ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 Γιώργος Μιχαηλίδης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΥ Προσανατολισμός Θετικών Σπουδών και Σπουδών ικονομίας και Πληροφορικής Α ΤΜΣ ΡΙ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΙΑΦΡΙΚΣ ΛΓΙΣΜΣ

2 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την υπογραφή του συγγραφέα και του εκδότη, εάν αυτό προβλέπεται από τη σύμβαση. Εκπαιδευτικά βιβλία για το Λύκειο Γιώργος Μιχαηλίδης Μαθηματικά Γ Λυκείου - Α ΤΜΣ Προσανατολισμός Θετικών σπουδών - ικονομίας και Πληροφορικής ISBN: Μαθηματική διόρθωση: Ανδρέας Τζαβάρας Επιμέλεια έκδοσης: Νίκος Χατζόπουλος Γραφιστική επιμέλεια και σελιδοποίηση: DTP Ελληνοεκδοτικής, Λαέρτης Βίλα, Βαρβάρα Παπαδημητρίου Σχεδίαση εξωφύλλου: DTP Ελληνοεκδοτικής, Λαέρτης Βίλα Πρώτη έκδοση: Ιούνιος 06 Παρούσα έκδοση: Ιούνιος 06, Κ.Ε.ΕΛ.: 4/6 Copright: Δ.Β. ΕΛΛΗΝΕΚΔΤΙΚΗ Α.Ε.Ε.Ε. & Γιώργος Μιχαηλίδης Απαγορεύεται η αναδημοσίευση και γενικά η αναπαραγωγή εν όλω ή εν μέρει έστω και μιας σελίδας ή και περιληπτικά, κατά παράφραση ή διασκευή, του παρόντος έργου με οποιονδήποτε τρόπο (μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογραφήσεως ή άλλως πώς), σύμφωνα με τους Ν.37/90, 430/99 και 0074, τα Ν.Δ. 3565/56, 464/6, /93 και λοιπούς εν γένει κανόνες Διεθνούς Δικαίου, χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του Εκδότη, ο οποίος παρακρατεί αποκλειστικά και μόνο για τον εαυτό του την κυριότητα, νομή και κατοχή. Κεντρική διάθεση: Δ.Β. ΕΛΛΗΝΕΚΔΤΙΚΗ Α.Ε.Ε.Ε. ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΚΔΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΜΠΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Ιπποκράτους 8, Αθήνα, Τηλ. & Fa: info@ellinoekdotiki.gr Τηλέφωνο συγγραφέα:

3 Π ρολγσ Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Γ τάξης Γενικού Λυκείου, οι οποίοι θα εξεταστούν στα Μαθηματικά Προσανατολισμού, στις Πανελλαδικές Εξετάσεις. Το βιβλίο οργανώνεται ως εξής: Θεωρία με παρατηρήσεις και προτάσεις Λυμένες ασκήσεις με Μεθοδολογία, ταξινομημένες σε ομάδες με κοινά χαρακτηριστικά Ασκήσεις για λύση κλιμακούμενης δυσκολίας και ομαδοποιημένες σε αναλογία με τις λυμένες Κριτήρια κατανόησης ανά ενότητα Επαναληπτικά κριτήρια κατανόησης Προτεινόμενα θέματα (Α, Β, Γ, Δ) ανάλογα με τα θέματα των Πανελλαδικών εξετάσεων. Ευχαριστώ από καρδιάς τον εκδότη κ. Βαλεριάνο και την ομάδα της Ελληνοεκδοτικής που επιμελήθηκε την έκδοσή του. Συγγραφέας

4

5 Π ΕΡΙΕΧΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙ ο ΡΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Συναρτήσεις Α. Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης 6 Β. Πεδίο ορισμού συνάρτησης Είδη συναρτήσεων Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 5 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 9 Γ. Τιμή συνάρτησης Σύνολο τιμών συνάρτησης 33 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 35 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 40 Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης 43 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 5 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 60 Ε. Άρτιες Περιττές συναρτήσεις 65 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 66 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 70 ΣΤ. Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις με συναρτήσεις 73 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 76 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 79 Ζ. Κατασκευή συνάρτησης 8 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 83 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 85 Η. Σύνθεση συναρτήσεων 89 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 90 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 95 Θ. Συναρτησιακές σχέσεις Εύρεση συνάρτησης 99 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 0 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 05 Ι. Ερωτήσεις Κατανόησης ο Κριτήριο Αξιολόγησης 3 ο Κριτήριο Αξιολόγησης 4. Μονότονες Συναρτήσεις Μονοτονία Συνάρτησης 8 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 5

6 Α. Εύρεση μονοτονίας συνάρτησης 5 Β. Λύση εξίσωσης f() = 0, με προφανή ρίζα και μονοτονία 3 Γ. Απόδειξη ανισότητας με μονοτονία 35 Δ. Επίλυση ανίσωσης 40 Ε. Μονοτονία και σύνθεση συναρτήσεων 53 ΣΤ. Μονοτονία και συναρτησιακή σχέση 56 Ζ. Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 6 Η. Ερωτήσεις Κατανόησης 79 3ο Κριτήριο Αξιολόγησης 8.3 Ακρότατα Συνάρτησης Ακρότατα Συνάρτησης 84 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 89 Α. Εύρεση ακροτάτων 89 Β. Ακρότατα και λύση εξίσωσης 97 Γ. Κατασκευή συνάρτησης Ακρότατα 04 Δ. Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 07 4ο Κριτήριο Αξιολόγησης 7.4 Συνάρτηση Συνάρτηση 0 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 4 Α. Η f δεν είναι 4 Β. Η f είναι 6 Γ. Εξισώσεις της μορφής: f() = κ, f (g ()) = κ, f (g ()) = f (h ()) όπου η f : A Ρ είναι και κ f(α) 8 Δ. Εύρεση συνάρτησης f() με τη βοήθεια του 3 Ε. Συνάρτηση και συναρτησιακή σχέση 34 ΣΤ. και σύνθεση συναρτήσεων 36 Ζ. Ερωτήσεις Κατανόησης 4 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 4 5ο Κριτήριο Αξιολόγησης 5.5 Αντίστροφη Συνάρτηση Α. Αντίστροφη συνάρτηση 54 Β. Γραφικές παραστάσεις των f και f 56 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 58

7 Α. Ύπαρξη εύρεση αντίστροφης 58 Β. Κοινά σημεία της ή της με την ευθεία = 66 Γ. Κοινά σημεία της και της 69 Δ. Μονοτονία της f Επίλυση εξισώσεων / ανισώσεων 73 Ε. Θέση της ή της ως προς την ευθεία = 79 ΣΤ. Ερωτήσεις Κατανόησης 83 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 83 6ο Κριτήριο Αξιολόγησης 95 ο ο Επαναληπτικά Κριτήρια Αξιολόγησης 96.6 Όριο συνάρτησης στο χ 0 Ρ Εισαγωγή 304 Α. Η έννοια του ορίου 304 Ι. Πλευρικά όρια 308 ΙΙ. Όριο ταυτοτικής - σταθερής συνάρτησης 33 Β. Ιδιότητες ορίων 34 Ι. Όριο και διάταξη 34 ΙΙ. Όρια και πράξεις 36 ΙΙΙ. Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης 37 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 3 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 34 Ε. Κριτήριο Παρεμβολής 349 ΣΤ. Μηδενική επί φραγμένη 35 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 353 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 36 Ζ. Τριγωνομετρικά όρια 365 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 367 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 37 Η. Όριο σύνθετης συνάρτησης Αλλαγή μεταβλητής 374 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 374 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 383 Θ. Βοηθητική συνάρτηση (θέτω - λύνω) 387 Ι. Εύρεση ορίου από γνωστό όριο 39 Κ. Εύρεση παραμέτρων 394 Λ. Όριο και διάταξη 395 Μ. Όριο και συναρτησιακές σχέσεις 398 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 400 Ερωτήσεις κατανόησης 408 7ο - 8ο Κριτήρια Αξιολόγησης 409

8 .7 Μη πεπερασμένο όριο στο χ 0 Ρ Α. Μη πεπερασμένο όριο στο χ 0 Ρ 44 Β. Ιδιότητες ορίων 46 Γ. Όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων 48 Δ. Η έννοια της απροσδιόριστης μορφής 40 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 4 Α. Η απροσδιοριστία 0 4 Β. Η απροσδιοριστία α 0 Γ. Παραμετρικά όρια 48 Δ. Βοηθητική συνάρτηση 43 Ε. Αν lim f ( )=±, τότε lim 0, ν n ν 0 f ( ) = Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση Όριο συνάρτησης στο άπειρο Α. Όριο συνάρτησης στο ± 446 Β. Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης 449 Γ. Όριο εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης 450 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 454 Α. Όρια πολυωνυμικών - ρητών συναρτήσεων 454 Β. Όριο με απόλυτα 456 Γ. Όρια αρρήτων συναρτήσεων 459 Δ. Αλλαγή μεταβλητής 466 Ε. Τριγωνομετρικά όρια 469 ΣΤ. Όρια με παράμετρο 473 Ζ. Όρια εκθετικών - λογαριθμικών συναρτήσεων 48 Η. Κριτήριο παρεμβολής 487 Ερωτήσεις κατανόησης 49 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 49 9ο Κριτήριο Αξιολόγησης 504 3o - 4o Επαναληπτικά Κριτήρια Αξιολόγησης Συνέχεια συνάτησης Α. ρισμός της συνέχειας 5 Β. Συνέχεια βασικών συναρτήσεων 55 Γ. Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις 55

9 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 50 Α. Μελέτη συνάρτησης f ως προς τη συνέχεια 50 Β. Συνέχεια και κριτήριο παρεμβολής 55 Γ. Εύρεση παραμέτρων 57 Δ. Τιμή της f στο Ε. Συνέχεια και συναρτησιακή σχέση 533 ΣΤ. Συνδυαστικές ασκήσεις 538 Ερωτήσεις κατανόησης 54 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 54 0ο Κριτήριο Αξιολόγησης Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Α. Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 558 Β. Θεώρημα του Bolzano 559 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 56. Ύπαρξη ρίζας 0 56 Α. 0 (α,β) 56 Β. 0 [α,β] 564 Γ. Εύρεση διαστήματος με δοκιμές ή με όριο 566 Δ. Κλασματική εξίσωση 568 Ε. Μοναδική ρίζα 57 ΣΤ. Δύο ή περισσότερες ρίζες 57 Ζ. ι και C g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο 574 Η. Κρυφή εξίσωση 575. Θεώρημα Bolzano και πολυωνυμικές εξισώσεις Συνδυαστικές ασκήσεις 583 Ερωτήσεις κατανόησης 588 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 589 ο Κριτήριο Αξιολόγησης 605. Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano Α. Πρόσημο συνάρτησης 608 Β. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών 609 Γ. Θεώρημα (Μέγιστης και ελάχιστη τιμής) 6 Δ. Σύνολο τιμών συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης σε διάστημα Δ 66 Ε. Τιμές της f ή όρια από το σύνολο τιμών και τη μονοτονία 60 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 6 Α. Ύπαρξη 0, με f( 0 ) = κ 6 Β. Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής 64

10 κ f f Γ. Υπάρχει 0 (α,β) ή 0 [α,β] τέτοιο, ώστε: f( 0)= ( α )+ λ ( β ). 630 κ+ λ Δ. Η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ 633 Ε. Εύρεση προσήμου συνάρτησης 638 ΣΤ. Εύρεση της f 639 Ι. Εύρεση της f από σχέση της μορφής f () = g() 639 ΙI. Εύρεση της f με βοηθητική συνάρτηση 643 Z. Σύνολο τιμών της f πλήθος ριζών της εξίσωσης f() = α 648 Ερωτήσεις κατανόησης 660 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 66 ο Κριτήριο Αξιολόγησης 678 5o - 6o Επαναληπτικά Κριτήρια Αξιολόγησης 680 ΚΕΦΑΛΑΙ ο ΔΙΑΦΡΙΚΣ ΛΓΙΣΜΣ. H έννοια της παραγώγου Α. ρισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο 69 Β. Παράγωγος και συνέχεια 693 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 697 Α. Εύρεση f ( 0 ) 697 Β. Παράγωγος και συνέχεια 704 Γ. Όριο από f ( 0 ) 708 Δ. f ( 0 ) από όριο 7 Ε. Παράγωγος σε τυχαίο σημείο 0 D f 74 ΣΤ. Συναρτησιακές σχέσεις και παράγωγος 75 Ερωτήσεις κατανόησης 70 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 7 3ο Κριτήριο Αξιολόγησης 734. Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση Κανόνες παραγώγισης Α. Παραγωγίσιμη συνάρτηση σε σύνολο 738 Β. Παράγωγος συνάρτηση 739 Γ. Παράγωγος μερικών βασικών συναρτήσεων 740 Δ. Κανόνες παραγώγισης 743 Παράγωγος αθροίσματος 743 Παράγωγος γινομένου 745 Παράγωγος πηλίκου 746 Ε. ρόλος της σταθεράς c στην παραγώγιση 749

11 ΣΤ. Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης 749 Ζ. Συγκεντρωτικοί πίνακες 75 Κανόνες παραγώγισης 75 Παράγωγοι συναρτήσεων 75 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 754 Α. Παράγωγος συνάρτηση - Κανόνες παραγώγισης 754 Β. Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης 76 Γ. Παράγωγοι ανώτερης τάξης 77 Δ. Έμμεση παραγώγιση 776 Ε. Παράγωγος και πολυώνυμα 778 ΣΤ. Παράγωγος και συναρτησιακές σχέσεις 78 Ζ. Η παράγωγος της f 783 Ερωτήσεις κατανόησης 788 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 789 4ο Κριτήριο Αξιολόγησης Εφαπτομένη Α. Εισαγωγή 80 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 84 Α. Εφαπτομένη της σε γνωστό σημείο 0 84 B. Εφαπτομένη με γνωστή κλίση 86 Γ. Εφαπτομένη που διέρχεται (ή άγεται) από γνωστό σημείο 8 Δ. Η ευθεία = α + β εφάπτεται της 85 Ε. Κοινή εφαπτομένη 89 Ι. Κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείο των, C g 89 ΙI. Κοινή εφαπτομένη των και C g 83 ΣΤ. Εξίσωση εφαπτομένης από γνωστό όριο 833 Ζ. Ύπαρξη εφαπτομένης που πληροί μια συνθήκη 837 Η. Εφαπτομένη της - 84 Θ. Γεωμετρικές 844 Ερωτήσεις κατανόησης 847 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 847 5ο Κριτήριο Αξιολόγησης Ρυθμός μεταβολής Ρυθμός μεταβολής 868 Λυμένες Ασκήσεις με μεθοδολογία 870 Α. Προβλήματα ρυθμού μεταβολής 87 Β. Κίνηση σημείου πάνω σε καμπύλη 874 Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 886 6ο Κριτήριο Αξιολόγησης 893

12 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΣΜΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ Α 897 ΘΕΜΑ Β 903 ΘΕΜΑ Γ 909 ΘΕΜΑ Δ 97

13 ΚΕΦΑΛΑΙ ΡΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Συναρτήσεις. Μονότονες Συναρτήσεις.3 Ακρότατα Συνάρτησης.4 Συνάρτηση -.5 Αντίστροφη Συνάρτηση.6 Όριο Συνάρτησης στο χ 0 Ρ.7 Μη πεπερασμένο όριο στο χ 0 Ρ.8 Όριο Συνάρτησης στο άπειρο.9 Συνέχεια Συνάρτησης.0 Συνέχεια Συνάρτησης σε διάστημα. Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano

14

15 . Σ ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Β. Πεδίο ορισμού συνάρτησης Είδη συναρτήσεων Γ. Τιμή συνάρτησης Σύνολο τιμών συνάρτησης Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης Ε. Άρτιες Περιττές συναρτήσεις ΣΤ. Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις με συναρτήσεις Ζ. Κατασκευή συνάρτησης Η. Σύνθεση συναρτήσεων Θ. Συναρτησιακές σχέσεις Εύρεση συνάρτησης Ι. Ερωτήσεις Κατανόησης ο Κριτήριο Αξιολόγησης ο Κριτήριο Αξιολόγησης

16 . Συναρτήσεις Α. Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα υποσύνολο του Ρ; ρισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του Ρ. νομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχεί σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό. Το ονομάζεται τιμή της f στο και συμβολίζεται με f( ). Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: f : A R ή f( ) ή = f( ) Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού Α, λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή. Το γράμμα, που παριστάνει την τιμή της f στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Το πεδίο ορισμού Α μιας συνάρτησης f συμβολίζεται συνήθως με D f. Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f για όλα τα A λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f (A). Είναι, δηλαδή: ( )={ / = ( ), για κάποιο } f Α f (Το πεδίο ορισμού Α καθώς και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f θα τα μελετήσουμε παρακάτω, εκτενέστερα). Α. 6

17 . Συναρτήσεις Α. Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Παρατήρηση η Αν και η έννοια της συνάρτησης * είναι πολύ γενική, έτσι, τουλάχιστον, όπως περιγράφεται στον ορισμό που δώσαμε παραπάνω, εμείς θα περιοριστούμε σε συναρτήσεις ειδικού τύπου και συγκεκριμένα σε συναρτήσεις στις οποίες ο κανόνας (διαδικασία) αντιστοίχισης, περιγράφεται με έναν ή περισσότερους αλγεβρικούς τύπους. Έτσι, αν γνωρίζουμε για τον τυχαίο αριθμό ποιο είναι το f( ), τότε μπορούμε να βρούμε τις τιμές της συνάρτησης για οποιαδήποτε συγκεκριμένη τιμή του. Για παράδειγμα: Αν f( )= +, αυτό σημαίνει ότι f +, οπότε: f + ή f( ) = 5 3 f 3 + ή f( 3)= 4 κ.τ.λ. Παρατήρηση η Τις συναρτήσεις (τον κανόνα δηλαδή) τις συμβολίζουμε συνήθως με f, g, h ή F, G, H, χωρίς να αποκλείονται και κάποια άλλα γράμματα. Η ανεξάρτητη μεταβλητή συμβολίζεται με αλλά και με t, ειδικά όταν παριστάνει χρόνο. Η μοναδικότητα, πάντως, μιας συνάρτησης δεν έχει να κάνει με τα γράμματα που επιλέγουμε, για να τη συμβολίσουμε, αλλά με τον κανόνα που περιγράφει. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις f( )=, gt ()= t, h( w)= w δεν είναι διαφορετικές, αφού και οι τρεις περιγράφουν τον ίδιο κανόνα. * όρος συνάρτηση (function) επινοήθηκε αρχικά από τον Wilhelm Leibniz, το 694. Στα μέσα του 8ου αιώνα, ο Ελβετός μαθηματικός Leonard Euler τελειοποίησε την ιδέα χρησιμοποιώντας γράμματα, όπως f, g, h κ.τ.λ., προκειμένου να συμβολίσει παραστάσεις οι οποίες περιείχαν μια μεταβλητή και κάποιες σταθερές. 7

18 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Σχηματική παρουσίαση συνάρτησης. Με ποιους τρόπου αποδίδεται μια συνάρτηση σχηματικά; Η ιδέα μιας συνάρτησης αποδίδεται σχηματικά με τους παρακάτω τρόπους: i. Με βελοδιάγραμμα Κάθε βέλος συνδέει ένα στοιχείο του συνόλου Α με ένα και μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. A B A B A B α f () f (α) f () α β α β γ συνάρτηση f: Α Β συνάρτηση f: Α Β Δεν έχουμε συνάρτηση, αφού ο αριθμός αντιστοιχεί σε δύο στοιχεία του συνόλου Β. ii. Με μηχανή Μπορούμε να θεωρήσουμε μια συνάρτηση f σαν μια μηχανή που έχει είσοδο και έξοδο. Αν ένας αριθμός εισέλθει στη μηχανή, τότε υφίσταται τη διαδικασία που υποδεικνύει ο τύπος f( ) της συνάρτησης f και στην έξοδο παίρνουμε την τιμή = f( ). είσοδος f () f f () = + 5 = f () έξοδος f () = + = 5 8

19 . Συναρτήσεις Α. Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης iii. Με «άδεια θέση» στη θέση της μεταβλητής Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( )= 3 + θα μπορούσε να έχει στη σκέψη μας τη μορφή: f(...) = 3(...) + (...) Τη θέση, δηλαδή, της μεταβλητής, την έχουμε αφήσει κενή (αναμονή). Έτσι, για να υπολογίσουμε: την τιμή f ( ), απλώς τοποθετούμε το στις κενές θέσεις, οπότε: f( )= 3( ) + ( ) = 34 4 = 7 την τιμή f( ), τοποθετούμε το στις κενές θέσεις, οπότε: f( )= 3( ) + ( ) = 3 την τιμή f( + ), τοποθετούμε το + στις κενές θέσεις, οπότε: f( + )= 3( + ) + ( + ) = 3( + + )+ + = Συναρτήσεις που ορίζονται με δύο ή περισσότερους τύπους 3. Με τη χρήση παραδείγματος, να αποδώσετε τη μορφή μιας δίκλαδης συνάρτησης. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύουν: κάθε αρνητικός αριθμός αντιστοιχεί στο τετράγωνό του, κάθε μη αρνητικός αριθμός αντιστοιχεί στο διπλάσιό του. Είναι φανερό ότι δεν μπορούμε να εκφράσουμε την παραπάνω διαδικασία μέσω ενός τύπου μόνο, αφού έχουμε άλλο κανόνα για τους αρνητικούς και άλλο για τους θετικούς αριθμούς και το μηδέν. Συγκεκριμένα: f( )=, για < 0. f( )=, για 0. 9

20 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Συνοπτικά, γράφουμε:, <0 f( ) =, 0 Η παραπάνω συνάρτηση λέγεται δίκλαδη και το σημείο 0 = 0 είναι το σημείο αλλαγής του τύπου της συνάρτησης, αφού εκατέρωθεν του 0 = 0 έχουμε διαφορετικό τύπο για τη συνάρτηση f. Ανάλογα μπορεί να έχουμε συναρτήσεις που ορίζονται από τρεις ή περισσότερους κλάδους. 0

21 . Συναρτήσεις B. Πεδίο ορισμού συνάρτησης Είδη συναρτήσεων Πεδίο ορισμού συνάρτησης. Τι είναι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f; Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, όπως αναφέραμε, συμβολίζεται συνήθως με Α = D f. Ισχύει: { } D f = R/ f( ) R Δηλαδή, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών για τους οποίους το f () είναι πραγματικός αριθμός. Όταν θα λέμε ότι «Η συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο Β», θα εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της.. Πώς ορίζεται μια συνάρτηση f; Για να οριστεί μια συνάρτηση f, αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία: α. το πεδίο ορισμού της και β. η τιμή της, f( ), για κάθε του πεδίου ορισμού της. Συνήθως, όμως, αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση f δίνοντας μόνο τον τύπο με τον οποίο εκφράζεται το f( ). Σε μια τέτοια περίπτωση, θεωρούμε συμβατικά ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, για τους οποίους το f( ) έχει νόημα. Για παράδειγμα, αντί να λέμε ότι «Δίνεται η συνάρτηση f :[, + ) R, με f( )=», θα λέμε: «Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f( )=» ή πιο απλά «Δίνεται η συνάρτηση f( )=.»

22 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Είδη συναρτήσεων 3. Ποια είδη συναρτήσεων εμφανίζονται συχνά στη μαθηματική ανάλυση; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού αυτών; Συνηθίζουμε να ονομάζουμε στοιχειώδεις (ο όρος δεν εμπεριέχει κάποια συγκεκριμένη ιδιότητα) κάποιες συναρτήσεις που εμφανίζονται συχνά στη μαθηματική ανάλυση και είναι οι εξής:. Πολυωνυμικές συναρτήσεις Είναι οι συναρτήσεις της μορφής: ν ν f( )= α + α α + α, με αν,..., α R * 0, ν N. ν ν 0 ι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το σύνολο: Α = R. Στην κατηγορία των πολυωνυμικών συναρτήσεων ειδική ονομασία έχουν οι συναρτήσεις: f( )= c (σταθερή συνάρτηση) f( )= 0 (μηδενική συνάρτηση) f( )= (ταυτοτική συνάρτηση).. Ρητές συναρτήσεις Είναι οι κλασματικές συναρτήσεις με όρους πολυώνυμα. Δηλαδή οι συναρτήσεις της μορφής: ( ) ( ) h g ( )= ( ) f όπου h, f πολυωνυμικές συναρτήσεις. ( ),

23 . Συναρτήσεις Β. Πεδίο ορισμού συνάρτησης Είδη συναρτήσεων Το πεδίο ορισμού των ρητών συναρτήσεων της παραπάνω μορφής είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών για τους οποίους ο παρονομαστής f από το μηδέν. Δηλαδή: { } A= R / f ( ) 0 ( ) είναι διαφορετικός 3. Άρρητες συναρτήσεις* ι άρρητες συναρτήσεις που συναντάμε συνήθως έχουν τη μορφή: f( ) g ( ) = ν f( ), g ( ) = ν f( ) + h ( ), g ( ) = ν, κ.τλ. h ( ) όπου f( ), h ( ) πολυωνυμικές συναρτήσεις. Για το πεδίο ορισμού μιας άρρητης συνάρτησης, εκτός από τον περιορισμό που θέτουμε αν έχουμε παρονομαστές, πρέπει και η υπόρριζη ποσότητα να μην είναι αρνητική. Έτσι, για τη συνάρτηση g ν ( )= f( ), με f( ) πολυώνυμο, το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο: { } A= R / f ( ) 0. Παρατήρηση η Ειδικές περιπτώσεις: Αν f( ) πολυώνυμο και μ, ν θετικοί ακέραιοι, τότε η συνάρτηση g( )= ( f( ) ) µ ν έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A= { R / f( ) 0. } Για παράδειγμα, η συνάρτηση g ( )=( ) 3 ορίζεται για εκείνα τα που είναι [ ) 0. Άρα Α =, +. * Είναι πολύ περιοριστικό να θεωρήσουμε ότι άρρητες συναρτήσεις είναι μόνο αυτές που έχουν την παραπάνω μορφή. Όμως, ο ακριβής ορισμός της άρρητης συνάρτησης προϋποθέτει τον ορισμό της αλγεβρικής συνάρτησης, πράγμα που δεν περιλαμβάνεται στην ύλη. 3

24 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Αν f ( ) µ ν ( ) πολυώνυμο και μ, ν θετικοί ακέραιοι, τότε η συνάρτηση g( )= f( ) { } έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A= R / f( )> 0. Για παράδειγμα, η συνάρτηση g( )= ( + ) 3 ορίζεται για εκείνα τα που είναι ( ) + > 0 >. Άρα Α =, Εκθετικές Λογαριθμικές συναρτήσεις ι μορφές των εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων που συναντάμε συνήθως, χωρίς να αποκλείονται και άλλες, είναι οι παρακάτω: g ( f ) h ( ) εκθετική ( )= ( ) g ( )= ln f( ) λογαριθμική, όπου f( ), h( ) πολυώνυμα. Για τις παραπάνω μορφές, το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο: { } A= R / f( )> Τριγωνομετρικές Για f( ) πολυωνυμική συνάρτηση αναφέρουμε τις περιπτώσεις: g ( )= ηµ f( ) ή g ( )= συν f( ), με πεδίο ορισμού το σύνολο: Α = R g ( )= εϕ f( ), με πεδίο ορισμού το σύνολο: π A= R/ f( ) κπ +, κ Z 4

25 . Συναρτήσεις Β. Πεδίο ορισμού συνάρτησης Είδη συναρτήσεων g ( )= σϕ f( ), με πεδίο ορισμού το σύνολο: { } A= R/ f( ) κπ, κ Z. Λυμένες ασκήσεις με μεθοδολογία Α. Εξοικείωση με τον τύπο f (). Δίνεται η συνάρτηση f: R R, με f( )= + α. f f 0 = ( ), β. f. Να αποδείξετε ότι: ( ), για κάθε R. Λύση Έχουμε: α. f = + = + = + = + ( ) = + f,. = 0 ( ) β. f ( ) ( ) + 0 0, που ισχύει, για κάθε R. Ισχύει = =, για κάθε R 5

26 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Β. Πεδίο ορισμού. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α. f( )= 3+ β. f( )= γ. f ( )= δ. f( )= ln + ε. f( )= + στ. f( )=. e Λύση 3 α. Η συνάρτηση f( )= 3+ είναι πολυωνυμική, άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A = R. β. Μεθοδολογία P Πεδίο ορισμού ρητής συνάρτησης f( ( ) )= Q P Το πεδίο ορισμού Α μιας ρητής συνάρτησης f( )= ( ) είναι το σύνολο R Q ( ) των πραγματικών αριθμών, εκτός από τις τιμές του που μηδενίζουν τον παρονομαστή Q ( ). Δηλαδή: ( ) { } A= R R/ Q ( )= Η συνάρτηση f( )= είναι ρητή, άρα ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία είναι 0. Έχουμε: = 0 = = ή =. πότε, πρέπει και. Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο A = R,. { } 6

27 . Συναρτήσεις Β. Πεδίο ορισμού συνάρτησης Είδη συναρτήσεων γ. Μεθοδολογία Πεδίο ορισμού άρρητης συνάρτησης f ν ( )= P ( ) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με τύπο f ν ( )= P ( ), λύνουμε την ανίσωση P ( ) 0 (). Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης (). Η συνάρτηση f( )= ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει: 0 0 ( ) ( + ) 0. Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο Α = [,]. δ. Μεθοδολογία Πεδίο ορισμού λογαριθμικής συνάρτησης f( )= lnp ( ) ( )= ( ) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας λογαριθμικής συνάρτησης f ln P, λύνουμε την ανίσωση P ( )> 0 (). To πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των λύσεων της (). Η συνάρτηση f( )= ln + ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία είναι: > ( )( + )> ( )( + )< < <. Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α = (,). ε. Μεθοδολογία Πεδίο ορισμού συνάρτησης της μορφής f ( )= P ( ) Q ( ) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης της μορφής f ( )= P ( ) Q ( ), 7

28 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης όπου P ( ), Q ( )πολυώνυμα ή ρητές συναρτήσεις, λύνουμε τo σύστημα P ( )> 0 Q ( ), R συστήματος (). (). To πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των λύσεων του Η συνάρτηση f( )= + ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία είναι: + + > 0 > 0 ( + )> 0 < ή > 0. Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A = (, ) ( 0, + ). στ. Η συνάρτηση f( )= e ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία είναι: e 0 e e e και και και e 0 e 0 e e και > 0. 0 Ισχύει e 0 = Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A = ( 0, + ). α + ln 3. Δίνεται η συνάρτηση f( )= για την οποία ισχύει f ()= 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και την τιμή του α. Λύση > 0 > 0 Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία είναι: και και. 0 Άρα, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A = ( 0, ), +. 8 ( )

29 . Συναρτήσεις Β. Πεδίο ορισμού συνάρτησης Είδη συναρτήσεων α Είναι f ()= 3 + ln α = 3 = 3 α = Δίνεται η συνάρτηση f( )= ln( + + ). Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το R. Λύση Αρκεί να αποδείξουμε ότι + + > 0, για κάθε R. Για κάθε R, ισχύει: + > + > + > (). Όμως (). Επομένως, από τις () και () προκύπτει ότι: + >. Ισχύει Για κάθε R, ισχύουν οι ανισότητες: Δηλαδή + > + + > 0, για κάθε R. Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση Α. Εξοικείωση με τον τύπο f (). Δίνεται η συνάρτηση f:r R, με f( )= ( ) +. α. Να λύσετε την εξίσωση f( )=. β. Να αποδείξετε ότι f( α)+ f( β)= f( α)+ f( β ). 9

30 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης. Δίνεται η συνάρτηση f:r R, με f( )= e. α. Να βρείτε τον αριθμό α= f( )+ f( 3 ) β. Να αποδείξετε ότι f + h f h ln ln. ( ) ( ) =, για κάθε h 0. e h e h * 3. Δίνεται η συνάρτηση f: R R, με f( )= + +. Να αποδείξετε ότι: α. f ( ) = f, για κάθε 0. β. f( ) 4, για κάθε Δίνεται η συνάρτηση f:r R 5 α. f( ln)=. 4 β. f( )= f( ), για κάθε R. γ. f( ), για κάθε R. e, με f( )= + e. Να αποδείξετε ότι: 5. Δίνεται η συνάρτηση f:r R, με f( )= + +. Να αποδείξετε ότι: α. f( ) f( )=, για κάθε R. β. f = + +, για κάθε > 0. γ. f( ) f ( ) =, για κάθε R. 6. Δίνεται η συνάρτηση f : A R, με A = ( 0, + ) και f( )= +. Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύουν: α. f f = ( ) β. f ( ) = +. ( ) γ. f ( ) δ. f + 30

31 . Συναρτήσεις Β. Πεδίο ορισμού συνάρτησης Είδη συναρτήσεων 7. Δίνεται η συνάρτηση f:r R, με f( )= + α. f( )> f( 3) β. f γ. f( ). Να αποδείξετε ότι: f = ( ), για κάθε 0., για κάθε R δ. f ( )+ f( )= 0. Β. Πεδίο ορισμού 8. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 3 α. f( )= 3 3+ δ. f( )= + β. f( )= 4+ ηµ π γ. f( )= + 5 ε. f( )= 4 e ζ. f( )= η. f ( )= + ηµ στ. f( )= θ. f( )= ι. f( )= ln ln κ. f( )= λ. f( )=. ln e Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α. f( )= e e β. f( )= e + e γ. f ( )= e e δ. f( )= e e ε. f( )= ( ) ζ. f( )= 5+ 6 η. f( )= 4 ln ln στ. f( )= ln ln θ. f( )= ( ) 3 3 ι. f( )= κ. f( )= λ. f( )= ( )

32 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης 0. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α. f( )= ln ln δ. f( )= + β. f( )= ln γ. f( )= ln( ln ) ε. f( )= e e στ. f( )= ( ln ).. Δίνεται η συνάρτηση f( )= ln( + ). Να δείξετε ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A = R.. Δίνεται η συνάρτηση f:α R, με f( )= α α, α R. Αν για τη συνάρτηση f είναι γνωστό ότι Α, τότε να βρείτε την τιμή του α καθώς και το πεδίο ορισμού της f. 3. Δίνεται η συνάρτηση f( )= e + α, α R. Να βρείτε τις δυνατές τιμές του [ ) α, αν είναι γνωστό ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α= 0, Δίνεται η συνάρτηση f( )= α +. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε το πεδίο ορισμού της f να είναι το σύνολο A = R. ( ) 5. Δίνεται η συνάρτηση f( )= e. α. Να αποδείξετε ότι f( ) 0, για κάθε R. β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( )= ( ) ii. g ( )= f( ) i. g f ln iii. g ( )= ( ) f. Απαραίτητες, 4, 5, 8, 9,, 5 Προαιρετικές, 3, 7,, 3 προταση μελετησ / προτεινομενεσ ασκησεισ 3

33 . Συναρτήσεις Γ. Τιμή συνάρτησης Σύνολο τιμών συνάρτησης Τιμή συνάρτησης. Τι ορίζουμε ως τιμή μιας συνάρτησης f; ρισμός Έστω μια συνάρτηση f:α R. Ένας αριθμός α θα λέμε ότι είναι τιμή της συνάρτησης f, αν υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 Aτέτοιο, ώστε f ( ) 0 =α ή ισοδύναμα, όταν η εξίσωση f( )=α έχει τουλάχιστον μια λύση ως προς στο Α. Για παράδειγμα: αριθμός είναι τιμή της συνάρτησης f( )= +, αφού f( 3) = 3+ = 4 =. αριθμός δεν είναι τιμή της συνάρτησης f( )= + 3, αφού η εξίσωση f( )= + 3= = είναι αδύνατη στο R. Σύνολο τιμών συνάρτησης. Τι λέγεται σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f; ρισμός Έστω μια συνάρτηση f:α R. Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f για όλα τα A λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f (A). Είναι, δηλαδή: f( A) = { / = f( ), για κάποιο A}. 33

34 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και σε κάθε σύνολο Β, με B A. Στην περίπτωση αυτή, με f( B) θα συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της f, για κάθε B. Δηλαδή: f( B) = { / = f( ), για κάποιο B}. Παρατήρηση η Αν f( A) A, τότε όλες οι τιμές f f, άρα έχει νόημα και η τιμή f( f( ) ). ( ) ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f( )=, που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο [ ) A = 0, +. Έχουμε: ( )= ( )= f( 4)= 4 = > 0 και f f( 4) f. Γενικά, για την παραπάνω συνάρτηση ισχύει f( f( ) )= f( ), για κάθε 0. Όμως, για τη συνάρτηση g ( )=, η οποία έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A = [ 0, + ), είναι g ( )= < 0, για κάθε A. Επομένως, όλες οι τιμές ( ). της είναι αρνητικοί αριθμοί, συνεπώς δεν έχει νόημα η έκφραση gg ( ) Παρατήρηση η Αν, A, με =, τότε f( ) = f( ), σύμφωνα με τον ορισμό της συνάρτησης. πότε, αν f( ), f( ) A, με f( ) = f( ), τότε θα είναι και ( )= ( ). f f( ) f f( ) Αν για, A είναι f( ) f( ), τότε θα είναι και δεν θα είχαμε συνάρτηση., διαφορετικά 34

35 . Συναρτήσεις Γ. Τιμή συνάρτησης Σύνολο τιμών συνάρτησης Παρατήρηση 3η Όταν γράφουμε f : Α R, εννοούμε ότι f( A) R και αυτό συμβαίνει για όλες τις συναρτήσεις που θα συναντήσουμε σε αυτό το βιβλίο, αφού θα ασχοληθούμε μόνο με πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής. Λυμένες ασκήσεις με μεθοδολογία Α. Τιμή συνάρτησης. Να εξετάσετε αν: α. ο αριθμός είναι τιμή της συνάρτησης f( )= + 3; β. ο αριθμός είναι τιμή της συνάρτησης f( )= ; γ. ο αριθμός 3 είναι τιμή της συνάρτησης f( )= e +; Λύση Μεθοδολογία Τιμή μιας συνάρτησης f Έστω μια συνάρτηση f:α R. Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός α είναι τιμή της συνάρτησης f: Δείχνουμε ότι η εξίσωση f( )=α έχει λύση ως προς στο Α ή Βρίσκουμε με παρατήρηση ένα 0 Α τέτοιο, ώστε f( 0 ) =α. α. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A = R. αριθμός είναι τιμή της συνάρτησης f, όταν υπάρχει 0 R, τέτοιο ώστε f( ) =. 0 35

36 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Είναι: f( )= + 3= + = 0 ( ) = 0 =. πότε f( ) =. Άρα, ο αριθμός είναι τιμή της συνάρτησης f( )= + 3. β. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A = R {}. Για κάθε A ισχύει: f( )= = = + = 0 ( ) = 0 =. Επειδή A, έχουμε ότι το δεν είναι τιμή της συνάρτησης f( )=. γ. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A = R. Παρατηρούμε ότι ln f( ln )= e + = + = 3. Άρα, το 3 είναι τιμή της συνάρτησης f( )= e +. Μεθοδολογία Β. Σύνολο τιμών συνάρτησης Πώς βρίσκουμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f; Έστω μια συνάρτηση f:α R. Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f( A) = { / = f( ), για κάποιο A}. Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της f. Θεωρούμε την εξίσωση = f( ) () και βρίσκουμε για ποια η εξίσωση (): έχει λύση ως προς και η λύση αυτή ανήκει στο πεδίο ορισμού Α. Από αυτές τις δύο απαιτήσεις προκύπτουν οι περιορισμοί για το, που μας δίνουν το σύνολο τιμών f( A) της f. 36

37 . Συναρτήσεις Γ. Τιμή συνάρτησης Σύνολο τιμών συνάρτησης. Δίνεται η συνάρτηση f( )= +. α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( )= 5 έχει τουλάχιστον μια λύση. γ. Να αποδείξετε ότι, για κάθε α > 0, οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστον μια λύση: 4 i. + = α + ii. + = α + ηµ α. δ. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παραμέτρου λ R, ώστε να ισχύει: 3λ 3+, για κάθε. Λύση α. Η συνάρτηση f( )= + ορίζεται για τα εκείνα για τα οποία είναι 0. Επομένως, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο A = [, + ). Για κάθε A, έχουμε: = f( ) = + = (). Επειδή 0, πρέπει 0. Για κάθε, από την () έχουμε: ( ) = ( ) ( ) = = + ( ). Η λύση αυτή ανήκει στο Α, αφού, οπότε το σύνολο τιμών της f είναι: [ ) f( A) =, +. β. Επειδή f( A) = [, + ) και 5 > 5 f( A). Άρα, υπάρχει A τέτοιο, ώστε f( ) =. Δηλαδή, η εξίσωση f( )= 5 έχει τουλάχιστον μια λύση

38 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης γ. i. Η εξίσωση γράφεται f( )= α +. α Για κάθε α > 0, ισχύει α +, οπότε α α + f( A). Συνεπώς, η εξίσωση α f( )= α + έχει τουλάχιστον μια λύση. α Ισχύει Για κάθε > 0, είναι + (το ίσον, όταν = ). Για κάθε < 0, είναι + (το ίσον, όταν = ). 4 ii. Η εξίσωση γράφεται f( )=. + ηµ α 4 Αρκεί να δείξουμε ότι ο αριθμός + ηµ α ανήκει στο σύνολο τιμών της f. Δηλαδή: 4 4 ( + ηµ α) + ηµα ηµ α, + ηµ α που ισχύει. 4 Άρα, η εξίσωση + = έχει τουλάχιστον μια + ηµ α λύση. Ισχύουν Για κάθε R: ηµ ηµ ηµ δ. Είναι: 3λ 3+ 3λ + 3λ f( ) (). [ ) Επειδή f( Α ) =, +, έχουμε f( ) f( ), για κάθε R. πότε, για να ισχύει η (), για κάθε R, πρέπει: Άρα λ ma =. 3λ 3λ 3 λ e 3. Δίνεται η συνάρτηση f( )=. + e 38

39 . Συναρτήσεις Γ. Τιμή συνάρτησης Σύνολο τιμών συνάρτησης Λύση α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση ln( + e )= ln π έχει τουλάχιστον μια λύση. α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το Α=R, αφού + e 0, για κάθε R. Για κάθε R, έχουμε: e = f( ) = ( + e ) = e + e = e + e = e e = e ( ) e =, (). Επειδή e > 0, για κάθε R, έχουμε ότι η εξίσωση () έχει λύση ως προς, αν και μόνο αν: 0 0 > ( ) > ( ) < 0 0< < (,) 0. Για κάθε ( 0,), από την () έχουμε σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το f A Ισχύει A ( ) > 0 A ( ) B ( ) > 0 B ( ) = ln R, δηλαδή Α. Άρα, το ( ) = ( 0),. β. Η εξίσωση γράφεται: ln ( + e )= ln π ln e ln ( + e )= ln π e ln = ln e ln π + e Ισχύει = ln e, για κάθε R e e ln = ln + e π Ισχύει ln ln = ln, e e e = f( ) = (). + e π π για κάθε, > 0 39

40 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Έχουμε: e e < π < π, δηλαδή e π (,) 0. Άρα, e f A π ( ), επομένως υπάρχει R τέτοιο, ώστε f e 0 ( 0 ) =, οπότε η εξίσω- π ση () έχει τουλάχιστον μια λύση. Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση Α. Τιμή συνάρτησης 3. Δίνονται οι συναρτήσεις f( )= και g ( )= +. Να βρείτε τις τιμές: ( ) β. gf( ( 4) ) γ. f( f( 6) ) δ. gg( 0) α. f g( ) ( ).. Να εξετάσετε αν ο αριθμός 4 είναι τιμή της συνάρτησης f, όταν: 4 α. f( )= 4+ 8 β. f( )= γ. f( )= e + 3 δ. f( ) = e + + ln. 3. Για τις παρακάτω συναρτήσεις, να βρείτε δύο αριθμούς α, β από το πεδίο ορισμού τους τέτοιους, ώστε να ισχύει f( α) f( β) <0. 3 α. f( )= 3 β. f( )= + δ. f( ) = 3 ln ε. f( )= 3 γ. f( )= e 3 στ. f( )= ηµ. 3 40

41 . Συναρτήσεις Γ. Τιμή συνάρτησης Σύνολο τιμών συνάρτησης 4. Δίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = + ln και g ( )= e +. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες θέτοντας στη θέση της παρένθεσης τον κατάλληλο αριθμό. α. 0 = f ( ) β. e = f ( ) γ. 0 = g ( ) δ. e + = f ( ) ε. e = g ( ) στ. + ln = g ( ). Β. Σύνολο τιμών συνάρτησης 5. Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α. f( )= + β. f ( )= γ. f( )= Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α. f( )= 3 β. f( )= γ. f( )= e 3 δ. f( )= e ε. f( )= e + στ. f( )= ζ. f( ) = ln( ) η. f( ) = ( ) θ. f( ) = ln( e + ) ι. f( )= Δίνεται η συνάρτηση f( )= +. α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. β. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστον μια λύση: π i. f( )= 0 ii. f( )= iii. f( )= ηµθ, θ 0,. 4

42 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης 8. Δίνεται η συνάρτηση f( )= +. α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. β. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστον μια λύση: i. f( )= 0 ii. f( )= iii. f( )= iv. + = α +, α R v. + = +συν vi. + = α α+, 0< α <. 9. Δίνεται η συνάρτηση f( )= +. α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παραμέτρου λ R, ώστε να ισχύει: + λ( + ), για κάθε R. Απαραίτητες,, 3, 4, 5, 8 Προαιρετικές 6, 7, 9 προταση μελετησ / προτεινομενεσ ασκησεισ 4

43 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης. Τι ονομάζεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f; ρισμός Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M (, ) για τα οποία ισχύει = f( ), δηλαδή το σύνολο των σημείων Μ ( f, ( ) ), A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με. Ισχύουν: ( ) ( )=. M αβ, α β f β Μ(α,β) α Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο R, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της f το πολύ C Η καμπύλη C δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης ένα κοινό σημείο. 43

44 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Πεδίο ορισμού - Σύνολο τιμών - Τιμή μιας συνάρτησης f από τη Όταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, τότε: Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της. Άρα, για να το βρούμε το πεδίο ορισμού της f, προβάλουμε τη στον άξονα. Α Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f( A) των τεταγμένων των σημείων της. Άρα, για να βρούμε το σύνολο τιμών της f, προβάλουμε τη στον άξονα. f (Α) Α Η τιμή της f στο 0 A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής Μ της ευθείας = 0 και της. f ( 0 ) Μ 0 44

45 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης Κοινά σημεία της με τους άξονες και ( f ( )) Αν 0 A, τότε η τέμνει τον άξονα στο σημείο 0, 0. (Από τον ορισμό της συνάρτησης προκύπτει ότι η μπορεί να τέμνει τον άξονα σε ένα το πολύ σημείο). Τα κοινά σημεία της με τον άξονα έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης f( )= 0, A. f (0) ρ Το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f () = 0 Σχετικές θέσεις της με τον άξονα H βρίσκεται πάνω από τον άξονα για εκείνα τα για τα οποία είναι: f( )>0. H βρίσκεται κάτω από τον άξονα για εκείνα τα για τα οποία είναι: f( )<0. α f < 0 ρ f > 0 β Η είναι πάνω από τον άξονα για (ρ,β]. Η είναι κάτω από τον άξονα για [α,ρ). 45

46 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Σημεία τομής και σχετικές θέσεις των και C g Αν 0 η τετμημένη του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων και C g των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα, τότε f( ) = g ( ). Επομένως, το πλήθος των 0 0 κοινών σημείων των και C g καθορίζε- f ( 0 ) = g ( 0 ) C g ται από το πλήθος των διακεκριμένων ρι- 0 ζών της εξίσωσης: f( ) = g ( ), D D. f g H βρίσκεται πάνω από τη C g για εκείνα τα για τα οποία είναι f( ) > g ( ), ενώ η βρίσκεται C g κάτω από τη C g για εκείνα τα για τα οποία είναι f( ) < g ( ). f > g f < g Κατακόρυφη - ριζόντια μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = ϕ( ) + κ, κ R, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστα- = φ() + κ σης της συνάρτησης φ: κατά κ μονάδες προς τα πάνω, αν κ > 0 = φ() ή κατά κ μονάδες προς τα κάτω, αν κ < 0. κ > 0 46

47 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = ϕ( + κ ), κ R, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ: κατά κ μονάδες αριστερά, αν κ > 0 ή κατά κ μονάδες δεξιά αν κ < 0. = φ( + κ) κ > 0 = φ() Oι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων - f(), f(), f( - ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() είναι συμμετρική της ως προς τον άξονα. = f() = f() Για να κατασκευάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) = f( ) : κατασκευάζουμε τη και στη συνέχεια διατηρούμε εκείνο το τμήμα της που βρίσκεται πάνω από τον άξονα τέλος, αντικαθιστούμε εκείνο το τμήμα της που βρίσκεται κάτω από τον άξονα με το συμμετρικό του ως προς τον άξονα. = f() = f() 47

48 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) είναι συμμετρική της ως προς τον άξονα. = f( ) = f() Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων. Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω βασικές συναρτήσεις.. Η συνάρτηση f() = α + β β β β β α β α α > 0 α < 0 α = 0. Η συνάρτηση f() = α, α 0 α > 0 α < 0 48

49 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης 3. Η συνάρτηση f() = α + β + γ, α 0 β f ( α) Α β α f β α ( ) β α α > 0 α < 0 Α Το σημείο Α που είναι η κορυφή της παραβολής μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε τεταρτημόριο, ανάλογα με το πρόσημο των β α 4. Η συνάρτηση f() = α 3, α 0 και f β. α α > 0 α < 0 α 5. Η συνάρτηση f( ) =, α 0 α > 0 α < 0 49

50 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης 6. ι συναρτήσεις f( )= και g( )= = C g = Επειδή g ( )= =, < 0,, 0 η γραφική παράσταση της = αποτελείται από δύο κλάδους. ένας είναι η γραφική παράσταση της = και ο άλλος είναι η συμμετρική της ως προς τον άξονα. 7. ι τριγωνομετρικές συναρτήσεις: f() = ημ, f() = συν, f() = εφ π π = ημ ι συναρτήσεις f() = ημ και f() = συν είναι περιοδικές, με περίοδο Τ = π. π π = συν 50

51 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης Η συνάρτηση f() = εφ είναι περιοδική, με περίοδο Τ = π. 3π π π 3π = εφ 8. H εκθετική συνάρτηση f() = α, 0 < α α > 0 < α < 9. Η λογαριθμική συνάρτηση f() = ln 5

52 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης 0. Επίσης, σημαντικές είναι και οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων: f( )= f( )= f( )= e f( )= e f() = f() = f() = e f() = e Λυμένες ασκήσεις με μεθοδολογία. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: α. f( )= β. f( )= + γ. f( )=. Λύση Έστω ϕ( ) α. Μεθοδολογία =. Έχουμε: Γραφική παράσταση της f() = φ( κ), κ > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = ϕ( κ ), κ > 0, προκύπτει από μετατόπιση της C φ κατά κ μονάδες προς τα δεξιά. 5

53 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α= [ + ),. Είναι f( ) = ϕ( ). Άρα, η προκύπτει από μετατόπιση της C φ κατά μονάδα προς τα δεξιά (σχ.). C φ = = (σχ. ) β. Μεθοδολογία Γραφική παράσταση της f() = φ( + κ), κ > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = ϕ( + κ ), κ > 0, προκύπτει από μετατόπιση της C φ κατά κ μονάδες προς τα αριστερά. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α= [ + ),. Είναι f( ) = ϕ( + ). Επομένως, η προκύπτει από μετατόπιση της C φ κατά μονάδα προς τα αριστερά (σχ.). = + (σχ. ) γ. Μεθοδολογία Γραφική παράσταση της f Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική της ως προς τον άξονα. 53

54 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο [ ) Α= 0, + και η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική της C φ ως προς τον άξονα. = C φ = α ln. Δίνεται η συνάρτηση f( ) =, της οποίας η γραφική παράσταση C διέρχεται f από το σημείο Μ(,ln ). α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f καθώς και το α. β. Να δείξετε ότι η βρίσκεται πάνω από τον άξονα, για κάθε A. Λύση α. H συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία: > 0 > 0 και και 0 < < ή >, 0 οπότε το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α= (,) 0 (, + ). Επειδή η διέρχεται από το σημείο Μ(,ln), έχουμε: α ln f( ) = ln = ln α ln = ln α = ln β. Για α =, έχουμε f( ) =. Θα δείξουμε ότι f( )> 0, για κάθε A. Πράγματι: Για (,) 0 0< <, άρα < 0 και ln < 0, οπότε ln f( ) > 0 > 0. 54

55 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης Για (, + ) >, άρα > 0 και ln > 0, οπότε ln f( ) > 0 > 0. Επομένως f( )> 0, για κάθε A. ( ) 3. Δίνεται η συνάρτηση f( )=. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f καθώς και τα σημεία τομής της με τους άξονες και. β. Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η βρίσκεται πάνω από τον άξονα. Λύση α. Μεθοδολογία Έστω f: Α Ρ. Για να βρούμε τα σημεία τομής της με τον άξονα, λύνουμε την εξίσωση: f( ) = 0, A (). ι λύσεις της () μας δίνουν τις τετμημένες των σημείων τομής. Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία είναι Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α= [, + ). 0. Επειδή το = 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού Α της f, η δεν τέμνει τον άξονα. Για να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής της με τον άξονα, λύνουμε την εξίσωση f( )= 0. Είναι: f( )= 0 ( )= 0 = 0 (απορρίπτεται, αφού 0 A ) ή = 0 = = = + = 3. Άρα, η τέμνει τον άξονα στο σημείο Μ( 30, ). 55

56 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης γ. Μεθοδολογία Έστω f: Α Ρ. Για να βρούμε τα διαστήματα όπου: η βρίσκεται πάνω από τον άξονα, λύνουμε την ανίσωση: f( ) > 0, A. η βρίσκεται κάτω από τον άξονα, λύνουμε την ανίσωση: f( ) < 0, A. Η βρίσκεται πάνω από τον άξονα για εκείνα τα A για τα οποία είναι f( )> 0. Έχουμε: A f( )> 0 ( )> 0 > > 3. > 0 > 0 > πότε η βρίσκεται πάνω από τον άξονα για (, 3 + ) Δίνονται οι συναρτήσεις f( )= + και g ( )= +. Να βρείτε: α. τα κοινά σημεία των και C g. β. το διάστημα στο οποίο η βρίσκεται κάτω από τη C g. Λύση Μεθοδολογία Έστω οι συναρτήσεις f, g: Ρ Ρ. Τότε, για να βρούμε: α. τα κοινά σημεία των, C g, λύνουμε την εξίσωση f( ) = g ( ), A. ι λύσεις αυτής της εξίσωσης μας δίνουν τις τετμημένες των κοινών σημείων των και C g. β. τη σχετική θέση των, C g, θεωρούμε τη διαφορά f( ) g ( ). πότε οι λύσεις της ανίσωσης: 56

57 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης f( ) g ( ) > 0 f( ) > g ( ) μας δίνουν τα για τα οποία η βρίσκεται πάνω από τη C g. f( ) g ( ) < 0 f( ) < g ( ) μας δίνουν τα για τα οποία η βρίσκεται κάτω από τη C g. Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f, g είναι το σύνολο Α = Ρ. α. Για να βρούμε τα κοινά σημεία των και C g, θα λύσουμε την εξίσωση f( ) = g ( ). Έχουμε: f( ) = g ( ) 3 + = = 0 ( + ) ( + ) = 0 ( + )( ) = 0 + = 0 (αδύνατη) ή = 0 =. Άρα, οι, C g τέμνονται στο σημείο με τετμημένη, δηλαδή στο σημείο Μ(, f ()) ( ) ή Μ(, g ()). Επομένως, το κοινό σημείο των, C g είναι το Μ,. β. Η βρίσκεται κάτω από τη C g για εκείνα τα για τα οποία είναι: 3 f( ) g ( ) < 0 + < 0 ( + ) ( + ) < 0 ( + )( ) < 0 <, δηλαδή για (, ). 5. Έστω οι συναρτήσεις f, g: R R για τις οποίες ισχύει: f( ) + = g ( ) + 3, για κάθε R. Να βρείτε την τετμημένη του κοινού τους σημείου καθώς και τη σχετική θέση των και C g. Λύση Έχουμε: 3 3 f( ) + = g ( ) + f( ) g( ) = (). 57

58 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης πότε, για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των και C g, λύνουμε την εξίσωση: () 3 3 f( ) = g ( ) f( ) g ( ) = 0 = 0 = =. Άρα, οι, C g τέμνονται στο σημείο με τετμημένη =. Επίσης, είναι: () 3 3 f( ) g ( ) < 0 < 0 < <. ( ) Άρα, η βρίσκεται κάτω από τη C g για,. () 3 3 f( ) g ( ) > 0 > 0 > >. Άρα, η βρίσκεται πάνω από τη C g για (, + ). 6. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f:r R, με f( )= 3 3. Με βάση το σχήμα και με τη Β βοήθεια του τύπου της f να βρείτε: α. τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. β. τα διαστήματα στα οποία η βρίσκεται Α Γ πάνω από τον άξονα. γ. το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης Δ = 3 3 α 3=, > 0, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α R. Λύση α. Τα σημεία Α, Γ έχουν τετμημένες τις μη μηδενικές λύσεις της εξίσωσης: 3 f( ) = 0 3 = 0 ( 3) = 0 = 0 ή = 3 ή = 3. Άρα, είναι A( 30, ) και Γ( 30, ). 58

59 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης Το σημείο Δ έχει τεταγμένη ίση με, οπότε, για να βρούμε την τετμημένη του, αρκεί να βρούμε τη θετική ρίζα της εξίσωσης: 3 3 f( )= 3 = 3+ = 0 (). Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος Horner, η () γίνεται: 3 3+ = 0 ( )( + ) = 0 ( )( )( + ) = ρ = 0 Άρα =, οπότε,. ( ) ( + ) = 0 = ή =. ( ) Το σημείο Β έχει τετμημένη =, συνεπώς: η τεταγμένη του είναι ( ) οπότε Β,. 3 f( ) = ( ) 3( ) =, β. Η βρίσκεται πάνω από τον άξονα, για ( 30, ) ( 3, + ). γ. Μεθοδολογία Διερεύνηση εξίσωσης της μορφής f () = α, ως προς το πλήθος των λύσεών της. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f : A R, μπορούμε να διερευνήσουμε μια εξίσωση της μορφής f( )= α, ως προς το πλήθος των λύσεών της. Συγκεκριμένα, το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f( )= α είναι το ίδιο με το πλήθος των κοινών σημείων της με την ευθεία = α. πότε, για να βρούμε τα σημεία αυτά, μετακινούμε την ευθεία = α παράλληλα προς τον άξονα και βρίσκουμε σε πόσα σημεία τέμνει τη. Η εξίσωση γράφεται: 3= α ( 3) = α 3 3 = α f( ) = α, > 0. 59

60 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Επειδή > 0, περιοριζόμαστε στο ο και στο 4ο τεταρτημόριο. Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f( )=α είναι το ίδιο με το πλήθος των κοινών σημείων της με την ευθεία = α. Έχουμε: Αν α <, τότε η ευθεία = α δεν τέμνει τη. Άρα, η εξίσωση f( )=α είναι αδύνατη. 3 = 3, > 0 Αν α =, τότε η ευθεία = α τέμνει τη στο σημείο Δ, το οποίο έχει τετμημένη. Άρα, η εξίσωση f( )=α f( )= έχει 3 μοναδική λύση τη =. Δ Αν < α < 0, τότε η ευθεία = α τέμνει τη σε δύο σημεία, οπότε η εξίσωση f( )=α έχει δύο λύσεις. = α Αν α = 0, τότε η εξίσωση f( )=α γίνεται f( )= 0 και έχει θετική λύση τη = 3. Αν α > 0, τότε η ευθεία = α τέμνει τη σε ένα σημείο, άρα η εξίσωση f( )=α έχει μοναδική λύση και μάλιστα μεγαλύτερη από το 3. Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f( ) = e, να χαράξετε πρόχειρα τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ( ) = e, f ( ) = e, f e 3( ) =, f e 4( ) = +.. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f( ) = ln, να χαράξετε πρόχειρα τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ( ) = ln, f ( ) = ln, f3( ) = ln +, f4( ) = ln( ). 60

61 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης 3. Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: 3, α. f( ) =, 0 < 0 3, β. f( ) =, 0 > 0 e, 0 γ. f( ) =, > 0, < δ. f( ) = ln,. e α 4. Δίνεται η συνάρτηση f( )=. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το ( ) σημείο Μ ln,. e α 5. Δίνεται η συνάρτηση f( )=, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο M ln, ln. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f καθώς και την τιμή του α. β. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα, για κάθε A. 6. Δίνεται η συνάρτηση f( ) = (ln ). Να βρείτε: α. το πεδίο ορισμού Α της f. β. τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) της με τους άξονες και. γ. το διάστημα στο οποίο η βρίσκεται κάτω από τον άξονα. e 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f( )= και g ( ) = ln e +. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g. β. Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η βρίσκεται κάτω από τον άξονα. γ. Αν Μ αβ, Μ βα, C g. ( ), τότε να δείξετε ότι ( ) 6

62 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης 3 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f( )= + α. Να βρείτε τα κοινά σημεία των και C g. και g ( )= +. β. Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η βρίσκεται κάτω από τη C g. 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f( )= e + και g ( )= +. α. Να βρείτε το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων και C g. β. Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η βρίσκεται πάνω από τη C g. 0. Να βρείτε τη σχετική θέση καθώς και τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων και C g, όταν: α. f( ) = g ( ) +, R β. f( ) = g ( ) + ln, > 0 γ. f( ) = g ( ) + e, R δ. f( ) = g ( ) + 3+, R.. Δίνονται οι συναρτήσεις: f( )= + και g ( )= α. α. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε η να βρίσκεται πάνω από τη C g, για κάθε R. β. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε οι και C g να έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f : Ρ Ρ, με f( ) = αe + β. α. Να βρείτε τις τιμές των α, β. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών f (Ρ) της f. γ. Να εξετάσετε αν έχει λύση η εξίσωση + e = 0. e 6

63 . Συναρτήσεις Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης δ. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α, να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης = α e, R. 3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( )= +. = + α. Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. = = β. Να διαπιστώσετε από το σχήμα ότι ισχύουν: + > και + >, για κάθε R και να επιβεβαιώσετε τους ισχυρισμούς σας με αλγεβρικό τρόπο. γ. Με τη βοήθεια του συνόλου τιμών της f, να λύσετε την εξίσωση: + = συν. 4. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( )= ηµ καθώς και οι ευθείες = και =. α. Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε τη θέση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ως προς τις ευθείες = και =, για τις διάφορες τιμές του R. = β. Με τη βοήθεια του ερωτήματος α να αποδείξετε ότι ηµ γ. Να αποδείξετε ότι ημ > 0, για κάθε ( π, 0) ( 0, π). δ. Βασιζόμενοι στην εποπτεία να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ = ii. ηµ( 3+ ) = 3+ = π π = ημ, για κάθε R. 63

64 Κεφαλαιο ο Όριο - Συνέχεια συνάρτησης 5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f : Ρ Ρ, με Β 3 f( )= 3+. Με βάση το σχήμα και με τη βοήθεια του τύπου της f, να βρείτε: Γ α. τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Α β. τα διαστήματα στα οποία η βρίσκεται Δ πάνω από τον άξονα. γ. το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης + α = 3, > 0, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α R. = Θεωρούμε τη συνάρτηση f( )= e, τα σημεία Α, Μ, Β της καθώς και τις προβολές + τους Α ( α, 0 ), M, 0 και Β ( β,0 ) Β στον άξονα αντίστοιχα. Μ Α α. Να εκφράσετε συναρτήσει των α, β το Α Μ Β εμβαδόν του τραπεζίου ΑΑ Β Β, καθώς O α α+β β και το εμβαδόν του ορθογωνίου με βάση Α Β και ύψος ΜΜ. β. Να αποδείξετε με αλγεβρικό τρόπο ότι ισχύει: e α e β α+ β + > e, για α < β και να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω ανισότητας. Απαραίτητες,, 5, 6, 8, 0, 3, 4 Προαιρετικές 4, 7,, 5, 6 προταση μελετησ / προτεινομενεσ ασκησεισ 64