Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.

Transcript

1 Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον. Σε δύο σημεία Ο 1 και Ο, τα οοία αέχουν αόσταση (Ο 1 Ο )=d=4m, ενός άειρου γραμμικού ελαστικού μέσου, υάρχουν δυο ηγές κύματος, οι οοίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t 0 =0 ταυτόχρονα, O 1 O ρος την θετική κατεύθυνση, με αοτέλεσμα να δημιουργούν κύματα με λάτος m και με συχνότητα 1Ηz. Τα κύματα ου δημιουργούνται διαδίδονται και ρος τις δύο κατευθύνσεις με ταχύτητα m/s, χωρίς αοσβέσεις. Θεωρούμε τη θέση Ο 1 ως αρχή του άξονα x και μας αασχολεί το τι συμβαίνει δεξιά της ηγής Ο 1 (x>0). i) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων ου διαδίδονται κατά μήκος του μέσου. ii) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t 1 =0,75s. iii) Να σχεδιάστε είσης τη μορφή του μέσου τις χρονικές στιγμές: Α) t =s και Β) t =,5s. Αάντηση: d i) Στην εριοχή ου μας ενδιαφέρει (x>0) διαδίδονται κύματα, όως σημειώνονται στο διλανό σχήμα. Το κύμα αό τη ηγή Ο 1 ου διαδίδεται ρος τα δεξιά με εξίσωση: O 1 x=0 1 O T 4 Σ x 1= A ηµ (S.Ι.) με t 0 και x t (1) Το κύμα, αό την ηγή Ο με κατεύθυνση ρος τα δεξιά, όου αν άρουμε ένα τυχαίο σημείο Σ στη θέση x, το οοίο αέχει κατά s αό την ηγή του, θα έχουμε: s x-4 = A ηµ = + (S.Ι.) με t 0 και 4 x 4+t () Τέλος το κύμα αό την ηγή Ο το οοίο διαδίδεται ρος τα αριστερά, όου για το τυχαίο σημείο Τ, στη θέση x θα ισχύει: s = A ηµ t 4-x - = t+ (S.Ι.) με t 0 και 4-t x 4 () ii) Για τη στιγμή t 1 =0,75s οι αραάνω εξισώσεις δίνουν: 1

2 1 = ( 1,5 -x) = 0, 4 συν( x) (S.Ι.) με x 1,5m (1α) = + 0,75- + ( 5,5 -x) = 0, συν( x) = 4 (S.Ι.) με 4 x 5,5m (α) = t+ 0,75+ ( x,5 ) = 0, συν( x) = 4 (S.Ι.) με,5m x 4m (α) Με βάση τα αραάνω και για τις θέσεις με x 0 έχουμε την αρακάτω μορφή του μέσου: (m) t1=0, 75s 1,5,5 4 5, 5x(m) iii) Α) Τη χρονική στιγμή t το ρώτο κύμα έχει διαδοθεί σε αόσταση x=υ t =6m. Συνεώς στην εριοχή 0-4m έχουμε συμβολή του κύματος αυτού με το κύμα ου διαδίδεται ρος τα αριστερά ( ). Αλλά και δεξιά της ηγής Ο έχουμε συμβολή στην εριοχή 4m x 6m, ενώ στην εριοχή 6m x 10m διαδίδεται το κύμα ρος τα δεξιά. Με βάση αυτά έχουμε: α) 0 x 4m: = 1+ = + t+ x x x x + + t+ = συν ηµ = Οότε τη στιγμή t αίρνουμε: ( + ) ηµ ( ) = 0,8 συν x (4) ( + ) ηµ ( ) 0 = 0,8 συν x = β) 4m x 6m: = 1+ = + + x x x x t+ + + = συν ηµ =

3 x = 0,8 συν 1 ( ) ηµ + = 0,8 ηµ + 1 (S.Ι.) (5) Οότε τη στιγμή t αίρνουμε: γ) 6m x 10m: = 0,8 ηµ + 1 0,8 ηµ + 1 0, 8 ηµ = , 4 ηµ x Έτσι η μορφή του μέσου είναι όως αρακάτω: ( ) ( x) (m) 0,8 t = s x (m) Β) Τη στιγμή t =,5s το ρώτο κύμα έχει διαδοθεί μέχρι τη θέση x =υt =6,5m, συνεώς έχουμε: α) 0 x 4m ισχύει η σχέση (4) αό όου για t=,5s αίρνουμε: ( + ) ηµ (,5 ) = 0,8 συν x = 0,8 συν 8 ( x) ηµ 4 + = 0, συν( x) β) 4m x 6,5m αό την (5) θα έχουμε: = 0,8 ηµ + 1 0,8 ηµ,5 + 1 ( 8,5 x) = 0,8 συν( ) = 0,8 ηµ x γ) 6,5m x 10,5m: = +,5- + ( 10,5 -x) = συν( ) = x Με βάση τα αραάνω η μορφή του μέσου είναι όως στο αρακάτω σχήμα:

4 (m) 0,8 4, 5 6 8,5 10, 5 x(m) Σχόλια: 1) Αν ροσέξουμε τις εξισώσεις (4) και (5), μορούμε να διαιστώσουμε ότι η ρώτη είναι εξίσωση στάσιμου κύματος, ενώ η δεύτερη εξίσωση τρέχοντος κύματος. Αυτό σημαίνει ότι κατά την συμβολή των κυμάτων 1 και ροκύτει στάσιμο κύμα (δύο κύματα ου διαδίδονται αντίθετα), ενώ κατά την συμβολή των κυμάτων (1) και () έχουμε ένα νέο τρέχον κύμα (τα δυο κύματα διαδίδονται ρος την ίδια κατεύθυνση). ) Για την εριοχή 0 x 4m τις δύο αραάνω στιγμές t και t, έχει σχηματιστεί στάσιμο κύμα. Έτσι στην ρώτη ερίτωση, όλα τα σημεία ερνούν αό τη θέση ισορροίας τους (ευθεία γραμμή), ενώ στην δεύτερη τα σημεία βρίσκονται σε μέγιστες αομακρύνσεις. ) Ας άρουμε δύο σημεία Β και Γ ου ισαέχουν αό την ηγή Ο. Τη στιγμή t και τα δυο σημεία έχουν ίσες αομακρύνσεις, αλλά όχι ίδιες ταχύτητες ταλάντωσης. Το σημείο Β έχει μηδενική ταχύτητα και τη στιγμή αυτή βρίσκεται σε θέση λάτους. Αντίθετα το σημείο Γ είναι ένα σημείο κύματος ου διαδίδεται ρος τα δε- B 4 O r υγ Γ ξιά, έχοντας ταχύτητα, όως στο σχήμα. 4) Ένα ερώτημα ου συχνά ειστρέφει είναι το εξής. Πώς γίνεται να έχει σχηματισθεί στάσιμο στην εριοχή 0 x 4m, ράγμα ου σημαίνει ότι σταματά η ροή ενέργειας διαμέσου των δεσμών και στη συνέχεια να μιλάς για συμβολή δεξιά της δεύτερης ηγής; Η αλήθεια είναι ότι αό τη στιγμή ου θα δημιουργηθεί ένας δεσμός, σταματούν να διαδίδονται τα κύματα και στο σημείο αυτό έχουμε ανάκλασή τους. Οότε τα κύματα ου διαδίδονται δεξιά της Ο είναι το και το ου ροκύτει μετά αό ανάκλαση, όως φαίνεται στο αρακάτω σχήμα. Για ερισσότερα, μορείτε να διαβάσετε την ανάρτηση εδώ. 4

5 Υλικό Φυσικής-Χημείας Γιατί το να µοιράζεσαι ράγµατα, είναι καλό για όλους Ειμέλεια: Διονύσης Μάργαρης 5