Σν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Σζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Σζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr"

Transcript

1 Σν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Σζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )=α. β +α. γ Δ= δ. π+ υ Τα ζύκβνια «+» θαη «-», όηαλ γξάθνληαη πξηλ (κπξνζηά) από ηνπο αξηζκνύο ηνπο ραξαθηεξίδνπλ, αληίζηνηρα, σο ζεηηθνύο ή αξλεηηθνύο θαη ιέγνληαη πξόζεκα. Τν κεδέλ δελ είλαη νύηε ζεηηθόο νύηε αξλεηηθόο αξηζκόο. Οκόζεκνη ιέγνληαη νη αξηζκνί πνπ έρνπλ ην ίδην πξόζεκν. Καηά ζπλέπεηα: - Όινη νη ζεηηθνί αξηζκνί είλαη νκόζεκνη: +3, +2,18, + 4 7

2 2 Τν πξόζεκν «+» πνπ ραξαθηεξίδεη ηνπο ζεηηθνύο αξηζκνύο κπνξεί θαη λα παξαιεηθζεί, όηαλ δελ ππάξρεη θίλδπλνο ζύγρπζεο. - Όινη νη αξλεηηθνί αξηζκνί είλαη νκόζεκνη: -16, -3,56, Εηεξόζεκνη ιέγνληαη νη αξηζκνί πνπ έρνπλ δηαθνξεηηθό πξόζεκν. Καηά ζπλέπεηα: - Έλαο ζεηηθόο θαη έλαο αξλεηηθόο είλαη εηεξόζεκνη: +97, Οη θπζηθνί αξηζκνί, νη δεθαδηθνί θαη ηα θιάζκαηα καδί κε ηνπο αληίζηνηρνύο ηνπο αξλεηηθνύο απνηεινύλ ηνπο ξεηνύο αξηζκνύο. Εηδηθόηεξα, νη θπζηθνί αξηζκνί καδί κε ηνπο αληίζηνηρνύο ηνπο αξλεηηθνύο απνηεινύλ ηνπο αθέξαηνπο αξηζκνύο. Κάζε ξεηόο αξηζκόο παξηζηάλεηαη κε έλα ζεκείν πάλσ ζε έλαλ άμνλα θαη απνηειεί ηελ ηεηκεκέλε ηνπ ζεκείνπ απηνύ. Η απόιπηε ηηκή ελόο ξεηνύ αξηζκνύ α ζπκβνιίδεηαη κε α θαη είλαη ίζε κε ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ, πνπ παξηζηάλεη ηνλ αξηζκό α (δειαδή ηνπ ζεκείν κε ηεηκεκέλε α), από ηελ αξρή ηνπ άμνλα. Αθνύ εθθξάδεη απόζηαζε, ε απόιπηε ηηκή ελόο ξεηνύ είλαη πάληνηε κε αξλεηηθόο αξηζκόο (δειαδή ζεηηθόο ή κεδέλ). Πξνθαλώο, είλαη 0 = 0 θαη α >0, γηα θάζε ξεηό α 0. Δύν αξηζκνί πνπ είλαη εηεξόζεκνη θαη έρνπλ ηελ ίδηα απόιπηε ηηκή νλνκάδνληαη αληίζεηνη. Ο αληίζεηνο ηνπ x ζπκβνιίδεηαη κε x. Αλ ν x είλαη ζεηηθόο, ηόηε ν x (αληίζεηόο ηνπ) είλαη αξλεηηθόο. Αλ ν x είλαη αξλεηηθόο, ηόηε ν x (αληίζεηόο ηνπ) είλαη ζεηηθόο.

3 3 Επνκέλσο, ην ζύκβνιν x δε δειώλεη απαξαίηεηα έλαλ αξλεηηθό αξηζκό. Τν πξόζεκν ηνπ x (θαη θαηά ζπλέπεηα, αλ ν x είλαη ζεηηθόο ή αξλεηηθόο) εμαξηάηαη κόλν από ην πξόζεκν ηνπ x. Από ηνλ ηξόπν κε ηνλ νπνίν έγηλε ε αληηζηνίρηζε ησλ ξεηώλ αξηζκώλ ζηα ζεκεία ηνπ άμνλα θαζώο θαη από ηνπο παξαπάλσ νξηζκνύο πξνθύπηνπλ ηα αθόινπζα: Η απόιπηε ηηκή ελόο ζεηηθνύ αξηζκνύ είλαη ν ίδηνο ν αξηζκόο. Η απόιπηε ηηκή ελόο αξλεηηθνύ αξηζκνύ είλαη ν αληίζεηόο ηνπ. Δειαδή: α, γηα α 0 α = -α, γηα α < 0 (Με άιια ιόγηα, όηαλ δελ μέξνπκε ην πξόζεκν ηνπ αξηζκνύ πνπ βξίζθεηαη κέζα ζηελ απόιπηε ηηκή, νθείινπκε λα δηαθξίλνπκε πεξηπηώζεηο. Πεξηζζόηεξα γηα ην ζπγθεθξηκέλν ζέκα ζα κάζεηε ζε επόκελεο ηάμεηο). Πναθηηθά (θαη μόκμ γηα ζηαζενμύξ (γκςζημύξ) ανηζμμύξ, γηα κα βνμύμε ηεκ απόιοηε ηημή εκόξ ανηζμμύ, ανθεί κα ημκ γνάρμομε πςνίξ ημ πνόζεμό ημο. 7 7 Έηζη είκαη: -3,2 = 3,2, 8 8. ΠΡΟΘΕΗ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΡΟΘΕΗ ΔΤΟ ΟΜΟΗΜΩΝ Πξνζζέηνπκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηνπο θαη ζην άζξνηζκα βάδνπκε ην θνηλό ηνπο πξόζεκν. (+7)+(+3) =+ ( ) = +(7+3)= +10 = 10 (-6) + (-5) = - ( -6 ) + -5 ) = - (6+5) = -11 ΠΡΟΘΕΗ ΔΤΟ ΕΣΕΡΟΗΜΩΝ Αθαηξνύκε από ηε κεγαιύηεξε απόιπηε ηηκή ηε κηθξόηεξε θαη ζηε δηαθνξά βάδνπκε ην πξόζεκν ηνπ αξηζκνύ κε ηε κεγαιύηεξε απόιπηε ηηκή. (+8) + (-12) = - ( ) = - (12-8) =-4 (-17)+(+28)=+( )=+(28-17)=+11= 11 ΑΦΑΙΡΕΗ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Γηα λα βξνύκε ηε δηαθνξά ηνπ β από ηνλ α, πξνζζέηνπκε ζηνλ α (κεησηέν) ηνλ αληίζεην ηνπ β (αθαηξεηένπ). Δειαδή: α β = α + (-β). (+6) - (+9) = (+6) +(-9) = -(9-6)= -3

4 4 (+9) - (+6) = (+9) + (-6) = + (9-6) = +3 =3 (+6) -(-9) = (+6) + (+9) = + (6+9)= +15 = 15 (-6) (-9) = (-6) + (+9) = + (9-6) = +3 = 3 ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΠΡΟΘΕΗ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΙΔΙΟΣΗΣΑ ΛΕΚΣΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αληηκεηαζεηηθή α +β = β +α Τν άζξνηζκα δύν αξηζκώλ δελ αιιάδεη, αλ αιιάμνπκε ηε ζεηξά ησλ πξνζζεηέσλ. (-5) +(+3) = (+3)+(-5) = -(5-3)= -2 Πξνζεηαηξηζηηθή α + (β + γ) = (α +β) +γ Τν άζξνηζκα ηξηώλ αξηζκώλ δελ αιιάδεη, αλ αιιάμνπκε ηε ζεηξά κε ηελ νπνία πξνζζέηνπκε ηνπο αξηζκνύο (ε παξέλζεζε, θάζε θνξά, ππνδεηθλύεη πνηα από ηηο πξνζζέζεηο πξνεγείηαη). (+3)+ [(-2)+ (+4)] = (+3) + [ + (4-2)] = (+3) + (+2) = + (3 +2) = +5 = 5 [ (+3) +(-2)] +(+4) = +(3-2) + (+4) = (+1) + (+4) = + (1+4) = +5 = 5 Οπδέηεξν ζηνηρείν α + 0 = 0 +α = α Τν κεδέλ όηαλ πξνζηεζεί ζε έλαλ αξηζκό δελ ηνλ κεηαβάιιεη (-5) + 0 = (+3) = +3= 3 α + (-α) = 0 Τν άζξνηζκα δύν αληίζεησλ αξηζκώλ είλαη ίζν κε ην κεδέλ (+8) + (-8) = 0

5 5 Η πνμζεηαηνηζηηθή ηδηόηεηα μαξ επηηνέπεη κα ζομβμιίδμομε θαζέκα από ηα ίζα αζνμίζμαηα (α+β) + γ θαη α + (β +γ) με α + β + γ, ημ μπμίμ μκμμάδεηαη άζνμηζμα ηςκ ανηζμώκ α, β θαη γ. Σμ άζνμηζμα ηνηώκ ή πενηζζόηενςκ ανηζμώκ, ελ μνηζμμύ οπμιμγίδεηαη ςξ ελήξ: Πνμζζέημομε ημοξ δύμ πνώημοξ ανηζμμύξ, ζημ άζνμηζμα αοηώκ πνμζζέημομε ημκ ηνίημ, ζημ κέμ άζνμηζμα ημκ ηέηανημ θαη ζοκεπίδμομε μέπνη κα ηειεηώζμοκ όιμη μη όνμη. Γηα πανάδεηγμα: (-4) + (+2) ( 2) ( 3) 4 7 ( 5) ( 4) 7 ( 1) ( 7) 8 Άμεζε ζοκέπεηα ηεξ ακηημεηαζεηηθήξ θαη ηεξ πνμζεηαηνηζηηθήξ ηδηόηεηαξ ηεξ πνόζζεζεξ είκαη όηη μπμνμύμε κα πνμζζέζμομε ηνεηξ ή πενηζζόηενμοξ ανηζμμύξ με όπμηα ζεηνά ζέιμομε: Επνκέλσο, αληί ηεο παξαπάλσ δηαδηθαζίαο, κπνξνύκε λα δνπιέςνπκε σο εμήο: 1 ν βήκα: Δηαγξάθνπκε ηνπο αληίζεηνπο όξνπο, αλ ππάξρνπλ. 2 ν βήκα: Χσξίδνπκε ηνπο αξλεηηθνύο από ηνπο ζεηηθνύο. 3 ν βήκα: Πξνζζέηνπκε ρσξηζηά ηνπο αξλεηηθνύο θαη ηνπο ζεηηθνύο. 4 ν βήκα: Πξνζζέηνπκε ηα επηκέξνπο αζξνίζκαηα γηα λα βξνύκε ην ηειηθό απνηέιεζκα.

6 6 ΠΟΛΛΑΠΛΑΙΑΜΟ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΤΟ ΟΜΟΗΜΩΝ: ΘΕΣΙΚΟ Πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηνπο θαη ζην γηλόκελν βάδνπκε ην πξόζεκν «+». (+3) (+4) =+ ( ) = +(3 4)= +12 = 12 (-3) (-4) = + ( -3-4 ) = + (3 4) = +12 =12 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΤΟ ΕΣΕΡΟΗΜΩΝ: ΑΡΝΗΣΙΚΟ Πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηνπο θαη ζην γηλόκελν βάδνπκε ην πξόζεκν -. (+3) (-4) = - ( +3-4 ) = - (3 4) = -12 (-3) (+4)= - ( )=- (3 4)= -12 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΟΛΛΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΣΩΝ (ΣΡΙΩΝ Ή ΠΕΡΙΟΣΕΡΩΝ) Άξηηνπ πιήζνπο αξλεηηθώλ παξαγόλησλ: Θεηηθό Πεξηηηνύ πιήζνπο αξλεηηθώλ παξαγόλησλ: Αξλεηηθό Έλαο ηνπιάρηζηνλ παξάγνληαο ίζνο κε κεδέλ: Μεδέλ. (+1) (-2) ( +3) (-4) (+5) = +120 (2 αξλεηηθνί παξάγνληεο: γηλόκελν ζεηηθό) (-1) (+2) (-3) (+4) (-5) = -120 ( 3 αξλεηηθνί παξάγνληεο: γηλόκελν αξλεηηθό) (+137) (-248) (-356) 0 (-217) (+943) (-2357) (+5847) = 0 (έζησ θαη έλαο παξάγνληαο ίζνο κε ην κεδέλ: γηλόκελν ίζν κε ην κεδέλ). ΔΙΑΙΡΕΗ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΦΟΡΟ ΣΟΤ ΜΗΔΕΝΟ) ΠΗΛΙΚΟ ΟΜΟΗΜΩΝ: ΘΕΣΙΚΟ Δηαηξνύκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηνπο θαη ζην πειίθν βάδνπκε ην πξόζεκν «+». (-8) : (-2) =+ ( -8 : -2 ) = + (8 :2) = +4 = = + = + = +4 = (+8) : (+2) = +( +8 : +2 )=+ (8 :2) = +4 = = + = + = +4 = ΠΗΛΙΚΟ ΕΣΕΡΟΗΜΩΝ: ΑΡΝΗΣΙΚΟ Δηαηξνύκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηνπο θαη ζην γηλόκελν βάδνπκε ην πξόζεκν «-». (-8):(+2)= -( -8 : +2 )=- ( -8 : +2 ) =-(8:2) = = - = - = (+8) : (-2) = - ( 8 : -2 )= - (8 :2) = = - = - =

7 7 ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑΙΑΜΟΤ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΙΔΙΟΣΗΣΑ ΛΕΚΣΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αληηκεηαζεηηθή α β = β α Πξνζεηαηξηζηηθή α (β γ) = (α β) γ Οπδέηεξν ζηνηρείν 1 α = α 1 = α Απνξξνθεηηθό ζηνηρείν 0 α = α 0 = 0 1 α = 1, α 0 α Τν γηλόκελν δύν αξηζκώλ δελ αιιάδεη, αλ αιιάμνπκε ηε ζεηξά ησλ παξαγόλησλ. Τν γηλόκελν ηξηώλ αξηζκώλ δελ αιιάδεη, αλ αιιάμνπκε ηε ζεηξά κε ηελ νπνία πνιιαπιαζηάδνπκε ηνπο αξηζκνύο (ε παξέλζεζε, θάζε θνξά, ππνδεηθλύεη πνηνο από ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο πξνεγείηαη). Όηαλ έλαο ξεηόο πνιιαπιαζηάδεηαη κε ην 1 δε κεηαβάιιεηαη Όηαλ έλαο ξεηόο πνιιαπιαζηάδεηαη κε ην 0 κεδελίδεηαη Γηλόκελν αληηζηξόθσλ ηζνύηαη κε ηε κνλάδα (-5) (+3) = -(5 3)= -15 (+3) (-5) =-(3 5) = -15 (-2) [(-3) (+4)] =(-2) [- (3 4)] = (-2) (-12) = + (2 12) = + 24 =24 [(-2) (-3)] (+4) = [+ (2 3)] (+4) = (+6) (+4) = + (6 4) = +24 =24 (-8) 1 = -8 1 (+3) = +3= 3 (-8) 0 = 0 0 (+3) = ΕΠΙΜΕΡΙΣΙΚΗ ΙΔΙΟΣΗΣΑ ΣΟΤ ΠΟΛΛΑΠΛΑΙΑΜΟΤ Ω ΠΡΟ ΣΗΝ ΠΡΟΘΕΗ α (β + γ) = α β + α γ (-25) (20 +2) = (-25) 22 = - (25 22) =-550 (-25) 20 + (-25) 2= -(25 20) + [- (25 2) ] = (-50) = -( ) = -550 Ω ΠΡΟ ΣΗΝ ΑΦΑΙΡΕΗ α (β - γ) = α β α γ (-25) (20-2) = (-25) 18 = - (25 18) = -450 (-25) 20 -(-25) 2= -(25 20)-[-(25 2)] =-500 -(-50) = -500+(+50) =-(500 50) = -450

8 8 Οη ακηίζηνμθμη ανηζμμί είκαη μμόζεμμη. Πνάγμαηη, έζης α 0. Σόηε μ ακηίζηνμθόξ ημο είκαη μ 1. Δηαθνίκμομε ηηξ ελήξ πενηπηώζεηξ: α α > 0 Επεηδή 1 > 0, μη ανηζμμί 1 θαη α είκαη μμόζεμμη. Επμμέκςξ, ημ πειίθμ ημοξ είκαη ζεηηθό. Δειαδή 1 >0 α θαη άνα μμόζεμμ ημο α. α < 0 Επεηδή 1 > 0, μη ανηζμμί 1 θαη α είκαη εηενόζεμμη. Επμμέκςξ, ημ πειίθμ ημοξ είκαη ανκεηηθό. Δειαδή 1 <0 α θαη άνα μμόζεμμ ημο α. Η επημενηζηηθή ηδηόηεηα ημο πμιιαπιαζηαζμμύ ςξ πνμξ ηεκ πνόζζεζε (θαη ηεκ αθαίνεζε) εθανμόδεηαη θαη ζηεκ πενίπηςζε πμο θαη μη δύμ πανάγμκηεξ είκαη αζνμίζμαηα (ή δηαθμνέξ), αθμύ μπμνμύμε κα ζεςνήζμομε ημ πενηεπόμεκμ, π.π. ηεξ πνώηεξ πανέκζεζεξ ςξ έκα ανηζμό. Είκαη: (θ+ι) (β + γ) = θ+ι (β + γ) = θ+ι β + θ+ι γ = (θ + ι) β + (θ + ι) γ =θ β + ι β + θ γ + ι γ Δειαδή ηειηθά: (θ + ι) (β + γ) = θβ + ιβ + θγ + ιγ Με άιια ιόγηα, γηα κα πμιιαπιαζηάζμομε δύμ αζνμίζμαηα, πμιιαπιαζηάδμομε θάζε πνμζζεηέμ ημο εκόξ με θάζε πνμζζεηέμ ημο άιιμο θαη ζημ ηέιμξ αζνμίδμομε ηα γηκόμεκα.

9 9 Παναηενμύμε όηη, με ηε βμήζεηα ηεξ επημενηζηηθήξ ηδηόηεηαξ επηηογπάκμομε ηεκ απαιμηθή πανεκζέζεςκ. Αξ ζομεζμύμε θαη πώξ αιιηώξ θαη αξ ζοκμρίζμομε: ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΑΡΓΝΘΓΓΩΝ i) Ακ μπνμζηά από μηα πανέκζεζε οπάνπεη πνόζεμμ (+) ηόηε παναιείπμομε ημ (+) θαη ηεκ πανέκζεζε θαη γνάθμομε ημοξ ανηζμμύξ πμο ήηακ μέζα ζ' αοηήκ με ηα πνόζεμα πμο έπμοκ. ii) Ακ μπνμζηά από μηα πανέκζεζε οπάνπεη πνόζεμμ (-) ηόηε παναιείπμομε ημ (-) θαη ηεκ πανέκζεζε θαη γνάθμομε ημοξ ανηζμμύξ πμο ήηακ μέζα ζ' αοηήκ με ακηίζεημ πνόζεμμ. iii) Ακ ε πανέκζεζε πμιιαπιαζηάδεηαη με έκακ ανηζμό ηόηε πμιιαπιαζηάδμομε ημκ ανηζμό αοηό με θάζε ανηζμό πμο οπάνπεη ζηεκ πανέκζεζε (πνμζέπμκηαξ ηα πνόζεμα) θαη δεκ βάδμομε πανέκζεζε (αοηή είκαη ε επημενηζηηθή ηδηόηεηα ημο πμιιαπιαζηαζμμύ). ΠΑΡΑΔΓΙΓΜΑΣΑ i) 18 + ( ) = ii) 10 - ( ) = iii) = επεηδή μπνμζηά από ηεκ πανέκζεζε οπάνπεη (+), ζα γνάρμομε ημοξ ανηζμμύξ ηεξ πανέκζεζεξ με ηα πνόζεμα ημοξ αμέζςξ μεηά ημ 18 (ημ 7 ζεςνείηαη όηη έπεη (+).) επεηδή μπνμζηά από ηεκ πανέκζεζε οπάνπεη (-), ζα γνάρμομε ημοξ ανηζμμύξ ηεξ πανέκζεζεξ με αιιαγμέκα πνόζεμα αμέζςξ μεηά ημ 10. πμιιαπιαζηάδμομε ημ -5 με ημοξ ανηζμμύξ +2, -4, +9 δηαδμπηθά όπςξ δείπκμοκ ηα ηόλα θαη βάδμομε ημ θαηάιιειμ πνόζεμμ ζε θάζε γηκόμεκμ.

10 Η έλλνηα ηεο κεηαβιεηήο Η έλλνηα ηεο κεηαβιεηήο είλαη ζεκειηώδεο γηα ηα καζεκαηηθά θαη γηα όιεο βέβαηα ηηο ζεηηθέο επηζηήκεο θαη απνηειεί αλαληηθαηάζηαην εξγαιείν ηνπο. Έζησ θη αλ δελ έρνπκε νξίζεη αθόκα ηελ έλλνηα «κεηαβιεηή», εληνύηνηο, έρνπκε ήδε ρξεζηκνπνηήζεη επξύηαηα κεηαβιεηέο, θπξίσο ζηε δηαηύπσζε νξηζκώλ θαη θαλόλσλ, γηα λα ζπκβνιίζνπκε κε ζπληνκία έλαλ νπνηνλδήπνηε αξηζκό ελόο ζπγθεθξηκέλνπ ζπλόινπ θαη λα κεηαθξάζνπκε εθθξάζεηο από ηε θπζηθή γιώζζα ζηε γιώζζα ησλ καζεκαηηθώλ. Αο ζπκεζνύκε θάπνηεο από απηέο ηηο πεξηπηώζεηο από ηα καζεκαηηθά ηεο Α Γπκλαζίνπ. Πνιιαπιάζηα ελόο θπζηθνύ αξηζκνύ α είλαη νη αξηζκνί πνπ πξνθύπηνπλ από ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ηνπ κε όινπο ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο: 0, α, 2α, 3α, 4α... Σηελ πεξίπησζε απηή ην γξάκκα α είλαη κηα κεηαβιεηή θαη παξηζηάλεη έλαλ νπνηνλδήπνηε θπζηθό. Όηαλ ζειήζνπκε λα βξνύκε ηα πνιιαπιάζηα ελόο ζπγθεθξηκέλνπ θπζηθνύ αξηζκνύ, π.ρ. ηνπ 3, αξθεί λα αληηθαηαζηήζνπκε ην γξάκκα α κε ηνλ αξηζκό 3 (ή όπσο ιέκε λα ζέζνπκε α =3) θαη λα θάλνπκε ηηο πξάμεηο. Έηζη, ηα πνιιαπιάζηα ηνπ 3 είλαη ηα: 0, 3, 2 3, 3 3, 4 3,... ή 0, 3, 6, 9, Γηα λα κεηαηξέςνπκε έλα ζύλζεην θιάζκα ζε απιό εξγαδόκαζηε σο εμήο: α β α δ γ β γ δ Σηελ πεξίπησζε απηή ηα γξάκκαηα α, β, γ, δ είλαη κεηαβιεηέο θαη παξηζηάλνπλ έλαλ νπνηνλδήπνηε αθέξαην αξηζκό δηαθνξεηηθό από ην κεδέλ (ην α κπνξεί λα πάξεη θαη ηελ ηηκή 0), ώζηε λα νξίδνληαη όια ηα θιάζκαηα.

11 11 Έκα θιάζμα ημο μπμίμο έκαξ ημοιάπηζημκ όνμξ ημο είκαη θιάζμα, μκμμάδεηαη ζύκζεημ θιάζμα. Γηα κα μνίδεηαη έκα θιάζμα πνέπεη μ πανμκμμαζηήξ ημο είκαη δηαθμνεηηθόξ από ημ 0. Επμμέκςξ, πνέπεη κα είκαη β 0 γηα κα μνίδεηαη μ ανηζμεηήξ ημο ζύκζεημο θιάζμαημξ, δ 0 γηα κα μνίδεηαη μ πανμκμμαζηήξ ημο ζύκζεημο θιάζμαημξ θαη γ 0 γηα κα μνίδεηαη ημ ζύκζεημ θιάζμα, δειαδή μ πανμκμμαζηήξ ημο γ δ κα είκαη δηαθμνεηηθόξ ημο μεδεκόξ. Έηζη, γηα παξάδεηγκα, ην ζύλζεην θιάζκα κεηαηξέπεηαη ζε απιό σο εμήο: όπνπ ηε ζέζε ησλ κεηαβιεηώλ α, β, γ, δ έρνπλ πάξεη νη ζπγθεθξηκέλνη αξηζκνί: 3, 8, 7, 5 αληίζηνηρα. Τν ζύκβνιν α% νλνκάδεηαη πνζνζηό επί ηνηο εθαηό ή απινύζηεξα πνζνζηό α θαη είλαη ίζν κε ην 100. Σν πνζνζηό α% ηνπ β είλαη α β 100 Καη ζηελ πεξίπησζε απηή, ηα γξάκκαηα α θαη β είλαη κεηαβιεηέο. Αλ ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε, γηα παξάδεηγκα, ην ΦΠΑ (19%) πνπ αληηζηνηρεί ζε έλα πξντόλ κε αμία 150, δειαδή λα βξνύκε ην 19% ησλ 150, αξθεί λα ζέζνπκε α = 19 θαη 19 β = 150, νπόηε βξίζθνπκε , Επνκέλσο, γηα λα παξαζηήζνπκε κε ζύληνκν ηξόπν έλαλ νπνηνλδήπνηε αξηζκό (ελόο ζπγθεθξηκέλνπ ζπλόινπ), ρξεζηκνπνηνύκε έλα γξάκκα, πεδό

12 12 (κηθξό) ή θεθαιαίν, ηνπ ειιεληθνύ ή ιαηηληθνύ αιθαβήηνπ: α, β, γ... ή y, z, t... πνπ ην νλνκάδνπκε κεηαβιεηή. Τε ζέζε ησλ γξακκάησλ γηα ην ζπκβνιηζκό κηαο κεηαβιεηήο ζα κπνξνύζε λα έρεη έλα νπνηνδήπνηε άιιν ζύκβνιν (π.ρ. γηα λα εθθξάζνπκε ηελ αληηκεηαζεηηθή ηδηόηεηα ζα κπνξνύζακε λα γξάςνπκε: + O = Ο + ). Παξόια απηά, θπξίσο γηα ιόγνπο πξαθηηθνύο, δε ζπλεζίδεηαη (αλ θαη κεξηθέο θνξέο, ζα κπνξνύζε λα είλαη θαηαιιειόηεξνο ηξόπνο). Γηα λα κπνξέζνπκε λα εθκεηαιιεπηνύκε ηηο εμαηξεηηθέο δπλαηόηεηεο πνπ καο παξέρνπλ ηα καζεκαηηθά γηα ηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ πξαγκαηηθώλ ή ζεσξεηηθώλ, είλαη απαξαίηεην λα κπνξνύκε λα εθθξάδνπκε ηηο ζρέζεηο κεηαμύ ησλ δεδνκέλσλ ηνπ πξνβιήκαηνο κε καζεκαηηθό ηξόπν, δειαδή λα κεηαθξάδνπκε ηηο εθθξάζεηο ηεο θπζηθήο γιώζζαο ζε καζεκαηηθέο ζρέζεηο θαη παξαζηάζεηο, αιιά θαη ην αληίζηξνθν, ώζηε λα εξκελεύνπκε ηα απνηειέζκαηα ζηα νπνία θαηαιήγνπκε. Σην ζεκείν απηό, ε ρξήζε ησλ κεηαβιεηώλ είλαη απαξαίηεηε θαη αλαληηθαηάζηαηε, όπσο ζα θαλεί θαη από ηα αθόινπζα παξαδείγκαηα. 1. Να παξαζηαζνύλ κε ζπκβνιηθό ηξόπν. έλαο αξηζκόο απμεκέλνο θαηά 2 ην ηξηπιάζην ελόο αξηζκνύ ην πεληαπιάζην ελόο αξηζκνύ κεησκέλν θαηά 8 ην κηζό ελόο αξηζκνύ απμεκέλν θαηά 3 κνλάδεο ην δηπιάζην ηνπ αζξνίζκαηνο δύν αξηζκώλ. Θα παξαζηήζνπκε κε ζπκβνιηθό ηξόπν ηηο πξνηάζεηο Έλαο αξηζκόο απμεκέλνο θαηά 2 Έζησ x ν αξηζκόο. Γηα λα απμεζεί θαηά 2, αξθεί λα ηνπ πξνζζέζνπκε ην 2. Δειαδή είλαη: x + 2

13 13 Σν ηξηπιάζην ελόο αξηζκνύ Έζησ x ν αξηζκόο. Γλσξίδνπκε όηη ην ηξηπιάζην ηνπ x, είλαη ν αξηζκόο πνπ πξνθύπηεη από ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ηνπ x κε ην 3. Δειαδή είλαη: 3 x Σν πεληαπιάζην ελόο αξηζκνύ κεησκέλν θαηά 8 Έζησ x ν αξηζκόο. Τν πεληαπιάζην ηνπ x είλαη ίζν κε 5 θνξέο ηνλ x, δειαδή 5 x. Γηα λα ην κεηώζνπκε θαηά 8, αξθεί λα αθαηξέζνπκε ην 8. Δειαδή είλαη: 5 x 8 Επεηδή ν πνιιαπιαζηαζκόο πξνεγείηαη σο πξάμε ζε ζρέζε κε ηελ αθαίξεζε, ην γηλόκελν 5 x δε ρξεηάδεηαη λα κπεη ζε παξέλζεζε. Σν κηζό ελόο αξηζκνύ x απμεκέλν θαηά 3 κνλάδεο Έζησ x ν αξηζκόο. Εθόζνλ δεηείηαη ην κηζό ηνπ x ζα δηαηξέζνπκε ην x κε ην 2. Έπεηηα ζα πξνζζέζνπκε ην 3. Δειαδή είλαη: x ή x: Καη ζε απηήλ ηελ πεξίπησζε, επεηδή ε δηαίξεζε πξνεγείηαη σο πξάμε ζε ζρέζε κε ηελ αθαίξεζε, ην x 2 (ή x :2) δε ρξεηάδεηαη λα κπεη ζε παξέλζεζε. Σν δηπιάζην ηνπ αζξνίζκαηνο δύν αξηζκώλ. Έζησ x θαη y νη αξηζκνί. Θα πξέπεη πξώηα λα πξνζζέζνπκε ηνπο αξηζκνύο x θαη y θαη ζηε ζπλέρεηα λα πνιιαπιαζηάζνπκε ην άζξνηζκά ηνπο κε ην 2. Τν άζξνηζκα ησλ x θαη y είλαη: x +y, νπόηε ην δηπιάζην ηνπ αζξνίζκαηνο είλαη: 2 (x + y).

14 14 Προσοχή Πξέπεη λα βάινπκε παξέλζεζε ζην άζξνηζκα, ώζηε λα πξνεγεζεί ε πξόζζεζε ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ. 2. Να εθθξαζηνύλ κε ιόγηα νη παξαθάησ παξαζηάζεηο: 1 x + x 2 3 x x 3 (x + 5) 1 x x 2 Έλαο αξηζκόο απμεκέλνο θαηά ην κηζό ηνπ. 3 x + 25 Τν ηξηπιάζην ελόο αξηζκνύ απμεκέλν θαηά x Τν 10 κεησκέλν θαηά έλαλ αξηζκό 3 (x + 5) Τν ηξηπιάζην ελόο αξηζκνύ απμεκέλνπ θαηά 5 ή ην ηξηπιάζην ηνπ αζξνίζκαηνο ελόο αξηζκνύ κε ην 5. Γεληθά, ε ρξήζε ησλ κεηαβιεηώλ καο παξέρεη ηηο εμήο πνιύ ζεκαληηθέο δπλαηόηεηεο: i) ηε κεηάβαζε από ην κεξηθό ζην γεληθό. Τνπνζεηώληαο κεηαβιεηέο ζηε ζέζε ζπγθεθξηκέλσλ αξηζκώλ, θαηαιήγνπκε ζε ζρέζεηο κεηαμύ ησλ κεγεζώλ ελόο πξνβιήκαηνο, νη νπνίεο έρνπλ γεληθόηεξε ηζρύ. ii) ηε κεηάβαζε από ην γεληθό ζην κεξηθό. Αληηθαζηζηώληαο ηηο κεηαβιεηέο κε ζπγθεθξηκέλνπο αξηζκνύο, πξνβαίλνπκε ζε ππνινγηζκνύο πνπ αθνξνύλ ζε ζπγθεθξηκέλα πξνβιήκαηα. Γηα λα γίλνπκε πην ζαθείο, αο δνύκε έλα παξάδεηγκα: Έζησ όηη ζέινπκε λα βξνύκε πόζα lt αλαςπθηηθνύ πεξηέρνληαη ζε: i) 3 κπνπθάιηα ηνπ 1,5 lt θαη ζε 2 εμάδεο θνπηάθηα ησλ 330 ml.

15 15 ii) 2 κπνπθάιηα ηνπ 1,5 lt θαη ζε 3 εμάδεο θνπηάθηα ησλ 330 ml. Αθμύ ζε 1 μπμοθάιη πενηέπμκηαη 1,5 lt ακαροθηηθμύ, ηόηε i) ζε 3 μπμοθάιηα ημο 1,5 lt πενηέπμκηαη 3 1,5 = 4,5 lt ακαροθηηθμύ ii) ζε 2 μπμοθάιηα ημο 1,5 lt πενηέπμκηαη 2 1,5 = 3 lt ακαροθηηθμύ θαη γεκηθά, ζε x μπμοθάιηα ημο 1,5 lt πενηέπμκηαη x 1,5 lt (ή 1,5 x lt) ακαροθηηθμύ, αθμύ, όπςξ θαίκεηαη θαη από ηα ανηζμεηηθά παναδείγμαηα, ανθεί κα πμιιαπιαζηάζμομε ημκ ανηζμό ηςκ μπμοθαιηώκ με ημ πενηεπόμεκμ ημο εκόξ (1,5 lt) γηα κα βνμύμε ημ ζοκμιηθό ημοξ πενηεπόμεκμ ελάδα πενηέπεη 6 θμοηάθηα ηςκ 330 ml δειαδή 6 lt = 6 0,33lt 1000 =1,98 lt ακαροθηηθμύ (ηα 330 ml είκαη 330 lt 1000 γηαηί 1lt = 1000 ml). Επμμέκςξ: i) μη 2 ελάδεξ θμοηάθηα ηςκ 330 ml πενηέπμοκ 2 1,98 lt = 3,96 lt ακαροθηηθμύ ii) μη 3 ελάδεξ θμοηάθηα ηςκ 330 ml πενηέπμοκ 3 1,98 lt = 5,94 lt ακαροθηηθμύ θαη γεκηθά μη y ελάδεξ θμοηάθηα ηςκ 330 ml πενηέπμοκ y 1,98 lt ( 1,98 y lt) ακαροθηηθμύ. Προσοχή Μέζα ζην ίδην πξόβιεκα παξηζηάλνπκε κηα κεηαβιεηή ΠΑΝΤΑ κε ην ίδην γξάκκα. Σε πεξίπηωζε πνπ ππάξρεη θαη δεύηεξε δηαθνξεηηθή κεηαβιεηή ηόηε πξέπεη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε δηαθνξεηηθό γξάκκα. Άνα γηα κα απακηήζμομε ζημ πνόβιεμα ανθεί κα οπμιμγίζμομε ζε θάζε πενίπηςζε ηα ελήξ αζνμίζμαηα: 330 i) 3 1, ,5 12 0,33 4,5 3,96 8, 46 lt ii) 2 1, ,33 3 5,94 8,94 lt 1000

16 16 Γεκηθά ζε x μπμοθάιηα ημο 1,5 lt θαη ζε y ελάδεξ ηςκ 330 ml, πενηέπμκηαη: 330 1,5x + 6 y = 1,5x + 6 0,33y = 1,5x +1,98y lt ακαροθηηθμύ Παξαηεξνύκε ινηπόλ όηη πνιιέο θνξέο, όηαλ επηιύνπκε έλα πξόβιεκα, θαηαιήγνπκε ζε εθθξάζεηο πνπ πεξηέρνπλ πξάμεηο κόλν κεηαμύ αξηζκώλ θαη γη απηό νλνκάδνληαη αξηζκεηηθέο παξαζηάζεηο. Γηα παξάδεηγκα, νη εθθξάζεηο 2 (-5) (-6) θαη αξηζκεηηθέο παξαζηάζεηο είλαη Ο αξηζκόο ζηνλ νπνίν θαηαιήγνπκε όηαλ εθηειέζνπκε ηηο πξάμεηο απηέο, νλνκάδεηαη ηηκή ηεο αξηζκεηηθήο παξάζηαζεο. Εάλ όκσο ρξεζηκνπνηήζνπκε κεηαβιεηέο αληί ζπγθεθξηκέλσλ αξηζκώλ, ώζηε λα δεκηνπξγήζνπκε έλα «ηύπν» πνπ ζα καο παξέρεη ηε ιύζε ηνπ ίδηνπ πξνβιήκαηνο, αιιά γηα δηάθνξεο ηηκέο ησλ κεηαβιεηώλ πνζνηήησλ, ηόηε θαηαιήγνπκε ζε εθθξάζεηο νη νπνίεο πεξηέρνπλ πξάμεηο κε αξηζκνύο θαη κεηαβιεηέο θαη νλνκάδνληαη αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο. 2 8x y 4 Γηα παξάδεηγκα νη εθθξάζεηο 7x 3 + 4y - (-6) xy θαη 5 x 2 y παξαζηάζεηο. είλαη αιγεβξηθέο Όμςξ ηηξ αιγεβνηθέξ παναζηάζεηξ, ζοκήζςξ δε βάδμομε (παναιείπμομε)ημ ζύμβμιμ ( ) ημο πμιιαπιαζηαζμμύ μεηαλύ ηςκ ανηζμώκ θαη ηςκ μεηαβιεηώκ ή μεηαλύ ηςκ μεηαβιεηώκ. Γνάθμομε δειαδή: 3xy ακηί γηα 3 x y Σμ ζύμβμιμ ημο πμιιαπιαζηαζμμύ πνεζημμπμηείηαη ΑΠΑΡΑΙΣΗΣΑ γηα ημκ πμιιαπιαζηαζμό θοζηθώκ ανηζμώκ (ζηεκ πενίπηςζε αθεναίςκ πμο βνίζθμκηαη ζε πανέκζεζε μπμνεί επίζεξ κα παναιεθζεί). Αλ ζε κηα αιγεβξηθή παξάζηαζε αληηθαηαζηήζνπκε ηηο κεηαβιεηέο κε αξηζκνύο θαη θάλνπκε ηηο πξάμεηο, ζα πξνθύςεη έλαο αξηζκόο πνπ ιέγεηαη αξηζκεηηθή ηηκή, ή απιά ηηκή ηεο αιγεβξηθήο παξάζηαζεο.

17 17 Έηζη ζην πξνεγνύκελν παξάδεηγκα, αλ ζηελ αιγεβξηθή παξάζηαζε ζέζνπκε x = 3 θαη y =2 γηα ηελ πεξίπησζε (i) θαη x = 2 θαη y =3 γηα ηελ πεξίπησζε (ii) θαη θάλνπκε ηηο πξάμεηο βξίζθνπκε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο αιγεβξηθήο παξάζηαζεο πνπ πξνθαλώο ηαπηίδεηαη κε ηελ ηηκή ηεο αξηζκεηηθήο παξάζηαζεο θάζε πεξίπησζεο. Οη πξνζζεηένη κηαο αιγεβξηθήο παξάζηαζεο ιέγνληαη όξνη ηεο. Γηα παξάδεηγκα, ε αιγεβξηθή παξάζηαζε 3x 2 + 5xy 2σ + x + 8 6xy 2 έρεη ηνπο εμήο όξνπο: 3x 2, 5xy, - 2σ, x, 8, - 6xy 2. Παξαηεξνύκε όηη ζηε ζέζε ηνπ όξνπ κηαο αιγεβξηθήο παξάζηαζεο κπνξεί λα είλαη: Τν γηλόκελν ελόο αξηζκνύ θαη κηαο κεηαβιεηήο, πςσκέλεο ή όρη ζε θάπνηα δύλακε (κεγαιύηεξε ή ίζε ηνπ 2): 3x 2, -2σ, x (= 1 x). Τν γηλόκελν ελόο αξηζκνύ θαη δύν (ή πεξηζζόηεξσλ) κεηαβιεηώλ, πςσκέλσλ ή όρη ζε θάπνηα δύλακε (κεγαιύηεξε ή ίζε ηνπ 2): 5xy, - 6xy 2. Έλαο ζηαζεξόο αξηζκόο: 8. Σηηο πεξηπηώζεηο ησλ όξσλ πνπ είλαη γηλόκελα αξηζκνύ θαη κεηαβιεηήο (ή κεηαβιεηώλ), ν αξηζκεηηθόο παξάγνληαο ηνπ γηλνκέλνπ νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο ηνπ όξνπ, ελώ ε κεηαβιεηή (ή ην γηλόκελν ησλ κεηαβιεηώλ), νλνκάδεηαη θύξην κέξνο ηνπ όξνπ (όπσο ζα κάζεηε ζηελ επόκελε ηάμε). Γηα ηνπο παξαπάλσ όξνπο είλαη: όξνο ζπληειεζηήο θύξην κέξνο 3x 2 3 x 2 5xy 5 xy -2σ -2 σ x 1 x -6xy 2-6 xy 2 Σην ζεκείν απηό έρνπκε λα παξαηεξήζνπκε ηα εμήο: Όπσο έρνπκε κάζεη, ε αθαίξεζε είλαη πξόζζεζε ηνπ αληηζέηνπ. Γη απηό άιισζηε, κηιάκε γηα πξνζζεηένπο ηεο αιγεβξηθήο παξάζηαζεο. Έηζη, ε αθαίξεζε γίλεηαη πξόζζεζε, ηα ζύκβνια ησλ πξάμεσλ αιιάδνπλ αληίζηνηρα θαη καδί κε απηά θαη ην πξόζεκν ηνπ ζπληειεζηή ηνπ όξνπ. (Γηα παξάδεηγκα, ε αιγεβξηθή παξάζηαζε ηνπ παξαδείγκαηνο γξάθεηαη σο εμήο: 3x 2 + 5xy 2σ + x + 8-6xy 2 = 3x 2 +5xy + (-2) σ + x +8 + (-6) xy 2 ).

18 18 Ο όξνο x έρεη ζπληειεζηή θαη είλαη ν αξηζκόο 1 αθνύ 1 x =x. Πξνζνρή, ινηπόλ, αθνύ είλαη ΛΑΘΟ λα πνύκε ζε κηα ηέηνηα πεξίπησζε όηη ην x δελ έρεη ζπληειεζηή, κόλν θαη κόλν επεηδή δελ ηνλ βιέπνπκε γξακκέλν. Έλαο ζηαζεξόο αξηζκόο κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε όηη είλαη όξνο κε θύξην κέξνο ην γηλόκελν ησλ εκθαληδόκελσλ δηαθνξώλ ηνπ κεδελόο κεηαβιεηώλ, πςσκέλσλ ζηε κεδεληθή δύλακε (αθνύ x 0 = 1, γηα x 0, νπόηε α x 0 = α 1 = α, γηα α ξεηό). Οη όξνη κηαο αιγεβξηθήο παξάζηαζεο πνπ έρνπλ ην ίδην θύξην κέξνο, δειαδή πεξηέρνπλ ηηο ίδηεο κεηαβιεηέο, πςσκέλεο (ή όρη) ζηελ ίδηα δύλακε ιέγνληαη όκνηνη όξνη (όκνηνη όξνη είλαη βέβαηα θαη όινη νη ζηαζεξνί αξηζκνί). Γηα παξάδεηγκα, νη όξνη: 3x, 7x, x 6xy, -9xy, 2xy x 3, -4x 3, -8x 3 2, 5, -6 είλαη όκνηνη όξνη. Ελώ νη όξνη: 6x, 2y -3xy, 5y 3x 2, 3xy 2-3xy, 3x 2 y δελ είλαη όκνηνη. Όηαλ κηα αιγεβξηθή παξάζηαζε πεξηέρεη όκνηνπο όξνπο, κπνξνύκε λα ηελ απινπνηήζνπκε αληηθαζηζηώληαο ηνπο όκνηνπο όξνπο κε ην άζξνηζκά ηνπο (ζπκίδνπκε όηη θάζε αθαίξεζε αλάγεηαη ζε πξόζζεζε ηνπ αληηζέηνπ). Η δηαδηθαζία απηή νλνκάδεηαη αλαγσγή όκνησλ όξσλ. Έηζη: 9x + 6x = (9 +6) x = 15x δειαδή 9 xη θαη 6 xη θάλνπλ =15 xη αθξηβώο όπσο 9 κήια θαη 6 κήια ζα έθαλαλ = 15 κήια ή 9 κνιύβηα θαη 6 κνιύβηα ζα έθαλαλ = 15 κνιύβηα. Επίζεο, εάλ είρακε 9 κήια θαη 3 πνξηνθάιηα θαη κεηά από κεξηθέο κέξεο πεηνύζακε 2 κήια θαη 1 πνξηνθάιη γηαηί ζάπηζαλ, ζα καο έκελαλ 9 2 =7 κήια θαη 3-1 = 2 πνξηνθάιηα. Οκνίσο: 9x + 3y -2x y = (9x 2x) + (3y -y) = (9-2) x + (3-1) y = 7x +2y. Παξαηεξνύκε όηη:

19 19 Γηα λα πξνζζέζνπκε όκνηνπο όξνπο αξθεί λα πξνζζέζνπκε ηνπο ζπληειεζηέο ηνπο θαη λα πνιιαπιαζηάζνπκε ην άζξνηζκα απηό κε ην θνηλό θύξην κέξνο ησλ όξσλ. Όπσο αθξηβώο δελ κπνξνύκε λα πξνζζέζνπκε (ή λα αθαηξέζνπκε) αλόκνηα αληηθείκελα κε ηελ ίδηα ινγηθή δε κπνξνύκε λα πξνζζέζνπκε (ή λα αθαηξέζνπκε) αλόκνηνπο όξνπο. Προσοχή Υπελζπκίδνπκε όηη όηαλ δελ είλαη γξακκέλνο ν ζπληειεζηήο ελόο όξνπ ελλνείηαη ν αξηζκόο 1. Καηά ζπλέπεηα, δελ πξέπεη λα ηνλ μερλάκε ή λα ηνλ παξαιείπνπκε, όηαλ ππνινγίδνπκε ην άζξνηζκα ηωλ ζπληειεζηώλ θαηά ηελ αλαγωγή νκνίωλ όξωλ. Η αλαγσγή νκνίσλ όξσλ βαζίδεηαη ζηε γλσζηή καο από ηελ Α Γπκλαζίνπ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ σο πξνο ηελ πξόζζεζε: (α+ β) γ = αγ + βγ. αξθεί, βέβαηα, λα «δηαβάζνπκε» ηελ ηζόηεηα από ηα δεμηά πξνο ηα αξηζηεξά, δειαδή α γ + β γ = (α +β) γ. Γηα παξάδεηγκα, ε ηζόηεηα: (αβ) λ = α λ β λ. Μηα ηζόηεηα πξέπεη λα ηε «δηαβάδνπκε» θαη πξνο ηε κία (από ηα αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά) θαη πξνο ηελ άιιε θαηεύζπλζε (από ηα δεμηά πξνο ηα αξηζηεξά), γηαηί, δηαθνξεηηθά, κπνξεί λα καο «μεθύγνπλ» πνιύηηκεο πιεξνθνξίεο. όηαλ «δηαβάδεηαη» από ηα αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά καο «ιέεη» όηη γηα λα πςώζνπκε έλα γηλόκελν ζε κία δύλακε, πςώλνπκε ζηε δύλακε απηή θαζέλαλ από ηνπο παξάγνληεο ηνπ γηλνκέλνπ. όηαλ «δηαβάδεηαη» από ηα δεμηά πξνο ηα αξηζηεξά, καο «ιέεη» όηη ην γηλόκελν δύν αξηζκώλ πςσκέλσλ ζηελ ίδηα δύλακε είλαη ίζν κε ηε δύλακε πνπ έρεη βάζε ην γηλόκελν ησλ βάζεσλ θαη εθζέηε ηνλ θνηλό ηνπο εθζέηε.

20 20 Αλ δε κάζνπκε, ινηπόλ, λα δηαβάδνπκε ηηο ηζόηεηεο θαη πξνο ηηο δύν θαηεπζύλζεηο, ππάξρεη ε πεξίπησζε λα κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε κε άλεζε ηελ ηδηόηεηα, π.ρ. (3x) 2 = 3 2 x 2 = 9x 2, αιιά λα κελ κπνξνύκε λα αθνινπζήζνπκε ηελ αληίζηξνθε πνξεία 9x 2 = 3 2 x 2 = (3x) 2 θάηη πνπ είλαη εμίζνπ ζεκαληηθό θαη απαξαίηεην. Παξαδείγκαηα: Να απινπνηεζεί ε αιγεβξηθή παξάζηαζε: 8x -3y +4x +2-6y. H αιγεβξηθή παξάζηαζε 8x -3y+4x +2-6y απνηειείηαη από 5 όξνπο, από ηνπο νπνίνπο όκνηνη όξνη είλαη νη 8x θαη 4x, -3y θαη -6y, ελώ γηα ην 2 δελ ππάξρεη όκνηνο όξνο, αθνύ δελ ππάξρεη άιινο ζηαζεξόο αξηζκόο. Εξγαδόκαζηε ινηπόλ σο εμήο: 8x -3y +4x +2-6y = 8x + 4x -3y -6y +2 Εθαξκόδνπκε ηελ αληηκεηαζεηηθή ηδηόηεηα ηεο πξόζζεζεο γηα λα νκαδνπνηήζνπκε ηνπο όκνηνπο όξνπο = (8+ 4) x + (-3-6)y +2 Κάλνπκε αλαγωγή νκνίωλ όξωλ. Σε παξέλζεζε κπξνζηά από θάζε δηαθνξεηηθό όξν ηνπνζεηνύκε όινπο ηνπο ζπληειεζηέο κε ηνπο νπνίνπο εκθαλίδεηαη ζηελ αιγεβξηθή παξάζηαζε. Μπξνζηά από θάζε παξέλζεζε ππάξρεη ην ζύκβνιν ηεο πξόζζεζεο. = 12x + (-9)y + 2 Εθηεινύκε ηηο πξάμεηο ζηηο παξελζέζεηο = 12x -9y +2 Απαιείθνπκε ηελ παξέλζεζε Όπσο αθξηβώο 3x + 4x = (3+4) x = 7x κε αληίζηνηρν ηξόπν 3x + 3y = 3 (x+y). (x θνξέο ην 3 θαη άιιεο y θνξέο ην 3 καο θάλεη x +y θνξέο ην 3). Σε κηα ηέηνηα πεξίπησζε, δε ιέκε όηη θάλνπκε αλαγσγή νκνίσλ όξσλ,

21 21 αιιά «βγάδνπκε θνηλό παξάγνληα» (ζην ζπγθεθξηκέλν παξάδεηγκα, ηνλ αξηζκό 3). Αλ ινηπόλ γλσξίδνπκε κε ηη είλαη ίζν ην x +y αιιά όρη ηελ ηηκή θάζε κεηαβιεηήο μερσξηζηά, κε ηνλ παξαπάλσ ηξόπν κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή ηεο αιγεβξηθήο παξάζηαζεο. Παξάδεηγκα Αλ x y =2 λα ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο: 5x -2y +8-3y. Είλαη: 5x -2y +8-3y = 5x -2y -3y +8 Εθαξκόδνπκε ηελ αληηκεηαζεηηθή ηδηόηεηα = 5x -5y +8 Κάλνπκε αλαγωγή νκνίωλ όξωλ = 5 (x-y) +8 Βγάδνπκε θνηλό παξάγνληα (ην 5) = Αληηθαζηζηνύκε ην x y κε ηελ ηηκή ηνπ = Εθηεινύκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό = 18 Εθηεινύκε ηελ πξόζζεζε

22 22 1. Να ακηηζημηπίζεηε ηηξ ιεθηηθέξ εθθνάζεηξ ηεξ ζηήιεξ Α με ηηξ ακηίζημηπεξ μαζεμαηηθέξ ηεξ ζηήιεξ Β: Α Β Σμ ηνηπιάζημ εκόξ ανηζμμύ ειαηηςμέκμ θαηά πέκηε Σμ ηνηπιάζημ εκόξ ανηζμμύ ειαηηςμέκμο θαηά πέκηε Σμ ηνηπιάζημ εκόξ ανηζμμύ αολεμέκμ θαηά πέκηε Σμ ηνηπιάζημ εκόξ ανηζμμύ αολεμέκμο θαηά πέκηε 3 (x+5) 3x 5 3x+5 3 (x-5) 2. Να παναθηενίζεηε με ςζηό ή Λάζμξ ηηξ παναθάης πνμηάζεηξ: Λ i) Η αιγεβνηθή πανάζηαζε 3x -2y + 5 έπεη όμμημοξ όνμοξ ii) iii) iv) Η αιγεβνηθή πανάζηαζε 3x 2y + 5 έπεη 3 όνμοξ ηεκ αιγεβνηθή πανάζηαζε 3x 2y +5 μ ζοκηειεζηήξ ηεξ μεηαβιεηήξ x είκαη 3 ηεκ αιγεβνηθή πανάζηαζε 3x 2y +5 μ ζοκηειεζηήξ ηεξ μεηαβιεηήξ y είκαη 2 v) Η αιγεβνηθή πανάζηαζε 2 + x 5 ακηηζημηπεί ζηε ιεθηηθή έθθναζε «Πνόζζεζε έκακ ανηζμό ζημ 2 θαη πμιιαπιαζίαζε ημ άζνμηζμά ημοξ με ημ 5». vi) Ο ακηίζεημξ ημο x είκαη μ x vii) Η απόιοηε ηημή ημο x είκαη ίζε με x. Δειαδή x = x viii) Ο x είκαη ανκεηηθόξ ανηζμόξ

23 23 1. Α Β Σμ ηνηπιάζημ εκόξ ανηζμμύ ειαηηςμέκμ θαηά πέκηε Σμ ηνηπιάζημ εκόξ ανηζμμύ ειαηηςμέκμο θαηά πέκηε Σμ ηνηπιάζημ εκόξ ανηζμμύ αολεμέκμ θαηά πέκηε Σμ ηνηπιάζημ εκόξ ανηζμμύ αολεμέκμο θαηά πέκηε 3 (x+5) 3x 5 3x+5 3 (x-5) 2. Λ i) Η αιγεβνηθή πανάζηαζε 3x -2y + 5 έπεη όμμημοξ όνμοξ Υ ii) Η αιγεβνηθή πανάζηαζε 3x 2y + 5 έπεη 3 όνμοξ Υ iii) iv) ηεκ αιγεβνηθή πανάζηαζε 3x 2y +5 μ ζοκηειεζηήξ ηεξ μεηαβιεηήξ x είκαη 3 ηεκ αιγεβνηθή πανάζηαζε 3x 2y +5 μ ζοκηειεζηήξ ηεξ μεηαβιεηήξ y είκαη 2 v) Η αιγεβνηθή πανάζηαζε 2 + x 5 ακηηζημηπεί ζηε ιεθηηθή έθθναζε «Πνόζζεζε έκακ ανηζμό ζημ 2 θαη πμιιαπιαζίαζε ημ άζνμηζμά ημοξ με ημ 5». vi) Ο ακηίζεημξ ημο x είκαη μ x Υ Υ Υ Υ vii) Η απόιοηε ηημή ημο x είκαη ίζε με x. Δειαδή x = x Υ viii) Ο x είκαη ανκεηηθόξ ανηζμόξ Υ

24 24 Δραστηριότητα 1 η Η νκηιία ζε θηλεηό ηειέθσλν θνζηίδεη 0,005 ην δεπηεξόιεπην. Πόζν θνζηίδεη έλα ηειεθώλεκα δηάξθεηαο 10 δεπηεξνιέπησλ, έλα άιιν δηάξθεηαο 15 δεπηεξνιέπησλ θαη έλα άιιν δηάξθεηαο 27 δεπηεξνιέπησλ; Εθόζνλ ε νκηιία ζε θηλεηό ηειέθσλν θνζηίδεη 0,005 ην δεπηεξόιεπην, γηα λα βξνύκε πόζν θνζηίδεη έλα ηειεθώλεκα δηάξθεηαο 10, 15 θαη 27 δεπηεξνιέπησλ, αξθεί θάζε θνξά λα πνιιαπιαζηάδνπκε ηε δηάξθεηα ηνπ ηειεθσλήκαηνο ζε δεπηεξόιεπηα κε ην 0,005 (δειαδή ην θόζηνο νκηιίαο 1 δεπηεξνιέπηνπ). Επνκέλσο, Έλα ηειεθώλεκα 10 δεπηεξνιέπησλ θνζηίδεη: 10 0,005 = 0,05 Έλα ηειεθώλεκα 15 δεπηεξνιέπησλ θνζηίδεη: 15 0,005 = 0,075 Έλα ηειεθώλεκα 27 δεπηεξνιέπησλ θνζηίδεη: 27 0,005 = 0,135 (θαη γεληθά ην θόζηνο θάζε ηειεθσλήκαηνο δηάξθεηαο x δεπηεξνιέπησλ είλαη: x 0,005 όπνπ ην x κπνξεί λα είλαη, ζεσξεηηθά (!!!), νπνηνζδήπνηε θπζηθόο αξηζκόο)

25 25 Δραστηριότητα 2 η ην δηπιαλό ζρήκα δύν νξζνγώληα (1) θαη (2) είλαη «ηνπνζεηεκέλα» έηζη ώζηε λα ζρεκαηίδνπλ έλα κεγάιν νξζνγώλην. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ κεγάινπ νξζνγσλίνπ. Μπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην εκβαδόλ ηνπ κεγάινπ νξζνγσλίνπ κε δύν ηξόπνπο: 1 νο ηξόπνο: Πνιιαπιαζηάδνληαο ηε βάζε κε ην ύςνο ηνπ. Τν εκβαδόλ ελόο νξζνγσλίνπ ηζνύηαη κε ην γηλόκελν ηεο βάζεο επί ην ύςνο ηνπ. Σν κεγάιν νξζνγώλην έρεη: - βάζε ην άζξνηζκα ησλ βάζεσλ ησλ νξζνγσλίσλ (1) θαη (2), δειαδή ίζε κε α + β, - ύςνο (ην θνηλό ύςνο ησλ ηξηώλ νξζνγσλίσλ) ίζν κε γ. Επνκέλσο, ην εκβαδόλ ηνπ είλαη ίζν κε: Ε νξζ = (α+β) γ Προσοχή Τν α + β πξέπεη λα κπεη ζε παξέλζεζε γηα λα κεηαβιεζεί ε ζεηξά ηωλ πξάμεωλ, δειαδή λα πξνεγεζεί ν ππνινγηζκόο ηνπ αζξνίζκαηνο ζε ζρέζε κε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό.

26 26 2 νο ηξόπνο: Αζξνίδνληαο ηα εκβαδά ησλ κηθξόηεξσλ νξζνγσλίσλ (1) θαη (2) πνπ ην απνηεινύλ. Τν νξζνγώλην (1) έρεη: βάζε ίζε κε α, ύςνο ίζν κε γ, νπόηε ην εκβαδόλ ηνπ είλαη ίζν κε: Ε (1) = α γ. Τν νξζνγώλην (2) έρεη: βάζε ίζε κε β, ύςνο ίζν κε γ, νπόηε ην εκβαδόλ ηνπ είλαη ίζν κε: Ε (2) = β γ. Επνκέλσο, ην εκβαδόλ ηνπ κεγάινπ νξζνγσλίνπ είλαη: Ε νξζ = Ε (1) + Ε (2) = α γ + β γ Αθνύ όκσο ην εκβαδόλ δελ εμαξηάηαη από ηνλ ηξόπν πνπ ην ππνινγίδνπκε (αιιά, όπσο ζα δνύκε ζηε γεσκεηξία, από ηε κνλάδα κέηξεζεο), νη δύν ηξόπνη πνπ είδακε νδεγνύλ ππνρξεσηηθά ζην ίδην απνηέιεζκα. Σπλεπώο είλαη: (α + β) γ = α γ + β γ δειαδή ε γλσζηή ζε όινπο καο επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ σο πξνο ηελ πξόζζεζε.

27 27 Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Α Τν παξόλ εθπαηδεπηηθό πιηθό πεξηιακβάλεη ην 1 ν ηκήκα ηεο παξαγξάθνπ 1.1

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ

Διαβάστε περισσότερα

Σν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Σζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Σν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Σζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Σν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Σζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltimegr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α (β +γ )=α

Διαβάστε περισσότερα

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δωξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δωξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνηηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαέκεηαη δωξεά απνθιεηζηηθά από ην ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η έα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )α.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί

Διαβάστε περισσότερα

Σν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Σζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Σν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Σζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Σν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Σζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ

Διαβάστε περισσότερα

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνηηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαέκεηαη δσξεά απνθιεηζηηθά από ην ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η έα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )α.

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΣΗΗ 1 Πνηνη αξηζκνί νλνκάδνληαη πξώηνη θαη πνηνη ζύλζεηνη; Να δώζεηε παξαδείγκαηα. ΑΠΑΝΣΗΗ 1 Όηαλ έλαο αξηζκόο δηαηξείηαη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ

Διαβάστε περισσότερα

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 .1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

i, ημ μκμμάδμομε ζύκμιμ ηςκ

i, ημ μκμμάδμομε ζύκμιμ ηςκ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ. ΜΞΖΟΙΜΟ ΙΖΓΑΔΖΗΩΚ Μηγαδηθμί είκαη μη ανηζμμί ηεξ μμνθήξ. όπμο, θαη Τμ ζύκμιμ ηςκ μηγαδηθώκ ημ ζομβμιίδμομε με. Δειαδή: { :, } Τμοξ μηγαδηθμύξ ημοξ ζομβμιίδμομε ζοκήζςξ με Τμ γηα ημ μπμίμ ηζπύεη:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή

Διαβάστε περισσότερα

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress. Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...

Διαβάστε περισσότερα

1 η Ε π α ν α λ η π τ ι κ ή Ά σ κ η σ η

1 η Ε π α ν α λ η π τ ι κ ή Ά σ κ η σ η 1 η Ε π α ν α λ η π τ ι κ ή Ά σ κ η σ η Η εταιρεία Χ απασχολεί 500 πωλητές σε όλη την Ελλάδα. Έστω ότι για κάθε πωλητή γνωρίζουμε τις μηνιαίες πωλήσεις που πραγματοποίησε το περασμένο έτος. Να αναπτύξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10 ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Σςζηήμαηα αναπαπάζηαζηρ Έλα αξηζκεηηθό ζύζηεκα αλαπαξάζηαζεο δεδνκέλσλ, απνηειείηαη από έλα ζπγθεθξηκέλν αξηζκό ραξαθηήξσλ (π.ρ. ζηελ πεξίπησζε ηνπ δεθαδηθνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΓΙΑ 1 Ο α. i. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε. Ακ μη ζοκανηήζεηξ είκαη παναγωγίζημεξ, κα απμδείλεηε όηη:. ii. Πόηε μηα ζοκάνηεζε ζε έκα δηάζηεμα ημο πεδίμο ανηζμμύ ηεξ ιέγεηαη

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ

Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ Πνιιαπιάζηα ελόο θπζηθνύ αξηζκνύ α είλαη νη αξηζκνί πνπ πξνθύπηνπλ από ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ηνπ α κε όινπο ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 Κα ακαθένεηε 5 εονςπασθέξ πώνεξ θαη κα βνείηε ημ είδμξ ημο μνοθημύ ημοξ πιμύημο. Πμημη πανάγμκηεξ επηηνέπμοκ ηεκ θαηαζθεοή μεγάιςκ ηεπκηθώκ ένγςκ; Ε ελόνολε (ελαγςγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Λύζεηξ αζθήζεςκ ζενμόηεηαξ

Λύζεηξ αζθήζεςκ ζενμόηεηαξ Λύζεηξ αζθήζεςκ ζενμόηεηαξ 1. Να μεηαηνέρεηε ηηξ αθόιμοζεξ ζενμμθναζίεξ από βαζμμύξ Κειζίμο ζε βαζμμύξ Κέιβηκ ή ακηίζηνμθα. i. 25 C = 25+273=298K ii. iii. iv. 274 K =274-273=1 C 33 C = 33+273=306 K 300

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

Επακαιεπηηθό ζέμα ζημ 1 0 θεθάιαημ

Επακαιεπηηθό ζέμα ζημ 1 0 θεθάιαημ Επακαιεπηηθό ζέμα ζημ 1 0 θεθάιαημ Δύμ αθηίκεξ μμκμπνςμαηηθμύ θςηόξ με μήθμξ θύμαημξ 600 nm ζημ θεκό εηζάγμκηαη από ημ θεκό ζε δύμ μπηηθά μέζα με δείθηεξ δηάζιαζεξ n 1 = 1,5 ημ n 2 = 1,2 θαη πάπμξ d =

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ

Διαβάστε περισσότερα

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access) Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017 α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x) ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()

Διαβάστε περισσότερα

Ειζαγωγή ζηα Σςζηήμαηα Υπολογιζηών. Αξηζκεηηθά Σπζηήκαηα: Πξάμεηο

Ειζαγωγή ζηα Σςζηήμαηα Υπολογιζηών. Αξηζκεηηθά Σπζηήκαηα: Πξάμεηο Ειζαγωγή ζηα Σςζηήμαηα Υπολογιζηών Αξηζκεηηθά Σπζηήκαηα: Πξάμεηο Δομή Παποςζίαζηρ Σπκπιεξώκαηα Πξόζζεζε Αθαίξεζε Πνιιαπιαζηαζκόο Πξνζεκαζκέλνη δπαδηθνί αξηζκνί Τκήκα Πιεξνθνξηθήο & Τερλνινγίαο Υπνινγηζηώλ,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΑΓΓΔΛΜΑΣΗΚΟ ΛΤΚΔΗΟ ΤΠΟΣΖΡΗΚΣΗΚΖ ΓΗΓΑΚΑΛΗΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΤΝΟΠΣΗΚΔ ΖΜΔΗΩΔΗ ΘΔΩΡΗΑ ΚΑΗ ΑΚΖΔΗ ΥΟΛΗΚΟ ΔΣΟ 2011-12

ΔΠΑΓΓΔΛΜΑΣΗΚΟ ΛΤΚΔΗΟ ΤΠΟΣΖΡΗΚΣΗΚΖ ΓΗΓΑΚΑΛΗΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΤΝΟΠΣΗΚΔ ΖΜΔΗΩΔΗ ΘΔΩΡΗΑ ΚΑΗ ΑΚΖΔΗ ΥΟΛΗΚΟ ΔΣΟ 2011-12 1 ΔΠΑΓΓΔΛΜΑΣΗΚΟ ΛΤΚΔΗΟ ΤΠΟΣΖΡΗΚΣΗΚΖ ΓΗΓΑΚΑΛΗΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΤΝΟΠΣΗΚΔ ΖΜΔΗΩΔΗ ΘΔΩΡΗΑ ΚΑΗ ΑΚΖΔΗ ΥΟΛΗΚΟ ΔΣΟ 011-1 ΣΗΜΕΙΩΜΑ Οι παπακάηυ ζςνοπηικέρ ζημειώζειρ θευπίαρ και ενδεικηική ζςλλογή αζκήζευν απεςθύνονηαι

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΙΡΔΣΔ ΦΤΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤ Μ.Κ.Γ. ΦΤΙΚΏΝ ΑΡΙΘΜΏΝ

ΓΙΑΙΡΔΣΔ ΦΤΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤ Μ.Κ.Γ. ΦΤΙΚΏΝ ΑΡΙΘΜΏΝ ΓΙΑΙΡΔΣΔ ΦΤΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤ Γηαηξέηεο ελόο θπζηθνύ αξηζκνύ α είλαη νη θπζηθνί αξηζκνί πνπ όηαλ δηαηξεζνύλ κε ην α δίλνπλ αθέξαην πειίθν θαη ππόινηπν 0. Οη παξάγνληεο ελόο αξηζκνύ είλαη θαη δηαηξέηεο ηνπ. Ππώηοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο

Διαβάστε περισσότερα

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:

ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ: ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii) . Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου

Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου Σηηο παξαθάησ γξακκέο εθαξκόζηε ηε κνξθνπνίεζε πνπ πεξηγξάθνπλ Γξακκή κε έληνλε γξαθή Γξακκή κε πιάγηα γξαθή Γξακκή κε ππνγξακκηζκέλε γξαθή Γξακκή κε Arial Font κεγέζνπο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ

Διαβάστε περισσότερα

Αντισταθμιστική ανάλυση

Αντισταθμιστική ανάλυση Θεσξήζηε έλαλ αιγόξηζκν Α πνπ ρξεζηκνπνηεί κηα δνκή δεδνκέλσλ Γ : Καηά ηε δηάξθεηα εθηέιεζεο ηνπ Α ε Γ πξαγκαηνπνηεί κία αθνινπζία από πξάμεηο. Παξάδεηγκα: Θπκεζείηε ην πξόβιεκα ηεο εύξεζεο-έλσζεο Δίρακε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 58 Β Λςκείος Γεν. Παιδείαρ 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Γύν ζεηηθά θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε απόζηαζε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν

Διαβάστε περισσότερα

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. (δει. ν n έρεη έλαλ ηνπιάρηζηνλ δηαηξέηε πνπ αλήθεη ζην ζύλνιν 2,..., n 1

ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. (δει. ν n έρεη έλαλ ηνπιάρηζηνλ δηαηξέηε πνπ αλήθεη ζην ζύλνιν 2,..., n 1 ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Οπιζμόρ : Έλαο αθέξαηνο θαιείηαη πξώηνο αλ νη κόλνη ζεηηθνί δηαηξέηεο ηνπ είλαη νη θαη. Αλ ν αθέξαηνο δελ είλαη πξώηνο ηόηε ν θαιείηαη ζύλζεηνο. Παπαηήπηζη : i) Αλ ν αθέξαηνο είλαη ζύλζεηνο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤ ΕΠΙΠΕΔ Άξοναρ Άξονα κε απσή ηο θαη μοναδιαίο διάνςζμα ηο OI i θαη ηνλ ζπκβνιίδνπκε κε νλνκάδνπκε κηα επζεία πάλσ ζηελ νπνία έρνπκε επηιέμεη ζεκεία θαη Ι έηζη ώζηε ην δηάλπζκα OI λα έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο

Διαβάστε περισσότερα

4) Να γξάςεηε δηαδηθαζία (πξόγξακκα) ζηε Logo κε όλνκα θύθινο πνπ ζα ζρεδηάδεη έλα θύθιν. Λύζε Γηα θύθινο ζηθ επαλάιαβε 360 [κπ 1 δε 1] ηέινο

4) Να γξάςεηε δηαδηθαζία (πξόγξακκα) ζηε Logo κε όλνκα θύθινο πνπ ζα ζρεδηάδεη έλα θύθιν. Λύζε Γηα θύθινο ζηθ επαλάιαβε 360 [κπ 1 δε 1] ηέινο Λσμένες αζκήζεις ζηη Logo Στεδίαζη ζτημάηων με ηη τελώνα 1) Να γξάςεηε δηαδηθαζία (πξόγξακκα) ζηε Logo κε όλνκα ηεηξάγσλν πνπ ζα ζρεδηάδεη έλα ηεηξάγσλν κε πιεπξά 120. Γηα ηεηξάγσλν επαλάιαβε 4 [κπ 120

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη

Διαβάστε περισσότερα

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Απλό ηλεκτπικό κύκλυμα Η δηδαζθαιία ηνπ απινύ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο ππάξρεη ζην κάζεκα «Φπζηθά» ηεο Ε ηάμεο ηνπ δεκνηηθνύ θαη επαλαιακβάλεηαη ζην κάζεκα ηεο Φπζηθήο ζηε Γ ηάμε ηνπ Γπκλαζίνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ..

ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ.. ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ.. ΘΔΜΑ Α Σηηο εκηηειείο πξνηάζεηο Α.1 Α.4 λα γξάςεηε ζην ηεηξάδην ζαο ηνλ αξηζκό ηεο πξόηαζεο θαη, δίπια, ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε θξάζε ε νπνία ηε ζπκπιεξώλεη

Διαβάστε περισσότερα

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( )

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( ) 1. Άζξνηζκα Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: Θέινπκε λα εθθξάζνπκε ην άζξνηζκα ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ. Δπνκέλσο έρνπκε: 2. Άζξνηζκα Ξεθηλάκε κε δύν

Διαβάστε περισσότερα

Καηακμώκηαξ ηα Νέα Μέζα. Εογεκία Σηαπένα esiapera@jour.auth.gr

Καηακμώκηαξ ηα Νέα Μέζα. Εογεκία Σηαπένα esiapera@jour.auth.gr Καηακμώκηαξ ηα Νέα Μέζα Εογεκία Σηαπένα esiapera@jour.auth.gr Friedrich Kittler, 1999 The media determine our situation Tι εννοεί ο Kittler; Γιαηί και πώς μας καθορίζοσν ηα μέζα; Καζμνίδμοκ ηόζμ ηα πενηεπόμεκα

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Αιγόξηζκνη Δνκή επηινγήο. Απιή Επηινγή ύλζεηε Επηινγή. Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Τ. introcsprinciples.wordpress.

Αιγόξηζκνη Δνκή επηινγήο. Απιή Επηινγή ύλζεηε Επηινγή. Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Τ. introcsprinciples.wordpress. Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Δνκή επηινγήο Απιή Επηινγή ύλζεηε Επηινγή Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Τ 1 Επηινγή ηελ πξάμε πνιύ ιίγα πξνβιήκαηα κπνξνύλ λα επηιπζνύλ κε ηνλ πξνεγνύκελν ηξόπν ηεο ζεηξηαθήο/αθνινπζηαθήο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ. Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο. λήκαηνο κήθνπο L,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην

ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ. Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο. λήκαηνο κήθνπο L,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο λήκαηνο κήθνπο,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Εθηξέπνληαο θαηά γωλία θ θαη ζηε ζπλέρεηα αθήλνληαο

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ηαηηθή ηωλ ξεπζηώλ (Τδξνζηαηηθή) Ση είλαη ηα ξεπζηά - Γεληθά Ππθλόηεηα Πίεζε Μεηαβνιή ηεο πίεζεο ζπλαξηήζεη ηνπ βάζνπο Αξρή ηνπ Pascal Τδξνζηαηηθή πίεζε Αηκνζθαηξηθή πίεζε Απόιπηε &

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών τοιχεία του μαθήματοσ (ημζρα εβδομάδασ, ώρεσ, ζτοσ): ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών Εργαςτηριακή ομάδα αςκήςεων 2 για το μάθημα «ΑΡΧΙΣΕΚΣΟΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και

Διαβάστε περισσότερα

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο:

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Πίνακες Σσμβόλων Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Εηζαγσγή ελόο ζηνηρείνπ Αλαδήηεζε ζηνηρείνπ κε δεδνκέλν θιεηδί Άιιεο ρξήζηκεο ιεηηνπξγίεο είλαη: Δηαγξαθή ελόο θαζνξηζκέλνπ ζηνηρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

Οδεγόξ Φνήζεξ Webmail

Οδεγόξ Φνήζεξ Webmail Οδεγόξ Φνήζεξ Webmail Τπενεζία Πιενμθμνηθώκ οζηεμάηςκ Tμμέαξ Δηαπείνηζεξ οζηεμάηςκ θαη Εθανμμγώκ ΤΠ-ΕΔ/28 13-09-2011 Contents 1. Εηζαγωγή... 3 2. Πνόζβαζε ζημ «Webmail»... 3 i. Κνοπημγναθεμέκε πνόζβαζε

Διαβάστε περισσότερα

Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ

Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Έλαο από ηνπο βαζηθνύο ζηόρνπο ηεο παιηλδξόκεζεο είλαη ε πξόβιεςε ηεο αλακελόκελεο ηηκήο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ γηα δεδνκέλε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα