu zein (edo zeintzu puntuetn, kurbrekiko zuzen tngente zuzenrekiko prlelo den 6.- Aurki ezzu 0 kurbren zuzen ukitzileren ekuzio bere inflesio puntun f ( b funzio emnik, klkultu et b -ren bliok, funtzio (-,-6 puntutik igro et puntu horretn tngente horizontl eduki dezn 8.- Aurkitu 8 funtzioren mimo, minimo erltibok et inflesio-puntuk 9.- Berdin funtziorenk 0.- Ondoko grfiko, f( funtzioren deribturen d hu d, f (-ren - f ( Aurki itzzu: f-ren gorpen et beherpen trtek b f-ren mutur erltibok c Trte hur et gnbilk d Inflesio-puntuk.- Grfiko hu f funtzioren deribturen d. Aurki itzzu: f-ren gorpen et beherpen trtek b f-ren mutur erltibok f ( c Ahur et gnbil trtek d Inflesio-puntuk -8-

39 Giz et Gizrte Zientzik (. mil.- Ondoko grfiko hirugrren milko funtzio polinomiko bti dgokio Aurki ezzu funtzioren espresio nlitiko (,-.- f( ( 5 funtzio emnik, egizttu f (0, f (0 et f (0 direl. f( funtziok b l du mimo, minimo edo inflesio-punturik puntun?.- Funtzio bten bigrren deribtu d, et funtzioren grfikok (, - puntun mimo erltibo d. Aurkitu funtzio. 5.- Aurkitu. e funtzioren mimo minimok, infleio-puntuk et gorpen beherpen trtek 6.- b funtziori buruz, bdkigu (, puntutik igrotzen del et 0 zuzenren prlelo den tngente bt duel puntu horretn. Aurkitu et b b Aurkitu mutur erltibok et hur et gnbil trtek 7.- Bigrren milko funtzio polinomiko bten d, bere grfiko (,0 puntutik pstzen d et puntu horretn zuzen ukitzile zuzenren prlelo d. Klkultu f( kurbren ekuzio 8.- Egizu funtzio huen dierzpen grfiko. Aztertu rdtzekin ebki-puntuk, gorpen et beherpen, mutur erltibok, hur et gnbiltsun, sintotk, e. 8-9 (- 9.- Lukizuzen form duen zeli bten zler m d. Alde bten ibi pstzen d et hesirik ez du behr. Klkultu zeliren dimentsiok, beste hiru ldek ingurtzeko behr den hesiren koste minimo izn ddin 0.- Erikin bten jbek 0 etebizitz ditu loktzeko, bkoitz 80 eurotn hilen. Alokiruren prezio 6 euro igotzen duen bkoitzen, mizter bt gltzen du. Zein d etekin gehien emngo dion lokiru-prezio?.- Bn ezzu 5 zmko luzer duen segmentu bt bi ztitn ondoko bete behr delrik: zti bten krrturen et beste ztiren krrturen lukoitzren btur minimo izn behr du. -9-

40 Giz et Gizrte Zientzik (. mil INTEGRALAK - JATORRIZKO FUNTZIOAK. INTEGRAL MUGATUGABEA f( funtzio bten jtorrizko funtzio F( izngo d, zer betetzen bd: F`( f(. Adibide: F( funtzioren jtorrizko funtzio F( d, zeren et (. Et ez bkrrik, bizik et, -,..., kte ere bi. Funtzio guzti huen deribtu d. Jtorrizko funtzioen multzo oso f ( d -en bidez dierzten d, et integrl mugtugbe esten zio. Berz d k, d ln k... Diferentzil et integrl lderntzizkok dir: d f ( d f ( k Propiettek.- Funtzioen rteko bturren integrl, integrlen btur d: ( ( g( d f ( d f g( d.- Konstnte et funtzio bten rteko biderkdurren integrl, konstnte bider funtzioren integrl d. k f ( d k f ( d Propiette huek, deribtuetn ikusi genituen ntzeko propietteen ondoriok dir. -0-

41 Giz et Gizrte Zientzik (. mil BEREHALAKO INTEGRALAK Funtzioen deribtuk et integrlren kontzeptu kontutn hrturik, F( ondorengo tul lortzen d: d k n n n n u d k n u u` d k n d u` ln k d ln u k u u u d k ln u` d k ln u u e d e k e u` d e k sin d cos k u ` sin u d cosu k cos d sin k u` cosu d sin u k Klkul itzzu ondoko integrl mugtugbek: Deribtu Integrl f(, 5 d b ( d 5 c d 5 e ( d f ( 5 d d d 5 g 5 d h e 6 d i 5 (5 d j 5 d k d n d 6 7 l d o sin ( d p cos d m ( d. Demgun funtzio. Zein d puntun 7 blio hrtzen duen jtorrizko funtzio?. Aurki ezzu -entzt 6 blio hrtzen duen f( 9 funtzioren jtorrizko funtzio.. Aurki ezzu f( funtzio, jkinik f `( et f(5 6 direl. 5. Aurkitu G funtzio, jkinik G (, G (0 et G(0 direl. 6. f( funtzioren jtorrizko guztien multzotik, klkul ezzu - entzt nultzen den. 7. Zenbt funtzioren deribtu d f( - funtzio? Aurrekoen rten urkitu bt non bere grfiko (, puntutik pstzen den. --

42 Giz et Gizrte Zientzik (. mil INTEGRAL MUGATUA Izn bitez [, b] trten jrritu den f( funtzio et G( bere jtorrizko funtzio bt (edozein jtorrizko. b Zer betetzen d: f ( d G( b G( Adibide Klkultu ( Propiettek b.- f ( d 0 d ( d.- [, b] trten jrritu et f( >0 bd b f ( d >0 d. Brrow-ren erregel 0 [, b] trten jrritu et f( <0 bd b f ( d <0 d. Ariketk.- Klkultu: ( d b ( d c e 0 d 0.- Aurkitu -ren blio ( d integrlren blio izn ddin 0.- Aurkitu lehen milko funtzio polinomiko, f(, ondoko betetzen duel jkinik: f( 0 et f ( d 0 --

43 Giz et Gizrte Zientzik (. mil I- AZALERAK f( A b f ( d A b II- A b f( f( < 0 denen A - b f ( d III- f( A A A A A A A b f d ( - c b f d ( d c f ( d b c d A Ariket Klkultu 6 kurbk et OX rdtzk mugtzen duten brruti itiren zler. Egizu grfiko IV- I- II- g( f( F( et g( kurbek ostzen duten zler. Ebki puntuk, et b A A b [ f ( g( ] d b Ariket Klkultu - et - kurbek mugtzen duten zler --

44 Giz et Gizrte Zientzik (. mil AZALERAK.- Klkul ezzu 0 et zuzenek, bzis-rdtzk et - 8 zuzenk mugtzen duten brrutiren zler.- Klkultu ondorengo funtzioek X rdtzrekin mugtzen duten zler: f( - b f( -.- Klkul ezzu f( - kurbk, koordentu rdtzek et zuzenk mugtzen duten brrutiren zler.- Klkultu ondorengo kurben rteko zler: f( et g( b f( 6 et g( - c f(, g ( et h( d ( et e f(, g( et h( - f et 8 g kurbk, OX rdtzk et - et zuzenek h 0 zuzenk, prbolk et OX rdtzk < Aurki ezzu f ( funtziok, - et zuzenek et bzisrdtzk mugtzen duten eskulderen 0 zler 7.- Aurki ezzu 7 prbolk et 0 zuzenk brne hrtzen duten plnoko eskulderen zler. 8.- Klkul ezzu f( et g( grfikoek et - et zuzenek mugtzen duten zler. 9.- ekuzioko kurbk, A(0,0, B(,0, C(, et D(0, erpinetko krrtu bi eskuldetn bntzen du. Aipturiko eskuldek irudik itzzu et bkoitzren zler klkultu. 0.- Biltu m -ren blio, et m funtzioek mugtzen duten zler 6 del jkinik. --

45 Giz et Gizrte Zientzik (. mil.- Izn bitez A(-, 0, B(0, - et C(, 0 puntuk. Klkultu ABC irudiren zler, AB et BC lerrok zuzenk et AC lerroren ekuzio - direl jkinik.- Adierzi grfikoki ABC eskulde et bere zler klkultu ondoko dtuk erbiliz: A(0,0, B(0,, C(,, AB et BC lerrok zuzenk dir et AC lerroren ekuzio d. 0.- Klkultu f ( funtzioren grfikok et bzis-rdtzk 0 mugtutko eskulderen zler. Egizu grfiko.- Adierzi grfikoki et (- prbolek mugturiko eskulde iti et klkultu bere zler. 5.- Klkul ezzu funtzioren grfikok, (, puntuko kurb horren zuzen tngentek et OY rdtzk mugtzen duten eskulderen zler. 6 (Sol: u Izn bitez A(-, 0, B(, 0 et C(0, puntuk. Klkultu ABC irudiren zler AC et BC lerrok zuzenk et AB lerroren ekuzio direl jkinik. -5-

46 Giz et Gizrte Zientzik (. mil INTEGRAZIO-METODOAK Aldgi-ldket Emn dezgun f ( u u` d ertko integrl. Aldgi izn behrren, ondoko ldket propostzen d: u( t Deribtuz, u`( d dt. Adibidek: - d I ( Berz, f ( u u` d f ( t dt d u n u` form duk, u delrik. Berz, ondoko ldket dgokio: t I Deribtuz, d dt d dt. Orin, dierzi den t -ren funtziopen. Hu d: - d t ( t dt t dt k d k u` form duk. Berz, ldket: u - t u Deribtuz: -6 d dt edo d dt 6 dt 6 t 6 6 Hu d: I d ln t k ln Ariketk Klkultu: d e sin b d c (5 d k d d e d ( 5 f ( 5 d -6-

47 Giz et Gizrte Zientzik (. mil Ztikko metodo u et v, -en funtziok bdir, zer betetzen d: d( u v u dv v du u dv sktuz: u dv d( u v v du Atl bik integrtuz: formul u dv u v v du Ztikko integrzioren Formul honen bidez, u dv klkul diteke, v du jkinez gero. Metodo hu, zenbit ksutn plik diteke:. dibide e d Deitu: u et e d dv Klkultu du et v: du d v Apliktu formul: I e - e d e - e k e d e. dibide sin d Deitur: u et sin d dv Klkultu du et v: du d v sin d cos Apliktu formul: I - cos - cos d - cos sin k. dibide Deitur: ln u ln d et d dv Klkultu du et v: du d v d Formul: I ln d ln d k ln Ariketk Klkultu: ln d b cos d c d d ln. d e e d (bi ldiz -7-

48 f ( Funtzio rrzionlk d g( Integrl klkultzeko, lehenengo hurrengo pusuk jrritu: Ignzio Zulog B. I. (Eibr Giz et Gizrte Zientzik (. mil Begir ezzu f(-en mil, g(-en bino hndigo edo berdin den. Horrel bd, egin ztiket: d Adibidez: b Deskonpostu fktoretn g(. d g(-en fktoreen rber, ksu huek bereiztuko ditugu: I g(-en fktore guztik lehenengo milkok et ezberdink dir: A ( b fktore bkoitzri, ztidur dgokio b Adibidez: ditugu: d d A ( ( A( B( ( ( ( ( B ldgiri izendtzileren erroen bliok emnez A et B klkultuko - A(-- B(- -A A A(- B( B B Ondorioz, urreko integrl horrel klkultuko dugu: d d A B d ( ( ln ln d d k II g(-en fktorek, lehenengo milkok dir bin errepiktzen dir: ( b n fktore bkoitzri, ondoko btur dgokio: A B C... b b b ( ( n 5 Adibidez: d ((- Berz: 5 A B C ( ( ( -8-

49 A, B et C lortzeko hurreko tleko pusuk jrrituz: Ignzio Zulog B. I. (Eibr Giz et Gizrte Zientzik (. mil 5 ( ( A B C ( A( B( ( C( ( ( - (- 5 A(-- B(-(-- C(- A A ( 5 A(- B((- C( 8 C C B-ren blio klkultzeko ldgiri beste edozein blio emn, dibidez 0 0 (0 5 (0- B(0 (0 (0 5 - B B - Dtu huek erbiliz, integrl klkultuko dugu: ln 5 d ln d d k d ( ln ln Ariketk 5 Klkultu hurrengo integrlk: ( d b d c ( d 5 d d 5-9-