Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Transcript

1

2 Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη του ανθρώπου τρομάζεις γιατί από τη στιγμή που θα καταλάβεις πως υπάρχει η δύναμη αυτή δεν μπορείς πια να βρεις δικαιολογίες για τις ασήμαντες ή άναντρες πράξεις σου, για τη ζωή σου τη χαμένη, ρίχνοντας το φταίξιμο στους άλλους ξέρεις πια πως εσύ, όχι η τύχη, όχι η μοίρα, μήτε οι ανθρώποι γύρα σου, εσύ μονάχα έχεις, ό,τι κι αν κάνεις, ότι κι αν γίνεις ακέραιη την ευθύνη Και ντρέπεσαι τότε να γελάς, ντρέπεσαι να περγελάς αν μια φλεγόμενη ψυχή ζητάει το αδύνατο Καλά πια καταλαβαίνεις πως αυτή είναι η αξία του ανθρώπου: να ζητάει και να ξέρεις πως ζητάει το αδύνατο και να ναι σίγουρος πως θα το φτάσει, γιατί ξέρει πως αν δεν λιποψυχήσει αν δεν ακούσει τι του κανοναρχάει η λογική, μα κρατάει με τα δόντια την ψυχή του κι εξακολουθεί με πίστη, με πείσμα να κυνηγάει το αδύνατο, τότε γίνεται το θάμα, που ποτέ ο αφτέρουγος κοινός νους δε θα μπορούσε να το μαντέψει: το αδύνατο γίνεται δυνατό Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

3 Von armen BB Eγώ ο Μπέρτολτ Μπρέχτ, είμαι απ' τα μαύρα δάση Στις πολιτείες μ'έφερε η μητέρα μου σαν ήμουν μέσα στο κορμί της Κι η παγωνιά του δάσους θα μείνει εντός μου ως τη στερνή τη μέρα μου Την πολιτεία της ασφάλτου νιώθω σπίτι μου Απ' την αρχή με όλα τα άχραντα μυστήρια εφοδιασμένος : Μ' εφημερίδες Με καπνό Και με κονιάκ Τεμπέλης και καχύποπτος και τελικά ευχαριστημένος Με τους ανθρώπους είμαι πάντα φιλικός Φοράω σκληρό καπέλο αφού έτσι είν' ο συρμός τους Λέω: Είναι ζώα που παράξενα μυρίζουν Και λέω πάλι : Δε βαριέσαι είμαι όμοιός τους Γενιά ελαφρόμυαλη, στρωθήκαμε σε σπίτια που λέγαμε πως θα κρατήσουνε παντοτινά Έτσι χτίσαμε τα ψηλά σαρδελοκούτια του Μανχάτταν και τις λιγνές κεραίες που ο Ατλαντικός αναγελά Από τις πολιτείες αυτές δε θ' απομείνει παρά ό,τι ανάμεσά τους πέρασε : ο άνεμος Χαρά δίνει το σπίτι στο φαγά : κι αυτός τ' αδειάζει μονομιάς Ξέρουμε δα πως είμαστε περαστικοί και τίποτ' αξιομνημόνευτο δε θα' ρθει έπειτ' από μας Στους σεισμούς που θε να 'ρθούν, ελπίζω να μην αφήσω το πούρο μου να σβήσει απ' τον καημό μου Εγώ ο Μπέρτολτ Μπρεχτ, στις πολιτείες της ασφάλτου ξεβρασμένος από τα μαύρα δάση μες τη μάνα μου πριν απ' τον καιρό μου Βertolt Brecht

4 Άλγεβρα Β Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Τριγωνομετρικoί αριθμοί οξείας γωνίας Ορίζουμε: ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΚΑΘΕΤΗ ΑΒ ΗΜΙΤΟΝΟ = ηµω = ΥΠΟΤΕΙΝΟΥΣΑ ΒΓ ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ ΚΑΘΕΤΗ ΑΓ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ = συνω = ΥΠΟΤΕΙΝΟΥΣΑ ΒΓ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΚΑΘΕΤΗ ΑΒ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ = εϕω = ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ ΚΑΘΕΤΗ ΑΓ ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ ΚΑΘΕΤΗ ΑΓ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ = σϕω = ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΚΑΘΕΤΗ ΑΒ A B ω Γ Τριγωνομετρικoί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας Αν Μ ( y, ), ΟΜ = ω και ( ΟΜ ) = ρ, είναι: ρ = + y ρ= + y και ορίζονται: y ρ M(,y) ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ ΗΜΙΤΟΝΟ = ( ΟΜ) ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ = ( ΟΜ) ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ = ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ = ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ y ηµω = ρ συνω = ρ y εϕω = σϕω = y O ω

5 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρικές ταυτότητες Θεωρία ηµ + συν = ηµ εϕ = συν και συν σϕ = οπότε εϕ σϕ = ηµ Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών τόξων 0 ημ 0 = 0 π 6 (0 ) = συν εφ 0 π 4 (45 ) π (60 ) σφ π (90 ) π (80 ) π (70 ) Αντίστροφα 0 από το - 0 ημίτονο ηµ εϕ = συν 0 _ 0 Αντίστροφα από την εφαπτομένη _ 0 Βασικές ανισότητες ηµ συν Η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη παίρνουν τιμές από όλο το

6 Άλγεβρα Β Λυκείου Θεωρία Περιοδικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α είναι περιοδική με περίοδο Τ αν για κάθε Α είναι και Τ Α, +Τ Α και μάλιστα ισχύει: f Τ = f( ) = f +Τ ( ) ( ) Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές Συγκεκριμένα: Η f( ) = ηµ έχει πεδίο ορισμού το και περίοδο Τ= π π ( Η f( ) = ηµ ( ω ) έχει περίοδο Τ=, ω> 0) ω Η f( ) = συν έχει πεδίο ορισμού το και περίοδο Τ= π π ( Η f( ) = συν( ω ) έχει περίοδο Τ=, ω> 0) ω π Η f( ) = εϕ έχει πεδίο ορισμού το Α = κπ +, κ και περίοδο Τ=π π ( Η f( ) = εϕ( ω ) έχει περίοδο Τ=, ω> 0) ω Η f( ) = σϕ έχει πεδίο ορισμού το Α = { κπ, κ } και περίοδο Τ=π ( Η f( ) = σϕ( ω ) έχει περίοδο (Aν ω< 0 τότε οι περίοδοι είναι και συνεφαπτομένη) Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις π Τ=, ω> 0) ω π Τ= ω για ημίτονο και συνημίτονο και π Τ= ω για εφαπτομένη ηµ = ηµα = κπ + α ή = κπ+π α, κ συν = συνα = κπ ± α, κ π Περιορισµος κπ κ εϕ = εϕα = κπ + α, κ ( Περιορισµος : κπ +, κ ) σϕ = σϕα = κπ + α, κ ( :, ) Χρήσιμοι τύποι ηµ = ηµ ( ) εϕ = εϕ( ) σϕ = σϕ( ) Αλλά συν = συν( π )

7 Άλγεβρα Β Λυκείου Θεωρία Η συνάρτηση f( ) = αηµ + βσυν Αν αβ, 0 τότε για κάθε ισχύει: αηµ + βσυν = ρηµ ( + ϕ ) όπου ρ= α +β και ϕ με Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο α συνϕ = ρ και β ηµϕ = ρ Επεξηγήσεις Ο = όλα θετικά Η = μόνο το ημίτονο θετικό Ε = μόνο η εφαπτομένη (άρα και η συνεφαπτομένη) θετική Σ = μόνο το συνημίτονο θετικό Σημείωση: Η συνεφαπτομένη έχει πάντα το ίδιο πρόσημο με την εφαπτομένη = το ημίτονο γίνεται συνημίτονο και το συνημίτονο ημίτονο, η εφαπτομένη γίνεται συνεφαπτομένη και η συνεφαπτομένη εφαπτομένη

8 Άλγεβρα Β Λυκείου Θεωρία ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ ( ) με το ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για = ρ Είναι δηλαδή υ=ρ( ρ ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ ( ) με το πολυώνυμο ρ γράφεται: Ρ ( ) = ( ρ) π ( ) +υ ( ) Επειδή ο διαιρέτης ρ είναι πολυώνυμο ου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ Έτσι έχουμε: Ρ ( ) = ( ρ) π ( ) +υ και αν θέσουμε = ρ παίρνουμε: Ρρ ( ) = ( ρ ρπρ ) ( ) +υ Ρρ ( ) =υ ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Ένα πολυώνυμο Ρ ( ) έχει παράγοντα το ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ ( ), δηλαδή αν και μόνο αν Ρρ ( ) = 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αν το ρ είναι παράγοντας του Ρ ( ), τότε: Ρ ( ) = ( ρ) π ( ) Από την ισότητα αυτή για = ρ παίρνουμε Ρ( ρ ) = ( ρ ρ) π( ρ) Ρ( ρ ) = 0 δηλαδή το ρ είναι ρίζα του Ρ ( ) Αντίστροφα: Αν το ρ είναι ρίζα του Ρ ( ) θα είναι Ρρ ( ) = 0 Τότε στην ταυτότητα της διαίρεσης: Ρ ( ) = ( ρ) π ( ) +υ είναι: υ=ρ( ρ ) = 0 Άρα Ρ ( ) = ( ρ) π ( ) που σημαίνει ότι το ρ είναι παράγοντας του Ρ ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ ο ν ν Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α ν +α ν + +α +α 0 = 0, με ακέραιους συντελεστές Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε έχουμε: α ρ +α ρ + +α ρ+α = 0 α = α ρ α ρ α ρ ν ν ν ν ν ν 0 0 ν ν ν ν 0 ν ν ραα,,, ν ( ) α =ρ α ρ α ρ α Αλλά οι α είναι ακέραιοι ν ν οπότε και ο ανρ αν ρ α είναι ακέραιος Ο ρ προφανώς διαιρεί το δεύτερο μέλος της τελευταίας ισότητας άρα και το πρώτο Δηλαδή ο ρ διαιρεί τον α 0

9 Άλγεβρα Β Λυκείου Οι εκφράσεις: Το ρ είναι ρίζα του Ρ ( ) Το ρ είναι παράγοντας του Ρ ( ) Το ρ διαιρεί το Ρ ( ) Το Ρ ( ) διαιρείται από το ρ Η διαίρεση Ρ( ):( ρ ) είναι τέλεια Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ( ):( ρ ) είναι μηδέν σημαίνουν: Θεωρία Ρρ ( ) = 0 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Η συνάρτηση f( ) = α με 0<α ονομάζεται εκθετική ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ: Για να ορίζεται η f( ) = α σε όλο το πρέπει: α> 0 Αν α> η f( ) = α είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε ισχύει: α <α < για κάθε, Αν 0<α< η f( ) = α είναι γνησίως φθίνουσα στο οπότε ισχύει: α <α > για κάθε, Σε κάθε περίπτωση η f( ) = α είναι συνάρτηση - δηλαδή ισχύει: α =α = για κάθε, ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Αν 0<α και θ> 0, ονομάζω λογάριθμο με βάση α του θ και συμβολίζω log α θ, τον εκθέτη στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε τον θ Δηλαδή: log θ= α α =θ Ειδικά το log0 θ το συμβολίζω logθ και το log e θ το συμβολίζω ln θ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: log ( θ θ ) = log θ + log θ Α) α α α ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω log θ = α οπότε α =θ και log θ = α οπότε + α =θ Τότε είναι: α α =θθ α =θθ και από τον ορισμό log θθ = + δηλαδή τελικά: του λογαρίθμου ισοδύναμα: ( ) log ( θ θ ) = log θ + log θ α α α α

10 Άλγεβρα Β Λυκείου Θεωρία θ Β) logα = logα θ logα θ θ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω log θ = α οπότε α =θ και αν log θ = α οπότε α θ θ α =θ Τότε είναι: = α = και από τον ορισμό έχω α θ θ θ θ ισοδύναμα: logα = δηλαδή τελικά: logα = logα θ logα θ θ θ Γ) log k αθ = k logαθ (Η απόδειξη αυτή δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω log θ= α οπότε k k α =θ και έτσι α =θ Τότε από τον k ορισμό του λογαρίθμου ισοδύναμα: log θ = k δηλαδή τελικά: log k αθ = k logαθ κ Δ) Επίσης ισχύουν: log α =κ, α α =κ, logα α= και log = α 0 Ε) log0 κ log = κ, 0 κ = κ, log0 = και log = 0 α log α κ ΣΤ) ln e κ ln = κ, e κ = κ, ln e = και ln = 0 Πεδίο ορισμού της f( ) = log είναι το D = (0, + ) δηλαδή οι α λογάριθμοι ορίζονται μόνο για θετικούς αριθμούς Σύνολο τιμών της f( ) = logα είναι όλο το δηλαδή ο λογάριθμος παίρνει τιμές σε όλο το Μονοτονία της f( ) = logα Αν α> η f( ) = logα είναι γνησίως αύξουσα στο, δηλαδή ισχύει: logα < logα < για κάθε, Έτσι: log < log < και ln < ln < Αν 0<α< η f( ) = logα είναι γνησίως φθίνουσα στο δηλαδή ισχύει: logα < logα > για κάθε, Σε κάθε περίπτωση η f( ) = logα είναι συνάρτηση - δηλαδή ισχύει: logα = logα = για κάθε, Πρόσημο της f( ) = logα με α> Για > είναι logα > 0 ενώ για 0< < είναι logα < 0 Οριακές τιμές της f( ) = log με α> : + Αν 0 τότε log α α, ενώ αν + τότε log α f +

11 Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα Συστήματα εξισώσεων «Μην εκτιμάς το χρήμα ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο απ ό,τι του αξίζει Είναι πολύ καλός υπηρέτης, αλλά πολύ κακός αφέντης» Αλέξ Δουμάς Λύστε γραφικά τα συστήματα: + y = 0 + y = y = + 4 ΒΑ/0 Α) Β) Γ) + y = y = y = + Να λυθούν τα ακόλουθα συστήματα: + y = 5 + y = 5 + y = 4 ΒΑ/0 Α) Β) Γ) 4 y = y = 4 + y = 0 y + y = + = y = 6 + y = Δ) Ε) ΣΤ) Ζ) 4y = 7 + y = + y = 9 5y = ( + y) + ( y ) = 7 4 y = 4(6y ) + ΒΑ/0 Α) Β) 5( y) + ( + y) = 4 (+ y) = ( y) + 0 y + y+ + = + = y + Γ) Δ) + y + + = + y = 5 + y = y = Ε) ΣΤ) + 6y = 7 6y = y = y = Ζ) Η) + y = 7 + y = 7 ΒΑ/04Να βρεθούν δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά και το διπλάσιο του μεγαλύτερου ελαττωμένο κατά 5 δίνει το μικρότερο ΒΑ/05Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(,5) και Β(,7) ΒΑ/06Βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 5 και η διαίρεση του μεγαλύτερου με το μικρότερο δίνει πηλίκο και υπόλοιπο 4 ΒΑ/07Σε μια φάρμα υπάρχουν κοτόπουλα και πρόβατα Τα ζώα έχουν συνολικά 8 κεφάλια και 7 πόδια Πόσα είναι τα κοτόπουλα και πόσα τα πρόβατα;

12 Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα ΒΑ/08Ένα ξενοδοχείο έχει συνολικά 50 δωμάτια, δίκλινα και τρίκλινα Αν συνολικά τα κρεβάτια είναι 0, πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια; ΒΑ/09 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = µ + λ + µ λ διέρχεται από τα σημεία Α (, 6) και Β (,) Να βρείτε : Α)Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ Β)τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες ΒΑ/0 Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι 48cm Αν αυξήσουμε συγχρόνως τη μια πλευρά κατά 5cm και την άλλη κατά cm, τότε το εμβαδόν του αυξάνει κατά 65 cm Να βρείτε τις αρχικές διαστάσεις του ορθογωνίου ΒΑ/ Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το /8 του χρόνου της ζωής του Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το / του χρόνου της ζωής του Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα βασίλεψε ΒΑ/ Διαθέτουμε 60 χαρτονομίσματα των 5,0 και 0 συνολικής αξίας 800 Τα χαρτονομίσματα των 5 και των 0 μαζί είναι ίσα σε πλήθος με τα χαρτονομίσματα των 0 Να βρείτε πόσα είναι τα χαρτονομίσματα των5,πόσα είναι των 0 και πόσα των 0 y+ z = 0 ΒΑ/Να λύσετε τα συστήματα: Α) y+ z = 9 5 y z = 6 + y+ z = 4 + y+ z = 6 y+ ω = Β) + y z = Γ) y z + = Δ) y + z = 4 + y = y + z = y ω = y ω = = ΒΑ/4Να λύσετε το σύστημα: 4 + y+ 4ω= 5

13 Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα ΒΑ/5 Υπολογίστε τις ορίζουσες: Α) 7 Δ) 4 5 Ε) 5 ΣΤ) + Β) 5 Γ) 4 Ζ) Η) + ΒΑ/6Να λυθούν τα παραμετρικά συστήματα: λ + y = λ + y =λ Α), λ Β) + y = + y =, λ + y =λ+ k + 4y = k Γ), λ Δ) λ + ( λ+ ) y = + ky =, k k+ y= 4 λ + ( λ ) y = λ Ε), k ΣΤ) k+ y = k +λ y = λ, λ λ + y =λ +µ y =λ Ζ), λ Η) λ +λ y λ= +λ y =µ, λ, µ λ y Θ) + =µ λ y, λ, µ Ι) y +µ =λ µ y, λ, µ ΒΑ/7A) Προσδιορίστε την παράμετρο λ ώστε το σύστημα: λ y = να είναι αδύνατο + y = 4λ Β) Προσδιορίστε τις παραμέτρους α, β ώστε το σύστημα ( ) ( ) ( α β ) y α+ + α+β y =α+ + β =α+β ΒΑ/8 Βρείτε τις τιμές των, να έχει λύση: ( y, ) = (,) λ µ ώστε να είναι αόριστο το λ y =µ λ + y = µ σύστημα: ( Σ ) : Όμοια για το: ( Σ ) : + y = µ µ + y =λ+ ΒΑ/9 ( λ+ ) + µ y =λ+µ ( ) Αν ( Σ ) : και ( ) + y =λ+ Σ : λ+µ + y = λ ( λ+ ) + y =µ+ βρείτε τα λ, µ ώστε τα συστήματα να είναι συγχρόνως αδύνατα λ +µ y = ΒΑ/0 ( λ ) + ( µ 4) y = 4 Αν ( Σ ) : και ( Σ ) : + y = 6 y = 5 βρείτε τα λ, µ ώστε τα συστήματα να είναι συγχρόνως αδύνατα

14 Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα ΒΑ/ Αν το ( ) ( ) λ + y =µ Σ : µ + y =λ+µ λ + y = είναι αδύνατο, να λυθεί το σύστημα: Σ : + y =λ+ λ, µ λ + y = ΒΑ/ Αν το ( Σ ) : είναι αδύνατο, να λυθεί το σύστημα: + y = ( Σ y ) : λ +µ =λ+ λ, µ µ + 4y =µ+ ( ) ΒΑ/ Αν το σύστημα: α + α+β y =β έχει λύση: ( α β ) + ( α+β ) y =α+β y = να βρείτε τα α, β (, ) (, ) ΒΑ/4 Α) Bρείτε τις τιμές του λ ώστε οι ευθείες ε : λ + y =λ+ και ε : y +λ = λ να είναι παράλληλες Β) Όμοια για τις ε : y =λ + και ε : y = +λ λ+ y = λ+ ΒΑ/5 Έστω (Σ): με λ + λ y = Α) Υπολογίστε τα DD,, D y Β) Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μοναδική λύση και ποια είναι αυτή η λύση; Γ) Για λ= να λύστε το σύστημα λ + y = ΒΑ/6Έστω (Σ): με λ 4+λy =λ Α) Βρείτε τα DD,, D y Β) Αν D 0 βρείτε τις λύσεις του (Σ) Γ) Αν D = 0 βρες τις τιμές του λ και αποδείξτε ότι για μια από αυτές το (Σ) είναι αδύνατο ενώ για την άλλη αόριστο Δ) Για την περίπτωση που το (Σ) έχει άπειρες λύσεις ( y, ) προσδιορίστε, y για την οποία ισχύει: 0 + y0 = 0 εκείνη τη λύση ( ) 0 0 λ + y =λ ΒΑ/7Δίνεται το σύστημα: 4+λ y = Α Υπολογίστε τις ορίζουσες: D, D, D y Β Αν D 0 βρείτε τη λύση του συστήματος,λ

15 Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα Γ Αν D = 0 βρείτε τις τιμές του λ και αποδείξτε ότι για μια από τις τιμές αυτές το σύστημα είναι αδύνατο ενώ για την άλλη αόριστο Δ Για την περίπτωση που το (Σ) έχει άπειρες λύσεις ( y, ) προσδιορίστε εκείνη τη λύση ( 0, y 0) για την οποία ισχύει: 0 y0 = λ y = ΒΑ/8 Δίνεται το σύστημα:, λ λ + y = λ Α) Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μοναδική λύση; Β) Για αυτές τις τιμές του λ βρείτε τη μοναδική λύση του συστήματος Γ) Αν ( 0, y 0) η μοναδική λύση βρείτε το λ ώστε να ισχύει: 0 y0 = 4 λ y = ΒΑ/9 Δίνεται το σύστημα:, λ + λ y = Α) Δείξτε ότι έχει μοναδική λύση ( 0, y 0) και προσδιορίστε την Β) Δείξτε ότι: 0 + y0 < 0 ΒΑ/0 Σε ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους y, ισχύει: D + D + D = D+ 4D 5 Βρείτε τα y, y ΒΑ/ Bρείτε το µ ώστε για τη μοναδική λύση (, ) 0 y 0 του µ + y =µ+ συστήματος: να ισχύει 0 + y0 = +µ y = µ + ky =λ+ ΒΑ/ Αν βρείτε τα k, λ ώστε το + ( λ+ 5) y = k 5 σύστημα να είναι αόριστο και κατόπιν βρείτε τις άπειρες λύσεις του λ + y =λ ΒΑ/ Αν βρείτε τα λ, µ ώστε το σύστημα να είναι + y =µ+ αόριστο και κατόπιν βρείτε τις άπειρες λύσεις του και από αυτές προσδιορίστε τη λύση ( 0, y 0) για την οποία ισχύει: 0 + y0 = λ +λ y = ΒΑ/4 Αν τότε: +λ y =λ Α) Βρείτε τo λ ώστε το σύστημα να είναι αόριστο

16 Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα Β) Βρείτε τo λ ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση (, ) y για 0 0 την οποία ισχύει να ισχύει: 0 + y0 = ΒΑ/5 Σε ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους y, ισχύει: D + D DD 4DD + 5D = 0 και D 0 Βρείτε τα y, y y ΒΑ/6 Σε ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους y, ισχύει: D + D + D = DD DD και D 0 Βρείτε τα y, y y ΒΑ/7 Σε ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους, y ισχύουν: D + D = 5D και D D y = Dκαι D 0 Βρείτε τα y, y Μη γραμμικά συστήματα Nα λυθούν τα συστήματα: + y = 78 y = ΒΑ/8 Α) Β) + y = 0 y = 0 + y = 4 + y = Γ) Δ) + y = 6 + y = y + + y = 5 + y = ΒΑ/9 Α) Β) y = y = 5 y = 4+ + y = ΒΑ/40Α) Β) + + y = y = 6 ΒΑ/4Βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής y = με την ευθεία y+ 6= 0 ΒΑ/4Βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής y+ = 0 ΒΑ/4Βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής 5+ y+ = 0 y y = με την ευθεία = με την ευθεία ΒΑ/44Βρείτε τις διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο 4cm και εμβαδόν cm ΒΑ/45Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 4m Αν αυξήσω το μήκος του κατά m και το πλάτος του κατά mτο εμβαδόν του γίνεται 40m Βρείτε το μήκος και το πλάτος του αρχικού ορθογωνίου ΒΑ/46Ένα σύρμα μήκους 0cm χωρίζεται σε δυο κομμάτια με μήκη y, Με καθένα από αυτά τα κομμάτια κατασκευάζουμε από ένα

17 Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα τετράγωνο Αν το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων είναι cm βρείτε τα y, ΒΑ/47Οι πλευρές δύο τετραγώνων διαφέρουν κατά cm και το άθροισμα των εμβαδών τους είναι 5cm Βρείτε τις πλευρές τους ΒΑ/48 Το άθροισμα δύο ακεραίων είναι 6, ενώ αν διαιρέσουμε τον μεγαλύτερο με τον μικρότερο βρίσκουμε πηλίκο 4 και υπόλοιπο Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς

18 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις Συναρτήσεις Ό,τι είναι ο νους και η καρδιά για τον άνθρωπο, είναι και η Ελλάδα για την οικουμένη Wolfgang Gothe BB/0 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: Α) f( ) = Β) f ( ) = + 5 Γ) f( ) = Δ) f( ) = + 8 Ε) Ζ) 4 f( ) = + ΣΤ) f( ) = Η) f( ) = 4 f( ) = Θ) f( ) = Ι) f( ) = ΙΑ) f( ) = + + IB) IΓ) f( ) = + ΙΔ) + + f( ) = f( ) = BB/0Εξετάστε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις: + A) f( ) = B) f( ) = + Γ) f( ) = + + Δ) f( ) = + Ε) f( ) = ΣΤ) f( ) = + + Ζ) f( ) = + + Η) f( ) = Θ) f( ) = ( ) + Ι) f( ) = + ΙΑ) + 4, 0 ΙΒ) f( ) = + 4, > 0 f( ) = (5 ) + (5 + )

19 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις BB/0 Eξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές ΒΒ/04Βρείτε τα πεδία ορισμού και σημεία τομής των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες: Α) f( ) = 4 Β) f( ) = + Γ) f( ) = + Δ) f( ) = 4 4+ Ε) f( ) = + 5 ΣΤ) f( ) = 4 Ζ) f( ) = + Η) f( ) = 4 ΒΒ/05Βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: Α) f( ) = + και g ( ) = + 5 Β) f( ) = και g ( ) = + 6 Γ) f( ) = και g ( ) = + 5 Δ) f( ) = και g ( ) = Ε) f( ) = και g ( ) = + ΣΤ) f( ) = και g ( ) = + 6 Ζ) f( ) = και g ( ) = + 4 ΒΒ/06Εξετάστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: Α) f( ) = 5 Β) f( ) = + Γ) f( ) = 5 Δ) f( ) = Ε) f ( ) = + 4 ΣΤ) f( ) = Ζ) f( ) = + Η) f( ) = Θ) f( ) = Ι) f( ) = ΙΑ) f( ) = + ΙΒ) f( ) =

20 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις BB/07 Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: ΒΒ/08 Βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: 6 Α) f( ) = Β) f( ) = ( ) + Γ) f( ) = + Δ) f( ) = + Ε) f( ) = 5 + ΣΤ) f( ) = 4 5 Ζ) f( ) = + Η) f( ) = 7 + Θ) f( ) = Ι) f( ) = + + ΒΒ/09 Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση f( ) = 6+ 4, για = παρουσιάζει ελάχιστο f () = 5 4 Β) Δείξτε ότι η συνάρτηση f( ) = + 4, για = παρουσιάζει μέγιστο ΒΒ/0 Αν η f( ) 5 ακρότατά της = έχει πεδίο ορισμού το Α= [,] βρείτε τα ΒΒ/ Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης ορισμού το Α= [,] f( ) = + με πεδίο ΒΒ/Α) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f( ) = + στα διαστήματα (,0) και ( 0,+ ) κατασκευάστε πίνακα μονοτονίας και προσδιορίστε τα ακρότατά της

21 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις Β) Όμοια για τις: ( ) 4 g ( ) = + στα (,] και [, + ) και την h ( ) = + + στα (, ] και [, + ) 6 Γ) Όμοια για τις: ϕ ( ) =, κ ( ) = ( + ) και σ ( ) = + στα κατάλληλα διαστήματα ΒΒ/ Α) Βρείτε το λ ώστε η συνάρτηση f( ) =λ + να είναι: Α) γνησίως αύξουσα Β) γνησίως φθίνουσα λ+ 4 Β) Βρείτε το λ ώστε η συνάρτηση f( ) = να είναι: Α) γνησίως αύξουσα Β) γνησίως φθίνουσα ΒΒ/4Εξετάστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: Α) f( ) = 5 στα (,] και [, + ) Β) f( ) = 4 στο [,] Γ) f( ) = + + στα (,0] και [0, + ) Δ) f( ) = στα (,] και [, + ) Ε) f( ) = ( ) 4 στα (,] και [, + ) ΒΒ/5Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = 9 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Δείξτε ότι είναι άρτια Γ) Βρείτε που τέμνει τους άξονες Δ) Βρείτε το μέγιστό της Ε) Λύστε την εξίσωση: f( ) = 5 ΒΒ/6 Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:, <, < Α) f( ) = + Β) f( ) =,, Γ) f( ) = + + Δ) f( ) = + + Ε), < +, < f( ) = ΣΤ) f( ) = +, < + 5, 4 ΒΒ/7 Έστω f( ) = + k ώστε το σημείο Α(, ) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f Α) Βρείτε το k Β) Δείξτε ότι η f είναι άρτια

22 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις Γ) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία Δ) Βρείτε πού η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες Ε) Να γίνει η γραφική της παράσταση 4 ΒΒ/8 Θεωρώ τη συνάρτηση f( ) = + k, k, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α (, ) Α) Δείξτε ότι k = Β) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Γ) Εξετάστε αν η γραφική παράσταση της f έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας Δ) Μελετήστε τη μονοτονία της f στα διαστήματα ( 0) και ( 0,+ ) Ε) Βρείτε που η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες ΣΤ) Να γίνει η γραφική της παράσταση ΒΒ/9 Θεωρώ τη συνάρτηση f( ) = + k, k ώστε το σημείο 5 Α, να ανήκει στη γραφική παράσταση της f Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f και το k Β) Βρείτε αν η γραφ παράσταση της f έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας Γ) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Δ) Βρείτε που η γραφ παράσταση της f τέμνει τους άξονες Ε) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f ΒΒ/0 Θεωρώ τη συνάρτηση f( ) = + A) Bρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Εξετάστε την ως προς τη μονοτονία Γ) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της Δ) Βρείτε το f (5) και λύστε την ανίσωση f( ) > 7 καθώς και την ( ) f > 7 Ε) Λύστε την ανίσωση f ( ) < ΒΒ/ Δίνεται η συνάρτηση: f( ) 4 = Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

23 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις Β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει άξονα συμμετρίας τον yy Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες Δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f ΒΒ/ Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = 4 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Δείξτε ότι είναι άρτια Γ) Βρείτε που τέμνει τους άξονες Δ) Βρείτε το ελάχιστό της Ε) Λύστε την εξίσωση: f( ) = ΒΒ/ Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: f( ) = + +, g ( ) = + και h ( ) = 5 + ΒΒ/4 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α να δείξετε ότι η g ( ) = f( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο Α ΒΒ/5 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α και f( ) > 0 για κάθε Α, να δείξετε ότι η g ( ) = f( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο Α ΒΒ/6 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α και η g γνησίως φθίνουσα στο Α να δείξετε ότι η h ( ) = f( ) g ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο Α 5 ΒΒ/7 Αν f( ) = βρείτε το πεδίο ορισμού της και δείξτε ότι είναι άρτια ΒΒ/8 Βρείτε το λ για το οποίο η συνάρτηση f( ) = λ + 5 είναι άρτια ΒΒ/9 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = Α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και (0, + ) 06 f + < 0 Γ) Να λύσετε την ανίσωση ( )

24 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις δ) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης Α= f(940) f( 8) + f( 940) f(8) ΒΒ/0 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = + Α) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή β) Αφού αποδείξετε ότι f( ), να βρείτε τα ακρότατα και τις θέσεις ακροτάτων της f γ) Να λύσετε την ανίσωση: f( ) + f( + ) ΒΒ/ Δίνεται η συνάρτηση f( ) = +λτης οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,) Α) Να δείξετε ότι λ= Β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες Δ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g ( ) = Ε) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ΣΤ) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις και ανισώσεις: i) f( ) < ii) + 0 > 0 iii) ( ) = 0 ΒΒ/ Αν η «μεσαία» συνάρτηση f έχει τύπο f( ) = βρείτε τους τύπους των δύο άλλων συναρτήσεων g και h ΒΒ/ Αν η «μεσαία» συνάρτηση f έχει τύπο f( ) = βρείτε τους τύπους των δύο άλλων συναρτήσεων g και h

25 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις ΒΒ/4 Αν η «μεσαία» συνάρτηση f έχει τύπο f( ) = βρείτε τους τύπους των δύο άλλων συναρτήσεων g και h ΒΒ/5 Δίνεται η συνάρτηση f( ) 4 9 = A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f B) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία Γ) Να βρείτε τα ακρότατα της f ΒΒ/6 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 9 4 f = + Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να βρείτε το σημείο τομής της f με τον άξονα yy Γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία Δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f Ε) Να λύσετε την ανίσωση: 9 < ΒΒ/7 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = 9 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει άξονα συμμετρίας τον yy Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες Δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f ΒΒ/8 Δίνεται η συνάρτηση f( ) = + ( λ µ ) + µ 5λ, με λ, µ Η C f έχει κορυφή με τετμημένη και τέμνει το άξονα yy στο σημείο με τεταγμένη - Α) Να αποδείξετε ότι λ= και µ= 7 Β) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της f Γ) Έστω g ( ) η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει με δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της C f, μία οριζόντια κατά μονάδες προς τα δεξιά και μία κατακόρυφη κατά 4 μονάδες προς τα κάτω Γ) Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης g Γ) Να λύσετε την ανίσωση : f( ) + g ( ) <

26 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις Γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h ( ) = 5 f( ) g ( ) είναι άρτια ΒΒ/9 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = + Α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία Β) Να δείξετε ότι: f + > f 9 > Γ) Να δείξετε ότι: ( ) ΒΒ/40 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = 4 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια Γ) Να δείξετε ότι η f f είναι γνησίως αύξουσα στο [,0] και γνησίως φθίνουσα στο [0,] Δ) Να δείξετε ότι η f έχει ελάχιστη τιμή το 0 και μέγιστη τιμή το Ε) Να εξετάσετε αν μπορεί η συνάρτηση f να έχει τιμή έναν αριθμό της μορφής α+ μεα 0 α

27 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Tριγωνομετρία "Αυτοί που θα δουν καθαρά την αλήθεια των μαθηματικών, θα μπορέσουν να θαυμάσουν το μεγαλείο και τη δύναμη της φύσης, σ' αυτή τη διπλή απειρία που μας περιτριγυρίζει από παντού και να μάθουν από αυτή τη θαυμαστή θεώρηση πώς να γνωρίσουν τον εαυτό τους, βλέποντάς τον τοποθετημένο ανάμεσα σε μια απειρία και ένα τίποτα κίνησης, ανάμεσα σε μια απειρία και ένα τίποτα χρόνου Έτσι θα μπορέσουν να μάθουν να αξιολογούν δίκαια τον εαυτό τους και να σχηματίζουν συλλογισμούς που να αξίζουν εν τέλει περισσότερο από όλες τις μαθηματικές γνώσεις" Blaise Pascal Tριγωνομετρικές ταυτότητες π ΒΓ/0 Α) Αν ηµω = και π<ω< βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς π Β) Αν συνω = και <ω<π βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς π Γ) Αν εϕ = και <ω<π βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς Δ) Αν σϕ = και π < < π βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς λ λ+ π E) Αν εϕω = και σϕω = και π<ω< βρείτε το λ καθώς λ+ 4 λ 5 και τα ηµω και συνω ΣΤ) Αν ηµω 4συνω = 5 βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω (Λύστε ως προς το ημ και αντικαταστήστε στη βασική τριγων ταυτότητα) Ζ) Αν ηµ + 5συν = 5 να δείξετε ότι συν 5ηµ = (Υψώστε στο τετράγωνο ) Η) Αν y 6 8 = ηµ + συν δείξτε ότι y [ 0,0] τριγωνομ Ταυτότητα και απαιτήστε η εξίσωση να έχει λύση) (Λύστε ως προς ημ, πάρτε την

28 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/0 Να αποδείξετε ότι: Α) ( ηµω + συνω ) + ( ηµω συνω ) = Β) ( ) ( ) ηµω συνω + ηµω + συνω = Γ) Αν = 5ηµθ και y = συνθ δείξτε ότι Δ) εϕθ + σϕθ = ηµθ συνθ 4 5y 00 + = Ε) ( ) εϕ + σϕ = + ηµ συν συνθ ηµθ ΣΤ) = ηµθ + συνθ 4 συν συν ηµ ηµ y Ζ) = και = 4 ηµ ηµ συν συν y ΒΓ/0 Να αποδείξετε ότι: 4 4 Α) ηµ ω + συν ω = ηµ ω συν ω εϕ θ Β) εϕ ηµ = εϕ ηµ Γ) συν θ ηµ θ = + εϕ θ ηµ σϕ εϕ Δ) = Ε) = συν εϕ ηµ σϕ + + εϕ + ηµ ΣΤ) + = Ζ) εϕ = +εϕ +σϕ συν 4 4 Η) ηµ α συν α + συν α ηµω = + συνα Θ) = σϕω συνα ηµω + συνω συν ηµ + συνθ ηµθ Ι) + + = ηµ ΙΑ) = συνθ ηµθ συν + εϕθ + σϕθ 5συνα 4 + 5ηµα ΙΒ) Δείξτε ότι η παράσταση Α= είναι σταθερή, 5ηµα 5συνα + 4 δηλαδή ανεξάρτητη του α ηµ α ηµ α ΙΓ) Δείξτε ότι η παράσταση Α= + είναι σταθερή, συνα + συνα δηλαδή ανεξάρτητη του α ΒΓ/04 Να αποδείξετε ότι:

29 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία εϕ Α) = ηµ Β) + εϕ Γ) ( ) ( ) ( ) + εϕ + σϕ ηµ συν = ηµ + συν συν Δ) = Ε) ηµ σϕ συν ΣΤ) ηµ εϕ συν σϕ = εϕ σϕ εϕα + εϕβ = εϕα εϕβ σϕα + σϕβ ηµ συν ηµα + συνα εϕα + Ζ) = συν ω ηµ ω Η) = ηµα συνα εϕα ΒΓ/05 Βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή των παραστάσεων: Α = ηµ + 4 Β = συν 4ηµ Γ= 5 = ηµ + συν y+ 4 Ε = ηµ + 4 π ΒΓ/06 Αν < <π δείξτε ότι: ηµ ηµ + εϕ συν + εϕ > 0 Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο = ΒΓ/07 Υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς: ηµ0, συν40, εϕ405, συν570, σϕ750, ηµ 855 7π π, συν +, 9π π ηµ + 4, 9π εϕ, 8π π ηµ + 4 6, π 5π εϕ 6, 5π ηµ 4 ΒΓ/08 Απλοποιήστε τις παραστάσεις: συν( π ) συν( π + ) Α) Α= π ηµ ηµ ( π ) ηµ ( θ) εϕ( π θ) συν( π+θ) Β) Α= π π ηµ θ σϕ θ ηµ ( π θ) ηµ ( 80 +θ) συν( 90 θ) εϕ ( 60 +θ) Γ) Α= ηµ 60 + θ εϕ 80 + θ ηµ 80 θ ( ) ( ) ( )

30 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Δ) π π ηµ θ συν +θ εϕ( π θ) Α= 5π π συν + θ σϕ( θ) σϕ + θ Ε) π ηµ ( π+θ) σϕ θ συν( π+θ) Α= π π συν +θ εϕ( π+θ) συν +θ ΒΓ/09 Απλοποιήστε τις παραστάσεις: Α) π π Α = ηµ + ηµ + ηµ ( π + ) + ηµ Β) π ηµ ( π θ) σϕ θ συν( π θ) Α= π εϕ( π + θ) εϕ + θ ηµθ Γ) π ηµ ( π+ω) συν ω εϕ( 9π+ω) Α= π συν( 5π ω) ηµ +ω εϕ( 0π+ω) π 7π ηµ ( π+θ) συν θ εϕ +θ Δ) Α= ηµ 60 θ ( ) E) 7π ηµ ( π ω) συν( 5π+ω) εϕ +ω σϕ( ω π) Α= 5π π π σϕ + ω συν( π ω) εϕ + ω σϕ + ω ΣΤ) ηµ 50 + συν 0 + σϕ40 Α= συν ( 45 ) +ηµ 5 +ηµ 0 +εϕ 50 Ζ) 5π 7π 4π π ηµ συν εϕ συν Α= π π 5π π ηµ εϕ σϕ ηµ π Η) Αν συνθ = και 0 <θ< υπολογίστε την παράσταση:

31 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία π ηµ ( π + θ) ηµ θ + εϕ( θ) Α= π π συν + θ συν + θ π ΒΓ/0 Aν ηµ ηµ = 0 και 0 < < βρείτε το ηµ και 009π π ηµ εϕ + υπολογίστε την Α= συν 7 π + σϕ( π + ) ΒΓ/ Δείξτε ότι: ( ) Β= Α αν Α = εϕ εϕ9 εϕ εϕ9 και π π Β = συν + ηµ ( π ) ηµ ( ) ηµ + συν( π ) ηµ ηµ ΒΓ/ Αποδείξτε ότι οι παραστάσεις: Α = σϕ και συν συν ηµ ηµ Β= + είναι σταθερές (ανεξάρτητες του ) συν + συν Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ΒΓ/ Βρείτε τις περιόδους των συναρτήσεων: Α) f( ) = ηµ 4 Β) f( ) = + συν 4 π Γ) f( ) = εϕ Δ) f( ) = ηµ ΒΓ/4 Βρείτε τις περιόδους, το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων: π π Α) f( ) = ηµ Β) f( ) = + συν π Γ) f( ) = εϕ + Δ) f( ) = ηµ 4 π ΒΓ/5 Αν f( ) = ηµ + + : Α) Βρείτε την περίοδο το μέγιστο και το ελάχιστό της Β) Να γίνει γραφική παράσταση σε πλάτος μιας περιόδου

32 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία π ΒΓ/6 Αν f( ) = συν + : Α) Βρείτε την περίοδο το μέγιστο και το ελάχιστό της Β) Να γίνει γραφική παράσταση σε πλάτος μιας περιόδου ΒΓ/7 Αν f( ) = ηµ + : Α) Βρείτε την περίοδο το μέγιστο και το ελάχιστό της Β) Να γίνει γραφική παράσταση σε πλάτος μιας περιόδου ΒΓ/8 Αν f( ) = συν : Α) Βρείτε την περίοδο το μέγιστο και το ελάχιστό της Β) Να γίνει γραφική παράσταση σε πλάτος μιας περιόδου π ΒΓ/9 Αν f( ) = ηµ + : Α) Βρείτε την περίοδο το μέγιστο και το ελάχιστό της Β) Να γίνει γραφική παράσταση σε πλάτος μιας περιόδου ΒΓ/0 Βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο των παραστάσεων: Α = ηµθ, Β = 4 συνθ, Γ = 4συνθ + ηµϕ, = ηµ συνθ συνω + 5ηµθ Ε = ηµω + συνθ +, Ζ= 5 ΒΓ/ Βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο των παραστάσεων: y Α = ηµ + συν και Β = ηµ συν y π ΒΓ/ Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ηµ 4 4 Να βρεθεί η περίοδός της καθώς και το μέγιστο και το ελάχιστό της π ΒΓ/ Α) Δίνεται η συνάρτηση f( ) = + ηµ Να βρεθεί η περίοδός της καθώς και το μέγιστο και το ελάχιστό της π π Β) Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ηµ + 4 Να βρεθεί η περίοδός της καθώς και το μέγιστο και το ελάχιστό της ΒΓ/4 Αν η συνάρτηση f( ) ( ) = α ηµβ +, α> και β> 0 έχει περίοδο π / και μέγιστη τιμή, να βρείτε τα α και β

33 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/5 Αν f( ) ( ) ( ) = γ + α ηµ β π, α>, β>, η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων έχει μέγιστη τιμή το και περίοδο T =, τότε: Α) Βρείτε τα αβγ,, Β) Δείξτε ότι η f είναι περιττή 005 Γ) Υπολογίστε την παράσταση: Α= f f ΒΓ/6 Εξετάστε αν οι συναρτήσεις f( ) = ηµ + συν, g ( ) π π = ηµ + ηµ και h ( ) = ηµ συν είναι άρτιες ή περιττές ΒΓ/7 Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = + 4 συνω δεν τέμνει τον άξονα ' ΒΓ/8 Μια μπάλα κρέμεται με τη βοήθεια ενός ελατηρίου από το ταβάνι, έτσι ώστε να απέχει από το πάτωμα m Όταν η μπάλα ταλαντεύεται, το ύψος της από το πάτωμα δίνεται από τη συνάρτηση ht () = + ηµ t, όπου t ο χρόνος σε sec Βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης καθώς και το μέγιστο και ελάχιστο ύψος της Bρείτε το ύψος της όταν t = 9π sec Τριγωνομετρικές εξισώσεις Να λυθούν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις: ΒΓ/9Α) ηµ = Β) συν = Γ) ηµ = Δ) συν = Ε) εϕ = ΣΤ) σϕ + = 0 Ζ) ηµ = Η) συν = Θ) εϕ = π π π π Ι) συν = συν ΙΑ) εϕ 4 = εϕ ΙΒ) εϕ = π ΙΓ) ηµ π = ΙΔ) συν( π ) = συν + ηµ = Β) συν + = 0 ΒΓ/0Α)

34 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Γ) εϕ = 0 Δ) σϕ + = 0 Ε) συν + = 0 π ΣΤ) ηµ + + = 0 ΒΓ/Α) ηµ = ηµ ( + π ) π Β) συν 4= συν + π π π Γ) συν( π ) = συν Δ) σϕ 6 = σϕ 5 5 π Ε) εϕ + εϕ = 0 ΣΤ) συν + συν = 0 ΒΓ/Α)( σϕ )( εϕ + ) = 0 Β) ( συν )( ηµ ) = 0 ΒΓ/ Α) ηµ = συν π π Β) ηµ = συν Γ) ηµ = συν Δ) ηµ = συν E) ηµ + συν = 0 ΣΤ) ηµ = συν Ζ) π π π π ηµ + = συν 6 6 Θ) ηµ + = συν ΒΓ/4Α) Γ) Ε) ηµ ηµ + = 0 Β) 0 ηµ ηµ + = Δ) συν ηµ + = ΣΤ) Z) ( ) 7 0 ηµ + ηµ = 0 H) 5 0 συν + συν = ηµ + συν = συν συν + ηµ + = 0 ηµ + συν = 0 εϕ 4 εϕ + = 0 Θ) εϕ ( σϕ ) = 0 I) ΒΓ/5Α) ηµ = συν π Β) εϕ = σϕ 6 π π Γ) εϕ + σϕ = 0 4 Δ) εϕ εϕ = π π Ε) εϕ + σϕ = 0 ΣΤ) εϕ σϕ = 0

35 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/6Α) εϕ = ηµ Β) σϕ εϕ = 0 4σφ Γ) ηµ + συν = 0 Δ) = σφ + ΣΤ) ηµ = 5+ Ζ) ( + εϕ ) = + ηµ εϕ ΒΓ/7Α)ηµ συν + ηµ συν = 0 Ε) ηµ + ηµ συν = 0 B) εϕ ηµ = εϕ ηµ Γ) ηµ συν = συν ηµ Δ) ηµ εϕ = ηµ εϕ E) ηµ συν = + συν ηµ ΣΤ)ηµ εϕ + = εϕ + ηµ Ζ) συν εϕ συν = εϕ π ΒΓ/8 A) σϕ π σϕπ = 0 B) εϕπ = με (,] Γ) συνπ + ηµπ = 0 Δ) σϕ π σϕπ = 0 ΒΓ/9 Να λυθούν οι εξισώσεις: Α) ηµ + συν y = π π Β) ηµ + συν y = Γ) ηµ + συν = 4 π π Δ) ηµ + συν y = 5 Ε) Αν ηµ α = βρείτε το α και λύστε την εξίσωση ΣΤ) Οι εξισώσεις ηµ = και εϕ = είναι ισοδύναμες; ΒΓ/40 Α) Λύστε την εξίσωση 0 π Β) Λύστε την εξίσωση ηµ = ηµ Γ) Λύστε την εξίσωση 0 Δ) Λύστε την εξίσωση ΒΓ/4 Α) Λύστε στο [ ] Β) Λύστε στο [ 0,π ] την εξίσωση: ΒΓ/4 Λύστε στο [ π,π] εϕ = στο [ ] στο [ 0,π ] συν + = στο [ ππ, ] συν = ηµ στο [ 0,π ] 0,π π 0,π την εξίσωση: ηµ = 6 συν 5συν + = 0 την εξίσωση: εϕ = + εϕ

36 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/4 Λύστε στο [ π,π] ΒΓ/44 Α)Λύστε στο [0, ] π την εξίσωση: ηµ + συν = 0 π την εξίσωση: εϕ = σϕ Β)Λύστε στο [0, π ] την εξίσωση: συν = σϕ ΒΓ/45 Λύστε την εξίσωση: ηµ + συν = (υψώνουμε στο τετράγωνο και στο τέλος κάνουμε επαλήθευση) συν ω ΒΓ/46 Να λυθούν οι εξισώσεις: Α) = 0 + ηµω Β) ηµ συν συν + ηµ συν = 0, Γ) ηµω = σϕω ηµω Δ) ηµ συν + συν = ηµ + συν Ε) ηµ + ηµ συν = ηµ + συν στο ( π, π ) π ΒΓ/47 Aν π< < και 5συν 4ηµ = 0 Α) Δείξτε ότι ηµ = Β) Βρείτε τα συν, εϕ, σϕ 5 π συν συν π + Γ) Βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= π π εϕ 4 + σϕ π ΒΓ/48 Aν 0 < < και 5συν + 7συν 6 = 0 Α) Δείξτε ότι συν = Β) Βρείτε τα ηµ, εϕ, σϕ 5 π π ηµ + συν + Γ) Βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= π 4εϕ( 7π ) + σϕ π ΒΓ/49 Aν π< < και 5συν ηµ + = 0 Α) Δείξτε ότι ηµ = Β) Βρείτε τα συν, εϕ, σϕ 5 ( )

37 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Γ) Βρείτε την τιμή της παράστασης: ΒΓ/50 Aν π συν + ( ) συν π Α= π εϕ( π + ) εϕ + π < < π και 5συν + 7ηµ + = 0 Α) Βρείτε το ηµ Β) Βρείτε τα συν, εϕ, σϕ 0 ηµ ( π ) + 0 συν( ) Γ) Βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= 8 εϕ( π + ) σϕ ΒΓ/5Αν συν + 5συν = 0 και ηµ > 0, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου π ηµ + 6συν + 9 = 0 και < <π υπολόγισε τους ΒΓ/5Αν τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου π ΒΓ/5Αν εϕ σϕ + = 0 και 0 < < : Α) Δείξτε ότι εϕ = Β) Βρείτε τα ηµ, συν ΒΓ/54 Λύστε την εξίσωση: 6ηµ + συν 0 = 0 Α) Υπολογίστε το συν Β) Βρείτε το αν π < < π εϕ + εϕ = 0 ΒΓ/55 Λύστε την εξίσωση: ( ) ΒΓ/56 Βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης π f( ) = συν + με [ 0,π ] και την αντίστοιχη τιμή του π ΒΓ/57 Αν f( ) = συν + τότε: Α) Βρείτε την περίοδο της f Β) Βρες το ελάχιστο και το μέγιστο της f Γ) Βρες το για το οποίο η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της Δ) Λύστε την εξίσωση f( ) = π ΒΓ/58 Έστω συνάρτηση f( ) = 4ηµ, τότε: Α) Βρείτε την περίοδο της Β) Βρες το ελάχιστο και το μέγιστο της Γ) Βρες το για το οποίο η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της

38 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Δ) Λύστε την εξίσωση f( ) = ΒΓ/59 A) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( ) περιοδική με περίοδο T = π f = ηµ + συν είναι B) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f( ) = ηµ + συν είναι περιοδική με 5 περίοδο T = 0π Γ) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f( ) = εϕ + σϕ είναι περιοδική με περίοδο T = 6π ΒΓ/60Δίνεται η συνάρτηση f( ) = συν Α) Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f Β) Να γίνει γραφική παράσταση στο διάστημα [ 0,π ] Γ) Να λύσετε την εξίσωση: f( ) = ΒΓ/6Δίνεται η συνάρτηση f( ) = 4 συν( α) α με α> 0 Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι -8, τότε: Α) Να δείξετε ότι: α= Β) Βρείτε την περίοδο και τη μέγιστη τιμή της f Γ) Βρείτε τα σημεία όπου η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα Δ) Για ποιες τιμές του η συνάρτηση f έχει μέγιστο και για ποιες ελάχιστο στο [ 0,π ] ΒΓ/6Δίνεται η συνάρτηση f( ) = α + βηµ ( ω ) που έχει περίοδο 4π μέγιστη τιμή 5 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο π 7 Α, Α) Να δείξετε ότι: α= και β= Β) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της Γ) Να γίνει γραφική παράσταση της f στο διάστημα [ 0,4π ] ΒΓ/6Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ηµ συν Α) Δείξτε ότι είναι περιοδική με περίοδο Τ=π Β) Να βρείτε την συνάρτηση g ( ) = f( π+ ) f( π ) Γ) Να λύσετε την εξίσωση: f( ) = ηµ Δ) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει τιμή του ώστε f( ) =

39 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/64 H επιτάχυνση ενός σώματος δίνεται από την συνάρτηση α () t = + συν t όπου t ο χρόνος σε sec π π Α) βρείτε την επιτάχυνση για t = 0,, sec 4 Β) Ποια είναι η μέγιστη τιμή της α (t); Γ) Για ποια τιμή του t με t ( 0,π ] η επιτάχυνση λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της; Δ) Πότε ισχύει α () t = 0, αν t (0, π ]; ΒΓ/65 Βρείτε το πεδίο ορισμού της f( ) = 8ηµ ΒΓ/66 Aν η συνάρτηση: f( ) ( ) = α + βηµ ω με β> 0 έχει περίοδο Τ= 4π, μέγιστη τιμή 5 και ελάχιστη τιμή : Α) Βρείτε τα ω, α, β 0,4π Β) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα [ ] ΒΓ/67 Αν f( ) = ηµ τότε: Α) Βρείτε την περίοδο της Β) Βρες το ελάχιστο και το μέγιστο της Γ) Βρες το για το οποίο η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της Δ) Λύστε την εξίσωση f( ) = στο διάστημα [ π,π ] Ε) Να γίνει γραφική παράσταση στο διάστημα [ 0,π ] ΒΓ/68 Αν f( ) = συν + τότε: Α) Βρείτε την περίοδο της Β) Βρες το ελάχιστο και το μέγιστο της Γ) Βρες το για το οποίο η f παίρνει τη ελάχιστη τιμή της Δ) Λύστε την εξίσωση f( ) + = στο διάστημα [, ] Ε) Να γίνει γραφική παράσταση στο διάστημα [ 0,4π ] ΒΓ/69 Η θερμοκρασία μιας μέρας σε C π π δίνεται από τη συνάρτηση πt f() t = 4 8ηµ, με 0 t 4 όπου t ο χρόνος σε ώρες Α) Βρείτε την περίοδο της συνάρτησης Β) Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη θερμοκρασία της ημέρας Γ) Να γίνει γραφική παράσταση των θερμοκρασιών, για 0 t 4 Δ) Ποια ώρα η θερμοκρασία είναι 0 C ; Ε) Ποιες ώρες της ημέρας έχουμε παγετό; (θερμοκρασία κάτω του 0 C ) ΒΓ/70 Αν f( ) ( ) = α + βηµ ω με β> 0

40 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Α) Αν Τ= 4π βρείτε το ω Β) Αν το ελάχιστο της f είναι το και το μέγιστο της 5, βρείτε τα α, β Αν α=, β= : Γ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = Δ) Να γίνει γραφική παράσταση σε πλάτος μιας περιόδου Τριγωνομετρικοί αριθμοί των α+β, α-β, α ΒΓ/7 Δείξτε ότι: A) ηµ ( β α) εϕβ εϕα = συνα συνβ B) συν( α + β) σϕα εϕβ = Γ) ηµα συνβ συν( α β) σϕα + εϕβ = ηµα συνβ ηµ ( α + β) ΒΓ/7A) Δείξτε ότι: = εϕα + εϕβ συν( α + β ) + συν( α β) Β) Aπλοποιήστε τις παραστάσεις: ηµ ( α β ) + ηµβσυνα Α= ηµ ( α + β ) Β= συν( α β) ηµαηµβ ηµβσυνα συν ( α + β ) + ηµαηµβ ηµ ( α β) ηµ ( β γ) ηµ ( γ α) ΒΓ/7 Δείξτε ότι: + + = 0 ηµαηµβ ηµβηµγ ηµγηµα ΒΓ/74 Δείξτε ότι: A) συν( α + β) συν( α β ) = συν α ηµ β B) συν( α + β) συνγ συν( β + γ) συνα = ηµβηµ ( γ α ) ΒΓ/75 A) Δείξτε ότι: 4 7 ηµ α συν α = ηµ α + ηµα π B) Λύστε την εξίσωση: ηµ 4συν = ηµ 7+ ηµ π συν ηµ ΒΓ/76 Να δειχθεί ότι: εϕ = 4 συν + ηµ ηµ ( α + β) ηµ ( α β ) ΒΓ/77Να δειχθεί ότι: = εϕ α εϕ β συν ασυν β π ΒΓ/78 Αν α β=, δείξτε ότι ( σϕβ + )( σϕα ) = 4 6

41 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/79 Α) Να δειχθεί ότι: ( ) ( ) ηµασυνβ = ηµ α + β + ηµ α β Β) Να δειχθεί ότι: ηµ ασυνα = ηµ 5α + ηµα 5 Γ) Να δειχθεί ότι: σϕ α εϕ συν α α = ηµ 5 α + ηµα συν5 Δ) Λύστε την εξίσωση: σϕ εϕ = ηµ ΒΓ/80 Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Α Β Β Γ Γ Α εϕ εϕ + εϕ εϕ + εϕ εϕ = π ΒΓ/8Aν π <α<π και 5 <β< π και ηµα =, συνβ =, 7 υπολογίστε τα ηµ ( α + β ) και συν( α β ) ΒΓ/8 Να λυθούν οι εξισώσεις: π π Α) εϕ + εϕ = B) εϕ + σϕ = 4 4 π π Γ) εϕ εϕ = στο, π Δ) 4 π συν + 5 = π π συν συνσυν 5 5 ΒΓ/8 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Α) Αν ηµ ( Α Β ) = συναηµβ δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο Β) Αν συν( Α + Β ) = ηµαηµβ δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές Γ) Αν συν( Α Β ) = ηµαηµβ, δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο Δ) Αν ηµα = ηµβσυνγ, δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές συν( Β Γ) συνα ΒΓ/84 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει = σϕβ, και ηµα Β 90 δείξτε ότι : Α) συνα = συν( Β + Γ ) Β) ημα=ημ(β+γ) Γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ΒΓ/85 A) Aν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι γωνία Γ κτλ) εϕα = και εϕβ = βρείτε τη (Υπόδειξη: Α+Β+Γ=π, άρα Γ=π-(Α+Β)

42 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία B)Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Αν εϕα = και εϕβ = βρείτε τη γωνία Γ εϕα + σϕβ συν( α β) ΒΓ/86 A) Να αποδειχθεί ότι: = σϕβ εϕα συν( α + β) ΒΓ/87 Αν σϕθ = λύστε την εξίσωση: συν ( + θ ) + συν( θ ) = 0 στο ( ππ, ) ΒΓ/88 Δείξτε ότι συν α = εϕα και + συν α = σϕα ηµ α ηµ α ΒΓ/89 Δείξτε ότι εϕα + σϕα = ηµ α + συνα α ηµ α εϕα ΒΓ/90 Δείξτε ότι: Α) = σϕ Β) = ηµα συνα + εϕα +συνα+ηµ α ΒΓ/9 Δείξτε ότι = σϕα συνα + ηµ α + ηµα συνα α ΒΓ/9 Δείξτε ότι = εϕ +ηµα+συνα ηµ 4α συνα ΒΓ/9 Δείξτε ότι = εϕα συν4α συνα ΒΓ/94 Δείξτε ότι ηµ α συνα = εϕ α + συνα + συνα ΒΓ/95 Δείξτε ότι εϕ (45 α συν α ) = + ηµ α ηµ α + ηµα ΒΓ/96 Δείξτε ότι = εϕα + συνα + συνα α + συνα + συν ΒΓ/97 Δείξτε ότι α = σϕ α ηµα + ηµ ηµα ηµ α α ΒΓ/98 Δείξτε ότι: Α) = εϕ ηµα + ηµ α ηµα συνα εϕα Β) = συνα ηµα συνα + ηµα ΒΓ/99Δείξτε ότι : Α) συν α = εϕ α ηµ α

43 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Β) ηµασυν α ηµ ασυνα = ηµ 4α 4 Λύστε τις παρακάτω εξισώσεις ΒΓ/00 Α) ΒΓ/0 Α) 4 0 ΒΓ/0 Α) συν + ηµ = Β) συν + ηµ = 0 συν + συν = Β) συν + ηµ = συν = συν Β) + συν = συν ΒΓ/0 Α) ΒΓ/04 Α) 0 ηµ ηµ = συν Β) ηµ ηµ = 0 συν συν = Β) συν + = 4συν + συν ηµ = Β) + ηµ συν = ηµ + ηµ = συν Β) συν + συν = 4ηµ ηµ + ηµ = π ηµ + συν = συν στο 0, ΒΓ/05 Α) 0 ΒΓ/06 Α) ΒΓ/07 Α) Β) Λύστε την εξίσωση: ( ) Γ) ηµ ( σϕ ) = 0 Δ) ΣΤ) ηµ εϕ ηµ = εϕ ΒΓ/08 Αν α, β δείξτε ότι ηµ συν = Ε) 4 ηµ συν = 4 συν( α + β) συν( α β) συν α συνα ηµ α ΒΓ/09 A Να αποδειχθεί ότι: + = σϕα ηµα συνα ηµ α συνα Β) Αποδείξτε ότι : = ηµα συνα Γ) Υπολογίστε την παράσταση: ηµ 5 συν5 ΒΓ/0A) Συμπληρώστε την ισότητα: ηµασυνβ + ηµβσυνα = συνα ηµ α Β) Δείξτε ότι : + = συνα συνα ηµα

44 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Γ) Λύστε την εξίσωση: συν ηµ συν + = συν ηµ π ΒΓ/ Αν α+β=, δείξτε ότι: 6 συνα ηµβ + ηµα συνβ = Α) ( ) ( ) Β) ( ) ( ) συνα + ηµβ + ηµα + συνβ = ΒΓ/Α) Αν εϕα = δείξτε ότι: ηµ ( α + β ) + ηµ ( α β ) = συνα συνβ Β) Αν ηµ ( α + β ) = ηµ ( α β ) δείξτε ότι: εϕα = εϕβ π Γ) Αν συν( α β ) = + 4ηµα ηµβ και α, β 0, δείξτε ότι: π α+β= ΒΓ/Υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των τόξων των 75 και 7 π ( 7 π π π = + ) 4 ΒΓ/4 A) Λύστε την εξίσωση: ( ) συν +α = +α με α B) Aν ( + ηµ y)( συν ) = ( + ηµ )( ηµ y ) βρείτε τα y, π ηµα συνα ΒΓ/5Αν 0 <α< να δείξετε ότι = 0 συνα + συνα ΒΓ/6 Λύστε την εξίσωση: ηµ συν ηµ συν = ηµ 4 ( )( ) ΒΓ/7Αν την εϕθ π συνθ = και <θ<π, να υπολογίσετε το ηµ θ και 5π εϕα ΒΓ/8Αν α+β=, να αποδείξετε ότι εϕβ = και 4 + εϕα ( + εϕα )( + εϕβ ) = (όταν ορίζονται οι εφα και εφβ ) ΒΓ/9Αν συν + 5συν = 0 και ηµ > 0, να υπολογίσετε το ηµ και το συν

45 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/0Αν 0 συν συν = και π< < π υπολόγισε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου π ΒΓ/Αν 5συν συν + = 0 και 0 < < : Α) Βρείτε το συν Β) Βρείτε το ηµ π Γ) Βρείτε το ηµ Δ) Βρείτε τις εϕ και εϕ + 4 π ΒΓ/Αν η εξίσωση 4συν + λσυν λ = 0 έχει λύση = βρείτε όλες τις λύσεις π ΒΓ/Αν η εξίσωση λ + συν = + 6ηµ έχει λύση = 6 βρείτε όλες τις λύσεις συν4θ ΒΓ/4Να αποδείξετε ότι συν θ + ηµ θ = 4 α εϕ = αποδείξτε ότι βηµ ασυν = α β ΒΓ/5Αν (Υπόδειξη: Διαιρέστε με το β) ΒΓ/6Υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α αν π 4 π α) συνα = και 0 <α< β) ηµα = και π<α< 5 5 π ΒΓ/7Υπολογίστε:α) το συνα όταν συνα = και <α<π β) το ηµ α αν ηµα = και 0 5 δ) το ηµ α και το συνα αν π <α< γ) την εϕα αν εϕα = 7 εϕα = π ΒΓ/8Υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου α+β ΒΓ/9 Δείξτε ότι ( συνα + συνβ ) + ( ηµα + ηµβ ) = 4συν ΒΓ/0 Α) Αν Β) Λύστε την εξίσωση: ηµ + συν =, υπολόγισε το ηµ ηµ + συν =

46 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/Αν 0 π και α) το ηµ και β) το ηµ + συν = να προσδιορίσετε: 5 ηµ και το συν + ΒΓ/ Αν ηµ + συν = υπολογίστε τα ηµ, ηµ, συν ΒΓ/ Aνα+β=γ, δείξτε ότι εϕγ εϕα εϕβ = εϕα εϕβ εϕγ BΓ/4 Nα λυθούν οι εξισώσεις: ηµ συν = και 4 ηµ συν = 4 ΒΓ/5 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Αν οι εϕα, εϕβ είναι ρίζες της εξίσωσης = 0, τότε: Α) Να δείξετε ότι εϕ( Α + Β ) =, και Β) Να βρείτε τη γωνία Γ του τριγώνου 4 π 4 5π 7 π 5π π ΒΓ/6 Α)Δείξτε ότι ηµ + ηµ = (Υπόδειξη + = ) 8 Β) Να λυθεί η εξίσωση: ηµ + συν = 8 π 4 5π Γ) Να δειχθεί ότι: ηµ συν = 6 π 5π Δ) Να δειχθεί ότι: εϕ + εϕ = 4 π π 4π BΓ/7Α) Να αποδείξετε ότι: συν συν συν = (Υπόδ: ηµ α ηµασυνα = ηµ α συνα = ) ηµα Β) Να αποδείξετε ότι: π π 5π 7π + συν + συν + συν + συν = (Υπόδ:Τα π 7π π 5π, είναι παραπληρωματικά Το ίδιο και τα, ) BΓ/8Α) Aν σϕα = να λυθεί η εξίσωση: εϕ ( + α ) = Β) Aν σϕα = να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) Γ) Aν εϕα = 5 να λυθεί η εξίσωση: ηµ ( α ) = ηµ ( + α ) Δ) Aν εϕα = να λυθεί η εξίσωση: ( ) συν α = συν + α εϕ + α =

47 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία π ΒΓ/9 Αν β= α και εϕ( α + β ) =, τότε 4 Α) Δείξτε ότι εϕα = Β) Λύστε τις εξισώσεις i) σϕ( α ) = ii) ηµ ( + α) ηµ ( α ) = 0 π ΒΓ/40 Αν β= +α και εϕ(α β ) = : 8 Α) Δείξτε ότι: εϕα = Β) Λύστε την εξίσωση: συν ( + α ) = συν( α ) λ λ+ π BΓ/4 Αν εϕω = και σϕω = με π<ω<, βρείτε λ+ 4 λ 5 τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του ω BΓ/4 Α) Αν ( ) f( ) ( ) f = ηµ + συν να την γράψετε στη μορφή = ρηµ + ϕ και λύστε την εξίσωση f( ) = 0 Β) Όμοια για την g ( ) = ηµ συν BΓ/4 Να λυθούν οι εξισώσεις: Α) ηµ συν = Β) ηµ + συν = Γ) ηµ = συν Δ) ηµ = + συν εϕ ΒΓ/44 Α) Nα αποδείξετε ότι: = συν + εϕ Β) Να λυθεί η εξίσωση: εϕ + 5 συν = 0 + εϕ Γ) Βρείτε τις λύσεις της παραπάνω εξίσωσης στο διάστημα [, ] π π 5π ΒΓ/45 Αν [ συν(4 π ) + ] 5ηµ 4 = 0 και 0 < < 4 τότε: Α) Να δείξετε ότι συν = 5 Β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Γ) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ΒΓ/46 Δίνεται η συνάρτηση: f() ( ) π = ηµ π + συν, Α) Να δείξετε ότι: f( ) = ηµ π

48 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του (0, π ) η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της και ποια είναι αυτή Γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f ΒΓ/47 Δίνεται η παράσταση: 5π 7π ηµ (5 π+ω) συν(7 π ω) ηµ ω συν +ω Κ= 5π 7π σϕ(5 π+ω) ηµ (7 π ω) συν ω σϕ +ω Α) Να δείξετε ότι: Κ = ηµ ω Β) Να λύσετε την εξίσωση: Κ= 0 στο διάστημα (0, π ) Γ) Να λύσετε την εξίσωση: Κ + ηµω + = 0 ΒΓ/48 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = 5 +α +β, το οποίο έχει παράγοντα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι 9 Α) Να δείξετε ότι α= 4 και β= Β) Να λύσετε την ανίσωση Ρ( ) 0 Γ) Να λύσετε την εξίσωση 5 4 ηµ + συν = ηµ + BΓ/49 Για τη γωνία α ισχύει ότι: 5συνα 4συνα 7 = 0 Α Να δείξετε ότι συνα = 5 π Β Αν επιπλέον ισχύει π α, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ηµ α, συνα και εϕα ( ο θέμα Πανελλαδικών 00) BΓ/50 Για κάθε πραγματικό αριθμό να αποδείξετε ότι: συν( ηµ + 4 ηµ ) = ( συν + 4συν + ) ηµ και να βρείτε εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς αριθμούς ώστε: συν + 4συν + = 0 ( ο θέμα Πανελλαδικών 00) BΓ/5 Α) Να λύσετε την εξίσωση: 0 ηµ συν = συνα α Β) Να αποδείξετε ότι = εϕ για όλες τις τιμές του α που ηµα + ηµ α ορίζεται η ισότητα ( ο θέμα Πανελλαδικών 004)

49 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα Πολυώνυμα Καμιά ανθρώπινη έρευνα δεν μπορεί να ονομαστεί αληθινή επιστήμη αν δεν περνά μέσα από μαθηματικές αποδείξεις Leonardo da Vinci ΒΔ/0Βρείτε την τιμή του πραγματικού λ για την οποία το πολυώνυμο Ρ ( ) = ( λ+ ) ( λ +λ ) +λ 4 είναι μηδενικό ΒΔ/0Βρείτε για τις διάφορες τιμές του λ το βαθμό του πολυωνύμου Ρ ( ) = ( λ 4λ ) + ( λ λ) λ+ ΒΔ/0Αν το ( ) ( ) να βρείτε το λ Ρ = λ λ + λ + λ είναι ου βαθμού, ( ) 9 9 ΒΔ/04Βρείτε τα α, β, γ, δ ώστε τα Ρ ( ) = α και Q ( ) = β + β+γ δ + +δ να είναι ίσα ( ) ( ) ΒΔ/05 Aν ( ) Ρ = και Q ( ) = + να υπολογίσετε τα πολυώνυμα: Ρ ( ) + Q ( ), Ρ( ) Q ( ), Ρ( ) Q ( ), Ρ( ) Q ( ) Ρ ( ) ΒΔ/06Βρείτε το πολυώνυμο Ρ ( ) για το οποίο ισχύει: ( ) ( ) 4 Ρ = + Ρ ( ) + Q ( ), ΒΔ/07Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = + ( α ) + α έχει ρίζα το -, να αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει για το Κ ( ) = ( α ) ΒΔ/08Αν για το πολυώνυμο ( ) Ρ είναι: δείξετε ότι το - είναι ρίζα του Ρ ( ) Ρ + = +, να ( 5) ΒΔ/09Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) έχει ως ρίζα το, να δείξετε ότι το πολυώνυμο ( ) Q ( ) =Ρ + ( ) Ρ ( ) έχει ρίζα το ΒΔ/0Να βρεθεί το πολυώνυμο ( ) Ρ τρίτου βαθμού, το οποίο να έχει ρίζα το 0 και να ικανοποιεί τη σχέση: Ρ ( ) = Ρ( ) για κάθε ΒΔ/Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = Να προσδιοριστεί ο πραγματικός α αν ισχύει Ρ( α ) = ΒΔ/Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ ( ) = (α+ ) + β και Q ( ) = ( β+ ) + 5α Προσδιορίστε τους α, β αν ο αριθμός είναι κοινή ρίζα των Ρ ( ) και Q ( )

50 Άλγεβρα Β Λυκείου ΒΔ/Το πολυώνυμο ( ) Πολυώνυμα Ρ το οποίο για κάθε πραγματικό αριθμό ικανοποιεί την ταυτότητα Ρ ( ) = ( ) Ρ ( + ) έχει τουλάχιστον τρεις ρίζες Βρείτε τρεις από τις ρίζες αυτές ΒΔ/4Να γίνουν οι διαιρέσεις και να γραφεί σε κάθε περίπτωση η ταυτότητα της διαίρεσης: A) ( : ) ( + ) B) ( : ) ( + ) 5 Γ) ( + 9) : ( ) Δ) ( 4 + : ) ( ) 4 Ε) ( 7 + 5) : ( + 5) ΣΤ) ( ) :( + ) Ζ) ( 4 + ) :( + + ) Η) ( 4 α +α ) : ( α ) Θ) ( 4α 8 α ) :( α ) Ι) ( α + α 8 α ) :( α ) 4 4 ΙΑ) ( α ) : ( +α ) ΙΒ) ( α α ) : ( α ) ΒΔ/5Βρείτε το πολυώνυμο F( ) το οποίο αν διαιρεθεί με το πηλίκο και υπόλοιπο δίνει ΒΔ/6Α) Έστω το πολυώνυμο Ρ ( ) = + α +β Να βρείτε τους α, β αν το πολυώνυμο έχει ρίζες, Β) Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) =α + (α+ ) + ( α β ) + Να βρείτε τα α, β, ώστε το Ρ ( ),να έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ( ) με το +, να είναι 4 ΒΔ/7 Α) Βρείτε τους, α β αν το ακριβώς με το και ισχύει Ρ ( ) = 8 ΒΔ/8 Βρείτε τους, Ρ ( ) = +α +β + 4 διαιρείται α β αν το Ρ ( ) = +α +β έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το + είναι ΒΔ/9 Βρείτε τους, 4 α β αν το Ρ ( ) = α +β έχει ρίζα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το είναι 5 ΒΔ/0Α) Έστω το πολυώνυμο Ρ ( ) =α +β 5+ 4 Να βρείτε τους α, β, ώστε η διαίρεση του Ρ () με το + να αφήνει υπόλοιπο 6, ενώ η διαίρεση του με το να αφήνει υπόλοιπο Β) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το + είναι + βρείτε το υπόλοιπο των διαιρέσεων: Ρ( ) : ( ) και Ρ ( ) : ( + )

51 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα ΒΔ/Α) Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = +α +β διαιρείται με το 6, να προσδιορίσετε τα α, β Β) Έστω πολυώνυμο Ρ ( ) με ακέραιους συντελεστές και Ρ () =Ρ () = 5 Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ): ( 4 ) ΒΔ/ Α) Αν το Ρ ( ) διαιρούμενο δια Β) Αν 4 Ρ + είναι 5 Ρ ( ) = +α +β + να βρεθούν οι α, β ώστε + να δίνει υπόλοιπο Ρ ( ) = +α +β να βρεθούν οι α, β ώστε το Ρ ( ) διαιρούμενο δια να δίνει υπόλοιπο ΒΔ/Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = ( α+ ) +β έχει παράγοντα το + να προσδιορίσετε τα α, β ΒΔ/4Αν το πολυώνυμο το + να προσδιορίσετε τα α, β Ρ ( ) = +α + ( β+ ) + έχει παράγοντα ΒΔ/5Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( ) Ρ με το 4 είναι + 5, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το + ΒΔ/6Το πολυώνυμο ( ) Ρ διαιρούμενο με το αφήνει υπόλοιπο 0, ενώ διαιρούμενο με το + αφήνει υπόλοιπο 5 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το ( )( + ) ΒΔ/7Το πολυώνυμο ( ) Ρ διαιρούμενο με το + αφήνει υπόλοιπο, ενώ διαιρούμενο με το αφήνει υπόλοιπο Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το + ΒΔ/8Έστω πολυώνυμο Ρ ( ) με ακέραιους συντελεστές και Ρ ( ) = Ρ() = 5 Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ( ) : ( 4+ ) είναι υ = 5 ΒΔ/9Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Q ( ) με το 5 είναι και για το πολυώνυμο Ρ ( ) ισχύει: Ρ (+ ) = Q(+ ) +, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το ΒΔ/0Βρείτε τα α, β ώστε οι παρακάτω ισότητες να ισχύουν για όλες τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται τα κλάσματα

52 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα + α β Α) = + Β) α β = + ( )( ) + α β + 5 α β Γ) = + Δ) = ΒΔ/Mε τη βοήθεια του σχήματος Horner βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο των παρακάτω διαιρέσεων: : : + A) ( + ) ( ) B) ( ) ( ) Γ) ( 4 + ) :( ) 4 Δ) ( ) : ( + ) 4 Ε) ( ) : ( ) 5 ΣΤ) ( + + ) : ( ) 4 Ζ) ( + : ) ( + ) Η) ( ) : ( 5) Θ) ( :5 ) ( ) Ι) ( ) : ( ) ΙΑ)( 5 α α ) :( α ) ΙΒ) ΒΔ/Δίνεται το πολυώνυμο 4 Ρ ( ) = Να δειχθεί ότι το ( ) διαιρεί το πολυώνυμο και να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης ΒΔ/ Mε τη βοήθεια του σχήματος Horner βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: Α) Του Ρ ( ) = με το ( ) Β) Του Γ) Του = + + με το ( )( ) Q 4 ( ) R 4 ( ) = + + με το ( ) ΒΔ/4Bρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε το πολυώνυμο 4 Ρ ( ) = +α +β + 6 να διαιρείται με το ( ) συνέχεια λύστε την Ρ ( ) = 0 ΒΔ/5Βρείτε τα α, β ώστε το πολυώνυμο διαιρείται με το ( ) R ( ) = Στη Ρ ( ) = α +β να ΒΔ/6Προσδιορίστε το λ ώστε το + να είναι παράγοντας του 4 πολυωνύμου Ρ ( ) = ( λ 7) + ( λ+ ) + 5+ λ και στη συνέχεια λύστε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 ΒΔ/7Να βρείτε τα, παράγοντα το + α β ώστε το Ρ ( ) = +α +β να έχει

53 Άλγεβρα Β Λυκείου Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ΒΔ/8 Α) Πολυώνυμα 4+ 4= 0 Β) = 0 Γ) 6 5+ = 0 4 Δ) = 0 4 Ε) + + = 0 ΣΤ) = 0 ΒΔ/9 Α) 4 = 0 Β) 4 Γ) = 0 Δ) ΒΔ/40Α) = = = Β) = Γ) = 0 Δ) = 0 ΒΔ/4Α) = 0 Β) = Γ) = 0 Δ) + = ΒΔ/4Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων: = 0 και ( ) + (4 ) = 4+ ΒΔ/4Α) Να βρεθεί ένα πολυώνυμο P ( ) για το οποίο να ισχύει ( ) P ( ) = και να λυθεί η εξίσωση : = 8 Β) Να βρεθεί ένα πολυώνυμο P ( ) για το οποίο να ισχύει ( ) P ( ) = και να λυθεί η εξίσωση : = 0 ΒΔ/44Να βρεθούν οι ρίζες της = 0, αν δύο απ' αυτές διαφέρουν κατά (Υπόδειξη: Έστω ρ και ρ+ οι ρίζες, κάνω Horner για τη ρ οπότε το υπόλοιπο που θα βρω πρέπει να έχει ρίζα ρ+) ΒΔ/45Δίνεται η εξίσωση α +β +γ +δ= 0 με,,, α β γ δ Αν αγ > 0 και βγ = αδ,δείξτε ότι έχει μοναδική ρίζα στο (Υπόδ: ΒΔ/46 Aν k ακέραιος να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακέραιες ρίζες Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: ΒΔ/47Α) Γ) βγ δ= α ) v 5 9k 0 + = δεν + > 0 Β) < 0 Δ) ΒΔ/48Α) Γ) Β) + + 4< Δ) ( + ) > ( ) ΒΔ/49Α) Γ) Β) Δ) > 0

54 Άλγεβρα Β Λυκείου Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 6 4 ΒΔ/50 Α) = Β) + = Γ) + = Δ) = Ε) 5 + 6= 0 ΣΤ) + = ( ) ΒΔ/5 A) B) ηµ + 5ηµ + 5ηµ + = 0 ηµ 5ηµ 4ηµ + = 0 Γ) ΒΔ/5 Α) ηµ + συν ηµ ηµ = 4 Β) συν συν 4συν + συν + = 0 ( ) + 5 ΒΔ/5 + = ΒΔ/54A) 4 ΒΔ/55Α) ΒΔ/56A) Πολυώνυμα ηµ + 5συν + ηµ = 0 + = B) + = Γ) = Δ) = = Β) + = 4 Γ) + + = + Δ) = + + συν = συν B) + 5 = + ΒΔ/57A) + + = + B) = 4 + = = 7 B) = ΒΔ/58A) = B) ΒΔ/59Α) ΒΔ/60Nα λυθούν οι ανισώσεις: Α) 5 Β) + 4 Γ) + 5 < Δ) 5 + ΒΔ/6A) = + 4 Γ) ( ) ( ) ΒΔ/6Α) B) = 0 Δ) 6 ( ) 7( ) 8 0 Γ) ( ) ( ) + + = Β) = 0 Να λυθούν οι ανισώσεις: 9 + 8= = = 0

55 Άλγεβρα Β Λυκείου < BΔ/6 A) 0 5 ( ) ( 4 ) Δ) ( 5) B) Ε) + > 0 5 Γ) Πολυώνυμα 7+ < ΣΤ) Ζ) < Η) > Θ) > I) 0 IA) 0 IB) < ( ) ( + ) 5 BΔ/64 Α) 0 Β) Γ) > + 5+ Δ) + < Ε) + < BΔ/65 Α) 6 Β) + > Γ) < ΒΔ/66 Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = + + α+ β έχει ρίζες τους αριθμούς και Α) Βρείτε τα α, β Β) Λύστε την εξίσωση : Ρ ( ) = 0 Γ) Λύστε την ανίσωση : Ρ ( ) < 0 Δ) Λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = 8 ΒΔ/67 Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = 5 +α +β έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το + είναι 6 : Α) Συμπληρώστε τα : Ρ () = και Ρ ( ) = Β) Βρείτε τα α, β Γ) Για α= και β= λύστε την εξίσωση : Ρ ( ) = 0 Δ) Για α= και β= λύστε την ανίσωση : Ρ ( ) < 0 Ε) Λύστε την εξίσωση : συν + 5ηµ + συν = 0 ΒΔ/68Έστω το πολυώνυμο f( ) =λ + λ λ Α) Να βρείτε για ποια λ το είναι παράγοντας του f( ) Β) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο Α) λύστε την εξίσωση f( ) = 0 ΒΔ/69Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = + α + α, α Α Αν το είναι ρίζα του Ρ ( ) βρείτε το α Β Βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Ρ( ) : ( ) Γ Να λύσετε την εξίσωση: + 4= + 4 Δ Να λύσετε την ανίσωση: Ρ( ) 0

56 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα ΒΔ/70 Aν το πολυώνυμο Ρ ( ) = α +β + έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες, βρείτε τα α, β και λύστε την ανίσωση Ρ( ) 0 ΒΔ/7 Αν το 4 Ρ ( ) = α 7 + +β έχει ρίζα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το είναι : Α) Συμπληρώστε τα : Ρ () = και Ρ () = Β) Βρείτε τα α, β Γ) Λύστε την εξίσωση : Ρ ( ) = 0 Δ) Βρείτε τα για τα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Ρ ( ) βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΔ/7 Αν το 4 Ρ ( ) = + +α +β έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το είναι : Α) Συμπληρώστε τα : Ρ () = και Ρ () = Β) Βρείτε τα α, β Γ) Για α= και β= λύστε την εξίσωση : Ρ ( ) = 0 Δ) Για α= και β= λύστε την ανίσωση : Ρ ( ) < 0 4 Ε) Λύστε την εξίσωση : συν + συν συν συν + = 0 ΒΔ/7 Θεωρούμε το πολυώνυμο: Ρ ( ) = +α 7+ 4, για το οποίο ισχύει: Ρ () =Ρ(0) 4 Α) Να δείξετε ότι α= Β) Να λύσετε την εξίσωση: Ρ ( ) = 0 Γ) Να λύσετε την ανίσωση: Ρ ( ) < 0 4 ΒΔ/74 Θεωρούμε το πολυώνυμο Ρ ( ) = ( α ) +β, το οποίο έχει παράγοντα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι -4 Α) Να δείξετε ότι α= 4 και β= Β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 Γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ ( ) < 0 ΒΔ/75 Αν το Ρ ( ) =α +β 4+ 4 έχει ρίζα το και παράγοντα το : Α) Συμπληρώστε τα : Ρ () = και Ρ () = Β) Βρείτε τα α, β Γ) Λύστε την εξίσωση : Ρ ( ) = 0 Δ) Λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = 5+ 5 E) Βρείτε τα για τα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Ρ ( ) βρίσκεται πάνω από τον άξονα

57 Άλγεβρα Β Λυκείου ΒΔ/76 Δίνεται το: Ρ ( ) = + k + 8, k ώστε Α) να δείξετε ότι k = 6 Β) Να κάνετε τη διαίρεση ( ) : ( ) διαίρεσης Γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ( ) ΒΔ/77 Αν το πολυώνυμο ( ) ακέραιες ρίζες: Α) Βρείτε τα α, β Β) Λύστε την ανίσωση Ρ ( ) < 0 Γ)Αφού κάνετε τη διαίρεση ( ): ( ) Πολυώνυμα Ρ = Ρ και να γράψετε την ταυτότητα της Ρ = +α +β έχει δύο θετικές Ρ και λύστε την ανίσωση Ρ ( ) < 5 ΒΔ/78 Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = +α +β + 4 έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες που διαφέρουν κατά : Α) Βρείτε τα α, β Β) Λύστε την ανίσωση Ρ( ) 0 Ρ( ): και λύστε την ανίσωση Ρ ( ) < 0 Γ)Αφού κάνετε τη διαίρεση ( ) ΒΔ/79Δίνεται το πολυώνυμο P ( ) = Α) Να γίνει η διαίρεση: P ( ):( ) και να γραφτεί η ταυτότητά της Β) Να λυθεί η εξίσωση: P ( ) = P ( ) < 0 Γ) Να λυθεί η ανίσωση: ( )[ ] ΒΔ/80Aν Ρ ( ) = 4 +β Α) Βρες το β αν η διαίρεση Ρ( ) : ( ) έχει υπόλοιπο Β) Λύσε την ανίσωση Ρ( ) ΒΔ/8Δίνεται το πολυώνυμο P( ) = k +, k A) Βρείτε το k ώστε διαίρεση: P ( ) : ( ) να δίνει υπόλοιπο 5 Β) Για k = να γίνει η διαίρεση: P ( ):( ) και να γραφεί η ταυτότητά της Γ) Για k = να λυθεί η εξίσωση P ( ) = ΒΔ/8Αν το πολυώνυμο P ( ) = α +β έχει παράγοντα το : Α) Βρείτε τα α, β Β) Βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα

58 Άλγεβρα Β Λυκείου ΒΔ/8Έστω Ρ ( ) = 4 +α +β Αν το ( ) διαιρούμενο με το + αφήνει υπόλοιπο : Α) Βρείτε τα α, β Β) Να γίνει η διαίρεση του Ρ ( ) με το ταυτότητά της Γ) Να λυθεί η ανίσωση: Ρ ( ) > 8 ΒΔ/84Αν 6 5 Πολυώνυμα Ρ έχει ρίζα το και + και να γραφεί η 9 6 P ( ) = + 5 +α να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες το να είναι παράγοντας του P ( ) Για τις τιμές που θα βρείτε να λύσετε την εξίσωση P ( ) = 0 ΒΔ/85Δίνεται το ( ) Ρ ( ) = λ 5λ+ 6 7 ( λ 6λ+ 8) α +β με λ, α, β Α) Αν το πολυώνυμο είναι 6 ου βαθμού δείξτε ότι λ= Β) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ( ) με το είναι 6 και το + είναι παράγοντας του Ρ ( ) : Β) Βρείτε τα αβ, Β) Λύστε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 Β) Λύστε την ανίσωση Ρ ( ) < 0 5 Β4)Λύστε την εξίσωση: ηµ + 4ηµ = 0 + εϕ 4 ΒΔ/86Δίνεται το Α ( ) = 5 +α ( α+ ) + 8 με α και Β ( ) = + Αν ισχύει: Α( 9) Α( ) Α(5) Α () = 0: Α) Δείξτε ότι α= 9 Β) Γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης Α( ): Β ( ) Γ) Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = 5 +β +γ έχει παράγοντα το πηλίκο της Α( ): Β ( ) βρείτε τα β, γ και λύστε την ανίσωση Ρ( ) 0 4 ΒΔ/87Δίνεται το πολυώνυμο f( ) = α Να αποδείξετε ότι το + είναι παράγοντας του f( ) και να βρείτε το πηλίκο π ( ) της διαίρεσης του f( ) με το + β Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του π ( ) και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του π ( ) με το γ Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f( ) βρίσκεται πάνω από τον άξονα ' ( ο θέμα Σεπτεμβρίου 00) ΒΔ/88Έστω Ρ ( ) =α + ( β ) β+ 6 όπου, αβ πραγματικοί αριθμοί α) Αν ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ ( ) και το

59 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το + είναι ίσο με, τότε να δείξετε ότι α= και β= 4 β) Για τις τιμές των αβ, του ερωτήματος α), να λύσετε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 ( ο θέμα Πανελλαδικών 000) ΒΔ/89Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = k ( k +λ ) +λ +, k, λ α Αν Ρ = 7 και Ρ ( ) =, να αποδείξετε ότι k = 6 και λ= 5 β Να γίνει η διαίρεση του Ρ (), για k = 6 και λ= 5, με το πολυώνυμο + και να γραφεί το Ρ ( ) με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης γ Λύστε την Ρ ( ) > 7 για k = 6 και λ= 5 ( ο θ Πανελλαδικών 00) ΒΔ/90Δίνεται το 4 Ρ ( ) = 8 + (5α ) + 8 α 6 με α α Να κάνετε την διαίρεση του Ρ ( ) δια του και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα β Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια γ Για α=, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ ( ) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ ( ) είναι κάτω από τον άξονα ' ( ο θέμα Πανελλαδικών 004) M C Escher Sun and moon

60 Άλγεβρα Β Λυκείου Εκθετική συνάρτηση Εκθετική συνάρτηση " Όσοι δεν γνωρίζουν μαθηματικά είναι δύσκολο να νιώσουν την ουσία και την ομορφιά, τη βαθύτερη ομορφιά της φύσης " Richard Feynman BE/0Στο ίδιο σύστημα αξόνων να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: Α) f( ) = και g ( ) = Β) f( ) = και g ( ) = Γ) f( ) = e και Δ) f( ) =, g= ( ) + και h ( ) = Ε) f( ) =, g ( ) + = και = h ( ) g ( ) = e α BE/0Αν f( ) =, να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση ) α+ f ( : Α) να ορίζεται σε όλο το Β) να είναι γνησίως αύξουσα α BE/0 A) Να βρεθούν τα α για τα οποία η f( ) = α+ i) ορίζεται για κάθε ii) είναι γνησίως αύξουσα iii) είναι γνησίως φθίνουσα B) Όμοια για την α f( ) = α Γ) Όμοια για την f( ) = ( α 4) Δ) Όμοια για την ( ) ( 8 5) Ε) Όμοια για την ( ) f = α + α+ f( ) = 6α 7α + α BE/04 Έστω η συνάρτηση f( ) = α+ Α) Bρείτε τις τιμές του α ώστε η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το B) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα και εκείνες για τις οποίες είναι γνησίως φθίνουσα BE/05Δίνεται η εκθετική συνάρτηση ( ) ( 4 ) f = λ με 4 λ Για ποιες τιμές του λ ορίζεται η συνάρτηση σε όλο το ; Για ποιες τιμές

61 Άλγεβρα Β Λυκείου Εκθετική συνάρτηση του λ είναι γνησίως αύξουσα; Βρείτε το λ ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το Α, 4 BE/06 Να βρείτε το α ώστε η αύξουσα BE/07 Να βρείτε το α ώστε η φθίνουσα Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 BE/08 A) = 4 Δ) = 7 Ε) BE/09 Α) 5 = 65 Γ) ΣΤ) = 6 Δ) + 7 = 0 Ζ) BE/0 Α) Δ) = 8 Β) = 0 Ε) BE/ Α) = Δ) 9 + B) = 7 = ΣΤ) 6 α f( ) = α 5 5 f( ) = α = Ε) = Η) = Β) + 4 = Ε) ( ) 5 5 BE/ Α) 5 5 = = 64 Γ) να είναι γνησίως να είναι γνησίως = Ζ) Β) ( 5 + ) = = ΣΤ) Γ) = = = 8 = ΣΤ) = Γ) = Β) = 0 + BE/ Α) ( ) BE/4 Α) = 0 = Β) ( 5 + 6) = Γ) = 0 Δ) BE/5 Α) = = 9 = 7 + συν + = Ζ) 7 εϕ = Γ) = ( 6 ) 6 8 Γ) ( 7 ) = Β) 4 + = = 0 Β) = 6 + +

62 Άλγεβρα Β Λυκείου Γ) + 5 = Δ) BE/6 Α) 4 5 = 4 Εκθετική συνάρτηση + = Β) = 80 + Γ) = 0 Δ) = 0 BE/7Α) = 0 Β) 5 = Γ) = Δ) = 0 BE/8 Α) Γ) + = Β) + = Δ) BE/9 Α) = = + = Β) 4 + = 0 Γ) = 0 Δ) = 0 BE/0 Α) = 0 Β) = 66 Γ) 9 = 0 Δ) + = 0 BE/Α) = Β) = 0 ηµ συν ηµ ηµ Γ) = 5 Δ) + 8 = 6 BE/ Α) e + e = 0 Β) e ( + e ) e + e = 0 Γ) e e + = e+ e BE/ Να λυθούν τα συστήματα: Α) + Γ) 9 = + 4 = 8 + y+ y Δ) BE/4Λύστε στο ( ),π y y = 8 = Β) 4 4 y y = 6 = 48 (Υπόδειξη: στο Β) Πολλαπλασίασε και διαίρεσε κατά μέλη) = = y 4 y 9 BE/5 Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) Γ) <, Δ) + + Ε) y + = y = 6 ηµ συν 0 την εξίσωση ( εϕ ) = ( σϕ ) < < 5 Β) 4 + < + + 7, Ε) 4 < ΣΤ) 4 < Ζ) > Η) > Θ) > Ι) 7 < 8, ΙΑ) 4 > 9, ΙΒ) 7 4 > ,

63 Άλγεβρα Β Λυκείου Εκθετική συνάρτηση 7 6 ΙΓ) + < ΙΔ) < ΙΕ) > 8 4 BE/6 Λύστε τις ανισώσεις: Α) + + < 80, Β) > 0, Γ) > 0, Δ) < 0, Ε) < 0 4 ΣΤ) < 0 Ζ) + + < 5 Η) BE/7Α) Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) ( ) ( ) Β) ( e ) ( 7) ( 5 5) 0 Δ) ( e e )( 8)( ) < 0 4 > 0, >, Γ) ( e )( )( ) 4 + 0, BE/8Να λυθεί η ανίσωση:( 6 + 5) ( 6 + 5) BE/0 Λύστε τις ανισώσεις:α) ( ) e e e BE/9Να λυθεί η ανίσωση : Α) 0 > Β) 0 > e e e e + ee + e< 0 Β) > 4 BE/Να λυθεί η ανίσωση + α <α με α> 0, αν είναι γνωστό ότι αληθεύει για = 0 BE/Αν η ακολουθία ( α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος, δείξτε ότι η ακολουθία ν α ν β = είναι γεωμετρική πρόοδος BE/Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 8 χρόνια, να βρεθεί η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική του απόσβεση Tί μέρος από την αρχική ποσότητα θα έχει απομείνει μετά από 4 χρόνια; BE/4Αναλύοντας δείγμα υφάσματος από προϊστορικό τάφο οι επιστήμονες βρήκαν ότι η ποσότητα C 4 είναι το ¼ της αρχικής ποσότητας που περιέχονταν στο ύφασμα Ποιας εποχής είναι ο τάφος αν είναι γνωστό ότι ο ραδιενεργός άνθρακας C 4 έχει ημιζωή 4600 έτη ; BE/5 Ένα αβγό, που βράζει στους 98 C, τοποθετείται σε ένα δοχείο νερού θερμοκρασίας 8 C για να κρυώσει Η θερμοκρασία T (t) του αυγού μετά από χρόνο t δίνεται από τον τύπο ct Tt () δ 0 =λ e, όπου δ 0 η θερμοκρασία του δοχείου νερού για την οποία υποθέτουμε ότι δεν μεταβάλλεται αισθητά α) Βρείτε τη σταθερά λ β) Αν μετά από 5 λεπτά η θερμοκρασία του αυγού είναι 8 C, να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η θερμοκρασία του θα γίνει C

64 Άλγεβρα Β Λυκείου Εκθετική συνάρτηση BE/6Μια ποσότητα 50 ml μιας κολώνιας εξατμίζεται με ρυθμό 5% ανά ημέρα Βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την ποσότητα της κολώνιας μετά από t ημέρες και να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση Πόσα ml θα έχουν απομείνει μετά από 0 ημέρες και πόσα μετά από 40; (Χρησιμοποιείστε computer) BE/7 Σ' έναν ασθενή με υψηλό πυρετό χορηγείται ένα αντιπυρετικό φάρμακο Η θερμοκρασία Q(t) του ασθενούς t ώρες μετά τη λήψη του φαρμάκου, δίνεται, σε βαθμούς Κελσίου, από τον τύπο Qt ( ) = ,5 t α) Να βρείτε τη θερμοκρασία που είχε ο ασθενής τη στιγμή που του χορηγήθηκε το φάρμακο Β) Σε πόσες ώρες η θερμοκρασία του ασθενούς θα επανέλθει στη φυσιολογική τιμή των 6,5 C γ) Αν η δράση του φαρμάκου διαρκέσει 6 ώρες, ποια θα είναι η θερμοκρασία του ασθενούς μόλις σταματήσει η δράση του φαρμάκου; α BE/8 Αν f( ) =, α, τότε: +α Α) Βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να ορίζεται για κάθε Β) Βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα Γ) Βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα α να λύσετε την ανίσωση f ( ) Δ) Αν (,) Ε) Βρείτε τα α ώστε η ανίσωση > α + > +α α f( ) > να έχει λύση +α BE/9 Αν f( ) = α, α, τότε: Α) Βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να ορίζεται για κάθε B) Βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα Γ) Αν α= να λύσετε την εξίσωση: f ( ) + f( + ) = Ε) Βρείτε τα α ώστε η ανίσωση f( ) < να έχει λύση α < BE/40 Bρείτε το αν οι e, e, e + e είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

65 Άλγεβρα Β Λυκείου Εκθετική συνάρτηση BE/4 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο M, 4 Α Να βρείτε την τιμή του α Β Να λύσετε την ανίσωση: f 0 5 Γ Να λύσετε την εξίσωση: e 5e f 0 BE/4Α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : f f( ) = + Β Δίνεται η συνάρτηση g= ( ) 5 Να λύσετε την εξίσωση: 50 ( ) g ( ) + g ( + ) + g ( + ) + + g ( + 49) = 4 (4 ο Θέμα Πανελλαδικών 004) 8

66 Άλγεβρα Β Λυκείου Λογάριθμοι Λογάριθμοι "Τα μαθηματικά φαίνεται να εφοδιάζουν αυτόν που ασχολείται μαζί τους με μια καινούργια αντίληψη για τα πράγματα" Charles Darwin BZ/0Υπολογίστε τους: log 8, log5 5, log9, log, log 9, log, log 8, 4 log, log, log 4 6, log0 0,0 BZ/0Βρείτε τον > 0 αν: Α) log = Β) log = Γ) log 8 = Δ) log 4 = Ε) log 64 = ΣΤ) log 9 = Ζ) log 8 = Η) log = 4 Θ) log8 = Ι) log/8 = BZ/0Αποδείξτε ότι : Α) log 5 + log 4 log log5 = Β) log 4 + log 0 log = Γ) ln 4 + ln 7 ln 6 = ln log 5 + log 7 log 8 ln ln Δ) = Ε) e = log5 log 9 ΣΤ) log + log + log5 = Ζ) log5 + log log60 + log = log + log50 log 6 + log 4 log 5 Η) = log 4 log5 BZ/04Υπολογίστε τα: Α) log + log 40 log 4 Β) log 0 + log 4 4log log 5 + log 6 log log 5 Γ) Δ) ln( e + e ) ln( e+ ) + ln( e + e) Ε) ( ) ( ) log + log + log 4 ΣΤ) Aν ln = και ln y = 5 υπολογίστε τον 5 4 ln e y BZ/05Έστω η ακολουθία α ln ν ν = Α Δείξτε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος

67 Άλγεβρα Β Λυκείου Β Δείξτε ότι S v vv ( + ) = ln Λογάριθμοι BZ/06Αν μια αριθμητική πρόοδος έχει ο όρο τον ln και ο όρο τον ln 4 να δείξετε ότι το άθροισμα των v πρώτων όρων της είναι: S = v ln v BZ/07Αν ο ος όρος μιας αριθμητικής προόδου α ν ισούται με + ln ενώ ο 4 ος όρος ισούται με + ln8, βρείτε τον ο όρο της, τη διαφορά, το άθροισμα των 5 πρώτων όρων και το S =α 6 +α 7 + +α BZ/08 Βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α) f( ) = log( 4) Β) f( ) = log( ) + log(7 ) Γ) f( ) = log( 6) Δ) ( ) Ε) f( ) ln( 9 ) f f( ) = log 7 log(64 ) = ΣΤ) ( ) = ln( 6 ) Ζ) f( ) = ln 8 Θ) f( ) = ln 8 Λύστε τις εξισώσεις: Η) ( ) ln ( 4 f = 0 + 6) Ι) f( ) = ln( ) BZ/09 A) log( ) = log( + 4) B) log( 4 ) = log 7 Γ) log( + 0) = Δ) log + log( ) = Ε) ( ) log + log + = ΣΤ) + log( ) = log 0 Ζ) log + log( + 6) = 4log Η) log( ) + log( + ) = log(8 ) Θ) log( + ) = + log( ) Ι) log( + ) = log( + 6) log 5 ΙΑ) log9 + log = log 4 + log ΙΒ) + ln( e + ) = ln ΙΓ) ( ) ΙΔ) ln + ln( + ) = ln e ΙΕ) ( e e ) ΙΣΤ) ( ) ( ) log + log = log 6 ln + = ln + ln + 4 = ln ΙΖ) ln(7 ) = ln(5 ) + ln 9 ΙΗ) ln( + 4) ln( ) = ln( ) ln ΙΘ) log9 + log = log54 log Κ) log + log( + 6) = 4log BZ/0 Α) ln( ) ln( ) ln8 Γ) log( ) + + = Β) log(4 + 0) = + = Δ) ( ) ( ) ln + ln + = ln Ε) ln + ln( + ) = ln ΣΤ) ( e) Ζ) log + log( + 4) = log 4 + log( + ) Η) ( ) ln + ln + = ln + ln ln = ln e

68 Άλγεβρα Β Λυκείου Θ) ln( ) = + ln( ) Ι) ( ) Λογάριθμοι log 7 = + log( ) ΙΑ) 5 log log = log 88 ΙΒ) log ( + ) + log = + log BZ/Α) log + + log 5 = Β) log(7 9) + log( 4) = BZ/ Α) ln( + ) = ln Β) ( e ) Γ) + log( + ) = log5 + log6 Δ) ( + ) = Ε) log( 5 ) + log 7 = log7+ log BZ/ Α) ( ) ( ) ( ) Β) log( + ) + log8 = log + log78 + Γ) log = log( + 4) log( ) ln + = + ln ln ln log log = log 4 log Δ) ( )ln 4 + ( 4)ln = ln44 ln BZ/4Α) log log( ) + = 0 Β) ln( ln( e) ) = 0 Γ)log( ) log + 7 = log Δ) ( ) Ε) log log( + ) + 9 = 0 ΣΤ) ( ) BZ/5Α) ln( e + 9 e) = + ln 9, Β) ln( ) 0 Β) ( ) ( ) ln ln + = ln e ΒΖ/6Α) + ln( e ) = ln 0 Β) ( e ) BZ/7 Α) log log + + = 0 ln log 50 = 0 συν =, ( π, π ) ln + = ln Γ) ln ln = 4 = Β) 5 + = + Γ) = 5 Δ) = ln ln ln + ln log + log + Ε) 5 = 5 (Θέτω ln = ω ) Ζ) + = 48 ln ln ln 6 Γ) 9 = 0 Δ) 4 + e = 0 BZ/8 Α) BZ/9 Α) + log6 = 0 Β) log = 0 log log = 0 Β) log log = 0 Γ) log + 5log = 0 Δ) log + log = 0 4 Ε) log log = 0 ΣΤ) ln 9ln = 54 Ζ) log = log Η) ln = ΣΤ) ln ln = 0 ln + Θ) ln( + ) ( + ) = e ( + )

69 Άλγεβρα Β Λυκείου log BZ/0 A) Δείξτε ότι = B) Λύστε την εξίσωση: log log log = 54 BZ/ A) Να λυθεί η ανίσωση: ( ) Β) Να λυθεί η ανίσωση: ( ) Γ) Να λυθεί η ανίσωση: ( ) log > log(7 ) log > log(5 ) log 9 > log + log Δ) Να λυθεί η ανίσωση: ln < ln( + ) BZ/ Α) Να λυθούν οι ανισώσεις: ln 5 > ln(+ 5), B) log log + < 0 Α) ( ) Γ) ln 5ln 6 0 Λογάριθμοι +, Δ) ln + ln( + 4) ln + ln, Ε) ln ln( ) ln( 6) + +, ΣΤ) ( ) Ζ) log log( ) log 6 log + log(+ ) 0, + + Η) + log( + ) log( ) Θ) log log + 0 Ι) log log < 0 ΙΑ) ln ln > 0 ΙΒ) ln ln + < 0 ΙΓ) ln 5ln + = 0 ΙΔ) log log + 0 ΙΕ) ( ) ( ) ΙΣΤ) ( ) ( ) log log 0 ΙΖ) ( ) 8 log 5 log 0 ( )(ln + ln ) log( + ) 0 ΙΗ) ln ln BZ/ Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) log 4log + 0 log log( ) 99 log log( + ) < 0 Β) [ ] + + > Γ) [ ] Δ) < Ε) < BZ/4 Να λυθεί η ανίσωση: > log + log BZ/5 Να λυθεί η ανίσωση: log + log > BZ/6 Για ποιες τιμές του α η εξίσωση + log α= 0 έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες ; BZ/7 Για ποιες τιμές του οι αριθμοί log, log( ) και log( ) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου; BZ/8Αν σε μια αριθμητική πρόοδο α ν είναι α = log και α = log8 βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου και τον όρο α 5 Β) Όμοια αν α = log6 και α 4 = log54

70 Άλγεβρα Β Λυκείου Να λυθούν τα συστήματα log + log y= 6 BZ/9 A) log log y= log y log = log Γ) y = log(6 4 ) = Ε) log( y) = 0 log + log y= BZ/0 A) log( + y) = log5 log log y = Γ) log log y 4 9 = 7 Λογάριθμοι B) log log y = log + log y = 5 Δ) log y log = log log( y) = log( y) = log ΣΤ) log + log y = log 4 B) log log y + = log log y 9 4 = 77 Δ) log y = 00 log + log y = BZ/*Αφού μετατρέψετε τους λογαρίθμους σε ίσους τους με βάση το 0, αποδείξτε ότι log < log64 BZ/*Λύσε την εξίσωση log log 4 = 4 (Υπόδειξη: μετατρέψτε τα σε λογαρίθμους με βάση το 0) BZ/*Να βρείτε, σε ένα σύστημα αξόνων, τον γεωμ τόπο των σημείων Μ ( y, ) για τα οποία ισχύει: log log y = 0 y BZ/4*Λύστε το σύστημα: BZ/5*Να λυθεί η εξίσωση: BZ/6Να λυθεί η εξίσωση: log + log y = + y = y log 5 log = 5 75 = 5 log 5 8 log (Υπόδ: log y = ) log BZ/7Να λυθεί η εξίσωση: log ηµ = BZ/8Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: e e Α) f( ) = ln Β) f( ) = ln Γ) f( ) = e + e e ln Δ) f( ) = ln Ε) f( ) = ΣΤ) f( ) = BZ/9 Δείξτε ότι η συνάρτηση f( ) = ln ηµ είναι άρτια + y

71 Άλγεβρα Β Λυκείου Λογάριθμοι BZ/40 Δείξτε ότι η συνάρτηση f( ) = ln είναι άρτια ενώ η g ( ) = ln + περιττή BZ/4Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 7 f( ) = ηµ ln και να δείξετε ότι είναι άρτια 7 + BZ/4Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: + f( ) = συν + ln και να δείξετε ότι είναι άρτια BZ/4 Bρείτε τις τιμές του ώστε να ορίζεται ο αριθμός: e e α = ln + ln( ) e BZ/44Έστω η συνάρτηση f( ) = ( ln α ) Α) Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το ; Β) Να βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα Γ) Bρείτε το α ώστε η C f να έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα BZ/45Αν οι αριθμοί α,7 αβ, β με αβ>, 0 είναι διαδοχικοί όροι α+β ln α+ lnβ αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι : ln = 6 π BZ/46Βρείτε τον θ 0, αν οι : ln( + συν θ ), ln ηµθ, ln είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου BZ/47Α Βρείτε τον αν οι : e, e e, e + είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου Ο BZ/48Α) Βρείτε τον αριθμό αν οι αριθμοί : ln 7, ln 4 5 +, ln0 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ln, Β) Όμοια βρείτε τον αριθμό αν οι αριθμοί : ln, ( ) ln( + ) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ln BZ/49Α) Βρείτε τον αριθμό αν οι αριθμοί :, 4 e,, με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

72 Άλγεβρα Β Λυκείου Λογάριθμοι BZ/50Έστω ότι η ακολουθία α ν έχει θετικούς όρους Αν η α ν είναι γεωμετρική πρόοδος, να αποδείξετε ότι η ακολουθία β ν = log α ν, είναι αριθμητική πρόοδος και αντίστροφα BZ/5 Aν f( ) = ln : Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της + Β) Δείξτε ότι είναι περιττή Γ) Υπολογίστε το f( ) + f( ) BZ/5 Aν f( ) ln( ) = + + : Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Δείξτε ότι είναι περιττή Γ)Δείξτε ότι είναι περιττή BZ/5 O ος όρος μιας αριθμητικής προόδου α ν είναι α = ln και ο 4 ος α 4 = ln6 Α Βρείτε τη διαφορά της προόδου και τον ο όρο της Β Υπολογίστε το άθροισμα S =α +α + +α Γ Αν β ν μια γεωμετρική πρόοδος με β =α και β =α όπου α, α ο ος και ος όρος της προηγούμενης ΑΠ βρείτε τον γενικό όρο της γεωμετρικής προόδου καθώς και το άθροισμα Α=β +β 4 +β 6 + +β BZ/54 A Nα λυθεί η εξίσωση: + 4 = 0 Β Να λυθεί η εξίσωση: = Γ Βρείτε το πεδίο ορισμού της f( ) = ln BZ/55Oι πωλήσεις St () σε χιλιάδες μονάδες ενός προϊόντος σε διάστημα t χρόνων από την είσοδο του στην αγορά δίνονται από τη σχέση St () =α+β e κt, t 0, αβκ,, σταθερές α) Εξηγήστε γιατί ισχύει β = α β) Υπολογίστε τους αβκ,,, αν στο ο έτος oι πωλήσεις ανήλθαν σε 4000 μονάδες και μετά από ακόμη χρόνο σε 6000 μονάδες γ) Πόσες θα είναι οι πωλήσεις στα πρώτα χρόνια; δ) Πόσες θα είναι οι πωλήσεις στο χρονικό διάστημα από τον ο μέχρι και τον 6 ο χρόνο; BZ/56Σύμφωνα με την κλίμακα Richter το μέγεθος ενός σεισμού εντάσεως I δίνεται από τον τύπο R = log I όπου I 0 είναι ορισμένη I0 ελάχιστη ένταση α) Να εκφράσετε το I ως συνάρτηση των R και I 0 β) Βρείτε το μέγεθος ενός σεισμού έντασης I = 0000I0

73 Άλγεβρα Β Λυκείου Λογάριθμοι γ) Πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η ένταση ενός σεισμού από την ένταση ενός άλλου σεισμού που είναι μικρότερος κατά μία μονάδα Richter ; BZ/57Ο αριθμός των βακτηριδίων που εμφανίζονται σε μια καλλιέργεια μετά από t μέρες δίνεται από τη συνάρτηση : t ln 5 = 0, όπου 0 Qt () Q e Q ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων Πόσος χρόνος θα περάσει ώστε ο αριθμός των βακτηριδίων να εννεαπλασιαστεί; BZ/58Οι πωλήσεις Qt () ενός προϊόντος σε διάστημα t ετών μετά την εισαγωγή του στην αγορά δίνονται από τη συνάρτηση : Qt () ( e βt ) =α Αν οι πωλήσεις κατά το ο εξάμηνο ανήλθαν σε 54 μονάδες και κατά το ο έτος σε 7 μονάδες, τότε: Α) να βρείτε τα αβ, Β) για α= 8 και β= ln να βρείτε σε πόσα έτη από την εισαγωγή του στην αγορά οι πωλήσεις θα είναι 80 μονάδες Γ) να βρείτε πόσα έτη χρειάζονται το πολύ ώστε οι πωλήσεις να είναι τουλάχιστον 60 μονάδες BZ/59 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) f = α Α) Να βρείτε το α ώστε η f να ορίζεται σε όλο το Β) Βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα C να διέρχεται από το σημείο ( ) Γ) Βρείτε το α ώστε η f Α,e Δ) Για α= e + λύστε την εξίσωση: ln f( ) + ln f( ) 6 = 0 καθώς και την ανίσωση f(ln ) f(ln ) + < 0 e + BZ/60 Δίνεται η συνάρτηση f( ) =α που η γραφική της e παράσταση διέρχεται από το σημείο Α (ln,) Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Β) Να αποδείξετε ότι α= Γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή Δ) Να λυθεί η ανίσωση f( ) > ΒΖ/6 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) ln( e ) = Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β) Λύστε την εξίσωση: f( ) = ln Γ) Βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα Δ) Συγκρίνετε τους αριθμούς f (ln ) και f ()

74 Άλγεβρα Β Λυκείου Ε) Λύστε την εξίσωση f( ) f( ) = f() ΣΤ) Να λυθεί η ανίσωση: e f ( ) f ( ) + e > 0 BZ/6Δίνεται η συνάρτηση f( ) ln ( e ) = +α, α A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f B) Aν η C f διέρχεται από το σημείο Α (ln,) : i) Να δείξετε ότι α= ii) Βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες iii) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα iv) Λύστε την εξίσωση: f( ) = f ( ) f ( ) Λογάριθμοι v) Λύστε την ανίσωση: e + e + > 0 ΒΖ/6 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = ln + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β) Λύστε την εξίσωση: f( ) = 0 Γ) Λύστε την ανίσωση: f( ) < ln 5 BZ/64Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ln + Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή Γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f (0) και f Δ) Λύστε την: f( ) + f( + ) = 0 (4 ο θέμα εξετάσεων Ιουλίου 00) 4 BZ/65Δίνεται η f( ) =α (log ) + 8(log ) log(00 ), > 0 με α Α) Αν f (0) = 5, να δείξετε ότι α= Β) Για την τιμή α= να: Β) δείξτε ότι η ( ) f γράφεται στη μορφή f( ) = ( log + 4log ) Β) να λύσετε την εξίσωση f( ) = 0 ( ο θέμα εξετάσεων Σεπτεμβρίου 00) BZ/66O τρίτος όρος μιας αριθμητικής προόδου ( ) ν α είναι ίσος με α = log5 και η διαφορά της είναι ίση με ω= log 5 Α) Δείξτε ότι ο πρώτος όρος α της προόδου είναι ίσος με τη διαφορά ω Β) Να υπολογίσετε το άθροισμα Α = α +α + +α 9

75 Άλγεβρα Β Λυκείου Γ) Έστω ( ) ν Λογάριθμοι β μια γεωμετρική πρόοδος με β =α και β =α όπου α και α ο πρώτος και ο δεύτερος όρος της παραπάνω αριθμητικής προόδου αντίστοιχα Υπολογίσετε το άθροισμα Β=β +β +β + +β +β ( ο θέμα Πανελλαδικών 00) BZ/67Έστω Qt () η τιμή ενός προϊόντος (σε εκατοντάδες χιλιάδες δραχμές), t έτη μετά την κυκλοφορία του προϊόντος στην αγορά Η αρχική τιμή του προϊόντος ήταν δραχμές, ενώ μετά από 6 μήνες η τιμή του είχε μειωθεί στο μισό της αρχικής του τιμής Αν είναι γνωστό ότι ισχύει : ln Qt ( ) =α t+β, t 0 όπου α, β, τότε : Α) να δείξετε ότι Qt () = 4 t, t 0 Β) να βρείτε σε πόσο χρόνο η τιμή του προϊόντος θα γίνει ίση με το /6 της αρχικής του τιμής Γ) να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιμή του προϊόντος δεν υπερβαίνει το /9 της αρχικής του τιμής (4 ο θέμα, Πανελλαδικές 00) e ΒΖ/68Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ln e + 5 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f( ) Β) Να λύσετε την εξίσωση f( ) = ln Γ) Να λύσετε την ανίσωση f( ) > 0 (4 ο θέμα Πανελλαδικών 00) ΒΖ/69 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = ln ( 5 ) Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β) Βρείτε πού η C f τέμνει τους άξονες Γ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = ln Δ) Λύστε την ανίσωση: f( ) > 0 6 ΒΖ/70 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = log 4 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β) Βρείτε πού η C f τέμνει τους άξονες Γ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = log Δ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = log ΒΖ/7 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = log + log5 log 4 +λ, το οποίο έχει παράγοντα το Α) Να αποδείξετε ότι λ= 4 Β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το +

76 Άλγεβρα Β Λυκείου ΒΖ/7 Δίνονται οι συναρτήσεις f( ) ln( e e ) g ( ) = ln + ln( e ) = + και Λογάριθμοι α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f( ) και g ( ) β Να λύσετε την εξίσωση f( ) = g ( ) γ Να λύσετε την ανίσωση f( ) > g ( )(4 ο θέμα Πανελλαδικών 00) ΒΖ/7 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) ln(6 ) ln( ) = + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β) Δείξτε ότι f (0) = ln + ln 4ln Γ) Βρείτε που η C f τέμνει τον άξονα ' Δ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = ln + ln ΒΖ/74 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) log( ) log( 8) = + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β) Δείξτε ότι f (0) = log9 log5 Γ) Βρείτε που η C f τέμνει τον άξονα ' Δ) Βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα '

77 ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΓΑΛΕΩ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ Σ - Λ στην τριγωνομετρία π ) Η συνάρτηση f( ) = ηµ 4 είναι περιοδική με περίοδο Τ= ) Η συνάρτηση f( ) = εϕ είναι περιοδική με περίοδο Τ= π ) Η συνάρτηση f( ) = ηµ + έχει μέγιστο το 4) Ισχύει: ηµ = ηµα = κπ ± α, κ 5) Η συνάρτηση f( ) = εϕ έχει πεδίο ορισμού το 6) Η εξίσωση: εϕ = είναι αδύνατη 7) Η συνάρτηση f( ) = ηµ + έχει πεδίο ορισμού το 8) Η εξίσωση συν = είναι αδύνατη 9) Ισχύει εϕ = εϕα = κπ + α, κ Σ Λ στα πολυώνυμα ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ ( ) με το ρ είναι: υ=ρρ ( ) ) Το πολυώνυμο P ( ) διαιρείται με το ρ αν ισχύει: Ρρ ( ) = 0 4 ) Υπάρχει ακέραιος λ ώστε το πολυώνυμο Ρ ( ) = λ + να έχει ρίζα το 4) Υπάρχει ακέραιος λ ώστε το πολυώνυμο P ( ) = λ + να έχει ρίζα το 5 5) Υπάρχει λ ώστε το πολυώνυμο Ρ ( ) = +λ + 4 να έχει παράγοντα το 4 6) Το πολυώνυμο Ρ ( ) =λ + + +λ είναι 4 ου βαθμού ανεξάρτητα από τις τιμές που μπορεί να πάρει το λ 4 7) Η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου Ρ ( ) = +λ + + λ, για =, είναι 4 8) Το πολυώνυμο: Ρ ( ) =λ λ 8λ+ 6 έχει ρίζα το 9) Το ρ είναι παράγοντας του πολυωνύμου Ρ ( ) αν το ρ είναι ρίζα του Ρ ( ) 0) Υπάρχει µ ώστε το 0 να είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ ( ) = + + +µ +

78 ) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ ( ) με το + + είναι λ + +λ, τότε λ= 0 ) Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) διαιρεί το Π ( ) αλλά και το R, ( ) τότε θα διαιρεί και το Π ( ) + R ( ) ) Στη διαίρεση πολυωνύμων το υπόλοιπο πρέπει να είναι βαθμού μικρότερου από το βαθμό του πηλίκου 4) Κάθε αριθμός α 0 μπορεί να θεωρηθεί πολυώνυμο μηδενικού βαθμού 5) Το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού 6) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ( ) : ( ) είναι, τότε το διαιρεί το πολυώνυμο R ( ) = Ρ( ) 7) Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) είναι ου βαθμού και το Q ( ) ου, τότε το Ρ( ) Q ( ) είναι 6 ου βαθμού 8) Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) είναι ου βαθμού και το Q ( ) ου, τότε το Ρ ( ) + Q ( ) είναι 5 ου βαθμού Σ Λ στις εκθετικές και λογαριθμικές ) Ισχύει log a( θ +θ ) = log aθlogaθ με θ, θ >0 και 0 <α ) Η συνάρτηση: f( ) =, είναι γνησίως αύξουσα στο ) Για κάθε, > 0 ισχύει: < ln < ln ln θ 4) Αν θ, θ > 0, τότε ισχύει: ln( θ θ ) = ln θ 5) Η συνάρτηση f( ) = α ονομάζεται εκθετική αν α> 0 και α 6) Ισχύει: log( ) = log log για κάθε, > 0 7) Ισχύει: log( + ) = log + log για κάθε, > 0 8) Ισχύει: ln e = 9) Η συνάρτηση f( ) = ln είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ) k 0) Για κάθε θ θετικό και k ισχύει: logθ = k + logθ y ) Ισχύει: < < y για κάθε y, ) Αν 0< < τότε ln < 0 ) Είναι: log0 v = v 4) Η συνάρτηση: f( ) = ( e ) είναι γνησίως φθίνουσα στο 5) Ισχύει η ισοδυναμία: logθ= e =θ

79 6) Ισχύει: ln = ln 7) Ισχύει: ln > 0 > 8) Ισχύει: log0 = 0 9) Ο log παίρνει μόνο θετικές τιμές 0) Η συνάρτηση f( ) = e έχει πεδίο ορισμού το (0, + ) ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f( ) = ln και f( ) = e είναι καμπύλες συμμετρικές ως προς την ευθεία: y = ) Όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της f( ) = ln ανήκουν στο ο ή το 4 ο τεταρτημόριο f( ) = ln + e παίρνει θετικές τιμές για κάθε ) Η συνάρτηση ( ) AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Σ Λ Σ 4 Λ 5 Λ 6 Σ 7 Σ 8 Σ 9 Λ Σ Σ Λ 4 Λ 5 Λ 6 Λ 7 Σ 8 Σ 9 Σ 0 Λ Σ Σ Λ 4 Σ 5 Λ 6 Σ 7 Λ 8 Λ Λ Σ Σ 4 Λ 5 Σ 6 Λ 7 Λ 8 Σ 9 Σ 0 Λ Λ Σ Σ 4 Σ 5 Λ 6 Σ 7 Σ 8 Λ 9 Λ 0 Λ Σ Σ Σ

80 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Ασκήσεις Επανάληψης Προτεινόμενα Θέματα στην Άλγεβρα της Β Λυκείου BΤ/0 Αν f( ) = ηµ + : Α) Βρείτε την περίοδο της συνάρτησης Β) Βρείτε το ελάχιστό και το μέγιστό της Γ) Για ποια τιμή του ( 0, π ) η f παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της; 5 Δ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = Ε) Λύστε την εξίσωση: ηµ + f( ) + = 0 ΒΤ/0 Αν f( ) = συν Α) Βρείτε την περίοδο της συνάρτησης Β) Βρείτε το ελάχιστό της καθώς και το σημείο 0 [ 0,π ] στο οποίο το παρουσιάζει π Γ) Λύστε την εξίσωση; f( ) f = 0 ΒΤ/0 Αν η συνάρτηση f( ) = α + βηµα με α> 0, β> 0, έχει π περίοδο Τ= και έχει μέγιστο το 6: Α) Βρείτε τα α, β Β) Βρείτε το σύνολο των τιμών της π Γ) Λύστε την εξίσωση; f f + = 0 4 ΒΤ/04 Δίνεται το πολυώνυμο: P ( ) = α +β, α, β A) Αν το πολυώνυμο P ( ) έχει ρίζα τον αριθμό και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( ) με το είναι, να αποδειχθεί ότι α = 7 και β = B) Για τις τιμές α = 7 και β = να λυθεί η ανίσωση P ( ) 0 ΒΤ/05 Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = +α +β έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες βρείτε τα α, β και λύστε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 και την ανίσωση Ρ ( ) < +

81 Άλγεβρα Β Λυκείου ΒΤ/06 Αν Ασκήσεις Επανάληψης Ρ ( ) = 4 +α: Α) Βρείτε το α ώστε το να είναι παράγοντας του P ( ) Β) Λύστε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 Γ) Λύστε την ανίσωση Ρ ( ) < 0 Δ) Να γίνει η διαίρεση ( ): ( ) Ρ και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης Ε) Να λυθεί η ανίσωση Ρ ( ) < 0+ 5 ΒΤ/07 Δίνεται το πολυώνυμο: P ( ) = Aν οι ρίζες του είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου και η μικρότερη ρίζα είναι ο ος της όρος βρείτε τον α 7, το S 7 και το S =α +α + +α 4 7 ΒΤ/08 Αν το πολυώνυμο: P 4 ( ) ( ) = + logα 7 με α> 999 έχει παράγοντα το, τότε: A) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού α B) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P ( ) : ( ) P (0) + 8 Γ) Να αποδειχθεί ότι: log = 9 Δ) Να λυθεί η ανίσωση: Ρ ( ) > 8 ΒΤ/09 Αν το πολυώνυμο P ( ) = +α 5+β, α, β, διαιρείται με το ( ) : Α) Δείξτε ότι α= και β= Β) Για α=, β= λύσε την εξίσωση: P ( ) = 0 Γ) Για α=, β= λύσε την ανίσωση: P ( ) < 0 BΤ/0 Έστω ( ) ( ) f = α, α Α) Βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να ορίζεται σε όλο το Β) Βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα στο Γ) Αν 4 ΒΤ/ Αν το <α< λύστε την ανίσωση: f ( ) >α P ( ) = +α β +, α, β έχει αρνητική ακέραια ρίζα και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι 6: Α) Βρείτε τα αβ, Β) Λύστε την εξίσωση: P ( ) = 0 Γ) Λύστε την ανίσωση: P ( ) < 0 Δ) Λύστε την εξίσωση: P ( ) = 6 ΒΤ/ Αν το ( ) P ( ) = + ηµ θ +, θ ( 0, ) + ηµθ, βρείτε το θ και λύστε την ανίσωση: Ρ ( ) < 0 π διαιρείται με το

82 Άλγεβρα Β Λυκείου ΒΤ/ Αν το Ασκήσεις Επανάληψης P ( ) = α +β διαιρούμενο με το 4 δίνει υπόλοιπο γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης και: Α) Βρείτε τα P () και P( ) Β) Βρείτε τα α, β Γ) Κάνετε τη διαίρεση ( ):( 4) P και γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης Δ) Λύστε την ανίσωση: P ( ) > 4 BΤ/4 Aν το πολυώνυμο P( ) = + + k + 4, k διαιρούμενο με το δίνει υπόλοιπο, τότε: Α) Βρείτε το k Β) Για την παραπάνω τιμή του k να γίνει η παραπάνω διαίρεση και να γράψετε την ταυτότητά της Γ) Να λυθεί η ανίσωση: P ( ) < BΤ/5 Aν το πολυώνυμο Ρ ( ) = +α +β διαιρείται με το ( )( ) βρείτε τα α, β και λύστε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 και την ανίσωση: Ρ ( ) < 0 BΤ/6 Aν η διαίρεση ( ): ( ) Ρ έχει υπόλοιπο + και το μηδέν είναι ρίζα του Ρ ( ) βρείτε το Ρ () και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) Ρ( ): BΤ/7 Δίνεται το πολυώνυμο: Ρ ( ) = + + ( α ) +β+ 5 A) Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) έχει παράγοντα το, και διαιρούμενο με το + να αφήνει υπόλοιπο 6, δείξτε ότι: α= και β= B) Αν α= και β= λύστε την ανίσωση: Ρ ( ) < 0 BΤ/8 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = +α +β + 6, α, β Α) Να βρείτε τις τιμές των α και β ώστε το πολυώνυμο Ρ ( ) να έχει παράγοντα το + και η αριθμητική τιμή του για = να ισούται με Β) Αν α = και β = να λύσετε την ανίσωση: Ρ ( ) < 0 Γ) Αν α = και β = να γίνει η διαίρεση Ρ( ) : ( ) και να γράψετε την ταυτότητά της Δ) Να λύσετε την εξίσωση Ρ ( ) = BΤ/9 Το Ρ ( ) = ( α+β ) + ( α+ β 6) + α+ β έχει παράγοντα το ενώ διαιρούμενο με το + αφήνει υπόλοιπο 8 Α) Να βρεθούν οι τιμές των α και β Β) Να γίνει το Ρ ( ) γινόμενο Γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ ( ) > 0

83 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης BΤ/0 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) =α + ( β+ ) 6 Α) Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντα το + και οι α, β,7 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να δείξετε ότι α= και β= 4 Β) Για τις τιμές των αβ, που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα να λύσετε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 Γ) Για τις ίδιες τιμές να λύσετε την ανίσωση Ρ ( ) > 0 BΤ/ Θεωρώ το πολυώνυμο: Ρ ( ) = 4 α 5+ α+, με α 0 και ρίζα το Α) Δείξτε ότι α= Β) Λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = 0 Γ) Λύστε την ανίσωση Ρ ( ) < Δ) Λύστε την εξίσωση: BΤ/ Α) Δείξτε ότι αν,, 4 + =Ρ ( ) αβγ διαδοχικοί όροι Αριθμητικής προόδου τότε ισχύει: α+γ= β Β)Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) =κ + ( λ+ ) 6, κ, λ Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το = και οι κλ,,7 είναι διαδοχικοί όροι Αριθμητικής προόδου να δείξετε ότι κ= και λ= 4 Για τις τιμές των κλ, από το προηγούμενο ερώτημα να λύσετε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 Να λύσετε την ανίσωση Ρ ( ) > 0 αν κ= και λ= 4 BΤ/ Έστω Ρ ( ) = λ + 5, λ, να αποδείξετε ότι: Α) Αν το Ρ ( ) έχει παράγοντα το, τότε λ= 9 Β) Λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = 0 Γ) Λύστε την ανίσωση: Ρ ( ) < 0 Δ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης Ρ ( ) = 0 είναι οι τρεις πρώτοι όροι μιας αύξουσας Αριθμητικής Προόδου, βρείτε τον ο όρο της και το άθροισμα των πρώτων όρων της BΤ/4 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) = +α με το είναι, βρείτε το α, γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης και λύστε την ανίσωση: Ρ ( ) < 4 BΤ/5 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) = α +β με το + είναι +, βρείτε τα α, β, γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης και λύστε την ανίσωση: Ρ ( ) < +

84 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης 4 BΤ/6 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) = 6 +α με το είναι β 0, βρείτε τα α, β, γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης και λύστε την ανίσωση: Ρ ( ) < 0 BΤ/7Αν 5 4 Ρ ( ) = ( λ ) + λ 5 +α +λβ είναι 4 ου βαθμού και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το + είναι, βρείτε τα λ, α, β, λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = 0 και την ανίσωση: Ρ( ) 0 BΤ/8 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του 5 4 Ρ ( ) = + 8 +α +β με το είναι + : Α) δείξτε ότι α=, β= Β) Να γίνει η παραπάνω διαίρεση και να γράψετε την ταυτότητα της Γ) Λύστε την ανίσωση: Ρ ( ) < + BΤ/9 Αν το πολυώνυμο: Ρ ( ) = +α +β έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες, βρείτε τα α, β και λύστε την ανίσωση: ( ) Ρ( ) 9 < 0 BΤ/0 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης που ορίζει το πολυώνυμο: Ρ ( ) =λ + λ λ τέμνει τον άξονα στο σημείο Α (, 0), βρείτε το λ Για αυτή την τιμή του λ βρείτε όλα τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον καθώς και όλα τα διαστήματα στα οποία η γραφ παράσταση βρίσκεται πάνω από τον BΤ/ Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( ) Ρ με το + είναι : Α) Γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης Β) Βρείτε τα Ρ (0) και Ρ ( ) Γ) Αν το ( ) Ρ είναι ου βαθμού και η διαίρεση ( ): ( ) Ρ αφήνει υπόλοιπο 5 + 4, βρείτε το βαθμό του πηλίκου αυτής της διαίρεσης, καθώς και το Ρ ( ) BΤ/ Έστω Ρ ( ) = 7+ k, k Α) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το είναι - να δείξετε ότι k = 6 Β) Αν k = 6 λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = 0 Γ) Αν k = 6 λύστε την ανίσωση: Ρ ( ) > 0 ln ln Δ) Λύστε την ανίσωση: e 7e 6< 0

85 Άλγεβρα Β Λυκείου BΤ/ Έστω Ρ ( ) = 4 + k, k Ασκήσεις Επανάληψης Α) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το είναι 7, βρείτε το k Β) Αν k = να γίνει η διαίρεση Ρ( ) : ( ) και να γραφεί η ταυτότητά της Γ) Αν k = λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = Δ) Αν ( + ) Ρ( ) < 0 k = λύστε την ανίσωση: ( ) BΤ/4 Έστω Ρ ( ) = k, k Α) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ( ) : ( ) είναι 8, δείξτε ότι k = Β) Αν k = κάνετε τη διαίρεση Ρ ( ) : (+ ) και γράψτε την ταυτότητά της Γ) Αν k = λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = Δ) Αν k = λύστε την ανίσωση: Ρ ( ) > BΤ/5 Έστω 4 Ρ ( ) = α +β +,, α β Α) Αν το Ρ ( ) έχει παράγοντα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το + είναι 8, βρείτε το αβ, Β) Αν α= 5 και β= λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = 0 Γ) Αν α= 5 και β= λύστε την ανίσωση: Ρ ( ) < 0 BΤ/6 Βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου με άθροισμα 70 και τέτοιους ώστε αν πολλαπλασιάσω τους δύο άκρους με 4 και τον μεσαίο με 5 να προκύπτει γεωμετρική πρόοδος ΒΤ/7 Αν ( ) ln( f = e ) A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f B) Λύστε την εξίσωση: f( ) = ln ΒΤ/8 Αν f( ) = ln( 9 e ) A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Δείξτε ότι f () < 0 Γ) Λύστε την ανίσωση: f( ) > + ln ΒΤ/9 Αν f( ) = ln ln( ) A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Βρείτε τα σημεία όπου η γραφική της παράσταση τέμνει τους άξονες Γ) Λύστε την ανίσωση: f( e) < 0 BΤ/40Δίνεται η συνάρτηση f( ) = log log( ) Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

86 Άλγεβρα Β Λυκείου Β) Λύστε την εξίσωση: f( ) = 0 Γ) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Δ) Λύστε την ανίσωση: f ( ) ΒΤ/4 Αν ( ) ( ln ) 7 + < 0 f = α, ( 0, ) α + A) Βρείτε το α ώστε η f να ορίζεται σε όλο το Β) Βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα Ασκήσεις Επανάληψης Γ) Βρείτε το α ώστε η γραφ παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ (,4) ΒΤ/4 Αν f( ) = ( ln α ), ( 0, ) α + A) Βρείτε το α ώστε η f να ορίζεται σε όλο το Β) Βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα Γ) Βρείτε το α ώστε η γραφ παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ (,5) ΒΤ/4 Αν f( ) = ( ln α ), ( 0, ) α + A) Βρείτε το α ώστε η f να ορίζεται σε όλο το Β) Βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα Γ) Βρείτε το α ώστε η γραφ παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ (,) ΒΤ/44 Δίνεται η συνάρτηση ( ) log( 0 ) f = + Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β) Δείξτε ότι είναι γνησίως αύξουσα Γ) Να λυθεί την εξίσωση: f( ) = log + f( ) f ( ) f ( ) Δ) Να λυθεί την ανίσωση: > 6 7 ΒΤ/45 Δίνεται η συνάρτηση ( ) log f = Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β) Να λυθεί η εξίσωση: f( ) = log Β) Να λυθεί η ανίσωση: f( ) < 0 4 ΒΤ/46 Έστω f( ) = ln Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Λύστε την εξίσωση f( ) + ln = 0 Γ) Λύστε την ανίσωση f( ) < 0

87 Άλγεβρα Β Λυκείου ΒΤ/47 Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: ( ) ( ) f( ) = ln + ln + ΒΤ/48 Έστω f( ) = ln( e ) Ασκήσεις Επανάληψης Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Δείξτε ότι είναι γνησίως αύξουσα Γ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = ln 7 + f( ) Δ) Αν f( α), f( β), f( γ ) διαδοχικοί όροι Αριθμητικής Προόδου να β α γ αποδείξετε ότι: ( e ) ( e ) ( e ) ΒΤ/49 Αν f( ) = log( 8) = Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Δείξτε ότι είναι γνησίως αύξουσα Γ) Βρείτε σε ποια διαστήματα η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα Δ) Να λυθεί η εξίσωση: f( ) + log = log9 Ε) Δείξτε ότι δεν υπάρχει στο πεδίο ορισμού της f τέτοιο που να ισχύει: f( ) = f( ) + log log ΒΤ/50 Σε Αριθμητική Πρόοδο α ν έχουμε πρώτο όρο θ α = εϕ και διαφορά ω= ηµθ Α) Ποιος όρος της ισούται με + 6 ; + συνθ θ 0, π ώστε το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της να Β) Βρείτε το ( ) ισούται με 6 ΒΤ/5 Λύστε τις εξισώσεις: ln ln ln ln + ln log Α) 4 e = 0 Β) 00 = 0 BΤ/5 Να λυθούν οι ανισώσεις: + ln ln Α) < Β) e e < Γ) < e e f( ) = ln e e BΤ/5 Δίνεται ή συνάρτηση ( ) A) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της B) Να λυθεί η εξίσωση f( ) =

88 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης BΤ/54 Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ln + Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f με τον άξονα Γ) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω από τον άξονα BΤ/55 Οι αριθμοί α = +, α = 6 και α = είναι οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου Α) Να αποδείξετε ότι = Β) Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου Γ) Να υπολογίσετε τον δέκατο όρο α 0 της προόδου Δ) Να υπολογίσετε το άθροισμα S 0 των δέκα πρώτων όρων της προόδου BΤ/56 Θεωρούμε τη συνάρτηση: ( ) ln ( ) f = e e + k, k Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α (ln e, 0) να αποδείξετε ότι k = Γ) Αν k = λύστε την εξίσωση f( ) = 0 Δ) Αν k = λύστε την ανίσωση f(ln ) > ln( e ) log + BΤ/57 Aν f( ) = τότε: log Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Βρείτε τα σημεία όπου η f τέμνει τον άξονα Γ) Λύστε την εξίσωση f( ) = log Δ) Λύστε την ανίσωση: f( ) Ε) Δείξτε ότι f( ) f = α α BΤ/58 Αν f( ) =, α α A) Βρείτε το α ώστε η f να ορίζεται σε όλο το Β) Βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα Γ) Βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα

89 Άλγεβρα Β Λυκείου 8 Δ) Αν f () = και α ακέραιος λύστε την ανίσωση: 7 f ( ) 5 f( ) + < 0 BΤ/59 Αν ( ) f( ) = 6α + α + 6α+, α A) Βρείτε το α ώστε η f να ορίζεται σε όλο το Β) Βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα Γ) Βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα 4 Δ) Αν α= λύστε την ανίσωση: f( ) < 8 BΤ/60 Aν f( ) = ln + τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να συγκρίνετε τα f () και f () Γ) Λύστε την εξίσωση f( ) + f( + ) = ln Δ) Λύστε την ανίσωση: f( ) < f( ) BΤ/6 Aν f( ) log( log ) = τότε: Ασκήσεις Επανάληψης Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Βρείτε τα σημεία όπου η f τέμνει τον άξονα Γ) Βρείτα τα διαστήματα όπου η C f βρίσκεται πάνω από τον άξονα Δ) Λύστε την εξίσωση f(5 ) = log Ε) Λύστε την ανίσωση: f ( ) f ( ) BΤ/6 Αν f( ) = log( + 9 ) +α+β,, < 0 α β, για την οποία ισχύει: f (0) = 0 και f () = 0 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Βρείτε τα αβ, Γ) Δείξτε ότι: + 9 f( ) = log 5 BΤ/6 Αν ( ) ln 4 9 f = : Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Βρείτε το α αν οι αριθμοί ln 5, f ( α ) και α ln 6 είναι διαδοχικοί όροι ΑΠ Γ) Για την τιμή του α που βρήκατε, λύστε την ανίσωση: log log y + log log y +α+ > 0 ( ) ( )

90 Άλγεβρα Β Λυκείου BΤ/64 Αν Ασκήσεις Επανάληψης ln f( ) = e α +, α : Α) Εξετάστε αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων Β) Αν f () = βρείτε το α Γ) Αν α= ln 4 δείξτε ότι: f( ) = Δ) Λύστε την εξίσωση: f() = BΤ/65 Aν f( ) log( 0 ) = τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Βρείτε τα σημεία όπου η C f τέμνει τους άξονες Γ) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία 99 Δ) Λύστε την εξίσωση: 8 = f 0 BΤ/66 Aν f( ) = log( + ) +α, α τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Αν η C f τέμνει τον στο σημείο Β (9,0) δείξτε ότι: α= Γ) Αν α= βρείτε πού η C f τέμνει τους άξονες Δ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = log, για α= ΒΤ/67 Αν f( ) = συν + 4 Α) Βρείτε την περίοδο της συνάρτησης Β) Βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστό της Γ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = 0 π Δ) Λύστε την εξίσωση; f(4 ) f = 0 ΒΤ/68 Θεωρούμε τα πολυώνυμα P ( ) = +α + και R ( ) = +β 4+ 4 με ακέραιους συντελεστές Α) Αν έχουν θετική κοινή ακέραια ρίζα, δείξτε ότι α= 4 και β= Β) Λύστε την εξίσωση: R ( ) = 0 Γ) Βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P ( ) : ( ) και στη συνέχεια λύστε την ανίσωση: P ( ) ΒΤ/69 Αν f( ) = ln( ) Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f

91 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Β) Βρείτε σε ποια διαστήματα η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα Γ) Αποδείξτε ότι είναι γνησίως αύξουσα Δ) Να λυθεί η εξίσωση: f( ) + ln = ln 4 ln Ε) Να λυθεί η εξίσωση: f( ) + f( ) = f() ΣΤ) Να λυθεί η ανίσωση: f( ) f( ) > ln ln ΒΤ/70 Αν f( ) log( log ) = Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f B) Λύστε την εξίσωση: f( ) = Γ) Λύστε την ανίσωση: f( ) > 0 ΒΤ/7 Αν f( ) = ln + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Δείξτε ότι η f είναι περιττή Γ) Λύστε την εξίσωση: f( ) + f( + ) = 0 ΒΤ/7 Δίνεται η περιοδική συνάρτηση f( ) Α) Βρείτε την περίοδό της Β) Βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστό της, Γ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = Δ) Να λυθεί η εξίσωση ηµ + f( ) 5= 0 ΒΤ/7 Αν ( ) ln( ) f = e + k, k = ηµ + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α (ln,) να δείξετε ότι k = Γ) Για k = να λυθεί η εξίσωση: f( ) f( ) = f(ln8) Δ) Να λυθεί η ανίσωση f( ) > 0 ΒΤ/74 Δίνεται το πολυώνυμο: P ( ) = 6 +α + 0 Α) Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το δείξτε ότι: α= Β) Για α= λύστε την εξίσωση P ( ) = 0 Γ) Για α= λύστε την ανίσωση P ( ) 0 Δ) Αν οι ρίζες του πολυωνύμου είναι οι τρεις πρώτοι όροι αύξουσας α, βρείτε τον 5 ο όρο της προόδου και το αριθμητικής προόδου ( ) ν άθροισμα των 5 πρώτων όρων της Ποιος όρος της προόδου ισούται με 59;

92 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης 4 ΒΤ/75 Δίνεται το πολυώνυμο: Ρ ( ) = 4 + ( α+β ) +α β, α, β Α) Αν Ρ () = και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το είναι 9, δείξτε ότι α= 4 και β= Β) Για α= 4 και β= λύστε την εξίσωση Ρ ( ) = + Γ) Για α= 4 και β= να γίνει η διαίρεση Ρ( ) : ( ) και να γράψετε την ταυτότητά της Δ) Για α= 4 και β= να λύσετε την ανίσωση: Ρ ( ) < ΒΤ/76 Έστω f( ) log( ) = + συν Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Λύστε την εξίσωση: f( ) = log log( συν ) στο π π, Γ) Βρείτε το ώστε οι log, log και f( ) να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ΒΤ/77 Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = + +α +β διαιρούμενο με το δίνει υπόλοιπο + : Α) Βρείτε τα α, β Β) Λύστε την ανίσωση Ρ( ) + ΒΤ/78 Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = + k + 4 διαιρούμενο με το δίνει υπόλοιπο : Α) Αποδείξτε ότι: k = 8 Β) Λύστε την ανίσωση: Ρ( ) 0 Γ) Λύστε την εξίσωση: συν + ηµ 8συν + = 0 στο διάστημα π π, + y =µ BT/79 Δίνεται το σύστημα:, λ + 5y = Α) Δείξτε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και να βρείτε, y η μοναδική λύση του συστήματος λύστε την ανίσωση: Β) Αν ( ) y0 < 5 y =µ BT/80 Δίνεται το σύστημα: + y = µ, µ A) Nα δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση (, ) να βρεθεί Β) Βρείτε το µ ώστε: 60 + y0 y η οποία και 0 0

93 Άλγεβρα Β Λυκείου BT/8 Δίνεται το σύστημα: + y =µ + 4y =, µ A) Nα δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση (, ) να βρεθεί 0 0 Β) Βρείτε το µ ώστε: ( ) ( y ) BT/8 Δίνεται το σύστημα: + 8 λ y = +λ y =λ, λ 0 0 A) Nα δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση (, ) να βρεθεί Ασκήσεις Επανάληψης y η οποία και y η οποία και 0 0 B) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g( λ ) = ( λ + )( + y ) Γ) Αν, ρ ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης g ( λ ) = 0 εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες =ρρ και 0 0, να κατασκευάσετε =ρρ BT/8 Α) Σε ένα γραμμικό σύστημα με δύο αγνώστους, ισχύει: 4D D ( ) Dy ( y, ) = (, ) να βρείτε το µ y = µ+ Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση Β) Αν f( ) = + 4 k, να βρείτε την τιμή του k ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα Γ) Για τις τιμές των λµ, που βρήκατε προηγουμένως να λύσετε την 8 ανίσωση: f( ) > µ BT/84 Σε ένα γραμμικό σύστημα με δύο αγνώστους y, ισχύει: D + D + 5D DD + 4DD = 0 Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση y y βρείτε τα y, BT/85 Σε ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους y, ισχύει: D + D + Dy = D+ 4D 5 Βρείτε τα y, BT/86 Αν ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους y, ισχύει: D + D + D = DD και D 0 βρείτε τα y, y λ + y =λ BT/87 Aν το σύστημα ( Σ) : + y = Α) Βρείτε τη μοναδική λύση Β) Βρείτε το λ ώστε y < έχει μοναδική λύση:

94 Άλγεβρα Β Λυκείου Γ) Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης: f( λ ) = y λ y=λ BT/88 Δίνεται το σύστημα: + ( λ ) y =λ Α) Βρείτε τις ορίζουσες: DD,, D y 0 0 Ασκήσεις Επανάληψης Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ το σύστημα έχει μοναδική λύση ( 0, y 0) η οποία και να βρεθεί Γ) Να βρεθεί το λ ώστε να ισχύει ή σχέση 0 + y0 λ y=λ BT/89 Δίνεται το σύστημα: ( Σ):, λ + λ y=λ Α) Υπολογίστε τις ορίζουσες D, D, D y του ( Σ ) Γ) Να υπολογίσετε τις τιμές του πραγματικού λ ώστε για τη λύση yτου, ( Σ) που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να ισχύει: Β) Να βρείτε τη λύση (, ) ( ) ( )( y)( ) λ + λ λ < 0 ( λ+ ) y= λ+ BT/90 Δίνεται το σύστημα: ( Σ): +λ y= A) Υπολογίστε τις ορίζουσες D, D, D Β) Δείξτε ότι το παραπάνω σύστημα έχει,για κάθε τιμή του πραγματικού, y αριθμού λ μοναδική λύση ( 0 0) Γ) Να βρεθεί η μοναδική λύση (, ) 0 y 0 Δ) Βρείτε τις τιμές του λ ώστε να ισχύει: 0 + y0 = 7 ( λ+ ) y= λ+ BT/9 Δίνεται το σύστημα: ( Σ): +λ y= A) Υπολογίστε τις ορίζουσες D, D, D Β) Δείξτε ότι το παραπάνω σύστημα έχει,για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ μοναδική λύση ( 0, y 0) Γ) Να βρεθεί η μοναδική λύση ( 0, y 0) Δ) Βρείτε τις τιμές του λ ώστε να ισχύει: 0 + y0 = 7 ( λ+ ) y =λ BT/9 Δίνεται το σύστημα: ( Σ):, λ + ( λ ) y = A) Υπολογίστε τις ορίζουσες D, D, D y y y y

95 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική, y και προσδιορίστε την λύση ( 0 0) Γ) Βρείτε τις τιμές του λ ώστε για τη μοναδική λύση (, ) 0 y0 να ισχύει: 0 + y0 < Δ) Για ποια τιμή του λ οι ευθείες: ( ε) : ( λ+ ) y =λ και ( η ) : + ( λ ) y = δεν έχουν κοινό σημείο; λ y = BT/9 Δίνεται το σύστημα, λ +λ y =λ Α) Να βρείτε τις ορίζουσες D, D, D B) Αποδείξτε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού λ έχει μοναδική λύση την οποία να βρείτε Γ) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες είναι ( λ ) D D < 4 BT/94Θεωρώ το σύστημα: y + y = t+ + y = 5t+ 4 Α Δείξτε ότι για κάθε t το σύστημα έχει μοναδική λύση ( 0, 0) Β Βρείτε τη μοναδική λύση του συστήματος (, y ) Γ Βρείτε τις τιμές του t ώστε: y0 < 7 Δ Λύστε την ανίσωση: ( ) ( ) + y 7 + y < y y BT/95 Θεωρούμε τη συνάρτηση f( ) = ln e Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού Β) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Γ) Δείξτε ότι η C f βρίσκεται κάτω από τον άξονα Δ) Λύστε την ανίσωση f( ) f( ) < ln + ln e Ε) Δείξτε ότι f(ln ) + f(ln ) + f(ln 4) + + f(ln ν ) = ln ν, ν BT/96 Αν Ρ ( ) = + + (logα ) logα, με 0 α> : Α) Δείξτε ότι η διαίρεση: Ρ( ) : ( ) είναι τέλεια Β) Βρείτε τις τιμές του α ώστε το Ρ ( ) να έχει τρεις διαφορετικές ρίζες Γ) Για α= 0 λύστε την ανίσωση: Ρ( ) 0 και την εξίσωση: Ρ( συν ) = ηµ

96 Άλγεβρα Β Λυκείου BT/97 Δίνεται η γωνία, με Ασκήσεις Επανάληψης, για την οποία ισχύει 5ημ 4συν 0 Α) Να αποδείξετε ότι συν 5 Β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 5π συν συν 7π Α π 7π 4εφ σφ BT/98Α) Να λύσετε την εξίσωση: Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Γ) Να λύσετε την εξίσωση: f( ) ln 4 f( ) ln 6 BT/99Δίνεται η συνάρτηση f log 6 log Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Β) Να λύσετε την εξίσωση: log 6 log log 0 Γ)Να λύσετε την ανίσωση : 4 BT/00 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln g log 9 και Α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g Β) Nα λύσετε την εξίσωση: f ln ln Γ) Nα λύσετε την ανίσωση: g g log BT/0 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln( f e e ) και g ( ) ln( e ) Α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g f( ) ln g Γ Να λύσετε την εξίσωση

97 Άλγεβρα Β Λυκείου Δ Να λύσετε την ανίσωση ( ) ln f g Ασκήσεις Επανάληψης log BT/0Α) Να δείξετε ότι: 8 log log log B Να λύσετε την εξίσωση: 8 0 BT/0 Θεωρούμε το πολυώνυμο: 4 Ρ( ) (α ) (α ) (4β ) 6, με, R Δίνεται επίσης ότι το πολυώνυμο Ρ( ) είναι ου βαθμού και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ( ) με το είναι - 4: A Να υπολογίσετε τα α,β B Για α και β, να λύσετε την ανίσωση Ρ( ) 0 π π ΒΤ/04 Δίνεται η παράσταση: Κ = ηµ + + ηµ Α) Να δείξετε ότι: Κ = ηµ π Β) Να λύσετε την εξίσωση: Κ = συν + 6 Γ) Να λύσετε την εξίσωση: ln Κ= 0 στο διάστημα (0, π ) Κ Δ) Να λύσετε την εξίσωση e = 0 e e ηµ ( π α) ΒΤ/05 Δίνονται οι παραστάσεις: Α= και + συν ( α ) Β = ηµ α συνα + συν α ηµα Α) Να δείξετε ότι: Α = εϕα και Β = ηµ α Β) Να λύσετε την εξίσωση: e Ασυνα+Β = 0 Α Α Γ) Να λύσετε την εξίσωση: 4 = ΒΤ/06 Δίνεται το πολυώνυμο: Ρ ( ) = 7 +α +β, το οποίο έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το + είναι 8 Α) Να δείξετε ότι α= 7 και β= Β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ( ηµ ) = 0 Γ) Να λύσετε την εξίσωση = log + log + log5 ΒΤ/07 Δίνεται ο αριθμός α= log + log50 A) Να δείξετε ότι α=

98 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης log 00 Β) Να λύσετε την εξίσωση ( log0000) α α = α 4 4 Γ) Να λύσετε την εξίσωση: ηµ συν = α π log ΒΤ/08 Για τη γωνία θ, π ισχύει ότι 00 ηµθ = 4 Α) Να δείξετε ότι ηµθ = 5 Β) Βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ Γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης ( 0 ) log 7 εϕθ Α= 0 συνθ log Δ) Να λύσετε την εξίσωση 5 0 = 5ηµ θ ΒΤ/09 Δίνονται οι συναρτήσεις f( ) = ηµ σϕ ηµ και g ( ) = log Α) Να δείξετε ότι ( ) + f = συν Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g Γ) Να λύσετε την εξίσωση f( ) + g(9) = 0 στο διάστημα [0, π ] ΒΤ/0 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = +α +β + 6, του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 0 και ακόμα ισχύει Ρ(0) Ρ = 0 Α)Να δείξετε ότι α= 5 και β= 8 Β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποίο η γραφική παράσταση του Ρ ( ) βρίσκεται πάνω από την ευθεία: ( ε ) : y = 0 ln(log5+ log 40) Γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το e ΒΤ/ Θεωρούμε τα πολυώνυμα ( ) Ρ ( ) = α και Q ( ) = α + +, όπου α> 0, τα οποία είναι ίσα Α) Να δείξετε ότι α= Β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Ρ ( ) = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες Ρ( ) Ρ( ) Γ) Να λύσετε την εξίσωση 5 5 = 0 4 ΒΤ/ Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = (ln κ+ ) + +α +β, το οποίο είναι ου βαθμού και έχει παράγοντα το 6 Α) Να δείξετε ότι κ=, α= 5 και β= 6 e

99 Άλγεβρα Β Λυκείου Β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 Γ) Να λύσετε την εξίσωση Ρ (ln ) = 0 Δ) Να λύσετε την εξίσωση: ηµ = 5( ηµ ) συν + ΒΤ/ Δίνεται το ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Επανάληψης Ρ = +α +β, πολυώνυμο του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι 9 και ο σταθερός όρος 7 Α) Να δείξετε ότι α= και β= 8 Έστω επιπλέον το πολυώνυμο, διαιρούμενο με το Q ( ) = 8 +λ + 0 το οποίο log α αφήνει υπόλοιπο ( e ) ln β 00 Β) Να δείξετε ότι λ= Γ) Να λύσετε την ανίσωση Q ( ) 0 π ΒΤ/4 Δίνονται οι f( ) = συν 4 + ηµ (π + 4 ) 7π g ( ) =ηµ + συν(7π ) Α) Να δείξετε ότι f( ) = ηµ 4 και g ( ) = συν Β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της f καθώς και για ποια παίρνει τη τιμή αυτή Γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της g, καθώς και για ποια παίρνει τη τιμή αυτή π Δ) Να λύσετε την εξίσωση f( ) + g ( ) = ln f 4 στο ( π, π ) ΒΤ/5 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = 5ηµθ + συν θ, π όπου θ 0,, το οποίο έχει παράγοντα το π εϕ 4 π Α) Να δείξετε ότι θ= 6 Β) Να λύσετε την ανίσωση Ρ ( ) > 0 Γ) Να λύστε την εξίσωση Ρ( συν ) = 0 α+ ΒΤ/6 Δίνεται η συνάρτηση f( ) = α Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του α η f είναι εκθετική συνάρτηση και

100 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α η f είναι γνησίως αύξουσα Γ) Για α= να λύσετε την ανίσωση f(+ ) 8 f( ) Δ) Για ln f( ) + ln f( ) + 6 = 4ln α= να λύσετε την εξίσωση ( ) ΒΤ/7Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( e ) ln( e 5) f = + Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να λύσετε την εξίσωση f( ) = ln Γ) Να λύσετε την ανίσωση f( ) > 0 ΒΤ/8 Για ποιες τιμές του θ δεν έχει ρίζες στο η εξίσωση: + logθ + + log θ= 0; ( ) ΒΤ/9 Αν, οι ρίζες της εξίσωσης + (log α) = 0: Α) Βρείτε τον α ώστε να ισχύει: + = Β) Για το α του Β) ερωτήματος λύστε την εξίσωση ΒΤ/0 Αν το πολυώνυμο 4 f( ) = (συνθ+ ) + ln α+ ln α+ με θ (0, π ) είναι ου βαθμού και έχει ρίζα το : π Α) Δείξετε ότι θ και α e Β) Βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης f( ): Γ) Να λύσετε την ανίσωση f( ) 5 5 ΒΤ/ Αν το πολυώνυμο f( ) = + α β έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσης του f( ) με το + είναι 6 Α) Δείξτε ότι α= και β= 4 Β) Δείξτε ότι Γ) Λύστε την εξίσωση ln ln α β = 5+ 4 ln ln 4 4 = ΒΤ/ Δίνονται οι συναρτήσεις f( ) = ln και ( ) g= ( ) ln Α) Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g Β) Λύστε την εξίσωση f( ) = g ( ) Γ) Συγκρίνετε τους αριθμούς f () και g () ΒΤ/ Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = ( α+ ) ( β+ ) + 4 έχει ρίζα το - και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το είναι -8: Α) Βρείτε τα α, β Β) Λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = 0 Γ) Να λυθεί η εξίσωση + 74 = + 4

101 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Δ) Αν Q ( ) =Ρ ( ) + + λύστε την εξίσωση: Q ( ) = 0 και την Q(ln ) = 0 ΒΤ/4 Αν ( ) ln( e e ) f = : Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Λύστε την εξίσωση: f( ) = + ln( e ) Γ) Λύστε την ανίσωση f( ) ln + + ΒΤ/5 Αν f( ) = ln( 4 ) και g ( ) ln( ) = : Α) Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Β) Λύστε την εξίσωση f( ) = g ( ) Γ) Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g + ΒΤ/6 Αν f( ) = ln( ) και () ln ( 7 ) Α) Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων ln + ln = f( ) Β) Λύστε την εξίσωση ( ) Γ) Λύστε την ανίσωση ln + f( ) g ( ) ΒΤ/7 Αν f( ) ln( e ) = + : g= + : Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και δείξτε ότι ο τύπος της γράφετε ( ) 4 ln( e e ) Β) Αν ( ) ln( e e ) f = g= με > 0, να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν κοινά σημεία Γ) Να λύσετε την ανίσωση f( ) ln ln( e ) π ΒΤ/8 Αν f( ) = ηµ (7π ) συν + + : Α) Απλοποιήστε τον τύπο της f Β) Βρείτε την περίοδο, το μέγιστο και το ελάχιστο της f Γ) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [ 0,π ] Δ) Λύστε την εξίσωση: f( ) =

102 Άλγεβρα Β Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης 5π 5π ΒΤ/9Α) Αν 7 ηµ (9 π ) 6συν + = 4συν και π < <π, υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου 7 5 Β) Αν 4 ( π ) π π π π συν + ηµ = ηµ + συν και π< <, 0 5 υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου