ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ"

Transcript

1 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: i) y = x- 1 ii) y = 3 5x 5x 6 iii) y iv) x = y v) 18x-6y + 5 = 0 vi) x = vii) y =. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης, αν υπάρχει, της ευθείας: i) που διέρχεται από τα σημεία Α(,-3) και Β(-1,6). ii που διέρχεται από τα σημεία Γ(0,-) και Δ(0,3). iii) που είναι κάθετη στη ΓΔ. 3. Να βρεθεί η γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα χ χ η ευθεία: i)που διέρχεται από τα σημεία Α(4,-) και Β(3,-3). ii)που διέρχεται από τα σημεία Γ(3,-1) και Δ(-,-1). iii)που διέρχεται από τα σημεία Ε(4,-) και Ζ(4,1). 4. Να βρείτε την γωνία ω που σχηματίζουν με τον άξονα χ χ οι ευθείες που ορίζονται από τα σημεία : i) (-8, -4), (5, 9), ii) (5, -7), (5, -), iii) (3, 7), (5, 7). 5. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x'x η ευθεία, η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με: i) 1 ii) -1 iii) 3 iv) 0 ν) 6. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με άξονα x'x η ευθεία με εξίσωση: 1 i) y x ii) y x 3 1 iii) y = 1 - x iv) y = l v) y = 3 vi) x = 0 vii) x= 7. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x'x η ευθεία, η οποία διέρχεται από τα σημεία Α και Β, όταν: i) Α(, 5), Β(4, 7) ii) Α(3, 3 ),Β(4,0) iii) A(,5),B(1,5) iv) A(l,4), Β(1,6)

2 8. Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες : η ευθεία ε : y = ( α - 10)x+ 4 σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία Να βρεθεί ο α R έτσι ώστε η ευθεία: i) ε: y x να σχηματίζει 45 γωνία με τον άξονα x x ii) ε: y 3 x 1 να σχηματίζει 30 γωνία με τον άξονα y y και κανένα σημείο της να μη βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο. ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ-ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ 10. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(-,3),Β(-6,1) και Γ(-10,-1) είναι συνευθειακά. 11. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά, όταν: i) Α(,5),Β(1,), Γ(0,-1) ii) 1 1, 1, 1, t A B,Γ t +1,-t Στο επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α (κσυνφ, λημφ), Β (κημφ,-λσυνφ) και Γ (κ, λ), όπου κ, λ R και 0 < φ < π. Για ποιες τιμές του φ τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά ; 13. Να αποδειχτεί ότι τα παρακάτω σημεία είναι συνευθειακά i) Α(1,4), Β(-,-5), Γ(-1,-). ii)α (ασυνθ,αημθ), B(-αημθ,ασυνθ), Γ,0 0,. 4 Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις, να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία αυτά. 14. Να βρεθεί ο α R, ώστε τα σημεία Α (ημα,συνα), Β(-συνα,ημα), Γ(1,1) είναι συνευθειακά. 15. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α (1, -1), Β (-, 8), Γ (3, -7) βρίσκονται στην ίδια ευθεία, της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. 16. Να βρεθεί η τιμή του α για την οποία η ευθεία ε : y = 3x - α διέρχεται από το σημείο Α(,10). 17. Να βρεθούν οι τιμές των α, β R, αν είναι γνωστό ότι η ευθεία ε: y = αx + β διέρχεται από τα σημεία Α(1, -3) και Β(3,1).

3 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 18. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το Α(-1,3) και είναι : i)παράλληλη στην ευθεία δ: y = -x ii)κάθετη στην ευθεία δ: y x iii)κάθετη στην ευθεία δ: x = 5 iv)παράλληλη στην ευθεία δ: y = Δίνονται τα σημεία Α (1, 4) και Β (- 1, - 5). α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. β) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. γ) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας τον ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 0. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών 1 και του διπλανού σχήματος. 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών 1 3 y x 6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε του διπλανού σχήματος. ε Α y - 1 Ο x 3. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α (-, 3) και είναι παράλληλες προς το διάνυσμα: i) ( 4, 5 ), ii) με άκρα Β (-3, 4) και Γ (-1, 5). 3

4 4. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(3,-) και : α) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (, 5) β) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (0, 3) γ) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (,0) δ) είναι κάθετη στο διάνυσμα (,1) ε) είναι κάθετη στο διάνυσμα (0, 4) στ) σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(-, 5) και: i) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - 4, ii) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0, iii) σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία ω = 60, iv) είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (, 0), ν) είναι κάθετη στο διάνυσμα η = (6, 3), νi) είναι παράλληλη στην ευθεία ζ : 4x+ 1y - 5 =0, vii) είναι κάθετη στην ευθεία ε: 4x + 1y -5=0. 6. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(1, 5) και είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση: i) y = 3x - 1 ii) x = 4 iii) y = 3 7. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(3, ) και είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση: i) y = 1 4 x- 3 ii) x = 4 iii) y = Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία: διέρχεται από τα σημεία Α και Β, όταν : i) A(l,),B(5,-6) ii) Α(,5),Β(-1,5) iii) A(3,4),B(3,1) 9. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(1, -) και σχηματίζει,με τον άξονα x'x γωνία ω ίση με: i) 30 ii) 10 iii) 0 iv) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το Α(,-1) και είναι : i)παράλληλη στο διάνυσμα = (1,0). ii) κάθετη στο διάνυσμα = (1,0). 4

5 iii) παράλληλη στο διάνυσμα = (0,1) iv) κάθετη στο διάνυσμα = (0,1). 31. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από τις κορυφές Α (, -1), Β (4, -5) και Γ (-3, 4) τριγώνου ΑΒΓ και είναι παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές. 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο Α (-, 0) και είναι παράλληλη στην διχοτόμο της γωνίας x Οy. 33. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση: y=3x Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που περνά από το σημείο Α(,-3) και ορίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. 35. Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία, Α(-1, ) και Β(3, -). 36. Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που περνά από το σημείο Α(-1,4) και ορίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο εμβαδού Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που είναι παράλληλη στην ευθεία y = -x, τέμνει τους άξονες στα Α(α,0), Β(0,β), έτσι ώστε α + β = 1: 38. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Μ(,1),τέμνει τις ευθείες δ1: y = x +1, δ: y = -x +1 στα Α,Β αντίστοιχα, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο της ΑΒ. 39. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(1,0),τέμνει τις ευθείες δ1 : y = x, δ : y = x + στα Β, Γ αντίστοιχα, έτσι ώστε το μήκος του ΒΓ να είναι. 40. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(1,3) και τέμνει τους άξονες x'x και y'y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι, ώστε ΒΡ ΡΑ. 41. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(1, - ) και τέμνει τους άξονες x'x και y'y στα σημεία Α και Β έτσι, ώστε το τμήμα ΑΒ να έχει μέσο το Ρ. 4. Δίνονται οι ευθείες ε1 :y = λx, ε : y = - λx και έστω ότι μια ευθεία ε τις τέμνει στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τις συντεταγμένες των Α, Β συναρτήσει των συντεταγμένων του Μ. 43. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(1,) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο 5

6 44. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Μ(1,4) και τέμνει τις ευθείες ε1: y=-x+4 και ε: y=x+3 στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι ώστε το Μ να είναι το μέσο του ΑΒ 45. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Μ(0,1) και τέμνει τις ευθείες ε1: y= 1 x και ε: y= 1 x+1στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι ώστε να ισχύει ΑΒ=1 46. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε, η οποία διέρχεται από το σημείο Σ(α, β) και τέμνει τους άξονες x'x και y'y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι, ώστε ΑΣ β, μ γνωστοί μη μηδενικοί αριθμοί με μ -1. μσβ, όπου α, 47. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας,η οποία διέρχεται από το σημείο Σ (α, β) και σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο 48. Δίνονται οι ευθείες ε1 : y=x+3 και ε : y = 4x + 7, καθώς και το σημείο Μ(-1,).Nα βρεθεί η εξίσωση κάθε ευθείας ε, η οποία διέρχεται από το Μ και τέμνει τις ε1, ε στα σημεία Α, Β αντίστοιχα έτσι, ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. 49. i)να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(,0) και τέμνει τις ευθείες, ε1 : y = -x+4 και ε : y = -x + 6 στα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι, ώστε (ΑΒ) =. ii) Ομοίως αν Ρ(0,1), ε1: y= -x, ε : y = - x+1 και (ΑΒ) = Έστω ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A(x1, y1) και Β(x, y) έχει εξίσωση y = λx+β. Να αποδείξετε ότι ( AB ) x - x 1+ λ Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=- 3 4 με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 4 τ. μονάδες. και σχηματίζει 6

7 ΤΟΜΕΣ ΕΥΘΕΙΩΝ 5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1,10) και από το σημείο τομής των ευθειών :ε1: y x 5 και y 5x Δίνεται η ευθεία ε: y 3x 011. Να βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ζ1 που είναι παράλληλη στην ευθεία ε και διέρχεται από το σημείο Α(1,-5) ii) την εξίσωση της ευθείας ζ που είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το σημείο Β(-3,13) iii) το σημείο τομής των ευθειών ζ1 και ζ 54. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1: y=x+3, ε: y=-x+15 και ε3: y=3x-5 διέρχονται από το ίδιο σημείο. 55. Οι ευθείες ε1: y=x+16, ε: y=-5x+ και ε3: y=αx-4α-6 διέρχονται από το ίδιο σημείο.να βρείτε : i) τον αριθμό α ii) τα σημεία τομής της ε3 με τους άξονες 56. Να βρείτε τις τιμές των α, β, ώστε οι ευθείες ε1: x = αy + β και ε : y = βx + α να τέμνονται στο σημείο Α(-1,4). 57. i)να βρεθεί το σημείο τομής των ε1: y = -x - 1 και ε: y = 3x - 6. ii)να βρεθεί ο α R, ώστε οι ε1: y = (α-)x-1 και ε: y = (α -3α)x - να τέμνονται πάνω στον χ χ. 58. Οι ευθείες : ε1: y = (α-4)x+α και ε: y = (14-α)x α- είναι παράλληλες.να βρείτε: i) τον αριθμό α ii)τα σημεία τομής της ε3 με τους άξονες Οι ευθείες : ε1: y = μx+μ-7 και ε: y x είναι κάθετες.να βρείτε: 9 i) τον αριθμό μ ii) το σημείο τομής Α των ε1 και ε iii) τον αριθμό α,ώστε η ευθεία ζ: y=αx+α-19 να διέρχεται από το σημείο Α. 7

8 60. Δίνονται τα σημεία Α(1,5),Β(4,-1),Γ(3,7) και Δ(-1,-9).Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ. 61. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ του διπλανού σχήματος. A4, B,0 Μ 6. Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ, όπου Α(- 1,0) και Β(5, ). 63. Θεωρούμε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(1,-) και Β(5,6).Να βρείτε : i)την εξίσωση της ευθείας ε ii) τα σημεία τομής της ε με τους άξονες iii) την εξίσωση της ευθείας ζ1 που είναι παράλληλη στην ε και διέρχεται από το σημείο Γ(-4,-3) iv) την εξίσωση της ευθείας ζ που είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το σημείο Δ(6,7) v) το σημείο τομής των ευθειών ζ1 και ζ 64. Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ,με Α(1,7) και Β(-3,5).Να βρείτε : i) τη μεσοκάθετο ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ii) τα σημεία τομής Γ και Δ της ευθείας ε με τους άξονες y y και χ χ αντίστοιχα iii) το σημείο τομής των ευθειών ΑΓ και ΒΔ. 65. Δίνονται τα σημεία Α(α,-α),Β(α+6,α+9) και Γ(5,-3).Αν η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης 1,να βρείτε : i) τον αριθμό α ii) τα σημεία τομής της ευθείας ΑΒ με τους άξονες iii) την εξίσωση της ευθείας ΑΓ και τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα χ χ iv) την εξίσωση της ευθείας ε που είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ στο σημείο Β v) το σημείο τομής της ευθείας ε με την ευθεία ΑΓ. 66. Δίνονται τα σημεία Α(1,3) καιβ(5,1).έστω ε η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε ii) το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ε με τους άξονες 67. Έστω η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(1,-3) και είναι κάθετη στο διάνυσμα (3,4).Να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε 8

9 ii) το εμβαδόν και την περίμετρο του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ε με τους άξονες 68. Οι ευθείες ε1 : y=x-10 και ε: y=αx+9-α, με αr,τέμνουν τον άξονα χ χ στο ίδιο σημείο.να βρείτε : i) τον αριθμό α ii) την εξίσωση της ευθείας ε3 που διέρχεται από το σημείο Α(6,-3) και είναι κάθετη στην ευθεία ε iii) την απόσταση του σημείου τομής Β των ε1και ε3 από την αρχή των αξόνων. 69. Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α (6,8) και είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας xoy. α) Να βρείτε την εξίσωση της ε β) Έστω ζ η ευθεία που είναι κάθετη στην ε στο σημείο που η ε τέμνει τον y y i) Να βρείτε την εξίσωση της ζ ii) Αν η ευθεία ζ τέμνει τον χ χ στο σημείο Γ,να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας ΑΓ με τον y y 70. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών : δ : y = -x + 1, δ: y = -x Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ε : y = 5x- 0 με τους άξονες. 7. Έστω Α, Β δύο σημεία της ευθείας ε : y= 3x + 10 τέτοια, ώστε η τετμημένη του Β να είναι μεγαλύτερη από την τετμημένη του Α κατά.να βρείτε πόσο μεγαλύτερη (ή μικρότερη) είναι η τεταγμένη του Β από την τεταγμένη του Α. Ποια σχέση συνδέει τις διαφορές yb -ya και ΧΒ ΧΑ με τον συντελεστή διεύθυνσης της ε; ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ 73. Δίνονται τα σημεία Α(4,-3) και Β(-, 5).Nα βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β ii) για ποια τιμή του λ R η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Γ(-5,λ+1) 74. Δίνονται τα σημεία Α(α,α-3) και Β(7α,3α-1), με αr.η ευθεία ε: y=3x- διέρχεται από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.Να βρείτε : i)τον αριθμό α ii) τα σημεία τομής της ευθείας ΑΒ με τους άξονες. 75. Θεωρούμε την ευθεία y x 5 και το διάνυσμα (3, 4),με λ R.Η ευθεία ε 9

10 είναι παράλληλη στο διάνυσμα. α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Το σημείο Α(μ,7-μ),με μr,ανήκει στην ευθεία ε.να βρείτε : i) τον αριθμό μ ii) την ευθεία ζ που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην ε. 76. Δίνονται τα σημεία Α(1,-1) και Β(3,5).Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας ε :y=-3x-,ώστε. 77. Δίνονται τα σημεία Α(λ+μ,λ) και Β(μ,λ-μ),με λ,μr.αν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει μέσο το σημείο Μ 7, 3,τότε; i) να βρείτε τις τιμές των λ και μ ii) να βρείτε σημείο Κ της ευθείας ε : y 7x 3 ώστε το τρίγωνο ΑΚΒ να είναι ορθογώνιο στο Κ. 78. Δίνεται η ευθεία ε: y x,η οποία διέρχεται από το σημείο Α(16-μ,8-μ).Να βρείτε i) τον αριθμό μ ii) τα σημεία της ευθείας ε τα οποία απέχουν από το σημείο Β(-1,) απόσταση ίση με Δίνονται οι ευθείες : ε1 : y=3x-7 και ε : y=-x+13.το σημείο Α (α,β) ανήκει στην ε1 και το σημείο Β(α+3,-β) ανήκει στην ε. i) Να βρείτε τις τιμές των α και β ii) Να βρείτε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. iii) Αν Γ είναι το σημείο τομής των ε1 και ε και Μ το μέσο του ΑΓ,να αποδείξετε ότι 80. Η ευθεία ε: y=αx+5-α διέρχεται από το σημείο Α(1,4α-5).Να βρείτε : i) τον πραγματικό αριθμό α ii) την εξίσωση της ευθείας ζ που είναι παράλληλη στην ε και τέμνει τον χ χ στο σημείο με τετμημένη -3 iii) το συμμετρικό Β του σημείου Α ως προς την ευθεία ζ iv) την απόσταση του σημείου Β από το σημείο τομής της ε με τον y y 10

11 81. Δίνονται τα σημεία Α(α,5) και Β(3,α) με αr.η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β,σχηματίζει γωνία 135 με τον άξονα χ χ. α) Να βρείτε τον αριθμό α και την εξίσωση της ε β) Αν το σημείο Β(β,3β-5) ανήκει στην ευθεία ε, να βρείτε : i) τον αριθμό β και την απόσταση του Β από την αρχή των αξόνων, ii) την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από το Β και είναι κάθετη στην ε iii) το σημείο Γ της ε και το σημείο Δ της ζ,ώστε το ΓΔ να έχει μέσο το Μ(,7) 8. Δίνονται τα σημεία Α(4,) και Β(3, - 5).Να βρεθεί σημείο Μ της ευθείας ε: 7x + y -3 = 0 τέτοιο, ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ. 83. Να βρεθεί σημείο Μ της ευθείας y = -x + 4, ώστε με τα σημεία A( 1,1), Β(-1,3) να σχηματίζει το τρίγωνο ΑΜΒ ισοσκελές με κορυφή το Μ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ Δίνεται το σημείο Α(-3,5) και η ευθεία y x 1.Να βρείτε : i) την προβολή του Α στην ε ii) το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ε 85. Δίνεται η ευθεία ε: y = x - 1 και το σημείο Α(1,3). Να βρεθούν: i)η προβολή του Α πάνω στην ε ii)σημείο Β το συμμετρικό του Α ως προς την ε. 86. Έστω η ευθεία ε: y=x+1 το σημείο Α(,1) α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Α πάνω στην ε β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού του Α ως προς την ε 87. Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση Ax + By + Γ = 0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία είναι συμμετρική της ε ως προς: i) τον άξονα χ'χ, ii) τον άξονα y'y, iii) την ευθεία με εξίσωση y = x, iν) την αρχή Ο των αξόνων. 88. Δίνεται η ευθεία ε: y x. Να βρείτε τη συμμετρική ευθεία της ε, ως προς: α) τον άξονα χ χ β) τον άξονα y y γ) την αρχή Ο των αξόνων 11

12 δ) τη διχοτόμο y x. 89. Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που είναι συμμετρική της ε: y = x - 1, ως προς την 1 δ: y x Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α,Β τριγώνου ΑΒΓ, που έχει κορυφή το σημείο Γ(-1,3), εξίσωση του ύψους ΑΚ : y = 3x και εξίσωση της διχοτόμου ΒΔ: y = x Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ τριγώνου ΑΒΓ, που έχει κορυφή το σημείο Α(1,3), εξίσωση της διαμέσου ΓΜ: 9x 7y = 18 και εξίσωση της διχοτόμου ΓΔ: y = x Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ τριγώνου ΑΒΓ, που έχει κορυφή το σημείο Α(-1,4) και εξισώσεις δύο εσωτερικών διχοτόμων τις δ1 :y = 1 και δ :y = x Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ του οποίου η κορυφή Α έχει συντεταγμένες (0, 3) και οι διχοτόμοι BE και ΓΖ βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε1 : y = και ε : y = x αντίστοιχα. 94. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Β(1,) και Γ(8, 3). Αν y = x είναι η εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται μια διχοτόμος του, να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών ΑΒ και ΑΓ. 95. Η κορυφή Β ενός τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (4, 3) και οι ευθείες πάνω στις 1 1 οποίες βρίσκονται το ύψος ΑΔ και η διχοτόμος ΑΕ έχουν εξισώσεις y x και y = x αντίστοιχα. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ. 96. Η κορυφή Β τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (3, 3) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται η διχοτόμος ΑΔ και το ύψος εξισώσεις y= 1 και y = - 3 x+4 αντίστοιχα. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α και Γ. 97. Η κορυφή Α ενός τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (3,) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται η διχοτόμος ΒΔ και η διάμεσος ΒΜ έχουν εξισώσεις y = x - και y = 3x - 6 αν βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. 98. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ τριγώνου ΑΒΓ, που έχει κορυφή 1

13 A 4 1, 3 και τις ευθείες ε1 : y = -x και ε: y = x 4 εξωτερικές διχοτόμους. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 99. Να αποδείξετε ότι : i) τα σημεία Α(1,), Β(3,6) και Γ(4,10) είναι κορυφές τριγώνου, ii) τα σημεία Α(1,), Β(3, 6) και Γ(4, 8) δεν είναι κορυφές τριγώνου Δίνονται τα σημεία Α(4, 5), Β(6,- 1) και Γ(1,1). i) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. ii) Να βρείτε σημείο Δ, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(1,), Β(-3,-), Γ(3,-4). Να βρεθούν οι εξισώσεις του ύψους, της διαμέσου και της μεσοκαθέτου που αντιστοιχούν στην πλευρά ΑΓ. 10. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(5,), Β(1,), Γ(3,4). Να υπολογιστούν οι συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών και να βρεθεί το είδος του τριγώνου Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(,1), Β(-1,-1), Γ(-3,). Να βρεθούν οι εξισώσεις : i) Tου φορέα του ύψους ΒΔ ii) Tου φορέα της διαμέσου ΑΜ iii) Της μεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ 104. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (- 1, ), Β (3, - ) και Γ (1, 4). Να βρεθούν : α) οι εξισώσεις των πλευρών του β} οι εξισώσεις δύο υψών του γ) οι εξισώσεις δύο διαμέσων του δ) οι εξισώσεις δύο μεσοκαθέτων του 105. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α (- 8, ), Β (7, 4) και Η (5, ) το ορθόκεντρο του. Να βρείτε: α) την εξίσωση της πλευράς ΒΓ β) τις συντεταγμένες της κορυφής Γ 13

14 γ) τις εξισώσεις των πλευρών του. δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. ε) Να βρεθεί το εμβαδόν τον τριγώνου που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία τομής τους με την ευθεία ΑΒ Με υποτείνουσα το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που η ευθεία ε: y 3x ορίζει με τους άξονες, κατασκευάζουμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΜΒ. Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Μ Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (,1) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται τα δύο ύψη του έχουν εξισώσεις y = - 3x + 11 και y = x + 3.Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(6,0), Β(4, -3) και ορθόκεντρο Η(5, - 1). Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Γ Οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε1 : y = - x+1 και ε : y = x + 6 αντίστοιχα και το ορθόκεντρο του είναι το σημείο Ο(0,0). Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ Να βρείτε τις εξισώσεις των υψών τριγώνου ΑΒΓ που έχει κορυφές Α (-5, 4), Β (, 3) και Γ (-3, -) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών τριγώνου ΑΒΓ, που έχει πλευρές τις ΑΒ: y=3x-1, ΑΓ: x - 3y = -8 και ορθόκεντρο το Η(1,3). 11. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α,Β τριγώνου ΑΒΓ, που έχει ύψος ΑK: y=-x+5, διάμεσο ΑΜ : 3x+y =14 και κορυφή το Γ(5,7) Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ˆΑ 90 και τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ εκτός αυτού. Να αποδείξετε ότι ο φορέας του ύψους ΑΚ και οι ευθείες ΒΖ και ΓΔ διέρχονται από το ίδιο σημείο Η κορυφή Α ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ έχει συντεταγμένες (3,1) και μια πλευρά του βρίσκεται στην ευθεία με εξίσωση y = x- 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις βρίσκονται οι άλλες τρεις πλευρές του τετραγώνου Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ είναι το σημείο (1,), ενώ οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο διάμεσοι του είναι οι ε1 : x - 3y +1 = 0 και ε : y = l. Να βρεθούν οι 14

15 συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (1,5) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται οι διάμεσοι BE και ΓΖ του τριγώνου είναι οι ε1 : 5x - 3y +14 = 0 και ε : y = x + 4 αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται η πλευρά ΑΒ, η διάμεσος ΓΜ 4 10 και το ύψος ΑΔ έχουν εξισώσεις y = x -, y x και y x 3 αντίστοιχα Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (,1) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται το ύψος ΒΔ και η διάμεσος ΓΜ έχουν εξισώσεις y = 1 x +1 και y = x αντίστοιχα. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (4,3), ενώ το ύψος ΓΔ και η διάμεσος ΓΜ βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις y = -x +1 και y = - x + 8 αντίστοιχα. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. 10. Δύο κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ έχουν συντεταγμένες (4,) και (5,0) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται ένα ύψος και μια διάμεσος του έχουν εξισώσεις y = - 3x+14 και y = = 5x - 18 αντίστοιχα. Να βρεθούν οι συντεταγμένες της τρίτης κορυφής. 11. Η κορυφή Α ενός τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (1,). Μια πλευρά και μια διάμεσος του βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις y = x - 5 και x = αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών του. 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,1),Β(,5) και έγκεντρο Ι(, ). Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Γ. 15

16 13. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α,Γ τριγώνου ΑΒΓ, που έχει ύψος ΑΚ: y =, διάμεσο ΓΜ: 9x + 8y = 6 και κορυφή Β(6,4) Ι 14. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α,Β τριγώνου ΑΒΓ, που έχει ύψος ΑΚ: y = 3x-7, ευθεία ΒΜ: x + y = -5 όπου Μ σημείο για το οποίο AM M και κορυφή Γ(-,-1). 15. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών τριγώνου ΑΒΓ, με πλευρές τις ε1: y=x-1, ε: y = -x+14 και Μ το μέσο μιας πλευράς. 16. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β,Γ τριγώνου ΑΒΓ, που έχει μεσοκάθετες τις ευθείες μβ: y = -x- 1, μγ : y = -x + 7 και κορυφή Α(5,4). 17. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, [με (ΑΒ) = (ΒΓ)], που έχει πλευρά την ευθεία y = 4x -, ύψος προς τη βάση ΑΓ την ευθεία y = x - και κορυφή Α το σημείο (1,). 18. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α,Γ τριγώνου ΑΒΓ, που έχει μεσοκάθετο της ΒΓ την ευθεία y = x + 5, κορυφή το Β(-3,4) και ορθόκεντρο Η το σημείο (0,5). Κατόπιν να βρεθεί το είδος του τριγώνου. 19. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών τριγώνου ΑΒΓ, με πλευρές τις 3 ΑΒ: y = x +1, ΑΓ: x = και διάμεσο ΒΜ: y x Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Α τριγώνου ΑΒΓ, που έχει κορυφές τα σημεία Β(0-1),Γ(1,6)και κέντρο βάρους G το σημείο (1,3) Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών τετραγώνου του οποίου οι διαγώνιες βρίσκονται πάνω στους άξονες και έχει μήκος πλευράς. 13. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών παραλληλογράμμου που έχει δύο πλευρές 1 7 με εξισώσεις ε1 : y x y 3x 1και μια διαγώνιο με εξίσωση : y x Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών παραλληλογράμμου που έχει δύο πλευρές 1 με εξισώσεις ε1 y x 1 y 3x 1 και το κέντρο του Ο έχει συντεταγμένες 4 5,1. 16

17 134. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών τετραγώνου που το κέντρο του Κ έχει συντεταγμένες (1,3), έχει μια διαγώνιο με εξισώσεις δ: y = 3 και μια πλευρά με εξίσωση ε:y=-x Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών ρόμβου που έχει κορυφή το σημείο (0,4), μια του πλευρά παράλληλη στη διχοτόμο του 1ου τεταρτημορίου και μια του 1 διαγώνιο με εξίσωση : y x Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών τραπεζίου που έχει διάμεσο με εξίσωση δ: y = 3x- 7, δυο του πλευρές με εξισώσεις ε1: 3x + 4y = 31 και ε: y = 1 και το σημείο Κ(0,4) που ανήκει σε μια του πλευρά Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών τριγώνου ΑΒΓ, που έχει Κ(,5), Λ(-,7) τα ίχνη δύο υψών του και το Η(-,9) ορθόκεντρο Δίνονται τα σημεία Α (, 1), Β (6, 4) και Γ ( 9, 6). α) Να δειχθεί ότι η γωνία ΑΒΓ είναι ορθή. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Δ του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. γ) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο ΑΒΓ Έστω τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Α(-1,-1), Β(5,5), Γ(1,3) και Δ(3,1). Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Α(-1,), Β(,1), Γ(1,4) και Δ(-, 5) είναι ρόμβος Δίνονται τα σημεία Α(0,1), Β(10, 6), Γ(5, 6) και Δ(3,5). Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται η διάμεσος του; 14. Οι δύο πλευρές ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις y = - x + 3 και y = -x + 5 και μια κορυφή του είναι το σημείο Α(4,1). Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι άλλες δύο πλευρές Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν η κορυφή Α έχει συντεταγμένες (6,4) και δύο 1 πλευρές του βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις y = x - 3 και y x 5, να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ, Δ. 17

18 144. Το κέντρο Κ ενός παραλληλογράμμου έχει συντεταγμένες (,3) και οι εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι πλευρές ΑΒ και ΑΔ είναι y = x + 3 και y = - x + 6 αντίστοιχα. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ΒΓ και ΓΔ Δύο πλευρές ενός παραλληλογράμμου βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις y = - x + 6 και εξίσωση y = 8 0 y x ενώ μια διαγώνιος του βρίσκεται στην ευθεία με x +. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με κέντρο το σημείο Κ(,1) και εξισώσεις των πλευρών ΑΒ, ΑΓ τις y=x+1 και y=-x+4 αντιστοίχως. Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων δύο πλευρών 147. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου του οποίου οι διαγώνιες βρίσκονται πάνω στους άξονες και η πλευρά του έχει μήκος ίσο με 148. Τα σημεία Α(,0) και Β(-1,4) είναι διαδοχικές κορυφές τετραγώνου. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του Οι κορυφές Α και Γ ενός ρόμβου έχουν συντεταγμένες (, -5) και (10,3) αντίστοιχα i) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας οποία βρίσκεται η διαγώνιος ΒΔ. ii) Αν η ευθεία ΒΓ έχει εξίσωση y =x-17 να βρείτε τις συντεταγμένες του Β και του εμβαδού του ρόμβου Η κορυφή Α ενός ρόμβου έχει συντεταγμένες (1,-1) και οι ευθείες πάνω στις οποίες μια πλευρά και μια διαγώνιος του έχουν εξισώσεις y = 3x - 4 και y = x αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ και Δ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 151. Να βρείτε τι παριστάνουν οι εξισώσεις : i) xy-y = 0 ii) x -5x + 6 = 0 iii) x + y =0 iv) (x-)(y+l)=0 v) x + l = y- 15. Να βρείτε τις γραμμές που παριστάνουν οι παρακάτω εξισώσεις:. i)x(y-1)=0, ii)x - y = 0, iii) y - 3y- 4 = 0. 18

19 153. Να λυθούν γραφικά οι παρακάτω ανισώσεις. i) y + > 0, ii) x y 0 iii) x 6x Δίνονται τα σημεία Α(0,1), Β(,0) και Γ(-1,1). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ικανοποιούν τη σχέση ΜΑ + MB - ΜΓ = 155. Μια ορθή γωνία έχει κορυφή το σημείο Κ(,3) και τέμνει τους τους άξονες x x,y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα.να αποδείξετε ότι το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ ανήκει σε σταθερή ευθεία (ανεξάρτητη των Α, Β) i) Να βρεθεί το σημείο Μ του άξoνα x x του οποίου το άθροισμα των αποστάσεων από τα σημεία Α(1, -4) και Β(7,8) είναι ελάχιστο ii) Ομοίως αν Α(1,4) και Β(7,8) i)δίνονται τα σημεία Α(3,) και Β(,5) Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα y y για το οποίο η ποσότητα ΜΑ -ΜΒ γίνεται μέγιστη ii)ομοίως αν Α(-3,) και Β(,5) Να βρεθεί η τιμή του α για την οποία οι ευθείες ε1 : y = 4x + 6, ε: y = αx +1 και ε3 : y = x + 3 διέρχονται από το ίδιο σημείο Δίνονται τα σημεία Α(3λ-1,6λ-5) και Β(4μ-6,10-μ),με λ,μ R. i) Να βρεθούν οι ευθείες ε, ζ πάνω στις οποίες κινούνται τα σημεία Α και Β ii) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ζ είναι κάθετες και να βρείτε το σημείο τομής τους 160. Δίνεται το σημείο Α(λ-3,6λ-11),με λ R. i) Nα αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται πάνω σε μία ευθεία ε ii) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του θ R το σημείο ανήκει στην ευθεία ε (,1 3 ) 161. Δίνονται τα σημεία Α(3λ-4,7λ+) καιβ(λ+.5λ-18),με λ R.Να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ κινείται πάνω σε ευθεία 19

20 16. Δίνεται το σημείο Α(1,11)και η ευθεία ε: y=4x-5.αν το σημείο Β κινείται πάνω στην ευθεία ε,να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ κινείται πάνω σε μία ευθεία παράλληλη στην ε 163. Δίνονται οι ευθείες ε: y 3x 7 και ζ: ευθείας ε και Β το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ζ.. i) Να εκφράσετε τις συντεταγμένες του Β συναρτήσει του λ ii) Να αποδείξετε ότι το σημείο Β κινείται σε μία ευθεία. 1 y x.έστω Α (λ,μ) ένα σημείο της 1λ λ Να αποδείξετε ότι όταν το λ μεταβάλλεται στο R, τότε το σημείο Μ, 1 λ λ1 ανήκει σε ευθεία ε της οποίας και να βρεθεί η εξίσωση Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1 : y = λx + λ + και ε : y = x + 4 όταν λ 1, τέμνονται και ότι αν το λ μεταβάλλεται, τότε το σημείο τομής τους ανήκει σε σταθερή ευθεία. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 166. Οι ευθείες : : y x 6 και 4 1 : y x 4 είναι κάθετες. 4 α) Να βρείτε τον αριθμό μ. β) Να βρείτε το σημείο τομής Α των ε1 και ε γ) Αν η ευθεία : y ( 7)x διέρχεται από το σημεία Α,να βρείτε : i) τον αριθμό α ii) τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία ζ με τον άξονα χ χ 167. Θεωρούμε τα σημεία Α Α(α,8) και Β(-,α-6),με αr.η ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχει συντελεστή διεύθυνσης. α) Να βρείτε τον αριθμό α και την εξίσωση της ε. β) Θεωρούμε σημείο Γ τέτοιο,ώστε : ( 8,6).Να βρείτε : i) τις συντεταγμένες του σημείου Γ, ii) την προβολή του Γ στην ευθεία ε iii) το συμμετρικό του Γ ως προς την ευθεία ε. 0

21 168. Δίνεται το σημείο Α(-3,) και το διάνυσμα (,5 ),με μr,για το οποίο ισχύει 0. i)να αποδείξετε ότι μ=1 ii)να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στο διάνυσμα iii)να βρείτε τα σημεία τομής Β και Γ της ε με τους άξονες χ χ και y y iv)αν ζ η μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ,να βρείτε τα σημεία τομής της ζ με τους άξονες 169. Θεωρούμε τα σημεία Ο(0,0),Α και Β(6,8).Το σημείο Λ(3,10) είναι το μέσο του ΑΒ και έστω Κ το μέσο του ΟΑ.Να βρείτε : i) τις συντεταγμένες των σημείων Α και Κ, ii) το μέτρο του διανύσματος iii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Κ και Λ iv) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Β και είναι κάθετη στο v) το σημείο τομής των ευθειών ε και ζ 170. Θεωρούμε την ευθεία : y x 1 και το διάνυσμα v (9, ),όπου μr.η ευθεία ε είναι κάθετη στο διάνυσμα v i)να βρείτε τον αριθμό μ ii)δίνονται τα σημεία : Α (α,β) και Β(β-5,α+1).Να βρείτε τις τιμές των α,β R,ώστε η ευθεία ε να είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ Δίνονται τα σημεία A8,0, B0,4 και έστω Δ το μέσο του ΑΒ. i)να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΟΔ. ii)να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που είναι κάθετη στην ΟΔ στο Δ. iii)αν Μ τυχαίο σημείο της ε, να αποδείξετε ότι: y Μ B 0,4 Ο Δ A 8,0 x ε 1

22 17. Δίνεται η ευθεία ΑΒ του διπλανού σχήματος. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΔ. y 6 Δ A B x Γ -1 Ο x 173. Με βάση το διπλανό σχήμα, να βρείτε: i. τις εξισώσεις των ευθειών 1,. ii. τις συντεταγμένες του σημείου Α. iii. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. y E 6 Α Γ Δ 1 Ζ 3 x Β - Ο 3 x y Δίνονται οι ευθείες : y x 5 και : y 10.Έστω Α το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε.θεωρούμε τα σημεία Β(6,11) και Γ(10,10) τα οποία ανήκουν στις ευθείες ε1 και ε αντίστοιχα.να βρείτε : i)ένα σημείο Γ(x,10) της ευθείας ε έτσι,ώστε να ισχύει BA B 0 ii) τη γωνία των διανυσμάτων AB και A iii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Δ(10,10) και είναι κάθετη προς την ευθεία ε Δίνονται τα διανύσματα (,8) και (, 3) και ευθεία ε,ώστε : ( 5,5) και ε// α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των και β) Επιπλέον η ευθεία ε τέμνει τους άξονες χ χ και y y στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα,ώστε το μέσο του ΓΔ να έχει τετμημένη μεγαλύτερη από την τεταγμένη του i)να βρείτε την εξίσωση της ε ii)αν 3,να βρείτε το σημείο Η καθώς και το συμμετρικό του ως προς την ευθεία ε Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με 8, 6 και,. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α και Γ.

23 177. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Με πλευρές τις κάθετες ΑΒ και ΑΓ γράφουμε εξωτερικά του ΑΒΓ, τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Να αποδειχτεί ότι οι ευθείες ΓΔ, ΒΖ και το ύψος ΑΚ συντρέχουν Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και το ύψος του ΑΔ. Από το Δ φέρνουμε τη ΔΕ ΑΓ. Αν Μ το μέσο της ΔΕ, να δειχτεί ότι AM BE Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Με πλευρές τις κάθετες ΑΒ και ΑΓ γράφουμε εξωτερικά του ΑΒΓ, τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Να δειχτεί ότι τα Δ, Α, Ζ είναι συνευθειακά και ότι MB ΜΓ, όπου Μ μέσο της ΔΖ Έστω σημεία Α, Β, Γ του θετικού ημιάξονα Οχ με τετμημένες α, β, γ αντίστοιχα. Από τυχαίο σημείο Σ του άξονα y y φέρνουμε τις ΑΣ, ΒΣ και ΓΣ που τέμνουν την ευθεία x = δ στα Κ (δ,κ), Λ (δ,λ) και Μ (δ,μ) αντίστοιχα. Αν ισχύει 6(α + γ) = αγ, να αποδειχτεί ότι τα κ, λ, μ είναι (με αυτήν τη σειρά) διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Έστω ευθεία δ που σχηματίζει με το θετικό ημιάξονα Οχ γωνία 0, Από το σημείο Α (ημθ,θ) φέρνουμε ευθεία ε κάθετη στη δ. Να βρεθεί η γωνία θ έτσι ώστε η ε να σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με το μέγιστο δυνατόν εμβαδό. 18. Τα σημεία Α και Β κινούνται στους θετικούς ημιάξονες Οχ και Oy αντίστοιχα, έτσι ώστε να ισχύει (ΟΑ) + (ΟΒ) =. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΒ που σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με το μέγιστο δυνατόν εμβαδά i)αν για τους θετικούς αριθμούς x, y ισχύει xy = 1 να αποδειχτεί ότι το άθροισμα Σ = x + y γίνεται ελάχιστο και ισούται με, όταν είναι x = y = 1. ii)να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία 1 1 (, ), (, ), 0. iii) Αν είναι αβ = 1, να υπολογιστούν οι α, β έτσι ώστε η παραπάνω ευθεία ε να σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο με το ελάχιστο δυνατόν εμβαδά Φωτεινή ακτίνα διερχόμενη από το σημείο Σ(-,3) και προσπίπτουσα στην ευθεία ε : -x+y + 1 =0 μετά την ανάκλασή της διέρχεται από το σημείο Να βρεθούν οι εξισώσεις της προσπίπτουσας και της ανακλώμενης ακτίνας. Ποιο είναι το σημείο ανάκλασης; 3

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / 7 / 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 ασκήσεις και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με

12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με ΓΕΝΙΚΟ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΡΙΤΙΟΥ ΕΠΙΜΕΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. ε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13,

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13, 1 Η Ευθεία στο Επίπεδο Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου που οι πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+3=0, 3χ+4ψ+4=0, χ-7ψ+8=0. (90, 45, 45 ) 2 Να βρεθεί το μήκος των

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4)

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα