ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τίτλος Εργασίας: Μελέτη Αλγορίθµων Αναγνώρισης Προσώπου, Υλοποίηση, Εφαρµογή και Σύγκριση της απόδοσής τους Συγγραφέας: Μπακάλης Αθανάσιος (ΑΜ 07/28) Επιβλέπων Καθηγητής: Χρήστου - Βαρσακέλης ηµήτριος Εξεταστική Επιτροπή: Χρήστου - Βαρσακέλης ηµήτριος, Επίκουρος Καθηγητής Σαµαράς Νικόλαος, Επίκουρος Καθηγητής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2010

2 2010, Μπακάλης Αθανάσιος Η έγκριση της διπλωµατικής εργασίας από το Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής του Πανεπιστηµίου Μακεδονίας δεν υποδηλώνει απαραιτήτως και αποδοχή των απόψεων του συγγραφέα εκ µέρους του Τµήµατος (Ν.5343/32 αρ.202 παρ.2). 2

3 Πίνακας περιεχοµένων Ευχαριστίες... 6 Περίληψη Εισαγωγή Ιστορική εξέλιξη και ταξινόµηση αλγορίθµων Αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα (Model-based Algorithms Αλγόριθµοι που βασίζονται στην εµφάνιση (Appearance-based Algorithms) Προηγούµενες συγκριτικές µελέτες Γνωστικό υπόβαθρο Ιδιοδιανύσµατα και ιδιοτιµές πίνακα Αποστάσεις και συναρτήσεις οµοιότητας Απόσταση Minkowski Απόσταση Manhattan ή Cityblock ή L 1 norm Ευκλείδεια απόσταση Απόσταση Chebychev Οµοιότητα συνηµίτονου Συσχέτιση Συνδιακύµανση Απόσταση Mahalanobis Απόσταση Spearman Τεχνικές βελτίωσης εικόνας Αναλυτική περιγραφή αλγορίθµων Ανάλυση σε Κύριες Συνιστώσες (Principal Component Analysis, PCA) Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµου Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση (Linear Discriminant Analysis, LDA) Αλγόριθµοι πυρήνα (Kernel Algorithms)

4 5.4 Ανάλυση σε Κύριες Συνιστώσες πυρήνα (Kernel PCA) Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση του πυρήνα (Kernel Fisher LDA) Η ανάλυση σε Ανεξάρτητες Συνιστώσες (Independent Component Analysis, ICA) Αλγόριθµος Ανεξάρτητων Συνιστωσών µε σταθερό σηµείο επαναλήψεων - FastICA Κρυµµένα πρότυπα του Markov (Hidden Markov Model, HMM) Ταίριασµα ελαστικών δεσµών (Elastic Bunch Matching) D Morphable Model Περιγραφή των Βάσεων Βάση Πανεπιστηµίου Yale Βάση Εργαστηρίου Υλοποίηση και εφαρµογή αλγορίθµων ηµιουργία βάσεων εκπαίδευσης και ελέγχου Υλοποίηση αλγορίθµων αναγνώρισης και διαδικασίας ελέγχου Yale Database Αλγόριθµος Κύριων Συνιστωσών (Principal Component Analysis, PCA) Κανονικοποιηµένη Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση (regularized Linear Discriminant Analysis, rlda) Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση πολυωνυµικού πυρήνα (Polynomial Kernel Linear Discriminant Analysis) Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση πυρήνα Gauss (Gaussian Kernel Linear Discriminant Analysis) Αλγόριθµος Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis, ICA) Αλγόριθµος Ανεξάρτητων Συνιστωσών µε τη χρήση του FastICA (Fast Independent Component Analysis, FastICA) Βάση Εργαστηρίου

5 Αλγόριθµος Κύριων Συνιστωσών (Principal Component Analysis, PCA) Κανονικοποιηµένη Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση (regularized Linear Discriminant Analysis, rlda) Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση πολυωνυµικού πυρήνα (Polynomial Kernel Linear Discriminant Analysis) Γραµµική ιακρίνουσα Ανάλυση πυρήνα Gauss (Gaussian Kernel Linear Discriminant Analysis) Αλγόριθµος Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis, ICA) Αλγόριθµος Ανεξάρτητων Συνιστωσών µε τη χρήση του FastICA (Fast Independent Component Analysis, FastICA) Ανάλυση µετρήσεων Συγκεντρωτικά Αποτελέσµατα Σύγκριση της απόδοσης των αλγορίθµων ως προς την ικανότητα επίλυσης του προβλήµατος Ταυτοποίησης Σύγκριση της απόδοσης των αλγορίθµων ως προς την ικανότητα επίλυσης του προβλήµατος Εξακρίβωσης Απόδοση συναρτήσεων οµοιότητας Σύγκριση των βάσεων Συµπεράσµατα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΓΛΩΣΣΑΡΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΟΡΩΝ

6 Ευχαριστίες Θα ήθελα να εκφράσω τις θερµές µου ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Χρήστου Βαρσακέλη ηµήτριο για την πολύτιµη βοήθεια και υποστήριξη που µου προσέφερε κατά τη διάρκεια εκπόνησης της µεταπτυχιακής µου διατριβής, καθώς επίσης και για το έναυσµα που µου έδωσε για να ασχοληθώ µε την αναγνώριση προσώπων. Η άριστη συνεργασία, η καθοδήγηση και η κατανόηση που επέδειξε συνέβαλαν στην ολοκλήρωση της παρούσας µεταπτυχιακής διατριβής. Επιπρόσθετα, τις θερµότερες ευχαριστίες µου οφείλω να εκφράσω στα µέλη της οικογένειάς µου για την ψυχολογική στήριξη που µου παρείχαν. Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2010 Μπακάλης Αθανάσιος 6

7 Περίληψη Η εργασία αυτή, έχει ως αντικείµενο τη µελέτη αλγορίθµων αναγνώρισης προσώπου µε στόχο την αξιολόγηση της απόδοσης τους. Τα συστήµατα αναγνώρισης προσώπου ως αντικείµενο επιστηµονικής έρευνας ξεκίνησε στις αρχές τις δεκαετίας του Στην εξελικτική πορεία των συστηµάτων τις τελευταίες δεκαετίες εµφανίστηκε πληθώρα διαφορετικών προσεγγίσεων. Οι διάφορες τεχνικές αναγνώρισης προσώπου µπορούν να ταξινοµηθούν σε δύο βασικές κατηγορίες. Στους αλγόριθµους που βασίζονται στην εµφάνιση (appearance based) και στους αλγόριθµους που βασίζονται σε µοντέλα (model based). Η παρούσα εργασία καλείται να διερευνήσει την ικανότητα αναγνώρισης των βασικότερων αλγορίθµων που βασίζονται στην εµφάνιση καθώς και την απόδοση των διάφορων συναρτήσεων οµοιότητας (µετρικές βάση των οποίων ποσοτικοποιείται η «απόσταση» µεταξύ των δύο εικόνων προσώπων) για κάθε αλγόριθµο σε διαφορετικές βάσεις προσώπων. Για την εκπλήρωση των στόχων αυτών υλοποιήθηκαν έξι από τους αλγορίθµους που βασίζονται στην εµφάνιση και οκτώ συναρτήσεις οµοιότητας και εφαρµόσθηκαν σε εικόνες δύο διαφορετικών βάσεων προσώπων. ηµιουργήθηκε ένα ολοκληρωµένο σύστηµα µετρήσεων το οποίο δύναται να καταγράψει την απόδοση των αλγορίθµων αναγνώρισης σε συνδυασµό µε τις συναρτήσεις οµοιότητας παρέχοντας αποτελέσµατα που να επιτρέπουν την σύγκριση τους. Λέξεις Κλειδιά Αναγνώριση Προσώπου (Face Recognition), Αλγόριθµοι που βασίζονται στην εµφάνιση (Appearance Based Algorithms), Αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα (Model Based Algorithms), Συναρτήσεις οµοιότητας (Similarity measures) 7

8 1. Εισαγωγή Η αναγνώριση προσώπου είναι µια διαδικασία που οι άνθρωποι πραγµατοποιούν στην καθηµερινή τους ζωή. Ο ανθρώπινος εγκέφαλος έχει την ικανότητα να αναγνωρίζει πρόσωπα, βάση µιας πολύπλοκης διαδικασίας. Η πληροφορία-εικόνα µεταφέρεται από το αισθητήριο όργανο (µάτι) σε µία ιεραρχική δοµή περιοχών του προσώπου στον εγκέφαλο που καταλήγει στον κροταφικό λοβό. Ο κροταφικός λοβός που είναι πρωταρχικά υπεύθυνος για την αναγνώριση και αντίληψη αποστέλλει στην συνέχεια πληροφορίες στις προαναφερθείσες περιοχές της ιεραρχικής δοµής. Η «συνοµιλία» ανάµεσα στις περιοχές του εγκεφάλου µε τον κροταφικό λοβό δοµεί την διαδικασία της αντίληψης και αναγνώρισης [1]. Η µελέτη της διαδικασίας αντίληψης και αναγνώρισης του εγκεφάλου αποτελεί ένα βασικό αντικείµενο έρευνας της επιστήµης της νευροφυσιολογίας. Αν και τα τελευταία χρόνια η έρευνα έχει δώσει σηµαντικά αποτελέσµατα, πολλές πτυχές της διαδικασίας παραµένουν ανεξιχνίαστες. Στις µέρες µας, µε την ύπαρξη ισχυρών υπολογιστικών συστηµάτων επεξεργασίας, η αυτόµατη αναγνώριση προσώπων µε την χρήση ψηφιακών απεικονίσεων των αντίστοιχων προσώπων προσπαθεί να προσεγγίσει την ικανότητα του ανθρώπινου εγκεφάλου. Η αναγνώριση προσώπου µε τη χρήση υπολογιστικής όρασης (computer vision) είναι µια διαδικασία που συγκρίνει µια εικόνα προσώπου (εικόνα βάσης ελέγχου) µε εικόνες προσώπων αποθηκευµένες σε µία βάση εκπαίδευσης. ύο διαφορετικά προβλήµατα, µε διαφορετικές προσεγγίσεις ως προς την επίλυση τους είναι το πρόβληµα της ταυτοποίησης και το πρόβληµα της εξακρίβωσης της ύπαρξης του ατόµου στη βάση. Η ταυτοποίηση πραγµατοποιείται µε την εύρεση εκείνης της εικόνας της βάσης που έχει τις περισσότερες «οµοιότητες» µε την εικόνα ελέγχου σύµφωνα µε κάποιο ποσοτικό κριτήριο. Το πρόβληµα ταυτοποίησης είναι «οριοθετηµένο» µιας και το πρόσωπο ελέγχου θεωρείται ότι βρίσκεται στην βάση. Τα χαρακτηριστικά του προσώπου ελέγχου συγκρίνονται µε αυτά της βάσης µε την χρήση κατάλληλων συναρτήσεων οµοιότητας, ολοκληρώνοντας µε αυτόν τον τρόπο τη διαδικασία της αναγνώρισης. Στην περίπτωση όµως που δεν είναι γνωστό εάν το πρόσωπο ελέγχου βρίσκεται στην βάση, το πρόβληµα παύει να είναι «οριοθετηµένο» και η εξακρίβωση αποτελεί µια ιδιαίτερα δύσκολη διαδικασία µιας και προϋποθέτει την ύπαρξη ενός επιπλέον βήµατος αξιολόγησης του αποτελέσµατος της σύγκρισης. 8

9 Μεγάλος αριθµός αλγορίθµων και συστηµάτων έχει αναπτυχθεί µε ποσοστά αναγνώρισης µεγαλύτερα του 90% κάτω από ελεγχόµενες συνθήκες. Παρ όλα αυτά η επιτυχία της εφαρµογής των αλγορίθµων σε πραγµατικές συνθήκες παραµένει µια πρόκληση. Οι φυσικές, µη-ελεγχόµενες εικόνες προσώπων συχνά εµπεριέχουν µεγάλο αριθµό διαφοροποιήσεων. Οι διαφοροποιήσεις αυτές προέρχονται από πιθανές αλλαγές στην γωνία θέασης του προσώπου, από µεταβολές στο φωτισµό και τις εκφράσεις καθώς και από τη διαφορετική χρονική στιγµή λήψης των εικόνων. Επιπρόσθετα η ύπαρξη αντικειµένων-φράξεων (όπως για παράδειγµα τα γυαλιά) στον χώρο που καταλαµβάνει το κάθε πρόσωπο περιορίζει την απόδοση των αλγορίθµων. Η επιρροή των διαφοροποιήσεων αυτών στα συστήµατα αναγνώρισης οφείλεται κυρίως στα εξής: 1. Το πρόσωπο είναι τρισδιάστατο. Όταν αλλάζει η γωνία λήψης της φωτογραφίας η εµφάνιση ενός προσώπου µεταβάλλεται λόγω αυτόφραγής, µιας και µέρη του προσώπου δεν είναι πλέον ορατά από την κάµερα. Επιπλέον λόγω της δισδιάστατης φύσης της φωτογραφίας, σηµεία του προσώπου πιο βρίσκονται κοντά στον φακό φαίνονται διεσταλµένα ενώ τα πιο µακρινά συρρικνώνονται. 2. Η ύπαρξη διαφοροποιήσεων στον φωτισµό δηµιουργεί σκιάσεις σε µεγάλες περιοχές του προσώπου αλλοιώνοντας τα χαρακτηριστικά του. Οι µεταβολές στον φωτισµό µπορεί να οφείλονται είτε σε αντανάκλαση στο πρόσωπο µιας φωτεινής πηγής είτε στις ρυθµίσεις του φακού της κάµερας που λαµβάνει τις φωτογραφίες. Μπορεί οι ρυθµίσεις του φακού να µην επηρεάζουν αισθητά το ορατό αποτέλεσµα για το ανθρώπινο µάτι, αλλά για τα συστήµατα αναγνώρισης δηµιουργούν µεγάλες διαφορές στις τιµές των εικονοστοιχείων. 3. Οι διαφορές στην έκφραση µπορούν να επηρεάσουν την γεωµετρία και το σχήµα του προσώπου. Οι µεταβολές αυτές µπορεί να είναι αναρίθµητες και ενώ κάποιες φαίνεται να µην επηρεάζουν πολύ την απόδοση των συστηµάτων αναγνώρισης, υπάρχουν άλλες που µεταβάλλουν βασικές γεωµετρικές γραµµές του προσώπου (χείλη, µέτωπο) και επηρεάζουν την ικανότητα αναγνώρισης. 4. Σε µη ελεγχόµενες φωτογραφίες προσώπου συχνά έχουµε αντικείµενα που καλύπτουν µέρος του προσώπου. Αυτό έχει άµεσα αποτελέσµατα στην ικανότητα αναγνώρισης. 9

10 5. Τα πρόσωπα αλλάζουν µε την πάροδο του χρόνου. Υπάρχουν αλλαγές στο χτένισµα των µαλλιών, στο ποσοστό κάλυψης του προσώπου από τριχοφυΐα, µεταβολές στο βάρος (που µπορεί να επηρεάσουν την γεωµετρία) καθώς και σε σηµάδια γήρανσης. Το µεγαλύτερο µέρος των ερευνών που έχουν διεξαχθεί περιορίζονται σε κατά µέτωπο εικόνες που έχουν ληφθεί κάτω από ελεγχόµενες συνθήκες φωτισµού, µε σταθερές ουδέτερες εκφράσεις προσώπου χωρίς κάλυψη (φραγή) και µε µονόχρωµο υπόβαθρο [2]. Στον Πίνακα 1 που ακολουθεί καταγράφονται βασικές εφαρµογές της αναγνώρισης προσώπου στις µέρες µας. Πίνακας 1: Βασικές Εφαρµογές Αναγνώρισης Προσώπων Βιομετρία Άδειες οδήγησης, ταυτότητες, διαβατήρια Ασφάλεια πληροφοριακών συστημάτων Λειτουργικά συστήματα, ασφάλεια εφαρμογών Πρόσβαση στο διαδίκτυο, πρόσβαση σε σελίδες ιστού Επιτήρηση και σώματα ασφαλειας Συστήματα επιτήρησης βίντεο/εικόνας Ταυτοποίηση εγκληματιών Έξυπνες κάρτες Μηχανήματα ανάλυψης χρημάτων (ΑΤΜ) Έλεγχος πρόσβασης Έξυπνες κλειδαριές, πρόσβαση κτιρίων Η παρούσα εργασία είναι δοµηµένη ως εξής: η εξέλιξη των αλγορίθµων αναγνώρισης προσώπου καθώς και η ταξινόµηση τους παρουσιάζεται ι αναλυτικά στο κεφάλαιο 2. Αναλυτικότερα παρατίθεται η ιστορική εξέλιξη των αλγορίθµων µε αναφορά στα σηµαντικότερα βήµατα προόδου ενώ ταυτόχρονα λαµβάνει χώρα η ταξινόµησή τους σε δύο βασικές κατηγορίες. Από τα µέσα της δεκαετίας του 1980 εµφανίστηκαν αρκετές µελέτες σύγκρισης και αξιολόγησης αλγορίθµων. Περιγραφές των µεθόδων και των αλγόριθµων που χρησιµοποιήθηκαν για την σύγκριση καθώς και αποτελέσµατα των εργασιών αυτών παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 3. 10

11 Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται γνωστικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο βασίζονται οι αλγόριθµοι αναγνώρισης καθώς και οι διαδικασίες εφαρµογής και αξιολόγησης των αλγορίθµων. Επιπλέον παρατίθενται οι βασικές διαδικασίες βελτίωσης των εικόνων των βάσεων που χρησιµοποιήθηκαν. Σηµαντικό ρόλο στα συστήµατα αναγνώρισης κατέχει και η διαδικασία εύρεσης οµοιότητας µεταξύ µίας άγνωστης εικόνας και µίας γνωστής. Για τον λόγο αυτό µελετήθηκαν γνωστές µετρικές αποστάσεων και συναρτήσεις οµοιότητας. Για την εκπλήρωση των στόχων της εργασίας, µελετήθηκαν οι σηµαντικότεροι αλγόριθµοι που βασίζονται στην εµφάνιση και σε µοντέλα. Πιο συγκεκριµένα στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται η αναλυτική περιγραφή των ακόλουθων αλγορίθµων: Principal Component Analysis (PCA), Linear Discriminant Analysis (LDA), Independent Component Analysis (ICA), και αλγόριθµων πυρήνα (kernel PCA, LDA) που βασίζονται στην εµφάνιση καθώς και παραλλαγές τους. Επιπλέον, αναφέρονται και οι αλγόριθµοι Ηidden Μarkov Μodels (HMM), Elastic Bunch Matching (EBM) και 3D Morphable Model που βασίζονται σε µοντέλα. Η απόδοση των αλγορίθµων είναι άµεσα συνδεδεµένη µε την βάση προσώπων στην οποία εφαρµόζονται. Για την αξιολόγησή τους λοιπόν χρησιµοποιήθηκαν δύο βάσεις προσώπων µε διαφορετικά χαρακτηριστικά η κάθε µία. Η περιγραφή των βάσεων γίνεται στο κεφάλαιο 6. Στη συνέχεια για την σύγκριση και αξιολόγηση, υλοποιήθηκε σηµαντικός αριθµός αλγορίθµων που βασίζονται στην εµφάνιση. Πιο συγκεκριµένα υλοποιήθηκαν οι αλγόριθµοι PCA, rlda, ICA infomax, ICA fixed-point, polynomial kernel LDA και Gaussian kernel LDA. Η εφαρµογή των αλγορίθµων, το σύστηµα αξιολόγησης και η σύγκριση των αποτελεσµάτων παρουσιάζονται στο κεφάλαιο Ιστορική εξέλιξη και ταξινόµηση αλγορίθµων Η αναγνώριση προσώπου είναι µια διαδικασία αναγνώρισης µοτίβου (pattern recognition). Το πρόσωπο σαν ένα τρισδιάστατο αντικείµενο χαρτογραφείται µέσω της προβολής µιας εικόνας που το αποτυπώνει στις δύο διαστάσεις. Ένα γενικό µοντέλο αναγνώρισης απαρτίζεται από δύο στάδια. Το πρώτο αφορά την εξαγωγή πληροφορίας από την εικόνα και τη µοντελοποίησή της µε βάση συγκεκριµένες 11

12 διαδικασίες. Το δεύτερο στάδιο είναι αυτό της ταξινόµησης και ταυτοποίησης κάνοντας χρήση µίας βάσης προσώπων για τα οποία έχει ακολουθηθεί η ίδια διαδικασία εξαγωγής πληροφορίας. Οι αλγόριθµοι αναγνώρισης προσώπου µπορούν να κατηγοριοποιηθούν βάσει δύο κύριων προσεγγίσεων στους αλγόριθµους που βασίζονται στην εµφάνιση (appearance based) και στους αλγόριθµους που βασίζονται στη δηµιουργία µοντέλων (model based) ικανών να περιγράψουν το ανθρώπινο πρόσωπο (Εικόνα 1) [3]. Κατηγοριοποίηση αλγορίθμων Βασισμένοι στην εμφάνιση Βασισμένοι στο μοντέλο Γραμμικοί Μή γραμμικοί 2-Διάστατοι 3-Διάστατοι Εικόνα 1: Ταξινόµηση αλγορίθµων Αρκετοί αλγόριθµοι και των δύο κατηγοριών, καθώς και µια σειρά παραλλαγών τους εµφανίστηκαν τις τελευταίες δεκαετίες. 2.1 Αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα (Model-based Algorithms Τα συστήµατα αναγνώρισης προσώπων που βασίζονται σε µοντέλα, χρησιµοποιούν τεχνικές για να κατασκευάζουν ένα µοντέλο που βασίζεται στην γεωµετρία του ανθρώπινου προσώπου τέτοιο ώστε να είναι ικανό να περιγράψει τις διαφορές ανάµεσα στα άτοµα. Είναι αναγκαία η προαπαιτούµενη γνώση της δοµής και των χαρακτηριστικών του προσώπου βάσει της οποίας σχεδιάζεται το µοντέλο. 12

13 Για παράδειγµα η γνώση ότι το πρόσωπο έχει δύο µάτια, µία µύτη και ένα στόµα τα οποία είναι τοποθετηµένα από πάνω προς τα κάτω µε συγκεκριµένη σειρά αποτελεί µια καλή βάση για την δηµιουργία ενός µοντέλου. Πρωτεργάτες της αυτόµατης αναγνώρισης προσώπου θεωρούνται οι [4], [5], [6]. Στις εργασίες αυτές, το 1964 και 1965 χρησιµοποιήθηκε ο υπολογιστής για να αναγνωριστούν ανθρώπινα πρόσωπα. Η αναλυτική δηµοσίευση των αποτελεσµάτων της ερευνάς αυτής, η οποία είχε χρηµατοδοτηθεί από υπηρεσία πληροφοριών, δεν πραγµατοποιήθηκε ποτέ. Από τις λίγες δηµοσιεύσεις που προέκυψαν, η µέθοδος που χρησιµοποιήθηκε βασιζόταν σε µοντελοποίηση του ανθρώπινου προσώπου όπου οι εικόνες ελέγχου συγκρίνονταν µε µια µεγάλη βάση εικόνων και κατέληγαν στην εξαγωγή ενός συνόλου παρόµοιων εικόνων. Η επιτυχία της αναγνώρισης ήταν άρρηκτα συνδεδεµένη µε τον λόγο του αριθµού των εικόνων του συνόλου που προέκυπτε ως προς το σύνολο των εικόνων της βάσης. Το σύστηµα το οποίο αναπτύχθηκε ονοµάστηκε «άνθρωπος-µηχανή» µιας και ο χρήστης αρχικά υπολόγιζε τις συντεταγµένες διάφορων χαρακτηριστικών από τις φωτογραφίες και στη συνέχεια τα αποτελέσµατα αυτά τροφοδοτούσαν τη µηχανή για την επίτευξη της αναγνώρισης. Τα χαρακτηριστικά από τα οποία γινόταν η εξαγωγή των συντεταγµένων (µάτια, µύτη, ρινική οδός κλπ.) χρησιµοποιούνταν για τον υπολογισµό 20 αποστάσεων, όπως η απόσταση της µύτης από το στόµα, η απόσταση ανάµεσα στις άκρες των µατιών κλπ. Ο χρήστης µπορούσε να επεξεργάζεται 40 περίπου εικόνες την ώρα και κατά την δηµιουργία της βάσης, κάθε πρόσωπο της φωτογραφίας συνδεόταν µε τη λίστα των αποστάσεων. Στη φάση της αναγνώρισης το σύνολο των αποστάσεων των εικόνων ελέγχου συγκρίνονταν µε τις αποστάσεις των εικόνων της βάσης. Το πρωτεύον αυτό σύστηµα αναγνώρισης ήταν υπεραπλουστευµένο και είχε πολλά προβλήµατα λόγω των διαφορετικών γωνιών λήψης και της διαφορετικής απόστασης κάθε προσώπου από τον φακό (διαφορετική κλίµακα) των εικόνων. Ο κύριος συγγραφέας των [4],[5],[6], στην προσπάθειά του να εξαλείψει τα προβλήµατα αυτά προσπάθησε να κανονικοποιήσει τις εικόνες υπολογίζοντας την κλίµακα και την γωνία λήψης χρησιµοποιώντας επτά εικόνες από κάθε πρόσωπο. Στην εργασία [7] δηµιουργήθηκε ένα από τα πρώτα συστήµατα αναγνώρισης µέσω µιας διαδικασίας αυτόµατης εύρεσης των χαρακτηριστικών ενός προσώπου χρησιµοποιώντας ένα µοντέλο. Βρίσκοντας τις συντεταγµένες των άκρων των µατιών, της µύτης κλπ. µιας κατά πρόσωπο απεικόνισης των εικόνων, το σύστηµά αυτό µπορούσε να αναγνωρίσει το πρόσωπο συγκρίνοντας µε Ευκλείδεια απόσταση 13

14 τις συντεταγµένες των χαρακτηριστικών των εικόνων ελέγχου µε τις εκείνες της βάσης γνωστών προσώπων [8]. Πιο πρόσφατα συστήµατα που βασίζονται σε µοντέλα είναι αυτό των γραφηµάτων Ελαστικών εσµών [9], που δηµιουργήθηκε το 1997, το σύστηµα που βασίζεται σε κρυµµένα πρότυπα Markov (HMM) [10] το οποίο και βελτιώθηκε το 1998 [11] καθώς και περισσότερο σύνθετα συστήµατα τρισδιάστατης µορφοποίησης. Οι αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα συνήθως περιλαµβάνουν τα εξής τρία βήµατα: 1. Κατασκευή του µοντέλου 2. Εφαρµογή του µοντέλου στην εικόνα προσώπου 3. ηµιουργία διανύσµατος που βασίζεται στις παραµέτρους εφαρµογής του µοντέλου στο πρόσωπο και σύγκριση µε τα αντίστοιχα διανύσµατα των γνωστών προσώπων. Οι κυριότεροι αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα φαίνονται στην Εικόνα 2. Αλγόριθμοι που βασίζονται σε μοντέλο 2-διάστατοι 3-διάστατοι ΗΜΜ Γράφημα Ελαστικών Δεσμών 3Δ Μοντέλο Μορφοποίησης Εικόνα 2: Αλγόριθµοι που βασίζονται σε µοντέλα 2.2 Αλγόριθµοι που βασίζονται στην εµφάνιση (Appearance-based Algorithms) Πολλές προσεγγίσεις για την αναγνώριση προσώπων βασίζονται απευθείας στις εικόνες χωρίς την χρήση γεωµετρικών µοντέλων. Οι περισσότερες από αυτές τις τεχνικές εξαρτώνται από την αναπαράσταση των εικόνων ενώ δηµιουργούν 14

15 διανυσµατικούς «χώρους προσώπων». Κάθε εικόνα m x n µπορεί να θεωρηθεί ως ένα διάνυσµα στο R mn. Στον χώρο αυτό κάθε εικόνα-πρόσωπο αντιπροσωπεύεται από ένα σηµείο. Αρκετές από τις µεθόδους που βασίζονται στην εµφάνιση χρησιµοποιούν στατιστικές µεθόδους για τη ανάλυση της κατανοµής των διανυσµάτων των εικόνων στον χώρο προσώπων και παράγουν µια αναπαράσταση (διάνυσµα χαρακτηριστικών) ικανή να περιγράψει το κάθε πρόσωπο. Για κάθε εικόνα ελέγχου δηµιουργείται το διάνυσµα χαρακτηριστικών και στη συνέχεια συγκρίνεται µε αυτά των «εικόνων εκπαίδευσης» που δηµιούργησαν τον διανυσµατικό χώρο. Η χρήση της διανυσµατικής αναπαράστασης επιτρέπει την χρήση τεχνικών εκµάθησης για την εκπαίδευση των συστηµάτων αναγνώρισης. Το πρόβληµα της αναγνώρισης σε αυτήν την περίπτωση µπορεί να αντιµετωπιστεί σαν πρόβληµα ταξινόµησης-αντιστοίχισης στον χώρο και ταυτόχρονα σαν πρόβληµα εκπαίδευσης µηχανών. Στην [12] χρησιµοποιήθηκε η ανάλυση των κύριων συνιστωσών για να επιλύσουν το πρόβληµα της αναγνώρισης προσώπου. Αυτό αποτέλεσε σηµαντικό επίτευγµα µιας και απέδειξε ότι πολύ µικρά µεγέθη πληροφορίας ήταν αρκετά να κωδικοποιήσουν ικανοποιητικά µια εικόνα προσώπου. Το 1991, [13] µε την χρήση των ιδιοδυανυσµάτων, αναπτύχθηκε ένας τρόπος προσδιορισµού της ύπαρξης ή όχι ενός προσώπου σε µία εικόνα. Η τεχνική αυτή οδήγησε στη συνέχεια την δηµιουργία συστηµάτων αυτόµατης αναγνώρισης προσώπου, σε πραγµατικό χρόνο. Η προσέγγιση αυτή είχε αρκετούς περιορισµούς αλλά παρόλα αυτά αύξησε κατακόρυφα το ενδιαφέρον της επιστηµονικής κοινότητας για την δηµιουργία πλήρως αυτοµατοποιηµένων συστηµάτων αναγνώρισης. Το ευρύ κοινό ήρθε σε επαφή µε την εφαρµογή του συστήµατος αυτού όταν τον Ιανουάριο του 2001, σε έναν αγώνα ποδοσφαίρου, εικόνες προσώπου που «τραβήχτηκαν» από τις κάµερες του συστήµατος επιτήρησης ταυτοποιήθηκαν µε µια βάση εικόνων της αστυνοµίας. Η επίδειξη αυτή δηµιούργησε ταυτόχρονα πολλές συζητήσεις για τη διασφάλιση των προσωπικών δεδοµένων. Οι συγγραφείς της [14] δηµοσίευσαν το 1997, µια συγκριτική έρευνα ανάµεσα στην χρήση των κύριων συνιστωσών (PCA) και της γραµµικής διακρίνουσας ανάλυσης (LDA) για την αναγνώριση προσώπων. Ακολούθησαν, παρόµοιες έρευνες, [8], [15], και άλλες. Οι [16], [17], δηµοσίευσαν έρευνα γύρω από τη χρήση της ανάλυσης των Ανεξάρτητων Συνιστωσών (ICA) όπου οι Ανεξάρτητες Συνιστώσες βρίσκονται µέσω της µεγιστοποίησης της εντροπίας σε ένα νευρωνικό δίκτυο Ν εισόδων - Ν εξόδων µε σιγµοειδή συνάρτηση µεταφοράς, βασισµένο στον αλγόριθµο 15

16 [18]. Στην έρευνα [19] το πρόβληµα της εύρεσης των ανεξάρτητων συνιστωσών αντιµετωπίστηκε µε την χρήση σταθερού αριθµού επαναλήψεων για την εκπαίδευση ενός νευρωνικού δικτύου Ν εισόδων - Ν εξόδων δηµιουργώντας τον αλγόριθµο που είναι γνωστός και ως FASTICA Οι κυριότεροι αλγόριθµοι αναγνώρισης προσώπου που βασίζονται στην εµφάνιση φαίνονται στην Εικόνα 3. Αλγόριθμοι που βασίζονται στην εμφάνιση Γραμμικοί Μή γραμμικοί PCA LDA ICA Αλγόριθμοι πυρήνα Εικόνα 3: Αλγόριθµοι αναγνώρισης προσώπου που βασίζονται στην εµφάνιση. 3. Προηγούµενες συγκριτικές µελέτες. Στην [8], παρουσιάστηκε µια συγκριτική µελέτη των αλγορίθµων αναγνώρισης προσώπου και της εφαρµογής τους τόσο σε στατικές εικόνες όσο και σε εικόνες video. Ακολουθήθηκε µια διαδικασία κατάτµησης των στατικών εικόνων, αλλάζοντας το µέγεθος τους σε εικόνες µεγέθους 19x19. Στη συνέχεια ακολούθησε η βελτίωσή τους µε αφαίρεση κάποιων συντελεστών φωτεινότητας και µε την εφαρµογή κανονικοποίησης του ιστογράµµατος της εκάστοτε εικόνας. Χρησιµοποιώντας δείγµατα των εικόνων βάσης, δηµιούργησαν δύο µοντέλα µοτίβων. Ένα µοντέλο εικόνων που περιέχουν πρόσωπα και ένα που αφορά εικόνες που δεν περιέχουν πρόσωπα. Τα µοντέλα κατασκευάστηκαν από έναν αλγόριθµο δηµιουργίας οµοειδών συνόλων µε την χρήση ελλειψοειδών µέσων µε προσαρµοσµένες αποστάσεις mahalanobis (Κεφάλαιο 4). Για κάθε µοτίβο υπολογίστηκε ένα διάνυσµα µετρήσεων των αποστάσεων των εικόνων ελέγχου µε τις 16

17 κανονικοποιηµένες εικόνες των οµοειδών συνόλων. Για την σύγκριση χρησιµοποίησαν δύο αποστάσεις, τη mahalanobis των 75 σηµαντικότερων ιδιοδιανυσµάτων και την ευκλείδεια απόσταση. Ένας ταξινοµητής MLP (multilayer perception) εκπαιδεύτηκε για να αναγνωρίζει την ύπαρξη προσώπων ή την απουσία τους. Στις εικόνες βίντεο η [8] ακολούθησε µια διαδικασία κατάτµησης και στη συνέχεια εφάρµοσαν τον αλγόριθµο κρυµµένων µοντέλων Markov (ΗΜΜ). Η βάση που χρησιµοποίησαν ήταν η βάση FERET [20]. Οι αλγόριθµοι που συγκρίθηκαν, ήταν ένας αλγόριθµος από την Excalibur Corporation, δύο αλγόριθµοι του εργαστηρίου MIT Media Laboratory, τρείς αλγόριθµοι LDA από τα πανεπιστήµια του Michigan και Maryland, ένας αλγόριθµος προβολής κλίµακας του γκρι από το πανεπιστήµιο Rutgers, ένας αλγόριθµος Ελαστικών εσµών από το πανεπιστήµιο Southern California, ένας βασικός αλγόριθµος Κύριων Συνιστωσών και ένας βασικός αλγόριθµος συσχέτισης (correlation). Βάση των µετρήσεων, τρείς αλγόριθµοι απέδωσαν υψηλά ποσοστά αναγνώρισης. Πιο συγκεκριµένα οι αλγόριθµοι που ξεχώρισαν ήταν ένας αλγόριθµος ιδιοπροσώπων βασισµένος σε πιθανότητες (MIT), ένας από τους LDA αλγόριθµους (UMD) και ο αλγόριθµος ταιριάσµατος ελαστικών δεσµών (Southern California). Στην [21] οι συγγραφείς, δηµιούργησαν µία βάση προσώπων που αποτελούνταν από 9 φωτογραφίες προσώπου κάθε κλάσης κάτω από σταθερές γωνίες λήψης όπως φαίνεται στην Εικόνα 4. Εικόνα 4: είγµα των εικόνων της βάσης που χρησιµοποιήθηκε στην [21]. 17

18 Οι αλγόριθµοι που συγκρίθηκαν ήταν ο PCA, δύο αλγόριθµοι ICA του Cardoso [22] και ο FastICA [23], ένας αλγόριθµος πυρήνα PCA και µία µέθοδος ταιριάσµατος Baysian οµοιοτήτων (Baysian similarity matching). Ο αλγόριθµος ο οποίος βάση των µετρήσεων παρουσίασε τα καλύτερα αποτελέσµατα ήταν ο αλγόριθµος ταιριάσµατος Baysian οµοιοτήτων. Το 2001, στην [2] µελετήθηκε ο βαθµός κατά τον οποίο επηρεάζουν οι διαφοροποιήσεις των εικόνων τα συστήµατα αναγνώρισης. Χρησιµοποιήθηκαν τρείς διαφορετικές βάσεις προσώπων, η CMU Pose Illumination Expression (PIE) [24] database, η Cohn-Kanade AU-Coded Facial Expression Database [25] και η AR Face Database [26], οι οποίες περιέχουν µεγάλο αριθµό διαφοροποιήσεων. Οι αλγόριθµοι που συγκρίθηκαν ήταν οι PCA και LDA. Επιπλέον χρησιµοποιήθηκε και το εµπορικό σύστηµα αναγνώρισης προσώπων (FaceΙt) που υπολογίζει τοπικά χαρακτηριστικά αφού χωρίζει αρχικά την εκάστοτε εικόνα σε µικρές περιοχές και στη συνέχεια εφαρµόζει τους αλγόριθµους αναγνώρισης. Στη διαδικασία αναγνώρισης χρησιµοποιήθηκε η απόσταση Mahalanobis. Στη διαδικασία αξιολόγησης στην [2] µελετήθηκε η απόδοση των αλγορίθµων ως προς τις διαφοροποιήσεις των εικόνων. Πιο αναλυτικά, µελετήθηκε η απόδοση των αλγορίθµων σε σύνολα εικόνων µε διαφοροποιήσεις στον φωτισµό, στην γωνία θέασης του προσώπου και σε συνδυασµό των δύο διαφοροποιήσεων. Στη συνέχεια έγινε αξιολόγηση της απόδοσης των αλγορίθµων κάτω από διαφορετικές εκφράσεις προσώπων σε κατά πρόσωπο φωτογραφίες µε σταθερό φωτισµό καθώς και σε φωτογραφίες µε φραγή κάτω από διαφορετικές συνθήκες φωτισµού. Τέλος µελετήθηκε η απόδοση των αλγορίθµων µε κριτήριο την διαφορετική χρονική στιγµή λήψης των φωτογραφιών καθώς και το φύλο των ατόµων που απεικονίζονται στις φωτογραφίες. Βάση των µετρήσεων, ο Facelt φάνηκε να επηρεάζεται λιγότερο από τις διαφοροποιήσεις των εικόνων, ενώ από τη σύγκριση των αλγορίθµων LDA και PCA, ο LDA ήταν αυτός που παρουσίασε καλύτερα αποτελέσµατα στο σύνολο των µετρήσεων. Στην [27] οι συγγραφείς, στηρίχτηκαν στο γεγονός ότι η απόδοση των αλγορίθµων αναγνώρισης προσώπων µειώνεται σηµαντικά όταν εφαρµόζονται σε εικόνες µε µεγάλες αλλαγές τόσο στη γωνία θέασης όσο και στο φωτισµό. Έτσι εισήγαγαν δύο αλγορίθµους που βασίζονται στην εµφάνιση µε µεγάλα ποσοστά αναγνώρισης ακόµα και στις προαναφερθείσες συνθήκες. Ο πρώτος ονοµάστηκε «ιδιοπεδία φωτός» (Eigen light-fields) ενώ ο δεύτερος «Bayesian υποπεριοχές 18

19 προσώπου» (Bayesian face subregions). Βάση της µελέτης τους, ο πρώτος αλγόριθµος µπορεί να εφαρµοστεί ανεξαρτήτως του πλήθους των εικόνων που απαρτίζουν τόσο το σύνολο εκπαίδευσης όσο και το σύνολο ελέγχου, αρκεί να υπάρχει τουλάχιστον µία εικόνα σε κάθε ένα από αυτά. Κατά τη µελέτη του αλγορίθµου επικεντρώθηκαν κυρίως στο πρόβληµα της αναγνώρισης µετατρέποντας αρχικά τις εικόνες σε διανύσµατα πεδίων φωτός και χρησιµοποιώντας στη συνέχεια την Ευκλείδεια απόσταση για τον προσδιορισµό της κλάσης στην οποία είναι πιο πιθανό να ανήκει η εικόνα ελέγχου. Τέλος ο αλγόριθµος αξιολογήθηκε µε την εφαρµογή του σε δύο βάσεις, την CMU Pose, Illumination and Expression (PIE) βάση και την FERET. Επιπλέον πραγµατοποιήθηκε σύγκριση τόσο µε τον αλγόριθµο PCA όσο και µε το FaceIt αποδεικνύοντας ότι οδηγεί σε µεγαλύτερα ποσοστά αναγνώρισης και στις δύο περιπτώσεις. Στον δεύτερο αλγόριθµο που ονοµάζεται Bayesian face subregions, χρησιµοποίησαν κατανοµές πιθανότητας για την εύρεση οµοιοτήτων σε υποπεριοχές του προσώπου και έτσι υπολόγισαν την πιθανότητα η εικόνα ελέγχου και οι εικόνες εκπαίδευσης να αντιστοιχίζονται στο ίδιο άτοµο. Για την εκπαίδευση και τον έλεγχο του αλγορίθµου χρησιµοποιήθηκε η CMU PIE βάση ενώ έγινε σύγκριση της απόδοσης του τόσο µε τον PCA όσο και µε το FaceIt. Το πρώτο πείραµα βασίστηκε στην υπόθεση ότι η γωνία θέασης της εικόνας ελέγχου είναι άγνωστη. Κατέληξαν στον συµπέρασµα ότι ο αλγόριθµος είναι αρκετά αποδοτικός όταν το πρόσωπο είναι στραµµένο µέχρι 45 µοίρες ενώ η απόδοση του PCA και του FaceIt είναι ικανοποιητική µέχρι τις 15 και 30 µοίρες αντίστοιχα. Ακολούθησε ένα δεύτερο πείραµα όπου η γωνία θέασης θεωρούνταν γνωστή και σε αυτή την περίπτωση χρησιµοποιήθηκε η Ευκλείδεια απόσταση ως ταξινοµητής. Βάσει των αποτελεσµάτων ο αλγόριθµος που προτάθηκε ήταν ο καλύτερος κατά την αναγνώριση. 4. Γνωστικό υπόβαθρο Όπως έχει αναφερθεί στο Κεφάλαιο 2, ένα γενικό µοντέλο αναγνώρισης απαρτίζεται από δύο στάδια. Το πρώτο στάδιο, που αφορά την εξαγωγή πληροφορίας από την εικόνα αποτελεί ουσιαστικά την εφαρµογή των αλγορίθµων αναγνώρισης προσώπου στις εικόνες προσώπων, ενώ το δεύτερο στάδιο της ταξινόµησης της 19

20 πληροφοριών που εξήχθηκε υλοποιείται µε την χρήση διαφόρων συναρτήσεων οµοιότητας. Επιπλέον κάποιες από τις διαφοροποιήσεις (για παράδειγµα στο φωτισµό, στην έκφραση, στη γωνία θέασης, στη χρονική στιγµή λήψης της φωτογραφίας) που δύνανται να έχουν οι εικόνες προσώπων µεταξύ τους και που δεν είναι επιθυµητή η εµπλοκή τους στη διαδικασία αναγνώρισης όπως έχει περιγραφεί στο Κεφάλαιο 1, µπορούν να εξοµαλυνθούν µε απλές διαδικασίες βελτίωσης εικόνας. Ακολουθεί η θεµελίωση του γνωστικού υπόβαθρου που αφορά τις παραπάνω διαδικασίες. Πιο αναλυτικά, αρχικά παρουσιάζονται ορισµένες βασικές µαθηµατικές έννοιες και αλγόριθµοι που χρησιµοποιούνται για την υλοποίηση των αλγορίθµων αναγνώρισης, στη συνέχεια ορίζονται οι συναρτήσεις οµοιότητας και τέλος παρατίθεται η διαδικασία βελτίωσης των εικόνων προσώπου που εφαρµόστηκε στην παρούσα εργασία. 4.1 Ιδιοδιανύσµατα και ιδιοτιµές πίνακα Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Α, ο οποίος δρα πάνω σε ένα διάνυσµα (πίνακας στήλη). Το αποτέλεσµα θα είναι ένα νέο διάνυσµα (πίνακας στήλη), δηλαδή: Α = ( 1 ) Για κάθε πίνακα Α, υπάρχουν κάποια χαρακτηριστικά διανύσµατα, τέτοια ώστε η δράση του Α πάνω σε αυτά να αφήνει αναλλοίωτη τη διεύθυνσή τους και απλώς να τα πολλαπλασιάζει µε έναν αριθµό (δηλαδή αλλάζει µόνο το µέτρο τους, τα «διαστέλλει» ή τα «συστέλλει», χωρίς να τους αλλάζει τη διεύθυνση), δηλαδή: Α =λ ( 2 ) Τα διανύσµατα αυτά,, για τα οποία ισχύει η Εξίσωση (2) λέγονται ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α, και οι αριθµοί λ, οι οποίοι στην ουσία ισοδυναµούν µε τον Α όσον αφορά τη δράση πάνω στα ιδιοδιανύσµατα, λέγονται ιδιοτιµές του Α. Μπορούµε να πούµε ότι ο Α πάνω στα ιδιοδιανύσµατα εκφυλίζεται στον αριθµό λ ή ότι ο αριθµός λ πάνω στο ιδιοδιάνυσµα αντικαθιστά τη δράση του Α. 20

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

DIP_04 Σημειακή επεξεργασία. ΤΕΙ Κρήτης

DIP_04 Σημειακή επεξεργασία. ΤΕΙ Κρήτης DIP_04 Σημειακή επεξεργασία ΤΕΙ Κρήτης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Σκοπός μιας τέτοιας τεχνικής μπορεί να είναι: η βελτιστοποίηση της οπτικής εμφάνισης μιας εικόνας όπως την αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος, η τροποποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική Μοντελοποίηση Ανθρώπινου Προσώπου με Εφαρμογές σε Αναγνώριση

Οπτική Μοντελοποίηση Ανθρώπινου Προσώπου με Εφαρμογές σε Αναγνώριση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Σημάτων Ελέγχου και Ρομποτικής Οπτική Μοντελοποίηση Ανθρώπινου Προσώπου με Εφαρμογές σε Αναγνώριση Επιβλέπων: καθ. Πέτρος Μαραγκός Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑΣ Π. ΛΟΥΚΟΓΕΩΡΓΑΚΗ Διπλωματούχου Πολιτικού Μηχανικού ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση εικόνας σε οµοιόµορφες περιοχές

Κατάτµηση εικόνας σε οµοιόµορφες περιοχές KEΣ 03 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Κατάτµηση εικόνας σε οµοιόµορφες περιοχές ΤµήµαΕπιστήµης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Εισαγωγή Κατάτµηση µε πολυκατωφλίωση Ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΜΑΘΗΜΑ 2 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΝ (1)

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΜΑΘΗΜΑ 2 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΝ (1) ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΜΑΘΗΜΑ 2 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΝ (1) 2. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ H υλοποίηση ενός προβλήµατος σε σύστηµα Η/Υ που επιδεικνύει ΤΝ 1 απαιτεί: Την κατάλληλη περιγραφή του προβλήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

7. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΊΑ ΣΗΜΆΤΩΝ

7. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΊΑ ΣΗΜΆΤΩΝ 7. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΊΑ ΣΗΜΆΤΩΝ 1 Principal & Independent Component Analysis (PCA, ICA) PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS (PCA) Principal Component Analysis (PCA): ορθογώνιος μετασχηματισμός κατά τον οποίο αφαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes 2.1 Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes 2.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο : Θεωρία Απόφασης του Bayes. Εισαγωγή Η θεωρία απόφασης του Bayes αποτελεί μια από τις σημαντικότερες στατιστικές προσεγγίσεις για το πρόβλημα της ταξινόμησης προτύπων. Βασίζεται στη σύγκριση

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ

Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Αλγόριθµοι Ευθυγράµµισης Τρισδιάστατων Αντικειµένων Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 20 Οκτωβρίου 2005 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική αντίληψη. Μετά?..

Οπτική αντίληψη. Μετά?.. Οπτική αντίληψη Πρωτογενής ερεθισµός (φυσικό φαινόµενο) Μεταφορά µηνύµατος στον εγκέφαλο (ψυχολογική αντίδραση) Μετατροπή ερεθίσµατος σε έννοια Μετά?.. ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή 6 Εντάξεις δικτύων GPS 6.1 Εισαγωγή Oι απόλυτες (X, Y, Z ή σχετικές (ΔX, ΔY, ΔZ θέσεις των σηµείων, έτσι όπως προσδιορίζονται από τις µετρήσεις GPS, αναφέρονται στο γεωκεντρικό σύστηµα WGS 84 (Wrld Gedetic

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα

Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα ρ. Χαράλαµπος Π. Στρουθόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων

Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων Εισηγητής: ρ Ηλίας Ζαφειρόπουλος Εισαγωγή Ιατρικά δεδοµένα: Συλλογή Οργάνωση Αξιοποίηση Data Mining ιαχείριση εδοµένων Εκπαίδευση

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπισκόπηση Η ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ. Επιβλεπόμενη ταξινόμηση

Τηλεπισκόπηση Η ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ. Επιβλεπόμενη ταξινόμηση Η ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Η ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Η ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Μέθοδος της ελάχιστης απόστασης από το μέσο όρο Στο πρώτο στάδιο υπολογίζεται ο μέσος όρος των ραδιομετρικών τιμών σε κάθε δίαυλο και για

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο αισθητήρας (perceptron)

4. Ο αισθητήρας (perceptron) 4. Ο αισθητήρας (perceptron) Σκοπός: Προσδοκώµενα αποτελέσµατα: Λέξεις Κλειδιά: To µοντέλο του αισθητήρα (perceptron) είναι από τα πρώτα µοντέλα νευρωνικών δικτύων που αναπτύχθηκαν, και έδωσαν µεγάλη ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

DIP_04 Βελτιστοποίηση εικόνας. ΤΕΙ Κρήτης

DIP_04 Βελτιστοποίηση εικόνας. ΤΕΙ Κρήτης DIP_04 Βελτιστοποίηση εικόνας ΤΕΙ Κρήτης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Σκοπός µιας τέτοιας τεχνικής µπορεί να είναι: η βελτιστοποίηση της οπτικής εµφάνισης µιας εικόνας όπως την αντιλαµβάνεται ο άνθρωπος, η τροποποίηση

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

R n R 2. x 2. x 1. x: συντεταγµένες του z

R n R 2. x 2. x 1. x: συντεταγµένες του z Αναγνώριση Προσώπου µε Σύγκριση Υπερεπιφανειών Θανάσης Ζάγουρας.Π.Μ.Σ Η.Ε.Π, Τµήµα Φυσικής, Πανεπιστήµιο Πατρών Επιβλέποντες: Σπ. Φωτόπουλος Γ. Οικονόµου Ανάλυση Εικόνων Προσώπου Πεδία Αναγνώρισης Προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Α.Τ.Ε.Ι. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Τμήμα πληροφορικής και επικοινωνιών. Συμπίεση ψηφιακών εικόνων με ανάλυση κύριων συνιστωσών και χρήση νευρωνικού δικτύου.

Α.Τ.Ε.Ι. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Τμήμα πληροφορικής και επικοινωνιών. Συμπίεση ψηφιακών εικόνων με ανάλυση κύριων συνιστωσών και χρήση νευρωνικού δικτύου. ΑΤΕΙ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Τμήμα πληροφορικής και επικοινωνιών Συμπίεση ψηφιακών εικόνων με ανάλυση κύριων συνιστωσών και χρήση νευρωνικού δικτύου Ψηφιακή είκόνα Η ψηφιακή εικόνα είναι ένα πεπερασμένο σύνολο περιοχών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ - ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ. Υποέργο: «Ανάκτηση και προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων σε δεδοµένα

ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ - ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ. Υποέργο: «Ανάκτηση και προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων σε δεδοµένα ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ - ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ Υποέργο: «Ανάκτηση και προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων σε δεδοµένα πολυδιάστατου ψηφιακού σήµατος (Εικόνες Εικονοσειρές)» Πακέτο Εργασίας 4: Προστασία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΟΦΑΕΙΑΣ 5. Η συνάρτηση μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω µία τυχαία µεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την µέτρηση κάποιας συγκεκριµένης ποσότητας µε πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή θ σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος εδοµένα οµές δεδοµένων και αλγόριθµοι Τα δεδοµένα είναι ακατέργαστα γεγονότα. Η συλλογή των ακατέργαστων δεδοµένων και ο συσχετισµός τους δίνει ως αποτέλεσµα την πληροφορία. Η µέτρηση, η κωδικοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2,5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέµπτη 19 Ιουνίου 2008 11:00-14:00 Έστω το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα