ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΕΙΡΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΕΙΡΩΝ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΕΙΡΩΝ ΣΤΕΛΛΑ ΚΟΥΤΡΑΚΗ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 6

2

3 Η μεταπτυχιακή αυτή εργασία πραγματοποιήθηκε στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης στα πλαίσια του μεταπτυχιακού προγράμματος «Μαθηματικά για την Εκπαίδευση» και κατατέθηκε τον Νοέμβριο του 6. Επιβλέπων Καθηγητής ήταν ο κ. Μιχάλης Λάμπρου. Την επιτροπή αξιολόγησης αποτέλεσαν οι κ.κ. Μ. Λάμπρου, Θ. Μήτσης και Σ. Παπαδοπούλου. 3

4 4

5 Στην Εύη, στο Μίλτο, στη Γιολάντα, στο Μανόλη. 5

6 6

7 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΑΙΓΥΠΤΟΣ 3.. ΜΕΣΟΠΟΤΑΜΙΑ ΚΙΝΑ ΙΝΔΙΑ..5. ΑΡΑΒΕΣ 3.6. ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΥΨΙΚΛΗΣ ΝΙΚΟΜΑΧΟΣ ΓΕΑΣΗΝΟΣ ΕΥΡΩΠΗ ΟΣ -7 ΟΣ ΑΙΩΝΑΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ BERNOULLI ΑΓΓΛΙΑ ΙΤΑΛΙΑ ΓΑΛΛΙΑ LEONARD EULER ΣΥΓΧΡΟΝΟΙ ΤΟΥ EULER ΑΠΟ ΤΟΝ LAGRANGE ΕΩΣ ΤΟΝ CÉBYCEFF..77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΕΙΡΩΝ ΤΗΛΕΣΚΟΠΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΕΙΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΣΕΙΡΑ ζ ΚΑΙ ζ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. = m.9 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 45 ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

8 8

9 HISTORY AND EVALUATION METHODS OF SERIES This master thesis cosists of six chapters. I the first chapter we refer briefly to the history of series through existig writte documets. The research leads us to Egypt of about 65 B.C., where the prime form of ow series is the arithmetic ad geometric progressio. We, the, study related documets comig from Mesopotamia, Chia, Idia, Arabia ad, fially, Aciet Greece ad we coclude our historical research i Europe betwee the th ad 9 th cetury. I the secod chapter we describe two methods of evaluatig the sum of a ifiite series: the telescopic method ad the method of differeces. ζ ad the I the ext three chapters we deal with the harmoic series, the series fiite sums S ( ). Fially, the last chapter studies five algorithms for evaluatig sums of the form b = F(,), with f form. =α F, a suitable summad of proper hypergeometric 9

10

11 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας αυτής αναφερόμαστε, συνοπτικά, στην ιστορία των σειρών, από τότε που ενυπάρχουν γραπτά μνημεία. Αναπότρεπτα, η έρευνα μας κατευθύνει στην Αίγυπτο, όπου τη η π.χ. χιλιετηρίδα, η πρωταρχική μορφή σειρών που συναντάμε είναι η αριθμητική και η γεωμετρική πρόοδος. Στη συνέχεια, ερευνούμε τα ενυπάρχοντα, τα σχετικά με το θέμα μας, στη Μεσοποταμία, στην Κίνα, στην Ινδία, στην Αραβία και τέλος στην Αρχαία Ελλάδα. Κατόπιν, ακολουθεί η έρευνα στην Ευρώπη από τον ο μέχρι και τον 9 ο αιώνα. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναφερόμαστε σε δύο μεθόδους υπολογισμού σειρών, την τηλεσκοπική και τη μέθοδο διαφορών, ενώ στα επόμενα τρία κεφάλαια S. διαπραγματευόμαστε την αρμονική σειρά, τη σειρά ζ και τα αθροίσματα Τέλος, κλείνουμε την εργασία αυτή με πέντε αλγορίθμους υπολογισμού αθροισμάτων της μορφής f = F(,), όπου κατάλληλης υπεργεωμετρικής μορφής. b =α F, είναι προσθετέος Ευχαριστώ θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Μιχάλη Λάμπρου για τον χρόνο και το υλικό που έθεσε στη διάθεσή μου, όπως επίσης και τα άλλα δύο μέλη της Επιτροπής Αξιολόγησης: κ.κ. Σουζάννα Παπαδοπούλου, και Θεμιστοκλή Μήτση. Εκφράζω και από τη θέση αυτή ένα μεγάλο ευχαριστώ στους καθηγητές μου: κ.κ. Ελένη Βασιλάκη, Μανόλη Κατσοπρινάκη, Χρήστο Κουρουνιώτη, Πάρη Πάμφιλο, Μιχάλη Παπαδημητράκη, Χρόνη Στράντζαλο και Θανάση Φειδά. Το μαθηματικό ταξίδι μαζί τους, ταξίδι πρώτης θέσης, υπήρξε έξοχο, συναρπαστικό και αλησμόνητο. Επίσης, ένα θερμό ευχαριστώ στην άριστη «συμφοιτήτριά μου» Φωτεινή Τσιφουντίδου των ετών που με μύησε στις νέες τεχνολογίες και ήταν παρούσα όποτε τη χρειάστηκα. Ένα θερμό ευχαριστώ και στο Νίκο Σπανουδάκη που ποτέ δεν μου αρνήθηκε τη βοήθειά του. Ακόμη, ένα θερμό ευχαριστώ στη Μαρία Σπυροπούλου και στον Μιχάλη Παπαδημητράκη, φίλους των δύσκολων ημερών. Τέλος, ένα μεγάλο ευχαριστώ στην οικογένειά μου που όχι μόνο με «ανέχτηκε» όλο αυτό το χρονικό διάστημα, αλλά ο καθένας τους με βοήθησε με τον καλύτερο δυνατό τρόπο, υπερβαίνοντας εαυτόν. Νοέμβριος 6 Στέλλα Κουτράκη

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ... ΑΙΓΥΠΤΟΣ Παραδείγματα άθροισης σειρών υπάρχουν στα αρχαιότερα σωζόμενα μαθηματικά κείμενα. Παραδείγματος χάριν στον πάπυρο Rhid (~ 65 π.χ.) στο Πρόβλημα 4, όπως και στο Πρόβλημα 64, βλέπουμε ότι οι Αιγύπτιοι αντιλαμβάνονταν τι σήμαινε αριθμητική πρόοδος. Το Πρόβλημα 4 αναφέρει Μοιράστε καρβέλια ψωμί σε 5 άνδρες, έτσι ώστε το άθροισμα των δύο μικρότερων μεριδίων να ισούται με το του αθροίσματος των τριών μεγαλύτερων μεριδίων. Ποια 7 είναι η διαφορά από μερίδιο σε μερίδιο; Στη λύση που ακολουθεί βλέπουμε ότι τα μερίδια αποτελούν αριθμητική πρόοδο. Ο Αιγύπτιος λύτης χρησιμοποιεί τη μέθοδο της λαθεμένης παραδοχής 3. Θεωρεί μια φθίνουσα αριθμητική πρόοδο με πέντε όρους, εκ των οποίων ο τελευταίος όρος είναι το. Ως άθροισμα παίρνει το 6 και όχι το, οπότε ο μεσαίος όρος θα είναι το άθροισμα δια του πλήθους, δηλαδή το. Συνεπώς, η ζητούμενη κοινή διαφορά θα ισούται με την ημιδιαφορά του τελευταίου από τον μεσαίο όρο, δηλαδή ω= = 5. Τώρα, με δύο διαδοχικές προσθέσεις της κοινής διαφοράς στον μεσαίο όρο και με αφαίρεση της κοινής διαφοράς από τον μεσαίο όρο, βρίσκουμε όλους τους όρους, δηλαδή 3, 7,, 6,. Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των δύο τελευταίων όρων ισούται με το 7 του αθροίσματος των τριών πρώτων, δηλαδή + 6 = Καθώς όμως το άθροισμα των πέντε όρων είναι το 6, πρέπει να προσδιορίσουμε τη σχέση του 6 με το. Έχουμε, = = = Gay Robis & Charles Shute, The Rhid Mathematical Papyrus, a aciet Egyptia text, British Museum Press, Hog Kog, 998, σελ. 9, Arold Buffum Chace, The Rhid Mathematical Papyrus, The Natioal Coucil of Teachers of Mathematics, USA 979, σελ. 45,4. (Ανατύπωση των εκδόσεων του 97 και 99 από τη Mathematical Associatio of America, Oberli Ohio.) 3 L. But - P. Joes - J. Bediet, Οι Ιστορικές Ρίζες των Στοιχειωδών Μαθηματικών, Εκδόσεις Γ. Α. Πνευματικού, Αθήνα 98, σελ.38. 3

14 Δηλαδή, έχουμε πολλαπλασιάσει το 6 επί 3. Συνεπώς, η κοινή διαφορά πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 3, οπότε η ζητούμενη κοινή διαφορά θα ισούται με 5 = 9 κι έτσι τα ζητούμενα μερίδια θα είναι , 9 6,, 5 6, 3. Αν και φαίνεται πολύπλοκη η λύση, εντούτοις είναι πλήρως εναρμονισμένη με τις μεθόδους των Αιγυπτίων. Πρόβλημα 64 4 (Παράδειγμα ορισμού αριθμητικής προόδου. Παράδειγμα διηρημένης διαφοράς.) Υποθέστε ότι άνδρες μοιράζονται εκάτ 5 κριθάρι έτσι ώστε τα μερίδιά τους να έχουν μεταξύ τους κοινή διαφορά το 8 εκάτ. Να βρεθεί το κάθε μερίδιο. O λύτης συμπεραίνει ότι ο μέσος όρος των μεριδίων είναι εκάτ και ότι το πλήθος των διαφορών θα είναι = 9, δηλαδή ο αριθμός των ανδρών μείον ένας. Κατόπιν, παίρνει το μισό της κοινής διαφοράς, οπότε φθάνει στο εκάτ. Το 6 αποτέλεσμα αυτό πολλαπλασιάζει επί 9, το οποίο του δίνει εκάτ. Σ αυτό 6 προσθέτει τον μέσο όρο των μεριδίων, δηλαδή το, οπότε παίρνει το μεγαλύτερο μερίδιο όλων. Απ αυτό, αφαιρεί κάθε φορά το εκάτ για να πάει στο αμέσως 8 επόμενο μερίδιο, μέχρι και το μερίδιο του τελευταίου άνδρα. Οπότε α = 6, α 9 =, α 8 =, α 7 =, α 6 =, α 5 =, α 4 =, α 3 =, α =, α = Αν τα προσθέσουμε όλα, θα πάρουμε εκάτ. Η αντίληψή όμως των Αιγυπτίων δεν περιοριζόταν μόνο στην αριθμητική πρόοδο. Είχαν γνώση και για τη γεωμετρική. Το Πρόβλημα 79 6 φαίνεται να λέει (ο πάπυρος εκεί είναι φθαρμένος.) Βρείτε το άθροισμα πέντε όρων, όπου ο πρώτος όρος είναι το 7 και ο κάθε επόμενος όρος πολλαπλασιάζεται επί 7. 4 Arold Buffum Chace, ένθ. ανωτ., σελ. 3,. 5 Μονάδα χωρητικότητας, Arold Buffum Chace, ένθ. ανωτ., σελ Arold Buffum Chace, ένθ. ανωτ., σελ. 3,. 4

15 3 4 5 Ζητάει δηλαδή το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου Ο λύτης παραθέτει δύο λύσεις. Στην πρώτη διαβάζουμε Σύνολο Δηλαδή, 8 7 = 967. Εδώ παρατηρούμε ότι 8= , οπότε ασφαλώς ο λύτης ανάγει το πρόβλημα στον υπολογισμό = 7 ( ) = 7 8 = 967 Δηλαδή, ο λύτης ουσιαστικά έβγαλε κοινό παράγοντα. Στη δεύτερη λύση, μπροστά από κάθε διαδοχική δύναμη του 7, ο λύτης γράφει τις λέξεις σπίτια, γάτες, ποντίκια, στάχια, εκάτ, ως εξής σπίτια 7 γάτες 49 ποντίκια 343 στάχια 4 (λανθασμένα αναφέρει 3) εκάτ 687 Σύνολο 967 Ο A. Eiselohr 7, ο πρώτος που μετέφρασε το περιεχόμενο του πάπυρου Rhid, από την ιερατική γραφή στα ιερογλυφικά το 868, ερμηνεύει τις παραπάνω πέντε λέξεις μπροστά από τις δυνάμεις του 7, ως τα ονόματα που δίνουν οι Αιγύπτιοι στις δυνάμεις του 7. Το πιθανότερο όμως είναι ότι το Πρόβλημα 79 αναφέρεται σ ένα γνωστό πρόβλημα της εποχής Έχουμε 7 σπίτια. Σε κάθε σπίτι ζουν 7 γάτες. Κάθε γάτα τρώει 7 ποντίκια. Κάθε ποντίκι θα έτρωγε 7 στάχια που καθένα θα παρήγαγε 7 εκάτ δημητριακών. Ποιο είναι το άθροισμα όλων αυτών ; Το, στο Liber αbaci (Βιβλίο του Άβακα) του Leoardo της Πίζας ή Fiboacci, εμφανίζεται ένα πρόβλημα 8 γεωμετρικής προόδου, του οποίου το ζητούμενο είναι πάλι το άθροισμα ανόμοιων μεταξύ τους όρων. Παρατηρείται, δηλαδή, μια διαιώνιση αυτής της εκφώνησης από την εποχή των Αιγυπτίων... ΜΕΣΟΠΟΤΑΜΙΑ Οι Βαβυλώνιοι είχαν εξοικείωση με τον υπολογισμό αθροισμάτων αριθμητικών προόδων 9. Αυτό φαίνεται από την αντιμετώπιση συγκεκριμένων προβλημάτων 7 Ei Mathematisches Hadbuch der alte Aegypter, (Papyrus Rhid des British Museum) Leipzig, C. Boyer - U. Merzbach, A History of Mathematics, Secod Editio, Joh Wiley & Sos, Ic., USA, 989, σελ Β.L. Va der Waerde, Η Αφύπνιση της Επιστήμης, Π.Ε.Κ., Ηράκλειο, σελ. 8. 5

16 πρακτικής φύσης, όπως π.χ. η διανομή χρημάτων στα παιδιά μιας οικογένειας, σύμφωνα με κάποιο κανόνα που είναι αριθμητική πρόοδος. Δεν περιορίζονται όμως στις αριθμητικές προόδους. Στην πήλινη πινακίδα Α.Ο. 6484, της οποίας το περιεχόμενο, όπως υποστηρίζει ο Β.L. Va der Waerde, μοιάζει πολύ με τα παλαιοβαβυλωνιακά κείμενα (~ 7 π.χ.), συναντάμε το άθροισμα των πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου α =,, όπου γράφει = 9 + ( 9 - ) () Σε άλλο πρόβλημα, στην ίδια πινακίδα, συναντάμε το άθροισμα = + ( ) = 385, 3 3 το οποίο είναι φυσικά ειδική περίπτωση του γενικού τύπου = + ( ) () 3 3 Ακόμη, απλούς αριθμούς που αποτελούν αριθμητική πρόοδο, βρίσκουμε και στις τρεις ζώνες στις οποίες διαιρούν τον ουρανό, προκειμένου να μελετήσουν τα ουράνια σώματα. Αριθμητικές προόδους όμως, αύξουσες και φθίνουσες, συναντάμε και στις εφημερίδες που έδιναν τις μελλοντικές θέσεις των πλανητών ή της σελήνης, όπως φαίνεται στο παρακάτω απόσπασμα που αφορά το 79 ο έτος της εποχής των Σελευκιδών (33 π.χ.-3 π.χ.). Απόσπασμα (σελ.49, υποσ. ) Όπως φάνηκε από τα παραπάνω, τα Αιγυπτιακά και τα Βαβυλωνιακά κείμενα πραγματεύονται συγκεκριμένα θέματα χωρίς γενικεύσεις. Επίσης, στα κείμενα αυτά δεν βρίσκουμε την ερμηνεία γιατί ισχύουν οι διάφοροι τύποι που χρησιμοποιούνται. Εδώ πρέπει να παρατηρήσουμε ότι ο τύπος του οποίου είναι εφαρμογή η σχέση (), είναι η Πρόταση 35 από το ΙΧ Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, έργο του 3 π.χ. περίπου (βλέπε.6.3). Επίσης, η σχέση () είναι η Πρόταση στο έργο του Αρχιμήδη Περί Ελίκων του 3 ου π.χ. αιώνα, (βλέπε.6.4), η οποία είχε ήδη αποδειχθεί Φυλάσσεται στο Μουσείο του Λούβρου και άποδίδεται στην εποχή του Βασιλείου των Σελευκιδών, των διαδόχων του Μεγάλου Αλεξάνδρου, τους τελευταίους αιώνες π.χ. O. Neugebauer, Οι Θετικές Επιστήμες στην Αρχαιότητα, Μ.Ι.Ε.Τ., Αθήνα 986, σελ. 39. O. Neugebauer, ένθ. ανωτ., σελ

17 από τους Πυθαγόρειους τον 5 ο π.χ. αιώνα (βλέπε.6.). Άρα, μια πολύ πιθανή ερμηνεία θα μπορούσε να είναι ότι απλώς οι Βαβυλώνιοι έκαναν εφαρμογή των τύπων που είχαν αποδείξει πριν από αιώνες οι αρχαίοι Έλληνες και οι οποίοι είχαν φθάσει σ αυτούς μέσα από μεταφράσεις..3. KINA To 3 π.χ., με εντολή του Shih Hοag-ti 3 του «Πρώτου Αυτοκράτορα» (59 π.χ.- π.χ.) ιδρυτή της Δυναστείας των Ch i, έχουμε την καύση όλων των βιβλίων, εκτός από αυτά που αφορούν στην ιατρική, γεωργία και στις προφητείες. Οι 46 επιστήμονες που διαμαρτυρήθηκαν ετάφησαν ζωντανοί. Το 76 π.χ., ο λόγιος Ch ag Ts ag (~5-5 π.χ.) συγγράφει το Chiu-chag Sua-shu (Η Αριθμητική σε Εννέα Ενότητες), το σημαντικότερο, κατά τον Smith 4, και από τα πρώτα σωζόμενα, καθαρά μαθηματικό, κινέζικο κείμενο. Το βιβλίο αυτό, σύμφωνα με τον πρόλογο του βιβλίου των σχολίων του Liu Hui το 63 μ.χ. 5, βασίστηκε σε αποσπάσματα ενός πολύ παλιότερου έργου με τον ίδιο τίτλο, που τοποθετείται χρονικά στην εποχή του Chóu-Kug 6, ο οποίος πέθανε το 5 π.χ. Επίσης αναφέρεται 7 ότι το βρίσκουμε ακόμη πιο πίσω, στη Δυναστεία του Huag-ti ή Κίτρινου Αυτοκράτορα του 7 ου αιώνα π.χ.. Τελικά, για τον συγγραφέα και τον χρόνο της πρώτης έκδοσης δεν είμαστε βέβαιοι. Το πιο πιθανό είναι ότι το μεγαλύτερο μέρος του προϋπήρχε του π.χ. Το βιβλίο ξαναγράφεται από τον Chig Ch ou-ch ag κατά την πρώτη περίοδο της Δυναστείας των Ha, όταν στο θρόνο ανέβηκε το π.χ. ο αυτοκράτορας Kao-tsu. Σχόλια πάνω στο ίδιο βιβλίο ξαναγράφτηκαν από τον Li Ch u-fêg τον 7 ο μ.χ. αιώνα. Στην 7 η ενότητα του βιβλίου αυτού περιλαμβάνονται προβλήματα, όπως το παρακάτω 8 Έχουμε δύο άγρια νερόχορτα. Την πρώτη ημέρα, το ένα μεγαλώνει 3 πόδια και το άλλο πόδι. Κάθε μέρα, η αύξηση του πρώτου είναι η μισή της προηγούμενης μέρας, ενώ η αύξηση του δευτέρου είναι διπλάσια της προηγούμενης. Σε πόσες ημέρες τα δύο φυτά θα βρίσκονται στο ίδιο ύψος; Το πρόβλημα αυτό το αντιμετωπίζουν με τη μέθοδο του πλεονάσματος και της έλλειψης και το αποτέλεσμα που δίνουν είναι ότι σε 6 ημέρες το κοινό τους ύψος 3 θα είναι 4 πόδια και 8 6 δέκατα. Πάντως, όπως αναφέρει ο Miami, σχολιάζοντας 3 το παραπάνω πρόβλημα, πουθενά σ αυτό το έργο ή σε οποιοδήποτε άλλο παλιό κινέζικο κείμενο, δεν έχουν εντοπιστεί προσπάθειες πρόσθεσης αριθμητικών ή γεωμετρικών προόδων. 3 Y. Miami, The Developmet of Mathematics i Chia ad Japa, Chelsea Publishig Compay, N.Y., 974, σελ D.E. Smith, History of Mathematics, Vol.. I, Dover Publicatios, Ic., New Yor, 95, σελ Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ D.E. Smith, ένθ. ανωτ., σελ Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ. 8. 7

18 Στο ίδιο βιβλίο, στην 5 η ενότητα 9, βρίσκουμε τον τύπο του όγκου κόλουρης πυραμίδας ( α+α ) b+ ( α +α) b h 6, () όπου h ύψος, α, α μήκη και b, b πλάτη των παραλλήλων βάσεων. Αυτόν τον τύπο χρησιμοποιεί ο Ch e Huo, ο οποίος έζησε κατά την περίοδο της Δυναστείας των Tag και Sug. (Γεννήθηκε το μ.χ. και πέθανε το 75 μ.χ.). Όταν πρόκειται όμως για προβλήματα εύρεσης πλήθους βαρελιών σε στοίβες, προσθέτει στον τύπο () την ποσότητα ( b b ) h, δηλαδή χρησιμοποιεί 6 τον τύπο ( α+α ) b+ ( α +α ) b h+ ( b b) h 6. () 6 Οπότε στο πρόβλημα Αν έχουμε μια στοίβα με βαρέλια στην κορυφή και στη βάση, σε επίπεδα, εφαρμόζοντας τον βελτιωμένο τύπο (), με α =, b =, α =, b = και h =, παίρνουμε το αποτέλεσμα 649 που είναι το γνωστό μας σήμερα άθροισμα: Ο Miami πιθανολογεί ότι αυτή ήταν η πρώτη προσπάθεια των Κινέζων να αθροίσουν μια πρόοδο. Μαζί με άλλα παλιά έργα, σώθηκε η Κλασική Αριθμητική του Chag Ch iu-chie, σε μια έκδοση της κυβέρνησης της Δυναστείας των Sug το 84 μ.χ. Το αρχικό κείμενο του Chag Ch iu-chie, πιθανολογείται ότι γράφτηκε κατά το δεύτερο ήμισυ του 6 ου μ.χ. αιώνα. Στα παρακάτω παραδείγματα, βλέπουμε μια αντιμετώπιση των αριθμητικών προόδων από τον Chag, διαφορετική από αυτή που συνηθιζόταν μέχρι τότε. Παράδειγμα Μια γυναίκα υφαίνει 5 πόδια την πρώτη ημέρα και η δουλειά της μειώνεται ημέρα με την ημέρα, μέχρι που υφαίνει πόδι την τελευταία ημέρα. Υποθέτοντας ότι υφαίνει επί 3 ημέρες, ζητείται το συνολικό ποσό σε πόδια του έργου που ύφανε 3. Ο Chag το αντιμετωπίζει με τον παρακάτω κανόνα Προσθέστε τα ποσά που υφάνθηκαν την πρώτη και την τελευταία ημέρα και πάρτε το μισό του αθροίσματος που προκύπτει. Κατόπιν, πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα επί τον αριθμό των ημερών που ύφαινε, οπότε παίρνετε την απάντηση. 9 Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ. 5. Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ. 6. Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ. 6. Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ. 4. 8

19 Το παραπάνω, είναι ακριβώς ο γνωστός μας τύπος του αθροίσματος των πρώτων όρων αριθμητικής προόδου α+α S =, με \{ }. (3) Παράδειγμα Μιας υφάντριας το υφαντό αυξάνει ημέρα με την ημέρα. Την πρώτη ημέρα υφαίνει 5 πόδια. Σε ένα μήνα έχει υφάνει 3 πόδια και 9 p ι. Ζητείται το ποσό της καθημερινής αύξησης της ύφανσης 4. Ο κανόνας που ακολουθεί ο Chag, με σημερινή ορολογία, μας δίνει τον γνωστό μας τύπο της διαφοράς αριθμητικής προόδου S α ω=, (4) ο οποίος είναι ισοδύναμος με τον (3). Ο Chag ασχολείται και με προβλήματα που σήμερα θα μπορούσαμε να τα εντάξουμε σε προβλήματα γεωμετρικών προόδων. Ένα άλογο που τρέχει επί 7 ημέρες, διανύει 7 μίλια. Αν κάθε ημέρα μειώνει στο μισό την ταχύτητά του, πόση απόσταση διανύει κάθε ημέρα 5 ; Ο τύπος που εφαρμόζει για να βρει την απόσταση, είναι 7ω, όπου ω είναι ο συντελεστής της κάθε ημέρας, με ω = 64, ω = 3 κ.λπ. Δηλαδή τύπο, ή κάτι σχετικό, που να μας δίνει άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου δεν συναντάμε, καθώς, όπως συμπεραίνει ο Miami, οι Κινέζοι την εποχή εκείνη δεν είχαν αυτή τη γνώση. Το 47 μ.χ. ο Ch i Chiu shao έγραψε το Su shu Chi chag, (Οι εννέα ενότητες των Μαθηματικών). Στις εννέα αυτές ενότητες περιλαμβάνονται 8 προβλήματα κατανεμημένα σε 8 βιβλία ή κεφάλαια. Στο βιβλίο 4 υπάρχει ένα πρόβλημα 6 αριθμητικής προόδου. Υπάρχει ένας σωρός από δοκάρια κέδρου συσσωρεμένα σε τριγωνική μορφή. Το πλήθος των δοκαριών και ο αριθμός των σειρών δεν είναι γνωστά. Είναι μόνο γνωστό ότι όταν αφαιρέσουμε τα δοκάρια μέχρι και τη μεσαία σειρά, η επόμενη σειρά περιέχει 9 δοκάρια. Ζητείται ο αρχικός αριθμός των δοκαριών και ο αριθμός αυτών που απέμειναν. 4 Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ. 7. 9

20 Ο Ch i, για να βρει το άθροισμα στο συγκεκριμένο πρόβλημα, χρησιμοποιεί, σε αμ ( μ ) σύγχρονη ορολογία, τον τύπο, όπου μ είναι το πλήθος των σειρών και α είναι το πλήθος των δοκαριών στη μεσαία σειρά. μ Στα βιβλία 5 και 6 7 βρίσκουμε κι άλλα προβλήματα που αναφέρονται σε αριθμητικές προόδους. Μας δίδεται ότι το άθροισμα των πρώτων φυσικών ( + ) αριθμών είναι, όπως επίσης ότι το άθροισμα των φυσικών από τον μέχρι ( + ) ( ) και τον είναι. Εδώ βρίσκουμε ακόμη και τον τύπο b b α+ ( α+ b) + ( α+ b ) ( α+ ( ) b) = + α, δηλαδή, τον γνωστό σε μας τύπο του αθροίσματος των πρώτων όρων αριθμητικής προόδου. Το 6 μ.χ. ο Yag Hui 8 (38-98) στο έργο του Hsiag-chich Chi-chag Sua-fa, (Η Ανάλυση των Αριθμητικών Νόμων σε Εννέα Ενότητες) ένα έργο όπου εξηγεί μερικά τμήματα από το αρχικό Η Αριθμητική σε Εννέα Ενότητες 9 - περιγράφει πρόσθεση όρων αριθμητικής προόδου. Για να απαντήσει στο πρόβλημα που του ζητά να υπολογίσει μια απόσταση που διάνυσε ένα άλογο σε 5 ημέρες, όταν την α ημέρα καλύπτει 93 κινέζικα μίλια και κάθε ημέρα αυξάνει την απόσταση που καλύπτει κατά 5 μίλια, πολλαπλασιάζει το σύνολο των ημερών με το ημιάθροισμα των αποστάσεων της πρώτης και της τελευταίας ημέρας. Την απόσταση της τελευταίας ημέρας τη βρίσκει με τον γνωστό σε μας τύπο α 5 =α + 4ω. Για να το κάνει πιο κατανοητό, παραθέτει το παρακάτω διάγραμμα. Σκοπός του είναι στο υπάρχον σχήμα να προσθέσει το ίδιο, έτσι ώστε, στο α να προστεθεί το α, στο α το α κ.λπ., οπότε το εμβαδόν του ορθογωνίου που θα προκύψει θα είναι το διπλάσιο του ζητούμενου εμβαδού. Διάγραμμα σελ. 85, Miami. Ακόμη, ο Yag Hui στο έργο του αυτό, μας δίνει το σημερινό Τρίγωνο του Pascal μέχρι την 6 η σειρά και μας πληροφορεί ότι η γνώση του αυτή προέρχεται από τον Jia 7 Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ D.E. Smith, ένθ. ανωτ., σελ. 7.

21 Xia ή Chia Hsie (~ μ.χ. έως ~ 7 μ.χ.), ο οποίος γνώριζε τους συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος έως και για = 6 και πώς αυτοί προέκυπταν στο τρίγωνο που ονομάστηκε αργότερα Τρίγωνο του Pascal. Στο Sua-fa T ug-pie Pe-mo (Το άλφα και το ωμέγα των παραλλαγών σε πολλαπλασιασμό και διαίρεση), του ίδιου συγγραφέα του 74 μ.χ. 3, βρίσκουμε τους τύπους των αθροισμάτων που αποκαλεί τριγωνικά και τετράγωνα, αντίστοιχα, ( + )( + ) + ( + ) + ( ) ( ) = 6 και = + ( + ), 3 χωρίς περεταίρω εξηγήσεις. Η αναφορά μας στη Χρυσή Εποχή των κινέζικων μαθηματικών θα κλείσει με το Szuyue Yü-chie (Πολύτιμο Καθρέπτη των Τεσσάρων Στοιχείων), σπουδαίο έργο του Chu Shih- chieh, του 33 μ.χ. 3. Δύο από τα αθροίσματα που συναντάμε είναι τα παρακάτω = +, 3! = ! 5! Ο Chu Shih-chieh χρησιμοποίησε τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών προκειμένου να αντιμετωπίσει τα προβλήματα των αθροισμάτων. Από τον 7 ο αιώνα όμως έχουμε την εμφάνιση κάποιων στοιχείων της μεθόδου αυτής 3. Στο εξώφυλλο του παραπάνω βιβλίου, που παραθέτουμε παρακάτω, βλέπουμε το εσφαλμένα επονομαζόμενο Τρίγωνο του Pascal με τίτλο Η Παλαιά Μέθοδος του Πίνακα των Επτά Πολλαπλασιαζομένων Τετραγώνων, μέχρι την 8 η δύναμη Y. Miami, ένθ. ανωτ., σελ C. Boyer - U. Merzbach, ένθ. ανωτ., σελ C. Boyer - U. Merzbach, ένθ. ανωτ., σελ. 3.

22 Τρίγωνο του Pascal (C. Boyer - U. Merzbach, σελ. 3)..4. ΙΝΔΙΑ Ένας από τους γνωστότερους Ινδούς μαθηματικούς είναι ο Aryabhata 34, ο οποίος έζησε στα τέλη του 5 ου και στις αρχές του 6 ου μ.χ. αιώνα, ενώ από δικό του κείμενο φαίνεται ότι γεννήθηκε το 475 ή 476 μ.χ. και έζησε στην Kusumapura, που σήμερα ονομάζεται Patua. Το έργο του Aryabhatiyam, για αιώνες αδύνατο να βρεθεί, έφθασε στη Δύση το 874, χάρη στον Ολλανδό H.Ker ο οποίος το βρήκε στην Καλκούτα σε δύο αντίγραφα του 8 και του 863. Στο κείμενο αυτό, εκτός των άλλων, περιλαμβάνονται κανόνες σχετικοί με τις αριθμητικές προόδους. Αφορούν στο άθροισμα των όρων αριθμητικής προόδου και στον αριθμό των όρων ακολουθίας με δεδομένο τον πρώτο όρο, τη διαφορά και το άθροισμα των όρων της. Οι κανόνες, γνωστοί από παλιά, το πιθανότερο προέρχονται από το έργο του Διόφαντου Περί πολυγώνων αριθμών. Ο δεύτερος κανόνας είναι ο παρακάτω 35 Πολλαπλασίασε το άθροισμα της προόδου επί το οκταπλάσιο της κοινής διαφοράς, πρόσθεσε το τετράγωνο της διαφοράς του διπλάσιου του πρώτου όρου και της κοινής διαφοράς, πάρε την τετραγωνική ρίζα αυτού, αφαίρεσε το διπλάσιο του πρώτου όρου, διαίρεσε με την κοινή διαφορά, πρόσθεσε, διαίρεσε δια. Το αποτέλεσμα θα είναι ο αριθμός των όρων. Ο κανόνας αυτός δεν συνοδεύεται από απόδειξη ή έστω από κάποια εξήγηση, πράγμα που ισχύει και αλλού στο συγκεκριμένο έργο. Ο Boyer πιστεύει ότι κατέληξε εκεί λύνοντας μια εξίσωση β βαθμού. 34 G. Loria, Ιστορία των Μαθηματικών, τόμος Α, Ε.Μ.Ε., 97, σελ C. Boyer - U. Merzbach, ένθ. ανωτ., σελ. 37.

23 Ακολουθούν πολύπλοκα προβλήματα ανατοκισμού, δηλαδή προβλήματα γεωμετρικών προόδων. Εκτός του Aryabhata, άλλοι γνωστοί Ινδοί μαθηματικοί ήταν ο Brahmagupta που γεννήθηκε το 598 μ.χ. και ο Bhascara (4 - ~85 μ.χ.) κορυφαίος μαθηματικός του ου αιώνα. Εκτός του ότι γνώριζαν σχετικά με αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους, μπορούσαν ακόμη να υπολογίσουν το άθροισμα των τετραγώνων και των κύβων διαδοχικών ακεραίων πεπερασμένου πλήθους..5. ΑΡΑΒΕΣ Σπουδαίος Άραβας που ασχολήθηκε με μεγάλη επιτυχία με τις εφαρμογές των μαθηματικών στη φυσική, ήταν ο Al Hasa ib Al Hasa ib Al Haitam Abu Ali 36, γνωστός ως Alhaze, ο οποίος γεννήθηκε το 965 μ.χ. στη Βασόρα και πέθανε στο Κάιρο το 39 μ.χ. Ο Alhaze λειτούργησε στο πνεύμα του Αρχιμήδη (~78- π.χ.), (βλ..6.4). Σ ένα σημαντικό έργο του, σχετικό με τη γεωμετρική οπτική, προκειμένου να αποδείξει ότι ο όγκος του στερεού που προκύπτει από την 8 περιστροφή παραβολικού τμήματος γύρω από τη βάση του, ισούται με τα 5 του όγκου του περιγεγραμμένου κυλίνδρου, του χρειάστηκε ο υπολογισμός του αθροίσματος S = , για = 3,4. Ο Alhaze κατάφερε να υπολογίσει το παραπάνω άθροισμα, όχι μόνο για =,,3 που είχε ήδη υπολογισθεί, αλλά και για = 4. Ο υπολογισμός του στηρίχθηκε στο παρακάτω γεωμετρικό σχήμα στη γενικευμένη του μορφή. ΣΧΗΜΑ 37 Από το παραπάνω σχήμα προκύπτει ο αναγωγικός τύπος 36 G. Loria, ένθ. ανωτ., τόμος Α, σελ C.H. Edwards, Jr., The Historical Developmet of the Calculus, Spriger-Verlag, New Yor, Secod Pritig, 98, σελ

24 + m + i = i + i i= i= m= i=, με. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι για μεγάλα δεν είναι αλγοριθμική. Κάθε φορά πρέπει να βρεθεί το προηγούμενο άθροισμα για να υπολογισθεί το επόμενο. Την ίδια εποχή με τον Alhaze, έζησε και ο Muhammed ib Ahmed Abu l Riba Al Birui 38, γνωστός ως Al Birui, ο οποίος γεννήθηκε το 973 μ.χ. στο Khowarezm και πέθανε στο Αφγανιστάν το 48 μ.χ. Το περιεχόμενο του έργου του έχει ποικιλία. Περιλαμβάνει φιλοσοφικά και ιστορικά κείμενα και ταξιδιωτικές περιγραφές. Σε κάποια τέτοια ταξιδιωτική περιγραφή βρίσκουμε τον υπολογισμό του αθροίσματος των 64 πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το και λόγο το. Αυτό μας παραπέμπει στο γνωστό πρόβλημα του πόσοι κόκκοι σιτάρι χωρούν στα τετραγωνάκια μιας σκακιέρας, ξεκινώντας με κόκκο στο πρώτο τετραγωνάκι και κάθε φορά βάζοντας στο επόμενο τετραγωνάκι το διπλάσιο του προηγούμενου. Ικανότατος μαθηματικός ήταν και ο Muhammed ib Al Hasa abu Bor Al Karchi 39, γνωστός ως Alarchi. Ασχολήθηκε και αυτός, όπως και ο Alhaze με το παραπάνω άθροισμα S για =,,3,4 και μάλιστα η μέθοδος που χρησιμοποίησε για = 4, αν πράγματι είναι δική του, τον κατατάσσει μεταξύ των σημαντικών μαθητών των διαπρεπέστερων Ελλήνων μαθηματικών 4. Πέθανε το 9 μ.χ. Κλείνουμε τους Άραβες με τον Ali ib Muhammed ib Muhammed ib Ali al Basti al Qalasadi 4 ο οποίος γεννήθηκε το 43 και πέθανε το 494 ή 495. Έγραψε ένα βιβλίο αριθμητικής το οποίο περιλαμβανόταν σε ένα μεγαλύτερο έργο του με τίτλο Ανύψωση της εσθήτος της επιστήμης του λογισμού. Στον επίλογο του βιβλίου αυτού υπάρχουν εφαρμογές διάφορων τύπων όπως του παραπάνω αθροίσματος S για =,,3, όπως επίσης το άθροισμα μόνο αρτίων ή μόνο περιττών..6. ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ.6.. Στο έργο Περί μεσοτήτων του Ερατοσθένη του Κυρηναίου (γεννήθηκε το 75 ή 76 π.χ.), το οποίο του αποδίδει ο Πάππος, βρίσκουμε την παρακάτω δική του πρόταση, όπως αναφέρει ο Loria, 4 αναφερόμενη σε γεωμετρική πρόοδο. Αν α, β, γ είναι τρεις αριθμοί που αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, τότε και οι αριθμοί α, α +β, α + β+γ αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Παραθέτουμε το πρωτότυπο κείμενο, όπου ορίζει επίσης τον μέσο αριθμητικό, τον μέσο γεωμετρικό και τον μέσο αρμονικό. 38 G. Loria, ένθ. ανωτ., τόμος Α, σελ G. Loria, ένθ. ανωτ., τόμος Α, σελ G. Loria, ένθ. ανωτ., τόμος Α, σελ G. Loria, ένθ. ανωτ., τόμος Α, σελ G. Loria, ένθ. ανωτ., τόμος Α, σελ

25 ia. TÕ d deútero tî problhm tw à tòde. 'E ¹miul J t j tre j mesòthtaj labe lloj tij œfase, aˆ ¹miÚlio tõ ABG qšmeoj, oá štro tõ E, aˆ tucõ shme o pˆ táj AG labë tõ D, aˆ p aùtoà prõj Ñrq j gagë tí EG t¾ DB, aˆ pizeúxaj t¾ EB, aˆ aùtí qeto gagë põ toà D t¾ DZ, t j tre j mesòthtaj œlege plîj tù ¹miul J teqe sqai, t¾ m EG mšsh riqmhti», t¾ d DB mšsh gewmetri», t¾ d BZ rmoi». Oti m oâ ¹ BD mšsh stˆ tî AD DG tí gewmetrií alog v, ¹ d EG tî AD DG tí riqmhtií mesòthti, faerò. œsti g r æj m ¹ AD prõj DB, ¹ DB prõj DG, æj d ¹ AD prõj aut», oûtwj ¹ tî AD AE Øperoc», toutšsti ¹ tî AD EG, prõj t¾ tî EG GD. pîj d aˆ ¹ ZB mšsh stˆ táj rmoiáj mesòthtoj, À po w eùqeiî, où epe, mòo d Óti tr th logò sti tî EB BD, goî Óti põ tî EB BD BZ tí gewmetrií alog v oùsî pl ssetai ¹ rmoi¾ mesòthj. deicq»setai g r Øf ¹mî Ûstero Óti dúo aƒ EB aˆ tre j aƒ DB aˆ m a ¹ BZ æj m a suteqe sai poioàsi t¾ me zoa ra táj rmoiáj mesòthtoj, dúo d aƒ BD aˆ m a ¹ BZ t¾ mšsh, m a d ¹ BD aˆ m a ¹ BZ t¾ lac sth. PrÒtero d dialhptšo perˆ tî triî mesot»tw [aˆ met taàta perˆ tî ¹miul J], eta perˆ tî tieimšw aùta j llw triî at toýj palaioúj, aˆ Ûstero perˆ tî par to j ewtšroij tess rw oloúqwj ta j gèmaij aùtî, aˆ æj duatò sti sth tî dša mesot»tw di táj gewmetriáj alog aj eør sei, a aˆ tõ proe meo œlegco di pleiòw susthsèmeqa. Perˆ tî triî mesot»tw. ib. Diafšrei to u mesòthj alog aj tùde Óti e m t sti alog a, toàto aˆ mesòthj, où m¾ aˆ pali. mesòthtej g r e si tre j, ï ¹ m riqmhti», ¹ d gewmetri», ¹ d rmoi». 'Ariqmhti¾ m oâ lšgetai mesòthj, Óta triî Ôtw Órw Ð mšsoj tù sj Õj m tî rw ØperšcV, Øperšchtai d ØpÕ toà loipoà (æj œcei Ð $ prõj tõ q aˆ tõ g riqmò), À Óta Ï æj Ð prîtoj Óroj prõj aøtõ, ¹ prèth Øperoc¾ prõj t¾ deutšra. [prîta d oúei de t Øperšcota.] Gewmetri¾ d lšgetai mesòthj, toutšsti alog a ur wj, Óta Ï æj Ð mšsoj Óroj prõj a tî rw, oûtwj Ð loipõj prõj tõ mšso (æj œcei Ð $ riqmõj pròj te tõ ib aˆ tõ g), aˆ llwj Óta Ï æj Ð prîtoj Óroj prõj tõ deútero, ¹ prèth Øperoc¾ prõj t¾ deutšra. `Armoi¾ dš sti mesòthj, Óta Ð mšsoj Óroj tù aùtù mšrei ØperšcV m Õj tî rw, Øperšchtai d ØpÕ toà loipoà (æj œcei Ð g riqmõj pròj te tõ b aˆ tõ $), À Óta Ï æj Ð prîtoj Óroj prõj tõ tr to, ¹ prèth Øperoc¾ prõj t¾ deutšra. 5

26 ToÚtw Øpoeimšw eør»some Ðmoà t j tre j mesòthtaj lac staij eùqe aij pšte tõ riqmõ prografštw tîde. Estw d¾ prîto doqeisî tî AB BG mšsh eøre at t¾ gewmetri¾ alog a. Hcqw prõj Ñrq j ¹ GD, aˆ d ca tetm»sqw ¹ AB tù E, aˆ perˆ štro tõ E di toà B perifšreia grafe sa temštw t¾ prõj Ñrq j at tõ D, aˆ tí t B D pizeuguoúsv sh fvr»sqw ¹ BZ, aˆ g etai ¹ zhtoumšh mšsh ¹ BZ. pizeucqe sa g r ¹ DA Ñrq¾ perišcei gw a met táj BD di tõ sh eai atšra tî BE EA tí pizeuguoúsv t D E. œsti d aˆ ¹ prõj tù G Ñrq». aˆ sogèio ra tõ ABD tr gwo tù BGD, aˆ di toàto aƒ perˆ t¾ oi¾ aùtî gw a t¾ prõj tù B pleuraˆ logò e si æj ra ¹ AB prõj DB, ¹ BD prõj BG, aˆ mšsh tî AB BG ¹ BD sh tí BZ..6.. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ Ο Πυθαγόρας που γεννήθηκε το 586 π.χ. στη Σάμο, φθάνει στον Κρότωνα περίπου το 54 π.χ. και ιδρύει το τάγμα των Πυθαγορείων. Οι Πυθαγόρειοι ενδιαφέρθηκαν, εκτός των άλλων, για τους τρίγωνους αριθμούς, τους αριθμούς δηλαδή που σήμερα δίνονται από τον τύπο ( + ) = = N. Επίσης, για τους τετράγωνους αριθμούς, τους αριθμούς δηλαδή που σήμερα δίνονται από τον τύπο ( ) = = N. Ακόμη, για τους επιμήκεις αριθμούς 43, αριθμούς της μορφής = ( + ) = N, δηλαδή το διπλάσιο κάποιου τρίγωνου αριθμού. Οι πεντάγωνοι αριθμοί, αριθμοί της μορφής ( 3 ) ( 3 ) = = N, όπως και οι εξάγωνοι αριθμοί, αριθμοί της μορφής ( 4 3) = = N, είναι παραδείγματα των πολύγωνων αριθμών που γενικεύονται στο έργο του Υψικλή και παριστάνονται με τον ίδιο τρόπο. Επέκταση της διαδικασίας αυτής στις τρεις διαστάσεις μας δίνει τους πολύεδρους αριθμούς. Ένα σοβαρό σφάλμα σε σχέση με τους πολύγωνους αριθμούς, συναντάμε στον Αρκεριανό Κώδικα, (Codice Arceriao), όπου, προκειμένου να υπολογισθεί το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου δοσμένης πλευράς, γίνεται συσχέτιση των πολύγωνων αριθμών, οι οποίοι, όπως είπαμε, ήταν ήδη γνωστοί από την εποχή του Υψικλή. Εδώ πρέπει να πούμε ότι το περιεχόμενο του εν λόγω Κώδικα τοποθετείται χρονικά στο 45 μ.χ. Εκτός όμως από το παραπάνω σφάλμα, σχετικά με το 43 C. Boyer - U. Merzbach, ένθ. ανωτ, σελ

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 4 Μαρτίου 2017

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 4 Μαρτίου 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : ifo@hms.gr, www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 29.02.12 Χ. Χαραλάμπους Ο πάπυρος του Rhind---Ahmes 81 από αυτά τα προβλήματα έχουν λύσεις που αναφέρονται σε κλασματικές ποσότητες Πρόβλημα 3, π. του Rhind: «να διαιρέσεις 6 φραντζόλες

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια Οι ρίζες του Πυθαγορείου Θεωρήματος βρίσκονται στη Γεωμετρία. Το θεώρημα διαδραματίζει κεντρικό ρόλο σε πολυάριθμους επιστημονικούς κλάδους,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 6.03.14 Χ. Χαραλάμπους 1(και 60) 8 10 30 11 79883= (22*60 2 )+(11*60)+23 70 Δεν έχουν βρεθεί πίνακες για πρόσθεση. Έχουν βρεθεί πολλοί πίνακες για τον πολλαπλασιασμό: Έτσι ένας πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 3663-0367784 - Fax: 0 3640 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79

Διαβάστε περισσότερα

B τάξη Γυμνασίου : : και 4 :

B τάξη Γυμνασίου : : και 4 : Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 Tel. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 B τάξη Γυμνασίου Να βρείτε τους αριθμούς 0 4 1 1 77 16 60 19 7 : 000 : και 4 : 4 9

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 ΣΑΒΒΑΤΟ, 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 013 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 66-067784 - Fax: 0 640 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΑΒΒΑΤΟ,1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 016 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ 1 Επίλυση προβλημάτων με αριθμητικά και αλγεβρικά εργαλεία Από τους Βαβυλώνιους έως τον Euler Παρουσίαση : Ασημάκης Παναγιώτης Αθήνα, Ιούνιος 2012 Ορφανάκης Σπύρος Αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα