ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Transcript

1 ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011

2

3 MATLAB Χρησιμοποιείται για : Υπολογισμούς Γραφική απεικόνιση δεδομένων Ανάλυση γραμμικών συστημάτων Επίλυση, γενικά, προβλημάτων στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Φυσική, Χημεία, Μηχανική, Οικονομικά και όπου απαιτούνται υ- πολογισμοί με πολλές μεταβλητές και σε σύνθετα προβλήματα. Χρησιμοποιείται ιδιαίτερα Στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, όπου διαθέτει ειδικές συναρτήσεις για την περιγραφή και τη μελέτη των συστημάτων. Με διπλό κλικ στο εικονίδιο του MATLAB μεταφερόμαστε στο περιβάλλον εργασίας του MATLAB (MATLAB Command Window) :» To get started, type one of these: helpwin, helpdesk, or demo. For product information, type tour or visit Για έξοδο από το MATLAB πληκτρολογήστε : Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου - Σελίδα 1 -

4 ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ( Παράδειγμα ) Το "Διάνυσμα γραμμή" π.χ. A = [ 1 3 ] εισάγεται στο περιβάλλον MATLAB πληκτρολογώντας : Α = [1 3] ή (Σημείωση : οι παύλες δεν πληκτρολογούνται, τέθηκαν για (Σημείωση : να δηλώσουν κενό διάστημα) Α = [1,,3] και πατώντας Enter έχουμε την απόκριση του προγράμματος : A = 1 3 Το "Διάνυσμα στήλη" π.χ. A = εισάγεται στο περιβάλλον MATLAB πληκτρολογώντας : Α = [ 4 ; 5 ; 6 ] και πατώντας Enter έχουμε την απόκριση του προγράμματος : A = Σελίδα - Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου

5 Μερικές ενσωματωμένες συναρτήσεις Ονομασία στο MATLAB sin(x) cos(x) tan(x) log(x) log10(x) exp(x) sqrt(x) Σημασία ημίτονο του x συνημίτονο του x εφαπτομένη του x φυσικός (νεπέρειος) λογάριθμος του x δεκαδικός λογάριθμος του x εκθετική συνάρτηση e x τετραγωνική ρίζα του x Κάποιες ενσωματωμένες σταθερές Ονομασία Τρόπος εισαγωγής Απόκριση προγράμματος π pi ans = (1) (1) ans = answer = απάντηση Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου - Σελίδα 3 -

6 Γραφικές παραστάσεις Παράδειγμα Έστω ότι ζητείται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f = sint για διάστημα χρόνου 0 έως ος τρόπος ος τρόπος t = linspace(0,10,100); fplot( 'sin(t)', [0 10] ) Enter Enter f = sin(t); Enter plot(t,f) Enter Και στις δύο περιπτώσεις λαμβάνουμε : sint t - Σελίδα 4 - Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου

7 ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ( Παράδειγμα ) Ένα πολυώνυμο παριστάνεται στο MATLAB από το διάνυσμα γραμμής των συντελεστών των όρων του, διατεταγμένων κατά φθίνουσα σειρά των δυνάμεων της μεταβλητής. Π.χ. το πολυώνυμο x + x + 1 παριστάνεται σαν [1 1] Πολλαπλασιασμός Δίνονται P 1 (x) = x + x + 1 P (x) = x 3-15 Ζητείται το P(x) = P 1 (x) P (x)» p1x=[1 1]; (διάνυσμα συντελεστών του P 1 (x) )» px=[ ]; (διάνυσμα συντελεστών του P (x) )» px=conv(p1x,px) (εντολή πολλαπλασιασμού του P 1 (x) επί το P (x) ) px = (συντελεστές του P(x) ) Άρα P(x) = x 5 + x 4 + x 3-15x - 30x - 15 Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου - Σελίδα 5 -

8 ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ( Παράδειγμα ) Ρίζες P(x) = x 3 - x - 5x + 6 = 0» px=[ ]; (διάνυσμα συντελεστών του P(x) )» r=roots(px) (εντολή εύρεσης ριζών) r = Άρα r 1 = 3 r = - r 3 = (ρίζες) Ανάκτηση συντελεστών από τις ρίζες r 1 = 3 r = - r 3 = 1 Άρα» r=[3-1]; (διάνυσμα ριζών)» px=poly(r) (εντολή εύρεσης συντελεστών) px = P(x) = x 3 - x - 5x (συντελεστές) - Σελίδα 6 - Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου

9 Συνάρτηση Μεταφοράς Πεδίο του χρόνου (t) Πεδίο της μιγαδικής συχνότητας (s) x(t) (Σ) y(t) X(s) (Σ) Y(s) Δ.Ε. G(s) X(s) = L{x(t)} Y(s) = L{y(t)} Συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) ενός γραμμικού, μη χρονικά μόνιμου συστήματος (Σ) καλείται ο λόγος της μετασχηματισμένης κατά Laplace συνάρτησης εξόδου προς τη μετασχηματισμένη κατά Laplace συνάρτηση εισόδου, όταν θεωρηθούν μηδενικές οι αρχικές συνθήκες. G( s) = Y( s) X( s) Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου - Σελίδα 7 -

10 Εισαγωγή της Συνάρτησης Μεταφοράς στο περιβάλλον MATLAB ( Παράδειγμα ) Για την εισαγωγή της Συνάρτησης Μεταφοράς : G( s) Υ(s) = = Χ(s) 3 s + 3 s + 6s + 11s + 6 στο περιβάλλον MATLAB χρησιμοποιούμε την εντολή tf(...) (transfer function). Ακολουθούμε τα εξής βήματα : 1. Εισάγουμε τα πολυώνυμα αριθμητή (numerator) και παρονομαστή (denominator) πληκτρολογώντας : num = [ 3 ] ; den = [ ] ;. Εισάγουμε τη Συνάρτηση Μεταφοράς G(s) πληκτρολογώντας : gs = tf(num,den) 3. Πατώντας Enter παίρνουμε την απόκριση του προγράμματος : Transfer function: s s^3 + 6 s^ + 11 s Σελίδα 8 - Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου

11 Για τη συνάρτηση π.χ. f(t) = e t Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Μετασχηματισμός Laplace ( Παράδειγμα ) 1. Ορίζουμε τις συμβολικές μεταβλητές s και t γράφοντας : syms s t ;. Εισάγουμε τη συνάρτηση f(t) πληκτρολογώντας : ft = exp(t) ; 3. Εισάγουμε τη συνάρτηση laplace πληκτρολογώντας : fs = laplace(ft) 4. Πατώντας Enter λαμβάνουμε : fs = 1 1/(s-1) δηλαδή f( s) = s 1 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace ( Παράδειγμα ) 1 Για τη συνάρτηση f( s) = s 1 1. Ορίζουμε τις συμβολικές μεταβλητές s και t γράφοντας : syms s t ;. Εισάγουμε τη συνάρτηση f(s) πληκτρολογώντας : fs = 1/(s -1) ; 3. Εισάγουμε τη συνάρτηση ilaplace πληκτρολογώντας : ft = ilaplace(fs) 4. Πατώντας Enter λαμβάνουμε : ft = exp(t) δηλαδή f(t) = e t Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου - Σελίδα 9 -

12 Μορφές της Συνάρτησης Μεταφοράς Πολυωνυμική μορφή G( s) Υ(s) = = Χ(s) b m m m 1 m 1 n 1 n 1 s + b s b s + b n 1 0 s + a s a s + a 1 0 Αναλυτική μορφή μηδενικών τιμών και πόλων G( s) = K (s z 1) (s z )... (s z m) (s p ) (s p )... (s p ) 1 n όπου z 1, z,..., z m οι μηδενικές τιμές (zeros) του συστήματος (δηλ. οι ρίζες της Y(s) = 0) p 1, p,..., p n οι πόλοι (poles) του συστήματος (δηλ. οι ρίζες της X(s) = 0) K το κέρδος (gain) του συστήματος Μορφή μερικών κλασμάτων G(s) = c1 s p 1 c s p cn s p n + K(s) όπου c 1, c,..., c n οι γραμμικοί συντελεστές p 1, p,..., p n οι πόλοι K(s) ο ακέραιος όρος - Σελίδα 10 - Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου

13 Μορφές της Συνάρτησης Μεταφοράς Παράδειγμα Πολυωνυμική μορφή G( s) Υ(s) = = Χ(s) 3 s + 3 s + 6s + 11s + 6 Αναλυτική μορφή μηδενικών τιμών και πόλων Y( s) = s + 3 = 0 z = 15. μηδενική τιμή (zero) p1 = 3 3 X( s) = s + 6s + 11s + 6 = 0 p = πόλοι (poles) p = 3 1 K = κέρδος οπότε G( s) = K s z (s p ) (s p ) (s p ) 1 3 = s ( 1.5) [s ( 3)] [s ( )] [s ( 1)] G( s) = s+ 1.5 (s+ 3) (s+ ) (s+ 1) Μορφή μερικών κλασμάτων c1 = 15. Γραμμικοί συντελεστές : c = 1 c3 = 0. 5 & Ακέραιος όρος : K( s) = 0 οπότε c1 c c3 G(s) = K(s) = s p s p s p s ( 3) s ( ) s ( 1) 1 3 G(s) = 15. s s s + 1 Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου - Σελίδα 11 -

14 Μηδενικές τιμές, Πόλοι και Κέρδος Συνάρτησης Μεταφοράς ( Παράδειγμα ) Για τον υπολογισμό Μηδενικών τιμών (zeros) z, Πόλων (poles) p και Κέρδους (gain) Κ της Συνάρτησης Μεταφοράς : G( s) Υ(s) = = Χ(s) 3 s + 3 s + 6s + 11s + 6 χρησιμοποιούμε την εντολή [ z, p, k ]=tf zp(...) ως εξής :» num=[ 3];» den=[ ];» [z,p,k]=tfzp(num,den) z = p = k = - Σελίδα 1 - Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου

15 Γραμμικοί συντελεστές, Πόλοι και Ακέραιος όρος Συνάρτησης Μεταφοράς ( Παράδειγμα ) Για τον υπολογισμό Γραμμικών συντελεστών c, Πόλων p και Σταθερού όρου K(s) της Συνάρτησης Μεταφοράς : G( s) Υ(s) = = Χ(s) 3 s + 3 s + 6s + 11s + 6 χρησιμοποιούμε την εντολή [ c, p, k ]=residue(...) ως εξής :» num=[ 3];» den=[ ];» [c,p,k]=residue(num,den) c = p = k = [] Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου - Σελίδα 13 -

16 Γράφημα Πόλων και Μηδενικών τιμών Συνάρτησης Μεταφοράς ( Παράδειγμα ) Το γράφημα Πόλων p και Μηδενικών τιμών z (οι πόλοι σημειώνονται με "x" και οι μηδενικές τιμές με "ο") της Συνάρτησης Μεταφοράς : G( s) Υ(s) = = Χ(s) 3 s + 3 s + 6s + 11s + 6 λαμβάνεται χρησιμοποιώντας την εντολή pzmap(...) ως εξής :» num=[ 3];» den=[ ];» pzmap(num,den) - Σελίδα 14 - Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου

17 Γράφημα Πόλων και Μηδενικών τιμών Συνάρτησης Μεταφοράς ( Παράδειγμα ) 1 Pole zero map 0.5 Imag Axis Real Axis (Οι Πόλοι σημειώνονται με "x" και οι Μηδενικές τιμές με "ο") Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου - Σελίδα 15 -

18 Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση Ορισμός : u( t) = 1 0 απροσδιόριστη για για για t > 0 t < 0 t = 0 Γραφική παράσταση : u(t) 1 0 t - Σελίδα 16 - Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου

19 Χρονική απόκριση συστήματος ης τάξης Συνάρτηση μεταφοράς : G( s) Υ(s) = = Χ(s) s ω ζω s + ω όπου ω 0 κυκλική ιδιοσυχνότητα συστήματος ζ συντελεστής απόσβεσης ταλαντώσεων (damping factor) Όταν στην είσοδο του συστήματος εφαρμοσθεί η μοναδιαία βηματική συνάρτηση (unit step function) u(t) ή U(s) = 1/s, τότε Αν Πόλοι της Συνάρτησης Μεταφοράς G(s) Χρονική απόκριση συστήματος y(t) ζ = 0 φανταστικοί συζυγείς συντηρούμενη ταλάντωση με συχνότητα ω 0 και πλάτος 1 0 < ζ < 1 μιγαδικοί συζυγείς φθίνουσα ταλάντωση που τείνει να λάβει την τιμή 1 ζ = 1 διπλός πόλος : πραγματικός αριθμός χωρίς ταλάντωση και τείνει ασυμπτωτικά στην τιμή 1 Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου - Σελίδα 17 -

20 Χρονική απόκριση συστήματος ης Εφαρμογή τάξης Συνάρτηση μεταφοράς : G( s) Υ(s) = = Χ(s) s ω ζω s + ω Για δεδομένη κυκλική ιδιοσυχνότητα ω 0 και συντελεστή απόσβεσης ταλαντώσεων ζ : η Συνάρτηση Μεταφοράς οι Πόλοι και το Γράφημα της Χρονικής απόκρισης y(t) του συστήματος, όταν στην είσοδο εφαρμοσθεί η μοναδιαία βηματική συνάρτηση u(t) προκύπτει, στο περιβάλλον Matlab, ως εξής :» w= εδώ εισάγεται η κυκλική ιδιοσυχνότητα του συστήματος ω 0 ;» z= εδώ εισάγεται ο συντελεστής απόσβεσης ταλαντώσεων ζ» num=[w^];» den=[1 *z*w w^];» gs=tf(num,den)» p=pole(gs)» step(gs) - Σελίδα 18 - Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου

21 Ασκήσεις 1. Βρείτε με τη χρήση του MATLAB το μετασχηματισμό Laplace των συναρτήσεων : a) f ( 1 t ) = sin wt b) f ( t ) = cos wt c) f ( t) = e t sin t 3 5. Αποτυπώστε στο φύλλο έργου τον τρόπο εισαγωγής στο MATLAB των παρακάτω συναρτήσεων μεταφοράς : a) G ( s) = b) G ( s) = c) G ( s) = 1 3 s 4 s 3s + 5 s + s 1 5s s + s + s 3 s s 1 3. Αποτυπώστε στο φύλλο έργου ποιες συναρτήσεις μεταφοράς αντιστοιχούν στα παρακάτω ζεύγη αριθμητών και παρονομαστών : a) num1 = [1 3], den1 = [4 5 6] b) num = [ ], den = [1 -] c) num3 = [1 0 1], den3 = [ ] 4. Βρείτε (κάνοντας χρήση του MATLAB) και σημειώστε στο φύλλο έργου τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace μιας εκάστης των ακολούθων συναρτήσεων μεταφοράς : 1 a) G1( s) = s 1 b) G( s) = 5s s + c) G ( s) = s s + Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου - Σελίδα 19 -

22 5. Απεικονίστε γραφικά τα αποτελέσματα της προηγούμενης άσκησης (πεδίο του χρόνου) κάνοντας χρήση της εντολής fplot. (Σχεδιάστε στο φύλλο έργου τις γραφικές παραστάσεις). Ως εξής : a) t = 0 έως 10 b) t = 0 έως 100 c) t = 0 έως Για τη συνάρτηση μεταφοράς s+ G(s) = s +6s+5 να δοθούν : a) η αναλυτική μορφή μηδενικών τιμών και πόλων b) η μορφή μερικών κλασμάτων c) το γράφημα πόλων και μηδενικών τιμών 7. Για συνάρτηση μεταφοράς της μορφής : G( s) = s ω 0 + ζω s + ω 0 0 να δοθούν, με τη βοήθεια του Matlab : η ίδια η συνάρτηση μεταφοράς οι πόλοι το γράφημα της χρονικής απόκρισης, όταν στην είσοδο εφαρμοσθεί η μοναδιαία βηματική συνάρτηση για ω 0 = 10 και a) ζ = 0 b) ζ = 0.1 c) ζ = 1 - Σελίδα 0 - Κ. Νασόπουλος - Α. Χρηστίδου