Teória lineárnych operátorov Pripomeňme, že operátor z lineárneho priestoru X do lineárneho priestoru Y nad tým istým po lom

Transcript

1 Teória lineárnych operáorov Pripomeňme, že operáor z lineárneho priesoru X do lineárneho priesoru Y nad ým isým po lom (R alebo C) sa nazýva lineárny, ak pre x, y X a skalár α T (x + y) = T x + T y, T (αx) = αt x. Definícia. Nech X, Y sú lineárne normované priesory. Operáor T : X Y sa nazýva ohraničený, K > aké, že pre x X T x K x. V konečnorozmerných lineárnych normovaných priesoroch sú všeky lineárne operáory ohraničené. V nekonečnorozmerných priesoroch nie. Predým, než si o ukážeme na príkladoch, definujme eše normu ohraničeného lineárneho operáora. Preože sa v dalšom budeme zaobera len lineárnymi operáormi, priesormi a podpriesormi budeme slovo lineárny vynecháva. Takže operáor znamená lineárny operáor, (pod)priesor lineárny (pod)priesor. Definícia. Nech X, Y sú normované priesory a T : X Y je ohraničený operáor. Číslo sa nazýva norma operáora T. T = inf{k > : x X T x K x } Vea. Ak X, Y sú normované priesory a T : X Y je ohraničený operáor, ak T x T = sup T x = sup T x = sup T x = sup x 1 x <1 x =1 x x. Dôkaz. Na dôkaz ejo vey si všimnime, že ak x X, x a x 1, ak ( ) ( ) ( ) T x = x x T = x x x T x x T sup T x. x x =1 Odia l vidie, že všeky šyri supréma vo vee majú ú isú hodnou M ako aj o, že T M. Na dôkaz nerovnosi T M si sačí uvedomi, že pre M 1 < M x: x = 1, pre koré T x > M 1, a eda T M 1. Príklady ohraničených a neohraničených operáorov. 1) V priesore X = R n s normou {x 1,... x n } = max x i je operáor násobenia lubovo lnou maicou 1 i n A M n,n ohraničený operáor. Úlohu urči jeho normu prenechávame čiae lovi. 2) Operáor z príkladu 1) je ohraničený aj pri lubovo lnej norme na R n a ohraničený je aj analogický operáor C n C n. Urči však príslušnú normu je podsane ažšie. 3) Nech X = C a,b je priesor všekých spojiých funkcií na inervale a, b s normou x = max a,b x(). Ak K = K(, τ) je spojiá funkcia definovaná na a, b a, b, ak operáor T : X X, (T x)() = b K(, τ)x(τ)dτ je ohraničený. Úlohu urči jeho normu prenechávame opä čiae lovi. a 4) Nech eraz X = C a,b 1 je priesor všekých funkcií s C a,b, koré majú spojiú prvú deriváciu so suprémovou normou. Poom operáor diferencovania (T x)() = x () nie je ohraničený. Vidie o z oho, že pre x n = sin n je x n = 1, ale T x n = n (lebo (T x n )() = n cos n). 5) Ak zmeníme normu v priesore C a,b 1 na x = x + x, ak operáor diferencovania bude ohraničený operáor z C a,b 1 do C a,b Vz ah medzi ohraničenos ou a spojios ou operáora. Vea. Nech X, Y sú normované priesory a T : X Y je lineárny operáor. Poom sú nasledujúce vrdenia ekvivalenné: (i) T je spojiý, (ii) T je spojiý v, (iii) T je ohraničený, (iv) Jadro operáora T je uzavreý podpriesor X. Dôkaz. Ak by nebol operáor T ohraničený, ak {x n } n=1 X, pre koré x n = 1 a lim T x n =. Poom pre y n = (1/ T x n )x n je lim y n =, ale lim T y n, eda T nie je spojiý v. To dokazuje implikáciu (ii) = (iii). Dôkaz osaných implikácií je jednoduchý (a prenecháme ho čiae lovi). Poznámka. Operáor X do R alebo C sa nazýva funkcionál. Lineárne aj nelineárne funkcionály majú významnú úlohu napr. vo variačnom poče, eórii disribúcií (zovšeobecnených funkcií) a v eórii slabých riešení diferenciálnych rovníc.

2 18 UFA Príklad. Nech X je priesor všekých komplexných (reálnych) posupnosí a ϕ k : X C (X R) je evaluačný funkcionál: pre x = {x n } n=1 ϕ k x = x k. ϕ k je ohraničený lineárny funkcionál na l aj l p pre všeky p 1, ) a má vo všekých uvedených prípadoch normu 1. Podobne na priesore C a,b je ohraničeným funkcionálom ϕ λ x = x(λ) pre každé λ a, b a má normu ϕ λ = 1. Reprezenácia lineárneho funkcionálu na Hilberovom priesore. Vea (Rieszova, o reprezenácii lin. funkcionálu). Nech H je komplexný Hilberov priesor, ϕ: H C je spojiý lineárny funkcionál. Poom exisuje práve jeden prvok f H aký, že ϕ(g) = (g, f) pre g H. Na dôkaz ejo vey reba nieko lko dôležiých pojmov a jednoduchých vrdení. Vea o orogonálnej projekcii. Nech H je Hilberov priesor a = K H je jeho uzavreá konvexná podmnožina (.j. k n K, lim k n = k = k K a k 1, k 2 K = 1 2 (k 1 + k 2 ) K). Poom pre každé h H exisuje práve jeden prvok h K, aký, že h h = inf{ h k : k K} Dôkaz. Pre každé n exisuje g n K, pre koré inf{ h k : k K} = δ h g n < δ + 1 n. Teda lim h g n = δ. Posupnos (g n ) je poom cauchyovská: Pod la rovnobežníkového pravidla plaí g m g n 2 = (g m h) + (h g n ) 2 = 2( g m h 2 + h g n 2 (g m h) (h g n ) 2 = 2 g m h h g n (g m + g n ) h 2 2 g m h h g n 2 4δ 2 Preo lim n g n = h. Teno prvok zrejme spĺňa vz ah h h = δ. Ak by exisoval eše jeden prvok k, spĺňajúci h k = δ, ak by sme dosali podobne h k 2 = (h h)+(h k ) 2 = 2( h h 2 + h k 2 h +k 2h 2 4δ (h +k ) h 2 Teda h = k. Prvok h sa nazýva orogonálna projekcia vekora h na množinu K, v špeciálnom prípade, ke d K je uzavreý lineárny podpriesor Hilberovho priesoru H je zobrazenie, koré priradí vekoru h H jeho orogonálnu projekciu na K lineárnym ohraničením zobrazením. Obvykle sa označuje P K a nazýva orogonálny projekor na podpriesor K. Lahko sa ukáže, že pre všeky h H je prvok h P K h kolmý na každý prvok z K, eda h = P K h + (h P K h) určuje jednoznačný rozklad prvku h na súče prvku P K h K a (h P K h) K = {f H : (f, k) = pre k K} Lineárny priesor K nazývame orogonálny doplnok množiny K. Dôkaz Rieszovej vey. Jadro funkcionála ϕ označíme K = {x H : ϕ(x) =. Preože je ϕ spojiý funkcionál, K je uzavreý lineárny podpriesor H. Ak by K = H, ak ϕ = a sačí zobra f =. Predpokladajme eda, že K H, poom x 1 K, x 1 = 1. Pre všeky g H poom prvok y = ϕ(g)x 1 ϕ(x 1 )g spĺňa ϕ(y) = ϕ(ϕ(g)x 1 ϕ(x 1 )g) = ϕ(g)ϕ(x 1 ) ϕ(x 1 )ϕ(g) = = y K. = = (y, x 1 ) = (ϕ(g)x 1 ϕ(x 1 )g, x 1 ) = ϕ(g) ϕ(x 1 )(g, x 1 ) = ϕ(g) = (g, ϕ(x 1 )x 1 ) Sačí eda položi f = ϕ(x 1 )x 1. Na dôkaz jednoznačnosi predpokladajme, že f, h H, pre koré ϕ(x) = (x, f) = (x, h) a eda (x, f h) = pre každé x H. Preo aj (f h, f h) = f h 2 =,.j. f = h. Spekrum lineárnych operáorov. Dá sa ukáza, že R n aj C n je pri každej norme úplným priesorom a všeky lineárne operáory z R n (C n ) do R m (C m ) sú spojié. Z lineárnej algebry vieme, že sa dajú urči pomocou maice, korá závisí od báz v príslušný podpriesoroch. Obmedzme sa eraz na prípad m = n a za obe bázy zoberieme šandardnú bázu B = {e 1, e 2,..., e n }, kde e 1 = (1,,..., ), e 2 = (, 1,..., ),..., e n = (,,..., 1). Ak použijeme euklidovskú normu a skalárny súčin, áo báza je oronormálna a lahko určíme maicu operáora T : C n C n MB B(T ) = (a ij), kde a ij = (T e j, e i ), lebo súradnice vekora T e j pri šandardnej báze (j-y sĺpec maice M B B (T ) určuje Fourierov rozvoj T e j : n i=1 (T e j, e i )e i. Tako dosaneme lineárne zobrazenie, koré operáoru prira duje jednoznačne maicu a navyše skladaniu operáorov zodpovedá násobenie maíc. Operáory v konečnorozmerných priesoroch môžeme soožni s ich maicami vzh ladom na pevne zvolené bázy. Preo mnoho oázok o konečnorozmerných operáoroch vieme zodpoveda pomocou ich maíc. Pripomeňme ako sa h ladajú vlasné čísla a vlasné vekory operáora C n C n. Idenický operáor aj jednokovú maicu budeme označova I.

3 UFA 19 Definícia. Vekor f C n sa nazýva vlasným vekorom maice A M n,n pariacim k vlasnému číslu λ, ak f a Af = λf. Analogicky sa definuje vlasné číslo a vlasný vekor pre operáor T : X X (aj na nekonečnorozmernom priesore) Definícia. Nech X je normovaný priesor a T : X X je lineárny operáor. Vekor f X sa nazýva vlasným vekorom operáora T pariacim k vlasnému číslu λ, ak f a T f = λf. λ je vlasné číslo maice A práve vedy, ke d de(a λi) =. To je ekvivalenné s podmienkou, že maica A λi nie je regulárna,.j. neexisuje k nej inverzná maica. Zo základnej vey algebry vieme iež, že každá maica (každý operáor v konečnorozmernom priesore) má vlasné číslo, môže však nema reálne vlasné čísla. V nekonečnorozmernom prípade nemusí ma lineárny ohraničený operáor žiadne vlasné číslo a eda ani vlasný vekor. Namieso vlasných čísel sa zavádza všeobecnejší pojem spekrum operáora. Budeme ho definova len pre úplne normované (Banachove) priesory. Definícia. Nech X je komplexný Banachov priesor a Nech T : X X je ohraničený operáor. Poom množinu σ(t ) = {λ C : neexisuje ohraničený (T λi) 1 } nazývame spekrum operáora T. Analogicky definujeme spekrum operáora v reálnom Banachovom priesore: σ(t ) = {λ R: neexisuje ohraničený (T λi) 1 } V prípade operáora v konečnorozmernom priesore splýva spekrum s množinou všekých vlasných čísel a vieme, že v reálnom priesore môže by prázdnou množinou (nájdie príklad). Pomocou eórie analyických funkcií sa dá ukáza, že v Komplexnom Banachovom priesore je spekrum ohraničeného operáora vždy neprázdna uzavreá ohraničená množina. Známe je, že v konečnorozmernom prípade operáor T má diagonálnu maicu vzh ladom na bázu pozosávajúcu s vlasných vekorov maice A (nie pre všeky operáory aká báza exisuje). Taká báza sa dá nájs napr. pre všeky reálne symerické maice. Spekrálna eória sa zaoberá vz ahom medzi spekrom a geomerickou šrukúrou operáorov. Skôr, než uvedieme príklady spekier niekorých operáorov, zavedieme pojem adjungovaného operáora a spekrum rozdelíme na isé dôležié podmnožiny. Pre operáor T bude N(T ) znamena jeho jadro,.j. nulovú množinu: {x X : T x = }, R(T ) bude znači obor hodnô T. Vea. Nech T je ohraničený operáor na komplexnom Banachovom priesore X. Ak označíme 1) σ p (T ) = {λ C : N(T λi) {}} (bodové spekrum), 2) σ c (T ) = {λ C : N(T λi) = {}, R(T λi) X, ale každý prvok z X je limiou posupnosi prvkov z R(T λi)} (spojié spekrum), 3) σ r (T ) = {λ C : N(T λi) = {}, R(T λi) X, a nie každý prvok z X je limiou posupnosi prvkov z R(T )} (reziduálne spekrum), 4) ρ(t ) = {λ C : N(T λi) = {}, R(T λi) = X} (rezolvenná množina) Poom sú všeky šyri množiny navzájom disjunkné a C = σ p (T ) σ c (T ) σ r (T ) ρ(t ). Ak λ T, ak λ ρ(t ) a ρ(t ) je ovorená množina. Dôkaz. To, že uvedené množiny sú disjunkné a plaí C = σ p (T ) σ c (T ) σ r (T ) ρ(t ), je priamym dôsledkom ich definície. Ukážeme, že λ > T = (T λi) má ohraničený inverzný operáor. Ak označíme pre operáory T 1, T 2 je ich súčin T 1 T 2 operáor, korý vznikne skladaním zobrazení (T 1 T 2 x = T 1 (T 2 x)), ak sa lahko ukáže, že T 1 T 2 T 1 T 2 a pre mocniny T n T n. Okrem oho sa dá lahko ukáza, že priesor L(X) všekých ohraničených operáorov na Banachovom priesore je pri ejo norme sám Banachovým priesorom. Predpokladajme, že λ > T. Poom rad n= ( ) n 1 T je geomerický s kvocienom T λ λ λ, T λ < 1. Pomocou úplnosi priesoru priesoru L(X) sa lahko ukáže, že eno rad konverguje a jeho limia je (λi T ) 1.

4 2 UFA Definícia. Nech T je ohraničený operáor na Banachovom priesore X a σ(t ) je jeho spekrum, poom spekrálny polomer operáora T je číslo r(t ) = sup{ λ : λ σ(t )}. Spekrálny polomer operáora sa dá vypočía pomocou nasledujúceho vzorca: Vea. Nech T je ohraničený operáor na Banachovom priesore X. Poom exisujú lim n T n (1/n), inf n N T n (1/n) a plaí r(t ) = inf T n (1/n) = lim T n (1/n). n N n Ak X je Hilberov priesor, poom ku každému ohraničenému operáoru T L(X) exisuje práve jeden operáor T L(X), pre korý je (T x, y) = (x, T y) pre všeky x, y X. Teno operáor sa nazýva adjungovaný k operáoru T, alebo Hermiovsky združený k operáoru T a v isom zmysle hrá úlohu prvku L(X) komplexne združeného k T. Lahko sa ukáže, že plaí vrdenie: Vea. Ak T je ohraničený operáor na Hilberovom priesore X. Ak T má inverzný operáor U (T U = UT = I), poom aj T je inveribilný a (T ) 1 = U. Číslo λ parí do spekra operáora T vedy a len vedy, ke d λ parí do spekra operáora T. Dôkaz. Nech x X. Poom (T U x, y) = (U x, T y) = (x, UT y) = (x, y) = (T U x x, y) = pre y X. Pre y = T U x x dosaneme (T U x x, T U x x) =, eda x = T U x, podobne aj U T x = x, čiže T U = U T = I Príklad. Nech operáor T : l 2 l 2 posúva posupnos z l 2 o jedno mieso vpravo,.j. T (x, x 1, x 2, x 3... ) = (, x, x 1,... ). Urče jeho normu, urče T a σ p (T ), σ p (T ); σ(t ), σ(t ). Vea. Operácia v priesore ohraničených operáorov na Hilberovom priesore X má nasledujúce vlasnosi (pre operáory S, T, α C): (1) I = I, =, (5) (T ) = T, (2) (S + T ) = S + T, (3) (αt ) = αt, (6) T = T (7) T T = (T T ), T T = T 2. (4) (ST ) = T S, Dôkaz. Vea je riviálnym dôsledkom definície. Trocha ažšie sú len dôkazy posledných dvoch vrdení. Ukážeme T = T : Pre každé x X T x 2 = (T x, T x) = (T T x, x) T T x x T T x x = T x T x. Teda T je ohraničený a jeho norma je T T. Opačnú nerovnos dosaneme z rovnosi (T ) = T. Teraz máme T T T T = T 2 a súčasne T x 2 = (T T x, x) T T x x T T x 2, odia l dosávame T x T T x = T 2 T T. Príklad. V priesore C n s obvyklým skalárnym súčinom je daný lineárny operáor T. Ak A je jeho maica vzh ladom na šandardnú bázu, aká je maica operáora T? Definícia. Nech X je Hilberov priesor. Operáor T L(X) sa nazýva normálny, ak T T = T T. Vieme už, že spekrálny ( ) polomer operáora s normou 1 môže by aj nula (napr. Volerrov inegrálny operáor, maica ). Pre normálne operáory o nie je možné, lebo pre ne norma a spekrálny 1 polomer sú ie isé čísla. Vea. Ak T je normálny operáor na X, poom plaí: (1) x X T x = T x, špeciálne, T x = T x =. (2) T T = T 2 = T 2 (3) r(t ) = T Dôkaz. (1): T x 2 = (T x, T x) = (T T x, x) = (T T x, x) = (T x, T x) = T x 2. (2) vyplýva z (1): pre y = T x dosaneme T T x = T y = T y = T 2 x. (3): Z (2) vyplýva pre každé prirodzené číslo k T 2k = T 2k. Teda r(t ) = lim T n 1/n = lim T 2k 2 k = lim T = T. n k Predchádzajúca vea sa dá použi na výpoče normy maice (vzh ladom na euklidovskú normu). Ak považujeme maicu A za maicu operáora pri šandardnej báze lahko vypočíame maicu A A. Tá je normálna a preo je jej norma rovná spekrálnemu polomeru, v omo prípade maximu vlasných čísel (všeky sú nezáporné). Priom vieme, že A = A A. V Nasledujúcom príklade sa použije áo vea na výpoče normy aj v nekonečnorozmernom prípade.

5 Príklad. Urče normu a spekrálny polomer operáora T : L 2,1 L2,1, (T x)() = x(τ)dτ UFA 21 Vieme, že formálne en isý operáor na priesore spojiých funkcií so suprémovou normou má normu 1 (dôkaz je jednoduchým cvičením). V priesore L 2 je T = 2/π. Ukazuje sa o pomocou výpoču normy T T. Ukážme najprv, že (T y)() = y(τ)dτ: (T x, y) = (T x)()y()d = x(τ)dτ y()d Použijeme inegrovanie per pares pre u() = x(τ), v = y() a u () = x(), v() = y(τ)dτ (uv() = uv(1) = ): (x, T y) = (T x, y) = A podobne per pares počíame aj (T T x)(): = [ τ τ x() τ (T T x)() = u (τ) = 1, u(τ) = τ, v(τ) = x(s)ds ] 1 τx(τ)dτ = y(τ)dτ = T y = τ x(s)ds dτ = x(s)ds x(s)ds, v (τ) = x(τ) x(s)ds y(τ)dτ. τx(τ)dτ. A riešime pre λ > rovnicu T T x = λx, ak,že predchádzajúci vz ah dva razy zderivujeme: (T T x)() = λx() = = λx () = x(s)ds = λx () = x() x () = x(s)ds τx(τ)dτ x(τ)dτ x() + x(), x(1) = Odia l x() = a exp(i/ λ) + b exp( i/ λ) a z podmienok x(1) = x () = dosaneme, vlasné čísla operáora T T : λ n = ( n) 2 π 2, n =, 1, Dá sa ukáza, že spekrum operáora T T obsahuje okrem ýcho vlasných čísel iba číslo (o, že obsahuje = lim λ n vyplýva z uzavreosi spekra). Preo je normou ohoo operáora najväčšie z jeho vlasných čísel,.j. T T = 4/π 2 a preo T = 2/π. Invarianné podpriesory Cie lom spekrálnej analýzy operáora T L(X) je nájs uzavreé lineárne podpriesory L X, aké, že x L T x L a priom zúženie operáora T na podpriesor L je čo najjednoduchší operáor. Definícia. Nech X je Hilberov priesor a nech T je ohraničený operáor na X. Uzavreý lineárny podpriesor L sa nazýva a) invarianný voči T ak T L L, b) redukujúci pre T, ak T L L aj T L L, kde L = {x X : (x, y) = pre y L} sa nazýva orogonálny doplnok priesoru L X v priesore X. c) hyperinvarianný pre T, ak je invarianný, pre každý operáor A, pre korý AT = T A. Uzavreé podpriesory Hilberovho priesoru sa dajú soožni s operáormi orogonálnej projekcie na podpriesor: Definícia. Nech X je Hilberov priesor a nech L je jeho uzavreý podpriesor. Poom sa každý prvok x X dá jednoznačne napísa v vare x 1 + x 2, x 1 L, x 2 L, operáor P, pre korý je P x = x 1 je spojiý lineárny operáor a nazýva sa orogonálny projekor na podpriesor L. Fak, že podpriesor je invarianný vzh ladom k operáoru T sa dá vyjadri pomocou projekora na eno podpriesor:

6 22 UFA Vea. Nech T je ohraničený lineárny operáor na Hilberovom priesore X, nech L X je uzavreý lineárny podpriesor X a P orogonálny projekor na L. Poom (i) P = P (P je samoadjungovaný), (ii) L je invarianný voči T vedy a len vedy, ak P T P = T P, (iii) L je redukujúci pre T vedy a len vedy, ak P T = T P P T = T P. (iv) L je redukujúci pre T vedy a len vedy, ak je invarianný voči T aj voči T. Spekrálny rozklad operáora, znamená nájdenie dosaočne ve lkého poču invarianných a najlepšie redukujúcich a hyperinvarianných podpriesorov, na korých sa správa daný operáor, čo najjednoduchšie. Najprv uvedieme veu o spekrálnom rozklade kompakného normálneho operáora, korá má aplikácie najmä pri riešení inegrálnych a diferenciálnych rovníc. Poom sa podrobnejšie budeme zaobera spekrálnym rozkladom v konečnorozmernom prípade. Definícia. Nech X je Hilberov priesor. Operáor T L(X) sa nazýva kompakný, ak plaí: Pre každú ohraničenú posupnos {x n } X sa z posupnosi {T x n } dá vybra konvergenná podposupnos. Ak λ je vlasné číslo operáora T L(X), ak podpriesor E(λ) = {x X : T x = λx} sa nazýva vlasný podpriesor pariaci k vlasnému číslu λ. Vea. Ak λ = je vlasné číslo kompakného operáora, ak dim E(λ) = dim{x X : T x = λx} <. Vea. (Spekrálna vea pre kompakný normálny operáor) Nech T L(X) je kompakný a normálny operáor na Hilberovom priesore X. Poom plaí: (i) Ak λ i λ j sú vlasné čísla operáora T, ak E(λ i ) E(λ j ). (ii) Exisuje posupnos (λ n ) N n=1, N N alebo N = vlasných čísel operáora T a posupnos vlasných vekorov e n, e n = 1, pre korú plaí T e n = λ n e n, λ 1 = T, λ n+1 λ n n < N lim λ n = ak N =. n A každý vekor x X sa dá jednoznačne napísa v vare N x = x + (x, e n )e n, x E(λ n+1 ) n: n < N, T x =. n=1 (iii) σ(t ) = {λ n : n N }, ak N <, σ(t ) = {λ n : n N } {}, ak N =. (iv) Všeky podpriesory E(λ n ) sú redukujúce a hyperinvarianné pre T Aj ke d dôkaz ejo vey nie je ve lmi ažký, vynecháme ho. Poznamenajme, že väčšina orogonálnych sysémov používaných v aplikáciách (goniomerické funkcie, orogonálne polynómy, špeciálne funkcie) je sysém vlasných vekorov niekorého kompakného samoadjungovaného operáora. Dôkaz. (i): Pre každé λ σ p (T ) je λ σ p (T ), lebo operáor λi T je normálny,.j. ak (λi T )e =, ak aj (λi T )e = (ker N = ker N pre každý normálny operáor). Ak eraz λ µ sú vlasné čísla normálneho operáora T s vlasnými vekormi e, f, ak λ(e, f) = (T e, f) = (e, T f) = (e, µf) = µ(e, f) = (λ µ)(e, f) =, (e, f) =. Teda (i) plaí pre každý normálny operáor. Dôkaz vrdenia (ii) je založený na om, že každý normálny operáor T má spekrálny polomer r = r(t ) = T a u ho iba naznačíme. T = sup T x = posupnos (x n ) X : x n = 1, lim T x n = T. x =1 Ak je operáor navyše kompakný, dá sa posupnos (x n ) vybra ak, aby bola posupnos (T x n ) konvergenná. Dá sa poom ukáza, že limia ejo posupnosi je vlasný vekor operáora T T s vlasným číslom T 2. Vlasný podpriesor operáora T T pariaci k vlasnému číslu T 2 je konečnorozmerný a redukujúci pre T. Preo v ňom exisuje vlasný vekor aj pre operáor T. Ak je o e, ak plaí T e = λe pre nejaké λ C. Môžeme predpoklada, že e = 1. Poom λ 2 = (T e, T e) = (T T e, e) = T 2 (e, e) = T 2. Teda exisuje vlasné číslo operáora T, korého absolúna hodnoa je T, označme ho λ 1. Príslušný vlasný podpriesor E(λ) je aj vlasným podpriesorom (pri vlasnom čísle λ) operáora T. Preo je priesor X súčom dvoch podpriesorov redukujúcich operáor T : X = E(λ) + E(λ). E(λ) je konečnorozmerný. Dôkaz vrdenie (ii) sa dokončí zopakovaním rovnakých argumenov pre operáor T zúžený na E(λ), korý je iež kompakný normálny. Tvrdenia (iii) a (iv) sú lahkým dôsledkom oho, že pre normálny operáor T x = λx = T x = λx a faku, že idenický operáor ne nekonečnorozmernom priesore nie je kompakný.