ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τίτλος Εργασίας: Μελέτη Αλγορίθµων Αναγνώρισης Προσώπου, Υλοποίηση, Εφαρµογή και Σύγκριση της απόδοσής τους Συγγραφέας: Μπακάλης Αθανάσιος (ΑΜ 07/28) Επιβλέπων Καθηγητής: Χρήστου - Βαρσακέλης ηµήτριος Εξεταστική Επιτροπή: Χρήστου - Βαρσακέλης ηµήτριος, Επίκουρος Καθηγητής Σαµαράς Νικόλαος, Επίκουρος Καθηγητής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2010

2 2010, Μπακάλης Αθανάσιος Η έγκριση της διπλωµατικής εργασίας από το Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής του Πανεπιστηµίου Μακεδονίας δεν υποδηλώνει απαραιτήτως και αποδοχή των απόψεων του συγγραφέα εκ µέρους του Τµήµατος (Ν.5343/32 αρ.202 παρ.2). 2

3 Πίνακας περιεχοµένων Ευχαριστίες... 6 Περίληψη Εισαγωγή Ιστορική εξέλιξη και ταξινόµηση αλγορίθµων Αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα (Model-based Algorithms Αλγόριθµοι που βασίζονται στην εµφάνιση (Appearance-based Algorithms) Προηγούµενες συγκριτικές µελέτες Γνωστικό υπόβαθρο Ιδιοδιανύσµατα και ιδιοτιµές πίνακα Αποστάσεις και συναρτήσεις οµοιότητας Απόσταση Minkowski Απόσταση Manhattan ή Cityblock ή L 1 norm Ευκλείδεια απόσταση Απόσταση Chebychev Οµοιότητα συνηµίτονου Συσχέτιση Συνδιακύµανση Απόσταση Mahalanobis Απόσταση Spearman Τεχνικές βελτίωσης εικόνας Αναλυτική περιγραφή αλγορίθµων Ανάλυση σε Κύριες Συνιστώσες (Principal Component Analysis, PCA) Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµου Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση (Linear Discriminant Analysis, LDA) Αλγόριθµοι πυρήνα (Kernel Algorithms)

4 5.4 Ανάλυση σε Κύριες Συνιστώσες πυρήνα (Kernel PCA) Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση του πυρήνα (Kernel Fisher LDA) Η ανάλυση σε Ανεξάρτητες Συνιστώσες (Independent Component Analysis, ICA) Αλγόριθµος Ανεξάρτητων Συνιστωσών µε σταθερό σηµείο επαναλήψεων - FastICA Κρυµµένα πρότυπα του Markov (Hidden Markov Model, HMM) Ταίριασµα ελαστικών δεσµών (Elastic Bunch Matching) D Morphable Model Περιγραφή των Βάσεων Βάση Πανεπιστηµίου Yale Βάση Εργαστηρίου Υλοποίηση και εφαρµογή αλγορίθµων ηµιουργία βάσεων εκπαίδευσης και ελέγχου Υλοποίηση αλγορίθµων αναγνώρισης και διαδικασίας ελέγχου Yale Database Αλγόριθµος Κύριων Συνιστωσών (Principal Component Analysis, PCA) Κανονικοποιηµένη Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση (regularized Linear Discriminant Analysis, rlda) Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση πολυωνυµικού πυρήνα (Polynomial Kernel Linear Discriminant Analysis) Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση πυρήνα Gauss (Gaussian Kernel Linear Discriminant Analysis) Αλγόριθµος Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis, ICA) Αλγόριθµος Ανεξάρτητων Συνιστωσών µε τη χρήση του FastICA (Fast Independent Component Analysis, FastICA) Βάση Εργαστηρίου

5 Αλγόριθµος Κύριων Συνιστωσών (Principal Component Analysis, PCA) Κανονικοποιηµένη Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση (regularized Linear Discriminant Analysis, rlda) Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση πολυωνυµικού πυρήνα (Polynomial Kernel Linear Discriminant Analysis) Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση πυρήνα Gauss (Gaussian Kernel Linear Discriminant Analysis) Αλγόριθµος Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis, ICA) Αλγόριθµος Ανεξάρτητων Συνιστωσών µε τη χρήση του FastICA (Fast Independent Component Analysis, FastICA) Ανάλυση µετρήσεων Συγκεντρωτικά Αποτελέσµατα Σύγκριση της απόδοσης των αλγορίθµων ως προς την ικανότητα επίλυσης του προβλήµατος Ταυτοποίησης Σύγκριση της απόδοσης των αλγορίθµων ως προς την ικανότητα επίλυσης του προβλήµατος Εξακρίβωσης Απόδοση συναρτήσεων οµοιότητας Σύγκριση των βάσεων Συµπεράσµατα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΓΛΩΣΣΑΡΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΟΡΩΝ

6 Ευχαριστίες Θα ήθελα να εκφράσω τις θερµές µου ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Χρήστου Βαρσακέλη ηµήτριο για την πολύτιµη βοήθεια και υποστήριξη που µου προσέφερε κατά τη διάρκεια εκπόνησης της µεταπτυχιακής µου διατριβής, καθώς επίσης και για το έναυσµα που µου έδωσε για να ασχοληθώ µε την αναγνώριση προσώπων. Η άριστη συνεργασία, η καθοδήγηση και η κατανόηση που επέδειξε συνέβαλαν στην ολοκλήρωση της παρούσας µεταπτυχιακής διατριβής. Επιπρόσθετα, τις θερµότερες ευχαριστίες µου οφείλω να εκφράσω στα µέλη της οικογένειάς µου για την ψυχολογική στήριξη που µου παρείχαν. Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2010 Μπακάλης Αθανάσιος 6

7 Περίληψη Η εργασία αυτή, έχει ως αντικείµενο τη µελέτη αλγορίθµων αναγνώρισης προσώπου µε στόχο την αξιολόγηση της απόδοσης τους. Τα συστήµατα αναγνώρισης προσώπου ως αντικείµενο επιστηµονικής έρευνας ξεκίνησε στις αρχές τις δεκαετίας του Στην εξελικτική πορεία των συστηµάτων τις τελευταίες δεκαετίες εµφανίστηκε πληθώρα διαφορετικών προσεγγίσεων. Οι διάφορες τεχνικές αναγνώρισης προσώπου µπορούν να ταξινοµηθούν σε δύο βασικές κατηγορίες. Στους αλγόριθµους που βασίζονται στην εµφάνιση (appearance based) και στους αλγόριθµους που βασίζονται σε µοντέλα (model based). Η παρούσα εργασία καλείται να διερευνήσει την ικανότητα αναγνώρισης των βασικότερων αλγορίθµων που βασίζονται στην εµφάνιση καθώς και την απόδοση των διάφορων συναρτήσεων οµοιότητας (µετρικές βάση των οποίων ποσοτικοποιείται η «απόσταση» µεταξύ των δύο εικόνων προσώπων) για κάθε αλγόριθµο σε διαφορετικές βάσεις προσώπων. Για την εκπλήρωση των στόχων αυτών υλοποιήθηκαν έξι από τους αλγορίθµους που βασίζονται στην εµφάνιση και οκτώ συναρτήσεις οµοιότητας και εφαρµόσθηκαν σε εικόνες δύο διαφορετικών βάσεων προσώπων. ηµιουργήθηκε ένα ολοκληρωµένο σύστηµα µετρήσεων το οποίο δύναται να καταγράψει την απόδοση των αλγορίθµων αναγνώρισης σε συνδυασµό µε τις συναρτήσεις οµοιότητας παρέχοντας αποτελέσµατα που να επιτρέπουν την σύγκριση τους. Λέξεις Κλειδιά Αναγνώριση Προσώπου (Face Recognition), Αλγόριθµοι που βασίζονται στην εµφάνιση (Appearance Based Algorithms), Αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα (Model Based Algorithms), Συναρτήσεις οµοιότητας (Similarity measures) 7

8 1. Εισαγωγή Η αναγνώριση προσώπου είναι µια διαδικασία που οι άνθρωποι πραγµατοποιούν στην καθηµερινή τους ζωή. Ο ανθρώπινος εγκέφαλος έχει την ικανότητα να αναγνωρίζει πρόσωπα, βάση µιας πολύπλοκης διαδικασίας. Η πληροφορία-εικόνα µεταφέρεται από το αισθητήριο όργανο (µάτι) σε µία ιεραρχική δοµή περιοχών του προσώπου στον εγκέφαλο που καταλήγει στον κροταφικό λοβό. Ο κροταφικός λοβός που είναι πρωταρχικά υπεύθυνος για την αναγνώριση και αντίληψη αποστέλλει στην συνέχεια πληροφορίες στις προαναφερθείσες περιοχές της ιεραρχικής δοµής. Η «συνοµιλία» ανάµεσα στις περιοχές του εγκεφάλου µε τον κροταφικό λοβό δοµεί την διαδικασία της αντίληψης και αναγνώρισης [1]. Η µελέτη της διαδικασίας αντίληψης και αναγνώρισης του εγκεφάλου αποτελεί ένα βασικό αντικείµενο έρευνας της επιστήµης της νευροφυσιολογίας. Αν και τα τελευταία χρόνια η έρευνα έχει δώσει σηµαντικά αποτελέσµατα, πολλές πτυχές της διαδικασίας παραµένουν ανεξιχνίαστες. Στις µέρες µας, µε την ύπαρξη ισχυρών υπολογιστικών συστηµάτων επεξεργασίας, η αυτόµατη αναγνώριση προσώπων µε την χρήση ψηφιακών απεικονίσεων των αντίστοιχων προσώπων προσπαθεί να προσεγγίσει την ικανότητα του ανθρώπινου εγκεφάλου. Η αναγνώριση προσώπου µε τη χρήση υπολογιστικής όρασης (computer vision) είναι µια διαδικασία που συγκρίνει µια εικόνα προσώπου (εικόνα βάσης ελέγχου) µε εικόνες προσώπων αποθηκευµένες σε µία βάση εκπαίδευσης. ύο διαφορετικά προβλήµατα, µε διαφορετικές προσεγγίσεις ως προς την επίλυση τους είναι το πρόβληµα της ταυτοποίησης και το πρόβληµα της εξακρίβωσης της ύπαρξης του ατόµου στη βάση. Η ταυτοποίηση πραγµατοποιείται µε την εύρεση εκείνης της εικόνας της βάσης που έχει τις περισσότερες «οµοιότητες» µε την εικόνα ελέγχου σύµφωνα µε κάποιο ποσοτικό κριτήριο. Το πρόβληµα ταυτοποίησης είναι «οριοθετηµένο» µιας και το πρόσωπο ελέγχου θεωρείται ότι βρίσκεται στην βάση. Τα χαρακτηριστικά του προσώπου ελέγχου συγκρίνονται µε αυτά της βάσης µε την χρήση κατάλληλων συναρτήσεων οµοιότητας, ολοκληρώνοντας µε αυτόν τον τρόπο τη διαδικασία της αναγνώρισης. Στην περίπτωση όµως που δεν είναι γνωστό εάν το πρόσωπο ελέγχου βρίσκεται στην βάση, το πρόβληµα παύει να είναι «οριοθετηµένο» και η εξακρίβωση αποτελεί µια ιδιαίτερα δύσκολη διαδικασία µιας και προϋποθέτει την ύπαρξη ενός επιπλέον βήµατος αξιολόγησης του αποτελέσµατος της σύγκρισης. 8

9 Μεγάλος αριθµός αλγορίθµων και συστηµάτων έχει αναπτυχθεί µε ποσοστά αναγνώρισης µεγαλύτερα του 90% κάτω από ελεγχόµενες συνθήκες. Παρ όλα αυτά η επιτυχία της εφαρµογής των αλγορίθµων σε πραγµατικές συνθήκες παραµένει µια πρόκληση. Οι φυσικές, µη-ελεγχόµενες εικόνες προσώπων συχνά εµπεριέχουν µεγάλο αριθµό διαφοροποιήσεων. Οι διαφοροποιήσεις αυτές προέρχονται από πιθανές αλλαγές στην γωνία θέασης του προσώπου, από µεταβολές στο φωτισµό και τις εκφράσεις καθώς και από τη διαφορετική χρονική στιγµή λήψης των εικόνων. Επιπρόσθετα η ύπαρξη αντικειµένων-φράξεων (όπως για παράδειγµα τα γυαλιά) στον χώρο που καταλαµβάνει το κάθε πρόσωπο περιορίζει την απόδοση των αλγορίθµων. Η επιρροή των διαφοροποιήσεων αυτών στα συστήµατα αναγνώρισης οφείλεται κυρίως στα εξής: 1. Το πρόσωπο είναι τρισδιάστατο. Όταν αλλάζει η γωνία λήψης της φωτογραφίας η εµφάνιση ενός προσώπου µεταβάλλεται λόγω αυτόφραγής, µιας και µέρη του προσώπου δεν είναι πλέον ορατά από την κάµερα. Επιπλέον λόγω της δισδιάστατης φύσης της φωτογραφίας, σηµεία του προσώπου πιο βρίσκονται κοντά στον φακό φαίνονται διεσταλµένα ενώ τα πιο µακρινά συρρικνώνονται. 2. Η ύπαρξη διαφοροποιήσεων στον φωτισµό δηµιουργεί σκιάσεις σε µεγάλες περιοχές του προσώπου αλλοιώνοντας τα χαρακτηριστικά του. Οι µεταβολές στον φωτισµό µπορεί να οφείλονται είτε σε αντανάκλαση στο πρόσωπο µιας φωτεινής πηγής είτε στις ρυθµίσεις του φακού της κάµερας που λαµβάνει τις φωτογραφίες. Μπορεί οι ρυθµίσεις του φακού να µην επηρεάζουν αισθητά το ορατό αποτέλεσµα για το ανθρώπινο µάτι, αλλά για τα συστήµατα αναγνώρισης δηµιουργούν µεγάλες διαφορές στις τιµές των εικονοστοιχείων. 3. Οι διαφορές στην έκφραση µπορούν να επηρεάσουν την γεωµετρία και το σχήµα του προσώπου. Οι µεταβολές αυτές µπορεί να είναι αναρίθµητες και ενώ κάποιες φαίνεται να µην επηρεάζουν πολύ την απόδοση των συστηµάτων αναγνώρισης, υπάρχουν άλλες που µεταβάλλουν βασικές γεωµετρικές γραµµές του προσώπου (χείλη, µέτωπο) και επηρεάζουν την ικανότητα αναγνώρισης. 4. Σε µη ελεγχόµενες φωτογραφίες προσώπου συχνά έχουµε αντικείµενα που καλύπτουν µέρος του προσώπου. Αυτό έχει άµεσα αποτελέσµατα στην ικανότητα αναγνώρισης. 9

10 5. Τα πρόσωπα αλλάζουν µε την πάροδο του χρόνου. Υπάρχουν αλλαγές στο χτένισµα των µαλλιών, στο ποσοστό κάλυψης του προσώπου από τριχοφυΐα, µεταβολές στο βάρος (που µπορεί να επηρεάσουν την γεωµετρία) καθώς και σε σηµάδια γήρανσης. Το µεγαλύτερο µέρος των ερευνών που έχουν διεξαχθεί περιορίζονται σε κατά µέτωπο εικόνες που έχουν ληφθεί κάτω από ελεγχόµενες συνθήκες φωτισµού, µε σταθερές ουδέτερες εκφράσεις προσώπου χωρίς κάλυψη (φραγή) και µε µονόχρωµο υπόβαθρο [2]. Στον Πίνακα 1 που ακολουθεί καταγράφονται βασικές εφαρµογές της αναγνώρισης προσώπου στις µέρες µας. Πίνακας 1: Βασικές Εφαρµογές Αναγνώρισης Προσώπων Βιομετρία Άδειες οδήγησης, ταυτότητες, διαβατήρια Ασφάλεια πληροφοριακών συστημάτων Λειτουργικά συστήματα, ασφάλεια εφαρμογών Πρόσβαση στο διαδίκτυο, πρόσβαση σε σελίδες ιστού Επιτήρηση και σώματα ασφαλειας Συστήματα επιτήρησης βίντεο/εικόνας Ταυτοποίηση εγκληματιών Έξυπνες κάρτες Μηχανήματα ανάλυψης χρημάτων (ΑΤΜ) Έλεγχος πρόσβασης Έξυπνες κλειδαριές, πρόσβαση κτιρίων Η παρούσα εργασία είναι δοµηµένη ως εξής: η εξέλιξη των αλγορίθµων αναγνώρισης προσώπου καθώς και η ταξινόµηση τους παρουσιάζεται ι αναλυτικά στο κεφάλαιο 2. Αναλυτικότερα παρατίθεται η ιστορική εξέλιξη των αλγορίθµων µε αναφορά στα σηµαντικότερα βήµατα προόδου ενώ ταυτόχρονα λαµβάνει χώρα η ταξινόµησή τους σε δύο βασικές κατηγορίες. Από τα µέσα της δεκαετίας του 1980 εµφανίστηκαν αρκετές µελέτες σύγκρισης και αξιολόγησης αλγορίθµων. Περιγραφές των µεθόδων και των αλγόριθµων που χρησιµοποιήθηκαν για την σύγκριση καθώς και αποτελέσµατα των εργασιών αυτών παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 3. 10

11 Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται γνωστικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο βασίζονται οι αλγόριθµοι αναγνώρισης καθώς και οι διαδικασίες εφαρµογής και αξιολόγησης των αλγορίθµων. Επιπλέον παρατίθενται οι βασικές διαδικασίες βελτίωσης των εικόνων των βάσεων που χρησιµοποιήθηκαν. Σηµαντικό ρόλο στα συστήµατα αναγνώρισης κατέχει και η διαδικασία εύρεσης οµοιότητας µεταξύ µίας άγνωστης εικόνας και µίας γνωστής. Για τον λόγο αυτό µελετήθηκαν γνωστές µετρικές αποστάσεων και συναρτήσεις οµοιότητας. Για την εκπλήρωση των στόχων της εργασίας, µελετήθηκαν οι σηµαντικότεροι αλγόριθµοι που βασίζονται στην εµφάνιση και σε µοντέλα. Πιο συγκεκριµένα στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται η αναλυτική περιγραφή των ακόλουθων αλγορίθµων: Principal Component Analysis (PCA), Linear Discriminant Analysis (LDA), Independent Component Analysis (ICA), και αλγόριθµων πυρήνα (kernel PCA, LDA) που βασίζονται στην εµφάνιση καθώς και παραλλαγές τους. Επιπλέον, αναφέρονται και οι αλγόριθµοι Ηidden Μarkov Μodels (HMM), Elastic Bunch Matching (EBM) και 3D Morphable Model που βασίζονται σε µοντέλα. Η απόδοση των αλγορίθµων είναι άµεσα συνδεδεµένη µε την βάση προσώπων στην οποία εφαρµόζονται. Για την αξιολόγησή τους λοιπόν χρησιµοποιήθηκαν δύο βάσεις προσώπων µε διαφορετικά χαρακτηριστικά η κάθε µία. Η περιγραφή των βάσεων γίνεται στο κεφάλαιο 6. Στη συνέχεια για την σύγκριση και αξιολόγηση, υλοποιήθηκε σηµαντικός αριθµός αλγορίθµων που βασίζονται στην εµφάνιση. Πιο συγκεκριµένα υλοποιήθηκαν οι αλγόριθµοι PCA, rlda, ICA infomax, ICA fixed-point, polynomial kernel LDA και Gaussian kernel LDA. Η εφαρµογή των αλγορίθµων, το σύστηµα αξιολόγησης και η σύγκριση των αποτελεσµάτων παρουσιάζονται στο κεφάλαιο Ιστορική εξέλιξη και ταξινόµηση αλγορίθµων Η αναγνώριση προσώπου είναι µια διαδικασία αναγνώρισης µοτίβου (pattern recognition). Το πρόσωπο σαν ένα τρισδιάστατο αντικείµενο χαρτογραφείται µέσω της προβολής µιας εικόνας που το αποτυπώνει στις δύο διαστάσεις. Ένα γενικό µοντέλο αναγνώρισης απαρτίζεται από δύο στάδια. Το πρώτο αφορά την εξαγωγή πληροφορίας από την εικόνα και τη µοντελοποίησή της µε βάση συγκεκριµένες 11

12 διαδικασίες. Το δεύτερο στάδιο είναι αυτό της ταξινόµησης και ταυτοποίησης κάνοντας χρήση µίας βάσης προσώπων για τα οποία έχει ακολουθηθεί η ίδια διαδικασία εξαγωγής πληροφορίας. Οι αλγόριθµοι αναγνώρισης προσώπου µπορούν να κατηγοριοποιηθούν βάσει δύο κύριων προσεγγίσεων στους αλγόριθµους που βασίζονται στην εµφάνιση (appearance based) και στους αλγόριθµους που βασίζονται στη δηµιουργία µοντέλων (model based) ικανών να περιγράψουν το ανθρώπινο πρόσωπο (Εικόνα 1) [3]. Κατηγοριοποίηση αλγορίθμων Βασισμένοι στην εμφάνιση Βασισμένοι στο μοντέλο Γραμμικοί Μή γραμμικοί 2-Διάστατοι 3-Διάστατοι Εικόνα 1: Ταξινόµηση αλγορίθµων Αρκετοί αλγόριθµοι και των δύο κατηγοριών, καθώς και µια σειρά παραλλαγών τους εµφανίστηκαν τις τελευταίες δεκαετίες. 2.1 Αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα (Model-based Algorithms Τα συστήµατα αναγνώρισης προσώπων που βασίζονται σε µοντέλα, χρησιµοποιούν τεχνικές για να κατασκευάζουν ένα µοντέλο που βασίζεται στην γεωµετρία του ανθρώπινου προσώπου τέτοιο ώστε να είναι ικανό να περιγράψει τις διαφορές ανάµεσα στα άτοµα. Είναι αναγκαία η προαπαιτούµενη γνώση της δοµής και των χαρακτηριστικών του προσώπου βάσει της οποίας σχεδιάζεται το µοντέλο. 12

13 Για παράδειγµα η γνώση ότι το πρόσωπο έχει δύο µάτια, µία µύτη και ένα στόµα τα οποία είναι τοποθετηµένα από πάνω προς τα κάτω µε συγκεκριµένη σειρά αποτελεί µια καλή βάση για την δηµιουργία ενός µοντέλου. Πρωτεργάτες της αυτόµατης αναγνώρισης προσώπου θεωρούνται οι [4], [5], [6]. Στις εργασίες αυτές, το 1964 και 1965 χρησιµοποιήθηκε ο υπολογιστής για να αναγνωριστούν ανθρώπινα πρόσωπα. Η αναλυτική δηµοσίευση των αποτελεσµάτων της ερευνάς αυτής, η οποία είχε χρηµατοδοτηθεί από υπηρεσία πληροφοριών, δεν πραγµατοποιήθηκε ποτέ. Από τις λίγες δηµοσιεύσεις που προέκυψαν, η µέθοδος που χρησιµοποιήθηκε βασιζόταν σε µοντελοποίηση του ανθρώπινου προσώπου όπου οι εικόνες ελέγχου συγκρίνονταν µε µια µεγάλη βάση εικόνων και κατέληγαν στην εξαγωγή ενός συνόλου παρόµοιων εικόνων. Η επιτυχία της αναγνώρισης ήταν άρρηκτα συνδεδεµένη µε τον λόγο του αριθµού των εικόνων του συνόλου που προέκυπτε ως προς το σύνολο των εικόνων της βάσης. Το σύστηµα το οποίο αναπτύχθηκε ονοµάστηκε «άνθρωπος-µηχανή» µιας και ο χρήστης αρχικά υπολόγιζε τις συντεταγµένες διάφορων χαρακτηριστικών από τις φωτογραφίες και στη συνέχεια τα αποτελέσµατα αυτά τροφοδοτούσαν τη µηχανή για την επίτευξη της αναγνώρισης. Τα χαρακτηριστικά από τα οποία γινόταν η εξαγωγή των συντεταγµένων (µάτια, µύτη, ρινική οδός κλπ.) χρησιµοποιούνταν για τον υπολογισµό 20 αποστάσεων, όπως η απόσταση της µύτης από το στόµα, η απόσταση ανάµεσα στις άκρες των µατιών κλπ. Ο χρήστης µπορούσε να επεξεργάζεται 40 περίπου εικόνες την ώρα και κατά την δηµιουργία της βάσης, κάθε πρόσωπο της φωτογραφίας συνδεόταν µε τη λίστα των αποστάσεων. Στη φάση της αναγνώρισης το σύνολο των αποστάσεων των εικόνων ελέγχου συγκρίνονταν µε τις αποστάσεις των εικόνων της βάσης. Το πρωτεύον αυτό σύστηµα αναγνώρισης ήταν υπεραπλουστευµένο και είχε πολλά προβλήµατα λόγω των διαφορετικών γωνιών λήψης και της διαφορετικής απόστασης κάθε προσώπου από τον φακό (διαφορετική κλίµακα) των εικόνων. Ο κύριος συγγραφέας των [4],[5],[6], στην προσπάθειά του να εξαλείψει τα προβλήµατα αυτά προσπάθησε να κανονικοποιήσει τις εικόνες υπολογίζοντας την κλίµακα και την γωνία λήψης χρησιµοποιώντας επτά εικόνες από κάθε πρόσωπο. Στην εργασία [7] δηµιουργήθηκε ένα από τα πρώτα συστήµατα αναγνώρισης µέσω µιας διαδικασίας αυτόµατης εύρεσης των χαρακτηριστικών ενός προσώπου χρησιµοποιώντας ένα µοντέλο. Βρίσκοντας τις συντεταγµένες των άκρων των µατιών, της µύτης κλπ. µιας κατά πρόσωπο απεικόνισης των εικόνων, το σύστηµά αυτό µπορούσε να αναγνωρίσει το πρόσωπο συγκρίνοντας µε Ευκλείδεια απόσταση 13

14 τις συντεταγµένες των χαρακτηριστικών των εικόνων ελέγχου µε τις εκείνες της βάσης γνωστών προσώπων [8]. Πιο πρόσφατα συστήµατα που βασίζονται σε µοντέλα είναι αυτό των γραφηµάτων Ελαστικών εσµών [9], που δηµιουργήθηκε το 1997, το σύστηµα που βασίζεται σε κρυµµένα πρότυπα Markov (HMM) [10] το οποίο και βελτιώθηκε το 1998 [11] καθώς και περισσότερο σύνθετα συστήµατα τρισδιάστατης µορφοποίησης. Οι αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα συνήθως περιλαµβάνουν τα εξής τρία βήµατα: 1. Κατασκευή του µοντέλου 2. Εφαρµογή του µοντέλου στην εικόνα προσώπου 3. ηµιουργία διανύσµατος που βασίζεται στις παραµέτρους εφαρµογής του µοντέλου στο πρόσωπο και σύγκριση µε τα αντίστοιχα διανύσµατα των γνωστών προσώπων. Οι κυριότεροι αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα φαίνονται στην Εικόνα 2. Αλγόριθμοι που βασίζονται σε μοντέλο 2-διάστατοι 3-διάστατοι ΗΜΜ Γράφημα Ελαστικών Δεσμών 3Δ Μοντέλο Μορφοποίησης Εικόνα 2: Αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα 2.2 Αλγόριθµοι που βασίζονται στην εµφάνιση (Appearance-based Algorithms) Πολλές προσεγγίσεις για την αναγνώριση προσώπων βασίζονται απευθείας στις εικόνες χωρίς την χρήση γεωµετρικών µοντέλων. Οι περισσότερες από αυτές τις τεχνικές εξαρτώνται από την αναπαράσταση των εικόνων ενώ δηµιουργούν 14

15 διανυσµατικούς «χώρους προσώπων». Κάθε εικόνα m x n µπορεί να θεωρηθεί ως ένα διάνυσµα στο R mn. Στον χώρο αυτό κάθε εικόνα-πρόσωπο αντιπροσωπεύεται από ένα σηµείο. Αρκετές από τις µεθόδους που βασίζονται στην εµφάνιση χρησιµοποιούν στατιστικές µεθόδους για τη ανάλυση της κατανοµής των διανυσµάτων των εικόνων στον χώρο προσώπων και παράγουν µια αναπαράσταση (διάνυσµα χαρακτηριστικών) ικανή να περιγράψει το κάθε πρόσωπο. Για κάθε εικόνα ελέγχου δηµιουργείται το διάνυσµα χαρακτηριστικών και στη συνέχεια συγκρίνεται µε αυτά των «εικόνων εκπαίδευσης» που δηµιούργησαν τον διανυσµατικό χώρο. Η χρήση της διανυσµατικής αναπαράστασης επιτρέπει την χρήση τεχνικών εκµάθησης για την εκπαίδευση των συστηµάτων αναγνώρισης. Το πρόβληµα της αναγνώρισης σε αυτήν την περίπτωση µπορεί να αντιµετωπιστεί σαν πρόβληµα ταξινόµησης-αντιστοίχισης στον χώρο και ταυτόχρονα σαν πρόβληµα εκπαίδευσης µηχανών. Στην [12] χρησιµοποιήθηκε η ανάλυση των κύριων συνιστωσών για να επιλύσουν το πρόβληµα της αναγνώρισης προσώπου. Αυτό αποτέλεσε σηµαντικό επίτευγµα µιας και απέδειξε ότι πολύ µικρά µεγέθη πληροφορίας ήταν αρκετά να κωδικοποιήσουν ικανοποιητικά µια εικόνα προσώπου. Το 1991, [13] µε την χρήση των ιδιοδυανυσµάτων, αναπτύχθηκε ένας τρόπος προσδιορισµού της ύπαρξης ή όχι ενός προσώπου σε µία εικόνα. Η τεχνική αυτή οδήγησε στη συνέχεια την δηµιουργία συστηµάτων αυτόµατης αναγνώρισης προσώπου, σε πραγµατικό χρόνο. Η προσέγγιση αυτή είχε αρκετούς περιορισµούς αλλά παρόλα αυτά αύξησε κατακόρυφα το ενδιαφέρον της επιστηµονικής κοινότητας για την δηµιουργία πλήρως αυτοµατοποιηµένων συστηµάτων αναγνώρισης. Το ευρύ κοινό ήρθε σε επαφή µε την εφαρµογή του συστήµατος αυτού όταν τον Ιανουάριο του 2001, σε έναν αγώνα ποδοσφαίρου, εικόνες προσώπου που «τραβήχτηκαν» από τις κάµερες του συστήµατος επιτήρησης ταυτοποιήθηκαν µε µια βάση εικόνων της αστυνοµίας. Η επίδειξη αυτή δηµιούργησε ταυτόχρονα πολλές συζητήσεις για τη διασφάλιση των προσωπικών δεδοµένων. Οι συγγραφείς της [14] δηµοσίευσαν το 1997, µια συγκριτική έρευνα ανάµεσα στην χρήση των κύριων συνιστωσών (PCA) και της γραµµικής διακρίνουσας ανάλυσης (LDA) για την αναγνώριση προσώπων. Ακολούθησαν, παρόµοιες έρευνες, [8], [15], και άλλες. Οι [16], [17], δηµοσίευσαν έρευνα γύρω από τη χρήση της ανάλυσης των Ανεξάρτητων Συνιστωσών (ICA) όπου οι Ανεξάρτητες Συνιστώσες βρίσκονται µέσω της µεγιστοποίησης της εντροπίας σε ένα νευρωνικό δίκτυο Ν εισόδων - Ν εξόδων µε σιγµοειδή συνάρτηση µεταφοράς, βασισµένο στον αλγόριθµο 15

16 [18]. Στην έρευνα [19] το πρόβληµα της εύρεσης των ανεξάρτητων συνιστωσών αντιµετωπίστηκε µε την χρήση σταθερού αριθµού επαναλήψεων για την εκπαίδευση ενός νευρωνικού δικτύου Ν εισόδων - Ν εξόδων δηµιουργώντας τον αλγόριθµο που είναι γνωστός και ως FASTICA Οι κυριότεροι αλγόριθµοι αναγνώρισης προσώπου που βασίζονται στην εµφάνιση φαίνονται στην Εικόνα 3. Αλγόριθμοι που βασίζονται στην εμφάνιση Γραμμικοί Μή γραμμικοί PCA LDA ICA Αλγόριθμοι πυρήνα Εικόνα 3: Αλγόριθµοι αναγνώρισης προσώπου που βασίζονται στην εµφάνιση. 3. Προηγούµενες συγκριτικές µελέτες. Στην [8], παρουσιάστηκε µια συγκριτική µελέτη των αλγορίθµων αναγνώρισης προσώπου και της εφαρµογής τους τόσο σε στατικές εικόνες όσο και σε εικόνες video. Ακολουθήθηκε µια διαδικασία κατάτµησης των στατικών εικόνων, αλλάζοντας το µέγεθος τους σε εικόνες µεγέθους 19x19. Στη συνέχεια ακολούθησε η βελτίωσή τους µε αφαίρεση κάποιων συντελεστών φωτεινότητας και µε την εφαρµογή κανονικοποίησης του ιστογράµµατος της εκάστοτε εικόνας. Χρησιµοποιώντας δείγµατα των εικόνων βάσης, δηµιούργησαν δύο µοντέλα µοτίβων. Ένα µοντέλο εικόνων που περιέχουν πρόσωπα και ένα που αφορά εικόνες που δεν περιέχουν πρόσωπα. Τα µοντέλα κατασκευάστηκαν από έναν αλγόριθµο δηµιουργίας οµοειδών συνόλων µε την χρήση ελλειψοειδών µέσων µε προσαρµοσµένες αποστάσεις mahalanobis (Κεφάλαιο 4). Για κάθε µοτίβο υπολογίστηκε ένα διάνυσµα µετρήσεων των αποστάσεων των εικόνων ελέγχου µε τις 16

17 κανονικοποιηµένες εικόνες των οµοειδών συνόλων. Για την σύγκριση χρησιµοποίησαν δύο αποστάσεις, τη mahalanobis των 75 σηµαντικότερων ιδιοδιανυσµάτων και την ευκλείδεια απόσταση. Ένας ταξινοµητής MLP (multilayer perception) εκπαιδεύτηκε για να αναγνωρίζει την ύπαρξη προσώπων ή την απουσία τους. Στις εικόνες βίντεο η [8] ακολούθησε µια διαδικασία κατάτµησης και στη συνέχεια εφάρµοσαν τον αλγόριθµο κρυµµένων µοντέλων Markov (ΗΜΜ). Η βάση που χρησιµοποίησαν ήταν η βάση FERET [20]. Οι αλγόριθµοι που συγκρίθηκαν, ήταν ένας αλγόριθµος από την Excalibur Corporation, δύο αλγόριθµοι του εργαστηρίου MIT Media Laboratory, τρείς αλγόριθµοι LDA από τα πανεπιστήµια του Michigan και Maryland, ένας αλγόριθµος προβολής κλίµακας του γκρι από το πανεπιστήµιο Rutgers, ένας αλγόριθµος Ελαστικών εσµών από το πανεπιστήµιο Southern California, ένας βασικός αλγόριθµος Κύριων Συνιστωσών και ένας βασικός αλγόριθµος συσχέτισης (correlation). Βάση των µετρήσεων, τρείς αλγόριθµοι απέδωσαν υψηλά ποσοστά αναγνώρισης. Πιο συγκεκριµένα οι αλγόριθµοι που ξεχώρισαν ήταν ένας αλγόριθµος ιδιοπροσώπων βασισµένος σε πιθανότητες (MIT), ένας από τους LDA αλγόριθµους (UMD) και ο αλγόριθµος ταιριάσµατος ελαστικών δεσµών (Southern California). Στην [21] οι συγγραφείς, δηµιούργησαν µία βάση προσώπων που αποτελούνταν από 9 φωτογραφίες προσώπου κάθε κλάσης κάτω από σταθερές γωνίες λήψης όπως φαίνεται στην Εικόνα 4. Εικόνα 4: είγµα των εικόνων της βάσης που χρησιµοποιήθηκε στην [21]. 17

18 Οι αλγόριθµοι που συγκρίθηκαν ήταν ο PCA, δύο αλγόριθµοι ICA του Cardoso [22] και ο FastICA [23], ένας αλγόριθµος πυρήνα PCA και µία µέθοδος ταιριάσµατος Baysian οµοιοτήτων (Baysian similarity matching). Ο αλγόριθµος ο οποίος βάση των µετρήσεων παρουσίασε τα καλύτερα αποτελέσµατα ήταν ο αλγόριθµος ταιριάσµατος Baysian οµοιοτήτων. Το 2001, στην [2] µελετήθηκε ο βαθµός κατά τον οποίο επηρεάζουν οι διαφοροποιήσεις των εικόνων τα συστήµατα αναγνώρισης. Χρησιµοποιήθηκαν τρείς διαφορετικές βάσεις προσώπων, η CMU Pose Illumination Expression (PIE) [24] database, η Cohn-Kanade AU-Coded Facial Expression Database [25] και η AR Face Database [26], οι οποίες περιέχουν µεγάλο αριθµό διαφοροποιήσεων. Οι αλγόριθµοι που συγκρίθηκαν ήταν οι PCA και LDA. Επιπλέον χρησιµοποιήθηκε και το εµπορικό σύστηµα αναγνώρισης προσώπων (FaceΙt) που υπολογίζει τοπικά χαρακτηριστικά αφού χωρίζει αρχικά την εκάστοτε εικόνα σε µικρές περιοχές και στη συνέχεια εφαρµόζει τους αλγόριθµους αναγνώρισης. Στη διαδικασία αναγνώρισης χρησιµοποιήθηκε η απόσταση Mahalanobis. Στη διαδικασία αξιολόγησης στην [2] µελετήθηκε η απόδοση των αλγορίθµων ως προς τις διαφοροποιήσεις των εικόνων. Πιο αναλυτικά, µελετήθηκε η απόδοση των αλγορίθµων σε σύνολα εικόνων µε διαφοροποιήσεις στον φωτισµό, στην γωνία θέασης του προσώπου και σε συνδυασµό των δύο διαφοροποιήσεων. Στη συνέχεια έγινε αξιολόγηση της απόδοσης των αλγορίθµων κάτω από διαφορετικές εκφράσεις προσώπων σε κατά πρόσωπο φωτογραφίες µε σταθερό φωτισµό καθώς και σε φωτογραφίες µε φραγή κάτω από διαφορετικές συνθήκες φωτισµού. Τέλος µελετήθηκε η απόδοση των αλγορίθµων µε κριτήριο την διαφορετική χρονική στιγµή λήψης των φωτογραφιών καθώς και το φύλο των ατόµων που απεικονίζονται στις φωτογραφίες. Βάση των µετρήσεων, ο Facelt φάνηκε να επηρεάζεται λιγότερο από τις διαφοροποιήσεις των εικόνων, ενώ από τη σύγκριση των αλγορίθµων LDA και PCA, ο LDA ήταν αυτός που παρουσίασε καλύτερα αποτελέσµατα στο σύνολο των µετρήσεων. Στην [27] οι συγγραφείς, στηρίχτηκαν στο γεγονός ότι η απόδοση των αλγορίθµων αναγνώρισης προσώπων µειώνεται σηµαντικά όταν εφαρµόζονται σε εικόνες µε µεγάλες αλλαγές τόσο στη γωνία θέασης όσο και στο φωτισµό. Έτσι εισήγαγαν δύο αλγορίθµους που βασίζονται στην εµφάνιση µε µεγάλα ποσοστά αναγνώρισης ακόµα και στις προαναφερθείσες συνθήκες. Ο πρώτος ονοµάστηκε «ιδιοπεδία φωτός» (Eigen light-fields) ενώ ο δεύτερος «Bayesian υποπεριοχές 18

19 προσώπου» (Bayesian face subregions). Βάση της µελέτης τους, ο πρώτος αλγόριθµος µπορεί να εφαρµοστεί ανεξαρτήτως του πλήθους των εικόνων που απαρτίζουν τόσο το σύνολο εκπαίδευσης όσο και το σύνολο ελέγχου, αρκεί να υπάρχει τουλάχιστον µία εικόνα σε κάθε ένα από αυτά. Κατά τη µελέτη του αλγορίθµου επικεντρώθηκαν κυρίως στο πρόβληµα της αναγνώρισης µετατρέποντας αρχικά τις εικόνες σε διανύσµατα πεδίων φωτός και χρησιµοποιώντας στη συνέχεια την Ευκλείδεια απόσταση για τον προσδιορισµό της κλάσης στην οποία είναι πιο πιθανό να ανήκει η εικόνα ελέγχου. Τέλος ο αλγόριθµος αξιολογήθηκε µε την εφαρµογή του σε δύο βάσεις, την CMU Pose, Illumination and Expression (PIE) βάση και την FERET. Επιπλέον πραγµατοποιήθηκε σύγκριση τόσο µε τον αλγόριθµο PCA όσο και µε το FaceIt αποδεικνύοντας ότι οδηγεί σε µεγαλύτερα ποσοστά αναγνώρισης και στις δύο περιπτώσεις. Στον δεύτερο αλγόριθµο που ονοµάζεται Bayesian face subregions, χρησιµοποίησαν κατανοµές πιθανότητας για την εύρεση οµοιοτήτων σε υποπεριοχές του προσώπου και έτσι υπολόγισαν την πιθανότητα η εικόνα ελέγχου και οι εικόνες εκπαίδευσης να αντιστοιχίζονται στο ίδιο άτοµο. Για την εκπαίδευση και τον έλεγχο του αλγορίθµου χρησιµοποιήθηκε η CMU PIE βάση ενώ έγινε σύγκριση της απόδοσης του τόσο µε τον PCA όσο και µε το FaceIt. Το πρώτο πείραµα βασίστηκε στην υπόθεση ότι η γωνία θέασης της εικόνας ελέγχου είναι άγνωστη. Κατέληξαν στον συµπέρασµα ότι ο αλγόριθµος είναι αρκετά αποδοτικός όταν το πρόσωπο είναι στραµµένο µέχρι 45 µοίρες ενώ η απόδοση του PCA και του FaceIt είναι ικανοποιητική µέχρι τις 15 και 30 µοίρες αντίστοιχα. Ακολούθησε ένα δεύτερο πείραµα όπου η γωνία θέασης θεωρούνταν γνωστή και σε αυτή την περίπτωση χρησιµοποιήθηκε η Ευκλείδεια απόσταση ως ταξινοµητής. Βάσει των αποτελεσµάτων ο αλγόριθµος που προτάθηκε ήταν ο καλύτερος κατά την αναγνώριση. 4. Γνωστικό υπόβαθρο Όπως έχει αναφερθεί στο Κεφάλαιο 2, ένα γενικό µοντέλο αναγνώρισης απαρτίζεται από δύο στάδια. Το πρώτο στάδιο, που αφορά την εξαγωγή πληροφορίας από την εικόνα αποτελεί ουσιαστικά την εφαρµογή των αλγορίθµων αναγνώρισης προσώπου στις εικόνες προσώπων, ενώ το δεύτερο στάδιο της ταξινόµησης της 19

20 πληροφοριών που εξήχθηκε υλοποιείται µε την χρήση διαφόρων συναρτήσεων οµοιότητας. Επιπλέον κάποιες από τις διαφοροποιήσεις (για παράδειγµα στο φωτισµό, στην έκφραση, στη γωνία θέασης, στη χρονική στιγµή λήψης της φωτογραφίας) που δύνανται να έχουν οι εικόνες προσώπων µεταξύ τους και που δεν είναι επιθυµητή η εµπλοκή τους στη διαδικασία αναγνώρισης όπως έχει περιγραφεί στο Κεφάλαιο 1, µπορούν να εξοµαλυνθούν µε απλές διαδικασίες βελτίωσης εικόνας. Ακολουθεί η θεµελίωση του γνωστικού υπόβαθρου που αφορά τις παραπάνω διαδικασίες. Πιο αναλυτικά, αρχικά παρουσιάζονται ορισµένες βασικές µαθηµατικές έννοιες και αλγόριθµοι που χρησιµοποιούνται για την υλοποίηση των αλγορίθµων αναγνώρισης, στη συνέχεια ορίζονται οι συναρτήσεις οµοιότητας και τέλος παρατίθεται η διαδικασία βελτίωσης των εικόνων προσώπου που εφαρµόστηκε στην παρούσα εργασία. 4.1 Ιδιοδιανύσµατα και ιδιοτιµές πίνακα Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Α, ο οποίος δρα πάνω σε ένα διάνυσµα (πίνακας στήλη). Το αποτέλεσµα θα είναι ένα νέο διάνυσµα (πίνακας στήλη), δηλαδή: Α = ( 1 ) Για κάθε πίνακα Α, υπάρχουν κάποια χαρακτηριστικά διανύσµατα, τέτοια ώστε η δράση του Α πάνω σε αυτά να αφήνει αναλλοίωτη τη διεύθυνσή τους και απλώς να τα πολλαπλασιάζει µε έναν αριθµό (δηλαδή αλλάζει µόνο το µέτρο τους, τα «διαστέλλει» ή τα «συστέλλει», χωρίς να τους αλλάζει τη διεύθυνση), δηλαδή: Α =λ ( 2 ) Τα διανύσµατα αυτά,, για τα οποία ισχύει η Εξίσωση (2) λέγονται ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α, και οι αριθµοί λ, οι οποίοι στην ουσία ισοδυναµούν µε τον Α όσον αφορά τη δράση πάνω στα ιδιοδιανύσµατα, λέγονται ιδιοτιµές του Α. Μπορούµε να πούµε ότι ο Α πάνω στα ιδιοδιανύσµατα εκφυλίζεται στον αριθµό λ ή ότι ο αριθµός λ πάνω στο ιδιοδιάνυσµα αντικαθιστά τη δράση του Α. 20

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes 2.1 Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes 2.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο : Θεωρία Απόφασης του Bayes. Εισαγωγή Η θεωρία απόφασης του Bayes αποτελεί μια από τις σημαντικότερες στατιστικές προσεγγίσεις για το πρόβλημα της ταξινόμησης προτύπων. Βασίζεται στη σύγκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική αντίληψη. Μετά?..

Οπτική αντίληψη. Μετά?.. Οπτική αντίληψη Πρωτογενής ερεθισµός (φυσικό φαινόµενο) Μεταφορά µηνύµατος στον εγκέφαλο (ψυχολογική αντίδραση) Μετατροπή ερεθίσµατος σε έννοια Μετά?.. ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα

Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα ρ. Χαράλαµπος Π. Στρουθόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

R n R 2. x 2. x 1. x: συντεταγµένες του z

R n R 2. x 2. x 1. x: συντεταγµένες του z Αναγνώριση Προσώπου µε Σύγκριση Υπερεπιφανειών Θανάσης Ζάγουρας.Π.Μ.Σ Η.Ε.Π, Τµήµα Φυσικής, Πανεπιστήµιο Πατρών Επιβλέποντες: Σπ. Φωτόπουλος Γ. Οικονόµου Ανάλυση Εικόνων Προσώπου Πεδία Αναγνώρισης Προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ - ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ. Υποέργο: «Ανάκτηση και προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων σε δεδοµένα

ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ - ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ. Υποέργο: «Ανάκτηση και προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων σε δεδοµένα ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ - ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ Υποέργο: «Ανάκτηση και προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων σε δεδοµένα πολυδιάστατου ψηφιακού σήµατος (Εικόνες Εικονοσειρές)» Πακέτο Εργασίας 4: Προστασία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα