Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4

Transcript

1 Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός

2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μορφές: Α. ηµ x, συνx, εφx, σφx. Β. ηµ x συνx, εφx σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ηµ x ( συνx + ) (συν x 3)εφx ηµ 3 x ηµ x συν x x σφ x εφx óõí çì x 3 3 3εφ x (3 + 3) εφx + 3 x συν +,[ 3,] ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ - ΤΥΠΟΙ συν ΑΣΚΗΣΕΩΝ x 3ηµ x Υολογισµός - λοοίηση ρστάσεων µε εφρµογή των τύων των τριγωνοµετρικών ριθµών θροίσµτος - διφοράς. Ν υολογιστούν οι ρστάσεις: ) ηµ συν ηµ συν β) ηµ ( + x) συν( x) + ηµ ( x) συν( + x) εφx εφx γ) δ) συν συν ηµ ηµ + εφx εφx 6 6 Υολογισµός τριγ-κων ριθµών γωνιών οι οοίοι µορούν ν γρφούν σν άθροισµ γωνιών ό γνωστούς τρι-κους ριθµούς. Ν βρεθούν οι τριγ-κοι ριθµοί ηµ 5 ηµ (6 + 5) συν 5 ηµ75 εφ5 εφ65 Αόδειξη διάφορων τριγ-κων τυτοτήτων χρησιµοοιώντς τους τύους θροίσµτος - διφοράς. Ν δείξετε ότι: ) συν( x + ) + συν(x ) συνx β) ( ηµ + συν) ( ηµβ + συνβ) ηµ ( + β) + συν( β) ηµ ( + β) γ) εφ + εφβ συν συνβ ηµ ( β) ηµ ( β γ) ηµ ( γ ) δ) + + συν συνβ συνβ συνγ συνγ συν ε) συν(36 ) συν(36 + ) + συν(5 + ) συν Αόδειξη σχέσεων ότν δίνοντι συνθήκες γι τις γωνίες Α. Εάν + β δείξτε ότι ( + εφ) ( + εφβ) Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός 5

3 Β. Σε κάθε Τρ. ΑΒΓ δείξτε ότι: ) εφα + εφβ + εφγ εφα εφβ εφγ β) σφα σφβ + σφβ συνγ + σφγ σφα συνα συνβ συνγ γ) + + ηµβ ηµγ ηµβ ηµγ ηµα ηµβ Υολογισµός γωνιών ότν δίνοντι κάοιες σχέσεις. ηµα + ηµ ( Β Γ) ð Εάν σε Τρ. ΑΒΓ ισχύει: εφβ δείξτε ότι: Α συν( Β Γ) Είλυση ροβληµάτων. Στην λευρά ορθογωνίου τρίγωνου ΑΒΓ ( Α 9 ) ίρνουµε σηµείο ώστε ΑΓ 3 Α δείξτε ότι: εφβ ) εφω όου ω ΒΓ β) Εάν Β 6 τότε Β διχοτόµος της Β. 3 + εφ Β Είλυση εξισώσεων µε την βοήθει των τύων θροίσµτος - διφοράς. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) εφx + εφ( + x) β) ηµ ( x ) ηµ (x + ) εάν εφ -3 γ) εφ(x + ) εφ(x ) 3 ΙΑΦΟΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν υολογισθούν τ çì ( á â), óõí( á + â), åö ( á â), óö ( á + â) ν είνι: ð ð óõí â, < â < êáé åö á, < á < 5. Ν υολογιστεί η τιµή της ράστσης: συν33 συν συν57 ηµ 3. Ν δειχθεί ότι: συνω ηµω ) εφ (5 ω) συνω + ηµω β) εφ εφ β εφ( + β) εφ( β) εφ εφ β. 3 5 Αν < ω, x < κι < y <, εφω κι εφ y, τότε 3 5. Αν ηµ x + ηµ y κ κι συνx + συνy λ, τότε: κ + λ ) ν δείξετε ότι συν(x y) β) γι κ κι λ ν βρείτε το x y. x + y + ω. 6. είξτε ότι: ηµ ( β) i) σφβ σφ ηµ ηµβ ii) συν( β) συν( + β) ηµ ( β) ηµ ( + β) συν ηµ ( + β) iii) συν( + β) + συν( β) εφ + εφβ Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός 6

4 7. Eν + β + γ είξτε ότι: β β γ γ β γ β γ i) εφ εφ + εφ εφ + εφ εφ ii) σφ + σφ + σφ σφ σφ σφ β β γ γ iii) εφ εφ + εφ εφ + εφ εφ 8. Ν οδείξετε ότι: συνχ ηµχ συνχ + ηµχ i) εφ( x) ii) εφ( + χ) συνχ + ηµχ συνχ ηµχ 3 εφ εφ iii) εφ( χ) εφ( + χ) iv) εφ3 εφ εφ εφ ηµ ηµ β ηµ ( + β) εφ + εφβ v) εφ( + β) vi) ηµ συν ηµβσυνβ ηµ ( β) εφ εφβ ð 3 9. Αν á+ â êáé åö â ν υολογιστεί η åö á. Αν x y 6 κι εφ y ν βρεθεί η εφχ. 5. Αν,β θετικοί µε 3 + β δείξετε ότι: ( + σφ)( + σφβ). Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) συνχ ηµ ( χ + ) ii) ηµχ συν( χ ) 6 6 iii) εφ( + χ) εφ( χ) iv) εφ( χ) + σφχ 3 v) εφ( 5 + x) εφ(5 x) 3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ - ΤΥΠΟΙ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Υολογισµός - λοοίηση ρστάσεων µε εφρµογή των τύων των τριγωνοµετρικών ριθµών διλσίου τόξου. Ν γρφούν σε λούστερη µορφή οι ρστάσεις : 3 i) συν x ii) συν x Αόδειξη διάφορων τριγ-κων τυτοτήτων χρησιµοοιώντς τους τύους διλσίου τόξου. Ν δείξετε ότι: συν + ηµ ) εφ + συν + ηµ Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός 7

5 + εφ εφ εφ β) εφ + σφ συν γ) εφ(5 ) εφ + ηµ συν Εύρεση των τριγ-κων ριθµών των γωνιών η / εφόσον ίνετι τριγ-κος ριθµός της γωνίς. Α. Ν υολογιστούν οι τριγ-κοι ριθµοί της ν: 3 συν µε < < 5 Β.Ν υολογιστουν οι τριγ-κοι ριθµοί του εάν: 3 3 συν κι < <. 5 Γ. Ν υολογιστούν οι τριγ-κι ριθµοί του 6. Αόδειξη σχέσεων µε την βοήθει των τύων οτετργωνισµου. 3 Α. είξτε ότι: ηµ συν β γ Β. Εάν συνx συνy κι συνz είξτε ότι: x y z εφ + εφ + εφ β + γ γ + + β Είλυση εξισώσεων µε την βοήθει των τύων του διλσίου τόξου. Ν λυθούν οι εξισώσεις. ) συν x ηµ x x β) συν x ηµ ΙΑΦΟΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν δείξετε ότι: συν i) εφ + ηµ ο iii) εφ( 5 + ) εφ(5 ) εφ ο ii) εφ + ηµ ηµ. Ν δείξετε ότι: + ηµ + εφ συν + ηµ συν i) ii) συν εφ συν ηµ συν ηµ εφ iii) + εφ εφ iv) συν συν + εφ + ηµ ηµ εφ 3. Ν οδειχθεί ότι: i) ( συν + συνβ) ii) ( ηµ + ηµβ) iii) ( συν συνβ). είξτε ότι: + ( ηµ ηµβ) συν + β β + ( συν + συνβ) + ( ηµ ηµβ) συν β ηµ Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός 8

6 + συν + συν + συν i) σφ i) σφ ηµ ηµ + ηµ ηµ συν ηµ συν iii) εφ iv) εφ συν συν συν συν 5. είξτε ότι: i) συν ηµ ηµ ii) ηµ ηµ συνχ ηµ iii) ηµ χ συν χ iv) ηµ 8 ηµ 6. Αν 3συν x + 5συνx κι çì x > ν υολογιστούν το ηµχ κι το συνχ Αν < y < κι 5ηµ y + 5ηµ y, ν υολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί ριθµοί ηµy κι συν y. ηµ + ηµ 8. Ν δείξετε ότι εφ + συν + συν 9. Ν δείξετε ότι σφ + συν σφ ηµ. Αν ηµ x συνx, ν βρεθεί το ηµ x κι ν δειχθεί ότι. Ν λυθούν οι ρκάτω εξισώσεις: i) συν χ ηµ χ ii) συν 3χ ηµ 3χ iii) συν χ ηµ χ 6 6 iv) ηµχ συνχ v) συν χ συνχ. Ν λυθούν οι ρκάτω εξισώσεις: i) συνχ συνχ ii) συνχ + 3συνχ iii) συν χ + συνχ iv) + συνχ ηµ χ Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός 9