Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων

Transcript

1 Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων Τα κύµατα δεν είναι η συνέχεια των ταλαντώσεων, όως για διδακτικούς λόγους κάνουµε 1. Η διάδοση ενός αλµού. Έστω ότι έχουµε ένα ελαστικό µέσο,.χ. µια τεντωµένη οριζόντια χορδή. Εκτρέοντας το αριστερό άκρο της για ένα µικρό χρονικό διάστηµα κατακόρυφα, µορούµε να δηµιουργήσουµε έναν αλµό, ο οοίος µορούµε να τον δούµε να διαδίδεται κατά µήκος της χορδής. Τέτοιοι αλµοί φαίνονται στο αρακάτω σχήµα να διαδίδονται ρος τα δεξιά άνω στην χορδή. Οι αλµοί αυτοί µορούν να έχουν διάφορες µορφές, όως.χ. τριγωνικοί ή και αρµονικοί. Ας άρουµε τώρα ένα αλµό όως στο διλανό σχήµα, ο οοίος διαδίδεται ρος τα δεξιά και στο σχήµα δίνονται δύο θέσεις του ου διαφέρουν χρονικά κατά t = t 2 -t 1. Ορίζουµε την ταχύτητα διάδοσης του αλµού: s s υ = t Και αν θέλουµε να δώσουµε µια µαθηµατική συνάρτηση για την διάδοση του αλµού αυτού; Αν θέλουµε δηλαδή µια κυµατοσυνάρτηση για να εριγράψουµε τόσο τη µορφή του αλ- µού, όσο και τη θέση του κάοια στιγµή, τι κάνουµε; Υοθέτοντας ότι ο αλµός µεταφέρεται χωρίς αλλαγή µορφής, θα ρέει η µορφή της χορδής να υακούει στην ίδια συνάρτηση, αλά η εικόνα να έχει µετατοισθεί. Παίρνουµε λοιόν ένα σύστηµα αξόνων και θεωρούµε ότι η αρχική θέση του αλµού, είναι στη θέση =0 (όως στο σχήµα, όου το =0 αντιστοιχεί στο µέγιστο του αλµού. Προφανώς θα µορούσαµε να άρουµε σε άλλη θέση το =0 ) και ότι σε αυτή τη θέση βρίσκεται ο αλµός τη στιγµή t 0 =0. Τότε η αρχική εικόνα εριγράφεται αό µια συνάρτηση: =f() τη στιγµή t=0 Σε κάθε εόµενη χρονική στιγµή ο αλµός θα έχει µετακινηθεί κατά µια αόσταση =υ t και το µέγιστο του αλµού, θα έχει είσης µετατοισθεί αό τη θέση =0, στη θέση =υ t. Η αρχική συνάρτηση =f(), θα ρέει τώρα να γραφεί µε τη µορφή f (0 ) =f(-υ t) όου t 0 t1 t2 t= 0 t f (0 ) υt 1

2 Αν τώρα η µορφή του αραάνω αλµού τη στιγµή t 0 =0, µορεί να εριγραφεί κατά µεγάλη ροσέγγιση, µε µια συνάρτηση της µορφής =f()= Α συν(k) τη στιγµή t=0 τότε σε κάθε µεταγενέστερη στιγµή η αντίστοιχη κυµατοσυνάρτηση θα έχει τη µορφή: =f(-υt)= Α συνk(-υt) µε t 0 ή = Α συν(kυt-k) µε t 0 Αλλά ας ειστρέψουµε στο σχήµα τη στιγµή t=0, όου τώρα «βλέου- µε» τη µορφή ενός συνηµιτόνου, το οοίο µηδενίζεται στις θέσεις: A t= 0 = ±, αφού = Α συν(k) =Α συν ± k = A συν ± = 0 2 A t έτσι τη στιγµή t, ο αλµός βρίσκεται στην εριοχή: υ t - υt υt+ υt υt υt+ 2. Η διάδοση ενός κύµατος. Ας άρουµε τώρα το άκρο της χορδής, να µην εκτελεί µόνο µισή ταλάντωση, αλλά έστω ότι κινείται διαρκώς και εµείς βλέουµε µια εριοχή της χορδής η οοία είναι αραµορφωµένη όως στο σχήµα: όου η µορφή της καµύλης είναι αρµονική. Θέλουµε να δώσουµε µια µαθηµατική εριγραφή για το κύµα ου διαδίδεται. Ειλέγουµε ένα σύστηµα α- ξόνων, θέτοντας αυθαίρετα σε κάοιο σηµείο την αρχή των αξόνων. + A 2

3 Κατά τον αρχικό χρόνο t=0 η κυµατοσυνάρτηση είναι της µορφή: =Α συν(k) Η σταθερά Α ου αντιροσωεύει το ύψος της κορυφής του κύµατος (ή το βάθος του κοιλώµατος) ονοµάζεται λάτος του κύµατος και η σταθερά k ονοµάζεται κυµατικός αριθµός. Το αρακάτω σχήµα δίνει το γράφηµα της αραάνω κυµατοσυνάρτησης. Οι κορυφές κύµατος (µέγιστα) συµβαίνουν στις θέσεις: + A /k 2 /k 3/k k= 0, 2, 4, 6 και τα κοιλώµατα κύµατος (ελάχιστα) στις k=, 3, 5. Αό αυτές τις εξισώσεις βλέουµε ότι η αόσταση αό τη µια κορυφή ως την εόµενη, ή αό το ένα κοίλω- µα ως το εόµενο είναι 2. Αυτήν την αόσταση ονοµάζουµε µήκος του κύµατος: k 2 λ = k Σε οοιοδήοτε µεταγενέστερο χρόνο, το αρµονικό κύµα θα έχει ροχωρήσει κάοια αόσταση ρος τα δεξιά ή ρος τ αριστερά. Η αρχική κυµατοσυνάρτηση ρέει ν αντικατασταθεί µε µια νέα, µετατοισµένη κυµατοσυνάρτηση =Α συνk(-υt) (για κύµα ρος τα δεξιά και όµοια µε + για κύµα ου οδεύει ρος την αρνητική φορά του ) Για αρµονικό κύµα, συνηθίζεται να χρησιµοοιούµε την κυκλική συχνότητα 2 ω=kυ= υ = 2 f λ Συναρτήσει του µήκους κύµατος και της συχνότητας η αραάνω εξίσωση γράφεται: =Α συν 2 2ft ή λ t =Α συν 2 2 ή και T λ 3

4 t =Α ηµ (1) T λ 2 t Στην εξίσωση (1) η οσότητα φ= ονοµάζεται φάση του κύµατος, ενώ αν θέσουµε =0 T λ 2 και t=0 αίρνουµε ϕ = (rad) η οοία εκφράζει τη φάση του σηµείου στη θέση ου εµείς ήραµε ως αρχή 2 του άξονα (=0), τη χρονική στιγµή t=0. Σηµειωτέον ότι ένα δοσµένο σωµατίδιο της χορδής, σε κάοια δεδοµένη θέση 0, έχει εγκάρσια αοµάκρυνση t 0 t t =Α ηµ = A ηµ 2 + φ0 όου 2 0 T λ 2 T 0 T +φ > εξίσωση ου µας υενθυµίζει ότι το δεδοµένο σωµατίδιο εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε λάτος Α και κυκλική συχνότητα ω. Αξίζει βέβαια να τονισθεί στο σηµείο αυτό, ότι θα µορούσαµε να άρουµε τον άξονα, όως στο αρακάτω σχήµα. + A Αλλά τότε η εξίσωση (1) θα έαιρνε τη µορφή: t =Α ηµ 2 T 2 λ Αλλά και γιατί όχι, να αίρναµε τους άξονες όως αρακάτω: + A Οότε θα είχαµε t =Α ηµ ϕ0 T λ 4

5 Βλέουµε δηλαδή ότι στην ερίτωση αυτή, αυτό ου συνήθως ονοµάζουµε αρχική φάση κύµατος, δεν έχει καµιά φυσική αξία, αφού είναι µια οσότητα ου η τιµή της εξαρτάται µόνο και µόνο αό τη θέση του άξονα!! Παράδειγµα. Στο αρακάτω σχήµα φαίνεται το στιγµιότυο ενός αρµονικού κύµατος ου διαδίδεται ρος την θετική φορά (ρος τα δεξιά), µε ερίοδο 2s, τη στιγµή t 0 =0. Η ηγή του κύµατος βρίσκεται αριστερά του αραθύρου και συνεχίζει να ταλαντώνεται. Να σχεδιάστε το στιγµιότυο του κύµατος τη χρονική στιγµή t 1 = 0,5s, για την ίδια εριοχή του αραθύρου. 0,2m 0,5m Αάντηση: Έστω ένα σύστηµα αξόνων, όως στο σχήµα, όου η θέση =0, είναι στο αριστερό άκρο του αραθύρου ου αρακολουθούµε. 0,2 ( m ) 0,2 0,5 1 1, 5 2 2, 25 ( m ) Η συνάρτηση ου εριγράφει το αραάνω στιγµιότυο είναι της µορφής και αντικαθιστώντας =0, =-0,2m αίρνουµε: + 0 0, λ =Α ηµ(k+φ 0 )=0,2 ηµ 2 ϕ = 0,2 ηµ ( 2 + ϕ ) 3-0,2=0,2 ηµφ 0 ηµφ 0 = -1 φ 0 = (rad) 2 οότε η συνάρτηση τη στιγµή t=0 αίρνει τη µορφή: 3 =0,2 ηµ

6 λ Αλλά τότε τη στιγµή t η αντίστοιχη συνάρτηση θα έχει τη µορφή =f(-υt) όου υ=λf= = 0,5m/s Τ ή 3 =0,2 ηµ 2 ( -υt) + 2 t 3 t 3 = 0,2 ηµ = 0,2 ηµ t 3 t = 0,2 ηµ = 0,2 ηµ t 1 = 0,2 ηµ 2 - µε t 0 και 2,25+υ t (S.Ι.) 2 4 Οότε τη στιγµή t=0,5s µε αντικατάσταση θα άρουµε: 0,5 1 = 0,2 ηµ 2 - = 0,2 ηµ 2( ) µε 2,25+υ t ή 2,5m 2 4 0,2 ( m ) 0,2 0,5 1 1, 5 2 2, 5 ( m ) Μορούµε να αρατηρήσουµε ότι η κυµατική εικόνα ου αίρνουµε, είναι η ροηγούµενη για τη στιγµή t=0, αλλά µετατοισµένη ρος τα δεξιά κατά 0,25m, όσο διαδόθηκε το κύµα. Βέβαια στο «αράθυρο» ου αρακολουθούµε δεν βλέουµε την διάδοση, αλλά την ταλάντωση των διαφόρων σηµείων, όου το κάθε σηµείο έχει ταλαντωθεί για χρονικό διάστηµα ίσο µε το ¼ της εριόδου. dmargaris@sch.gr 6