Λύση. Λύση Άσκηση 3. Λύση. ( Α Α Α Ι ) Α. Α Α=Ιν. Άσκηση 4. επαληθεύει τη σχέση Χ. Λύση.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λύση. Λύση Άσκηση 3. Λύση. ( Α Α Α Ι ) Α. Α Α=Ιν. Άσκηση 4. επαληθεύει τη σχέση Χ. Λύση."

Χαρικλώ Μεταξάς
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Άσκηση Α A, B ατιστρέψιµοι πίακες µε AB= A, BA= B είξτε ότι A = A, B = B ος τρόπος Α = Α Α=( Α Β) Α= Α Β Α Α = Α Οµοίως Α= Α Β= Α ( Β Α)= Α Β Α B = B ος τρόπος Α =Α Α= ( Α Β) Α=Α ( Β Α ) =Α Β=Α Οµοίως B = B Άσκηση Α AB, ατιστρέψιµοι πίακες µε AB= BA, δείξτε ότι: α) Α Β=ΒΑ Α Β =Β Α, β) α) ΑΒ=ΒΑ ( ΑΒ) Β = ( ΒΑ) Β Α( ΒΒ ) =Β( ΑΒ ) ΑΙ=Β( ΑΒ ) Α=Β( ΑΒ ) Β Α=Β [ Β( ΑΒ )] Β Α= ( Β Β)( ΑΒ ) Β Α=Ι( ΑΒ ) Β Α=ΑΒ β) Οµοίως Άσκηση Α A πίακας x και Α + Α + Α + Α+ Ι = Ο, δείξτε ότι ος τρόπος 3 ( Α Α Α Ι ) Α 4 3 Ι= Α Α Α Α= Α 3 ( Α Α Α Ι ) 3 Άρα υπάρχει ο Α και είαι Α = Α Α Α Ι 4 Α =Α ος τρόπος Α +Α +Α +Α+Ι =Ο (Α-Ι )(Α +Α +Α +Α+Ι )=(Α-Ι ) Ο Α Α =Ι Α Ι =Ο Α =Ι Α =Α Α Α=Ι είξτε ότι ο αριθµός Χ= Άσκηση 4 επαληθεύει τη σχέση Χ + Χ=Ο, όπου Κ περιττός 4Κ+ Κ Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ

2 Αποδεικύω αρχικά τη σχέση 4 Χ = 4Ι Άρα: 4Κ+ Κ Χ + Χ= 4 Κ Κ ( Χ ) Χ + ( ) Χ= Κ Κ ( 4 Ι ) Χ + 4 Χ= Κ Κ 4 Χ + 4 Χ=Ο Άσκηση 5 3 Έστω ο πίακας Α= α) Να υπολογισθού οι πίακες Α, Α 4 6 β) Α Ο= f( Α ) =Α + α Α + 4 β Ι, όπου α, β R, δείξτε ότι α + β = α) Α = 7Ι, ( ) ( ) ( ) Α = Α = 7 Ι = 7 Ι = 7 Ι β) Άρα Έστω 4 6 f( Α ) =Α + α Α + 4β Ι ( ) = 7 Ι + α 7 Ι + 4 β Ι = 7 + α 7 Ι + 4 β Ι =Ο α β = 7 + α 7 + β = 49 α+ β = 7 Α και Άσκηση 6 Α = Α Να λυθεί στο η εξίσωση: Χ+Α=Χ Α Λύση Α = Α Α Α=Ο Α Α Ι +Ι =Ι ( Α Ι ) =Ι ο πίακας( Α Ι ) είαι ατιστρέψιµος και ( Α Ι ) =Α Ι Χ+Α=Χ Α Α=Χ Α Α =Χ (Α Ι ) Χ=Α Α Ι ( ) =Α ( Α Ι ) =Α Α Ι = Α Α=Α Άσκηση 7 Να βρεθεί α υπάρχει, το ουδέτερο στοιχείο ως προς το πολλαπλασιασµό τω x a * πιάκω της µορφής a, a Z x * Έστω I = x µε x Z το ουδέτερο στοιχείο Τότε a x a a x = a, άρα ax a ax = a, άρα x= Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ

3 Άρα I = ουδέτερο στοιχείο από δεξιά Επίσης x a a x a = a, άρα ax a ax = a, άρα x= Συεπώς το I = είαι το ουδέτερο στοιχείο και από αριστερά, άρα είαι το ουδέτερο στοιχείο Α Άσκηση 8 a A a = όπου a R, δείξτε ότι A = όπου N Ότα =, είαι a A = =Α Έστω ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ, δηλαδή έστω ότι κa A κ = 3 Θα δειχθεί ότι, η προς απόδειξη σχέση, ισχύει για = κ + Πράγµατι: κ+ κ κa a ( κ+ ) a A = A Α= = Από τα βήµατα,, 3 και τα γωστά από τη επαγωγή, έχοµε ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό Να υπολογισθεί ο πίακας =, Ισχυρίζοµαι ότι: Ότα =, είαι 7 =,, = N = Άσκηση = Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ 3

4 Έστω ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ, δηλαδή έστω ότι κ κ = 3 Θα δειχθεί ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ + Πράγµατι: κ+ κ κ κ+ = = = Από τα βήµατα,, 3 και τα γωστά από τη επαγωγή, έχοµε ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό Άρα 7 7 = Άσκηση συα ηµα Έστω Α= ηµα συα Να υπολογισθεί ο Α, όπου N συ α ηµ α ηµα συα συα ηµ α Α =Α Α= = ηµα συα συ α ηµ α ηµ α συα Ισχυρίζοµαι ότι συ( α) ηµ ( α) Α = ηµ ( α) συ( α) Για = ισχύει Πράγµατι είαι συα ηµα Α = =Α ηµα συα Έστω ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ, δηλαδή έστω ότι κ συ( κα) ηµ ( κα) Α = ηµ ( κα) συ( κα) 3 Θα δειχθεί ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ + ηλαδή θα δειχθεί ότι κ+ συ[( κ + ) α] ηµ [( κ + ) α] Α = ηµ [( κ + ) α] συ[( κ + ) α] Πράγµατι: κ+ κ συ( κα) ηµ ( κα) συα ηµα Α =Α Α= = ηµ ( κα) συ( κα) ηµα συα συ( κα) συα ηµ ( κα) ηµα συ( κα) ηµ ( α) + ηµ ( κα) συα = = ηµ ( κα) συα ηµα συ( κα) ηµα ηµ ( κα) + συ( κα) συα συ( κα + α) ηµ ( κα + α) ηµ ( κα + α) συ( κα + α) συ[( κ + ) α] ηµ [( κ + ) α] = ηµ [( κ + ) α] συ[( κ + ) α] Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ 4

5 Από τα βήµατα,, 3 και τα γωστά από τη επαγωγή, έχοµε ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό Να λυθεί το γραµµικό σύστηµα: Άσκηση x+ y 3ω = λ x+ 6y ω = 3λ, όπου λ R x y + 7ω = 3λ 3 λ 3 λ 3λ+ 3λ+ 6 3λ 5 λ 5 λ 5 λ λ 4 λ 4 λ λ Ότα λ λ, το σύστηµα είαι αδύατο Ότα λ =, τότε 5 x+ ω = 5 5 αόριστο το σύστηµα y+ 5ω = Άσκηση x+ y= 3 Να λυθεί µε τη µέθοδο Gauss το σύστηµα: x+ 5y= λ όπου λ R 7x + 9y = λ Το σύστηµα γράφεται ως εξής: x+ y = 3 x+ 5y λ = Άρα 7x + 9y λ = Ότα λ=, τότε ( x, y ) = (,) Ότα λ το σύστηµα είαι αδύατο Άσκηση 3 Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ 5

6 x+ y+ λω = Να λυθεί µε τη µέθοδο Gauss το σύστηµα: x+ λy+ 8ω = 3 όπου λ R λ λ λ λ 8 3 λ 4 8 λ λ 4 ( λ 4) x+ y+ λω = Ότα λ 4 λ 4, το σύστηµα γράφεται ( λ 4) y ( λ 4) ω = είαι αόριστο και Ότα λ 4= λ = 4, το σύστηµα είαι αδύατο διότι η δεύτερη γραµµή γράφεται Να λυθεί µε το σύστηµα: Άσκηση 4 ( a 3) x y= x ( a 4) y= όπου α R x + y = 3 a Είαι D= ( a ) ( a 6) Ότα D a και α 6, το σύστηµα είαι αδύατο Ότα D= a= α=6 Για a=, το σύστηµα γίεται: x y= x+ y= x= y, y R x+ y= 3x y= Για α=6, το σύστηµα γίεται: x y= Επειδή Γ3, το σύστηµα x+ 3y= 3 3x y= γράφεται x y=, οπότε (, ) DX, DY x y = D D Να λυθεί µε το σύστηµα: Είαι D= ( λ µ )( λ + µ ) Άσκηση 5 λ x+ µ y= µ x+ λy= λ + µ, όπου λ, µ R Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ 6

7 Ότα D λ ± µ, τότε Ότα λ = µ, το σύστηµα γράφεται: Ότα λ = µ, το σύστηµα γράφεται: µ λ DX DY λ + µ λ µ λ + µ ( x, y) =,, = D D ( λ µ )( λ + µ ) ( λ µ )( λ + µ ) λx+ λy= λx+ λy= λ+ λ λx λy= λx λy= Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ 7

Σχετικά έγγραφα

ν ν Άσκηση 1. Α =Α, Β =Β. Λύση Άσκηση Α Β =Β Α, Α Β=ΒΑ. Β Α= ( Β Β)( ΑΒ ) Β Α=Ι( ΑΒ ) Β Α=ΑΒ. Άσκηση = Α Α Α Α=.

ν ν Άσκηση 1. Α =Α, Β =Β. Λύση Άσκηση Α Β =Β Α, Α Β=ΒΑ. Β Α= ( Β Β)( ΑΒ ) Β Α=Ι( ΑΒ ) Β Α=ΑΒ. Άσκηση = Α Α Α Α=. Άσκηση Α, Β ατιστρέψιµοι πίακες µε ΑΒ=Α, ΒΑ=Β είξτε ότι ος τρόπος Α = Α Α = ( Α Β) Α = Α Β Α Α = Α Οµοίως Α = Α Β = Α ( Β Α) = Α Β Α ος τρόπος Α =Α Α= ( Α Β) Α=Α ( Β Α ) =Α Β=Α Οµοίως Α =Α, Β =Β Β =Β Β