υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας"

Transcript

1 υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας Το δυϊκό πρόβληµα Χρησιµότητα, εφαρµογές Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγµατα 1 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί ένα άλλο, το δυϊκό πρόβληµα, dual. To δυϊκό προκύπτει µε απλούς µετασχηµατισµούς από το πρωτεύον και αποτελεί εναλλακτική λύση του ίδιου προβλήµατος (δίνει τα ίδια αποτελέσµατα) Η δυϊκή θεωρία είναι δυνατό να δώσει µια δεύτερη µατιά στο αρχικό πρόβληµα καινα φανερώσει χαρακτηριστικά του όχι άµεσα ορατά. 2 1

2 Πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα Πρωτεύων υϊκό Μεταβλητή απόφασης: x Μεταβλητή απόφασης: y max cx µε Ax b n x 0 m min yb µε ya c m y 0 n 3 Πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα Παράδειγµα Πρωτεύων υϊκό Max z = 3x 1 +5x 2 µε x 1 4 2x x 1 +2x 2 18 x 1,x 2 0 Min w = 4y 1 +12y y 3 Με y 1 + 3y 3 3 2y 2 +2y 3 5 y 1, y 2, y

3 Μετασχηµατισµός του πρωτεύοντος σε δυϊκό Το δυϊκό έχει τόσες µεταβλητές (δυϊκές) όσοι είναι οι περιορισµοί του πρωτεύοντος Το δυϊκό έχει τόσους περιορισµούςόσεςείναιοι µεταβλητές απόφασης του πρωτεύοντος Οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης του δυϊκού είναι τα δεξιά µέλη των περιορισµών του πρωτεύοντος Τα δεξιά µέλη των περιορισµώντουδυϊκούείναιοι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης του πρωτεύοντος Οταν το πρωτεύον είναι πρόβληµα µεγιστοποίησης το δυϊκό είναι ελαχιστοποίησης και αντιστρόφως 5 εδοµένα προβλήµατος παραγωγής Προϊόν Α Προϊόν Β ιαθεσιµότα ΓΑΛΑ (διαθέσιµο) 1lit γάλα 1lit 550 lit ΕΡΓΑΣΙΑ (λεπτά) ΥΝΑΜΙΚΟΤΗΤΑ ψύξη ΜΕΓΙΣΤΗ ΖΗΤΗΣΗ 400 τεµάχια Απεριόριστη ΚΕΡ ΟΣ/ ΤΕΜΑΧΙΟ

4 Παράδειγµα Max z=150x1+200x2 Με περιορισµούς x1+x2 550 x1+3x x1+5x x1 400 x1, x2 0 Min w=550y1+1000y2+2000y3+400y4 Με περιορισµούς y1+y2+2y3+y4 150 y1+3y2+5y3 200 y1, y2, y3, y4 0 7 Σχόλια Όταν υπάρχει βέλτιστη λύση για το πρωτεύον υπάρχει και για το δυϊκό ητιµή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι η ίδια ( υϊκό Θεώρηµα) Για κάθε πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα, οι σχέσεις µεταξύτουςπρέπειναείναισυµµετρικές. Η µέθοδος Simplex στη τελευταία επανάληψη εντοπίζει ταυτόχρονα τη βέλτιστη λύση του δυϊκού που είναι οι σκιώδεις τιµές Zj 8 4

5 Σχέση µεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού προβλήµατος Ασθενής (Weak) δυϊκότητα Εάν x είναι µια εφικτή λύση στο πρωτεύων και y είναι µια εφικτή λύση στο δυϊκό τότε cx yb Ισχυρή (Strong) δυϊκότητα Εάν x* είναι μια βέλτιστη λύση στο πρωτεύων και y* είναι μια βέλτιστη λύση στο δυϊκό τότε cx* = y*b 9 υϊκό θεώρηµα Απότοθεώρηµα προκύπτουνµόνο οι παρακάτω δυνατές σχέσεις µεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού προβλήµατος: Εάν κάποιο πρόβληµα έχει βέλτιστη λύση, το αυτό συµβαίνει και µε τοδυϊκό. Εάν κάποια µεταβλητή έχει εφικτές λύσεις αλλά µια µη περιορισµένη αντικειµενική συνάρτηση, τότε το άλλο πρόβληµα δεν έχει εφικτές λύσεις. Εάν κάποια από τις µεταβλητές δεν έχει εφικτές λύσεις, τότε το άλλο πρόβληµα είτε δεν έχει εφικτές λύσεις είτε µη περιορισµένη αντικειµενική συνάρτηση. 10 5

6 Συµπληρωµατικότητα περιορισµών Σχέσεις µεταβλητών µεταξύ πρωτεύοντος και δυϊκού Πρωτεύων (αρχική µεταβλητή) x j (ελλειµµατική) x s n+i υϊκό y s m+j y i (πλεονάζουσα) (αρχική µεταβλητή) ιδιότητα συµπληρωµατικότητας : Εάν µια µεταβλητή είναι βασική στο πρωτεύων, η αντίστοιχή της στο δυϊκό είναι µη-βασική. Πρωτεύων (m µεταβλητές) βασική (n µεταβλητές) µη-βασική υϊκό µη-βασική (m µεταβλητές) βασική (n µεταβλητές) 11 Χρησιµότητα δυϊκού προβλήµατος x1, x2 : Ποσότητες που θα παραχθούν από τα προϊόντα Α, Β x1 + x2 550 Περιορισµός για τις πρώτες ύλες x1 + 3 x Περιορισµός για την εργασία 2x1 + 5x Περιορισµός για την επεξεργασία x1 400 Περιορισµός για την ζήτηση z = αναµενόµενο εβδοµαδιαίο κέρδος b1,b2,b3,b4 = (550,1000,2000,400) : διαθέσιµη ποσότητα του αντίστοιχου πόρου (πρώτες ύλες, εργασία, επεξεργασία κλπ) b1y1, b2y2 : η συνεισφορά του κάθε πόρου στη διαµόρφωση του κέρδους (=z) y1, y2,.. : ησυνεισφοράµιας µονάδας πόρου, του Α στο µέγιστο κέρδος z 12 6

7 Χρησιµότητα δυϊκού προβλήµατος - ΙΙ y1=125, y2=25, y3=y4=0 και z=93750 Τα 550 λίτρα διαθέσιµου γάλακτος αξίζουν για την επιχείρηση 550*y1=550*125= χµ. Τα 1000 λεπτά εργασίας αξίζουν 1000*25= χµ. y1+y2+2y3+y4>=150 : Ο συνδυασµός µιας µονάδας πρώτων υλών, ενός λεπτού εργασίας, δύο µονάδων επεξεργασίας και µίας µονάδα ζήτησης δίνουν κέρδος τουλάχιστον 150 χµ. Oµοίως για τον δεύτερο περιορισµό 13 H σηµασία του δυϊκού προβλήµατος Σε ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης η δυϊκή τιµή εκφράζει τη οριακή αξία (marginal value) µιας επιπλέον µονάδας ενός πόρου (υλικού, χρόνου απασχόλησης, χρόνου επεξεργασίας κλπ). Υποδεικνύει πόσο θα βελτιωθεί το κέρδος εάν αυξηθεί η ποσότητα του πόρου κατά µια µονάδα Η βελτίωση που προκύπτει στη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης z όταν ένας πόρος (δεξί µέλος στους περιορισµούς) αυξηθεί λέγεται σκιώδης τιµή 14 7

8 Ανάλυση ευαισθησίας Στα πραγµατικά προβλήµατα πολλές από τις παραµέτρους αποτελούν απλώς εκτιµήσεις οι οποίες µεταβάλλονται από το περιβάλλον Η ζήτηση ενός προϊόντος για τον επόµενο χρόνο δεν µπορεί να εκτιµηθεί µε απολύτως ακριβείς τιµές λόγω του ανταγωνισµού Το κόστος εργασίας δεν παραµένει σταθερό Η απόδοση του εξοπλισµού δεν παραµένει σταθερή λόγω βλαβών Το προσωπικό συνταξιοδοτείται ή προσλαµβάνεται νέο Θα πρέπει να γνωρίζουµε ποιες παράµετροι και σε ποια µεταβολή τους µπορεί να ανατραπεί η βέλτιστη λύση 15 Ανάλυση ευαισθησίας - ΙΙ Ανάλυση ευαισθησίας (sensitivity analysis, postoptimality analysis) µελετά τις συνέπειες στη λύση ενός προβλήµατος ΓΠ από αλλαγές των παραµέτρων του µοντέλου Απαντά στο ερώτηµα : «Τι θα συµβεί εάν υπάρξει µια µεταβολή σε κάποιο στοιχείο του προβλήµατος» - what if analysis Πωςθαεπηρεαστείτοβέλτιστοσχέδιοπαραγωγήςεάν µειωθεί η τιµή ενός προϊόντος σε ποια όρια µεταβολής της τιµής πώλησης δεν µεταβάλλεται το σχέδιο παραγωγής Τι θα συµβεί εάν η διαθέσιµη ποσότητα µιας πρώτης ύλης µειωθεί Πως θα επηρεαστεί η κατανοµή του προσωπικού σε µια εργασία όταν πάψουν να είναι διαθέσιµοι µερικοί υπάλληλοι 16 8

9 Ποιες παράµετροι µπορούν να αλλάξουν Οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης Οι τιµές ενός πόρου Παραµετρική ανάλυση 17 Αντικειµενικοί συντελεστές (c j ) Η ανάλυση ευαισθησίας υπολογίζει για τον κάθε αντικειµενικόσυντελεστήέναδιάστηµα τιµών µέσα στο οποίο µπορεί να µεταβάλλεται η τιµή του (όλες οι άλλες παράµετροι του µοντέλου παραµένουν σταθεροί) χωρίς να αλλάζει η άριστη λύση. Το διάστηµα αυτόονοµάζεται εύρος αριστότητας του εν λόγω αντικειµενικού συντελεστή. Αλλαγές όµως στην τιµή τουc j επιφέρουν αλλαγές και στην κλίση της ευθείας z. Οι αλλαγές αυτές προκαλούν µια περιστροφή της ευθείας z γύρωαπότοαντίστοιχοσηµείο. 18 9

10 Παράδειγµα Ο συντελεστής του x1 (=150) είναι τιµή του προϊόντος Α. Εάν ορισθεί ως µεταβλητή, c1 τότε η εξίσωση της αντικειµενικής συνάρτησης γίνεται : z=c1x1+200x2 x2=-c1/200 x1 + 1/200 z και ο συντελεστής c1/200 εκφράζει τη κλίση της ευθείας. Τα όρια της µεταβολής της ευθείας της αντικειµενικής συνάρτησης ώστε να µην µεταβάλλεται η βέλτιστη λύση ορίζονται από τις ευθείες που φαίνονται στο σχήµα 19 Παράδειγµα - ΙΙ Απότηγραφικήπαράστασηκαιαπότιςκλίσεις των ευθειών x2 = x x2 = -1/3 x /3 που ορίζουν το διάστηµα στο οποίο κινείται η αντικειµενική συνάρτηση προκύπτει ότι η βέλτιστη λύση παραµένει όταν η κλίση περιορίζεται στο διάστηµα [-1 1/3], -1 -c1/200-1/3, 200/3 c1 200 Εάν αντί του c1=150, υπολογισθεί c1=170 τότε το παραµένει βέλτιστη λύση αλλά το z αυξάνεται από z=93,750 σε z=100,

11 Έλεγχος ευαισθησίας της τιµής ενός πόρου (b i ) Εξετάζεται πως επηρεάζεται η λύση του προβλήµατος όταν µεταβάλλονται οι σταθερές στο δεξί µέλος των περιορισµών (εκφράζουν τους διαθέσιµους πόρους) Ανάλυση ευαισθησίας για ποιες τιµές η βέλτιστη λύση παραµένει αµετάβλητη Mας ενδιαφέρει να βρούµε εκείνητηµεταβολή του b i, η οποία προκαλεί παράλληλη µετατόπιση της ευθείας που προσδιορίζει τον πόρο σε τρόπο ώστε το σηµείο τοµής της να βρίσκεται στην εφικτή περιοχή του προβλήµατος 21 Παράδειγµα Η µεταβολή της τιµής 550 στον δεύτερο περιορισµό προκαλεί παράλληλη µετατόπιση της ευθείας x1+x2=550 Τότε το σηµείο που αποτελεί τη βέλτιστη λύση µεταβάλλεται µέσα στο διάστηµα ΕΖ. Πέραν του Ζ ο περιορισµός γίνεται πλεονάζον. Αφού Ε(0,1000/3) και Ζ(400,200) τα ακραία σηµεία της µεταβολής τότε /3=b1 και =b1 άρα 1000/3 =<b1<=600 Η µεταβολή του πόρου του δεύτερου περιορισµού στο διάστηµα [1000/3, 600] εξασφαλίζει τη διατήρηση του ως σηµείου βέλτιστης λύσης Συνεπώς, καθώς η τιµή τουb1 µεταβάλλεται η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης στην άριστη λύση µεταβάλλεται γραµµικά

12 Παραµετρική ανάλυση Ταυτόχρονες αλλαγές των παραµέτρων Προσθέτοντας έναν περιορισµό Ηάριστηλύσηπαραµένει η ίδια µόνο στην περίπτωση που τον ικανοποιεί. Αφαιρώντας έναν περιορισµό Ηάριστηλύσηπαραµένει η ίδια αν από το πρόβληµα αφαιρέσουµε κάποιον χαλαρό περιορισµό. 23 Το πρόβληµα µεταφοράς Αφορά την εύρεση βέλτιστου σχέδιου µεταφοράς (optimal transportation plan) από πηγές σε προορισµούς Η κάθε πηγή παρέχει αγαθά και έχει συγκεκριµένη δυναµικότητα (προσφορά). Ο κάθε προορισµός µπορεί να απορροφήσει συγκεκριµένη ποσότητα αγαθών (ζήτηση) 24 12

13 Το πρόβληµα µεταφοράς - ΙΙ ίνονται : πίνακας κόστους (χρήµα, χρόνος) µεταφοράς από διαφορετικές πηγές σε διαφορετικούς προορισµούς Συνολική προσφορά δυναµικότητα Συνολική ζήτηση Ζητείται : το βέλτιστο σχέδιο µεταφοράς (optimal transportation plan) Βέλτιστο : χρόνος, απόσταση ελαχιστοποίηση, κέρδος µεγιστοποίηση Σχέδιο µεταφοράς : αριθµός προϊόντων ανά προορισµό, 25 Παράδειγµα Μιαεταιρείαδιαθέτει3 εργοστάσια και διανέµει προϊόντα συσκευασµένα σε κιβώτια σε 4 πόλεις µε δικάτηςοχήµατα. Το κόστος ανα κιβώτιο διαφέρει ανάλογα µε την απόσταση, το χρόνο κλπ. Το κάθε εργοστάσιο µπορεί να αποστέλλει συγκεκριµένη ποσότητα κάθε εβδοµάδα (προσφορά) και η κάθε πόλη µπορεί να απορροφά συγκεκριµένο αριθµό κιβωτίων (ζήτηση). Ζητείται να προσδιοριστεί ο αριθµός κιβωτίων που πρέπει να αποστέλλει το εργοστάσιο i στη πόλη j ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος 26 13

14 ιατύπωση Υποθέτουµε α ι ι=1,2,,m είναι η δυνατότητα παραγωγής από την θέση ι β j ι=1,2,,n είναι οι ανάγκες καταναλώσεως της θέσης j c ij το κόστος µεταφοράς της µονάδας του προϊόντος από την θέση i στη j x ij η ποσότητα που θα µεταφερθεί από την θέση i στη j f ( x) = m i = 1 n j = 1 x ij x x ij ij 0 m i = 1 j = 1 = b a j i n c ij x ij j = 1,2,.. n i = 1,2,.. n 27 Η µέθοδος µεταφοράς Τα προβλήµατα µεταφοράς έχουν µεγάλο αριθµό µεταβλητών και περιορισµών οπότε µη αποτελεσµατική επίλυση απο τη Simplex Mη αποτελεσµατική = µεγαλύτερος υπολογιστικός χρόνος, περισσότερος χώρος αποθήκευσης ενδιάµεσων αποτελεσµάτων, ανάγκη για παραγωγή ακέραιων λύσεων Η µέθοδος µεταφοράς έχει αναπτυχθεί αποκλειστικά για προβλήµατα του είδους αυτού και υπερτερεί σηµαντικά της Simplex Προβλέπει επαναληπτική διαδικασία που ξεκινά από µια αρχική βασική εφικτή λύση, βρίσκει καλύτερες λύσεις έωςότουβρείτηνάριστη Παραλλαγές : µέθοδος βορειοδυτικής γωνίας, µέθοδος Vogel 28 14

15 Ισορροπηµένο πρόβληµα µεταφοράς Όταν η συνολική προσφορά είναι ίση µε τησυνολική ζήτηση, το πρόβληµα ονοµάζεται ισορροπηµένο m i = 1 Σε µη ισορροπηµένα προβλήµατα, προσθέτουµε έναν εικονικό προορισµό (dummy destination) προς το οποίο διοχετεύονται τα προϊόντα που πλεονάζουν. Η ζήτηση του εικονικού προορισµού είναι ίση µε τη πλεονάζουσα ποσότητα Το κόστος προς τον εικονικό προορισµό είναι µηδέν ώστε να µην επηρεάζει τη ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους Εξαίρεση αποκλεισµός κάποιων διαδροµών µεταφοράς. Ορίζουµε πολύµεγάλο κόστος µεταφοράς n a i = b j = 1 j 29 Παράδειγµα 1 Μια εταιρεία κατασκευάζει τρεις διαφορετικούς τύπους ξύλινων χωρισµάτων για εξοχικές κατοικίες (έστω x1, x2, x3) από οξιά και πεύκο. Για το κάθε χώρισµα ηεταιρεία, αρχικά κόβει την αναγκαία ποσότητα από το κάθε είδος ξύλου και στη συνέχεια προχωρά στη συναρµολόγησή του. Για την εύρεση της γραµµής παραγωγής η οποία µεγιστοποιεί τα κέρδη, διατυπώθηκε το ακόλουθο πρόβληµα 30 15

16 Παράδειγµα 1 Λύση στο LINDO 31 Παράδειγµα 1 Λύση στο LINDO 32 16

17 Παράδειγµα 1 1. Ποια είναι η άριστη λύση του προβλήµατος; Ποιοι περιορισµοί είναι δεσµευτικοί; 2. Τι αξία έχει για την εταιρεία ένα επιπλέον m3 πεύκου; 3. Τι αξία έχει για την εταιρεία µία επιπλέον hr κοπής; 4. Ανηεταιρείαέπρεπενακατοχυρώσει ή περισσότερες ώρες κοπής, ή περισσότερες ώρες συναρµολόγησης, τι έπρεπε να επιλέξει; 5. Θα αλλάξει η άριστη λύση αν η διαθέσιµη ποσότητα πεύκου, ελαττωθεί από τα 160 στα 100 m3; 6. Σε ποιο ποσό (χρηµατικές µονάδες) θα έπρεπε να φτάνει το κέρδος από το 1ο προϊόν ώστε η εταιρεία να πάρει απόφαση να το κατασκευάσει; 7. Η εταιρεία σκέφτεται να ανεβάσει το κέρδος για το 3ο προϊόν από τις 8 στις 13 χ.µ. Το γεγονός αυτό θα επηρεάσει την άριστη λύση; 33 Λύση 1. Άριστη λύση του προβλήµατος είναι η x1=0, x2=10, x3=20 πουοδηγείσεκέρδηύψουςz = 260 χ.µ. Από τους περιορισµούς του προβλήµατος δεσµευτικοί είναι οι δύο τελευταίοι (η περιθώρια τιµή τουςείναιµηδέν) και χαλαροί οι δύο πρώτοι (η περιθώρια τιµή τους είναι διάφορη του µηδενός). 2. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στη δυϊκή τιµή του 2ου περιορισµού, η οποία ισούται µε 0. Στην εταιρεία υπάρχει περίσσευµα 70 µονάδων του πόρου πεύκο και συνεπώς η αξία ενός επιπλέον m3 είναι µηδενική. 3. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στη δυϊκή τιµή του 3ου περιορισµού, η οποία ισούται µε 2. Για κάθε επιπλέον ώρα εργασίας που µπορεί να εξασφαλίσει η εταιρεία (και για το πολύ άλλες 30) θα αυξάνει το κέρδος της κατά 2 χ.µ. 4. Ηαπάντησηστοερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στις δυϊκές τιµές του 3ου (=2) και τέταρτου (=2) περιορισµού οι οποίες καθορίζουν την αξία που έχει για την εταιρεία µια επιπλέον ώρα εργασίας στο τµήµα τηςκοπήςκαιτηςσυναρµολόγησης αντίστοιχα. Φυσικά η εταιρεία θα έπρεπε να κατοχυρώσει τις ώρες (του τµήµατος) µε τηµεγαλύτερη αξία. Στην περίπτωσή µας όµως, λόγω της ισότητας των τιµών τους, δεν έχει καµία σηµασία από πιο τµήµα επιλέξεινακατοχυρώσει ώρες. 5. Το εύρος εφικτότητας για τον συντελεστή b2 είναι το [90, ). Μια και πρόκειται για χαλαρό περιορισµό, για b2=100 θα έχουµε την ίδια άριστη λύση. 6. Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα από το LINDO το ευκαιριακό κόστος της πρώτης µεταβλητής ισούται µε 2. Συνεπώς το κέρδος από το 1ο προϊόνθαέπρεπεναφτάνειτουλάχιστοντις6 (4+2) χ.µ. για να προχωρήσει η εταιρεία στην κατασκευή του. 7. Το εύρος αριστότητας για τον αντικειµενικό συντελεστή c3 είναι [5, 20]. Συνεπώς για c3=13 καµία αλλαγή δεν πρόκειται να επέλθει στην άριστη λύση του προβλήµατος

18 Παράδειγµα 2 Μιαεταιρείαδηµοσκοπήσεων που συµφώνησε να προχωρήσει σε µια έρευνα αγοράς, προσπαθεί να υπολογίσει τον αριθµό των ανθρώπων που θα απαιτηθούν για τη διεξαγωγή της. Η έρευναθαγίνειµε τηµέθοδο της προσωπικής συνέντευξης και της τηλεφωνικής επικοινωνίας, µε τον κάθε εργαζόµενο να µπορεί να πραγµατοποιήσει σε ηµερήσια βάση 80 τηλεφωνικές ή 40 προσωπικές επαφές. Σύµφωνα µε τον σχεδιασµό αντιπροσωπευτικότητας της έρευνας, θα πρέπει να γίνουν τουλάχιστον 1000 τηλεφωνικές και τουλάχιστον 800 προσωπικές συνεντεύξεις, µε τοσύνολό τους να πρέπει να είναι τουλάχιστον Λαµβάνοντας υπόψη ότι το ηµερήσιο κόστος για τον κάθε "τηλεφωνικό" εργαζόµενο ανέρχεται στις 50 χρηµατικές µονάδες, ενώ για τον κάθε "προσωπικό" στις Παράδειγµα 2 1. Σχεδιάστε ένα πρόβληµα ΓΠ για την εύρεση του αριθµού συνεντευκτών που θα απαιτηθούν σε τρόπο ώστε η έρευνα να πραγµατοποιηθεί µε το µικρότερο δυνατό κόστος, 2. δώστε το πλήθος των "τηλεφωνικών" και "προσωπικών" συνεντευκτών που πρέπει να χρησιµοποιηθούν, 3. βρείτε τη νέα βέλτιστη λύση στην περίπτωση που το ηµερήσιο κόστος για τον κάθε "τηλεφωνικό" συνεντευκτή υποδιπλασιαστεί, 4. βρείτε τη νέα βέλτιστη λύση στην περίπτωση που το ηµερήσιο κόστος για τον κάθε "προσωπικό" συνεντευκτή διπλασιαστεί. 5. Υποθέστε ότι αν µειωθούν οι ελάχιστες απαιτήσεις µιας µόνο εκ των τεχνικών συνέντευξης (προσωπικής ή τηλεφωνικής) η αντιπροσωπευτικότητα του δείγµατος δεν επηρεάζεται. Στην περίπτωση αυτή, ποια θα έπρεπε να επιλεγεί ώστε η εταιρεία δηµοσκοπήσεων να εξοικονοµήσει όσο το δυνατόν περισσότερα χρήµατα

19 Λύση Ορίζουµε ναείναιx1, x2 το αντίστοιχο πλήθος των «τηλεφωνικών» και "προσωπικών" συνεντευκτών που πρέπει να χρησιµοποιηθούν. Τότε το συνολικό κόστος για την εταιρεία δηµοσκοπήσεων που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ανέρχεται σε (50x1 + 70x2) χρηµατικές µονάδες. Οι περιορισµοί του προβλήµατος προκύπτουν από i) το ελάχιστο συνολικό πλήθος συνεντεύξεων που πρέπει να πραγµατοποιηθούν : 80x1 + 40x2 3,000 ii) το ελάχιστο πλήθος τηλεφωνικών συνεντεύξεων που πρέπει να πραγµατοποιηθούν : 80x1 1,000 iii) το ελάχιστο πλήθος προσωπικών συνεντεύξεων που πρέπει να πραγµατοποιηθούν : 40x2 800 i) τη µη-αρνητικότητα των µεταβλητών απόφασης : x1, x

20 Λύση 1. Το σηµείο B(27.5, 20) αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση και δίνει τιµή τηςαντικειµενικής συνάρτησης ίση µε 2,775. Συνεπώς για την πραγµατοποίηση της έρευνας απαιτούνται x1 = 27.5 «τηλεφωνικοί» και x2 = 20 προσωπικοί συνεντευκτές. 2. Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα θα πρέπει να προχωρήσουµε σε ανάλυση ευαισθησίας για τον αντικειµενικό συντελεστή c1. Το σηµείο B(27.5, 20) είναι η άριστη λύση στο πρόβληµά µας όσο η κλίση της ευθείας (1) κλίσητηςευθείαςz κλίσητηςευθείας(3) που δίνει -2 c1/c2 0 (η κλίση της ευθείας (3) που είναι παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα είναι µηδέν). Έτσι για c2 = 70 παίρνουµε ως εύρος αριστότητας του αντικειµενικού συντελεστή c1 το [0, 140] Συνεπώς για c1 = 25 (υπο-διπλάσιο κόστος «τηλεφω νικής» συνέντευξης) βέλτιστη λύση του προβλήµατος παραµένει το σηµείο Β(27.5, 20) µε νέα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης ίση µε 2, Ανάλογα, θα πρέπει να προχωρήσουµε σεανάλυσηευαισθησίαςγιατοναντικειµενικό συντελεστή c2. Το εύρος αριστότητάς του είναι το [25, ) και συνεπώς, για c2 = 140 (διπλάσιο κόστος «προσωπικής» συνέντευξης), βέλτιστη λύση του προβλήµατος παραµένει το σηµείο Β(27.5, 20) µε νέα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης ίση µε 4, Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα απαιτείται η γνώση των δυικών τιµών που αντιστοιχούν στον 2ο (αξία µιας «τηλεφωνικής» συνέντευξης) και 3ο (αξία µιας «προσωπικής» συνέντευξης) περιορισµό. Παρατηρούµε όµως ότι 2ος περιορισµός είναι χαλαρός (µε περιθώρια τιµή ίση µε 1200) : το b2 µπορείναελαττωθείαπεριόρισταχωρίςναµεταβληθεί η βέλτιστη λύση. Συνεπώς η αντίστοιχη δυική τιµή ισούταιµε µηδέν. Κάτι τέτοιο δε συµβαίνει και µε τον3ο περιορισµό ο οποίος είναι δεσµευτικός (η βέλτιστηλύσηείναισηµείο τοµής των ευθειών (1) και (3). Η αντίστοιχη δυική τιµή είναι διάφορη του µηδενός 39 Παράδειγµα 3 Αγροτικός συνεταιρισµός κερδίζει 4, 3 και 6 χρηµατικές µονάδες από τις πωλήσεις που πραγµατοποιεί αντίστοιχα στις τρεις διαφορετικές κονσέρβες, έστω Α, Β καιγ, που παράγει αναµιγνύοντας ροδάκινο, βερίκοκο κι ανανά. Σε γενικές γραµµές η συζητούµενη παραγωγική διαδικασία µπορεί να διαχωριστεί σε δύο στάδια : την αποφλοίωση/κοπή (Σ1) και τη µείξη/συσκευασία (Σ2). Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι απαιτήσεις του κάθε προϊόντος σε πρώτες ύλες (Kr) και σε χρόνους επεξεργασίας (min), καθώς επίσης και η διαθεσιµότητα κάθε παραγωγικού συντελεστή 40 20

21 Παράδειγµα 3 1. Αφού διαπιστώσετε ποιο είναι το πρόβληµα του συνεταιρισµού, διαµορφώσετε ένα π.γ.π. που µπορεί να το επιλύσει. Στη συνέχεια, χρησιµοποιώντας τη λύση και την ανάλυση ευαισθησίας που δίνεται στη συνέχεια από το LINDO, απαντήστε στα εξής ερωτήµατα : 2. Πόσο πρέπει να είναι το κέρδος του προϊόντος Β ώστε να είναι συµφέρουσα η παραγωγή του και γιατί; 3. Ο συνεταιρισµός εξετάζει την περίπτωση να αντικαταστήσει το µηχανολογικό εξοπλισµό των παραγωγικών σταδίων Σ1 και Σ2 πριν την έναρξη της παραγωγής. Ο καινούργιος εξοπλισµός είναι δυναµικότητας 1,200 λεπτών για το 1 ο στάδιο και 700 λεπτών για το 2ο στάδιο. Θα µεταβληθεί η βέλτιστη λύση; 4. Αν ο συνεταιρισµός είχε τη δυνατότητα να προµηθευτεί 10 επιπλέον κιλά ροδάκινα ή βερίκοκα ποιο φρούτο έπρεπε να προτιµήσει και γιατί; 5. Η διοίκηση πληροφορείται ότι υπάρχουν διαθέσιµα ακόµα 50 κιλά ανανά. Αν τα χρησιµοποιήσει ποια θα είναι η επίδραση στο συνολικό κέρδος; 41 Παράδειγµα

22 Λύση 1. Φανερά, ο συνεταιρισµός ενδιαφέρεται να προσδιορίσει το πλήθος των κονσερβών τύπου Α, Β και Γ που πρέπει να παράγει µέσα στις συγκεκριµένες διαθεσιµότητες των παραγωγικών του συντελεστών σε τρόπο ώστε να µεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος. Ορίζουµε ναείναιxα, xb, xγ το πλήθος των κονσερβών Α, Β και Γ που πρέπει να παραχθούν. Τότε το συνολικό κέρδος ανέρχεται σε 4xΑ + 3xB + 6xΓ χρηµατικές µονάδες. Οι περιορισµοί του προβλήµατος προκύπτουν αφενός µεν από τη διαθεσιµότητα των φρούτων, αφετέρου δε από το διαθέσιµο χρόνο στα δύο στάδια της επεξεργασίας: 3xΑ+ 2xB+ xγ 920 (διαθέσιµη ποσότητα ροδάκινων, Kr) 2xΑ+ 2xB+ 2xΓ 900 (διαθέσιµη ποσότητα βερίκοκων, Kr) xα+ 2xB+ 3xΓ 930 (διαθέσιµη ποσότητα ανανά, Kr) 1.2xΑ + 1.4xB+ 1.5xΓ 1,260 (διαθέσιµος χρόνος στο 1ο Στάδιο, min) xα+ 2xB+ xγ 600 (διαθέσιµος χρόνος στο 2ο Στάδιο, min) xα, xb, xγ 0 Από τα αποτελέσµατα του LINDO βλέπουµε ότι η βέλτιστη λύση του προβλήµατος xα = 210, xγ = 240 οδηγεί σε κέρδος 2,280 χρηµατικών µονάδων. 43 Λύση 2. Το ερώτηµα αφορά το ευκαιριακό κόστος της xb που είναι ίσο µε 2. Αν το κέρδος από τις κονσέρβες τύπου Β γίνει τουλάχιστον 5 (= 3 + 2) χρηµατικές µονάδες τότε θα συµφέρει η παραγωγή τους. 3. Οι περιορισµοί που αναφέρονται στο διαθέσιµο χρόνο για τα δύο στάδια της παραγωγικής διαδικασίας είναι χαλαροί µε περιθώριες τιµές 648 (ο 4ος που αφοράτοστάδιοσ1) και 150 (ο 5ος που αφορά το στάδιο Σ2). Η δοθείσα τροποποίηση θα αυξήσει απλά την περιθώρια τιµή του5ου κατά 100 µονάδες και θα ελαττώσει αυτή του 4ου κατά 60. Συνεπώς, η βέλτιστηλύση θα παραµείνει η ίδια. 4. Ο πόρος µε τηµεγαλύτερη αξία (: δυική τιµή) είναι τα «βερίκοκα» (για την ακρίβεια, η βέλτιστηλύσηαφήνειανεκµετάλλευτα 50Kr ροδάκινων). 5. Ο πόρος «ανανάς» έχει δυϊκή τιµή ίσηµε 1. Συνεπώς αύξηση της διαθέσιµης ποσότητάς του κατά 50Kr θα οδηγήσει σε αύξηση του συνολικού κέρδους κατά 1 50 χρηµατικές µονάδες

23 Παράδειγµα 4 Κάποια υφαντουργική εταιρεία διαθέτει στην αγορά δύο είδη βαµβακερών υφασµάτων, κοτλέ και φούτερ. Για να παραχθεί ένα µέτρο κοτλέ υφάσµατος απαιτούνται 3.75Kg βαµβάκι και 3.2 ώρες επεξεργασία. Ανάλογα, γιαναπαραχθεί ένα µέτρο φούτερ χρειάζονται 2.5Kg βαµβάκι και 3.0 ώρες επεξεργασία. Για την επόµενη παρτίδα ρούχων, η εταιρεία έχει στη διάθεσή της 3250Kg βαµβάκι και 3000 ώρες για την επεξεργασία του, ενώ από τα υπάρχοντα στοιχεία γνωρίζει ότι πρόκειται να διαθέσει όσα µέτρα φούτερ κι αν κατασκευάσει αλλά το πολύ 510 µέτρα κοτλέ. 45 Παράδειγµα 4 1. Αν κάθε µέτρο φούτερ αφήνει κέρδος 2.25 χρηµατικών µονάδων και κάθε µέτρο κοτλέ 3.10, προσδιορίστε τις ποσότητες που πρέπει να κατασκευαστούν από το κάθε είδος σε τρόπο ώστε τα συνολικά κέρδη της εταιρείας να είναι τα δυνατόν περισσότερα. 2. Παραµένουν ανεκµετάλλευτοι πόροι (πρώτες ύλες) στην ανωτέρω βέλτιστη γραµµή παραγωγής; Καλύπτεται η ζήτηση για το κοτλέ; 3. Σε ποιο ποσό θα ανερχόταν τα κέρδη της εταιρείας αν τα διαθέσιµα Kg βαµβάκι ήταν Αντοκέρδοςαπότοκάθεµέτρο φούτερ ανερχόταν στις 3.50 χρηµατικές µονάδες, ποια θα ήταν η (νέα;) άριστη λύση του προβλήµατος; Αντοκέρδοςαπότοκάθεµέτρο κοτλέ ανερχόταν στις 4.00 χρηµατικές µονάδες, ποια θα ήταν η (νέα;) άριστη λύση του προβλήµατος; 5. Αν η υφαντουργική εταιρεία µπορούσε να επιλέξει µεταξύ περισσότερων Kg βαµβάκι και περισσότερου χρόνου για την επεξεργασία του, τι θα τη συµβουλεύατε; 46 23

24 Λύση Συµβολίζουµε µε x1, x2 τα µέτρα του υφάσµατος φούτερ και κοτλέ που θα παραχθούν (αντίστοιχα). Τότε, τα συνολικά κέρδη της εταιρείας τα οποία θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε ανέρχονται σε 2.25x x2 χρηµατικές µονάδες. Σύµφωνα µε ταδεδοµένα που έχουµε : (1) η διαθέσιµη ποσότητα βαµβακιού ανέρχεται στα 3,250Kr : 2.50x x2 3,250 (2) ο διαθέσιµος χρόνος για την επεξεργασία του ανέρχεται στις 3,000 ώρες : 3.0x x2 3,000 (3) θα διατεθούν το πολύ 510 µέτρα υφάσµατος κοτλέ : x2 510 Φυσικά έχουµε ακόµη x1, x

25 Λύση Για την άριστη λύση (x1 = 456, x2 = 510) οι περιορισµοί του προβλήµατος δίνουν : (1) = ( 3250) (2) = 3000 ( 3000) (3) 510 = 100 ( 510) Στην εταιρεία παραµένουν ανεκµετάλλευτα 197.5Kg βαµβακιού, ενώ διατίθενται όσα µέτρα υφάσµατος κοτλέ επιτρέπονται. Οι περιορισµοί (2) και (3) είναι δεσµευτικοί, ενώ ο περιορισµός (1) χαλαρός µε περιθώρια τιµή Ο πρώτος περιορισµός είναι χαλαρός µε περιθώρια τιµή Η µείωση της διαθέσιµης ποσότητας βαµβακιού κατά 250Kg ξεπερνά αυτή την τιµή και συνεπώς, για να απαντήσουµε στοερώτηµα, πρέπει να λύσουµε τονέο πρόβληµα : για τιµές του b1 < ( ) ο πρώτος περιορισµός γίνεται δεσµευτικός. Για b1 = 3000 η παραγωγή µέτρων υφάσµατος φούτερ και µέτρων κοτλέ, δίνει στην εταιρεία κέρδη περίπου ίσα µε 2,573 χρηµατικές µονάδες. 49 Λύση Το ερώτηµα µπορεί να απαντηθεί από την ανάλυση ευαισθησίας για τους αντικειµενικούς συντελεστές c1 και c2 αντίστοιχα. Το σηµείο Γ παραµένει η άριστη λύση για το πρόβληµά µας όσο κλίση της ευθείας (2) κλίση της ευθείας z κλίση της ευθείας (3) που εδώ δίνει c1/c2 0(η ευθεία είναι παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα). Η σχέση αυτή για c1 = 2.25 µας δίνει το εύρος αριστότητας του συντελεστή c2 [2.4, ) και για c2 = 3.1 το εύρος αριστότητας του συντελεστή c1 [0, ]. i) Ητιµή c1 = 3.50 είναι έξω από το εύρος αριστότητάς του. Καθώς η τιµή του c1 µεγαλώνει από την τρέχουσα 2.25, η κλίση της ευθείας z αλλάζει (µικραίνει) : η z περιστρέφεται γύρω από το σηµείο Γ σύµφωνα µε τηφορά των δεικτών του ρολογιού. Για c1 = , οι ευθείες z και ταυτίζονται και το πρόβληµα αποκτά άπειρες βέλτιστες λύσεις που αντιστοιχούν στα σηµεία του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ. Για c1 > η ευθείαz αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από το σηµείο Β, που είναι πια η άριστη λύση του προ βλήµατος. Συνεπώς, για c1 = 3.50 έχουµε ωςβέλτιστηγραµµή παραγωγής τη x1 = 1000, x2 = 0 µε αντίστοιχη τιµή z = 3,500 χ.µ. ii) Αύξηση της τιµής του c2 από 3.10 σε 4 δε µεταβάλλει την υποδειχθείσα (x1 = 456, x2 = 510) ως βέλτιστη γραµµή παραγωγής. Μεταβάλλεται µόνον ητιµή τηςπουφτάνειτώρατιςz = 3,

26 Λύση Είναι προφανές ότι η υφαντουργική εταιρεία πρέπει να επιλέξει να αυξήσει τις διαθέσιµες ώρες για την επεξεργασία του βαµβακιού. Ο 1ος περιορισµός είναι χαλαρός κι άρα αύξηση της διαθέσιµης ποσότητας βαµβακιού θα αυξήσει απλά την περιθώρια τιµή του(: ανεκµετάλλευτη ποσότητα). Απότηγραφικήεπίλυσητου προβλήµατος παρατηρούµε ότι τα οριακά σηµείαταοποίαδιατηρούντηγραµµική σχέση µεταξύ των ωρών που υπάρχουν για την επεξεργασία του βαµβακιού και της άριστης τιµής z είναι τα και Ε. Αντικαθιστώντας τα δύο άκρα στον αντίστοιχο περιορισµό : 3(0) + 3.2(510) = b2 b2 = 1632 Ε: 3(535) + 3.2(510) = b2 b2 = 3237 βρίσκουµε το εύρος εφικτότητας του b2 [1632, 3237]. Επειδή οι τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης για τα σηµεία και Ε είναι : z = 2.25(0) (510) = 1581 Ε: z = 2.25(535) (510) = η κλίση της ευθείας που παριστά το ρυθµό µεταβολής της αντικειµενικής συνάρτησης z σε σχέση µε τηµεταβολή των διαθέσιµων ωρών επεξεργασίας του βαµβακιού ισούται µε κλίση = ( )/( )=0.75 (δυϊκή τιµή του2ου περιορισµού που παριστά την αξία µιας ώρας επεξεργασίας βαµβακιού). Η εταιρείαθακερδίζει0.75 χ.µ. για κάθε επιπλέον ώρα που θα εξασφαλίζει στην επεξεργασία του βαµβακιού

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας µε τη χρήση του Solver

Ανάλυση Ευαισθησίας µε τη χρήση του Solver Ανάλυση Ευαισθησίας µε τη χρήση του Solver Πρόβληµα 1 Μια εταιρία κατασκευής τηλεοράσεων κατασκευάζει τέσσερα µοντέλα τηλεοράσεων Μ1, Μ2, Μ3 και Μ4. Κάθε µοντέλο για να παραχθεί απαιτεί χρόνο συναρµολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Μια εταιρεία αλουμινίου έχει αποθέματα βωξίτη στην περιοχή G, στην S και στην A. Επίσης, υπάρχουν εργοστάσια μετάλλου, όπου ο βωξίτης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 ΟΜΑ Α Α Στις προτάσεις, από Α.1. µέχρι και Α.6, να γράψετε τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό την ένδειξη Σωστό, αν η πρόταση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Στις προτάσεις, από Α.1. µέχρι και Α.6, να γράψετε τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό την ένδειξη Σωστό, αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟΘ : ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2013

ΑΟΘ : ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2013 12 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΟΘ : ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2013 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο (µε 2ο, 3ο και 4ο) ΗΜΕΡΗΣΙΑ 9/2000 ΗΜΕΡΗΣΙΑ 6/2000 ΕΣΜΕΣ 2000 ΕΣΜΕΣ 1998 28. ίνονται οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC Μέσο κόστος µέσο συνολικό κόστος (AC) 3 Προσφορά και κόστος µέσο µεταβλητό κόστος (AVC) µέσο σταθερό κόστος (AFC) Το µέσο σταθερό κόστος µειώνεται, διότι το συνολικό σταθερό κόστος κατανέµεται σε περισσότερη

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Προγραµµατισµός τεσσάρων διαφορετικών προϊόντων Σιτάρι, σόγια, βρώµη καικαλαµπόκι Μέγιστη συνολική έκταση 1.500 στρέµµατα Ακριβώς 100 στρέµµατα

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Γραμμικός Προγραμματισμός στο Σχεδιασμό. της Επιχείρησης παραγωγής Σοκολάτας ΜC

Ο Γραμμικός Προγραμματισμός στο Σχεδιασμό. της Επιχείρησης παραγωγής Σοκολάτας ΜC ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Τομέας: Ποσοτικές Μέθοδοι Στατιστική & Οικονομετρία Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Ο Γραμμικός Προγραμματισμός στο Σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

The Product Mix Problem

The Product Mix Problem Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 1 The Product Mix Problem Τα προβλήματα αυτά αναφέρονται σε συστήματα τα οποία εκμεταλλευόμενα τους περιορισμένους πόρους που έχουν στη διάθεσή του, παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Το Υπόδειγμα IS-LM. (1) ΗΚαμπύληIS (Ισορροπία στην Αγορά Αγαθών)

Το Υπόδειγμα IS-LM. (1) ΗΚαμπύληIS (Ισορροπία στην Αγορά Αγαθών) Το Υπόδειγμα IS-LM Νομισματική και Δημοσιονομική Πολιτική σε Κλειστή Οικονομία - Ταυτόχρονη Ανάλυση Μεταβολών της Ισορροπίας στην Αγορά Αγαθών και στην Αγορά Χρήματος => Υπόδειγμα IS-LM (1) ΗΚαμπύληIS

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας κτηµατίας πρέπει να καθορίσει πόσα στρέµµατα καλαµποκιού και σιταριού να φυτέψει αυτή τη χρονιά. Ένα στρέµµα σιταριού

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ιαµόρφωση Προβλήµατος

ιαµόρφωση Προβλήµατος Γραµµικός Προγραµµατισµός ιαµόρφωση Προβλήµατος Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Γενικά Στοιχεία Γραµµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

Homework 1. 2. Πρόκειται για ατομικές ασκήσεις οι οποίες συνεισφέρουν το 25% του τελικού σας βαθμού.

Homework 1. 2. Πρόκειται για ατομικές ασκήσεις οι οποίες συνεισφέρουν το 25% του τελικού σας βαθμού. ΠΜΣ: Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Διδάσκων: Ν. Τσάντας Homework 1 1. Ασκήσεις: δείτε τις σελίδες 2-6 του παρόντος. 2. Πρόκειται για

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ 2004

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ 2004 ΑΡΧΕΣ ΟΙΟΝΟΜΙΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΛΥΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΗΣ ΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ 2004 ΕΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α ια τις προτάσεις από Α1 µέχρι και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Στρατηγική Παραγωγικής Διαδικασίας

Κεφάλαιο 1: Στρατηγική Παραγωγικής Διαδικασίας Κ1.1: Αναμενόμενες Χρηματικές Αξίες (ΑΧΑ) Οι ΑΧΑ ορίζονται ως η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου επί το καθαρό ή μεικτό κέρδος (ή κόστος) του ενδεχόμενου συν η πιθανότητα του άλλου ενδεχόμενου επί το καθαρό

Διαβάστε περισσότερα

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Αθήνα, 2007 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να

Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να πραγματοποιεί κέρδος ή ζημιά. Η βασική αρχή πάνω στην

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 Μάθηµα: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Ηµεροµηνία και ώρα εξέτασης: ευτέρα 9 Ιουνίου 2008 7:30-10:00

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Παραγωγή: είναι η διαδικασία με την οποία οι διάφοροι παραγωγικοί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το συνολικό προϊόν παίρνει την μέγιστη τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά και Ζήτηση Υπηρεσιών Υγείας

Προσφορά και Ζήτηση Υπηρεσιών Υγείας Προσφορά και Ζήτηση Υπηρεσιών Υγείας ΤΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Τι θα παραχθεί Πως θα παραχθεί Σε τι ποσότητα Μέθοδοι και διαδικασίες παραγωγής Μελέτες για τον προσδιορισμό των αναγκών Προσδιορισμός Αναγκών

Διαβάστε περισσότερα

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ 7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ Για να αναπτυχθούν οι βασικές έννοιες της δυναμικής του εργοστασίου εισάγουμε εδώ ορισμένους όρους πέραν αυτών που έχουν ήδη αναφερθεί σε προηγούμενα Κεφάλαια π.χ. είδος,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΊΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ, ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΝΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΝΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΝΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Βάλτε σε κύκλο το σωστό γράμμα: 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. 1. Ταυτόχρονη αύξηση της ζήτησης και της προσφοράς μπορεί να μη μεταβάλλει την ποσότητα ισορροπίας. Σ Λ Α. 2. Έστω δύο αγαθά

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Εφαρμογές Θεωρίας 1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για την κατανάλωση του νερού ενός φράγματος (εκφρασμένη σε ευρώ) είναι q = 12-P και το οριακό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑ Α Α κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Α.1. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις. Α.1.1. Η ουσία του οικονοµικού προβλήµατος των κοινωνιών οφείλεται στην έλλειψη χρηµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων Αθήνα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÓÕÍÅÉÑÌÏÓ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÓÕÍÅÉÑÌÏÓ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ηµεροµηνία: Παρασκευή 17 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α.1 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. Κεφάλαιο 10. Το κόστος παραγωγής. ! Οι επιχειρήσεις επιθυµούν να παράγουν µεγαλύτερη ποσότητα, όσο υψηλότερη είναι η τιµή

ΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. Κεφάλαιο 10. Το κόστος παραγωγής. ! Οι επιχειρήσεις επιθυµούν να παράγουν µεγαλύτερη ποσότητα, όσο υψηλότερη είναι η τιµή ΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Κεφάλαιο 10 Το παραγωγής! Ο Νόµος της προσφοράς:! Οι επιχειρήσεις επιθυµούν να παράγουν µεγαλύτερη ποσότητα, όσο υψηλότερη είναι η τιµή! Ως εκ τούτου, η καµπύλη προσφοράς έχει αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2008

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2008 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Για τις προτάσεις από Α.1 µέχρι και Α.5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Α 5 5 Β 8 2. β) Qd = Qd+15%Qd= 10-P +0,15*(10-P)=10-P+1,5-1,5P=11,5-1,15P

Α 5 5 Β 8 2. β) Qd = Qd+15%Qd= 10-P +0,15*(10-P)=10-P+1,5-1,5P=11,5-1,15P ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Να λυθούν οι παρακάτω ασκήσεις: 1. Αν η τιµή των Ιταλικών επίπλων µειωθεί τι θα συµβεί στη ζήτηση α) των Ιταλικών επίπλων και β) των Ελληνικών επίπλων. 2. Αν η τιµή του υγραερίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ (16/3/2014)-ΣΕΙΡΑ Α

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ (16/3/2014)-ΣΕΙΡΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ (16//201)-ΣΕΙΡΑ Α ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. (β) Α. (γ) ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β Β1.Η μεταβολή στην προσφερόμενη ποσότητα ενός αγαθού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα 1ο Α. ii. iii. iv. (Μονάδες 15) ii. iii. iv. (Μονάδες 5) ii. iii. iv. (Μονάδες 5)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα 1ο Α. ii. iii. iv. (Μονάδες 15) ii. iii. iv. (Μονάδες 5) ii. iii. iv. (Μονάδες 5) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΗή ΛΑΘΟΣ καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις. i. Ηουσία του οικονοµικού προβλήµατος των κοινωνιών οφείλεται στην έλλειψη χρηµατικού κεφαλαίου. ii. Η µείωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ-ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ-ΕΚΤΟ ΕΚΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδηµαϊκό Έτος 2011-2012 ΕΠΙΧ Μικροοικονοµική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα