υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας"

Transcript

1 υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας Το δυϊκό πρόβληµα Χρησιµότητα, εφαρµογές Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγµατα 1 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί ένα άλλο, το δυϊκό πρόβληµα, dual. To δυϊκό προκύπτει µε απλούς µετασχηµατισµούς από το πρωτεύον και αποτελεί εναλλακτική λύση του ίδιου προβλήµατος (δίνει τα ίδια αποτελέσµατα) Η δυϊκή θεωρία είναι δυνατό να δώσει µια δεύτερη µατιά στο αρχικό πρόβληµα καινα φανερώσει χαρακτηριστικά του όχι άµεσα ορατά. 2 1

2 Πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα Πρωτεύων υϊκό Μεταβλητή απόφασης: x Μεταβλητή απόφασης: y max cx µε Ax b n x 0 m min yb µε ya c m y 0 n 3 Πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα Παράδειγµα Πρωτεύων υϊκό Max z = 3x 1 +5x 2 µε x 1 4 2x x 1 +2x 2 18 x 1,x 2 0 Min w = 4y 1 +12y y 3 Με y 1 + 3y 3 3 2y 2 +2y 3 5 y 1, y 2, y

3 Μετασχηµατισµός του πρωτεύοντος σε δυϊκό Το δυϊκό έχει τόσες µεταβλητές (δυϊκές) όσοι είναι οι περιορισµοί του πρωτεύοντος Το δυϊκό έχει τόσους περιορισµούςόσεςείναιοι µεταβλητές απόφασης του πρωτεύοντος Οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης του δυϊκού είναι τα δεξιά µέλη των περιορισµών του πρωτεύοντος Τα δεξιά µέλη των περιορισµώντουδυϊκούείναιοι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης του πρωτεύοντος Οταν το πρωτεύον είναι πρόβληµα µεγιστοποίησης το δυϊκό είναι ελαχιστοποίησης και αντιστρόφως 5 εδοµένα προβλήµατος παραγωγής Προϊόν Α Προϊόν Β ιαθεσιµότα ΓΑΛΑ (διαθέσιµο) 1lit γάλα 1lit 550 lit ΕΡΓΑΣΙΑ (λεπτά) ΥΝΑΜΙΚΟΤΗΤΑ ψύξη ΜΕΓΙΣΤΗ ΖΗΤΗΣΗ 400 τεµάχια Απεριόριστη ΚΕΡ ΟΣ/ ΤΕΜΑΧΙΟ

4 Παράδειγµα Max z=150x1+200x2 Με περιορισµούς x1+x2 550 x1+3x x1+5x x1 400 x1, x2 0 Min w=550y1+1000y2+2000y3+400y4 Με περιορισµούς y1+y2+2y3+y4 150 y1+3y2+5y3 200 y1, y2, y3, y4 0 7 Σχόλια Όταν υπάρχει βέλτιστη λύση για το πρωτεύον υπάρχει και για το δυϊκό ητιµή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι η ίδια ( υϊκό Θεώρηµα) Για κάθε πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα, οι σχέσεις µεταξύτουςπρέπειναείναισυµµετρικές. Η µέθοδος Simplex στη τελευταία επανάληψη εντοπίζει ταυτόχρονα τη βέλτιστη λύση του δυϊκού που είναι οι σκιώδεις τιµές Zj 8 4

5 Σχέση µεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού προβλήµατος Ασθενής (Weak) δυϊκότητα Εάν x είναι µια εφικτή λύση στο πρωτεύων και y είναι µια εφικτή λύση στο δυϊκό τότε cx yb Ισχυρή (Strong) δυϊκότητα Εάν x* είναι μια βέλτιστη λύση στο πρωτεύων και y* είναι μια βέλτιστη λύση στο δυϊκό τότε cx* = y*b 9 υϊκό θεώρηµα Απότοθεώρηµα προκύπτουνµόνο οι παρακάτω δυνατές σχέσεις µεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού προβλήµατος: Εάν κάποιο πρόβληµα έχει βέλτιστη λύση, το αυτό συµβαίνει και µε τοδυϊκό. Εάν κάποια µεταβλητή έχει εφικτές λύσεις αλλά µια µη περιορισµένη αντικειµενική συνάρτηση, τότε το άλλο πρόβληµα δεν έχει εφικτές λύσεις. Εάν κάποια από τις µεταβλητές δεν έχει εφικτές λύσεις, τότε το άλλο πρόβληµα είτε δεν έχει εφικτές λύσεις είτε µη περιορισµένη αντικειµενική συνάρτηση. 10 5

6 Συµπληρωµατικότητα περιορισµών Σχέσεις µεταβλητών µεταξύ πρωτεύοντος και δυϊκού Πρωτεύων (αρχική µεταβλητή) x j (ελλειµµατική) x s n+i υϊκό y s m+j y i (πλεονάζουσα) (αρχική µεταβλητή) ιδιότητα συµπληρωµατικότητας : Εάν µια µεταβλητή είναι βασική στο πρωτεύων, η αντίστοιχή της στο δυϊκό είναι µη-βασική. Πρωτεύων (m µεταβλητές) βασική (n µεταβλητές) µη-βασική υϊκό µη-βασική (m µεταβλητές) βασική (n µεταβλητές) 11 Χρησιµότητα δυϊκού προβλήµατος x1, x2 : Ποσότητες που θα παραχθούν από τα προϊόντα Α, Β x1 + x2 550 Περιορισµός για τις πρώτες ύλες x1 + 3 x Περιορισµός για την εργασία 2x1 + 5x Περιορισµός για την επεξεργασία x1 400 Περιορισµός για την ζήτηση z = αναµενόµενο εβδοµαδιαίο κέρδος b1,b2,b3,b4 = (550,1000,2000,400) : διαθέσιµη ποσότητα του αντίστοιχου πόρου (πρώτες ύλες, εργασία, επεξεργασία κλπ) b1y1, b2y2 : η συνεισφορά του κάθε πόρου στη διαµόρφωση του κέρδους (=z) y1, y2,.. : ησυνεισφοράµιας µονάδας πόρου, του Α στο µέγιστο κέρδος z 12 6

7 Χρησιµότητα δυϊκού προβλήµατος - ΙΙ y1=125, y2=25, y3=y4=0 και z=93750 Τα 550 λίτρα διαθέσιµου γάλακτος αξίζουν για την επιχείρηση 550*y1=550*125= χµ. Τα 1000 λεπτά εργασίας αξίζουν 1000*25= χµ. y1+y2+2y3+y4>=150 : Ο συνδυασµός µιας µονάδας πρώτων υλών, ενός λεπτού εργασίας, δύο µονάδων επεξεργασίας και µίας µονάδα ζήτησης δίνουν κέρδος τουλάχιστον 150 χµ. Oµοίως για τον δεύτερο περιορισµό 13 H σηµασία του δυϊκού προβλήµατος Σε ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης η δυϊκή τιµή εκφράζει τη οριακή αξία (marginal value) µιας επιπλέον µονάδας ενός πόρου (υλικού, χρόνου απασχόλησης, χρόνου επεξεργασίας κλπ). Υποδεικνύει πόσο θα βελτιωθεί το κέρδος εάν αυξηθεί η ποσότητα του πόρου κατά µια µονάδα Η βελτίωση που προκύπτει στη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης z όταν ένας πόρος (δεξί µέλος στους περιορισµούς) αυξηθεί λέγεται σκιώδης τιµή 14 7

8 Ανάλυση ευαισθησίας Στα πραγµατικά προβλήµατα πολλές από τις παραµέτρους αποτελούν απλώς εκτιµήσεις οι οποίες µεταβάλλονται από το περιβάλλον Η ζήτηση ενός προϊόντος για τον επόµενο χρόνο δεν µπορεί να εκτιµηθεί µε απολύτως ακριβείς τιµές λόγω του ανταγωνισµού Το κόστος εργασίας δεν παραµένει σταθερό Η απόδοση του εξοπλισµού δεν παραµένει σταθερή λόγω βλαβών Το προσωπικό συνταξιοδοτείται ή προσλαµβάνεται νέο Θα πρέπει να γνωρίζουµε ποιες παράµετροι και σε ποια µεταβολή τους µπορεί να ανατραπεί η βέλτιστη λύση 15 Ανάλυση ευαισθησίας - ΙΙ Ανάλυση ευαισθησίας (sensitivity analysis, postoptimality analysis) µελετά τις συνέπειες στη λύση ενός προβλήµατος ΓΠ από αλλαγές των παραµέτρων του µοντέλου Απαντά στο ερώτηµα : «Τι θα συµβεί εάν υπάρξει µια µεταβολή σε κάποιο στοιχείο του προβλήµατος» - what if analysis Πωςθαεπηρεαστείτοβέλτιστοσχέδιοπαραγωγήςεάν µειωθεί η τιµή ενός προϊόντος σε ποια όρια µεταβολής της τιµής πώλησης δεν µεταβάλλεται το σχέδιο παραγωγής Τι θα συµβεί εάν η διαθέσιµη ποσότητα µιας πρώτης ύλης µειωθεί Πως θα επηρεαστεί η κατανοµή του προσωπικού σε µια εργασία όταν πάψουν να είναι διαθέσιµοι µερικοί υπάλληλοι 16 8

9 Ποιες παράµετροι µπορούν να αλλάξουν Οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης Οι τιµές ενός πόρου Παραµετρική ανάλυση 17 Αντικειµενικοί συντελεστές (c j ) Η ανάλυση ευαισθησίας υπολογίζει για τον κάθε αντικειµενικόσυντελεστήέναδιάστηµα τιµών µέσα στο οποίο µπορεί να µεταβάλλεται η τιµή του (όλες οι άλλες παράµετροι του µοντέλου παραµένουν σταθεροί) χωρίς να αλλάζει η άριστη λύση. Το διάστηµα αυτόονοµάζεται εύρος αριστότητας του εν λόγω αντικειµενικού συντελεστή. Αλλαγές όµως στην τιµή τουc j επιφέρουν αλλαγές και στην κλίση της ευθείας z. Οι αλλαγές αυτές προκαλούν µια περιστροφή της ευθείας z γύρωαπότοαντίστοιχοσηµείο. 18 9

10 Παράδειγµα Ο συντελεστής του x1 (=150) είναι τιµή του προϊόντος Α. Εάν ορισθεί ως µεταβλητή, c1 τότε η εξίσωση της αντικειµενικής συνάρτησης γίνεται : z=c1x1+200x2 x2=-c1/200 x1 + 1/200 z και ο συντελεστής c1/200 εκφράζει τη κλίση της ευθείας. Τα όρια της µεταβολής της ευθείας της αντικειµενικής συνάρτησης ώστε να µην µεταβάλλεται η βέλτιστη λύση ορίζονται από τις ευθείες που φαίνονται στο σχήµα 19 Παράδειγµα - ΙΙ Απότηγραφικήπαράστασηκαιαπότιςκλίσεις των ευθειών x2 = x x2 = -1/3 x /3 που ορίζουν το διάστηµα στο οποίο κινείται η αντικειµενική συνάρτηση προκύπτει ότι η βέλτιστη λύση παραµένει όταν η κλίση περιορίζεται στο διάστηµα [-1 1/3], -1 -c1/200-1/3, 200/3 c1 200 Εάν αντί του c1=150, υπολογισθεί c1=170 τότε το παραµένει βέλτιστη λύση αλλά το z αυξάνεται από z=93,750 σε z=100,

11 Έλεγχος ευαισθησίας της τιµής ενός πόρου (b i ) Εξετάζεται πως επηρεάζεται η λύση του προβλήµατος όταν µεταβάλλονται οι σταθερές στο δεξί µέλος των περιορισµών (εκφράζουν τους διαθέσιµους πόρους) Ανάλυση ευαισθησίας για ποιες τιµές η βέλτιστη λύση παραµένει αµετάβλητη Mας ενδιαφέρει να βρούµε εκείνητηµεταβολή του b i, η οποία προκαλεί παράλληλη µετατόπιση της ευθείας που προσδιορίζει τον πόρο σε τρόπο ώστε το σηµείο τοµής της να βρίσκεται στην εφικτή περιοχή του προβλήµατος 21 Παράδειγµα Η µεταβολή της τιµής 550 στον δεύτερο περιορισµό προκαλεί παράλληλη µετατόπιση της ευθείας x1+x2=550 Τότε το σηµείο που αποτελεί τη βέλτιστη λύση µεταβάλλεται µέσα στο διάστηµα ΕΖ. Πέραν του Ζ ο περιορισµός γίνεται πλεονάζον. Αφού Ε(0,1000/3) και Ζ(400,200) τα ακραία σηµεία της µεταβολής τότε /3=b1 και =b1 άρα 1000/3 =<b1<=600 Η µεταβολή του πόρου του δεύτερου περιορισµού στο διάστηµα [1000/3, 600] εξασφαλίζει τη διατήρηση του ως σηµείου βέλτιστης λύσης Συνεπώς, καθώς η τιµή τουb1 µεταβάλλεται η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης στην άριστη λύση µεταβάλλεται γραµµικά

12 Παραµετρική ανάλυση Ταυτόχρονες αλλαγές των παραµέτρων Προσθέτοντας έναν περιορισµό Ηάριστηλύσηπαραµένει η ίδια µόνο στην περίπτωση που τον ικανοποιεί. Αφαιρώντας έναν περιορισµό Ηάριστηλύσηπαραµένει η ίδια αν από το πρόβληµα αφαιρέσουµε κάποιον χαλαρό περιορισµό. 23 Το πρόβληµα µεταφοράς Αφορά την εύρεση βέλτιστου σχέδιου µεταφοράς (optimal transportation plan) από πηγές σε προορισµούς Η κάθε πηγή παρέχει αγαθά και έχει συγκεκριµένη δυναµικότητα (προσφορά). Ο κάθε προορισµός µπορεί να απορροφήσει συγκεκριµένη ποσότητα αγαθών (ζήτηση) 24 12

13 Το πρόβληµα µεταφοράς - ΙΙ ίνονται : πίνακας κόστους (χρήµα, χρόνος) µεταφοράς από διαφορετικές πηγές σε διαφορετικούς προορισµούς Συνολική προσφορά δυναµικότητα Συνολική ζήτηση Ζητείται : το βέλτιστο σχέδιο µεταφοράς (optimal transportation plan) Βέλτιστο : χρόνος, απόσταση ελαχιστοποίηση, κέρδος µεγιστοποίηση Σχέδιο µεταφοράς : αριθµός προϊόντων ανά προορισµό, 25 Παράδειγµα Μιαεταιρείαδιαθέτει3 εργοστάσια και διανέµει προϊόντα συσκευασµένα σε κιβώτια σε 4 πόλεις µε δικάτηςοχήµατα. Το κόστος ανα κιβώτιο διαφέρει ανάλογα µε την απόσταση, το χρόνο κλπ. Το κάθε εργοστάσιο µπορεί να αποστέλλει συγκεκριµένη ποσότητα κάθε εβδοµάδα (προσφορά) και η κάθε πόλη µπορεί να απορροφά συγκεκριµένο αριθµό κιβωτίων (ζήτηση). Ζητείται να προσδιοριστεί ο αριθµός κιβωτίων που πρέπει να αποστέλλει το εργοστάσιο i στη πόλη j ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος 26 13

14 ιατύπωση Υποθέτουµε α ι ι=1,2,,m είναι η δυνατότητα παραγωγής από την θέση ι β j ι=1,2,,n είναι οι ανάγκες καταναλώσεως της θέσης j c ij το κόστος µεταφοράς της µονάδας του προϊόντος από την θέση i στη j x ij η ποσότητα που θα µεταφερθεί από την θέση i στη j f ( x) = m i = 1 n j = 1 x ij x x ij ij 0 m i = 1 j = 1 = b a j i n c ij x ij j = 1,2,.. n i = 1,2,.. n 27 Η µέθοδος µεταφοράς Τα προβλήµατα µεταφοράς έχουν µεγάλο αριθµό µεταβλητών και περιορισµών οπότε µη αποτελεσµατική επίλυση απο τη Simplex Mη αποτελεσµατική = µεγαλύτερος υπολογιστικός χρόνος, περισσότερος χώρος αποθήκευσης ενδιάµεσων αποτελεσµάτων, ανάγκη για παραγωγή ακέραιων λύσεων Η µέθοδος µεταφοράς έχει αναπτυχθεί αποκλειστικά για προβλήµατα του είδους αυτού και υπερτερεί σηµαντικά της Simplex Προβλέπει επαναληπτική διαδικασία που ξεκινά από µια αρχική βασική εφικτή λύση, βρίσκει καλύτερες λύσεις έωςότουβρείτηνάριστη Παραλλαγές : µέθοδος βορειοδυτικής γωνίας, µέθοδος Vogel 28 14

15 Ισορροπηµένο πρόβληµα µεταφοράς Όταν η συνολική προσφορά είναι ίση µε τησυνολική ζήτηση, το πρόβληµα ονοµάζεται ισορροπηµένο m i = 1 Σε µη ισορροπηµένα προβλήµατα, προσθέτουµε έναν εικονικό προορισµό (dummy destination) προς το οποίο διοχετεύονται τα προϊόντα που πλεονάζουν. Η ζήτηση του εικονικού προορισµού είναι ίση µε τη πλεονάζουσα ποσότητα Το κόστος προς τον εικονικό προορισµό είναι µηδέν ώστε να µην επηρεάζει τη ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους Εξαίρεση αποκλεισµός κάποιων διαδροµών µεταφοράς. Ορίζουµε πολύµεγάλο κόστος µεταφοράς n a i = b j = 1 j 29 Παράδειγµα 1 Μια εταιρεία κατασκευάζει τρεις διαφορετικούς τύπους ξύλινων χωρισµάτων για εξοχικές κατοικίες (έστω x1, x2, x3) από οξιά και πεύκο. Για το κάθε χώρισµα ηεταιρεία, αρχικά κόβει την αναγκαία ποσότητα από το κάθε είδος ξύλου και στη συνέχεια προχωρά στη συναρµολόγησή του. Για την εύρεση της γραµµής παραγωγής η οποία µεγιστοποιεί τα κέρδη, διατυπώθηκε το ακόλουθο πρόβληµα 30 15

16 Παράδειγµα 1 Λύση στο LINDO 31 Παράδειγµα 1 Λύση στο LINDO 32 16

17 Παράδειγµα 1 1. Ποια είναι η άριστη λύση του προβλήµατος; Ποιοι περιορισµοί είναι δεσµευτικοί; 2. Τι αξία έχει για την εταιρεία ένα επιπλέον m3 πεύκου; 3. Τι αξία έχει για την εταιρεία µία επιπλέον hr κοπής; 4. Ανηεταιρείαέπρεπενακατοχυρώσει ή περισσότερες ώρες κοπής, ή περισσότερες ώρες συναρµολόγησης, τι έπρεπε να επιλέξει; 5. Θα αλλάξει η άριστη λύση αν η διαθέσιµη ποσότητα πεύκου, ελαττωθεί από τα 160 στα 100 m3; 6. Σε ποιο ποσό (χρηµατικές µονάδες) θα έπρεπε να φτάνει το κέρδος από το 1ο προϊόν ώστε η εταιρεία να πάρει απόφαση να το κατασκευάσει; 7. Η εταιρεία σκέφτεται να ανεβάσει το κέρδος για το 3ο προϊόν από τις 8 στις 13 χ.µ. Το γεγονός αυτό θα επηρεάσει την άριστη λύση; 33 Λύση 1. Άριστη λύση του προβλήµατος είναι η x1=0, x2=10, x3=20 πουοδηγείσεκέρδηύψουςz = 260 χ.µ. Από τους περιορισµούς του προβλήµατος δεσµευτικοί είναι οι δύο τελευταίοι (η περιθώρια τιµή τουςείναιµηδέν) και χαλαροί οι δύο πρώτοι (η περιθώρια τιµή τους είναι διάφορη του µηδενός). 2. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στη δυϊκή τιµή του 2ου περιορισµού, η οποία ισούται µε 0. Στην εταιρεία υπάρχει περίσσευµα 70 µονάδων του πόρου πεύκο και συνεπώς η αξία ενός επιπλέον m3 είναι µηδενική. 3. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στη δυϊκή τιµή του 3ου περιορισµού, η οποία ισούται µε 2. Για κάθε επιπλέον ώρα εργασίας που µπορεί να εξασφαλίσει η εταιρεία (και για το πολύ άλλες 30) θα αυξάνει το κέρδος της κατά 2 χ.µ. 4. Ηαπάντησηστοερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στις δυϊκές τιµές του 3ου (=2) και τέταρτου (=2) περιορισµού οι οποίες καθορίζουν την αξία που έχει για την εταιρεία µια επιπλέον ώρα εργασίας στο τµήµα τηςκοπήςκαιτηςσυναρµολόγησης αντίστοιχα. Φυσικά η εταιρεία θα έπρεπε να κατοχυρώσει τις ώρες (του τµήµατος) µε τηµεγαλύτερη αξία. Στην περίπτωσή µας όµως, λόγω της ισότητας των τιµών τους, δεν έχει καµία σηµασία από πιο τµήµα επιλέξεινακατοχυρώσει ώρες. 5. Το εύρος εφικτότητας για τον συντελεστή b2 είναι το [90, ). Μια και πρόκειται για χαλαρό περιορισµό, για b2=100 θα έχουµε την ίδια άριστη λύση. 6. Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα από το LINDO το ευκαιριακό κόστος της πρώτης µεταβλητής ισούται µε 2. Συνεπώς το κέρδος από το 1ο προϊόνθαέπρεπεναφτάνειτουλάχιστοντις6 (4+2) χ.µ. για να προχωρήσει η εταιρεία στην κατασκευή του. 7. Το εύρος αριστότητας για τον αντικειµενικό συντελεστή c3 είναι [5, 20]. Συνεπώς για c3=13 καµία αλλαγή δεν πρόκειται να επέλθει στην άριστη λύση του προβλήµατος

18 Παράδειγµα 2 Μιαεταιρείαδηµοσκοπήσεων που συµφώνησε να προχωρήσει σε µια έρευνα αγοράς, προσπαθεί να υπολογίσει τον αριθµό των ανθρώπων που θα απαιτηθούν για τη διεξαγωγή της. Η έρευναθαγίνειµε τηµέθοδο της προσωπικής συνέντευξης και της τηλεφωνικής επικοινωνίας, µε τον κάθε εργαζόµενο να µπορεί να πραγµατοποιήσει σε ηµερήσια βάση 80 τηλεφωνικές ή 40 προσωπικές επαφές. Σύµφωνα µε τον σχεδιασµό αντιπροσωπευτικότητας της έρευνας, θα πρέπει να γίνουν τουλάχιστον 1000 τηλεφωνικές και τουλάχιστον 800 προσωπικές συνεντεύξεις, µε τοσύνολό τους να πρέπει να είναι τουλάχιστον Λαµβάνοντας υπόψη ότι το ηµερήσιο κόστος για τον κάθε "τηλεφωνικό" εργαζόµενο ανέρχεται στις 50 χρηµατικές µονάδες, ενώ για τον κάθε "προσωπικό" στις Παράδειγµα 2 1. Σχεδιάστε ένα πρόβληµα ΓΠ για την εύρεση του αριθµού συνεντευκτών που θα απαιτηθούν σε τρόπο ώστε η έρευνα να πραγµατοποιηθεί µε το µικρότερο δυνατό κόστος, 2. δώστε το πλήθος των "τηλεφωνικών" και "προσωπικών" συνεντευκτών που πρέπει να χρησιµοποιηθούν, 3. βρείτε τη νέα βέλτιστη λύση στην περίπτωση που το ηµερήσιο κόστος για τον κάθε "τηλεφωνικό" συνεντευκτή υποδιπλασιαστεί, 4. βρείτε τη νέα βέλτιστη λύση στην περίπτωση που το ηµερήσιο κόστος για τον κάθε "προσωπικό" συνεντευκτή διπλασιαστεί. 5. Υποθέστε ότι αν µειωθούν οι ελάχιστες απαιτήσεις µιας µόνο εκ των τεχνικών συνέντευξης (προσωπικής ή τηλεφωνικής) η αντιπροσωπευτικότητα του δείγµατος δεν επηρεάζεται. Στην περίπτωση αυτή, ποια θα έπρεπε να επιλεγεί ώστε η εταιρεία δηµοσκοπήσεων να εξοικονοµήσει όσο το δυνατόν περισσότερα χρήµατα

19 Λύση Ορίζουµε ναείναιx1, x2 το αντίστοιχο πλήθος των «τηλεφωνικών» και "προσωπικών" συνεντευκτών που πρέπει να χρησιµοποιηθούν. Τότε το συνολικό κόστος για την εταιρεία δηµοσκοπήσεων που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ανέρχεται σε (50x1 + 70x2) χρηµατικές µονάδες. Οι περιορισµοί του προβλήµατος προκύπτουν από i) το ελάχιστο συνολικό πλήθος συνεντεύξεων που πρέπει να πραγµατοποιηθούν : 80x1 + 40x2 3,000 ii) το ελάχιστο πλήθος τηλεφωνικών συνεντεύξεων που πρέπει να πραγµατοποιηθούν : 80x1 1,000 iii) το ελάχιστο πλήθος προσωπικών συνεντεύξεων που πρέπει να πραγµατοποιηθούν : 40x2 800 i) τη µη-αρνητικότητα των µεταβλητών απόφασης : x1, x

20 Λύση 1. Το σηµείο B(27.5, 20) αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση και δίνει τιµή τηςαντικειµενικής συνάρτησης ίση µε 2,775. Συνεπώς για την πραγµατοποίηση της έρευνας απαιτούνται x1 = 27.5 «τηλεφωνικοί» και x2 = 20 προσωπικοί συνεντευκτές. 2. Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα θα πρέπει να προχωρήσουµε σε ανάλυση ευαισθησίας για τον αντικειµενικό συντελεστή c1. Το σηµείο B(27.5, 20) είναι η άριστη λύση στο πρόβληµά µας όσο η κλίση της ευθείας (1) κλίσητηςευθείαςz κλίσητηςευθείας(3) που δίνει -2 c1/c2 0 (η κλίση της ευθείας (3) που είναι παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα είναι µηδέν). Έτσι για c2 = 70 παίρνουµε ως εύρος αριστότητας του αντικειµενικού συντελεστή c1 το [0, 140] Συνεπώς για c1 = 25 (υπο-διπλάσιο κόστος «τηλεφω νικής» συνέντευξης) βέλτιστη λύση του προβλήµατος παραµένει το σηµείο Β(27.5, 20) µε νέα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης ίση µε 2, Ανάλογα, θα πρέπει να προχωρήσουµε σεανάλυσηευαισθησίαςγιατοναντικειµενικό συντελεστή c2. Το εύρος αριστότητάς του είναι το [25, ) και συνεπώς, για c2 = 140 (διπλάσιο κόστος «προσωπικής» συνέντευξης), βέλτιστη λύση του προβλήµατος παραµένει το σηµείο Β(27.5, 20) µε νέα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης ίση µε 4, Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα απαιτείται η γνώση των δυικών τιµών που αντιστοιχούν στον 2ο (αξία µιας «τηλεφωνικής» συνέντευξης) και 3ο (αξία µιας «προσωπικής» συνέντευξης) περιορισµό. Παρατηρούµε όµως ότι 2ος περιορισµός είναι χαλαρός (µε περιθώρια τιµή ίση µε 1200) : το b2 µπορείναελαττωθείαπεριόρισταχωρίςναµεταβληθεί η βέλτιστη λύση. Συνεπώς η αντίστοιχη δυική τιµή ισούταιµε µηδέν. Κάτι τέτοιο δε συµβαίνει και µε τον3ο περιορισµό ο οποίος είναι δεσµευτικός (η βέλτιστηλύσηείναισηµείο τοµής των ευθειών (1) και (3). Η αντίστοιχη δυική τιµή είναι διάφορη του µηδενός 39 Παράδειγµα 3 Αγροτικός συνεταιρισµός κερδίζει 4, 3 και 6 χρηµατικές µονάδες από τις πωλήσεις που πραγµατοποιεί αντίστοιχα στις τρεις διαφορετικές κονσέρβες, έστω Α, Β καιγ, που παράγει αναµιγνύοντας ροδάκινο, βερίκοκο κι ανανά. Σε γενικές γραµµές η συζητούµενη παραγωγική διαδικασία µπορεί να διαχωριστεί σε δύο στάδια : την αποφλοίωση/κοπή (Σ1) και τη µείξη/συσκευασία (Σ2). Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι απαιτήσεις του κάθε προϊόντος σε πρώτες ύλες (Kr) και σε χρόνους επεξεργασίας (min), καθώς επίσης και η διαθεσιµότητα κάθε παραγωγικού συντελεστή 40 20

21 Παράδειγµα 3 1. Αφού διαπιστώσετε ποιο είναι το πρόβληµα του συνεταιρισµού, διαµορφώσετε ένα π.γ.π. που µπορεί να το επιλύσει. Στη συνέχεια, χρησιµοποιώντας τη λύση και την ανάλυση ευαισθησίας που δίνεται στη συνέχεια από το LINDO, απαντήστε στα εξής ερωτήµατα : 2. Πόσο πρέπει να είναι το κέρδος του προϊόντος Β ώστε να είναι συµφέρουσα η παραγωγή του και γιατί; 3. Ο συνεταιρισµός εξετάζει την περίπτωση να αντικαταστήσει το µηχανολογικό εξοπλισµό των παραγωγικών σταδίων Σ1 και Σ2 πριν την έναρξη της παραγωγής. Ο καινούργιος εξοπλισµός είναι δυναµικότητας 1,200 λεπτών για το 1 ο στάδιο και 700 λεπτών για το 2ο στάδιο. Θα µεταβληθεί η βέλτιστη λύση; 4. Αν ο συνεταιρισµός είχε τη δυνατότητα να προµηθευτεί 10 επιπλέον κιλά ροδάκινα ή βερίκοκα ποιο φρούτο έπρεπε να προτιµήσει και γιατί; 5. Η διοίκηση πληροφορείται ότι υπάρχουν διαθέσιµα ακόµα 50 κιλά ανανά. Αν τα χρησιµοποιήσει ποια θα είναι η επίδραση στο συνολικό κέρδος; 41 Παράδειγµα

22 Λύση 1. Φανερά, ο συνεταιρισµός ενδιαφέρεται να προσδιορίσει το πλήθος των κονσερβών τύπου Α, Β και Γ που πρέπει να παράγει µέσα στις συγκεκριµένες διαθεσιµότητες των παραγωγικών του συντελεστών σε τρόπο ώστε να µεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος. Ορίζουµε ναείναιxα, xb, xγ το πλήθος των κονσερβών Α, Β και Γ που πρέπει να παραχθούν. Τότε το συνολικό κέρδος ανέρχεται σε 4xΑ + 3xB + 6xΓ χρηµατικές µονάδες. Οι περιορισµοί του προβλήµατος προκύπτουν αφενός µεν από τη διαθεσιµότητα των φρούτων, αφετέρου δε από το διαθέσιµο χρόνο στα δύο στάδια της επεξεργασίας: 3xΑ+ 2xB+ xγ 920 (διαθέσιµη ποσότητα ροδάκινων, Kr) 2xΑ+ 2xB+ 2xΓ 900 (διαθέσιµη ποσότητα βερίκοκων, Kr) xα+ 2xB+ 3xΓ 930 (διαθέσιµη ποσότητα ανανά, Kr) 1.2xΑ + 1.4xB+ 1.5xΓ 1,260 (διαθέσιµος χρόνος στο 1ο Στάδιο, min) xα+ 2xB+ xγ 600 (διαθέσιµος χρόνος στο 2ο Στάδιο, min) xα, xb, xγ 0 Από τα αποτελέσµατα του LINDO βλέπουµε ότι η βέλτιστη λύση του προβλήµατος xα = 210, xγ = 240 οδηγεί σε κέρδος 2,280 χρηµατικών µονάδων. 43 Λύση 2. Το ερώτηµα αφορά το ευκαιριακό κόστος της xb που είναι ίσο µε 2. Αν το κέρδος από τις κονσέρβες τύπου Β γίνει τουλάχιστον 5 (= 3 + 2) χρηµατικές µονάδες τότε θα συµφέρει η παραγωγή τους. 3. Οι περιορισµοί που αναφέρονται στο διαθέσιµο χρόνο για τα δύο στάδια της παραγωγικής διαδικασίας είναι χαλαροί µε περιθώριες τιµές 648 (ο 4ος που αφοράτοστάδιοσ1) και 150 (ο 5ος που αφορά το στάδιο Σ2). Η δοθείσα τροποποίηση θα αυξήσει απλά την περιθώρια τιµή του5ου κατά 100 µονάδες και θα ελαττώσει αυτή του 4ου κατά 60. Συνεπώς, η βέλτιστηλύση θα παραµείνει η ίδια. 4. Ο πόρος µε τηµεγαλύτερη αξία (: δυική τιµή) είναι τα «βερίκοκα» (για την ακρίβεια, η βέλτιστηλύσηαφήνειανεκµετάλλευτα 50Kr ροδάκινων). 5. Ο πόρος «ανανάς» έχει δυϊκή τιµή ίσηµε 1. Συνεπώς αύξηση της διαθέσιµης ποσότητάς του κατά 50Kr θα οδηγήσει σε αύξηση του συνολικού κέρδους κατά 1 50 χρηµατικές µονάδες

23 Παράδειγµα 4 Κάποια υφαντουργική εταιρεία διαθέτει στην αγορά δύο είδη βαµβακερών υφασµάτων, κοτλέ και φούτερ. Για να παραχθεί ένα µέτρο κοτλέ υφάσµατος απαιτούνται 3.75Kg βαµβάκι και 3.2 ώρες επεξεργασία. Ανάλογα, γιαναπαραχθεί ένα µέτρο φούτερ χρειάζονται 2.5Kg βαµβάκι και 3.0 ώρες επεξεργασία. Για την επόµενη παρτίδα ρούχων, η εταιρεία έχει στη διάθεσή της 3250Kg βαµβάκι και 3000 ώρες για την επεξεργασία του, ενώ από τα υπάρχοντα στοιχεία γνωρίζει ότι πρόκειται να διαθέσει όσα µέτρα φούτερ κι αν κατασκευάσει αλλά το πολύ 510 µέτρα κοτλέ. 45 Παράδειγµα 4 1. Αν κάθε µέτρο φούτερ αφήνει κέρδος 2.25 χρηµατικών µονάδων και κάθε µέτρο κοτλέ 3.10, προσδιορίστε τις ποσότητες που πρέπει να κατασκευαστούν από το κάθε είδος σε τρόπο ώστε τα συνολικά κέρδη της εταιρείας να είναι τα δυνατόν περισσότερα. 2. Παραµένουν ανεκµετάλλευτοι πόροι (πρώτες ύλες) στην ανωτέρω βέλτιστη γραµµή παραγωγής; Καλύπτεται η ζήτηση για το κοτλέ; 3. Σε ποιο ποσό θα ανερχόταν τα κέρδη της εταιρείας αν τα διαθέσιµα Kg βαµβάκι ήταν Αντοκέρδοςαπότοκάθεµέτρο φούτερ ανερχόταν στις 3.50 χρηµατικές µονάδες, ποια θα ήταν η (νέα;) άριστη λύση του προβλήµατος; Αντοκέρδοςαπότοκάθεµέτρο κοτλέ ανερχόταν στις 4.00 χρηµατικές µονάδες, ποια θα ήταν η (νέα;) άριστη λύση του προβλήµατος; 5. Αν η υφαντουργική εταιρεία µπορούσε να επιλέξει µεταξύ περισσότερων Kg βαµβάκι και περισσότερου χρόνου για την επεξεργασία του, τι θα τη συµβουλεύατε; 46 23

24 Λύση Συµβολίζουµε µε x1, x2 τα µέτρα του υφάσµατος φούτερ και κοτλέ που θα παραχθούν (αντίστοιχα). Τότε, τα συνολικά κέρδη της εταιρείας τα οποία θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε ανέρχονται σε 2.25x x2 χρηµατικές µονάδες. Σύµφωνα µε ταδεδοµένα που έχουµε : (1) η διαθέσιµη ποσότητα βαµβακιού ανέρχεται στα 3,250Kr : 2.50x x2 3,250 (2) ο διαθέσιµος χρόνος για την επεξεργασία του ανέρχεται στις 3,000 ώρες : 3.0x x2 3,000 (3) θα διατεθούν το πολύ 510 µέτρα υφάσµατος κοτλέ : x2 510 Φυσικά έχουµε ακόµη x1, x

25 Λύση Για την άριστη λύση (x1 = 456, x2 = 510) οι περιορισµοί του προβλήµατος δίνουν : (1) = ( 3250) (2) = 3000 ( 3000) (3) 510 = 100 ( 510) Στην εταιρεία παραµένουν ανεκµετάλλευτα 197.5Kg βαµβακιού, ενώ διατίθενται όσα µέτρα υφάσµατος κοτλέ επιτρέπονται. Οι περιορισµοί (2) και (3) είναι δεσµευτικοί, ενώ ο περιορισµός (1) χαλαρός µε περιθώρια τιµή Ο πρώτος περιορισµός είναι χαλαρός µε περιθώρια τιµή Η µείωση της διαθέσιµης ποσότητας βαµβακιού κατά 250Kg ξεπερνά αυτή την τιµή και συνεπώς, για να απαντήσουµε στοερώτηµα, πρέπει να λύσουµε τονέο πρόβληµα : για τιµές του b1 < ( ) ο πρώτος περιορισµός γίνεται δεσµευτικός. Για b1 = 3000 η παραγωγή µέτρων υφάσµατος φούτερ και µέτρων κοτλέ, δίνει στην εταιρεία κέρδη περίπου ίσα µε 2,573 χρηµατικές µονάδες. 49 Λύση Το ερώτηµα µπορεί να απαντηθεί από την ανάλυση ευαισθησίας για τους αντικειµενικούς συντελεστές c1 και c2 αντίστοιχα. Το σηµείο Γ παραµένει η άριστη λύση για το πρόβληµά µας όσο κλίση της ευθείας (2) κλίση της ευθείας z κλίση της ευθείας (3) που εδώ δίνει c1/c2 0(η ευθεία είναι παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα). Η σχέση αυτή για c1 = 2.25 µας δίνει το εύρος αριστότητας του συντελεστή c2 [2.4, ) και για c2 = 3.1 το εύρος αριστότητας του συντελεστή c1 [0, ]. i) Ητιµή c1 = 3.50 είναι έξω από το εύρος αριστότητάς του. Καθώς η τιµή του c1 µεγαλώνει από την τρέχουσα 2.25, η κλίση της ευθείας z αλλάζει (µικραίνει) : η z περιστρέφεται γύρω από το σηµείο Γ σύµφωνα µε τηφορά των δεικτών του ρολογιού. Για c1 = , οι ευθείες z και ταυτίζονται και το πρόβληµα αποκτά άπειρες βέλτιστες λύσεις που αντιστοιχούν στα σηµεία του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ. Για c1 > η ευθείαz αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από το σηµείο Β, που είναι πια η άριστη λύση του προ βλήµατος. Συνεπώς, για c1 = 3.50 έχουµε ωςβέλτιστηγραµµή παραγωγής τη x1 = 1000, x2 = 0 µε αντίστοιχη τιµή z = 3,500 χ.µ. ii) Αύξηση της τιµής του c2 από 3.10 σε 4 δε µεταβάλλει την υποδειχθείσα (x1 = 456, x2 = 510) ως βέλτιστη γραµµή παραγωγής. Μεταβάλλεται µόνον ητιµή τηςπουφτάνειτώρατιςz = 3,

26 Λύση Είναι προφανές ότι η υφαντουργική εταιρεία πρέπει να επιλέξει να αυξήσει τις διαθέσιµες ώρες για την επεξεργασία του βαµβακιού. Ο 1ος περιορισµός είναι χαλαρός κι άρα αύξηση της διαθέσιµης ποσότητας βαµβακιού θα αυξήσει απλά την περιθώρια τιµή του(: ανεκµετάλλευτη ποσότητα). Απότηγραφικήεπίλυσητου προβλήµατος παρατηρούµε ότι τα οριακά σηµείαταοποίαδιατηρούντηγραµµική σχέση µεταξύ των ωρών που υπάρχουν για την επεξεργασία του βαµβακιού και της άριστης τιµής z είναι τα και Ε. Αντικαθιστώντας τα δύο άκρα στον αντίστοιχο περιορισµό : 3(0) + 3.2(510) = b2 b2 = 1632 Ε: 3(535) + 3.2(510) = b2 b2 = 3237 βρίσκουµε το εύρος εφικτότητας του b2 [1632, 3237]. Επειδή οι τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης για τα σηµεία και Ε είναι : z = 2.25(0) (510) = 1581 Ε: z = 2.25(535) (510) = η κλίση της ευθείας που παριστά το ρυθµό µεταβολής της αντικειµενικής συνάρτησης z σε σχέση µε τηµεταβολή των διαθέσιµων ωρών επεξεργασίας του βαµβακιού ισούται µε κλίση = ( )/( )=0.75 (δυϊκή τιµή του2ου περιορισµού που παριστά την αξία µιας ώρας επεξεργασίας βαµβακιού). Η εταιρείαθακερδίζει0.75 χ.µ. για κάθε επιπλέον ώρα που θα εξασφαλίζει στην επεξεργασία του βαµβακιού

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες)

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες) Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Οι στρατηγικές χρηματοοικονομικής δομής αναφέρονται στην επιλογή των μέσων χρηματοδότησης επενδυτικών προγραμμάτων, λειτουργιών της παραγωγής και

Διαβάστε περισσότερα

RIGHTHAND SIDE RANGES

RIGHTHAND SIDE RANGES Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα Case 15: Προστασία του Περιβάλλοντος ΣΕΝΑΡΙΟ Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα 1 Σενάριο και υπόλοιπα δεδοµένα Συγκροτήθηκε οµάδα εργασίας για την επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = x

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

(sensitivity analysis, postoptimality analysis).

(sensitivity analysis, postoptimality analysis). Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΠΑΝΤΑΙΔΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Α.Μ 8342 ΕΞΑΜΗΝΟ :ΠΤΘ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ 1 ( Μονάδες 2) Μια επιχείρηση κατασκευής tablet έχει εργοστάσια σε τρεις διαφορετικές χώρες Α,Β,Γ που παράγουν αντίστοιχα 200, 260 και

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Εταιρία παράγει σκυρόδεμα με το οποίο προμηθεύει σε καθημερινή βάση διάφορες οικοδομικές επιχειρήσεις. Το σκυρόδεμα παράγεται σε δύο εργοτάξια της εταιρίας, το Α και το Β. Με τα σημερινά δεδομένα, υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μια μαθηματική τεχνική Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Προβλήματα με γραμμικότητα ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός επιλύει, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας µε τη χρήση του Solver

Ανάλυση Ευαισθησίας µε τη χρήση του Solver Ανάλυση Ευαισθησίας µε τη χρήση του Solver Πρόβληµα 1 Μια εταιρία κατασκευής τηλεοράσεων κατασκευάζει τέσσερα µοντέλα τηλεοράσεων Μ1, Μ2, Μ3 και Μ4. Κάθε µοντέλο για να παραχθεί απαιτεί χρόνο συναρµολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100)

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Διοίκηση και Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μέρος ΙΙ Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Μαθηματικά Μοντέλα Εισαγωγή Μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα) 1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Μια εταιρεία αλουμινίου έχει αποθέματα βωξίτη στην περιοχή G, στην S και στην A. Επίσης, υπάρχουν εργοστάσια μετάλλου, όπου ο βωξίτης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις γραφικής επίλυσης

Ασκήσεις γραφικής επίλυσης Ασκήσεις γραφικής επίλυσης Άσκηση 1- (Παράδειγµα 3.4 βιβλίου) Σε ένα πτηνοτροφείο χρησιµοποιείται για την καθηµερινή διατροφή ενός συνόλου πτηνών ένα µείγµα αποτελούµενο από δύο είδη δηµητριακών: το είδος

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 11. Μεγιστοποίηση κέρδους. Οικονοµικό κέρδος. Η ανταγωνιστική επιχείρηση

Διάλεξη 11. Μεγιστοποίηση κέρδους. Οικονοµικό κέρδος. Η ανταγωνιστική επιχείρηση Οικονοµικό κέρδος Διάλεξη Μεγιστοποίηση Μια επιχείρηση χρησιµοποιεί εισροές j,m για να παραγάγει n προϊόντα i, n. Τα επίπεδα του προϊόντος είναι,, n. Τα επίπεδα των εισροών είναι,, m. Οι τιµές των προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 5. Εργοστάσια. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Άσκηση 5. Εργοστάσια. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Άσκηση Μια μεγάλη εταιρεία σκοπεύει να μπει δυναμικά στην αγορά αναψυκτικών της χώρας διαθέτοντας συνολικά 7 μονάδες κεφαλαίου. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει είναι αν πρέπει να κατασκευάσει ένα κεντρικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton minu = b 1 Π 1 + b Π + + b m Π m ΔΥΑΔΙΚΟ X 1 X X n Π 1 α 11 a 1... a 1n b 1 Π α 1 a... a n b............ Π m a m1 a m a mn b m c 1 c... c n maxz

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Η προσδοκώµενη χρησιµότητα του κέρδους όταν η πιθανότητα η τιµή του προϊόντος Ρ1 είναι ψ, χ το επίπεδο παραγωγής και c(x) η συνάρτηση κόστους, είναι

Η προσδοκώµενη χρησιµότητα του κέρδους όταν η πιθανότητα η τιµή του προϊόντος Ρ1 είναι ψ, χ το επίπεδο παραγωγής και c(x) η συνάρτηση κόστους, είναι 3. Θεωρία της Επιχείρησης 3. Η Ανταγωνιστική Επιχείρηση. Το τµήµα αυτό έχει δύο στόχους. Πρώτα να δείξει ότι αν υπάρχει ουδετερότητα απέναντι στον κίνδυνο, τότε η µέση αξία ενός αβέβαιου γεγονότος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π.

Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π. Ένα ξυλουργείο παράγει θρανία, τραπέζια και καρέκλες : Προϊόν Πρώτη Ύλη Θρανίο Τραπέζι Καρέκλα Διαθεσιμότητα Ξυλεία (m) 8 6 1 48 Κατασκευή (ώρες) 2 1.5 0.5 8 Φινίρισμα (ώρες) 4 2 1.5 20 Τιμή Πώλησης 60,000

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) Ένας κατασκευαστής αυτοκινήτων θέλει να προγραμματίσει για μια χρονική περίοδο την παραγωγή δύο μοντέλων αυτοκινήτου: του μοντέλου Α και του μοντέλου Β. Κάθε μοντέλο αυτοκινήτου απαιτεί

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας Σύνοψη Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται με πολύ αναλυτικό τρόπο η μεθοδολογία Γραφικής Επίλυσης ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή, ο

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. Στο παρακάτω δικτυωτό να βρεθεί η διαδρομή ελαχίστου κόστους από τον κόμβο Α έως την ευθεία Β. Οι τιμές στους τελικούς κόμβους δηλώνουν κέρδος ενώ σε όλους τους υπόλοιπους

Διαβάστε περισσότερα