Save this PDF as:
Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Καλώς ήρθατε στην Πραγματική Ανάλυση! Χειμερινό Εξάμηνο

2 Μετρικοί χώροι Ορισμός Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: (i) ρ(x,y) 0 για κάθε x,y X και ρ(x,y) = 0 αν και μόνον αν x = y. (ii) ρ(x,y) = ρ(y,x) για κάθε x,y X. (iii) ρ(x,z) ρ(x,y) + ρ(y,z) για κάθε x,y,z X (τριγωνική ανισότητα). Το ζεύγος (X,ρ) λέγεται μετρικός χώρος.

3 Μετρικοί χώροι Παραδείγματα (α) Η συνήθης μετρική στο R είναι η d(x,y) = x y, x,y R. (β) Η Ευκλείδεια μετρική στον R m, τον χώρο των διατεταγμένων m-άδων x = (x 1,...,x m ) πραγματικών αριθμών, ορίζεται ως εξής: ρ 2 (x,y) = ( n i=1 ) 1/2 (x i y i ) 2.

4 Μετρικοί χώροι Παραδείγματα (γ) Κάθε μη κενό σύνολο X μπορεί να γίνει μετρικός χώρος κατά «τετριμμένο τρόπο»: Η συνάρτηση δ : X X R με { 1, x y δ(x,y) = 0, x = y είναι μετρική. Αυτή η μετρική λέγεται διακριτή μετρική. (δ) Στο ίδιο σύνολο X μπορούμε να ορίσουμε πολλές διαφορετικές μετρικές: Αν f : X R είναι 1-1, επάγει μια μετρική d f στο X ως εξής: d f (x,y) = f (x) f (y), x,y X.

5 Μετρικοί χώροι Παραδείγματα (ε) Ο n-διάστατος κύβος του Hamming. Θεωρούμε το σύνολο H n = {, } n = { (x 1,x 2,...,x n ) xi = ή, i = 1,...,n }. Θεωρούμε την h : H n H n R, όπου h(x,y) είναι το πλήθος των θέσεων στις οποίες διαφέρουν οι n-άδες x = (x 1,...,x n ) και y = (y 1,...,y n ), δηλαδή h(x,y) = card ({ 1 i n : x i y i }). Ο ( H n,h ) λέγεται κύβος του Hamming.

6 Μετρικοί χώροι Ορισμός (σχετική μετρική) Εστω (X,ρ) ένας μετρικός χώρος. Αν A X είναι μη κενό, η απεικόνιση ρ A : A A R με ρ A (x,y) = ρ(x,y), x,y A (ο περιορισμός της ρ στο A A) είναι μετρική στο σύνολο A, η σχετική μετρική που επάγεται από την ρ στο A. Ο (A,ρ A ) είναι μετρικός χώρος. Για παράδειγμα, κάθε μη κενό υποσύνολο του R είναι μετρικός χώρος με τον περιορισμό της συνήθους μετρικής σε αυτό.

7 Μετρικοί χώροι Ορισμός (διάμετρος) Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος. Ενα A X λέγεται φραγμένο αν υπάρχει C > 0 ώστε για κάθε x,y A να ισχύει ρ(x,y) C. Ισοδύναμα, αν sup{ρ(x,y) : x,y A} <. Αν αυτό συμβαίνει, τότε η διάμετρος του A είναι ο αριθμός diam(x ) := sup{ρ(x,y) : x,y A}. Ορίζουμε diam(/0) = 0. Αν το σύνολο {ρ(x,y) : x,y A} δεν είναι άνω φραγμένο τότε γράφουμε sup{ρ(x,y) : x,y A} = + ή diam(a) = +.

8 Μετρικοί χώροι: φραγμένοι και ξέφραγοι (α) Το R με τη συνήθη μετρική d(x,y) = x y δεν είναι φραγμένος μετρικός χώρος. (γ) Το R με τη μετρική σ(x,y) = x y 1 + x y, x,y R είναι φραγμένος μετρικός χώρος, αφού σ(x,y) < 1 για κάθε x,y R. Μάλιστα diam(r,σ) = 1. (δ) Αν δ είναι η διακριτή μετρική σε ένα σύνολο X, τότε ο μ.χ. (X,δ) είναι φραγμένος (και, αν X = { } τότε diam(x ) = 0, αλλιώς diam(x ) = 1).

9 Άσκηση Αν (X,d) μ.χ. και θέσω σ(x,y) = d(x,y) 1 + d(x,y), x,y X τότε η σ είναι μετρική στον X. Αποδ. Πρτρ. σ(x,y) = f (d(x,y)) όπου f (t) = t 1+t, t 0. Η f είναι αύξουσα, άρα, αφού d(x,y) d(x,z) + d(z,y) έχω f (d(x,y)) f (d(x,z) + d(z,y)), δηλαδή = σ(x,y) d(x,z) + d(z,y) 1 + d(x,z) + d(z,y) d(x, z) 1 + d(x,z) + d(z,y) + d(z,y) 1 + d(x,z) + d(z,y) d(x,z) 1 + d(x,z) + d(z,y) = σ(x,z) + σ(z,y). 1 + d(z,y)

10 Μετρικές σε γραμμικούς χώρους Ορισμός (νόρμα) Εστω X ένας πραγματικός γραμμικός (:διανυσματικός) χώρος. Νόρμα στον X είναι κάθε συνάρτηση : X R με τις εξής ιδιότητες: (α) x 0 για κάθε x X και x = 0 αν και μόνον αν x = 0 (μη αρνητική). (β) λx = λ x για κάθε λ R και κάθε x X (θετικά ομογενής). (γ) x + y x + y για κάθε x,y X (τριγωνική ανισότητα).

11 Μετρικές σε γραμμικούς χώρους Ορισμός Αν είναι μια νόρμα στον X, τότε το ζεύγος (X, ) λέγεται χώρος με νόρμα. Η συνάρτηση d : X X R με d(x,y) = x y, x,y X είναι μετρική (η μετρική που επάγεται στον X από τη νόρμα του).

12 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 1. Στον R m ορίζουμε την νόρμα supremum : R m R ως εξής: αν x = (x 1,...,x m ) R m τότε x := max{ x i : i = 1,...,m}. 2. Στον R m ορίζουμε την νόρμα ένα 1 : R m R με x 1 := x x m = m i=1 x i. Η τριγωνική ανισότητα είναι άμεση συνέπεια της τριγωνικής ανισότητας για την απόλυτη τιμή στο R. Ο χώρος (R m, 1 ) συμβολίζεται με l m 1.

13 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 3. Στον R m ορίζουμε την Ευκλείδεια νόρμα 2 : R m R με x 2 := ( m i=1 ) 1/2 x i 2. Για την τριγωνική ανισότητα, χρειάζεται η Παρατήρηση (Ανισότητα Cauchy Schwarz) Εστω x 1,...,x m και y 1,...,y m πραγματικοί αριθμοί. Τότε m i=1 ( m ) 1/2 ( m x i y i x i 2 i=1 i=1 ) 1/2 y i 2.

14 Απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας: Γράψε (x,y) = m i=1 x i y i και παρατήρησε ότι x 2 2 = (x,x). Εχουμε x + y 2 2 = (x + y,x + y) = (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y) δηλ. x (x,y) + y 2 2 cs x x y + y 2 2 = ( x + y ) 2 x + y 2 x + y.

15 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 4. Γενικότερα, στον R m μπορούμε να θεωρήσουμε την p-νόρμα, 1 < p <, όπου ( m ) 1/p x p := x i p. i=1 Παρατήρηση (Ανισότητα Hölder) Αν x 1,...,x m και y 1,...,y m είναι πραγματικοί αριθμοί και p,q > 1 ώστε 1 1 p + 1 q = 1, τότε m i=1 ( m ) 1/p ( m x i y i x i p i=1 i=1 y i q ) 1/q. Η ανισότητα Cauchy Schwarz είναι ειδική περίπτωση της ανισότητας Hölder για p = q = 2. 1 Οι p και q λέγονται συζυγείς εκθέτες.

16 Χώροι πεπερασμένης διάστασης Παρατήρηση (Ανισότητα Minkowski) Αν x 1,...,x m και y 1,...,y m είναι πραγματικοί αριθμοί και p > 1, τότε ισχύει η ανισότητα ( m ) 1/p ( m ) 1/p ( m x i + y i p x i p + i=1 i=1 i=1 y i p ) 1/p. Η τριγωνική ανισότητα x + y p x p + y p για την p-νόρμα είναι ακριβώς η ανισότητα Minkowski. Ο χώρος (R m, p ) συμβολίζεται με l m p.

17 Χώροι ακολουθιών 1. Ο χώρος l l (N) των φραγμένων ακολουθιών x : N R είναι πραγματικός γραμμικός χώρος με τις κατά σημείο πράξεις. Στον l ορίζουμε την supremum νόρμα : l R με x := sup{ x(n) : n = 1,2,...}. 2. Ο χώρος c 0 c 0 (N) των μηδενικών ακολουθιών, δηλαδή { } c 0 = x : N R lim x(n) = 0 n είναι επίσης γραμμικός χώρος (μάλιστα γραμμικός υπόχωρος του l ) με τις κατά σημείο πράξεις. Σε αυτόν θεωρούμε την supremum νόρμα που κληρονομεί από τον l.

18 Χώροι ακολουθιών 3. Ο χώρος l 1 l 1 (N) των 1-αθροίσιμων ακολουθιών (δηλαδή ακολουθιών των οποίων η σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα): { } l 1 = x : N R x(n) < +. n=1 Είναι γραμμικός υπόχωρος του c 0 (αν n=1 x(n) < + τότε lim n x(n) = 0). Ορίζουμε τη νόρμα 1 : l 1 R με x 1 := n=1 x(n).

19 Χώροι ακολουθιών 4. Αν 1 p <, ο χώρος l p l p (N) των p-αθροίσιμων ακολουθιών: { } l p = x : N R x(n) p < +. n=1 Ορίζουμε την p νόρμα x p := ( n=1 x(n) p ) 1/p. Από την ανισότητα Minkowski «περνώντας στο όριο» αποδεικνύεται ότι η p ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα. 5. Ο χώρος c 00 c 00 (N) των τελικά μηδενικών ακολουθιών: x c 00 αν και μόνον αν υπάρχει n 0 n 0 (x) N ώστε x(n) = 0 για κάθε n n 0. Σε αυτό το χώρο μπορούμε να ορίσουμε οποιαδήποτε από τις p νόρμες, 1 p.

20 Χώροι συναρτήσεων 1. Ο χώρος C([0, 1]) των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων στο [0,1]: C([0,1]) = {f : [0,1] R f συνεχής}. Είναι γραμμικός χώρος με τις κατά σημείο πράξεις. Στον C([0,1]) ορίζουμε την : C([0,1]) R, με f = sup{ f (t) : t [0,1]}. Παρατηρήστε ότι το sup όντως υπάρχει, αφού η f : [0,1] R είναι συνεχής, και μάλιστα είναι max διότι κάθε συνεχής συνάρτηση, που είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα, παίρνει μέγιστη τιμή.

21 Χώροι συναρτήσεων 2. Αν 1 p <, στον C([0,1]) μπορούμε επίσης να θεωρήσουμε την p νόρμα ( 1 1/p f p := f (t) dt) p. 0 Για την τριγωνική ανισότητα, χρειάζονται οι ανισότητες Hölder και Minkowski για ολοκληρώσιμες συναρτήσεις: Ανισότητα Hölder για συναρτήσεις. Αν f,g : [0,1] R είναι συνεχείς συναρτήσεις, 1 < p < και 1 p + 1 q = 1, τότε 1 0 ( 1 ) 1/p ( 1 1/q f (t)g(t) dt f (t) p dt g(t) dt) q. 0 0 Ανισότητα Minkowski για συναρτήσεις. Αν 1 p <, τότε ( 1 0 1/p ( 1 1/p ( 1 1/p f (t) + g(t) dt) p f (t) dt) p + g(t) dt) p. 0 0

22 Χώροι συναρτήσεων 3. Στον C 1 ([0,1]), τον χώρο των συναρτήσεων f : [0,1] R που έχουν συνεχή παράγωγο, μπορούμε να θεωρήσουμε τη νόρμα f := f + f. Παρατηρήστε ότι η f d := f δεν είναι νόρμα (και δεν επάγει μετρική) στον C 1 ([0,1]). 4. Αν f,g : [0,1] R είναι συνεχείς συναρτήσεις, τότε αν 1 p < και ( 1 ) 1/p d p (f,g) = f (t) g(t) p dt 0 d (f,g) = max{ f (t) g(t) : t [0,1]}.

23 Ακολουθίες σε μετρικούς χώρους Εστω (X,ρ) ένας μετρικός χώρος. Ακολουθία στον X είναι κάθε συνάρτηση x : N X. Γράφουμε x n := x(n) για τον n-οστό όρο της ακολουθίας x και συμβολίζουμε τις ακολουθίες με {x n } n=1 ή {x n} ή (x n ) ή x = (x 1,x 2,...,x n,...).

24 Ακολουθίες Υπενθύμιση: Η ακολουθία (a n ) πραγματικών αριθμών συγκλίνει στο a R: a n a ε > 0 n o N : n n o a n a < ε. Ορισμός Λέμε ότι μια ακολουθία (x n ) στο μετρικό χώρο (X,ρ) συγκλίνει στο x X ως προς τη μετρική ρ (ή είναι ρ-συγκλίνουσα στο x) αν για κάθε ε > 0 υπάρχει n 0 n 0 (ε) N ώστε αν n n 0 να ισχύει ρ(x n,x) < ε. Γράφουμε x n ρ x ή απλώς x n x.

25 Η (x n ) συγκλίνει στο x: x n x ( ε > 0 n o N : n n o ρ(x n,x) < ε.) ΓΙΑ ΚΑΘΕ ε > 0 ΥΠΑΡΧΕΙ n o N ώστε ΓΙΑ ΟΛΑ ΤΑ n n o να ισχύει x n B ρ (x,ε) {y X : ρ(y,x) < ε}. Δηλαδή ε > 0 ΚΑΠΟΙΟ τελικό τμήμα (x no,x no +1,x no +2,...) βρίσκεται ΟΛΟΚΛΗΡΟ στην B ρ (x,ε). ισοδύναμα για ΚΑΘΕ ε > 0 ισχύει η P(ε) : το σύνολο των δεικτών {n N : ρ(x n,x) ε} είναι πεπερασμένο.

26 Η (x n ) ΔΕΝ συγκλίνει στο x: ΥΠΑΡΧΕΙ ε > 0, ώστε ΟΧΙ P(ε): ΟΧΙ P(ε) : άπειρο. το σύνολο των δεικτών {n N : ρ(x n,x) ε} είναι ισοδύναμα ΚΑΝΕΝΑ τελικό τμήμα (x n,x n+1,x n+2,...) ΔΕΝ βρίσκεται ΟΛΟΚΛΗΡΟ στην B ρ (x,ε), δηλαδή κάποιος όρος x m της ακολουθίας (x n,x n+1,x n+2,...) βρίσκεται εκτός της B ρ (x,ε) ΑΡΑ: Η (x n ) ΔΕΝ συγκλίνει στο x ΥΠΑΡΧΕΙ ε > 0 ώστε ΓΙΑ ΚΑΘΕ n N ΥΠΑΡΧΕΙ m n ώστε ρ(x m,x) ε. x n x ( ε > 0 n N m n : ρ(x m,x) ε.)

27 Προτασούλες Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος. Πρόταση ρ Εστω (x n ) μια ακολουθία στο (X,ρ) και x X. Τότε x n x ανν (ρ(x n,x)) n 0 στο R. Πρόταση Εστω (x n ) μια ακολουθία στο (X,ρ). Αν υπάρχει το όριο της (x n ), τότε αυτό είναι μοναδικό. Πρόταση Αν (x n ),(y n ) ακολουθίες στον X και x,y X με x n ρ y, τότε ρ(x n,y n ) ρ(x,y). y n Απόδειξη: ρ(x n,y n ) ρ(x,y) ρ(x n,x) + ρ(y n,y). ρ x και

28 Παραδείγματα σύγκλισης σε μετρικούς χώρους Πρτρ: Μια (x n ) λέγεται τελικά σταθερή αν n 0 N ώστε x n = x n0 για κάθε n n 0. Σε κάθε μετρικό χώρο, μια τελικά σταθερή ακολουθία συγκλίνει (στο x n0 ). 1. Εστω δ η διακριτή μετρική στο σύνολο X και (x n ) μια ακολουθία στον X. Η (x n ) είναι συγκλίνουσα στον (X,δ) αν και μόνον αν είναι τελικά σταθερή. Το ίδιο συμβαίνει στον κύβο του Hamming (H N,h).(3)

29 Παραδείγματα σύγκλισης σε μετρικούς χώρους 2. Πεπερασμένο γινόμενο μετρικών χώρων. Εστω (X 1,d 1 ),...,(X k,d k ) μετρικοί χώροι και X = k i=1 X i το καρτεσιανό τους γινόμενο. Στο X ορίζουμε τη μετρική d = k i=1 d i, δηλαδή d(x,y) = k i=1 d i (x(i),y(i)), όπου x = (x(1),...,x(k)), y = (y(1),...,y(k)) και x(i),y(i) X i. Τότε, μια ακολουθία στο X συγκλίνει αν και μόνο αν συγκλίνει κατά συντεταγμένη: 2 x n = (x n (i)) n x = (x(i)) i = 1,2,...,k, x n (i) n x(i) 2 Μια μετρική d στο χώρο γινόμενο με την ιδιότητα αυτή λέγεται μετρική γινόμενο.

30 3. Ο κύβος του Hilbert H Το σύνολο [ 1,1] N = { x : N R x(n) 1,n = 1,2,... } εφοδιάζουμε με τη μετρική d(x,y) = n=1 x(n) y(n) 2 n, όπου x = (x(n)) και y = (y(n)). Ο μετρικός χώρος ([ 1,1] N,d) λέγεται κύβος του Hilbert και συμβολίζεται με H. Η σύγκλιση στον κύβο είναι κατά συντεταγμένη. Μια ακολουθία (x m ) στον H είναι ακολουθία ακολουθιών: x 1 = (x 1 (1),x 1 (2),...,x 1 (n),...) x 2 = (x 2 (1),x 2 (2),...,x 2 (n),...). x m = (x m (1),x m (2),...,x m (n),...).

31 4. Άπειρο γινόμενο μετρικών χώρων. Εστω (X n,d n ), n = 1,2,... οικογένεια μετρικών χώρων ώστε d n (x,y) 1 για κάθε x,y X n και κάθε n = 1,2,... Στο X = i=1 X i ορίζουμε τη μετρική d : X X R ως εξής: d(x,y) = n=1 1 2 n d n(x(n),y(n)), (1) όπου x = (x(1),x(2),...), y = (y(1),y(2),...) με x(n),y(n) X n για κάθε n = 1,2,... Η d είναι μια μετρική γινόμενο: Η σύγκλιση στον X είναι κατά συντεταγμένη.

32 5. (C[0,1], ) Η σύγκλιση ώς προς τη μετρική d (f,g) = sup{ f (t) g(t) : t [0,1]} συνεπάγεται την σύγκλιση κατά συντεταγμένη. Το αντίστροφο δεν ισχύει: παράδειγμα η ακολουθία (f n ) όπου f n (t) = 2n 3 t 0 t 1 2n 2 2n 3 ( 1 n 2 t) 1 2n 2 < t 1 n n 2 < t 1 το «ψηλό καπέλο της μάγισσας» (ένα σχήμα μπορεί να βοηθήσει). Εδώ για κάθε t [0,1] έχουμε lim n f n (t) = 0, ενώ d (f n,0) +, γιατί d (f n,0) = max{ f n (t) : t [0,1]} = n για κάθε n.

33 6. (C[0,1], 1 ) 1 Η σύγκλιση ώς προς τη μετρική d 1 (f,g) = f (t) g(t) dt ΔΕΝ συνεπάγεται πάντα την σύγκλιση κατά συντεταγμένη. Παράδειγμα η ακολουθία (f n ) όπου f n (t) = t n, t [0,1]. Εδώ d 1 (f n,0) = 1 0 ενώ ΔΕΝ ισχύει ότι για κάθε t [0,1] n + 1 έχουμε limf n (t) = 0, εφόσον f n (1) = 1 για κάθε n. n Παρατήρησε { ότι η (f n ) τείνει κατά σημείο στην 0 0 t < 1 f (t) = που ΔΕΝ ανήκει στον C[0,1]. 1 t = 1 0

34 Βασικές ακολουθίες Ορισμός (βασική ακολουθία) Εστω (x n ) μια ακολουθία στο μετρικό χώρο (X,ρ). Λέμε ότι η (x n ) είναι βασική (ή Cauchy) αν για κάθε ε > 0 υπάρχει n 0 n 0 (ε) N ώστε αν m,n n 0 τότε ρ(x m,x n ) < ε. Πρόταση Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος. Τότε, κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στον X είναι ακολουθία Cauchy.

35 Φραγμένες ακολουθίες Ορισμός (φραγμένη ακολουθία) Εστω (x n ) μια ακολουθία στο μετρικό χώρο (X,ρ). Λέμε ότι η (x n ) είναι φραγμένη αν το σύνολο A = {x n : n N} είναι φραγμένο υποσύνολο του X. Με άλλα λόγια, αν υπάρχει C > 0 ώστε ρ(x m,x n ) C για κάθε m,n N. Πρόταση Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος. Τότε, κάθε βασική ακολουθία στον X είναι φραγμένη. Ειδικότερα, κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στον X είναι φραγμένη. Αντίστροφο: όχι πάντα!! Π.χ. x n = ( 1) n στον (R, ).

36 Είναι αλήθεια ότι κάθε βασική ακολουθία συγκλίνει; (Q, ) όχι πάντα: q n = (1 + 1 n )n x (R,ρ) όπου ρ(x,y) = y (R, ) πάντα. x +1 y +1 όχι πάντα: x n = n. Σε ποιούς χώρους είναι αλήθεια ότι κάθε βασική ακολουθία συγκλίνει; στους πλήρεις μετρικούς χώρους.

37 Υπακολουθίες Ορισμός Εστω (x n ) μια ακολουθία στον μετρικό χώρο (X,ρ). Αν k 1 < k 2 < < k n < είναι μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών τότε η (x kn ) λέγεται υπακολουθία της (x n ). Παράδειγμα: x n = 1 n έχει υπακολουθία την y n = 1 2 και την n z n = 1 n+5 ή την w n = 1 p n όπου p n = ο n-οστός πρώτος.

38 Υπακολουθίες Παρατηρήσεις (α) Αν k : N N είναι γνησίως αύξουσα ακολουθία και x : N X είναι ακολουθία στον X, τότε η x k : N X είναι υπακολουθία της (x n ). Κάθε υπακολουθία της (x n ) είναι η σύνθεση της ακολουθίας (x n ) με μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. (β) Αν (k n ) είναι μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών, έχουμε ότι k n n για κάθε n = 1,2,... Αποδ: επαγωγή. Παρατήρηση ρ Αν x n x τότε κάθε υπακολουθία (x kn ) της (x n ) συγκλίνει, ρ μάλιστα στο ίδιο όριο: x kn x

39 Υπακολουθίες Παρατήρηση Η ακολουθία (x n ) ΔΕΝ συγκλίνει στο x αν και μόνον αν υπάρχει ε > 0 και υπακολουθία (x kn ) της (x n ) ώστε για κάθε n N να ισχύει ρ(x kn,x) ε. Πράγματι: x n x υπάρχει ε > 0 ώστε το σύνολο των δεικτών {n N : ρ(x n,x) ε} να είναι άπειρο υπάρχουν άπειροι δείκτες k 1 < k 2 < k 3 <... ώστε ρ(x kn,x) ε για κάθε n N. Πρόταση Εστω (X,ρ) ένας μετρικός χώρος και έστω (x n ) ακολουθία στον X. Αν η (x n ) είναι Cauchy και έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, τότε συγκλίνει.

40 Bolzano Weierstrass Θεώρημα (Bolzano Weierstrass) Κάθε φραγμένη ακολουθία στον R m (με την Ευκλείδεια μετρική) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Σε τυχόντα μετρικό χώρο η ιδιότητα Bolzano Weierstrass δεν ισχύει πάντα:

41 Παράδειγμα Θεωρούμε το χώρο (c 0, ) των μηδενικών ακολουθιών με τη μετρική που επάγεται από την supremum νόρμα: αν x = (x(n)) και y = (y(n)) τότε d (x,y) = sup{ x(n) y(n) : n = 1,2,...}. Η (e n ) όπου e 1 = (1,0,0,0,...) e 2 = (0,1,0,0,...) e 3 = (0,0,1,0,...). είναι φραγμένη αφού d (e n,e m ) = e n e m = 1 αν n m. Η (e n ) δεν μπορεί να έχει συγκλίνουσα υπακολουθία: θα έπρεπε οι όροι της τελικά να απέχουν απόσταση μικρότερη από 1.

42 Παράδειγμα: (C[0,2], 1 ) 2 Η μετρική δίνεται από: d 1 (f,g) = f (t) g(t) dt. Η ακολουθία (f n ) όπου t n 0 t 1 f n (t) = 1 1 < t 2 είναι βασική γιατί d 1 (f n,f m ) = 1 n+1 1 m+1 όταν m n, αλλά δεν συγκλίνει διότι αν υπήρχε f C([0,2]) με limd 1 (f n,f ) = 0 θα n έπρεπε η f να ικανοποιεί f (t) = 0 όταν 0 t < 1 και f (t) = 1 όταν 1 t 2, πράγμα αδύνατο για συνεχή f. Επομένως η (f n ) είναι βασική, άρα φραγμένη, και δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. 0

43 Συνέχεια Υπενθύμιση: Αν A R είναι μη κενό, f : A R και x 0 A, τότε λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 αν: για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε: αν x A και x x 0 < δ, τότε f (x) f (x 0 ) < ε. Ορισμός Εστω (X,ρ) και (Y,σ) δύο μετρικοί χώροι. Μια συνάρτηση f : X Y λέγεται συνεχής στο x 0 X αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ δ(x 0,ε) > 0 ώστε: αν x X και ρ(x,x 0 ) < δ τότε σ(f (x),f (x 0 )) < ε. Μια συνάρτηση f : X Y λέγεται συνεχής στον X αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του X. Το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων f : (X,ρ) (Y,σ) συμβολίζεται C (X,Y ). Αν Y = R γράφουμε C (X ) αντί του C (X,R).

44 Παραδείγματα Παραδείγματα (α) Εστω δ η διακριτή μετρική σε ένα σύνολο X και (Y,σ) τυχών μετρικός χώρος. Κάθε συνάρτηση f : (X,δ) (Y,σ) είναι συνεχής. (β) Κάθε ακολουθία f : N X είναι συνεχής συνάρτηση. (γ) Η ταυτοτική συνάρτηση I : (c 00, ) (c 00, 2 ) δεν είναι συνεχής. Η f : X Y είναι ασυνεχής στο x 0 X αν και μόνο αν υπάρχει ε > 0 ώστε: για κάθε δ > 0 υπάρχει x X με ρ(x,x 0 ) < δ και σ(f (x),f (x 0 )) ε.

45 Αρχή της μεταφοράς Η συνέχεια περιγράφεται μέσω της σύγκλισης ακολουθιών, ακριβώς όπως και στην περίπτωση συναρτήσεων που ορίζονται σε υποσύνολα του R. Πρόταση (αρχή της μεταφοράς) Εστω (X,ρ) και (Y,σ) δύο μετρικοί χώροι και έστω f : X Y και x 0 X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Η f είναι συνεχής στο x 0. ρ (β) Για κάθε ακολουθία (x n ) στοιχείων του X με x n x 0 ισχύει f (x n ) σ f (x 0 ). ρ (γ) Για κάθε ακολουθία (x n ) με x n x 0, η (f (x n )) είναι σ-συγκλίνουσα.

46 Τοπολογία μετρικών χώρων: Ανοικτά σύνολα Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και x 0 X. (α) Η ανοικτή ρ-μπάλα με κέντρο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το σύνολο B ρ (x 0,ε) = {x X : ρ(x,x 0 ) < ε}. (β) Η κλειστή ρ-μπάλα με κέντρο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το σύνολο B ρ (x 0,ε) = {x X : ρ(x,x 0 ) ε}. (γ) Η ρ-σφαίρα με κέντρο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το σύνολο S ρ (x 0,ε) = {x X : ρ(x,x 0 ) = ε}.

47 Παραδείγματα (α) Σε ένα σύνολο X με τη διακριτή μετρική δ, αν r > 0 ισχύει και { {x}, αν r 1 B(x,r) = X, αν r > 1 { X \ {x}, αν r = 1 S(x,r) = /0, αν r 1.. (β) Στο R με τη συνήθη μετρική, B(x,ε) = (x ε,x + ε), S(x,ε) = {x ε,x + ε}. B(x,ε) = [x ε,x + ε], (γ) Στο R 2, έχουμε B 1 (0,ε) B 2 (0,ε) B (0,ε). B 2 (0,ε) είναι ο ανοικτός δίσκος κέντρου 0 και ακτίνας ε B 1 (0,ε) είναι το ανοικτό εγγεγραμμένο τετράγωνο και B (0,ε) είναι το ανοικτό περιγεγραμμένο τετράγωνο που εφάπτεται στον B 2 (0,ε) στα σημεία (1,0),(1,1),( 1,0),( 1 1).

48 Ορισμός: ανοικτό σύνολο Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και έστω A X. Το x A λέγεται εσωτερικό σημείο (interior point) του A αν υπάρχει ε x > 0 ώστε B ρ (x,ε x ) A. Εστω (X,ρ) ένας μετρικός χώρος και έστω G X. Το G λέγεται ρ-ανοικτό (open) αν για κάθε x G υπάρχει ε x > 0 ώστε B ρ (x,ε x ) G. Δηλαδή, αν κάθε σημείο του G είναι εσωτερικό του σημείο. Παρατήρηση Ενα σύνολο A X δεν είναι ανοικτό ανν υπάρχει x A τέτοιο ώστε για κάθε ε > 0 να ισχύει ότι B ρ (x,ε) A c /0.

49 Παραδείγματα (α) Κάθε ανοικτή μπάλα είναι ανοικτό σύνολο. (β) Κάθε υποσύνολο ενός χώρου με τη διακριτή μετρική είναι ανοικτό. (γ) Τα διαστήματα της μορφής (a,b] στο (R, ), a < b δεν είναι ανοικτά. (δ) Στον (R, ), το Q δεν είναι ανοικτό, διότι κάθε διάστημα περιέχει άρρητους. Ούτε το Q c είναι ανοικτό...

50 Ανοικτά: X, /0, αυθαίρετες ενώσεις, πεπερασμένες τομές Πρόταση Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος. Τότε, ισχύουν τα ακόλουθα: (α) Το X και το /0 είναι ανοικτά. (β) Αν (G i ) i I είναι μια οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του X τότε το σύνολο i I G i είναι ανοικτό. (γ) Αν τα G 1,G 2,...,G n είναι ανοικτά τότε το ni=1 G i = G 1 G n είναι ανοικτό. (Η οικογένεια των ανοικτών υποσυνόλων ενός μετρικού χώρου (X,ρ) είναι μια τοπολογία στον X.) Παρατήρηση Η τομή μιας άπειρης οικογένειας ανοικτών συνόλων σε ένα μετρικό χώρο (X,ρ) δεν είναι κατ ανάγκην ανοικτό σύνολο. Παράδειγμα, στο R με τη συνήθη μετρική η οικογένεια G n = ( 1, 1 n ), n N, ικανοποιεί n=1 G n = ( 1,0]: όχι ανοικτό.

51 Ανοικτά σύνολα Πρόταση Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Το G είναι ανοικτό υποσύνολο του X. (β) Για κάθε x G και για κάθε ακολουθία (x n ) στο X με ρ x υπάρχει n 0 N ώστε αν n n 0 τότε x n G. x n Πόρισμα Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος. Ενα υποσύνολο V του X είναι ανοικτό αν και μόνον αν είναι (ενδεχομένως άπειρη) ένωση από ανοικτές μπάλες του X. Πρόταση (ανοικτά υποσύνολα της ευθείας) Κάθε ανοικτό σύνολο U στο (R, ) μπορεί να γραφεί ως (αριθμήσιμη) ένωση ξένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων.

52 Κλειστά σύνολα Ορισμός Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και έστω F X. Το F λέγεται ρ-κλειστό ( closed) αν το συμπλήρωμά του F c X \ F είναι ρ-ανοικτό. Παραδείγματα (α) Σε κάθε μετρικό χώρο (X,ρ) τα μονοσύνολα {x}, x X είναι κλειστά. (β) Σε κάθε μετρικό χώρο (X,ρ), κάθε κλειστή μπάλα B(x,r) είναι κλειστό σύνολο. Ειδικότερα, στο R με τη συνήθη μετρική, κάθε κλειστό διάστημα [a, b] είναι κλειστό σύνολο. (γ) Το Q στο R με τη συνήθη μετρική δεν είναι κλειστό σύνολο, διότι το R \ Q δεν περιέχει διάστημα (ούτε ανοικτό).

53 Κλειστά σύνολα Παραδείγματα (δ) Κάθε υποσύνολο ενός χώρου με τη διακριτή μετρική είναι κλειστό (και ανοικτό!). (ε) Εστω (X,d) μετρικός χώρος. Εστω x X και ακολουθία (x n ) στον X, ώστε x n x. Το σύνολο είναι κλειστό στον (X,d). Παρατήρηση E = {x n : n = 1,2,...} {x} Αν ένα σύνολο δεν είναι ανοικτό δεν έπεται κατ ανάγκην ότι είναι κλειστό. Επίσης, ένα σύνολο που είναι ανοικτό μπορεί να είναι και κλειστό.

54 Κλειστά: X, /0, πεπερασμένες ενώσεις, αυθαίρετες τομές Πρόταση Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος. Τότε: (α) Τα X, /0 είναι κλειστά. (β) Αν F 1,F 2,...,F n είναι μια πεπερασμένη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X, τότε η ένωσή τους n i=1 F i είναι κλειστό σύνολο. (γ) Αν (E i ) i I είναι οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X, τότε η τομή τους i I E i είναι κλειστό σύνολο. Παρατήρηση Η ένωση μιας άπειρης οικογένειας κλειστών συνόλων δεν είναι κατ ανάγκην κλειστό σύνολο. Παράδειγμα, στο (R, ), αν F n = [ 1 n,1], n = 2,3,..., τότε n=1 F n = (0,1] που δεν είναι κλειστό.

55 Κλειστά σύνολα Πρόταση Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος, F X. (α) Το F είναι κλειστό. (β) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του F συγκλίνει σε στοιχείο του F. Δηλαδή, για κάθε ακολουθία (x n ) στο F με ρ x X έπεται ότι x F. x n Αναδιατύπωση του (β): Αν x n F για κάθε n και αν η (x n ) συγκλίνει, τότε lim n x n F.

56 Κλειστά σύνολα Ισοδύναμα: Πρόταση Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος, F X. (α) Το F είναι κλειστό. (β) Κάθε x X με την ιδιότητα: «για κάθε ε > 0 ισχύει B(x,ε) F /0» ανήκει στο F. (γ) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του F συγκλίνει σε στοιχείο του F. Δηλαδή, για κάθε ακολουθία (x n ) στο F με ρ x X έπεται ότι x F. x n

57 Απόδειξη (α) (β): F κλειστό σημαίνει εξ ορισμού F c ανοικτό, δηλ. ισοδύναμα x F c = ε > 0 τ.ω. B(x,ε) F c,δηλ. B(x,ε) F = /0 ισοδύναμα B(x,ε) F /0 ε > 0 = x F. (β) = (γ): Εστω (x n ) τ.ω. x n x και x n F για κάθε n. Ν.δ.ο. x F : Αν ε > 0 τότε n 0 με x n0 B(x,ε), άρα B(x,ε) F /0. Από (β), έχουμε x F. (γ) = (β): Εστω x X με την ιδιότητα για κάθε ε > 0 να έχω B(x,ε) F /0. Ν.δ.ο. x F. Για κάθε n, έχω B(x, 1 n ) F /0: πάρε ένα x n B(x, 1 n ) F. Τότε για κάθε n, έχω x n F και ρ(x n,x) < 1 n, άρα x n x. Από (γ), έπεται x F.

58 Εσωτερικό συνόλου Ορισμός Εστω A ένα υποσύνολο του μετρικού χώρου (X,ρ). Το εσωτερικό ( interior) του A είναι το σύνολο όλων των εσωτερικών σημείων του A και συμβολίζεται με inta (ή A ). Δηλαδή, A inta = {x A ε x > 0 : B(x,ε x ) A}. Παρατηρήσεις (α) x A V x ανοικτό με x V x A (β) Για κάθε A X το εσωτερικό A του A είναι ανοικτό σύνολο.

59 Παραδείγματα (α) Το εσωτερικό του (a,b] στο R ως προς τη συνήθη μετρική είναι το (a,b). (β) Το εσωτερικό του Q στο R είναι το /0. (γ) Το εσωτερικό μιας ανοικτής μπάλας σε ένα μετρικό χώρο είναι η ίδια η μπάλα.

60 Ιδιότητες εσωτερικού Πρόταση Εστω A,B υποσύνολα ενός μετρικού χώρου (X,ρ). Τότε: (α) A A. (β) A = {V A : V ανοικτό}. Ισοδύναμα, το εσωτερικό του A είναι το μέγιστο ανοικτό σύνολο που περιέχεται στο A. (γ) A = A αν και μόνον αν το A είναι ανοικτό. (δ) Αν A B, τότε A B. (ε) (A B) = A B. (στ) A B (A B). Παρατήρηση Ο τελευταίος εγκλεισμός μπορεί να είναι γνήσιος: Στο (R, ), για A = [0,1], B = (1,2) έχουμε A B = (0,1) (1,2) ενώ, (A B) = (0,2). Επίσης για A = Q και B = R \ Q έχουμε A B = /0, ενώ (A B) = R.

61 Σημεία επαφής Ορισμός Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και έστω A X. Το x X λέγεται σημείο επαφής του A αν για κάθε ε > 0 ισχύει A B(x,ε) /0 (δηλαδή αν κάθε μπάλα με κέντρο το x περιέχει στοιχεία του A). (Μπορεί το x να ανήκει στο A, μπορεί και όχι.) Παραδείγματα (α) Στο (R, ) θεωρούμε το σύνολο A = (0,1]. Το σημείο 0 είναι σημείο επαφής του A και 0 / A. Το σημείο 1 είναι σημείο επαφής του A και 1 A. (β) Αν (x n ) είναι μια ακολουθία σε ένα μετρικό χώρο (X,ρ) ώστε ρ x n x, τότε το x είναι σημείο επαφής του συνόλου A = {x n : n N}.

62 Σημεία επαφής Παραδείγματα (γ) Σε κάθε σύνολο X εφοδιασμένο με τη διακριτή μετρική δ, αν θεωρήσουμε τυχόν A X, τότε ένα x X είναι σημείο επαφής του A αν και μόνον αν x A. Πρόταση Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και έστω A X. Το x X είναι σημείο επαφής του A αν και μόνον αν υπάρχει ακολουθία (a n ) ρ στοιχείων του A ώστε a n x.

63 Κλειστή θήκη συνόλου Ορισμός Αν (X,ρ) μετρικός χώρος και A X, η κλειστή θήκη (closure) A (ή cl(a)) του A είναι το σύνολο των σημείων επαφής του. Δηλαδή, Παρατήρηση A cl(a) = {x X : ε > 0,A B(x,ε) /0}. Για κάθε A X η κλειστή θήκη A του A είναι κλειστό σύνολο. Παραδείγματα (α) Στο (R, ) ισχύουν οι Q = R και R \ Q = R. (β) Στο (R, ), αν a,b R με a < b τότε cl(a,b) = cl(a,b] = cl[a,b) = [a,b]. (γ) Αν δ είναι η διακριτή μετρική σε ένα σύνολο X, για κάθε σύνολο A X ισχύει cl δ (A) = A = A.

64 Κλειστή θήκη Πρόταση Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και A,B X. Τότε: (α) A A. (β) A = {F A : F κλειστό}. Ισοδύναμα, η κλειστή θήκη του A είναι το ελάχιστο κλειστό υποσύνολο του X που περιέχει το A. (γ) A = A αν και μόνον αν το A είναι κλειστό. (δ) Αν A B, τότε A B. ε) A B = A B. (στ) A B A B. Παρατήρηση Ο εγκλεισμός στην τελευταία σχέση μπορεί να είναι γνήσιος. Παράδειγμα: στο (R, ) έχουμε Q Q c = /0 ενώ Q Q c = R.

65 Συνοψίζουμε Σε ένα μετρικό χώρο (X,ρ), A X : : τα εσωτερικά σημεία του A. A = {x X ε > 0 : B ρ (x,ε) A} ρ A = {x X (x n ) με x n A και x n x} = {x X ε > 0 : B ρ (x,ε) A /0} : τα σημεία επαφής του A. G X ανοικτό G = G F X κλειστό F = F G ανοικτό,f κλειστό,g A F = G A A A F

66 Κλειστή θήκη και εσωτερικό Πρόταση Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος, A,B X. Τότε: (α) X \ A = (X \ A) (β) X \ B = (X \ B) Απόδειξη. (α) Εστω x X. Ενα από τα δύο: Η για κάθε ε > 0 ισχύει B(x,ε) A /0, x A. Η υπάρχει ε > 0 ώστε B(x,ε) A = /0, δηλαδή B(x,ε) X \ A, x (X \ A). Άρα τα A και (X \ A) ξένα με ένωση το X. Επεται ότι X \ A = (X \ A). Για το (β), εφάρμοσε το (α) για B = X \ A.

67 Σημεία συσσώρευσης Ορισμός (σημείο συσσώρευσης) Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και A X. Το x X λέγεται σημείο συσσώρευσης ( accumulation point) του A αν σε κάθε ανοικτή μπάλα με κέντρο το x μπορούμε να βρούμε σημείο του A διαφορετικό από το x. Δηλαδή, αν για κάθε ε > 0 ισχύει B(x,ε) (A \ {x}) /0. Το σύνολο A των σημείων συσσσώρευσης του A λέγεται παράγωγο σύνολο του A.

68 Σημεία συσσώρευσης Πρόταση Αν A X και x X, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Το x είναι σημείο συσσώρευσης του A. (β) Για κάθε ε > 0 το A B(x,ε) είναι άπειρο σύνολο. ρ (γ) Υπάρχει ακολουθία (a n ) στοιχείων του A ώστε a n x και a n x για κάθε n N. Παρατηρήσεις (α) Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και A X. Τότε, A = A A. Επομένως, το A είναι κλειστό αν και μόνον αν περιέχει τα σημεία συσσώρευσής του. (β) Το A είναι κλειστό σύνολο (Άσκηση).

69 Σύνορο Ορισμός Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και A X. Το x X λέγεται συνοριακό σημείο ( boundary point) του A αν σε κάθε ανοικτή μπάλα με κέντρο x υπαρχει και σημείο του A και σημείο του A c. Δηλαδή, αν για κάθε ε > 0 ισχύουν οι B(x,ε) A /0 και B(x,ε) A c /0. Το σύνολο όλων των συνοριακών σημείων του A λέγεται σύνορο (boundary) του A και συμβολίζεται με bd(a) ή (A). Πρόταση (Άσκηση) Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και A X. Τότε, (α) bd(a) = bd(a c ). (β) A = bd(a) int(a) (ξένη ένωση). (γ) X = int(a) bd(a) int(a c ) (ξένη ένωση). (δ) bd(a) = A \ A. Ισοδύναμα, bd(a) = A X \ A. Ειδικότερα, το bd(a) είναι κλειστό σύνολο. (ε) Το A είναι κλειστό αν και μόνον αν bd(a) A.

70 Σχετικώς ανοικτά και κλειστά σύνολα Αν A /0 υποσύνολο του μετρικού χώρου (X,ρ), η ρ A (x,y) = ρ(x,y), x,y A ορίζει μετρική στο A. Παρατήρηση x A B ρa (x,r) = B ρ (x,r) A. Πρόταση Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και έστω A X. Τότε: (α) Το G A είναι ανοικτό στο μ.χ. (A,ρ A ) (δηλ. ρ A -ανοικτό) αν και μόνον αν υπάρχει ρ-ανοικτό V X ώστε G = A V. (β) Το F A είναι ρ A -κλειστό αν και μόνον αν υπάρχει ρ-κλειστό E X ώστε F = A E. Παραδείγματα (α) Στο (R, ) θεωρούμε το σύνολο A = (0,1] {2}. Τα (0,1] και {2} είναι συγχρόνως ανοικτά και κλειστά στο A. (β) Στον (R 3, 2 ) θεωρούμε το xy-επίπεδο H (δηλαδή στοιχεία της μορφής (x,y,0)). Τότε ο ανοικτός δίσκος D του xy-επιπέδου (D = {(x,y,0) R 3 : x 2 + y 2 < 1}) είναι σχετικά ανοικτό στον H αλλά δεν είναι ανοικτό στον R 3.

71 Παράρτημα: Πεπερασμένα, άπειρα, υπεραριθμήσιμα Ορισμός (ισοπληθικότητα) Εστω A,B δυο μη κενά σύνολα. Τα A,B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία είναι 1-1 και επί (f : A B). Γράφουμε τότε A = c B ή A = B ή και A B. Παραδείγματα 1. f : (0,1) (0,2) με f (x) = 2x. f : (0,1) (a,b) με f (t) = (1 t)a + tb. 2. N A (:άρτιοι) με n { 2n. 2n, αν n 0 3. f : Z N με f (n) = 2 n 1, αν n < 0 { 1 4. f : [0,1] [0,1) με f (x) = n+1, αν x M και x = 1 n x, αν x / M (M = { 1 n,n N})

72 Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα Πρόταση Εστω A,B,C μη κενά σύνολα. Τότε ισχύουν τα επόμενα (α) A A, (β) αν A B, τότε B A και (γ) αν A B και B C, τότε A C. Ορισμός Ενα σύνολο A θα λέγεται πεπερασμένο αν ή A = /0 ή υπάρχει n N και f : A {1,2,...,n} 1-1 και επί. Τότε, λέμε ότι ο πληθάριθμος του A είναι n ή ότι το A έχει n στοιχεία. 3 Γράφουμε A = n. Ενα σύνολο A θα λέγεται άπειρο αν δεν είναι πεπερασμένο. 3 Το κενό σύνολο έχει πληθάριθμο 0.

73 Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα Πρόταση Εστω A σύνολο. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα (α) Το A είναι άπειρο. (β) Υπάρχει 1-1 συνάρτηση f : N A, δηλαδή υπάρχει B A ώστε B N. Παραδείγματα 1. Το σύνολο Z των ακεραίων είναι άπειρο, διότι N Z. 2. Το σύνολο των ρητών είναι άπειρο διότι N Q. 3. Κάθε μη τετριμμένο διάστημα στο R είναι άπειρο. Παρατήρηση Κάθε άπειρο σύνολο είναι ισοπληθικό με κάποιο γνήσιο υποσύνολό του.

74 Αριθμήσιμα σύνολα Ορισμός Ενα σύνολο A λέγεται αριθμήσιμο αν ή είναι πεπερασμένο ή υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση f : N A, δηλαδή αν A N. Διαφορετικά, το σύνολο A θα λέγεται υπεραριθμήσιμο. Συμβολισμός. Ο πληθάριθμος των φυσικών αριθμών συμβολίζεται ω ή ℵ 0 (άλεφ 0). Ετσι, αν το σύνολο A είναι άπειρο αριθμήσιμο γράφουμε A = ℵ 0. Παραδείγματα (α) Το σύνολο Z των ακεραίων είναι αριθμήσιμο. (β) Το N N = {(m,n) : m,n N} είναι αριθμήσιμο. (γ) Αν A,B είναι αριθμήσιμα σύνολα, τότε το A B = {(a,b) : a A,b B} είναι επίσης αριθμήσιμο.

75 Αριθμήσιμα σύνολα Πρόταση Εστω A άπειρο σύνολο. Τα εξής είναι ισοδύναμα: (α) Το A είναι αριθμήσιμο. (β) Υπάρχει συνάρτηση f : N A, η οποία είναι επί. (γ) Υπάρχει συνάρτηση g : A N, η οποία είναι 1-1. Λήμμα Κάθε άπειρο υποσύνολο B του N είναι αριθμήσιμο, άρα B N. Παραδείγματα Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι αριθμήσιμο. Κάθε ανοικτό U (R, ) είναι αριθμήσιμη ένωση ξένων ανοικτών διαστημάτων. Θεώρημα (Cantor, 1899) Εστω (A i ) i I μια οικογένεια αριθμήσιμων υποσυνόλων ενός συνόλου X. Αν το I είναι αριθμήσιμο, τότε και το i I A i είναι αριθμήσιμο.

76 Υπάρχουν κι άλλα; Πρόταση Το σύνολο [0,1] = {x R : 0 x 1} ΔΕΝ είναι αριθμήσιμο. Σημείωση Κρίσιμο: πληρότητα του R (μέσω αρχής κιβωτισμού). Σε αντιδιαστολή, το Q [0, 1] είναι αριθμήσιμο. Πόρισμα Το σύνολο R και το σύνολο των αρρήτων R \ Q είναι υπεραριθμήσιμα.

77 Υπεραριθμήσιμα σύνολα Θεώρημα (Cantor) Το σύνολο των δυαδικών ακολουθιών 2 N = {0,1} N = {x = (x(n)) : x(n) {0,1}, n = 1,2,...} είναι υπεραριθμήσιμο. Πόρισμα Το σύνολο P(A) όλων των υποσυνόλων ενός άπειρου συνόλου A είναι υπεραριθμήσιμο.

78 Περίληψη: πεπερασμένα, άπειρα, αριθμήσιμα και μη Τα A,B λέγονται ισοπληθικά (A B) αν υπάρχει f : A B, που είναι 1-1 και επί (f : A B). Το A είναι πεπερασμένο αν A = /0 ή n N : A {1,2,...,n}. Το A είναι άπειρο αριθμήσιμο αν A N. [π.χ A = Q.] Το A είναι αριθμήσιμο αν είναι πεπερασμένο ή A N. Το A είναι υπεραριθμήσιμο αν δεν είναι αριθμήσιμο [π.χ. A = [0,1] ή {0,1} N ].

79 Πυκνά υποσύνολα Ορισμός Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και έστω D X. Το D λέγεται πυκνό (dense) στον X, αν D = X. Παραδείγματα (α) Τα Q και R \ Q είναι πυκνά στο (R, ). (β) Ο c 00 είναι πυκνός στον (l 1, 1 ). (γ) (Θεώρημα Kronecker). Εστω θ 2π R \ Q. Το σύνολο D(θ) := {(cos(nθ),sin(nθ)) : n N} είναι πυκνό στον κύκλο S 1 = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}.

80 Πυκνά υποσύνολα Πρόταση Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και έστω D X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Το D είναι πυκνό στον X. (β) Αν F κλειστό και D F, τότε F = X. (γ) Για κάθε μη κενό ανοικτό G X ισχύει G D /0. (δ) Για κάθε x X και για κάθε ε > 0 ισχύει D B(x,ε) /0. (ε) Για κάθε x X υπάρχει ακολουθία (x n ) στοιχείων του D ρ ώστε x n x. (στ) (X \ D) = /0.

81 Διαχωρίσιμοι μετρικοί χώροι Ορισμός Ο μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται διαχωρίσιμος ( separable) αν έχει ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο. Δηλαδή, αν υπάρχει D = {d 1,d 2,...} X αριθμήσιμο ώστε D = X. Παραδείγματα (α) Ο R d, με οποιαδήποτε από τις p μετρικές, είναι διαχωρίσιμος μετρικός χώρος. Ενα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολό του είναι το Q d. (β) Οι χώροι l p, 1 p < είναι διαχωρίσιμοι. (γ) Ο χώρος l δεν είναι διαχωρίσιμος [αποδ: αργότερα]. (δ) Ο κύβος του Hilbert, H είναι διαχωρίσιμος.

82 Διαχωρισιμότητα Λήμμα Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Ο X είναι διαχωρίσιμος. (β) Υπάρχει αριθμήσιμη οικογένεια O ανοικτών υποσυνόλων του X με την εξής ιδιότητα: Για κάθε ανοικτό G X και για κάθε x G υπάρχει U O ώστε x U G. Εναλλακτικά: Λήμμα Ο (X,ρ) είναι διαχωρίσιμος αν και μόνον αν: Για κάθε ε > 0 υπάρχουν {Xn ε : n N} υποσυνόλα του X με διάμετρο diam(xn ε ) ε ώστε X = Xn ε. Πρόταση n=1 Εστω (X, ρ) διαχωρίσιμος μετρικός χώρος. Κάθε υπόχωρος (A,ρ A ) του X είναι επίσης διαχωρίσιμος.

83 Πότε ΔΕΝ είναι διαχωρίσιμος Πρόταση Σε κάθε διαχωρίσιμο μετρικό χώρο (X,ρ) κάθε οικογένεια από ξένα ανοικτά σύνολα είναι το πολύ αριθμήσιμη. Αν ο (X, ρ) περιέχει μια υπεραριθμήσιμη οικογένεια {B(x i,r i ) : i I } από ξένες ανοικτές μπάλες, τότε δεν είναι διαχωρίσιμος. Πρόταση Εστω ότι ο X έχει ένα υπεραριθμήσιμο υποσύνολο A με την ιδιότητα: υπάρχει η > 0 ώστε ρ(x,y) η για κάθε x,y A, x y. Τότε δεν είναι διαχωρίσιμος. Παραδείγματα (α) Ο l (l (N), ) είναι μη διαχωρίσιμος μετρικός χώρος. (β) Αν Γ υπεραριθμήσιμο (π.χ. Γ = R), τότε ο (Γ,δ) (δηλαδή, το Γ με τη διακριτή μετρική) είναι μη διαχωρίσιμος μετρικός χώρος.

84 Συνεχείς συναρτήσεις f : (X,ρ) (Y,σ) συνεχής σε κάποιο σημείο x 0 X : ε > 0 δ δ(x 0,ε) > 0 ώστε: αν x X και ρ(x,x 0 ) < δ τότε σ(f (x),f (x 0 )) < ε. ε > 0 δ δ(x 0,ε) > 0 ώστε: f (B ρ (x 0,δ)) B σ (f (x 0 ),ε). Υπενθύμιση: Αν f : X Y τυχαία: A X : f (A) = {f (x) x A} = {y Y x A : f (x) = y} B Y : f 1 (B) = {x X f (x) B}.

85 Συνεχείς συναρτήσεις (Η f : X Y λέγεται συνεχής στον X αν είναι συνεχής σε κάθε x X.) Πρόταση Εστω f : (X,ρ) (Y,σ). Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Η f είναι συνεχής. (β) Αν G ανοικτό στον Y, τότε f 1 (G) ανοικτό στον X. (γ) Αν F κλειστό στον Y, τότε f 1 (F ) κλειστό στον X. Πρόταση Εστω f : (X,ρ) (Y,σ). Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Η f είναι συνεχής. (δ) Για κάθε A X ισχύει f (A) f (A). (ε) Για κάθε B Y ισχύει f 1 (B) f 1 (B). (στ) Για κάθε C Y ισχύει f 1 (C ) (f 1 (C)).

86 Το λήμμα του Urysohn Θεώρημα (Urysohn) Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και A,B μη κενά κλειστά υποσύνολα του X με A B = /0. Τότε, υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : X [0,1] με τις ακόλουθες ιδιότητες: (α) f (x) = 0 για κάθε x A. (β) f (x) = 1 για κάθε x B. f (x) = dist(x, A) dist(x,a) + dist(x,b)

87 Το λήμμα του Urysohn Ορισμός Εστω A,B μη κενά υποσύνολα ενός μετρικού χώρου (X,ρ). (α) Τα A,B διαχωρίζονται αν υπάρχουν ανοικτά G,H ώστε A G, B H και G H = /0. (β) Τα A,B διαχωρίζονται πλήρως αν υπάρχουν ανοικτά G,H ώστε A G, B H και επιπλέον ισχύει G H = /0. Πρόταση Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και E,F δύο ξένα κλειστά μη κενά υποσύνολα του X. Τότε τα E,F διαχωρίζονται πλήρως.

88 Ομοιόμορφη συνέχεια Ορισμός Μία f : (X,ρ) (Y,σ) λέγεται ομοιόμορφα συνεχής αν: για κάθε ε > 0 υπάρχει δ = δ(ε) > 0 ώστε: αν x,y X και ρ(x,y) < δ τότε σ(f (x),f (y)) < ε. f συνεχής: για κάθε x X και ε > 0 υπάρχει δ = δ(x,ε) > 0 ώστε αν y X και ρ(x,y) < δ τότε σ(f (x),f (y)) < ε. Παραδείγματα Κάθε ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση είναι προφανώς συνεχής. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Παράδειγμα: η συνάρτηση p : R R με p(x) = x 2 δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής: για κάθε δ > 0, αν επιλέξουμε x δ = 1 δ και y δ = 1 δ + δ 2, τότε x δ y δ < δ αλλά p(x δ ) p(y δ ) = 1 + δ 2 4 > 1.

89 Ομοιόμορφη συνέχεια: Αναδιατυπώσεις Ορισμός Μία f : (X,ρ) (Y,σ) λέγεται ομοιόμορφα συνεχής αν: για κάθε ε > 0 υπάρχει δ = δ(ε) > 0 ώστε: αν x,y X και ρ(x,y) < δ τότε σ(f (x),f (y)) < ε. Ισοδύναμα, για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε για κάθε x X : f (B ρ (x,δ)) B σ (f (x),ε). Ισοδύναμα, για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε για κάθε A X : diam ρ (A) < δ diam σ (f (A)) < ε.

90 Ομοιόμορφη συνέχεια Παραδείγματα (α) Κάθε συνάρτηση f : (X,δ) (Y,σ) από ένα σύνολο με τη διακριτή μετρική σε τυχαίο μετρικό χώρο είναι ομοιόμορφα συνεχής. Κάθε ακολουθία a : N Y είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση. (β) Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος, A X και d A : X R : t dist(t,a) inf{ρ(t,a) : a A}. Η d A είναι ομοιόμορφα συνεχής. Αποδ: για κάθε t,s X, d A (t) d A (s) ρ(t,s). (γ) Κάθε συνεχής συνάρτηση f : R R η οποία μηδενίζεται έξω από ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα, είναι ομοιόμορφα συνεχής (γνωστό από τον Απειροστικό Λογισμό, βλ και Κεφ. 6). (δ) Κάθε συνεχής συνάρτηση f : R R η οποία «μηδενίζεται στο άπειρο», δηλαδή lim x ± f (x) = 0, είναι ομοιόμορφα συνεχής.

91 Ομοιόμορφη συνέχεια Πρόταση Εστω (X,ρ),(Y,σ) μετρικοί χώροι και f : X Y. Τότε (α) Η f είναι ομοιόμορφα συνεχής. (β) Αν (x n ),(z n ) στον X με ρ(x n,z n ) 0, τότε σ(f (x n ),f (z n )) 0. Πρόταση Εστω f : (X,ρ) (Y,σ). Ισχύουν οι συνεπαγωγές: (α) Η f είναι ομοιόμορφα συνεχής. (β) Η f απεικονίζει ρ-βασικές ακολουθίες σε σ-βασικές. (γ) Η f είναι συνεχής. Παρατήρηση: Εν γένει (γ) (β): π.χ. f (x) = 1 x στον ((0,+ ), ) και (β) (α): π.χ. g(x) = x 2 στον (R, ).

92 Συναρτήσεις Lipschitz Ορισμός Εστω f : (X,ρ) (Y,σ) και C > 0. Λέμε ότι η f είναι C Lipschitz αν για κάθε x,y X ισχύει σ(f (x),f (y)) C ρ(x,y). Λέμε ότι η f είναι Lipschitz αν ικανοποιεί συνθήκη Lipschitz με κάποια σταθερά C > 0. (α) Κάθε συνάρτηση Lipschitz είναι ομοιόμορφα συνεχής. Το αντίστροφο δεν ισχύει: π.χ. f (x) = x στον (R +, ). (β) Οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : R R που έχουν φραγμένη παράγωγο είναι Lipschitz. (γ) Εστω X γραμμικός χώρος. Η νόρμα : (X, ) (R, ) είναι 1 Lipschitz, άρα ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση.

93 Συναρτήσεις Lipschitz Πρόταση Εστω f : (X,ρ) (Y,σ) συνάρτηση Lipschitz. Η f απεικονίζει φραγμένα υποσύνολα του X σε φραγμένα υποσύνολα του Y. Παρατήρηση Δεν ισχύει πάντα ότι μια ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση απεικονίζει φραγμένα υποσύνολα σε φραγμένα υποσύνολα. Π.χ. id : (R,δ) (R, ).

94 Ισομετρίες Ορισμός (ισομετρία) Εστω (X,ρ),(Y,σ) δύο μετρικοί χώροι. Μια συνάρτηση f : X Y λέγεται ισομετρία (isometry) αν διατηρεί τις αποστάσεις, δηλαδή για κάθε x,y X. Παρατηρήσεις σ(f (x),f (y)) = ρ(x,y) (α) Κάθε ισομετρία είναι 1-1 συνάρτηση. (β) Κάθε ισομετρία είναι συνάρτηση Lipschitz. (γ) Παράδειγμα: ο τελεστής της δεξιάς μετατόπισης (shift operator) S r : l 2 l 2 με S r (x 1,x 2,x 3,...) = (0,x 1,x 2,...) είναι ισομετρία που δεν είναι επί.

95 Ισοδύναμες μετρικές Ορισμός Εστω X ένα μη κενό σύνολο και ρ,σ δύο μετρικές στο X. Οι ρ και σ λέγονται ισοδύναμες (και γράφουμε ρ σ) αν ορίζουν τις ίδιες συγκλίνουσες ακολουθίες. Δηλαδή ρ σ αν και μόνον αν ισχύει η ισοδυναμία x n ρ σ x x n x.

96 Ισοδύναμες μετρικές Πρόταση Εστω X ένα μη κενό σύνολο και ρ,σ δύο μετρικές στο X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Οι ρ,σ είναι ισοδύναμες. (β) Η ταυτοτική συνάρτηση id : (X,ρ) (X,σ) είναι συνεχής και η id 1 επίσης. (γ) (Κριτήριο Hausdorff) Για κάθε ε > 0 και για κάθε x X υπάρχουν δ 1,δ 2 > 0 ώστε B ρ (x,δ 1 ) B σ (x,ε) και B σ (x,δ 2 ) B ρ (x,ε). (δ) Το G X είναι ρ ανοικτό αν και μόνον αν είναι σ ανοικτό. (ε) Το F X είναι ρ κλειστό αν και μόνον αν είναι σ κλειστό. Πρόταση Αν ρ είναι μια μετρική στο σύνολο X, τότε υπάρχει ισοδύναμη μετρική σ στο X η οποία είναι φραγμένη.

97 Ομοιομορφισμοί Ορισμός Εστω f : (X,ρ) (Y,σ). Η f λέγεται ομοιομορφισμός ( homeomorphism) αν είναι 1-1, επί και αμφισυνεχής. Οι μετρικοί χώροι (X,ρ) και (Y,σ) λέγονται ομοιομορφικοί αν υπάρχει ομοιομορφισμός f : (X,ρ) (Y,σ). Γράφουμε X hom Y ή X Y. Παρατηρήσεις (α) Η σχέση ομοιομορφισμού μεταξύ μετρικών χώρων είναι σχέση ισοδυναμίας. (β) Εστω ρ και σ δύο μετρικές στο σύνολο X. Αν οι ρ,σ είναι ισοδύναμες, τότε οι μετρικοί χώροι (X,ρ) και (X,σ) είναι ομοιομορφικοί. Το αντίστροφο δεν ισχύει.

98 Ομοιομορφισμοί Πρόταση Εστω f : (X,ρ) (Y,σ) συνάρτηση 1-1 και επί. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Η f είναι ομοιομορφισμός. ρ (β) Αν (x n ) είναι ακολουθία στον X και x X, τότε x n x αν και μόνον αν f (x n ) σ f (x). (γ) G X ρ ανοικτό f (G) Y σ ανοικτό. (δ) F X ρ κλειστό f (F ) Y σ κλειστό. (ε) Η d(x,y) = σ(f (x),f (y)) είναι μετρική στο X ισοδύναμη με την ρ. Πρόταση Κάθε μετρικός χώρος (X, ρ) είναι ομοιομορφικός με έναν φραγμένο μετρικό χώρο.

99 Συνοψίζουμε: f : (X,ρ) (Y,σ). Η f λέγεται ομοιομορφισμός : 1-1, επί, συνεχής και f 1 : (Y,σ) (X,ρ) συνεχής. X Y (ομοιομορφικοί) αν υπάρχει ομοιομορφισμός f : (X,ρ) (Y,σ). (Αν X = Y ) ρ σ (ισοδύναμες) αν id : (X,ρ) (X,σ) : x x ομοιομορφισμός. (Αν C > 0), η f είναι C Lipschitz αν για κάθε x,y X ισχύει σ(f (x),f (y)) C ρ(x,y). f ισομετρία αν για κάθε x,y X σ(f (x),f (y)) = ρ(x,y).

100 Χώροι ομοιομορφικοί και μη (α) R Z, (β) Z Q R Q (γ) Τα ( π 2, π 2 ) και R (και τα δύο με τη συνήθη μετρική) είναι ομοιομορφικά μέσω της συνάρτησης tan : ( π 2, π 2 ) R, όμως δεν είναι ισομετρικά διότι diam(( π 2, π 2 )) = π ενώ diam(r) =. (δ) (0,1) (a,b), [0,1) [a,b) (c,d] και [0,1] [a,b]. (ε) Το (0,1) δεν είναι ομοιομορφικό με το (a,b) (c,d) (όπου b c). (στ) Το (0,1) δεν είναι ομοιομορφικό με το [0,1).

101 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα. Δηλαδή, αν μια ακολουθία (x n ) ικανοποιεί: ε > 0 n 0 N : αν m,n n 0 τότε ρ(x n,x m ) < ε τότε υπάρχει x X ώστε ρ(x n,x) 0. Παραδείγματα (πλήρεις χώροι) (α) Αν δ η διακριτή μετρική στο X, ο χώρος (X,δ) είναι πλήρης. (β) Ο (R, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος (Απειρ Ι). (γ) Ο (R m,ρ 2 ), όπου ρ 2 η Ευκλείδεια μετρική, είναι πλήρης μετρικός χώρος.

102 Παραδείγματα Παραδείγματα (πλήρεις χώροι) (δ) Εστω {(X i,d i )} k i=1 πεπερασμένη ακολουθία μετρικών χώρων. Ο χώρος ( k i=1 X i, k i=1 d i) είναι πλήρης αν και μόνο αν οι (X i,d i ) είναι πλήρεις για i = 1,2,...,k. (ε) Εστω {(X n,d n )} n=1 ώστε d n(x,y) 1 για κάθε x,y X n, n = 1,2,... Εστω X = n=1 X n με μετρική την d(x,y) = n=1 1 2 n d n(x(n),y(n)) όπου x = (x(1),...,x(n),...) X. Αν οι X n είναι πλήρεις μετρικοί χώροι τότε και ο (X,d) είναι πλήρης μετρικός χώρος.

103 Παραδείγματα Παραδείγματα (μη πλήρεις χώροι) (α) Ο (Q, ) δεν είναι πλήρης. (β) Ο χώρος (R,σ) με τη μετρική σ(x,y) = arctanx arctany δεν είναι πλήρης: Η ακολουθία x n = n είναι σ-βασική, αλλά δεν είναι σ-συγκλίνουσα. Οι ομοιομορφισμοί δεν διατηρούν κατ ανάγκη πληρότητα.

104 Χώροι Banach Ορισμός Εστω (X, ) ένας χώρος με νόρμα. Ο X λέγεται χώρος Banach αν είναι πλήρης μετρικός χώρος ως προς τη μετρική που επάγεται από τη νόρμα, δηλαδή αν ο (X,d) όπου d(x,y) = x y είναι πλήρης μετρικός χώρος. Πρόταση Εστω Γ μη κενό σύνολο. Ο χώρος l (Γ) των φραγμένων συναρτήσεων x : Γ R, με μετρική την είναι πλήρης. Πόρισμα d (x,y) = sup{ x(i) y(i) : i Γ} Ο χώρος l των φραγμένων ακολουθιών με μετρική την d είναι πλήρης.

105 Πλήρεις μετρικοί χώροι Λήμμα Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και F X. Αν ο (F,ρ F ) είναι πλήρης μετρικός χώρος, τότε το F είναι κλειστό στον X. Λήμμα Εστω (X,ρ) πλήρης μετρικός χώρος και έστω F X. Αν το F είναι κλειστό στον X τότε ο (F,ρ F ) είναι πλήρης μετρικός χώρος. Επομένως: Πρόταση Εστω (X,ρ) πλήρης μετρικός χώρος και F X. Το F είναι κλειστό στον X αν και μόνον αν ο (F,ρ F ) είναι πλήρης μετρικός χώρος.

106 Πλήρεις μετρικοί χώροι Πόρισμα Ο χώρος c 0 των μηδενικών ακολουθιών με τη μετρική d (που επάγεται από τον l ) είναι πλήρης μετρικός χώρος. Πόρισμα Ο χώρος C([a,b]) = {f : [a,b] R συνεχής} με τη μετρική d (που επάγεται από τον l ([a,b])) είναι πλήρης μετρικός χώρος. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι κλειστοί υπόχωροι του αντίστοιχου l (Γ).

107 Θεώρημα Cantor Γενικεύει: αρχή κιβωτισμού στο (R, ). Θεώρημα (Cantor Fréchet) Εστω (X,ρ) πλήρης μετρικός χώρος. Τότε: Για κάθε φθίνουσα ακολουθία {F n } n N μη κενών, κλειστών υποσυνόλων του X με diam(f n ) 0, ισχύει n=1 F n /0. Μάλιστα, υπάρχει x X ώστε n=1 F n = {x}. Αναγκαιότητα υποθέσεων: Πρδγ: Στον (R, ): F n = (0, 1 n ) : φθίνουν, diam(f n) 0, αλλά n F n = /0 : όχι κλειστά! F n = [n, ) : φθίνουν, κλειστά, αλλά n F n = /0 : diam(f n ) 0.

108 Θεώρημα Cantor Πρόταση (Αντίστροφο) Αν στον (X,ρ) κάθε φθίνουσα ακολουθία {F n } n N μη κενών, κλειστών υποσυνόλων του X με diam(f n ) 0 έχει n=1 F n /0, τότε ο (X,ρ) είναι πλήρης. Σε μη πλήρη, π.χ. (Q c, ): F n = [ 1 n, 1 n ] : φθίνουν, diam(f n) 0, αλλά n F n = /0.

109 Θεώρημα Cantor (Απόδειξη) Παρατήρηση Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και {A n } ακολουθία υποσυνόλων του X με diam(a n ) 0. Τότε, το σύνολο n=1 A n περιέχει το πολύ ένα στοιχείο. Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και (x n ) ακολουθία στον X. Η ουρά της (x n ): R n = {x k : k n}, n = 1,2,... Λήμμα Στον (X,ρ) τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα για την (x n ): (α) Η ακολουθία (x n ) είναι βασική. (β) diam(r n ) 0 καθώς n.

110 Το θεώρημα κατηγορίας του Baire Αν G 1,G 2,...,G m ανοικτά και πυκνά υποσύνολα του (X,ρ), το mi=1 G i είναι πυκνό (και φυσικά, ανοικτό). [Εξηγείστε γιατί] Για άπειρα: όχι πάντα. Παράδειγμα: στον (Q, ) θεωρούμε μια αρίθμηση (q n ) του Q και ορίζουμε G n = Q \ {q n }. Τα G n είναι ανοικτά και πυκνά στον Q, αλλά η τομή τους είναι κενή. Θεώρημα (Baire) Εστω (X,ρ) πλήρης μετρικός χώρος. Αν (G n ) ακολουθία ανοικτών και πυκνών υποσυνόλων του X, τότε n=1 G n /0. Μάλιστα, είναι πυκνό στον X. Αναδιατύπωση: Θεώρημα Εστω (X,ρ) πλήρης μετρικός χώρος. Αν (F n ) ακολουθία κλειστών υποσυνόλων του X ώστε n=1 F n = X, τότε υπάρχει k N ώστε int(f k ) /0.

111 Θεώρημα κατηγορίας Baire: Απόδειξη Εστω V X ανοικτό μη κενό. Ν.δ.ο. V ( n=1 G n ) /0. G 1 = X V G 1 /0 και ανοικτό, άρα υπάρχει κλειστή ˆB(x 1,r 1 ) V G 1 με 0 < r 1 < 1. G 2 = X G 2 B(x 1,r 1 ) /0 και ανοικτό άρα υπάρχει ˆB(x2,r 2 ) G 2 B(x 1,r 1 ) V G 1 G 2 με 0 < r 2 < 1/2. Επαγωγή: για κάθε n υπάρχει ˆB(x n,r n ): diam(ˆb(x n,r n )) 2 n ˆB(x n,r n ) G n B(x n 1,r n 1 ), άρα ˆB(x n,r n ) ˆB(x n 1,r n 1 ) και ˆB(x n,r n ) V G 1 G n. Cantor: υπάρχει x X ώστε x n=1 ˆB(xn,r n ). Τότε x V G 1... G n για κάθε n N.

112 Σύνολα G δ και F σ Ορισμός Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και έστω A X. (α) Το A λέγεται σύνολο G δ αν μπορεί να γραφεί ως αριθμήσιμη τομή ανοικτών υποσυνόλων του X. (β) Το A λέγεται σύνολο F σ αν μπορεί να γραφεί ως αριθμήσιμη ένωση κλειστών υποσυνόλων του X. Παραδείγματα Στον (R, ): (α) Το (a,b] είναι F σ και G δ : Αν k N, αρκετά μεγάλο: (a,b] = [a + 1n ] (,b = a,b + 1 ). n n=k n=1 (β) Το Q είναι F σ (προφ.) αλλά όχι G δ (αποδ.: σε λίγο!)

113 Θεώρημα κατηγορίας Baire Πόρισμα Εστω G πυκνό και G δ υποσύνολο του R. Τότε, το G είναι υπεραριθμήσιμο. Πόρισμα Το σύνολο των ρητών Q δεν είναι G δ υποσύνολο του R....γιατί είναι πυκνό και αριθμήσιμο.

114 Θεώρημα κατηγορίας Baire Ορισμός Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος. (α) Ενα υποσύνολο A του X λέγεται πουθενά πυκνό ή αραιό αν ισχύει int(a) = /0. (Δεν αρκεί int(a) = /0: π.χ. Q στον (R, ).) (β) Ενα υποσύνολο B του X λέγεται πρώτης κατηγορίας (στον X ) αν μπορεί να γραφεί ως αριθμήσιμη ένωση πουθενά πυκνών υποσυνόλων του X, δηλαδή αν υπάρχουν E n, n = 1,2,... πουθενά πυκνά υποσύνολα του X, ώστε B = n=1 E n. (γ) Ενα υποσύνολο C του X λέγεται δεύτερης κατηγορίας (στον X ) αν δεν είναι πρώτης κατηγορίας. Το θεώρημα Baire διατυπώνεται ως εξής: Κάθε πλήρης μετρικός χώρος είναι σύνολο δεύτερης κατηγορίας (στον εαυτό του).

115 Δυο εφαρμογές (Η απόδειξη παραλείπεται.) Θεώρημα (Osgood) Εστω f n : [0,1] R, n N, συνεχείς συναρτήσεις. Υποθέτουμε ότι για κάθε t [0,1] η ακολουθία (f n (t)) είναι (κ.σ.) φραγμένη, δηλ. sup n f n (t) M t <. Τότε, υπάρχουν a < b στο [0,1] και M > 0 ώστε, για κάθε t [a,b] και κάθε n N, f n (t) M. Δηλαδή, υπάρχει [a,b] ώστε η (f n ) να είναι ομοιόμορφα φραγμένη στο [a, b]. Θεώρημα Θεωρούμε τον χώρο C ([0, 1]) των συνεχών συναρτήσεων στο [0,1] με μετρική την d (f,g) = max t [0,1] f (t) g(t) (είναι πλήρης). Το σύνολο M των f C ([0,1]) που δεν έχουν παράγωγο σε κανένα σημείο του [0,1] είναι πυκνό στον C ([0,1]).

116 Ταλάντωση Ορισμός Εστω f : (X,ρ) (Y,σ) μια συνάρτηση. Αν x X, η ταλάντωση της f στο x ορίζεται ως εξής: τ f (x) =inf{diam(f (B ρ (x,δ))) : δ > 0} =lim δ 0 diam(f (B ρ (x,δ))) [0,+ ]. Πρόταση Εστω f : (X,ρ) (Y,σ) και x X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Η f είναι συνεχής στο x. (β) τ f (x) = 0.

117 Σημεία συνέχειας Θεώρημα Το σύνολο C(f ) των σημείων συνέχειας μιας f : (X,ρ) (Y,σ) είναι G δ υποσύνολο του X. Γιατί το D(f ) είναι F σ : D(f ) = {x X : τ f (x) 1 n } n=1 Παρατήρηση: Υπάρχει f : R R που είναι συνεχής σε κάθε άρρητο και ασυνεχής σε κάθε ρητό (δηλ. C(f ) = R \ Q). (Στο [0,1] : f ( m n ) = 1 n όταν (m,n) = 1 και f (x) = 0 όταν x / Q). Πόρισμα Δεν υπάρχει f : R R με C(f ) = Q.... γιατί το Q δεν είναι G δ.

118 Το θεώρημα σταθερού σημείου του Banach Ορισμός (σταθερό σημείο) Εστω f : X X συνάρτηση και έστω x 0 X. Το x 0 λέγεται σταθερό σημείο της f αν ισχύει f (x 0 ) = x 0. Συμβολίζουμε με Fix(f ) το σύνολο των σταθερών σημείων της f. Αν f συνεχής, το Fix(f ) είναι κλειστό υποσύνολο του X. Θεώρημα (Banach) Εστω (X,ρ) πλήρης μετρικός χώρος και T : X X συνάρτηση με την ιδιότητα: υπάρχει 0 < c < 1 ώστε ρ(t (x),t (y)) c ρ(x,y) για κάθε x,y X. Τότε, υπάρχει μοναδικό z X ώστε T (z) = z.

119 Το θεώρημα σταθερού σημείου του Banach (α) Σφάλμα στο n-οστό βήμα: ρ(t n (x),z) cn ρ(x,t (x)). 1 c (β) Η συνάρτηση T : R R με T (x) = log(1 + e x ) ικανοποιεί την T (x) T (y) < x y για κάθε x,y R, αλλά δεν έχει σταθερό σημείο. (γ) Η πληρότητα του (X,ρ) δεν μπορεί να παραλειφθεί. Παράδειγμα: αν f : (0,1) (0,1) με f (x) = x 2 τότε f (x) f (y) 6 7 x y για κάθε x,y (0,1), αλλά η f δεν έχει σταθερό σημείο.

120 Πλήρωση μετρικού χώρου Ορισμός (πλήρωση μετρικού χώρου) Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος. Ενας πλήρης μετρικός χώρος (Y,σ) λέγεται πλήρωση του X αν υπάρχει ισομετρία T : X Y για την οποία ο T (X ) είναι πυκνός υπόχωρος του Y. Θεώρημα (ύπαρξη πλήρωσης) Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος. Τότε, υπάρχουν πλήρης μετρικός χώρος ( X, ρ) και T : X X ισομετρία ώστε ο T (X ) να είναι πυκνός υπόχωρος του X. Λήμμα Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος. Τότε υπάρχει ισομετρική εμφύτευση T : (X,ρ) (l (X ),d ). T : x f x όπου f x (t) = ρ(t,x) ρ(t,a), t X.

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2010-11 Περιεχόμενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισμός και παραδείγματα........................... 3 1.2 Χώροι με

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας Πραγµατική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισµός και παραδείγµατα.......................... 3 1.2 Χώροι

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

1 + t + s t. 1 + t + s

1 + t + s t. 1 + t + s Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Μετά τη συνεκτικότητα, όπου είδαμε κάπως αναλυτικά την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

B ρ (0, 1) = {(x, y) : x 1, y 1}

B ρ (0, 1) = {(x, y) : x 1, y 1} Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετικών χώων 3.1 Ανοικτά και κλειστά σύνολα 3.1.1 Ανοικτά σύνολα Οισμοί 3.1.1. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω x 0 X. (α) Η ανοικτή -μπάλα με κέντο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Συναρτησιακή Ανάλυση! http://eclass.uoa.gr/courses/math495/ Εαρινό Εξάμηνο 2015-16 Γραμμικοί χώροι K είναι το σώμα R ή C. Ορισμός Ενα X /0 λέγεται K-γραμμικός χώρος αν είναι εφοδιασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Sunarthsiak Anˆlush Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης νοιξη 2004 2 Perieqìmena 1 Εισαγωγικά 7 1.1 Διατάξεις............................... 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών - Περιεχόμενα Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzno Weierstrss.αʹ Απόδειξη με χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 6Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΧΩΡΟΙ HAUSDORFF ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Κλειστα συνολα Εχοντας

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B. Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

x < A y f(x) < B f(y).

x < A y f(x) < B f(y). Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Ασκήσεις στα Κεφάλαια 5 & 6 1. Αυτή είναι ουσιαστικά η Άσκηση 5.2 (σελ. 119), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, < καλά διατεταγμένο σύνολο και έστω στοιχείο a A. Αποδείξτε

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

Διαβάστε περισσότερα

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) Τελεστές σε χώρους Hilbert Γεωργάτος Σπυρίδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Επιτροπή Επιβλέπων: Φελουζής Ευάγγελος - Αναπληρωτής Καθηγητής Μέλη : Τσολομύτης Αντώνιος - Καθηγητής Νικολόπουλος Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 2: Ακολουθίες - Σειρές Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 83 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1 Σημειώσεις για τους χώρους Hilbert και άλλα Αριστείδης Κατάβολος Από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών», εκδ. «Συμμετρία», 2008. Περιεχόμενα I Χώροι Hilbert 1 1 Εσωτερικά γινόμενα 1 1.0.1 Παραδείγματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc Shmei seic Genik c TopologÐac Miqa l GerapetrÐthc Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na, 2013 ii Perieqìmena Εισαγωγή 1 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα, βάσεις και υποβάσεις..................

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

B = {x A : f(x) = 1}.

B = {x A : f(x) = 1}. Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση : 1 λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 5: Οι χώροι L p Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3..., ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 017-18 ΜΕΜ31-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 3Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ R ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Ανοικτα και κλειστα συνολα του R Το σύνολο R των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες.................................... 6. Υπαρξη και μονοσήμαντο.......................... 8 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης Διανυσματική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 30 Απριλίου 2014 Σημείωση: Οι παρούσες σημειώσεις δημιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του μαθήματος Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ και IV σε φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εισαγωγή στη Θεωρία Υπερκυκλικών Τελεστών ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΒΑΓΙΑ ΒΛΑΧΟΥ ΠΑΤΡΑ, ΙΟΥΛΙΟΣ 2015 Ευχαριστίες

Διαβάστε περισσότερα

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα