' I. Εκδίδεται κάθε τρίμηνο. Δεκέμβρης 1983

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "' I. Εκδίδεται κάθε τρίμηνο. Δεκέμβρης 1983"

Transcript

1 .. ' Εκδίδεται κάθε τρίμηνο Δεκέμβρης 1983

2 ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΜΕΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Κώστα Α. Δρόσου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ~τόχος της εργασίας αυτής είναι η παρουσίαση διαφόι:χuν διδακτικών μεθόδων για την εισαγωγή και κατανόηση βασικών εννοιών της Πιθανότητας στη μέση εκπαίδευση. Επιπλέον οι μέθοδοι αυτές στοχεύουν: i) ~την ανάπτυξη μιας ισχυρής και αυθεντικής πιθανοτικής διαίσθησης, συσχετίζοντας την έννοια τrις πιθανότητας με άλλες γνωστότερες όπως π.χ. της μάζας, και του εμβαδού. ii) Να συμπληρώσουν τα ήδη υπάρχοντα διδακτικά βιβλία, που κατά τη γνώμη του γράφοντος, δεν καταβάλλουν καμμιά προσπάθεια προς τη μεριά της μεθοδολογικής εισαγωγής των εννοιών της πιθανότητας. Η μελέτη της πιθανότητας, πολλές φορές παρουσιάζεται, σαν δύσκολη και ίσως πρωτόγνωρη εμπειρία για τον αρχάριο. Αυτό οφείλεται στην παντελή έλλειψη, π ιθανοτικής εμπειρίας και σπουδής στο δημοτικό ή στο Γυμνάσιο. Όπως είναι γνωστό η δυτική επιστημονική παιδεία έχε ι περιοριστεί περισσό ~ερο στα ντετερμινιστικά χαρακτηριστικά της επιστήμης και έχει τελείως α μελήσει τη σπουδή του αβέβαιου, του δυνατού και του πιθανού. Αξίζει να αναφερθούν ενδεικτικά δυο παραδείγματα όπου η έλλειψη αυθεντικής διαίσθησης, οδηγεί πολλές φορές σε παρανοήσεις:..,.. Παρόδειγμα Κατά τη γέννηση ενός παιδιού, η πιθανότητα να έχουμε αγόρι εί.ναι i Ποιές από τις παρακάτω ακολουθίες ενδείξεων ~χει τη μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης, όταν θεωρούμε ότι έχουμε οικογένειες με 6 παιδιά; (i) ΑΚΚΑΚΑ (ii) ΑΑΑΑΚΑ, Α ':'"αγόρι", Κ="κορίτσι". Οι απαντήσεις των περισσοτέρων είναι η (i), γιατί υπάρχει η εσφαλμένη εντύπωση ότι ο ίσος αριθμός αγοριών και κοριτσιών είναι πιο συμβιβα-

3 2 στός με την πιθανότητα~ να έχουμε ένα αγόρι. Ωστόσο η σωστή απάντηση είναι ότι και οι δύο ακολουθίες έχουν την ίδια πιθανότητα εμφάνισης ~ ~ Παράδειγμα 2 Με τις ίδιες ΠροUποθέσεις όπως στο παράδειγμα 1, ποιά είναι η πι θανότητα μεταξύ έξη παιδιών να έχουμε τρία κορίτσια ; (i) ~ (ii) ~ (iii) άλλη 46 μαθητές απάντησαν την (i j, 1 τη σωστή {ii) και 18 την (iii). Στόχος λοιπόν της διδασ κ αλίας των μαθηματικών είναι να μετα δ ώσει κάπο ι α μαθηματικό αποτελέσματα (γνώσει ς), αναπαραγάγοντας ταυτόχρονα και τι ς διαδικασίες σκέψης που οδηγούν σ ' αυτό, μα κα ι δημιουργώντας μιαν ανεπτυγμένη, ισχυρή και αυθ~ντική διαίσθηση γύρω από τι ς εισαγόμενες μαθηματ ι κές έννοιες και αποτελέσματα. Το κύριο σφάλμα των διδακτικών βιβλίων στοιχειώδους Πιθαvότητας, αλλά πολλές φορές και των διδασκόντων είναι ότι δίνουν στο μαθητή την εντύπωση ό τ ι, η πιθανότητα είναι τεχνικές συνδυαστικής α νάλυσης (πολλές φορές πολύ δύσκολες) και τίποτε άλλο. Αυτό πρέπει να προσεχτεί ιδιαίτερα δ ί -... νοντας ένα καλοζυγισμένο μίγμα από τεχνικές έννοιες, ασκήσεις κα ι προβλήματα. Πρέπει ακόμα να σημειωθεί ότι η Πιθανότητα και η Στατιστική δεν έ χει ακόμα βρει τη θέση που αρμόζει στα μαθηματικό της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Η γνώμη του γράφοντος είναι ότι: i) Πρέπει να διατεθεί περισσότερος χρόνος και χώρος για τη διδασκαλία της Πιθανότητας και της Στατιστικής. Ένα ή δύο μικρά κεφάλαια που συνήθως διατίθενται, δεν διευκολύνουν στο να δει κανείς τη σπουδαιότητα των μαθημάτων αυτών. ii) Το επίπεδο της παρουσίασης, της εργασίας αυτής,σίγουραδεν είναι ανώτερο από τα αντίστοιχα επίπεδα Άλγεβρας και Γεωμετρίας. Ωστόσο περιέχει, με ένα τρόπο κατάλληλο, βασικές και βαθειές μαθηματικές έννοιες. 1. TYXAA ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ Το τ υχαίο πείραμα είναι μια βασική, αρχική έννοια για την πιθαvο-

4 3 θεωρία. Επειδή εμάς μας ενδιαφέρει η διαισθητική ανάπτυξη της έννοιας αυτής θα προσπαθήσουμε να την εξετάσουμε σε περισσότερο βόθος. Πολλές φορές, λέγεται ότι η Πιθανοθεωρία είναι η μελέτη των μαθηματικών μοντέλων των τυχαίων φαινομένων (εμπειρικά τυχαία πειράματα). Πριν λοιπόν προχωρήσουμε κρίνεται σκόπιμο να δώσουμε την έννοια του μαθηματικού μοντέλου για ένα εμπειρικό φαινόμενο. Μια απλοποιημένη σχηματική παράσταση ενός μαθηματικού μοντέλου κάθε εμπειρικής επιστημονικής πραγματικότητας, είναι και η παρακάτω: Μ Α θ ΗΗλ-τ ιi'.η- Σχήμα 1 Ένα παράδειγμα μαθηματικού μοντέλου, που γίνεται αμέσως κατανοητό είνα ι το Ευκλείδειο Γεωμετρικό μοντέλο για το χώρο. Στο μοντέλο αυτό η ε μπειρική έννοια του υλικού σημείου aντιστοιχίζεται στο γεωμετρικό σημείο, που δεν έχει καθόλου διαστάσεις. Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η μαθηματική έννοια "τετράγωνο" είναι μια αφαίρεση των υλικών, εμπειρικών τετραγώνων, χωρίς να έχει καμμιά ιδιαίτερη σχέση με κανένα από αυτά. Στόχος μας είναι να εισάγουμε ης έννοιες της Πιθανότητας με τον ί διο τρόπο που εισάγονται οι γεωμετρικές έννοιες. Ένα εμπειρικό φαινόμενο θα λέγεται τυχαίο αν χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα, ότι η παρατήρησή του, κάτω από τις ίδιες πρακτικά συνθήκες δεν οδηγεί στο ίδιο παρατηρούμενο αποτέλεσμα. Δηλαδή ένα τυχαίο

5 4 εμπειρικό φαινόμενο, είναι εκείνο, που κάτω από τις ίδιες πρακτικό συ ν θήκες, δεν μπορούμε με βεβαιότητα να προβλέψουμε το αποτέλεσμά του. Ένα απλό εμπειρικό τυχαίο φαινόμενο (ή και εμπειρικό τυχαίο πείραμα) είναι η ανάρριψη και η παρατήρηση της ένδειξης ενός νομίσματος. Για να διατηρούμε τις ίδιες πρακτικό συνθιiκες ανόρριψης, χρησιμοποιούμε την παρακάτω μηχανή ανόρριψης νομισμάτων. Σχήμα 2 Το αφηρημένο (ιδεατό) μαθηματικό "τυχαίο πείραμα" μπορεί να επαναληφθεί (εννοιολογικό) όσεc; φορέc; θέλουμε, κότω από ακριβώς τιc; ίδιε ς συνθήκες. Μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι τα ιδεατά "τυχαία πειράματα"σχετίζονται με τα εμπειρικά τους αντίστοιχα, με τον ίδιο τρόπο που σχετίζεται το γεωμετρικό σημείο ή σχήμα με τα υλικά aντίστοιχά τους. Στην Πιθανοθεωρία λοιπόν η έννοια "τυχαίο πείραμα" αναφέρεται σε μια ιδεατή διαδικασία παραγωγής δεδομένων (μετρήσεων κλπ.) και όχι στη διάταξη (όργανα κλπ.) και στην εκτέλεση του πειράματος. Έτσι η "τυχαιότητα" αναφέρεται στα αποτελέσματα και όχι στη διαδικασία εκτέλεσης και το μηχανισμό του πειράματος. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι αναρρίπτουμε ένα νόμισμα. Τότε ο δειγματικός χώρος Ω μπορεί να δίδεται από: (i) Ω = {Κ,Γ} αν θεωρήσουμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα είναι τα Κ = "κεφαλή" και Γ = "γράμματα". (ii) Ω={Κ,Γ,Ο} αν θεωρούμε ότι το να σταθεί όρθιο το νόμισμα είναι ένα δυνατό αποτέλεσμα.

6 (i i i) Ω={Κ,Γ,Ο, Χ} αν θεωρούμε ότι το να χαθεί το νόμισμα είναι ένα 5 δυνατό αποτέλεσμα. Πρέπει τώρα.να παρατηρήσουμε ότι οι περιπτώσεις (i), (ii), (iii) παρ"όλο που σχετίζονται με την ίδια διαδικασία ιδεατού πειραματισμού, α νόρριψης δηλαδή ενός νομίσματος, πρέπει να θ εωρούνται διαφορετικό τυχαία πειράματα. Γιατί όπως είπαμε δεν μας ενδιαφέρει αν στρίβο υμε ένα νόμισμα κλπ. αλλά πόσα δυνατό αποτελέσματα παίρνουμε. Το άημείο αυτό θα γίνει α κό'μα πιο καθαρό στη συνέχε ι α. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα ενός ιδεατού τυχα ίο υ πε ιράματ ος (που μπορεί δηλαδή να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθή κες, και που δεν μπορούμε να προβλέ ψουμε το αποτέλεσμά του) λέγεται δ ε ι γ ματοση με ίο και η ολότητα όλων των δυνατών δειγματοσημείων λέγεται δ ε ι γ ματ ικός χώρος. Έτσι για το "τυχαίο π είραμα " τη ς ανάρριψης ενός νομίσματος ο δειγματ ικός χώρος είναι ο Ω={Κ,Γ} όπου Κ ="κεφαλή", Γ = "γράμμα". Στη συνέχεια θα κάνουμε δύο βασικές παρατηρήσεις: i) Η φύση των δειγματοσημείων δεν υπεισέρχεται στη θεωρία μας. Για παράδειγμα τα εμπειρικά τυχαία πειράματα: α) Ανάρριψη ενός νομίσματος Ω={Κ,Γ} β) Γέννηση ενός παιδιού Ω={Α,Κ} γ) Από ένα δοχείο που πε ριέχ ει μαύρες και άσπρες σφαίρες επιλέγουμε μια Ω = {Μ,Α} και γενι κά όλα τα πειράματα με δυο αποτελέσματα αλλά με διαφορετικό διαισθητικό υπόβαθρο, aντιστοιχίζονται στο ίδιο ιδεατό τυχαίο πείραμα,. με δυο αποτελέσματα Ω={ω 1,ω2} και για τη θεωρία μας δεν αποτελούν διαφορετικά τυχαία πειράματα. Δr1λαδή το ιδεατό πείραμα, με δειγματικό χώρο Ω = {ω 1,ω 2 } α ποτελεί θεωρητικό αντιπρόσωπο μιας ολό κλ ηρης κλάσης τυχαίων πειραμάτων με διαφορετικό διαισθητικό υπόβαθρο. ii) Τα δειγματοσημεία πρέπει να είναι μη-αναλύσιμα σε α πλούστερα στοιχεία. Για παράδειγμα έστω το τ υχαίο πείραμα της ανάρριψης ενός νομίσματος

7 6 δυο φορές. Τότε ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι ο και όχι ο Ω=/(Κ,Κ), (Κ,Γ), (Γ,Κ), (Γ,Γ)/ Ω'=/(2Κ,ΟΓ), (1Κ,1Γ), (ΟΚ,2Γ)j, όπου π.χ. (2Κ,ΟΓ) όπου π.χ. (2Κ,ΟΓ) σημαίνει 2 κεφαλές και Ο γράμματα, γιατί (1Κ,1Γ) αναλύεται στα πιο στοιχειώδη δειγματοσημεία (Κ,Γ) και (Γ,Κ). ~αν συμπέρασμα των παραπάνω συνθηκών και παρατηρήσεων έχουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω είναι μοναδικός για κάθε ιδεατό τυχαίο πείραμα. Η φύση των δειγματοσημείων δεν ενδιαφέρει τη θεωρία. Το διαισθητικό υπόβαθρο του πειραματισμού δεν ενδιαφέρει τη θεωρία. Για τη θεωρία αυτό που έχει σημασία είναι πόσα δειγματοσημεία έχει ο Ω και για κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος να υπάρχει ακριβώς ένα και μόνο ένα δειγματοσημείο. Αξίζει να ση μειωθεί ότι υπάρχουν συγγραφε ίς που δεν δέχονται τη μοναδικότητα του δειγματικού χώρου. Η άποψη του γράφοντος είναι, ότι αυτό είναι ατυχές, γιατί στα μαθηματικά πάντα μας ενδιαφέρει η μοναδικότητα. Η άποψη του μοναδικού δειγματικού χώρου δίδεται με αδρές γραμμές και. από τον Feller: An ntroduction to Probability Theory and its Applications. Wiley 1968, που θεωρείται ένα από τα πιο έγκυρα βιβλία πιθανοθεωρίας. Η έννοια του ιδεατού τυχαίου πειράματος θα συμπληρωθεί στη συνέχεια, αφού μιλήσουμε πρώτα για πιθανότητες. Ας θεωρήσουμε τώρα μερικούς γειγματικούς χώρους, τυχαίων πειραμάτων, με ιδιαίτερο διαισθητικό υπόβαθρο. ~ 1. Αναρρίπτουμε ένα νόμισμα 2 φορές. Τα δυνατά αποτελέσματα είναι Ω= /(Κ,Κ), (Γ,Κ), (Κ,Γ), (Γ,Γ) Τα στοιχεία του Ω μπορεί να τα παραστήσουμε και ως: 2~... \1-~\'\'o\V <ιc:,r) r ----r- -- -<f(fίt) Ι ι ~χήμα 3 ~ - - ~~Γ -~<r,~ ϊ

8 Τυχαία πειράματα ρουλέττας. Με μια ρουλέττα είναι δυνατόν να παρασταθούν τυχαία πειράματα με 2,3,,n δυνατά αποτελέσματα. (Επίσης με aριθμήσιμο και με την ισχύ του συνεχούς, πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων). n.χ. Σχήμα 4 Παρατήρηση. Το τυχαίο π είραμα μιας ρουλέττας με δυο αποτελέσμα-. τα Ω={1,2} είναι ισοδύναμο με την ανάρριψη ενός νομίσματος Ω={Κ,Γ}, και η ανάρριψη ενός ζαριού είναι ισοδύναμη με μια ρουλέττα με έξη δυνατά αποτελέσματα..,. 3. Γεωμετρικά πειράματα τύχης. Τα γεωμετρικά πειράματα τύχης είναι εξαιρετικά κατάλληλα, στο να μας καταδείχνουν την ιδεατή φύση των τυχαίων πειραμάτων της πιθανοθεωρίας. Επιπλέον συνδέουν την πιθανότητα με τη γεωμετρία διευκολύνοντας έτσι την κατανόηση της φύσης της πιθανότητας. α) Έστω ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους k. Σχήμα 5 Επιλέγουμε τώρα τυχαία, ένα σημείο Μ του ΑΒ. Τα δυνατό αποτελέσματα είναι όλα τα σημεία του ΑΒ, άρα ο δειγματικός χώρος έχει την ισχύ του συνεχούς. β) Έστω Ω ένα υποσύνολο του R 2 (ορθογώνιο κύκλος κλπ.). Ω Β Θ Σχήμα 6

9 8 Επιλέγουμε στην τύχη ένα σημείο Μ του Ω. Και εδώ ο Ω έχει την ι σχύ του συνεχούς. Ορισμός. Όταν το Ω είναι πεπερασμένο η aριθμήσιμα άπειρο τότε κάθε υποσύνολό του Α λέγεται ενδεχόμενο η γεγονός, δηλαδή αν α. συμβολίζει την κλάση των ενδεχομένων τότε στην περίπτωση αυτή α.=ρ(ω). Αν όμως ο Ω έχει την ισχύ του συνεχούς, όπως π. χ. στα γεωμετρικό τυχαία πειράματα, τότε το σύνολο ΟLτων ενδεχομένων είναι γνήσιο υποσύνολο του Ρ(Ω) δηλαδή α.~ Ρ(Ω). Ωστόσο στην πε~ίπτωση αυτή θα περιοριστούμε σε πολύ απλό γεωμετρικά ενδεχόμενα του α. για τα οποία μπορούμε εύκολα να υ πολογίζουμε το εμβαδά τους με μεθόδους της στοιχειώδους Γεωμετρίας. Θα λέμε ότι ένα ενδεχόμενο Α έχει πραγματοποιηθεί αν το αποτέλεσμα ω ε Ω του τυχαίου πειράματος ανήκει στο ενδεχόμενο Α, δηλ. αν ωεα. Γενικώτερα έχουμε. Γλώσσα Πιθανοθεωρίας Γλώσσα συνολοθεωρίας - Δειγματικός χώρος - σύνολο αναφοράς - Δυνατό αποτέλεσμα του τυχαί- - στοιχείο του Ω ου πειράματος ή δειγματοσημείο - Ενδεχόμενο ότι κάποιο δειγ- - υποσύνολο του Ω ματοσημείο του Α,πραγματοποιείται η εμφάνιση του Α. - Ενδεχόμενο ότι κανένα δειγ-,- Συμπλήρωμα του Α ματοσημείο του Α δεν πραγματοποιεί τα ι. - Εμφάνιση του Α ή 1 Α 2... ή An - Ένωση των Α,.. 1 ;c,an - Εμφάνιση του Α και 1.. -τομή των A 1,A 2,.,An... και Α η και Α 2 - Η εμφόν ι ση του Α συνεπάγεται - Η σχέση του περιέ- - την εμφάνιση του Β χεσθαι - Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β - Αδύνατο ενδεχόμενο - Βέβαιο ενδεχόμενο - ξένα μεταξύ του σύνολα Α,Β - κενό σύνολο - ολόκληρος ο χώρος Συμβολισμός Ω ω ε Αε(J.~ Ω Ρ(Ω) A 1 Uf\ 2 U UAn n n n Α1 Α2 An ASB 0 Ω

10 9 ι.- Παραδείγματα 1. Αναpρίπτουμε δύο διακεκριμένα ζάρια και μας ενδιαφέρουν οι ενδείξεις τους. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος και το σύνολο των γεγονότων. Να εκφρασθούν τα ενδεχόμενα: Α={το άθροισμα των ενδείξεων είναι ίσο με 6} Β={και τα δύο ζάρια δείχνουν τις ίδιες ενδείξεις} C={τουλάχιστον μια ένδειξη, είναι διαιρετή με το 2} Λύση Πέρα από το διαισθητικό υπόβαθρο, εδώ έχουμε ένα τυχαίο πείραμα με 36 αποτελέσματα, δηλαδή: (1 '1) (1,2) ( 1,3) (1,4) (1.~) { 1,6) { 12,1 Ι (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) Ω= (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) } =Ω "' ( 4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ( 4,5) ( 4,6) ( 6,1 ) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) {6,6) ο ο όπου Ω={1,2,3,4,5,6} Το σύνολο των γεγονότων ΟL =Ρ{Ω) είναι όλα τα υποσύνολα του Ω. Ειδικά έχουμε: Α= j{5, 1), ( 4,2)' (3,3), (2,4)' { 1,5) 1 Β= j( 1,1), ( 2,2)' {3,3), (4,4), (5,5), (6,6) Ι 2. C= j( 1,2), ( 1,4)' ( 1 '6)' (2, 1)' (2,2)' (2,3), (2,4), (2,5), {2,6), (3,2), ( 3,4)' ( 4, 1)' {4,2), {4,3), (4,4), {4,5), (4,6), (5,2)' (5,4), (5,6), (6, 1)' (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), {6,6) ι Αναpρίπτουμε δύο νομίσματα. Να ~αθοpισ θεί. το Ω και το 0L Λύση Ω={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ} 1). = Ρ (Ω)=~0, {ΚΚ},{ΚΓ},{ΓΚ},{ΓΓ},{ΚΚ.. ΚΓ},{ΚΚ,ΓΚ},{ΚΚ,ΓΓ}, {ΚΓ,ΓΚ}, {ΚΓ,ΓΓ},{ΓΚ,ΓΓ},{ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ},{ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ},{ΓΚ,ΓΓ,ΚΚ},. {ΓΓ,ΚΚ,ΚΓ}, Ω~

11 10 Έτσι, εκτός από την πιθανότητα, που θα ορίσουμε στην επόμενη παράγραφο, η διαταγμένη δυάδα (Ω,α) ορlζει όλα τα υπόλοιπα χαρακτηριστικό του τυχαίου πειράματος. 3. Αναρρίπτουμε ένα νόμισμα μέχρι να πάρουμε κεφαλή Κ. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω και το 0L Λύση Ω={Κ,ΓΚ,ίΓΚ,ΓΓΓΚ,,ΓΓ ΓΚ, } '-ν-" n-1 Ο πληθάριθμος του Ω είναι τοχ 0 δηλαδή το Ω είναι ισοδύναμο με το σύνολο Ν. Ακόμα και σ"αυτή την περίπτωση έχουμε ότι QL=P(Ω). 4. Δύο διακεκριμένες σφαίρες, τοποθετούνται τυχαία σε τέσσερα κουτιά. Να περιγραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. Λύση Ω= ι (χ,y) χ =1,2,3,4 y=1,2,3,41 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4) j (2,1),(2,2),(2,3),(2,4) = (3, 1),(3,2),(3,3),(3,4) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4) όπου (χ,y) σημαίνει ότι η πρώτη ι σφαίρα τοποθετείται στο κουτί χ και η δεύτερη στο κουτί y. Επίσης εδώ έχουμε σ. = Ρ (Ω). Ασκήσεις 1. Τέσσερα αντικείμενα ω 1,ω2,ω3,ω4 ελέγχονται για το αν είναι ελαττωματικά ή όχι. Να περιγραφεί ο δειγματικός χώρος. Ας ορίσουμε τώρα τα ενδεχόμενα: Α=''τουλάχιστον ένα από τα 4 αντικείμενα που ελέγχθησαν είναι ελαττωματικό". Β=" Όλα τα αντικείμενα είναι μη-ελαττωματικά". C='Άκριβι;Jς δύο από τα αντικείμενα είναι ελαττωματικά". Να ερμηνευθούν τα παρακάτω ενδεχόμενα: ( i) AUB, (ii)aπb, (iii) AUC, (iν) Α n C

12 11 2. Ένα ζάρι αναρρίπτεται μέχρι να εμφανισθούν δυο εξάρια στη σειρά. Να περιγραφεί ο δειγματικός.χώρος του πειράματος. 3. Ένα κουτί περιέχει η αντικείμενα, από τα οποία k είναι ελαττωματικά. Να περιγραφεί ο δειγματικός χώρος νια κάθε ένα από τα παρακάτω τυχαία πειράματα. (i ) Δύο αντικείμενα ανασύρονται τυχαία χωρίς επανάθεση. (ii) Δύο αντικείμενα ανασύρονται τυχαία με επανάθεση (iii) Ανασύρουμε αντικείμενα χωρ ί ς επανάθεση, μέχρι να ανασύρουμε έ να ελαττωματικό. (iν) Ανασύρουμε αντικείμενα με επανάθεση μέχρι να ανασύρουμε ένα ε λαττωματικό. 4. Ένα δοχείο περιέχει 10 σφαίρες, αριθμημένες από το 1 έως το 10. Επιλέγουμε δύο σφαίρες τυχαία; με επανάθεση. Να περιγραφούν ο δειγματικός χώρος Ω και το γεγονός, ''ο αριθμός της δεύτερης σφαίρας να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό της πρώτης". 2. ΠΙθΑΝΟΤΗτΑ Μέχρι τώρα έχουμε εξετάσει τις έννοιες: δειγματικός χώρος, ενδεχόμενο και τυχαιότητα ενός τυχαίου πειράματος. Θα θέλαμε στη συνέχεια να ο λοκληρώσουμε την έννοια του τυχαίου πειράματος, εξετάζοντας τη δυνατότητα ορισμού ενός "μέτρου" της τυχαιότητας, που θα το καλούμε πιθανότητα. Για τη φύση της τυχαιότητας και του μέτρου της, της Πιθανότητας υ πάρχουν πολλές και αμφιλεγόμενες αιτόψεις. Μι.α παλιά άποψη (Laplace), που συναντιέται και σήμερα, είναι ο μηχανιστικός ντετερμινισμός. Η άποψη αυτή υποστηρίζει, ότι η μοναδικιi αιτία της τυχαιότητας, είναι η άγνοιά μας νια τις αιτίες που σχετίζονται με ένα τυχαίο φαινόμενο. Επιπλέον ισχυρίζεται ότι αν γνωρίζαμε όλα τα αίτια, σε ένα τυχαίο φαινόμενο, θα μπορούσαμε με βεβαιότητα να προβλέψουμε το αποτέλεσμα (ντετερμινισμός). Μια άλλη άποψη, που υποστηρίζεται από πολλούς, μεταξύ των οποίων και από το Ρώσσο Πιθανοθεωρητι κό Β. V. Gnedenko, είναι αυτή που ισχυρίζεται ότι η τυχαιότητα και το μέτρο της, η πιθανότητα, έχει μια αντικειμε-

13 12 νική υπόσταση και εκφράζει βασικούς νέους νόμους που εμφανίζονται και είναι σύμφυτοι με τη μελέτη μεγάλου αριθμού φαινομέν~ν (μαζικό φαινόμενα). Η δεύτερη άποψη ενισχύεται και από τα αποτελέσματα της Στατιστικής Μηχανικής αλλά και της Κβαντομηχανικής. Κατά τη μελέτη π.χ. της συμπεριφοράς ενός αερίου χρησιμοποιήθηκαν στην αρχή μη-πιθανοθεωρητικές μέθοδοι (π.χ. περιγραφή της κίνησης κάθε μορίου με μια διαφορική εξίσωση) σε κάθε μόριο του αερίου. χωρίς τελικό να μπορεί να φθάσει κανείς σε κάποιο λογικό απο τέλεσμα. Από τη στιγμ~ όμως που οι Maxwell και Boltzmann εισήγαγαν την ι δέα της πιθανότητας, για τη μελέτη ~ιεγάλου αριθμού μορίων, μόνο τότε έγινε δυνατή η περιγραφή της συμπεριφοράς των αερίων; σαν αποτέλεσμα της στατιστ ι κής ομαλότητας μεγάλου αριθμού μορίων. Το μέτρο της τυχαιότητας που έχει το περισσότερο ισχυρό διαισθητικό υπόβαθρο, είναι η σχετική συχνότητα. Ας υποθέσουμε ότι εκτελούμε ένα τυχαίο πείραμα n φορές. Έστω ν (Α) οι φορές που εμφανίστηκε ένα n συγκεκριμένο γεγονός Α, και Το πηλίκο σ (Α) λέγεται σχετική συχνότητα το.υ Α. Παρατηρούμε ότι αν εκτελέσουμε το τυχαίο πείραμα n φορές, όπού το n είναι αρκετά n μεγάλο, η σχετική συχνότητα σταθεροποιείται γύρω από κάποια συγκεκριμένη τιμή, Για παράδειγμα, aναρρίπτοντας ένα νόμισμα, παρατηρήθηκαν τα παρακότω: Αριθμός αναρρίψεων Αριθμός κεφαλών σχετική συχνότητα , , , , , ,498. Ετσι θα μπορούσαμε να πούμε ότι η πιθανότητα να φέρουμε κεφαλή τείνει προς το 0,5. Η θεωρητικοποίηση αυτής της εμπειρικής αντίληψης yια ~~ν.πt~β~ό~ητα άρχισε από τον Von Mi ses. όχι με μεγάλη επιτυχία. Σήμερα.- η )~qτέύθ!iνση

14 13 αυτή έχει δώσει μια συνεπή μαθηματική θεωρία. Αυτό έγινε με τη βοήθέια των αναδρομικών συναρτήσεων. (Δες, Schnorr, C.P. Zufalligkeit and Wahrscheinlichkeit, Lecture Notes in Mathematics, Νο 218, Springer, 1971). Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι η σχετική συχνότητα έχει τις παρακότω ιδ ιότφ;ες : (i) Ο:>σ (Α):>1 και σ (Ω)=1 n n ( ii) Αν AnB=~ τότε σ (ΑUΒ)=σ (Α)+σ (Β) n n n Επίσης αν βρισκόμαστε σε πειρόματα τύχης με πεπερασμένο δειγματικό χώρο, ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας για το ενδεχόμενο Α, Ρ( Α):- (Α)_ευνοϊκές περιπτώσεις νια το Α (Ω) δυνατ ς περιπτωσεις όπου :#(Α) : =" αριθμός των στοιχείων του Α", ικανοποιεί επίσης τις ιδιότητες ( i) και ( i i). θα μπορούσαν λοιπόν ο ι ιδιότητες ( i) και ( i i) να ληφθούν σαν αξιώματα νια τη μαθηματική θεμελίωση της πιθανότητας; Πριν απαντήσουμ~ θα χρειaστεί.να αποκτήσουμε μια πληρέστερη, _ διαισθητική αντίληψη για την ένl,!οια της πιθανότητας. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται μια σύνδεση των εμπειρικών εννοιών σχετική συχνότητα από τη μια μεριά και μήκος-εμβαδά-όγκος και μόζα από την όλλη... Τέλος η σύνθεση όλου αυτού του δ ι αισθητικού υπόβαθρου, θα μας δώσει μια ξεκόθαρη αντίληψη νια τη μαθηματική f.ννοια της πιθανότητας Πιθανότητα και εuβαδό Η σχέση της πιθανότητας και του εμβαδού, θα μας (/ΧJ)τίσει καλύτερατη φύση της πιθανότητας και των ιδιοτήτων της. Ας θεωρήσουμε μερικό τυχαία πειράματα, με ισχυρό διαισθητικό υπόβαθρο..,.. ο) Τυχαίο πείραμα ρουλέττας. Έστω το τυχαίο πείραμα της ρουλέττας: Σχήμα 7

15 14 Ειναι φανερό ότι αν εκτελέσουμε το πείραμα η φορές, τότε οι σχετικές συχνότητες των 1,2,3 θα είναι περίπου ανάλογες των εμβαδών των κυκλικών τομέων. Έτσι αν το εμβαδό του κύκλου είναι πr 2 και ε 1,ε 2,ε 3 τα εμβαδά των αντίστοιχων κυκλικών τομέων, τότε ε ε ε Ρ({1})-π;zcε 1, Ρ({2})-π: 2 Cε 2, Ρ({3})-π:2 Cε 3 όπου c-π~ 2 Δηλαδή: Οι πιθανότητες των γεγονότων 1,2,3 είναι ανάλογες των εμβαδών των ε 1,ε 2,ε 3 λέττα, Αν τώρα θεωρήσουμε το διάστημα [0, 1], τυλιγμένο γύρω από μια ρου- ΓΛΑ k\( / Σχήμα 8 τότε το πείραμα αυτό ισοδυναμεί με την τυχαία επιλογή ενός αριθμού μεταξύ Ο και 1. Είναι φανερό ότι η πιθανότητα, ο αριθμός αυτός να ανήκει στο ενδεχόμενο Α είναι ανάλογη με το μήκος του τόξου που απαρτίζει το Α. Κάθε α ριθμός του [0,1] είναι ένα δυνατό αποτέλεσμα, έτσι ο δειγματικός χώρος Ω= =[ο, 1] έχει την ισχύ του συνεχούς. Το ίδιο πείραμα μπορεί να κατανοηθεί και με άλλα τυχαία πειράματα με διαφορετικό διαισθητικό υπόβαθρο.... β) Γεωμετρικά τυχαία πειράματα-γεωμετρική Πιθανότητα Θα εισάγουμε τις γεωμετρικές πιθανότητες, χρησιμοποιώντας πιχ.)τα ένα εμπειρικό τυχαίο πείραμα με ισχυρό διαισθητικό υπόβαθρο και κάνοντας μια αφαίρεση του πειράματος αυτού, θα πάρουμε φυσιολογικό την έννοια των γεωμετρικών τυχαίων πειραμάτων και πιθανοτήτων. ~ Το τυχαίο φαινόμενο της βροχής. Η βροχή είναι ένα μαζικό φαινόμενο. Ας υποθέσουμε ότι η πυκνότητα των σταγόνων μέσα στο χώρο είναι η ίδια. Μόλις η βροχή αρχίσει, ας υποθέσουμε ότι παρατηρούμε μια ορθογώνια πλάκα μιας πλατείας, που στη μέση έχει ένα κυκλικό σχέδιο:

16 15 Ω Σχήμα 9 Σημειώνουμε τις σταγόνες που πέφτουν μέσα στο ν κύκλο (Κ), και αυτές που πέφτουν μέσα στην πλόκα, αλλά έξω από τον κύκλο. (Kc). Παρατηρούμε τότε διατάξεις όπως η παρακάτω : Δεν υπάρχει καμιά ομαλότητα στη διαδοχή των παραπάνω συμβόλων. Έ τσι αν παρατηρήσουμε τη 1 Οη σταγόνα ότι έπεσε μέσα στον κύκλο, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε τι θα γίνει με την 11η. Από την άλλη μεριά,εξετάζοντας καλύτερα το τυχαίο αυτό φαινόμενο, μπορεί να δει ότι στο τέλος της βροχής, ο κύκλος δέχθηκε σε σχέση με το ορθογώνιο, περίπου τόσες σταγόνες, όσο είναι η αναλογία του εμβαδού του σε σχέση με το ορθογώνιο. Βέβαια εδώ η πτώση κάθε σταγόνας αποτελεί και ένα τυχαίο πε ί ραμα. Από τα παραπάνω έχουμε ότι, σε n πτώσεις σταγόνων ν η (Κ)_ εμβαδό του κύκλου v-τωι εμβόδο του ορθογωνίου n, Ας περάσουμε τώρα σε ένα ιδεατό τυχαίο πείραμα: αντί για πλάκα της πλατείας έχουμε ένα γεωμετρικό σχήμα, το σχήμα του ορθογωνίου π.χ., και α- ντί ν ι α σταγόνες βροχής έχουμε μια βροχή J ~ από γεωμετρικά σημεία. Σχήμα 10

17 16 Στο ιδεατό αυτό πείραμα είναι φανερό ότι η πιθανότητα ένci γεωμετρικό σημείο να χτυπήσει τον κύκλο δίδεται από Ρ(Κ) εμβ(κ)_c.εμβ(κ) εμβ(ω) 1 όπου c-εμβ(ω) Αν για Ω πάρουμε το [ο, 1]χ[Ο, 1] :=j(x,y) \x,yεr! τότε για κάθε υποσύνολο Α~Ω. για το οποίο είναι δυνατόν να υπολογισθεί το εμβαδά του, έχουμε ότι: Ρ(Α)=εμβ(Α) Απ ό τ ιι.. ' ι αραπόνω συνάγεται ότι: για κάθε υποσύνολο του Ω:=[0,1)χ[ο,~ / με "καλώς ο,j_υμ έ νη έννοια εμβαδού", μπορούμε να θέτουμε σαν πιθανότητά του το εμβαδά τ ο.. Έτσ ι, κάθε υποσύνολο, του οποίου το εμβαδά είναι καλιι'!ς ορι υ.. ε vο είναι ένα ενδεχόμενο ή γεγονός. Άρα, ορθογώνια, τετρά ν. ;;, tρίγωνα, κύκλοι, κλπ. υποσύνολα του Ω, είναι όλα ενδεχόμενα. Από π, n.ί ρ απάνω συζήτηση, μπαίνει επιτακτικά το ερώτημα: Υπάρχουν υποσύνολα τ cu Ω :rou δεν έχουν ένα καλά ορισμένο εμβαδά; Η απάντηση είναι καταφατική. Υ!l\Jr,,σ υ ν παθολογικά υποσύνολα του Ω που πράγματι δεν είναι δυνατόν να ορ ισ ε.. καλώς το εμβαδά τους. Ωστόσο, εμείς θα περιοριστούμε μόνο σε ενδεχόμεν α πο " ο υπολογισμός του εμβαδού των γίνεται με τη στοιχειώδη Γεωμετρία. Εύκο λα φοι v εται ότι, αφού η πιθανότητα είναι ανάλογη του εμβαδού, και το εμβαδ ά έχ~l τ ις παρακάτω ιδιότητες: (i) ε μβ\α)gο, εμβ(ω)<+φ (ii) Αν ι''-πβ= ~ τότε εμβ(αnβ)=εμβ(α)+εμβ(β) "Άρα και n π ιθανότητα θα πρέπει να έχει τις ιδιότητες ( i ) Ρ (Α) ς Q, Ρ (Ω)= 1 ~ * (ii) Αν AnB=0 τότε P(AUB) =P(A}+P(B) ~ Στο παραπόνω γεωμετρικό τυχαίο πείραμα με Ω = [ο, 1] χ [ο, 1], ας θέσου-

18 17 με το ερώτημα: μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό του κύκλου, χρησιμοποιώντας π.χ. μόνο ορθογώνια ή ενώσεις ορθογωνίων; ( Σχήμα Ω 11 Είναι φανερό ότι όσο πιο λεπτά γίνονται τα ορθογώνια τόσο περισσότερο πλησ ι άζουμε το εμβαδό τ:ου κ ύκλου. Στο όριο έχουμε το εμβαδό του Α. Έτσι νια να μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό του Α, πρέπει να προσθέσουμε στα αξιώματα (*), ή να αντι καταστήσουμε το (ii) με το παρακάτω αξίωμα: (ii) Αν Α 1,Α, είναι μ ια α~ολουθία ενδεχομένων τέτοιων ώστε 2 A.nA.=0, i:;t:j τότε l. J P(A 1 UA 2 U. UAnU... )= P(A 1 )+P(A 2 )+. +P(An)+. ή πιο σύντομα Έτσι χρησιμοποιώντας το προηγούμενο γεωμετρικό τυχαίο πείρα μ α καταλήξαμε στα αξιώματα του Kolmogoroν για την πιθαν ότητα, δηλαδή τα (i) και ( i i ) 1 Παρατήρηση 1η Η ιδιότητα ( i i-) λέγεται προσθετική ιδιότητα της πιθανότητας και η (ii)' σ-προσθετική. Αξίζει να σημειωθεί εδώ, ότι υπάρχει μια περίπτωση τυχαίου φαινομένου στην Κβαντομηχανική όπου η προσθετική ιδιότητα φαίνεται να μην ισχύε~ (Βλ. σχήμα της επόμενης σελίδας). Έστω S μια πηγή μόνο-ενεργειακών ηλεκτρονίων, και (δ ) ένα διά- 1 φραγμα με δύο οπές Α και Β και (δ ) 2 ένα δε ύ τερο διάφραγμα. Αν κλείσουμε την

19 18 Σχήμα 12 οπή Β τότε ένα ηλεκτρόνιο θα χτυπήσει ένα σημείο του διαφράγματος (δ ) που 2 ανήκει στο υποσύνολο Μ, με πιθανότητα ΡΑ(Μ). Όμοια ΡΒ(Μ) είναι η πιθανότητα να φθάσει το ηλεκτρόνιο σε ένα σημείο του Μ, με την οπή Α κλειστή. Αν και οι δύο οπές είναι ανοικτές τότε έχει βρεθεί πειραματικό ότι, Παρατήρηση 2η Το τυχαίο πείραμα της επιλογής ενός ση με ίου από το Ω={Ο,1] χ [ο,1], μπορεί βέβαια να πάρει και τη μονοδιάστατη έκδοση, αρκεί να κάνουμε τις α ντικαταστάσεις: Ω=[0,1], και μήκος αντί εμβαδό. Έτσι αναβ" είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα Μ Α κ Δ Β τότε η πιθανότητα το σημείο Μ να επιλέγει από το υποδιάστημα ΊΌ\" του ΑΒ=Ω δίδεται από: Ρ[τοΜε(ΚΛ)] P((<ΛJ) μήκος του (1<7\) μήκος του (ΑΒ) Έχοντας τώρα στο μυαλό μας ότι η πιθανότητα έχει τις ί- διες ιδιότητες με αυτές του εμβαδού, μπορούμε εύκολα, με τη βοήθεια και διαγραμμάτων του Venn να αποδείξουμε τις παρακάτω ιδιότητες:

20 19 (1) Αν Α~Β τότε Ρ(Α) :> Ρ(Β) (2) P(Ac)=1-P(A) (3) Ρ(Α U Β )=Ρ(Α }+Ρ( Β)-Ρ(Α n Β) (4) Α,ΒΕ (J., P(A-B)=P(A)-P(AnB) Ι 8] εμβ(α):;; εμβ(β) 2.2. Πιθανότητα και μάζα Μέχρι τώρα είδαμε ότι η π ι θανότητα συνδέεται με.τη Γεωμετρία. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τη σχέση της πιθανότητας και της Αναλυτικής ~1ηχανικής. Η πιθανότητα όπως ήδη έχουμε πει, είναι της ίδιας φύσης με την απόσταση, το εμβαδά και τον όγκο στη Γεωμετρία. Αναφορικά με τη Μηχανική θα δούμε ότι η πιθανότητα είναι της ίδιας φύσης με τη μάζα. Στη Μηχανική συνήθως θεωρούμε ένα γεωμετρικό σημείο Μ με μάζα m, ή έ να σύστημα υλικών σημείων με αντίστοιχες μάζες, ή την κατανομή μιας πεπερασμένης μάζας σε ένα στερεό σώμα Ω. Έστω η πεπερασμένη μάζα ενός στερεού σώματος Ω. Η κατανομή της μάζας στο σώμα Ω δεν είναι αναγκαίο να είναι ομοιογενής. Για κάθε υποσύνολο Α του Ω, έστω m(a) η μάζα του υποσώματος Α. Προφανώς, m(a)~o m(a):.>m(ω)=c<+co Αν τώρα Α 1,Α,.,Αη 2.. είναι ξένα μεταξύ τους υποσι~ματα του Ω, τότε m ( ~ Α ) = ; m(a ) η. η η = 1 η = 1 Έτσι βλέπουμε ότι η μάζα έχει τις (δtες ιδιότητες με την πιθανότητα αλλά και το ίδιο διαισθητικό υ- πόβαθρο. Πρέπει εδώ να πούμε ότι στο τυχαίο πείραμα της ανάρριψης ενός νομίσματος, η κατανομή της μάζας μέσα στο νόμισμα (Μηχανική) και η συμμετρικότητα (Γεωμετρία) του νομίσματος, καθορίζουν και τις πιθανότητες p 1 και p 2 των δύο όψεων. τους αντίστοιχα. Στη συνέχεια θα αναφέρουμε μερικά τυχαία πειράματα και τα μηχανικά

21 20 Πιθανότητα Μηχανική 1. Ανόρριψη ενός νομίσματος και γενικά, τυχ. πείραμα με δύο δυνατό αποτελέσματα Ω={ωl,ω2} και Πιθανότητες Ρ1οΡ2 1'. Σύστημα δύο υλικών σημείων ω1, ω 2 με αντίστοιχες μάζες Ρ1οΡ2 2. Γεωμετρικό τυχ. πείραμα της τυχ. επιλογής σημείου από το 2'. Υλική ράβδος με ομοιογενή σταθερή μάζα. διάστημα ΑΒ.... Το τυχαί.ο πείραμα της Ρωμαϊκής Κρήνης. Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε ένα πολύ θεαματικό μοντέλο μάζας για δυωνυμικό πειράματα (πειράματα με δύο δυνατό αποτελέσματα). Στην πραγματικότητα πρόκειται νια ένα μοντέλο μάζας για τη δυωνυμική κατανομή, που θα μελετήσουμε αργότερα. Σχήμα 13 Η μάζα του νερού που εκρρέει είναι μια μονάδα βάρους ανά μονάδα χρόνου. Αν υποθέσουμε ότι οι κούπες είναι συμμετρικές, τότε από την πρώτη κούπα και από κάθε εκροή, εκρέει~ μονάδα βάρους ανά μονάδα χρόνου κοκ. Γε~νιέται αμέσως το ερώτημα: Με ποιό έννοια το παραπάνω είναι ένα τυχαίο πείραμα, και πού βρίσκεται η τυχαιότητα; Το νερό αποτελείται από μεγάλο αριθμό μορίων. Το τυχαίο πείραμα βρίσκεται στη συμπεριφορά του κάθε μορίου. Δε μπο ρούμε να είμαστε βέβαιο ι αν κάποιο συγκεκριμένο μόριο, θα πάει προς τη μ ι α ή την άλλη εκροή. Παίρνοντας όμως ένα τεράστιο αριθμό μορίων, βλέπουμε ότι υπάρχει μια στατιστική ομαλότητα: μισή μάζα μορίων θα εκρεύσει από τη μια μεριά και μισή από την άλλη (συμμετρική κούπα). Μπορούμε λοιπόν να πούμε, ό τι επε ιδή υπάρχει σχεδόν άπειρος αριθμός μορίων, δηλαδή επαναλαμβάνουμε το τυχαίο πείραμα σχεδόν άπειρες φορές, η εκροή του νερού~ από τη μια μεριά και ~ από την άλλη δίνει την πιθανότητα ένα συγκεκριμένο μόριο να περάσει α πότη μια ή την άλλη εκροή!!!

22 21 Είναι πλέον ξεκάθαρο ότι το τυχαίο πείραμα (μια κούπα) για ένα συγκεκριμένο μόριο είναι ισοδύναμο μ ε την ανάρριψη ενός νομίσματος, καιγενικάμε το τυχαίο πείραμα με δύο δυνατά αποτελέσματα. Οι δύο κούπες αντιστοιχούν με την ανάρριψη δύο νομι σμάτων κοκ. Παρατήρηση Αν κάθε κούπα είχε 3 ή 4 ή.. n εκροές τότε θα είχαμε πολυωνυμικά πειράματα τύχης. ~ Η υλική ράβδος* α) Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια υλική ράβδο: a b με σταθερή πυκνότητα ρ=c (Μάζα ανά μονάδα μήκους), δηλαδή έστω ότι έχουμε μια ομογενή υλική ράβδο. Τότ ε είναι γνωστό ότι η μάζα m της ράβδου δίνεται από τον τύπο m=μήκος (a,b) P =( b-:-a) Ρ β) Έστω τώρα μια μη-ομογενής υλική ράβδος, με πυκνότητα ρ=ρ(χ) νια κάθε χε [ a, b]. Η πυκνότητα ρ( ) μας καθορίζει την κατανομή της Σ χ ήμα 14 * Μπορεί να παραληφθεί.

23 22 μάζας στη pάβδο. Θα δούμε στη συνέχεια ότι έχουμε και μια πυκνότητα πιθανότητας, ακpιβώς αντίστοιχη που μας καθορίζει πως κατανέμεται η πιθανοθεωρητική μάζα. Θα θέλαμε να υπολογίσουμε τη μάζα m της ράβδου. Έστω χ (a,b), δίpουμε μια aπειροστική αλλαγή κατά dχ. Η μεταβολή αυτή δεν διακρίνεται με γυμνό οφθαλμό, αλλά μόνο με ένα απειροστικό μικροσκόπιο με διαχωριστική δύναμη dχ (Δες: H.J. Keisler: Elementary Calcυlus, Prindle, Weber Schmidt, 1976, νια τις σύγχρονες έννοιες aπειροστών και aπειροστικών μικροσκοπίων). Μεταξύ των χ και x+dx η πυκνότητα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή και ίση με ρ(χ) άρα η aπειροστική μάζα dm της ράβδου μεταξύ χ και x+dx, είναι άπειρα κοντά με την ποσότητα ρ(χ)dχ, δηλαδή dm ~p(χ )dχ Άρα παίρνουμε ότι η ολική μάζα της ράβδου δίδεται από τον τύπο: b m=j ρ(χ)dχ=εμβαδό κάτω από τη συνάρτηση a ρ(χ) και μεταξύ a και b Αν τώρα ορίσουμε τη συνάρτηση f(x)~(x), τότε b J a f(x)dx=1 και η f(x) είναι ακριβώς το αντίστοιχο της πυκνότητας πιθανότητας. 3. ΧΩΡΟΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗτΑΣ ΚΑΙ ΗΧΑΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ Από την προηγούμενη συζήτηση, έγινε φανερό, ότι το μαθηματικό αντι κε ί μενο που αντιστοιχεί με ένα τυχαίο πείραμα είναι η διαταγμένη τριάδα (Ω,σ., Ρ) όπου Ω είναι ο δειγματικός χώρος, η κλάση των γεγονότων και Ρ μια συνολοσυνάρτηση: Ρ: -[0,1] Α-Ρ(Α) χώρος, α. η κλάση των γεγονότων με τις ακόλουθες ιδιότητες: ( i) Ρ(Ω )=1 (ii) Για κάθε ακολουθία γεγονότων, Α,Α,... ξένων μεταξύ τους, 1 2

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

n B ' n B = n n ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ )

n B ' n B = n n ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ) ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ) Ενίοτε η πραγματοποίηση ενός γεγονότος εξαρτάται από την πραγματοποίηση άλλου τινός γεγονότος. Κατ' αντιστοιχία, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου μπορεί να εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Περίληψη 3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Η στατιστική μηχανική βασίζεται στη θεωρία πιθανοτήτων για την παραγωγή μακροσκοπικών ιδιοτήτων στην ισορροπία. Οι θερμοδυναμικές μεταβλητές εμφανίζονται ως μέσοι

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα