Matematika Informatika Fyzika

Transcript

1 Metodicko-pedagogické centrum Prešov Centrum celoživotného vzdelávania Prírodovedecká fakulta UPJŠ v Košiciach Matematika Informatika Fyzika číslo 21 didaktický časopis učiteľov matematiky, informatiky a fyziky Prešov marec 2003

2 Matematika Informatika Fyzika didaktický časopis učiteľov matematiky, informatiky, fyziky Vydavateľ: Metodicko-pedagogické centrum Prešov Centrum celoživotného vzdelávania PF UPJŠ v Košiciach Vedúci redakčnej rady: Doc. RNDr. Dušan Šveda, CSc. Redaktori za matematiku: RNDr. Stanislav Lukáč, PhD., RNDr. Jana Hnatová Redaktori za informatiku: RNDr. Ľubomír Šnajder, PhD., Ing. František Kirner Redaktori za fyziku: RNDr. Marián Kireš, PhD., RNDr. Miroslav Krajňák, PhD. Členovia redakčnej rady: Matematika Doc. RNDr. Dušan Šveda, CSc. RNDr. Stanislav Lukáč, PhD. RNDr. Jana Hnatová RNDr. Alena Prídavková, PhD. Mgr. Viera Kundľová Informatika RNDr. Ľubomír Šnajder, PhD. Ing. František Kirner Mgr.Valentína Gunišová RNDr. Slávka Blichová Fyzika RNDr. Marián Kireš, PhD. RNDr. Miroslav Krajňák, PhD. RNDr. Adriana Trojanovičová RNDr. Libuša Segedyová ÚMV PF UPŠ v Košiciach ÚMV PF UPŠ v Košiciach Metodicko-pedagogické centrum Prešov PF PU Prešov Gymnázium J.A.Raymanna Prešov ÚI PF UPŠ v Košiciach Metodicko-pedagogické centrum Prešov Gymnázium J.A.Raymanna Prešov ZŠ, Užhorodská, Košice ÚFV PF UPŠ v Košiciach Metodicko-pedagogické centrum Prešov Gymnázium, Lipany ZŠ, Jenisejská, Košice Číslo zostavili: RNDr. Marián Kireš, PhD., RNDr. Miroslav Krajňák, PhD. Za vydanie zodpovedá: PaedDr. Ivan Pavlov riaditeľ MPC Prešov Jazyková úprava: PhDr. Zora Mihoková Adresa redakcie: Redakcia MIF Metodicko-pedagogické centrum Tarasa Ševčenka Prešov Tlač: Tlačiareň Kušnír, Sabinovská 55 Prešov Náklad: 400 ks ISSN Rok vydania:

3 Matematika Obsah Alena Prídavková SÚSTREDENIE PRE RIEŠITEĽOV KRAJSKÉHO KOLA MATEMATICKEJ OLYMPIÁDY V KATEGÓRII Z9 3 Alena Prídavková, Iveta Scholtzová KRAJSKÉ KOLO 51. ROČNÍKA MATEMATICKEJ OLYMPIÁDY KATEGÓRIE Z9 7 Marián Hanula MONITOR 2002 MATEMATIKA 11 Beáta Vavrinčíková VYUŽITIE IKT V UČIVE O LINEÁRNEJ OPTIMALIZÁCII NA GYMNÁZIU 17 Jana Krajčiová, Viera Vodičková, Stanislav Krajči, Roman Vodička KARTOVÝ MATEMATICKÝ TÁBOR 20 Iveta Scholtzová REFLEXIE O KOMBINATORIKE 23 Stanislav Lukáč NIEKTORÉ MOŽNOSTI VYUŽITIA INFORMAČNÝCH TECHNOLÓGIÍ NA PODPORU VYUČOVANIA MATEMATIKY 28 Informatika Ľubomír Šnajder VYKONÁVATELE (PROCESORY) ALGORITMOV 35 Jana Machová ŠTUDENTSKÉ WWW PROJEKTY NA GYMNÁZIU PAVLA HOROVA V MICHALOVCIACH 42 Ľubomír Šnajder POCHOPENIE REKURZIE POMOCOU PROGRAMOVACIEHO JAZYKA KAREL 46 Fyzika Adriana Trojanovičová VLASTNOSTI PLYNOV - VSTUPNÝ TEST 50 Vladimír Grejták EXPERIMENTÁLNA VÝUČBA FYZIKY NA GYMNÁZIU J.A.RAYMANA V PREŠOVE 55 Miriam Jadroňová VÝUČBOVÉ MULTIMEDIÁLNE CD OPTIKA 59 Marián Kireš NEVYHNUTNOSŤ ĎALŠIEHO VZDELÁVANIA UČITEĽOV 62

4 Milí kolegovia! Dostáva sa Vám do rúk 21. číslo časopisu Matematika, Informatika, Fyzika (MIF). Radi by sme Vás informovali o cieľoch publikovania tohto časopisu, novinkách a zmenách, ktoré Vám, počnúc týmto číslom, prinášame. Niekoľkoročnú spoluprácu Metodicko-pedagogického centra v Prešove a Prírodovedeckej fakulty UPJŠ v Košiciach pri vydávaní časopisu MIF sme zastrešili pod spoločnou vydavateľskou garanciou. Veríme, že táto spolupráca prispeje k zvýšeniu kvality časopisu a k jeho obľúbenosti. Našou snahou je pravidelné vydávanie didaktického časopisu, ktorý si spoločne s Vami, učiteľmi základných, stredných a vysokých škôl na celom Slovensku, vytvoríme. K týmto ambíciám sa verejne hlásime aj prostredníctvom podtitulu nášho časopisu. Obsahovú náplň jednotlivých čísiel MIF budeme v rámci ročníka profilovať do týchto tematických okruhov: Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov vyučovania Didaktické metódy, formy a prostriedky Výsledky pedagogického výskumu Informačno komunikačné technológie vo vyučovaní Ďalšie vzdelávanie učiteľov Práca s nadanými žiakmi Recenzie učebníc a odbornej literatúry Novinky a informácie Obsah jedného ročníka by mal poskytnúť čitateľovi komplexný prehľad o súčasných trendoch a výsledkoch výskumu v didaktike predmetu, aktuálnych problémoch vyučovania predmetu ako aj o možnostiach využívania moderných technológií vo vzdelávaní. S príspevkami sa budete mať možnosť oboznámiť aj v elektronickej podobe na internete, čo vám uľahčí prístup a umožní širšiu prezentáciu príspevkov. Radi by sme vydali jedno číslo ročne v anglickom jazyku a prezentovali tak výsledky našej práce aj v zahraničí. Zvýšenými nárokmi na prispievateľov, kvalitnou prácou recenzentov ako aj komunikáciou s učiteľskou verejnosťou sa budeme snažiť spoločne s Vami ponúkať zaujímavé, podnetné a užitočné informácie, ktoré prispejú k skvalitneniu výučby v školách a k zvýšeniu záujmu žiakov o naše predmety. členovia redakčnej rady

5 Práca s nadanými žiakmi na matematiku 3 SÚSTREDENIE PRE RIEŠITEĽOV KRAJSKÉHO KOLA MATEMATICKEJ OLYMPIÁDY V KATEGÓRII Z9 M Alena Prídavková Katedra matematiky, PF PU v Prešove Abstrakt: Príspevok je venovaný matematickému sústredeniu pred Krajským kolom matematickej olympiády v kategórii Z9 (Z8). Stručne je opísaná obsahová náplň programu akcie. Druhú časť tvoria ukážky žiackych príspevkov do časopisu Sústreďák, ktorý je vydávaný pre účastníkov sústredenia. Kľúčové slová: práca s talentovanou mládežou, matematická olympiáda V školskom roku 1993/94 vznikla tradícia spojená s organizovaním matematického sústredenia pred Krajským kolom Matematickej olympiády (MO) v kategórii Z8 (Z9). Počas nasledujúcich štyroch ročníkov súťaže bolo sústredenie pripravované pre žiakov z Východoslovenského kraja. Od školského roku 1997/98 (47. ročník MO), kedy bol Východoslovenský kraj rozdelený na kraje dva Košický a Prešovský, je akcia organizovaná pre žiakov z kraja Prešovského. Sústredenie zvyčajne prebieha v prostredí Školy v prírode v Thurzove pri Gelnici. Do 47. ročníka MO bolo sústredenie organizované pre riešiteľov súťaže v kategórii Z8. Od školského roku 1998/99 pribudla kategória Z9 pre žiakov 9. ročníka ZŠ a kvarty osemročných gymnázií. Z dôvodu nízkeho počtu úspešných riešiteľov v II. kole súťaže v tejto kategórii, sústredenie v 48. ročníku MO nebolo organizované. V ďalších rokoch bola akcia realizovaná pravidelne pre riešiteľov MO v kategórii Z9. Hlavným cieľom matematického sústredenia je odborná príprava žiakov na Krajské kolo Matematickej olympiády, ktoré je vyvrcholením súťaže v spomínanej kategórii. Tomuto cieľu je prispôsobený aj program podujatia, pričom veľký priestor je venovaný vyučovaniu, ktoré prebieha v štyroch trojhodinových blokoch. Žiaci tu majú možnosť riešiť aj rôzne netradičné, neštandardné úlohy, hlavolamy so zápalkami, spoznať rôzne matematické rozprávky, zaujímavosti z histórie matematiky a pod. Uvádzame ukážky niekoľkých neštandardných úloh. Úloha o nefajčiarovi: Nádejný fajčiar si v deň svojich pätnástich narodenín dal sľub, že nikdy nezačne fajčiť a peniaze, ktoré by prefajčil, aby si pri odchode do dôchodku finančne prilepšil, bude odkladať do banky. Peniaze za denný nákup cigariet v sume 35 Sk bude odkladať a každý rok na začiatku roka ich vloží do banky na vkladnú knižku so štvorročnou výpovednou lehotou (úroková sadzba 14% p. a.) Koľko korún si nasporil, ak takto ušetrenú celoročnú sumu za 365 dní si odkladal do banky 45 rokov? Úloha o skladaní papiera: Predpokladajte, že máte hárok papiera hrúbky 0,1 mm primerane veľkého formátu. Tento hárok prehnete tak, že dostanete polovičný formát. Potom tento polovičný formát znova prehnete na polovicu. Takto budete postupne prehýbať papier na polovičný formát 50 krát. Aká je hrúbka papiera po 50. prehnutí? Dve palice majú štyri konce. Koľko koncov dostaneme, ak z každej odpílime jeden koniec? Šiesti rybári zjedia šesť rýb za šesť dní. Koľko rýb zje 12 rybárov za 12 dní? Tehla stojí 10 Sk a pol tehly. Koľko korún stojí tehla? Vedomosti, ktoré žiaci získajú počas vyučovania v skupinách, sú vždy overené v súťaži s názvom MINIOLYMPIÁDA, ktorá prebieha podobným spôsobom ako krajské kolo MO. Žiaci riešia štyri úlohy podobného typu ako

6 4 Práca s nadanými žiakmi na matematiku M tie, ktoré sú zaradené do vyučovania v jednotlivých skupinách počas 90 tich minút. Najúspešnejší riešitelia sú potom odmenení. Okrem vyučovania je vytvorený priestor na hry, súťaže, výlety, zábavu. V školskom roku 1999/2000 vznikla myšlienka na vytvorenie časopisu pre účastníkov matematického sústredenia, ktorého názov je SÚSTREĎÁK. Príspevky do časopisu pripravujú samotní žiaci. V ďalšej časti uvedieme ukážky z tvorby žiakov. MAĽOVANÁ KRÍŽOVKA autorky: Maja, Inka, Maťa Horí ohník, horí v triedach našej školy, ktože ho nakládol, predsa naši slávni profesori. Profesori slávni našej slávnej školy, v ktorej sme tak často neprítomní boli. Vzorec na lásku: p 2 r = pusa na pusu bez rámusu Život je ako hodina matematiky: riešiš danú úlohu, pomýliš sa. Chceš ju napraviť, nedá sa. Je neskoro... Zvoní Autor (ka?) S. S. Matika, to je tá pravá, na písomky veľmi dravá, zažili sme týždeň taký, moc nie prísny, ale sťaby. Ráno bola algebra, my sme tupí jak jedľa, potom sa však zlomil strach, múdri ľudia boli z nás. Dnes to bola geoda, to bol stres, nie pohoda, občas niekto čosi splodil, nás ostatných vyslobodil. Zajtra je už tretí deň, učíme sa, čo nie je hej, neskôr výlet do Gelnice, obleč si dvoje nohavice (lebo je zima). Prejde štvrtok, príde piatok, pre niektorých veľký sviatok. Tejto škole dovi poviem, otočím sa a preč pôjdem. Nepriateľ je fyzická alebo právnická osoba, ktorá chce zmariť moje víťazstvo v krajskom kole, osobné, politické alebo ekonomické zámery. Najkrajšia matematika je tá, ktorá: - násobí radosť, - delí smútok, - odmocňuje nenávisť, - umocňuje lásku. Z tohto sústredenia si odnesiem spomienku na pekné vedúce aj pekného vedúceho a pár postrehov, ktoré som zaznamenal: 1. géniovia sa správajú rovnako, 2. múdre dievčatá môžu byť tiež na zjedenie, 3. nesklamať ľudí, ktorých mám rád. Radi majú aj oni mňa alebo len ony. Čo sa týka matiky, tak ste mi dali veľa, ale aj tak všetko zabudnem. 4. Nikdy nebudem učiteľom. 5. Na kalkulačke je aj kombinatorika.

7 Práca s nadanými žiakmi na matematiku 5 PÍSMENOVÁ MINIKRÍŽOVKA Tomáš Molokáč A B C Vodorovne: Zvisle: A DEDINA 1. BLCHY V HLAVE B TAJNIČKA 2. ZVOLANIE NA EVU C RÍMSKA TROJKA 3. ODPOČÍVAJ V NOCI OSEMSMEROVKA A Ž O K S K A T S Ž B A N Í K O K E L Á S Ť T T R R É F N L U Ú K S A E T V I P O S S E H Ň O B E D T O R T A V K A Č T S I S P R N S R K R E J M A P E I A O Á R A K E Č Í D U B P K R D O M O V E Y E O K R E I Z A J N N O L Y M P I Á D A E autor: neznámy sústredenie, olympiáda, diskotéka, budíček, Praha, okres, slniečko, súťaž, kraj, čas, koreň, obed, trápenie, testík, Baník, jazierko, kampaň, domov, bufet, pláž, koža, torta, drab tajnička Tajnička: Učiteľky kričia o hrdina príbehu o Talibejovi 2. obed v Gelnici 3. zostane po nás 4. manžel pani učiteľky Prídavkovej 5. nevyhnutná zložka raňajok, obeda, olovrantu a večere 6. brechajúca mačka 7. naša najobľúbenejšia pani učiteľka autor: Samo G. V záverečný deň sústredenia majú všetci jeho účastníci možnosť vyjadriť svoje názory, postoje a pripomienky k spôsobu vyučovania a k programu. Uvádzame niektoré žiacke odpovede na otázku, kde sa mali vyjadriť k tomu, čo ich najviac zaujalo: bolo tu fajn; príjemní ľudia, noví kamaráti, dobré matematické súťaže, zaujímavé riešenia úloh, matematické pikošky, spôsob výučby, aj matika môže byť zábavná, naučili sme sa veľa nového, zaujímavá práca v skupinách, hlavne v 1. a v 2. skupine, zaujímavé úlohy z geometrie, neštandardné úlohy, pekné prostredie, dobré vychádzky, večerný program s diskotékou, dobrý kolektív, stolný tenis, príjemná a dobrá atmosféra, spoločný večer, noví ľudia, nové vedomosti, zdanlivo neriešiteľné úlohy, spôsob výučby, veľa zaujímavostí sa dá využiť pri riešení úloh v škole, celé to bolo dobré, práca v skupinách podľa témy učiva, nové poznatky a postupy, výlet do Gelnice, úlohy so zápalkami, úlohy z nástenky, vyhodnotenie olympiád, všetko bolo fajn, dávať svoje názory na riešenie úloh, super učitelia, spôsob vysvetľovania, nočné návštevy, mladý kolektív vedúcich (budúci Mgr.), všetko bolo veľmi dobré, super prístup, prístup vyučujúcich, super sústredenie, hľadanie pokladu, dobré ceny za súťaže, hra BINGO, rôzne typy príkladov, práca v skupinách, super ľudia, ktorí tu boli, chuť a elán s akým nás učitelia učili, našiel som si priateľov, dokonca aj medzi učiteľmi, dobrí vyučujúci, ich kladný prístup k nám... Z reakcií žiakov účastníkov sústredenia, ale aj z ich odpovedí na otázky v ankete vidieť, že sústredenie svoj účel splnilo v každom školskom roku. Žiaci nielen získali nové vedomosti a skúsenosti z matematiky, ale spoznali aj mnoho nových priateľov. V nasledujúcej tabuľke uvádzame stručný prehľad o počte účastníkov III. kola 47. až 51. ročníka MO v Prešovskom kraji. M

8 6 Práca s nadanými žiakmi na matematiku M Roč. MO Kategória Počet riešiteľov III. kola Počet účastníkov sústredenia Počet úspešných riešiteľov III. kola 47. Z Z Z Z Z Adresa autora: RNDr. Alena Prídavková, PhD. Katedra matematiky PF PU Prešov Ul. 17. novembra č. 1, Prešov pridav@unipo.sk Dúfame, že táto forma mimoškolskej práce s nadanými žiakmi na matematiku, ktorá sa stala tradíciou, bude pokračovať aj v ďalších rokoch. Informácie o priebehu sústredenia a krajského kola súťaže 51. ročníka sú uvedené na stránke komisia MO informuje: Alena Prídavková (1972) absolventka Prírodovedeckej fakulty UPJŠ v Košiciach (odbor Učiteľstvo všeobecnovzdelávacích predmetov aprobácia matematika fyzika). V súčasnosti je odbornou asistentkou na Katedre matematiky PF PU v Prešove. V roku 2002 ukončila doktorandské štúdium na PF UPJŠ v Košiciach, vo vednom odbore Teória vyučovania matematiky. Orientuje sa na problematiku identifikácie žiakov nadaných na matematiku a možností rozvíjania ich matematických schopností. Ako spamäti umocňovať celé čísla končiace číslicou 5 Uvažujme o dvojcifernom čísle končiacom číslicou 5, ktoré zapíšene v tvare: a5 = 10a + 5. Hodnotu druhej mocniny tohto čísla získame takto: 1. číslo sa bude končiť dvojčíslim 25, 2. prvú číslicu resp. skupinu číslic určíme takto: a.(a+1). Uvažujme napríklad číslo 15. Potom platí: 15 2 = = 1.(1+1) 25 2 = = 2.(2+1) 35 2 = = 3.(3+1) 45 2 = = 4.(4+1) Pri umocňovaní viacciferných čísel je postup analogický: = = 12.(12+1) = = 34. (34+1) Pomôcka na zapamätanie si rímskych čísel Igor Vezie Xéničke Lacné CD Maličké. Udialo sa v školských laviciach Učiteľka v prvej triede ZŠ: - Anička, koľko je 1+2? - Nó, to presne neviem, ale bude to toľko isto ako 2+1, keďže pri operácii sčítania nad množinou prirodzených čísel platí komutatívny zákon...

9 Práca s nadanými žiakmi na matematiku 7 KRAJSKÉ KOLO 51. ROČNÍKA MATEMATICKEJ OLYMPIÁDY KATEGÓRIE Z9 M Alena Prídavková, Iveta Scholtzová Katedra matematiky, PF PU v Prešove Anotácia: V školskom roku 2001/2002 prebiehal 51. ročník Matematickej olympiády. V článku sú uvedené výsledky získané z analýzy žiackych riešení úloh III. kola súťaže v kategórii Z9. Súčasťou článku je výsledková listina Krajského kola 51. ročníka MO v kategórii Z9 pre Prešovský kraj. Kľúčové slová: práca s talentovanou mládežou, matematická olympiáda, 51. ročník MO Krajské kolo 51. ročníka MO, kategórie Z9, sa konalo v dňoch marca 2002 vo Vyšných Ružbachoch v okrese Stará Ľubovňa. Súťaže sa zúčastnilo 53 žiakov zo všetkých trinástich okresov Prešovského kraja. Podľa dosiahnutých výsledkov v II. kole, do III. kola bolo pozvaných 11 žiakov z okresu Bardejov, po dvoch z okresov Humenné, Levoča, Medzilaborce, Poprad a Stropkov, po 3 z okresov Sabinov, Snina, Stará Ľubovňa a Svidník, 4 z okresu Kežmarok, 11 účastníkov z okresu Prešov a piati žiaci boli pozvaní z okresu Vranov nad Topľou. Po organizačnej stránke priebeh III. kola MOZ 9 zabezpečilo CVČ v Starej Ľubovni. Počas súťaže sa konalo zasadnutie predsedov OK MO. Za každú úlohu mohli súťažiaci získať maximálne 6 bodov. Úspešným riešiteľom bol každý, kto získal aspoň 12 bodov. Z 53 účastníkov III. kola Z9, bolo 43 úspešných riešiteľov. V ďalšej časti analyzujeme žiacke riešenia všetkých úloh krajského kola súťaže. Z9-III-1 Skupina detí si zorganizovala piškvorkový turnaj. Každý hral s každým a celkom odohrali 136 zápasov. Z toho práve 66 zápasov bolo typu dievča dievča alebo chlapec chlapec. Koľko bolo v skupinke chlapcov a koľko dievčat? Analýza riešení Priemerný bodový zisk pri riešení tejto úlohy bol 4,1 boda (69 %-ná úspešnosť). Ako to vyzeralo presne, ukazuje tabuľka 1. body Bodový zisk Počet riešiteľov Tabuľka č. 1 Ako žiaci postupovali pri riešení tejto úlohy? 1. a) Snažili sa zistiť, koľko všetkých detí sa zúčastnilo na turnaji: n.( n 1) - použili vzťah (11-krát), 2 - použili metódu pokus omyl, napr. ak by bolo 10 detí, potom prvý hrá 9 zápasov, druhý hrá 8 zápasov,..., (takto riešili v 24 prípadoch). b) ak zistili, že počet všetkých detí na turnaji je 17, snažili sa vypísať všetky možnosti koľko môže byť chlapcov a koľko dievčat (správne 12- krát, neúplne 9-krát). 2. Niektorí žiaci začali riešenie uvedomením si faktu, že ak všetkých zápasov je 136 a 66 zápasov je typu chlapec chlapec alebo dievča dievča, potom zápasov typu chlapec dievča je práve 70. Vo väčšine prípadov (9-krát) nasledoval rozklad čísla 70, t. j. 3. V šiestich riešeniach sa objavila sústava dvoch rovníc s dvomi neznámymi : ch d y + z = y. z = Dvaja žiaci vedeli, že vytvárané 5 14 skupiny sú kombinácie bez opakovania. Jeden z nich uviedol aj 7 10 vzťah: Ck ( n) = n! ( n k)! k!

10 8 Práca s nadanými žiakmi na matematiku M a následne sústavu rovníc: x + y = 17 C2 (x) + C2 (y) = 66 Analýza žiackych riešení tejto úlohy ukázala, že žiaci vedia riešiť úlohy tohto typu. V niektorých prípadoch však absentuje systematický postup pri riešení. Z9-III-2 V Squarlande žijú iba štvorce. Až na dve výnimky tam každý z nich má priateľa, ktorý má od neho o 8 cm väčší obvod a priateľa s obvodom o 8 cm menším. Priemerný obsah squarlandského štvorca je 116 cm2. Žiadne dva z nich nie sú zhodné a obvod najmenšieho je rovný dĺžke strany najväčšieho. Zistite: a počet obyvateľov Squarlandu, b rozmery najmenšieho a rozmery najväčšieho squarlandského štvorca, c priemernú dĺžku strany squarlanďana. Analýza riešení Priemerný bodový zisk bol 3,9 bodu (65 %-ná úspešnosť). Výsledky sú zachytené v tabuľke 2. Bodový body zisk Počet riešiteľov Tabuľka č. 2 V žiackych riešeniach sa objavili tieto skutočnosti: 1. Základné údaje zistila správne väčšina riešiteľov: - každý nasledujúci štvorec má stranu o 2 cm menšiu ako predchádzajúci (43-krát), - správne určená dĺžka strany najmenšieho (40-krát) a najväčšieho štvorca (41-krát), - zistený počet obyvateľov štvorcov (41-krát), - vypočítaná priemerná dĺžka strany (41-krát). 2. Tri riešenia začínali takto: 116 = 10,77. Následne žiaci postupovali od čísla 10 na obidve strany a porovnávali obsahy. 3. Piati žiaci zvolili systematické prehľadávanie, t. j. ak a1 = 1 cm, potom a2 = 3 cm,..., resp. a 1 = 2 cm, potom..., atď. 4. Niektorí žiaci sa pokúsili vyjadriť podmienky zadania úlohy rovnicou. Napr.: 3 p = a a dĺžka strany najmenšieho štvorca, p počet štvorcov (4-krát), 3 p = a a + a a + 4 x 2 ( ) ( ) ( 4a) (2-krát), = 116 (1-krát). Z analýzy žiackych riešení vyplýva, že žiaci sú pripravení na riešenie takýchto úloh. Častokrát ale postupujú zložitým spôsobom tam, kde stačí jednoduchá úvaha. Z9-III-3 Na svojich potulkách objavil profesor Hmyzuli nový druh chrobáka. Podľa počtu jeho nožičiek a tvaru jednotlivých článkov ho nazval Guľôčkovcom Dvanásťnôžkovým: každý článok tohto chrobáka má tvar gule a z každého článku okrem prvého (hlavičky) vyrastajú dva páry nožičiek. Navyše, každý z článkov má o 21% väčší prierez, ako článok za ním. Zistite presnú dĺžku chrobáka, ak viete, že hlavička má polomer 0,2662 cm. Analýza riešení Priemerný bodový zisk pri riešení tejto úlohy bol 3,5 bodu (59 %-ná úspešnosť). Presnejšie je to zapísané v tabuľke 3. Bodový body zisk Počet riešiteľov Tabuľka č. 3 V úlohe bolo potrebné najprv určiť počet článkov, z ktorého pozostáva chrobák. Z podmienky, ktorá hovorí o počte nôh, vyplýva, že má tri články a hlavu. Ďalej bolo dôležité uvedomiť si, že veľkosť prierezu je veľkosť obsahu kruhu. Na základe vzťahov medzi jednotlivými prierezmi bolo treba vyjadriť veľkosti priemerov všetkých troch častí a z toho 2

11 Práca s nadanými žiakmi na matematiku 9 potom určiť hľadanú dĺžku. Najčastejšie chyby, ktoré sa objavovali v riešeniach boli tieto: bol nesprávne určený počet článkov. V tomto Bodový zisk body M prípade uvažovali v tom zmysle, že na každom článku sú dve nohy a nie dva páry nôh. Na základe tohto východiska bol počet Počet riešiteľov Tabuľka č. 4 článkov šesť, v dvanástich riešeniach žiaci považovali prierez za priemer; teda určili veľkosť priemeru nasledujúceho článku ako 79% (t. j. o 21% menej) z priemeru článku predchádzajúceho, v mnohých riešeniach chýbal slovný komentár. Z analýzy riešení žiakov vyplynula skutočnosť, že boli pripravení na úlohy tohto typu. Svedčí o tom aj fakt, že úlohu sa pokúšali riešiť všetci účastníci súťaže. Z9-III-4 Marta triedi trojuholníky, ktorých strany vyjadrené v cm sú celé čísla, na vysoké, nízke a ostatné. Vysoký trojuholník je taký, v ktorom sa súčet dĺžok niektorých dvoch strán rovná štvornásobku dĺžky tretej strany. Nízky trojuholník je taký, v ktorom je súčin dĺžok niektorých dvoch strán dvojnásobkom dĺžky tretej strany. Nájdite: a) všetky vysoké trojuholníky, ktorých jedna strana meria 6 cm, b) všetky nízke trojuholníky, ktorých jedna strana meria 6 cm, c) všetky trojuholníky, ktorých jedna strana meria 4 cm a sú vysoké a nízke súčasne. Analýza riešení Túto úlohu sa pokúsili riešiť všetci žiaci a vo väčšine prípadov aj úspešne. Svedčí o tom hodnota priemernej úspešnosti úlohy (75,79%). Priemerný bodový zisk bol 4,5 bodu. Výsledky sú uvedené v tabuľke 4. Väčšinou žiaci úlohu riešili systematicky vytvorením tabuľky a vypisovaním možností, ktoré následne overovali. V záverečnej časti sa objavili dva typy úvah: 1. žiaci našli všetky úzke trojuholníky s danou vlastnosťou a všetky široké trojuholníky s danou vlastnosťou. Vytvorili potom vlastne prienik takto vytvorených dvoch množín, t. j. našli trojuholník, ktorý bol súčasne úzky aj široký a jedna jeho strana má dĺžku 4 cm, 2. sformulované boli najprv podmienky pre úzky a široký trojuholník v tvare rovníc a následne tieto rovnice rôzne kombinovali, čím vznikali sústavy dvoch rovníc a dvoma neznámymi. Ich riešením spolu s podmienkou pre dĺžku jednej strany trojuholníka, dospeli k riešeniu. Z analýzy vyplynuli tieto skutočnosti: v dvoch prípadoch riešení došlo k omylu v časti b), kde namiesto súčinu uvažovali o súčte dĺžok dvoch strán trojuholníka, niektorí žiaci uvádzali ako riešenie aj také trojice hodnôt pre dĺžky strán trojuholníka, ktoré nespĺňali trojuholníkovú nerovnosť, vyskytli sa odpovede v tom zmysle, kde dva zhodné trojuholníky boli považované za rôzne (napríklad trojuholníky s dĺžkami strán v cm 6,6,2 a 6,2,6 a pod.). V dôsledku takejto úvahy uvádzali viac riešení ako v skutočnosti úloha mala. Na záver pripájame výsledkovú listinu.

12 10 Práca s nadanými žiakmi na matematiku M ÚSPEŠNÍ RIEŠITELIA por. Meno a priezvisko Škola a okres učiteľ matematiky U U U U spol u 1. Sulin Ján V. ZŠ Pod Vinb., Bardejov p. M. Denis Janeček Matej ZŠ Francisciho, Poprad p. Š. Meluch Pištejová Ľuboslava Gymn. J. A. R., Prešov p. J. Cirjaková Feč Martin IV. ZŠ Karpatská, Svidník p. E. Chudíková Polivčáková Martina ZŠ Bernolákova, Vr. n. T. p. Mocsáriová Krivák Radoslav ZŠ Šmeralova, Prešov p. L. Baranová Sláviková Natália ZŠ Šmeralova, Prešov p. L. Baranová Fedák Matúš ZŠ Cyr. a Metoda, St. Ľub. p. J. Jakubiansky Varcholová Zuzana V. ZŠ Pod Vinb., Bardejov p. M. Denis Radvanský Lukáš V. ZŠ Pod Vinb., Bardejov p. M. Denis Majerník Matúš V. ZŠ Pod Vinb., Bardejov p. M. Denis Mačuga Dušan ZŠ Šrobárova, Prešov p. Kvašňáková Vachna Michal ZŠ Šmeralova, Prešov p. L. Baranová Semanko Adam ZŠ Sv. Egídia, Bardejov p. I. Češeková Balún Tomáš ZŠ Šmeralova, Prešov p. L. Baranová Hovanec Stanislav ZŠ Komenského, Sabinov p. Tkáčiková Kapráľová Jana ZŠ P. O. Hviezd., Snina p. H. Zobková Varchola Jaroslav ZŠ Hrnčiarska, Humenné p. Kitková Nevžilová Jana ZŠ Máj. Nám., Prešov p. Tarbajová Šeliga Lukáš ZŠ Bernolákova, Vr. n. T. p. Mocsáriová Borovská Silvia ZŠ Dr. Fischera, Kežmarok p. H. Lepišová Baník Jozef OŠG vranov N. Topľou p. Lengel Džundová Eva IV. ZŠ B. Krpelca, Bardejov p. M. Tkáčová Chudíková Katarína IV. ZŠ Karpatská, Svidník p. Cuper Vigľaš Martin V. ZŠ Pod Vinb., Bardejov p. M. Denis Kurťák Pavol OG sv Koš. Muč., Humenné p. P. Vachula Svocáková Milena ZŠ Dr. Fischera, Kežmarok p. L. Bobíková Buríková Eva ZŠ N. Repáše, okr. Levoča p. A. Rusiňáková Dubovský Jakub ZŠ Šmeralova, Prešov p. N. Mikitková Baran Michal V. ZŠ Pod Vinb., Bardejov p. M. Denis Macejková Veronika OG J. F. R., Levoča p. Kopaničáková Matys Marek ZŠ Máj. Nám., Prešov p. Tarbajová Fuchs Ladislav ZŠ Budovateľská, Snina p. Gonda Koščák Jozef ZŠ Dr. Fischera, Kežmarok p. L. Bobíková Palgut Jozef ZŠ Podolínec, okr. St. Ľub. p.valeková Mlynár Peter VI ZŠ, Bardejov p. Džmurová Masliš Michal OG Sv. Mik., Prešov p. Wožniaková Štefanišin Radovan ZŠ Cernina, okr. Svidník p. M. Kvasková Matisková Anna ZŠ Sačurov, okr. Vr. n. T. p. Jakubková Bláha Juraj ZŠ Dr. Fischera, Kežmarok p. L. Bobíková Savka Ján ZŠ Študentská, Snina p. P. Koršňák Kasardová Mária Gymnázium, Stropkov p. J. Mikita Dupej Ján Gymnázium, Stropkov p. J. Mikita ĎALŠÍ RIEŠITELIA 14. Pira Vladimír ZŠ Duchn., Medzilaborce Prusák Michal ZŠ Šmeralova, Prešov Kyšeľa Štefan ZŠ Plavnica, okr. St. Ľubovňa Džupinová Markéta V. ZŠ Pod Vinb., Bardejov Kvočák Stanislav ZŠ 17. nov., Sabinov Koščík Ondrej ZŠ Sídl. Juh, Vr. N. Topľou Klimeková Lucia ZŠ Sp. Sobota, okr. Poprad Vaľko Tomáš V. ZŠ Pod Vinb., Bardejov Hatala Jozef ZŠ Peč. N. Ves, okr. Sabinov Solej Peter ZŠ Duchn., Medzilaborce Adresa autorov: RNDr. Alena Prídavková, PhD. Katedra matematiky PF PU Prešov Ul. 17. novembra č. 1, Prešov pridav@unipo.sk RNDr. Iveta Scholtzová Katedra matematiky PF PU Ul. 17. novembra 1, Prešov scholtzi@unipo.sk

13 Výsledky pedagogického výskumu 11 MONITOR 2002 MATEMATIKA Marián Hanula Štátny pedagogický ústav Bratislava M Anotácia: V rámci experimentálneho overovania novej koncepcie maturitnej skúšky (MONITOR 2002) písalo 3958 maturantov 253 stredných škôl (gymnázií, SOŚ a SOU) test z matematiky. Žiaci gymnázií písali test M 1, ostatní M 2. Oba testy obsahovali 30 úloh - otázok (20 otázok s voľbou odpovede z 5 možností, 10 otázok s tvorbou krátkej odpovede), pričom niekoľko úloh bolo spoločných. Test M 1 mal aj druhú časť, žiaci v nej riešili päť úloh (30 bodov), piatu úlohu si mohli voliť z dvoch rovnocenných možností. Autor sa v príspevku pokúša analyzovať výsledky jednotlivých testov a porovnáva výsledky žiakov rôznych typov škôl v spoločných úlohách oboch testov. Poukazuje na malú koleráciu počtu získaných bodov v teste so známkou žiaka v 1. polroku maturitného ročníka i na významné rozdiely v zisku bodov jednotlivými školami. Upozorňuje aj na neschopnosť učiteľov stanoviť hranice úspešnosti žiakov, pretože pri akceptácii učiteľmi navrhnutej hranice by nezmaturovalo 55,9 % žiakov gymnázií a 75,3 % žiakov SOŠ a SOU. Kľúčové slová: maturitná skúška z matematiky, monitor Podľa novej koncepcie maturitnej skúšky bude možné vykonať maturitnú skúšku z maturitných predmetov, teda aj z matematiky, na viacerých (obvykle dvoch základnej a vyššej) úrovniach. Absolvent strednej školy si bude môcť slobodne vybrať úroveň, na ktorej chce daný predmet absolvovať. Matematika má medzi maturitnými predmetmi trošku zvláštne postavenie podľa súčasne platných učebných plánov pre stredné školy jej v gymnáziách prislúcha minimálne 13 hodín, v stredných odborných školách 8 13 hodín a v študijných odboroch stredných odborných učilíšť hodín, pre gymnázia bude voliteľným maturitným predmetom zo skupiny prírodovedných predmetov (matematika, fyzika, chémia, biológia a informatika), pre odborné školy bude patriť medzi dobrovoľné všeobecnovzdelávacie maturitné predmety, každoročne z nej maturuje významná časť študentov, napríklad v školskom roku 2001/2002 maturovalo z matematiky v jednotlivých krajoch priemerne % absolventov stredných škôl, pričom medzi gymnazistami je počet maturujúcich z tohto predmetu vyšší (45 53 %). Aj z uvedených dôvodov sa vedenie ŠPÚ rozhodlo, že v pilotnom testovaní maturantov (Monitor) bude overovať vyššiu úroveň externej časti maturitnej skúšky v gymnáziách a základnú úroveň na SOŠ a SOU, hoci v budúcnosti si bude úroveň voliť maturant bez ohľadu na typ školy. Pripomeňme si niekoľko myšlienok, ktoré odzneli na celoslovenskom seminári Maturita po novom v Bratislave v novembri 1999 Výsledky testu konkrétneho žiaka poslúžia predovšetkým na jeho ohodnotenie, ale pri centrálne vyhodnocovaných testoch sa získa aj množstvo užitočnej informácie, ktorá môže poslúžiť viacerým účelom. Ak odhliadneme od nepríjemného faktu, že centrálne opravované testy poskytnú informáciu aj o kvalite práce jednotlivých škôl, všetky ostatné informácie môžu pomôcť zlepšiť prácu celého rezortu. Predovšetkým vzniká možnosť akejsi kalibrácie, t.j. neustáleho zlepšovania prostriedkov merania, čiže štandardov vedomostí jednotlivých predmetov a aj samotných testov. Ďalej sa mnoho dozvieme o reálnosti, primeranosti, resp. neprimeranosti vytýčených cieľov, budeme schopnejší v jednotlivých predmetoch vyberať také učivo, ktoré svojím obsahom najviac prispeje k dosiahnutiu vytýčených vzdelávacích cieľov. Získané informácie nás môžu vyviesť z mylných predstáv o úrovni nášho školstva, môžu nám pomôcť alarmovať celú spoločnosť a najmä donútiť jej politickú reprezentáciu venovať vzdelávaniu primeranú pozornosť. 1 V školskom roku 2001/2002 sa overoval v gymnáziách test M 1, v ostatných stredných školách test M 2. Oba testy (pozri obsahovali 30 úloh - otázok (20 otázok s voľbou odpovede z 5 možností, 1 RNDr. Vladimír Jodas: Pár poznámok k forme maturitnej skúšky, Maturita po novom, Zborník z celoslovenského seminára, MCMB, Bratislava 2000

14 12 Výsledky pedagogického výskumu M 10 otázok s tvorbou krátkej odpovede), pričom niekoľko úloh bolo spoločných. Test M 1 mal aj druhú časť, žiaci v nej riešili päť úloh (30 bodov), piatu úlohu si mohli voliť z dvoch rovnocenných možností. Test M 1 písalo žiakov z 212 tried 138 gymnázií (111 štátnych, 6 súkromných, 21 cirkevných), ktorí dosiahli v prvej časti 61,14 % úspešnosť. Len 1 bod získal 1 žiak, 2 body získali 4 žiaci, maximálny počet 30 bodov získali 48 žiaci. V druhej časti testu ani jeden bod nezískalo 173 žiakov, 1 bod získalo 174 žiakov, maximálny počet 30 bodov získali 3 žiaci. Priemerná úspešnosť bola 8,06 boda, čiže 26,85 %. Prostrednou hodnotou (medián) je 7 bodov, najpočetnejšia bola skupina žiakov (174), ktorí získali 1 bod (modus). Test M 2 písalo žiakov zo 168 tried 115 SOŠ a SOU (161 štátnych, 5 súkromných, 2 cirkevných 81 tried SOŠ a 87 tried SOU), ktorí dosiahli 37,8 % úspešnosť (žiaci SOŠ 44,9 % a žiaci SOU len 31 %). Ani jeden bod nezískali 2 žiaci SOU, len 1 bod získali 4 žiaci SOU, najviac bodov, 28, získalo 13 žiakov SOŠ, 29 bodov a maximálny počet 30 bodov nezískal ani jeden žiak. Priemerná úspešnosť jednotlivých škôl v prvej časti testu M 1 je z intervalu 90 % - 24,44% (priemerná úspešnosť žiaka 61,14 %), priemerná známka z matematiky v 1. polroku 4. ročníka je z intervalu 1,00 3,33 (priemerná známka žiaka 1,93; priemerná známka 48 najúspešnejších žiakov je 1,15; priemerná známka najneúspešnejších 5 žiakov je 2,2), no medzi úspešnosťou z testu a priemernou známkou nie je skoro žiadna korelácia. Výsledky niektorých škôl sú v nasledujúcej tabuľke 1. Priemerná úspešnosť jednotlivých škôl v teste M 2 je z intervalu 76,9 % - 15,6 % (priemerná úspešnosť žiaka 37,8 %), priemerná známka z matematiky v 1. polroku 4. ročníka je z intervalu 1,13 3,62 (priemerná známka žiaka 2,62; priemerná známka 13 najúspešnejších žiakov je 1,77; priemerná známka najneúspešnejších 6 žiakov je 3,17), no medzi úspešnosťou z testu a priemernou známkou opäť nie je skoro žiadna korelácia. Výsledky niektorých škôl sú v nasledujúcej tabuľke 2. Počet žiakov Priemerná úspešnosť (%) Priemerná známka Počet žiakov, ktorí získali bodov Typ školy Kraj ,25 1 ŠT TT 10 89,67 1,20 ŠT NR 7 89,52 1,29 CI KE 30 86,89 2,10 9 ŠT NR 36 85,83 2,11 9 ŠT KE 12 85,83 2,00 ŠT TN 6 83,33 1,83 CI KE 12 82,22 1,42 ŠT PO 18 81,3 1,89 3 ŠT BA 22 81,21 2,32 1 ŠT BA 11 76,67 1,64 2 ŠT ŽA 35 74,95 2,14 ŠT BA 23 74,92 1,61 1 ŠT BA 7 74,29 1,00 1 SÚ BA 8 74,14 2,00 ŠT ŽA 13 73,85 2,46 1 ŠT TT 16 72,08 1,88 1 ŠT TN 21 71,59 2,90 1 ŠT ŽA 17 71,37 1,76 2 SÚ BA 11 71,21 2,00 1 ŠT ŽA ,71 1 ŠT TT 22 69,7 1,64 2 ŠT PO 49 69,52 2,17 2 ŠT BA 19 66,84 2,37 2 ŠT PO 8 64,58 1,50 1 ŠT NR 22 61,51 1,91 1 ŠT TN 20 61,17 2,05 1 ŠT BB 14 60,71 2,79 1 ŠT PO 27 60,62 1,70 1 ŠT NR 23 59,28 1,74 1 ŠT BA 20 57,67 1,75 1 ŠT ŽA 42 57,38 2,67 1 ŠT ŽA 27 55,68 2,11 1 CI BA 15 52,44 1,93 1 CI NR 16 46,25 2,13 CI ŽA 15 44,00 1,87 1 ŠT BB 14 41,9 2,00 ŠT PO 4 40,83 1,75 ŠT PO 12 39,78 2,33 1 ŠT PO 6 39,44 2,33 ŠT KE 12 37,5 2,50 SÚ BA 10 36,67 2,90 ŠT TN 6 36,11 1,17 SÚ BA 9 35,93 2,89 ŠT KE 9 35,93 2,89 ŠT BA 3 35,56 3,33 ŠT BA 6 35,00 2,00 ŠT PO 27 31,48 1,59 1 CI NR 6 30,56 2,33 SÚ PO 10 26,33 1,60 SÚ KE 17 24,9 2,00 ŠT KE 15 24,44 2,53 ŠT TT Tabuľka 1 2. úloha testu M 1 (resp. 5. úloha testu M 2) bola negácia výroku Vlani každý študent maturoval aspoň z jedného cudzieho jazyka. 23,2 % gymnazistov pokladalo za správnu

15 Výsledky pedagogického výskumu 13 odpoveď výrok Žiadny študent nematuroval z cudzieho jazyka a 22,6 % žiakov SOŠ a SOU výrok Niektorí študenti maturovali práve z jedného cudzieho jazyka. Počet žiakov Priemerná úspešnosť (%) Priemerná známka Počet žiakov, ktorí získali bodov Typ školy Kraj 26 76,9 2,27 11 SOŠ/ŠT TN 23 70,7 2,52 SOŠ/ŠT ŽA 8 67,9 2,38 1 SOŠ/ŠT NR 26 67,1 2,72 SOŠ/ŠT NR 19 66,7 2,95 SOŠ/ŠT BA 11 63,3 2,36 SOŠ/ŠT TN 18 62,8 3,33 SOŠ/ŠT BA 16 58,8 3,13 SOU/ŠT BA 39 56,5 3,15 SOŠ/ŠT BB 22 56,2 2,27 SOŠ/ŠT BA 14 55,5 2,14 SOŠ/ŠT PO 27 54,7 3,04 1 SOŠ/ŠT ŽA 11 38,2 3,09 SOU/ŠT BB 23 37,4 2,61 SOŠ/ŠT ŽA 30 34,7 2,63 2 SOŠ/ŠT BB 5 24,7 3,00 1 SOU/ŠT TN 16 24,6 2,88 1 SOU/ŠT BB 19 22,1 2,95 1 SOU/ŠT TT 17 21,8 2,06 SOU/ŠT TN 13 21,5 2,00 SOU/ŠT BB 9 21,1 3,22 SOU/ŠT KE 24 20,7 2,21 SOŠ/ŠT PO 11 20,3 2,09 SOŠ/ŠT BB 7 20,0 2,71 SOŠ/ŠT NR 23 18,6 2,70 1 SOU/SÚ TT 9 18,5 3,11 SOU/ŠT ŽA 10 16,7 2,80 SOU/ŠT TT 6 15,6 3,33 SOU/ŠT NR Tabuľka 2 Čísla spoločných úloh testov M 1 a M 2 (podľa formy A) a ich úspešnosť sú v nasledujúcej tabuľke 3. číslo úlohy z testu úspešnosť žiakov M 1 M 2 G SOŠ, SOU ,8 54, ,5 16, ,9 18, ,5 18, ,9 68, ,8 14, ,9 9,2 Tabuľka 3 2 V 4. úlohe testu M 1 zisťovali žiaci 3 zo Za správny výsledok pokladá 17,4 % gymnazistov a 27,5 % žiakov SOŠ a SOU číslo Poznatky žiakov odborných škôl z operácií s mocninami sú pravdepodobne na nízkej úrovni, pretože 25 % z nich považuje za správnu odpoveď aj číslo Z početností nesprávnych odpovedí pri určovaní stredu a polomeru kružnice danej rovnicou x y + 2x = 0 (úloha 15, resp.16) možno predpokladať, že chyby žiakov gymnázií majú numerický charakter (8,4 %, 10 %, 8 %, 5,8 %), no príčiny nesprávnych odpovedí žiakov SOŠ a SOU je potrebné hľadať asi niekde inde 39,6 % si myslí, že stredom danej kružnice je bod S[2; 0] a polomerom r = 2. Mieru pochopenia niekoľkých pojmov (polomer vpísanej a opísanej kružnice, obsah kruhu a medzikružia, rovnostranný trojuholník) testovala 16. úloha (resp. 19.). Väčšina gymnazistov ju zvládla, no 18,9 % z nich tvrdí, že obsahom medzikružia je číslo 3 2 S = πr 2. Túto úlohu však nezvládli žiaci odborných škôl. Je to jedna z úloh, kde aspoň jedna z možných nesprávnych odpovedí má väčšiu početnosť ako správna odpoveď. 28,1 % tvrdí, že S = 2πr 3 2 S = πr. a 23 %, že 2 Úlohy 21, 24 a 27 (resp. 21, 22 a 27) boli úlohy s tvorbou krátkej odpovede. Prvú z nich zvládla väčšina žiakov, druhé dve žiaci nezvládli. 24. úloha je klasická úloha z kombinatoriky (Koľko takýchto čísel sa dá zostaviť ), obdobné sú v stredoškolských učebniciach a zbierkach úloh. Úspech či neúspech žiakov pri riešení tejto úlohy zrejme súvisí s metodikou vyučovania kombinatoriky. Žiak pristupuje k riešeniu problému buď s otázkou Ktorý vzorec z kombinatoriky by som mal použiť? alebo s otázkou Ako by som to číslo napísal?. Ak použije druhý prístup, úlohu hravo vyrieši, pretože namiesto A môže napísať 8 číslic a namiesto B 9 číslic. Príčiny neúspechu žiakov (alarmujúci je počet správnych riešiteľov spomedzi žiakov odborných škôl) pri riešení 27. úlohy môžu byť asi len tri nedostatok času, netradičná formulácia úlohy, alebo, a táto príčina je najpravdepodobnejšia, nepochopenie princípu riešenia základnej goniometrickej rovnice. Väčšina žiakov by asi vyriešila rovnicu sin x = 0, ale vedela by svoj postup aj odôvodniť? 2 M

16 14 Výsledky pedagogického výskumu M Úspešnosť siedmych úloh z testu M 1 bola menšia než 50%, no len % žiakov gymnázií vyriešilo úlohy 3, 10, 11, 24, 26 (pravdepodobnosť, graf súmerný s grafom exponenciálnej funkcie, logaritmická nerovnica, kombinatorika, polynomická rovnica). 3. úloha, úloha z tematického celku pravdepodobnosť, bola jedinou úlohou z testu M 1, v ktorej aspoň jedna z možných nesprávnych odpovedí mala väčšiu početnosť ako správna odpoveď (33,7 % 2, označilo správnu odpoveď 5 35,7 % 2 nesprávnu odpoveď 3 ). V 11. úlohe 28,1 % gymnazistov správne vyriešilo logaritmickú rovnicu, no nezobralo do úvahy fakt, že logaritmická funkcia so základom 0,5 je klesajúca. Úspešnosť 26. úlohy ovplyvnila tradičná chyba. Žiaci vydelili rovnicu dvojčlenom, no nevyšetrili prípad jeho nulového bodu. Z 30 úloh testu M 2 vyriešili žiaci odborných škôl len 9 s úspešnosťou väčšou než 50 %, no až 14 s úspešnosťou menšou než 30,2 %. Z týchto 14 bolo 8 (zlomky, pravdepodobnosť, mocniny, funkcia a jej graf, riešenie nerovnice, parabola a jej vrchol, rovnica kružnice, polomer vpísanej a opísanej kružnice) s výberom odpovede a v každej aspoň jedna z možných nesprávnych odpovedí mala väčšiu početnosť ako správna odpoveď. Zvláštnu pozornosť si zaslúži 10. úloha Na ktorom z obrázkov je znázornený graf 5; 8 funkcie s definičným oborom a s oborom 6; 4 hodnôt? Na 3 obrázkoch boli grafy funkcií, na ďalších dvoch to funkcie neboli. 57,1 % žiakov označilo ako správnu odpoveď obrázok grafu relácie, ktorá nie je funkciou a len 12,3 % žiakov odborných škôl označilo správne riešenie. V 11. úlohe určovali žiaci množinu všetkých 2 x riešení nerovnice x 4 Podľa výsledkov pravdepodobne 40 % žiakov pozná správnu metódu riešenia tejto úlohy (19,9 % pokladá za a 19,6 % interval 2; 2 ), no 21,6 % riešiteľov urobilo tradičnú chybu, neaplikovalo správne pravidlo o násobení nerovnice záporným číslom a za správny výsledok pokladalo prázdnu množinu (9 4). množinu riešení interval ( 2; 2) Úlohy 5, 20, 21, 22, 23 prvej časti testu M 1 (postupnosť, objem gule, percentá, vážený priemer, kruhový diagram) správne vyriešilo viac ako 80 % žiakov, len % žiakov však vyriešilo úlohy 3, 10, 11, 24, 26 (pravdepodobnosť, exponenciálna funkcia, logaritmická nerovnica, kombinatorika, polynomická rovnica). Úlohy 1 a 20 testu M 2 (kruhový diagram, vznik rotačného kužeľa) správne vyriešilo viac ako 83 % žiakov, len 9 16 % žiakov však vyriešilo úlohy 6, 7, 10, 22, 27, 29 (pravdepodobnosť, mocniny, graf funkcie, kombinatorika, goniometrická rovnica, povrch a objem hranola). Čistý čas (120 minút) na vypracovanie 30 úloh testu pokladá 67,7 % učiteľov a 52,3 % žiakov gymnázií i 54,5 % učiteľov a 54,3 % žiakov SOŠ a SOU za primeraný, 10,5 % učiteľov a 3,5 % žiakov gymnázií i 39,6 % učiteľov a 35,6 % žiakov za krátky. So stupňom obťažnosti testu súhlasí 62,9 % učiteľov a 52,8 % žiakov gymnázií i 47 % učiteľov a 48,9 % žiakov odborných škôl, pre 11,3 % učiteľov a 30,4 % žiakov gymnázií i pre 32,8 % učiteľov a 50,5 % žiakov odborných škôl je obťažnosť testu vysoká. Na otázku do akej miery test svojou celkovou koncepciou, obsahom i formou korešpondoval s predstavami učiteľov o maturitnom teste odpovedá 65,3 % učiteľov gymnázií a 50 % učiteľov odborných škôl, že veľmi dobre, resp. pomerne dobre (čiže na %). 885 (45,9 %) žiakov gymnázií a (67,4 %) žiakov SOŠ a SOU však tvrdí, že ešte nepísali test, v ktorom si pri každej otázke vyberali správnu odpoveď spomedzi niekoľkých ponúknutých možností. Učitelia navrhovali hranicu úspešnosti, po dosiahnutí ktorej by sa žiakovi malo uznať úspešné absolvovanie

17 Výsledky pedagogického výskumu 15 písomnej časti skúšky jej priemerná hodnota pre odborné školy je 47,9 %. Priemer 10 % najnižších navrhnutých hodnôt je 26,2 %, priemer 10 % najvyšších navrhnutých hodnôt 74,3 %. Odhad učiteľov gymnázií bol o niečo lepší (nie však dobrý!). Podľa nimi určenej hranice by neprospelo 55,9 % žiakov gymnázií, podľa hranice určenej učiteľmi SOŠ a SOU by neprospelo 75,3 % žiakov týchto škôl. Učitelia gymnázií zoradili úlohy druhej časti testu M 1 aj podľa časovej náročnosti (ČN), podľa vydarenosti a vhodnosti (VaV), súladu s učebnými osnovami (SUO), štandardnosť (ŠÚ) a obťažnosti úloh (OÚ) (tabuľka 4). ČN VaV SUO ŠÚ OÚ 5A A 1 5A 5B 5B 1 2 2, 5B 5A 5A 5B 4 2, 5B 4 2, 4 2 5B 4 2 2, Tabuľka 4 3. úloha je podľa ich názoru najmenej časovo náročná, najvydarenejšia a najvhodnejšia (zaradili by ju do budúceho maturitného testu), je plne v súlade s učebnými osnovami a testuje dôležité učivo, je to štandardná, skôr ľahká úloha. Naproti tomu 1. úloha je časovo náročná, najnevydarenejšia a najnevhodnejšia, je v súlade s učebnými osnovami, ale testuje menej dôležité učivo, je to skôr neštandardná a ťažká úloha, ktorá sa v učebniciach a zbierkach vyskytuje iba zriedkavo. 53,7 % žiakov tvrdí, že 1. úloha obsahuje učivo, ktoré na vyučovacích hodinách nepreberali, že táto úloha testuje nepodstatné, okrajové učivo (36,9 %), že je formulovaná nejasne, nezrozumiteľne alebo nejednoznačne (26,4 %), že je formulovaná spôsobom, s akým sa nikdy doposiaľ v učebniciach ani na hodinách nestretli (49 %). O 3. úlohe len 4,3 % žiakov tvrdí, že obsahuje učivo, ktoré na hodinách nepreberali, podľa 6,3 % žiakov testuje nepodstatné učivo, pre 6,7 % žiakov je formulovaná nejasne a 8,4 % žiakov sa so spôsobom jej formulácie nikdy doposiaľ nestretlo. V tabuľke 5 je uvedená obťažnosť (počet percent žiakov, ktorí úlohu vyriešili správne) a citlivosť (schopnosť úlohy rozlíšiť dobrých a slabých žiakov) jednotlivých úloh 2. časti testu M 1. Úloha Obťažnosť (%) Citlivosť (%) 1 25,57 64, ,25 50, ,10 77, ,19 37,14 5A 14,77 38,99 5B 20,40 37,27 Tabuľka 5 Obdobne ako v 1. časti testu, aj v 2. časti sú v priemernej úspešnosti jednotlivých škôl veľké rozdiely (skoro 60 %), ktoré dokumentuje nasledujúca tabuľka 6. Počet žiakov Priemerná úspešnosť (%) Priemerná známka Počet žiakov, ktorí získali bodov Typ školy Kraj 12 60,83 2,00 ŠT TN 12 59,72 1,42 ŠT PO 18 55,37 1,89 ŠT BA 36 48,70 2,11 ŠT KE 6 48,33 1,83 CI KE 7 47,62 1, SÚ BA 8 47,01 2,00 ŠT ŽA 22 45,91 2,32 1 ŠT BA 35 45,53 2,14 1 ŠT BA 7 43,81 1,29 CI KE 10 43,67 1,20 ŠT NI 30 39,22 2,10 1 ŠT NI 8 35,42 1,25 ŠT TT 20 33,00 1,75 1 ŠT ŽA 49 32,59 2,17 1 ŠT BA 15 24,44 1, CI TN 10 13,33 2,90 3 ŠT TN 6 11,67 1,17 SÚ BA 9 9,26 2,89 3 ŠT BA 6 7,22 2,00 1 ŠT PO 6 7,22 2,33 2 ŠT KE 27 6,66 1,59 13 CI NR 15 5,33 2,53 5 ŠT TT 6 4,44 2,33 3 SÚ PO 17 3,14 2,00 12 ŠT KE 10 2,33 1,60 5 SÚ KE 3 1,11 3,33 2 ŠT BA Tabuľka 6 Čistý čas (60 minút) na vypracovanie úloh 2. časti testu pokladá 34,7 % učiteľov za primeraný. Menej úloh navrhuje 61,3 % učiteľov, 4 úlohy 46,8 %. Mieru voliteľnosti (žiak si volí 1 z 2 úloh) odporúča zachovať 55,6 % učiteľov, zvýšiť ju navrhuje 37,9 %. Podľa názoru 50,8 % učiteľov by malo celkový výsledok testu tvoriť 60 % bodov z 1. časti a 40 % bodov z druhej časti. 51,5 % žiakov tvrdí, že v budúcnosti by mal byť počet úloh pri nezmenenom čase menší. 60 minút, ktoré mali na riešenie úloh pokladá 47,7 % žiakov M

18 16 Výsledky pedagogického výskumu M za trochu krátky a 28,2 % žiakov za veľmi krátky čas. Možnosť výberu medzi úlohami 5A a 5B vyhovuje 45 % žiakov, ktorí si myslia, že to asi zlepší ich výsledok. 44,6 % to nerobilo problémy a ani im to nepomohlo, a 7,2 % žiakov je presvedčených, že bez možnosti výberu by bol ich výsledok asi lepší. 64,3 % testovaných si vybralo jednu z nich len na základe zadania a riešilo iba túto vybranú úlohu, 33,2 % sa pokúsilo riešiť obe a uviedlo riešenie tej, ktorú lepšie vyriešilo. Druhú časť testu pokladalo 42,6 % žiakov za skôr ťažkú a 32 % za veľmi ťažkú, za primerane náročnú ju považovalo 15,1 % testovaných žiakov. Namiesto záveru niekoľko viet zo správy firmy EXAM, ktorá spracovala výsledky pilotného testovania maturantov Nastavujeme slovenskému školstvu akési zrkadlo, ale neprináleží nám hodnotiť, čo sa v ňom zjavuje. To je úlohou iných, predovšetkým odborných pracovníkov Ministerstva školstva SR, Štátneho pedagogického ústavu, metodických centier, školskej inšpekcie a v neposlednom rade samotných učiteľov. Očakávame, že práve z týchto smerov sa v blízkej budúcnosti objavia odborné hodnotiace štúdie, ktoré jednotlivé výsledky zhodnotia, vysvetlia a dajú do súvisu s inými relevantnými faktormi. Ak si predstavíme, že MONITOR je ozaj zrkadlo nastavené slovenskému školstvu, pokúsme sa zhodnotiť, čo sa v ňom zjavuje. A začnime odpoveďami na niekoľko nasledujúcich otázok. 1. Môže byť za normálnych okolností rozdiel medzi najúspešnejšou a najneúspešnejšou školou 65 %? Ak nie, tak prečo je? 2. Prečo 36 žiakov gymnázia s priemernou známkou 2,11 dosiahne 85,83 % úspešnosť a 27 žiakov iného gymnázia s priemernou známkou 1,59 len 31,48 % úspešnosť? Adresa autora: RNDr. Marián Hanula Štátny pedagogický ústav Pluhová Bratislava hanula@vazka.sk Prečo žiaci jednej SOŠ s priemernou známkou 3,33 dosiahnu 62,8 % úspešnosť, prečo žiaci jedného SOU s priemernou známkou 3,13 dosiahnu 58,8 % úspešnosť a žiaci iného SOU s priemernou známkou 2,0 len 21,5 %, resp. žiaci inej SOŠ s priemernou známkou 2,21 len 20,7 % úspešnosť? Odráža známka na vysvedčení skutočné vedomosti žiaka? 3. Prečo priemerná úspešnosť žiaka SOŠ je 44,9 % a priemerná úspešnosť žiakov SOU je 31 %? Prečo medzi tridsiatimi najúspešnejšími školami je 24 SOŠ a len 6 SOU? Prečo medzi tridsiatimi najneúspešnejšími školami je 22 SOU a len 8 SOŠ? 4. Prijímacie skúšky na vysoké školy majú už niekoľko rokov formu testu, testy z predchádzajúceho MONITOR-a sú zverejnené na www-stránkach ŠPÚ. Klame polovička testovaných žiakov, keď tvrdí, že sa s testom s výberom odpovede stretlo prvý raz? 5. Kedy žiak úspešne zmaturuje z matematiky? Vtedy, ak jeho hodnotenie z internej časti maturitnej skúšky v tomto predmete bude 1, 2 alebo 3 (bez ohľadu na výsledok externej časti) alebo vtedy, ak jeho hodnotenie z internej časti bude 4 a v externej časti získa viac ako 33 % možných bodov? Ak príjmeme posledné kritérium a do úvahy nebudeme brať druhú časť testu M 1, tak rátajme s tým, že viac ako 10 % gymnazistov a 40 % žiakov odborných škôl nezmaturuje! 6. Skúšame žiaka to, čo sme ho učili? Skúšame tak, ako sme učili? 7. Ako sa dá zvýšiť priemerná úspešnosť testu? Ako zmenšiť rozdiel medzi najúspešnejšou a najneúspešnejšou školou?

19 IKT vo vyučovaní matematiky 17 VYUŽITIE IKT V UČIVE O LINEÁRNEJ OPTIMALIZÁCII NA GYMNÁZIU M Beáta Vavrinčíková Gymnázium Košice, Alejová 1 Anotácia: Článok opisuje priebeh jednej dvojhodinovky matematiky s využitím výpočtovej techniky v kvinte osemročného gymnázia. Precvičovanou tematikou sú lineárne optimalizačné úlohy, použitými prostriedkami sú kreslič funkcií Graphmatica a tabuľkový kalkulátor MS Excel. Kľúčové slová: využitie IKT, matematika, MS Excell, Graphmatica ročník: kvinta predmet: cvičenia z matematiky rozsah: 2 vyučovacie hodiny téma: Lineárne optimalizačné úlohy pomôcky IKT: PC, Graphmatica - kreslič funkcií, Excel - tabuľkový kalkulátor Úvod Na hodinách matematiky sa žiaci oboznámili s problematikou lineárnej optimalizácie, graficky riešili jednoduché úlohy. Cieľom tejto hodiny je oboznámiť sa s možnosťami využitia IKT pri riešení úloh lineárnej optimalizácie a to v dvoch rovinách: a) využitie programu Graphmatica na urýchlenie grafického riešenia. S programom Graphmatica sa už žiaci na hodinách matematiky stretli v kvarte v tematickom celku Funkcie. b) využitie Excelu, v ktorom sú implementované viaceré numerické metódy, sústredené najmä v príkaze Riešiteľ. Základy práce s Excelom majú žiaci zvládnuté z hodín informatiky. Priebeh dvojhodinovky Úloha 1: Čokoládovňa ORION doviezla 600 kg kávy, 300 kg kakaa a 200 kg cukru. Rozhodla sa spracovať tieto suroviny na kakaový sirup a obľúbený nápoj Kavovit. Spotreba kávy, kakaa a cukru na liter nápoja je uvedená v tabuľke 1 spolu s cenou, za ktorú sa predajú. kakaový sirup (kg/liter) kavovit (kg/liter) káva 0 0,5 kakao 0,6 0,2 cukor 0,4 0,1 cena v Sk za liter Tabuľka 1 Aké množstvá jednotlivých nápojov má firma vyrobiť z dovezených surovín, aby jej tržba bola čo najvyššia? Riešenie: označme x množstvo vyrobeného kakového sirupu v litroch, y množstvo vyrobeného Kavovitu v litroch jednotlivé podmienky vyplývajúce z textu úlohy môžme zapísať sústavou nerovníc navyše musí platiť x 0, y 0 napokon určíme cieľovú funkciu: 40x + 60y max 0,5y 600 0,6x + 0,2y 300 0,4x + 0,1 y 200 každú z nerovníc graficky znázorníme v súradnicovej sústave príslušnou polrovinou, použijeme program Graphmatica (Obrázok 1) množinou prípustných riešení je štvoruholník ABCD, ktorý vznikol ako prienik všetkých polrovín ak je množina prípustných riešení uzavretá a ohraničená, potom cieľová funkcia nadobúda optimum v niektorom z krajných bodov

20 18 IKT vo vyučovaní matematiky M Riešenie: Spoločne vytvoríme tabuľku podľa predlohy. Obrázok 1 výpočtom zistíme, že cieľová funkcia nadobúda maximálnu hodnotu v bode C[100,1200], 40*100+60*1200=76000 Odpoveď: Najväčší zisk (76000Sk) dosiahne čokoládovňa vtedy, ak vyrobí 100 litrov kakaového sirupu a 1200 litrov Kavovitu. Úloha 2: Na poľnohospodárskom družstve sa ošípané vykrmujú zemiakmi a repou. Zemiaky obsahujú 3% bielkovín a 15% uhľohydrátov. Repa obsahuje 1% bielkovín a 10% uhľohydrátov. Obidve krmivá obsahujú 2% minerálnych solí. Ošípané denne potrebujú minimálne 0,3 ton bielkovín a 2,25 ton uhľohydrátov, ale potrava nesmie obsahovať viac ako 0,5 ton minerálnych solí. Cena 1 tony repy je 50 Sk, zemiakov 100 Sk. Koľko zemiakov a repy sa má skŕmiť, aby kŕmenie bolo čo najlacnejšie? Úloha 3: Riešte graficky: x + 2 y 4 x + y 3 x + 2 y 3 x 0 y 0 Cieľová funkcia: x + 5y max Úloha 4: Úlohu o čokoládovni ORION riešte využitím tabuľkového kalkulátora Excel. Obrázok 2 Od žiakov vyžadujeme, aby vedeli vysvetliť, čo predstavujú jednotlivé bunky v tabuľke. Diskutujeme o tom, ktoré bunky budeme meniť, ktoré treba obmedziť podmienkami a kde sa nám objavuje cieľová funkcia. Potom pristúpime k riešeniu - označíme bunku F4 a vyvoláme príkaz Nástroje, Riešiteľ. Sústavu nerovníc zadáme ako obmedzujúce podmienky pre bunky, v ktorých sú uložené odpovedajúce údaje. Parametre príkazu sú zobrazené v nasledujúcom obrázku 3. Obrázok 3 Pomocou tlačidla Riešiť spustíme proces riešenia, po ktorom sa nám na obrazovke objaví výsledok (Tabuľka 2).

21 IKT vo vyučovaní matematiky 19 druh kakaový sirup množstvo spotreba kávy spotreba kakaa spotreba cukru zisk Kavovit spolu Tabuľka 2 Úloha 5: Výhodou Excelu je aj to, že môže riešiť úlohy s viacerými neznámymi - zatiaľ čo pri grafickom riešení sme sa museli obmedziť na úlohy s dvoma neznámymi. Riešte nasledujúcu úlohu: V továrni na hračky vyrábajú tri druhy plyšových hračiek. Výroba králika trvá 1,1 hodiny so ziskom 105 Sk. Zisk z predaja opice je 160 Sk a jej výroba zaberie 1,7 hodiny. Psíka vyrobia za 2,4 hodiny a zisk z predaja je 220 Sk. Továreň má kapacitu 7000 vyrobených hračiek a s danými pracovnými silami môže odpracovať hodín. Stanovte štruktúru výroby, aby bol zisk maximálny, ak zo žiadneho druhu hračky nemôžu vyrobiť viac ako 3500 kusov. Úloha 6: Pomocou Excelu vyriešte ešte raz úlohu o poľnohospodárskom družstve. M Literatúra: 1. Liebl,P.: Rovnice a nerovnice pre 1. ročník gymnázia s triedami zameranými na matematiku, SPN 1988, Bratislava 2. Lukáč,S.: Multimédia a počítačom podporované učenie sa v matematike, PF UPJŠ Košice, Adresa autora: RNDr. Beáta Vavrinčíková Gymnázium, Alejová 1 Košice Beáta Vavrinčíková v roku 1991 absolvovala Prírodovedeckú fakultu UPJŠ v Košiciach, odbor učiteľstvo všeobecno-vzdelávacích predmetov, kombinácia matematika - fyzika. Počas štúdia aktívne pracovala v korešpondenčných matematických seminároch. Rok pôsobila na ZŠ vo Valalikoch, od roku 1992 pôsobí na Gymnáziu, Alejová 1 v Košiciach. V súčasnosti je vedúcim učiteľom predmetovej komisie matematiky. V roku 1996 absolvovala 1. kvalifikačnú a v roku 2001 rigoróznu skúšku. Úlohy na lineárnu optimalizáciu Pre záujemcov o aplikovanie programu MS Excel na riešenie úloh z lineárnej optimalizácie ponúkame ďalšie dve úlohy z tejto oblasti. Úloha 1: Vo farmaceutickej firme vyrábajú rôzne bylinkové čaje. K dispozícii majú 1 kg medovky, 1,3 kg mäty piepornej, 1 kg žihľavy a 1 kg repíka lekárskeho. Vypočítajte, aké druhy čajov má firma vyrobiť, aby dosiahla maximálny zisk, ak hmotnosti uvedených bylín vyjadrené v gramoch potrebných na výrobu jednotlivých čajov a ich ceny sú nasledovné: Čaj Medovka Mäta Žihľava Repík Cena Ukľudňujúci Povzbudzujúci Prečisťujúci Úloha 2: Na farme kŕmia kravy troma druhmi krmív: senom, silážou a jadrovými krmivami. Pritom musia sledovať splnenie určitých výživových noriem v dennej kŕmnej dávke, ktorá by mala obsahovať aspoň 2000 g bielkovín, aspoň 210 g vápnika a aspoň 5 g vitamínu C. Aké množstvá jednotlivých krmív treba dať do dennej kŕmnej dávky, aby bola čo najlacnejšia? Obsah jednotlivých výživných látok vyjadrený v gramoch v 1 kg používaných krmív a ich ceny sú uvedené v nasledujúcej tabuľke: Krmivo Bielkoviny Vápnik Vitamín C Cena za kg Seno ,3 4 Siláž ,1 8 Jadr. krmivo ,15 14

22 20 Práca s nadanými žiakmi na matematiku M KARTOVÝ MATEMATICKÝ TÁBOR Jana Krajčiová, Viera Vodičková, Stanislav Krajči, Roman Vodička Gymnázium Alejová Košice, PF UPJŠ Košice, TU Košice Anotácia: Príspevok opisuje organizovanie detského matematického tábora alebo sústredenia s tematickým zameraním. Na príklade zrealizovaného tábora na tému "karty" naznačuje, ako je možné známe hry viac či menej upraviť tak, aby zodpovedali jednej hlavnej myšlienke a tvorili tak konzistentný celok. Kľúčové slová: tábor mladých matematikov, didaktika pravdepodobnosti, matematická rekreácia 1. ÚVOD Myšlienka matematických táborov pre žiakov základných škôl (a paralelne aj matematických sústredení pre starších študentov) vznikla v polovici sedemdesiatych rokov. Jedni z ich prvých organizátorov boli vtedajší učitelia na Prírodovedeckej fakulte UPJŠ v Košiciach Božena Mihalíková, Martin Gavalec, Marián Trenkler, Peter Butkovič či Peter Mihok. Tradícia matematických táborov a sústredení trvá až dodnes a rokmi sa vykryštalizovala takáto štruktúra ich programu: Počas trvania celého tábora prebieha súťaž družín, ktorá pozostáva z matematických i nematematických akcií. Prebiehajú prednášky z rôznych oblastí zábavnej i vážnej matematiky vedené zaujímavou a prístupnou formou. Neodmysliteľnou súčasťou programu je tzv. náboj súťaž v riešení matematických úloh. Súťaživosť detí sa využíva v rôznych matematických spravidla stolových hrách tzv. matbojoch. Nádych tajomna táboru nepochybne pridáva aj nočná hra.. Vyvrcholením tábora je vždy Grand Prix celodenná hra spočívajúca v plnení úloh (spravidla so zašifrovaným zadaním) v blízkom i vzdialenejšom okolí. Za dlhé roky sa nahromadilo veľké množstvo akcií a bolo čoraz ťažšie vymyslieť originálnu. Vznikali otázky: Ako vpečatiť punc jedinečnosti matematickému táboru? Ako zabezpečiť, aby sa aj po rokoch mohli účastníci v spomienkach oprieť o niečo charakteristické, osobité, neopakované? Jednou z možností je dať celému táboru (ale i matematickému sústredeniu či inej akcii) nosnú myšlienku a od nej odvíjať celý program (vybrať úlohy, vymyslieť či upraviť už vymyslené hry, súťaže,...). Myšlienka ideovej jednoty celého podujatia môže byť pri zostavovaní programu na jednej strane zväzujúca, no na druhej strane paradoxne práve tento tematický rámec je dobrou pomôckou pri výbere táborových akcií z množstva známych možností, čím sa dá vyhnúť čapkovskému efektu psíčkovskomačičkovskej torty. Na ilustráciu uvedieme jeden takýto tábor. (Konal sa v lete roku 1994 v Medzeve a zúčastnilo sa ho okolo 30 žiakov druhého stupňa ZŠ z východného Slovenska.) Jeho názov Dobytie Kartága v sebe spája karty a dejiny dobytia mesta Kartágo Rimanmi (púnske vojny). Spomedzi množstva akcií vyberáme niektoré, ktorými chceme ukázať, ako sa dajú rôzne táborové aktivity napasovať na danú tému. 2. MATEMATICKÉ AKCIE Medzi klasické matematické akcie patrili prednášky a súťaže v riešení matematických úloh. Na prednáškach sa vysvetľovali pravidlá rôznych kartových hier (kanasta, 66, mariáš, taroky). Celým táborom sa potom tiahli súťaže družín i jednotlivcov v týchto hrách. V súvislosti s témou tábora sa priam núkalo zahrnúť medzi prednášky i prednášku z pravdepodobnosti. Veď veľkú zásluhu na rozvoji teórie pravdepodobnosti mali práve hazardné hry (viď [1]). Nechýbala ani prednáška o šifrách.

23 Práca s nadanými žiakmi na matematiku 21 Súťaže v riešení matematických úloh prebiehali medzi družinami a mali rôzne formy. Napríklad štafeta prebiehala takto: Každé družstvo dostalo prvé tri úlohy. Za ľubovoľnú vyriešenú úlohu získalo zadanie ďalšej. Zvíťazila družina, ktorá v danom časovom limite vyriešila najviac úloh, prípadne ktorá vyriešila všetky úlohy ako prvá. 3. ŠPORTOVÉ AKCIE Kartová vybíjaná bola klasická vybíjaná 8- členných družín, naviac však každý z hráčov mal družinou tajne priradené kartové označenie s odpovedajúcou funkciou. Hráči s označením VII, VIII, IX, X boli radoví hráči. Hráči s označením figúr mali svoje špeciálne funkcie. Napr. ak niekto vybil z poľa figúru D, vypadával spolu s ňou. V kartovom futbale sme rozšírili paletu kariet z dvoch (žltá a červená) na desať. Každý strelec gólu si vytiahol jednu z týchto kariet: Karta 2+2= znamenala, že strelec nehral do doby, kým nevyriešil zadaný príklad. Pri potiahnutí oranžovej karty sa strelec do konca polčasu mohol pohybovať iba po vlastnej polovici. Ak si strelec potiahol kartu s koňom, musel do konca polčasu počas kontaktu s loptou kričať Kopem ako kôň!. Pri karte 2 platil gól za dva, kým pri karte 0 gól neplatil. Nezabudli sme ani na známy citát Hannibal ante portas. a Hannibala sme postavili do brány. Akčný bartók vznikol úpravou zaujímavej kartovej hry bartók, ktorá vychádza zo známej kartovej hry faraón. Pevným pravidlom je, že ak má hráč na ruke iba jednu kartu, musí zakričať Bartók!. V opačnom prípade si potiahne kartu. Zaujímavosť tejto hry spočíva v tom, že jej pravidlá sa v priebehu hry menia. Víťaz každého kola zavedie ďalšie pravidlo, ktoré platí vo všetkých nasledujúcich kolách (napr. že na zeleň sa môže položiť iba červeň, alebo že pri položení esa sa urobí drep). Akčný bartók bol beh štyroch zástupcov družín v 50-metrovom okruhu, pričom 10 m pred cieľom hráči zvolali Bartók!. Víťaz vymýšľal ďalšie pravidlo pre nový beh. 4. VEDOMOSTNÉ AKCIE Zaujímavý bol aj tzv. pravdepodobnostný kvíz. Kým v klasickom kvíze sú uvedené možnosti v otázke buď správne alebo nie, tu mala každá odpoveď istú pravdepodobnosť, resp. obsahovala kúsok pravdy. (Tak je to aj v reálnom svete.) A tak družina mohla získať podľa svojej odpovede rôzny počet bodov (za najpravdepodobnejšiu možnosť najviac bodov a naopak). Napr. na otázku Čo je to bartók? boli štyri možnosti odpovede: Z akýkoľvek proces vymýšľania pravidiel novej hry Ž kartová hra, ktorej pravidlá sa menia počas hry tak, že z klobúka (ten sa v prípade tejto hry nazýva bartók) sa vyťahujú guľôčky s číslami pravidiel Č hráč, ktorému ostal po skončení partie v ruke žolík G zaujímavá dynamická hra s kartami, v ktorej sa v istých situáciách kričí Bartók! Najviac bodov sa získalo za odpoveď G, lebo jednoznačne odpovedala na otázku, nebolo tam nič nepravdivé, zavádzajúce, ani nič nechýbalo. Menej bodov bolo za odpoveď Z, lebo to nie je akýkoľvek proces, ale má tiež svoje pravidlá (začína sa pravidlom bartók ). Ešte menej bodov bolo za odpoveď Ž, lebo druhá časť odpovede bola nepravdivá. No a úplne nepravdivá bola možnosť Č. Cieľom testu pamäti bolo, aby táborníci zábavnou formou získali historické vedomosti o dobytí Kartága. Na každom zo stanovíšť bolo vyvesených niekoľko otázok, pričom odpovede sa nachádzali na prefotených stranách z knihy Vojtecha Zamarovského Dejiny písané Rímom, ktoré boli rozmiestnené na rôznych viditeľných miestach. Cieľom družín bolo, samozrejme, správne odpovedať na čo najviac otázok. Znalosti z prednášky o šifrách družstvá zužitkovali pri riešení šifrovanej krížovky. Na rôznych miestach budovy hľadali okolo 100 šifier, ktorých výsledky tvorili legendu krížovky. Cieľom bolo nájsť a rozlúštiť čo najviac šifier a následne vyriešiť krížovku. M

24 22 Práca s nadanými žiakmi na matematiku M 5. AKČNÉ HRY Celým táborom sa tiahli dve nezávislé súťaže, a to v nepárne dni súťaž žolíkových družín a v párne dni súťaž sedmových družín. V špeciálnej nočnej hre sme využili fakt, že táto zmena nastávala ako inak v noci. Každá žolíková družina štartovala z jedného zo štyroch stanovíšť umiestnených vo vrcholoch štvorca. Dve družiny šli po obvode štvorca jedným smerom a dve druhým. Cieľom bolo postupným vymieňaním členov medzi družstvami zostaviť sedmové družiny. Vyvrcholením tábora bola celodenná hra Dobytie Kartága. V prvej časti hry táborníci hrali na stanovištiach s vedúcimi rôzne kartové hry, za čo získavali karty. Tie priebežne zakryté rozmiestňovali na priesečníky tzv. kartágoovnice špeciálneho hracieho plánu 19x19, v strede ktorého bola mapa Kartága. V druhej časti družstvá svoje karty postupne odkrývali a tie zvádzali boje na spôsob klasickej vojny kríženej s hrou go so susednými kartami na kartágoovnici. V tejto hre museli táborníci preukázať znalosti z mnohých kartových hier, ktoré sa počas tábora naučili, a tiež taktizovať pri ukladaní kariet na hrací plán, aby s čo najväčšou pravdepodobnosťou vyhrali súboje s okolitými kartami. 6. ZÁVER Nedá nám nespomenúť, že myšlienka ideovej jednoty je veľmi úspešne využívaná aj pri organizovaní matematických sústredení. Úvahy súvisiace s organizovaním matematických sústredení (na témy zlatokopi a futbal) korešpondenčného matematického seminára STROM organizovaného pre študentov stredných škôl prevažne z východného Slovenska, sú rozpracované v článku [2]. Myšlienka tematického rámca sa dá využiť aj pri príprave matematických krúžkov či priamo na vyučovacej hodine. Podporí sa tým myšlienka ideovej jednoty nielen matematického sveta. Orámcovanie programu nosnou myšlienkou je prínosné aj pre lepšie uchopenie spomienok. Svedčí o tom anketa, ktorú sme po ôsmich rokoch rozoslali účastníkom spomínaného tábora. Chceli sme ňou zistiť ich spätný pohľad na celú akciu s odstupom času a možno s iným pohľadom na svet. Spomedzi mnohých odpovedí na otázku Aká bola nosná myšlienka tábora? vyberáme:... bolo tam niečo s Kartágom...,... išlo o dobytie Kartága... vtedy sa dosť hrali karty...,... všetko sa točilo okolo kariet.... Je dôležité, aby matematika bola včleňovaná do programu po kvapkách, aby sa prázdninujúcim žiakom nesprotivila a aby spoznali jej príťažlivú tvár. Tým sa dá dosiahnuť, že na otázku, či bola v tábore sa vyskytujúca matematika na príťaž, mnohí účastníci odpovedali v takomto duchu: V tábore som tú matematiku brala akosi ináč, bola to skôr hra. či Matematika v tábore bola perfektná. Vôbec to nebolo na príťaž a veľa nového ste nás tam vtedy naučili.. Literatúra: [1] A. Płocki: Pravděpodobnost kolem nás, Acta Universitatis Purkynianae 68, Studia mathematica IV., Ústí nad Labem 2001 [2] K. Cechlárová, S. Krajči: 20 rokov Korešpondenčného matematického seminára na východnom Slovensku, Matematika-fyzika-informatika 10, 1996, Adresa autora: Jana Krajčiová Gymnázium Alejová Košice Jana Krajčiová (1972) pochádza z Popradu, je absolventkou Prírodovedeckej fakulty UPJŠ v Košiciach, odboru Učiteľstvo všeobecnovzdelávacích predmetov - matematika a fyzika. Učí na Gymnáziu na Alejovej ulici v Košiciach a je externou doktorandkou na Prírodovedeckej fakulte v odbore Didaktika matematiky. Je členkou Jednoty slovenských matematikov a fyzikov.

25 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov vyučovania 23 REFLEXIE O KOMBINATORIKE Iveta Scholtzová Katedra matematiky, PF PU v Prešove M Abstrakt: Kombinatorika je jednou z tých oblastí modernej matematiky, ktoré prenikajú do školskej matematiky, je neoddeliteľnou súčasťou modernizácie elementárneho matematického vzdelávania. V príspevku sa zaoberáme možnosťami prirodzeného začlenenia kombinatoriky do vyučovania matematiky na základnej škole a vzťahmi kombinatorika a žiak, kombinatorika a učiteľ matematiky. Kľúčové slová: Úvod Kombinatorické myšlienky môžeme postrehnúť v niektorých hádankách, aritmetických a geometrických výsledkoch vytvorených starými civilizáciami (Grécko, Čína). Avšak len v novodobej matematike sa kombinatorika objavila ako zrelá disciplína, hlavne zásluhou prác Eulera, Laplacea, Pascala a Fermata. Jej moderné základy sa preplietajú so základmi teórie grafov. V súčasnosti predstavuje kombinatorika rozvíjajúcu sa oblasť diskrétnej matematiky. ([5], s.288) Súčasnosť, charakterizovaná rozsiahlou informatizáciou spoločnosti, kladie na matematiku úplne nové požiadavky. Spojitá matematika, budovaná na reálnej osi a geometrických predstavách a objektoch, stráca svoje výsadné postavenie a rastie význam diskrétnej matematiky (ktorej súčasťou je kombinatorika), teórie pravdepodobnosti, štatistiky, numerickej matematiky, logiky a teórie čísel. Jedným z hlavných cieľov všetkých tých, ktorým leží na srdci pozitívne vnímanie matematiky v spoločnosti, je skorigovanie a zatraktívnenie výučby matematiky na základných a stredných školách. To znamená realizovať štrukturálne zmeny smerom od tradičných tém školskej matematiky k iným častiam matematiky. Mohli by to byť diskrétna matematika (a v nej kombinatorika), informatika, teória pravdepodobnosti a štatistika. Atraktivita týchto oblastí je v tom, že už na elementárnej školskej úrovni možno predviesť a preukázať ich užitočnosť v aplikáciách reálneho života. (podľa [4]) Kombinatorika a vyučovanie matematiky Elementárne kombinatorické úlohy, v ktorých je potrebné v málopočetnej konečnej množine určiť počet vybraných objektov, usporiadať ich, vypísať a pod., nie sú, pri vhodnom metodickom prístupe zo strany učiteľa, príliš náročné. Bolo by žiaduce zaradiť ich do školskej matematiky. Žiaci sa môžu formou hier a zaujímavých problémov oboznámiť s kombinatorickými princípmi. Prečo je vhodné zaradiť kombinatoriku do vyučovania matematiky? V prvom rade je to atraktívnosť kombinatoriky. Mnoho problémových situácií môže byť zaujímavých pre žiakov a zároveň im poskytnúť možnosť skúmania a objavovania. Po druhé: dajú sa v nej nájsť aktivity vhodné pre výborných žiakov, ale aj také, ktoré sú primerané pre žiakov nie veľmi úspešných v matematike. Po tretie je to prístupnosť. Na pochopenie mnohých aplikácií stačí aritmetika a elementárna algebra. Elementy kombinatoriky sa v školskej matematike objavujú už dávno. Ak sú vybrané objekty spočítavané, usporadúvané, zaradzované, zavádzame do vyučovania kombinatoriku. Podľa Bálinta [1] je vhodné na elementárnej úrovni postupovať pri vyučovaní kombinatoriky takto: 1. Žiaci hľadajú najprv jednu, potom niekoľko možností, napr. číslo, slovo, cestu. Takto učiteľ môže zistiť, či pochopili podmienky a vedia, čo treba hľadať. 2. Hľadajú čím viac rôznych možností riešenia úlohy.

26 24 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov vyučovania M 3. Hľadajú všetky možnosti riešenia úlohy. Žiakom by malo byť jasné, že našli všetky možnosti, To je možné vtedy, ak žiaci objavia určitý poriadok v možnostiach. 4. Žiaci nemusia vidieť všetky možnosti, ale len poriadok v nich a na základe toho usudzujú, aké bude pokračovanie a koľko bude riešení. 5. Nie je už potrebné, aby žiaci vymenovali všetky prípady, lebo z analýzy podmienok vedia vypočítať všetky možnosti. Hejný ([2], s. 472) zdôrazňuje: Kombinatorické myslenie je budované na schopnosti organizovať prvky množiny do prehľadných tabuliek, grafov, schém a zoznamov. Pod pojem kombinatorické myslenie zahŕňa schopnosť vytvárať abstraktný model a nájsť organizačný princíp, ťažisko kombinatorických schopností žiaka je v zručnosti hľadania organizačného princípu. To, ako sa kombinatorika vyučuje, je veľmi dôležitá otázka. Podľa Hejného Michalcovej [3] je kombinatorika tým tematickým celkom, v ktorom sa procesuálny prístup výrazne líši od prístupu konceptuálneho. Pri procesuálnom prístupe sa začína náhľadom do kombinatorickej situácie a ďalej sa pokračuje jeho postupným organizovaním. Konceptuálny prístup spočíva v pochopení známych vzorcov pre jednotlivé typy kombinatorických skupín. V minulosti, keď sa kombinatorika vyučovala v nepovinnom predmete cvičenia z matematiky resp. v triedach s rozšíreným vyučovaním matematiky, bol prístup k nej najčastejšie konceptuálny. Svedčia o tom učebnice z tohto obdobia. Boli potvrdením toho, že kombinatorika sa v písomnej forme prezentuje jednoduchšie konceptuálne ako procesuálne. Takto ponúkaná kombinatorika bola náročná na porozumenie. Svedčila o tom všeobecná neobľúbenosť kombinatoriky u žiakov. Väčšina žiakov totiž chápe kombinatorické situácie procesuálne. Správnosť procesuálneho prístupu k vyučovaniu kombinatoriky na základnej škole potvrdzujú aj niektoré čiastočné výsledky našich výskumov. Vykonali sme niekoľko pedagogických experimentov zameraných na rozvíjanie kombinatorického myslenia u žiakov základnej školy. Hlavná idea, ktorá motivovala naše výskumy, bola, že kombinatorika nie je uzavretá oblasť matematiky, ktorá sa musí prezentovať iba v jednom samostatnom tematickom celku. Jej elementy sa objavujú, alebo by mohli byť zaradené do väčšiny tém školskej matematiky. Žiakom boli počas celého školského roka predkladané na riešenie kombinatorické úlohy organicky nadväzujúce na preberané tematické celky učiva matematiky. Žiaci neboli upozornení, že riešia práve kombinatorické úlohy. Z prvých analýz žiackych riešení je evidentné, že žiaci pri riešení kombinatorických úloh prirodzene uplatňujú procesuálny prístup. Analyzujú kombinatorickú situáciu a následne ju postupne organizujú. Ak žiaci správne pochopili kombinatorickú situáciu a našli vhodný organizačný princíp, boli pri riešení úspešní. Dôkladná kvantitatívno-kvalitatívna analýza pedagogického experimentu bude urobená v blízkej budúcnosti. Na jej základe budeme môcť predložiť pedagógom matematiky na posúdenie a aplikáciu získané poznatky o možnostiach rozvíjania kombinatorického myslenia vo vyučovaní matematiky na základnej škole. (Pripravujeme pre MPC v Prešove Metodické príručky o riešení kombinatorických úloh pre 1. aj 2. stupeň ZŠ.) Kombinatorika a žiak Vnímanie kombinatoriky, hlavne na stredných školách, je u mnohých žiakov také, ako to vyjadril jeden študent matematiky a fyziky: Kombinatorika je ako športka. Nikdy neviem či vziať vzorec na kombinácie, variácie alebo permutácie. Zvyčajne netrafím. Nemám tu pevnú pôdu pod nohami, preto kombinatoriku nemám rád. (uvedené v [2], s. 472) Tento názor získal žiak, ktorý sa s kombinatorikou stretol až na strednej škole a jej vyučovanie prebiehalo konceptuálne. Takto prezentovaná kombinatorika, ako súbor niekoľkých vzorcov, ktoré treba navliecť

27 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov vyučovania 25 na zadanie úlohy, určite nepovzbudí žiaka do ďalšieho štúdia. Väčšina žiakov totiž chápe kombinatorické situácie procesuálne, a preto je tento prístup k vyučovaniu kombinatoriky pre žiakov vhodnejší. Je veľa takých kombinatorických situácií a problémových kombinatorických úloh, ktoré zaujímajú v prvom rade malé deti, sú blízke 6-8 ročným, alebo aj 3-5 ročným deťom. Zoznamovanie sa s kombinatorikou by mohlo začínať manipulatívnou činnosťou detí. Aké veže sa dajú postaviť z farebných kociek, aké zástavy môžu vzniknúť z farebných pásov látky, aké kytice sa dajú zložiť z rôznych druhov a farieb kvetov, koľkými spôsobmi možno obliecť bábiku, ak má niekoľko blúzok a sukní, atď. V ďalšej fáze by si mal žiak uvedomiť potrebu organizácie práce, teda vytvorenie si systému v každej činnosti. Na to dobre poslúži kombinatorika každodenného života. Kombinovať slovo, ktorého obsah napĺňame každý deň. Od rána až do večera všetci kombinujeme: čo na raňajky, v akom poradí sa vystriedame v kúpeľni, čo si oblečieme, ktorými spojmi mestskej dopravy sa najrýchlejšie dostaneme do školy, v akom slede vykonáme všetky školské alebo pracovné povinnosti, čo a za koľko v obchode nakúpime, čo prichystáme na večeru, ktorý televízny program na ktorom kanáli si pozrieme, atď. Žiak musí pochopiť, že veľa vecí okolo nás sa deje systematicky. Ak sa naruší akýsi poriadok, na ktorý sme zvyknutí, život sa skomplikuje. Rosenstein [6] formuloval základné zručnosti z diskrétnej matematiky, ktoré by mal žiak ovládať v určitom veku. Pre kombinatoriku z toho vyplývajú nasledujúce skutočnosti. Desaťročný žiak by mohol: vedieť vytvoriť súbor všetkých možných prípadov jednoduchých situácií (napr. aké sú možnosti obliecť sa, ak máme tri klobúky a dva kabáty); vedieť, že mapa ulíc môže byť prezentovaná grafom a že chodníky sú hrany v grafe; rozumieť, že násobenie je opakované pripočítavanie toho istého čísla; vidieť, že vzory na ozdobnej dlážke vznikajú opakovaným použitím malého vzoru, že rady vzorov v borovicovej šuške sú výsledkom jednoduchého matematického pravidla; vedieť zaradiť informácie do tabuliek, stromových grafov alebo diagramov; vedieť vykonať inštrukcie, ako sa dostať od jedného miesta k inému. Pätnásťročný žiak by mal: vedieť systematicky vypisovať a určiť počet vybraných objektov konečnej množiny; vedieť určiť počet všetkých možných ciest na mape od jedného mesta k druhému; vedieť nájsť cenovo priaznivé cesty spájania sídiel do siete použitím vetviaceho stromu; vedieť skúmať jednoduché opakované vzory (mozaiky) a vytvárať ich; byť schopný čítať, konštruovať a analyzovať tabuľky, matice, mapy a iné dátové štruktúry; byť schopný naplánovať najvhodnejšiu cestu pre skupinový výlet; vedieť popísať presné inštrukcie pre sčítanie dvoch dvojciferných čísel. Kombinatorika ponúka žiakom nové možnosti. Tradičné témy školskej matematiky aritmetika, algebra, geometria, atď. sú samozrejme dôležité a je potrebné získať v nich dobré základy. Je však veľa takých žiakov, ktorých sprevádza v matematike neustály neúspech. Matematika je pre nich len súborom nepochopiteľných procedúr. Nikdy nemali možnosť skúmať procesy majúce praktický význam a aplikovateľné v životných situáciách. Druhú skupinu tvoria talentovaní žiaci, pre ktorých je školská matematika nezaujímavá a nepodstatná. Títo orientujú svoju pozornosť do iných oblastí. Kombinatorika ponúka nový štart. Žiakom, ktorí boli neúspešní v matematike, kombinatorika ponúka možnosť úspechu. Žiaci sú povzbudení zaujať iný pohľad na matematiku. Zistia, že dokážu vyriešiť aj M

28 26 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov vyučovania M zložitejšie problémy a nadobudnú vedomie zmocnenia sa matematiky. Pre talentovaných žiakov, ktorí stratili záujem o matematiku, kombinatorika ponúka možnosti náročných úloh, ponúka problémy s otvoreným koncom, ktoré rýchle vedú k hraniciam znalostí. Kombinatorika a učiteľ matematiky Väčšina súčasných učiteľov matematiky vo svojom matematickom vzdelávaní prešla cez konceptuálny spôsob vyučovania kombinatoriky. Nie je preto prekvapujúce, že aj vo svojej pedagogickej praxi sú nastavení na konceptuálny spôsob výučby kombinatoriky. Táto časť matematiky bola pre mnohých neobľúbenou a túto svoju averziu, aj keď skrytú, častokrát nevedomky prenesú aj na svojich žiakov. Z dotazníkového prieskumu o vyučovaní kombinatoriky medzi učiteľmi matematiky (uvedené v [7] a [8]) vyplynuli niektoré zaujímavé skutočnosti. Pre väčšinu učiteľov je kombinatorika tou časťou matematiky, s výučbou ktorej nemajú dostatočné skúsenosti (na Slovensku bola kombinatorika do učebných osnov základnej školy zaradená v roku 1997). Objavujú sa nedostatky v odborných vedomostiach z kombinatoriky. Učitelia cítia potrebu doplniť si odborné vedomosti, ale hlavne metodiku výučby kombinatoriky. Zaradenie kombinatoriky do učebných osnov základnej školy považujú za vhodné. Mnohí pedagógovia nemajú jednoznačnú predstavu o tom, čo a ako majú v kombinatorike žiakov naučiť. Z toho vyplýva, že u viacerých absentuje schopnosť stanoviť cieľ výučby. To jednoznačne poukazuje na nedostatky v metodickej príprave k tejto téme. Subjektívne pocity z výučby kombinatoriky sú u učiteľov viac-menej neutrálne. Ak je možnosť výberu medzi klasickou a netradičnou učebnicou matematiky s kombinatorikou, učiteľ si v absolútnej väčšine vyberie klasickú. Neochota k zmene je silne zakorenená. Veľkou bolesťou vyučovania matematiky je uplatňovanie mechanického prístupu v matematickom vzdelávaní. K nemu sa niekedy uchyľujú učitelia matematiky tlačení spoločenskou objednávkou, t. j. úspešnosťou svojich žiakov na prijímacích skúškach na stredné školy resp. vysoké školy. Snažia sa naprogramovať žiakov pomocou drilu k vykonávaniu aritmetických, algebraických a geometrických operácií na riešenie úloh, ktoré možno podľa istých znakov zatriediť a riešiť ich podľa naučeného vzoru. Tento prístup je ťažké alebo aj skoro nemožné uplatniť pri riešení kombinatorických úloh. Preč od kombinatorických úloh navigujú učiteľov matematiky aj zostavovatelia prijímacích testov z matematiky na stredné školy. Z analýzy testov (uvedené v [9]) vyplýva, že napriek tomu, že kombinatorika je na základnej škole zaradená medzi základné učivo, kombinatorické úlohy sa v testoch vyskytujú veľmi zriedka. (Podobne aj úlohy z pravdepodobnosti a štatistiky, ktoré sa v prijímacích testoch nevyskytujú vôbec!) U štvorročných gymnázií je ich počet jednoznačne nedostatočný. V testoch na osemročné gymnáziá je situácia trochu lepšia, kombinatorické úlohy sa nachádzali vo viac ako polovici analyzovaných testov. Napriek všetkým vyššie uvedeným skutočnostiam je potešujúce, že je veľa aj takých učiteľov matematiky na základných školách, ktorí k vyučovaniu matematiky pristupujú s elánom a tvorivo. Presvedčila nás o tom spolupráca s nimi pri pedagogických experimentoch s vyučovaním kombinatoriky a pri tvorivých dielňach s kombinatorikou, organizovaných v rámci ďalšieho vzdelávania učiteľov. Záver Kombinatorika, v minulosti často obchádzaná a neobľúbená, hľadá svoju cestu do elementárneho matematického vzdelávania. Jej vstup však nemôže byť násilný. Jednou

29 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov vyučovania 27 z podstatných úloh matematického vzdelávania je zvykanie si žiaka na metodológiu matematiky. Jeho poznanie procesu matematizácie, organizovanie matematickej činnosti žiaka a rozvoj jeho intelektuálnych postojov typických pre túto aktivitu. Teda aj hlavná úloha kombinatoriky spočíva v tom, aby došlo k oboznámeniu sa s metódami a spôsobmi myslenia, ktoré sú charakteristické pre kombinatoriku. Cieľom nemôže byť odovzdať žiakom množstvo poznatkov a formálnych vedomostí. Hlavným cieľom musí byť formovanie kognitívnej stránky osobnosti žiaka, t. j. rozvíjanie jeho schopnosti myslieť, teda aj kombinatoricky myslieť. M Literatúra 1. Bálint, Ľ.: Prvky kombinatoriky, štatistiky a pravdepodobnosti v učive matematiky ročníka základnej školy v MĽR. In: Zborník Pedagogickej fakulty v Nitre, 1, Matematika, s Bratislava: SPN, Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN, ISBN Hejný, M. Michalcová, A.: Skúmanie matematického riešiteľského postupu. Bratislava: Metodické centrum v Bratislave, ISBN Hromkovič, J.: Qou vadis matematika: O kríze matematiky a možných východiskách. In: Obzory matematiky, fyziky a informatiky, 2/2000 (29), s Preparata, F. P. Raymond, T.Y.: Úvod do teórie diskrétnych matematických štruktúr. Bratislava: Alfa SNTL, Rosenstein, J. G.: A Comprehensive View of Discrete Mathematics: Chapter 14 of the New Jersey Mathematics Curriculum Framework. In: Dimacs series in discrete mathematics and theoretical computer science, v. 36. s ISSN Scholtzová, I.: Kombinatorika na ZŠ názory učiteľov matematiky. In: MIF MC v Prešove, 1999, č. 16, s Scholtzová, I.: Kombinatorika na ZŠ názory učiteľov matematiky (II. časť). In: MIF MC v Prešove, 2000, č. 17, s Scholtzová, I.: Kombinatorické úlohy v prijímacích testoch na stredné školy. In: Zborník z konferencie Matematika v škole dnes a zajtra. Katecheticko-pedagogická fakulta sv. Ondreja KU v Ružomberku. s Adresa autora: RNDr. Iveta Scholtzová Katedra matematiky PF PU Ul. 17. novembra 1, Prešov scholtzi@unipo.sk Iveta Scholtzová (1965) absolvovala Prírodovedeckú fakultu UPJŠ v Košiciach, obor Učiteľstvo všeobecnovzdelávacích predmetov, aprobácia matematika fyzika. Deväť rokov pôsobila ako stredoškolská učiteľka na SPŠ strojníckej v Prešove. Od roku 1997 je odbornou asistentkou na Katedre matematiky Pedagogickej fakulty PU v Prešove. Orientuje sa na problematiku aplikácií diskrétnej matematiky (kombinatoriky) do vyučovania matematiky na ZŠ a otázkam kontinuity matematického vzdelávania. Úsmev, dôležité korenie života Jožko príde domov zo školy a oznamuje mame, že dostal pätorku z matematiky. - A z čoho? - pýta sa mama. - Z ničoho nič. Učiteľ karhá žiakov: - Ak sa z matematiky nezlepšíte, tak uvidíte, že z vás nechám 50% prepadnúť. Zo zadnej lavice sa ozve smiech: - Cha, cha, veď toľko nás tu ani nie je!

30 28 IKT vo vyučovaní matematiky M NIEKTORÉ MOŽNOSTI VYUŽITIA INFORMAČNÝCH TECHNOLÓGIÍ NA PODPORU VYUČOVANIA MATEMATIKY Stanislav Lukáč Prírodovedecká fakulta UPJŠ v Košiciach Anotácia: Dominantné postavenie moderných informačných technológií v súčasnej spoločnosti podmieňuje aj rozvoj informatizácie vzdelávania. Prostredníctvom projektu Infovek získavajú učitelia možnosť pripojenia sa k celosvetovým informačným sieťam poskytujúcim obrovské zdroje informácií. Súčasťou edukačných balíkov sú rôzne druhy programových systémov, ktoré môžu učitelia matematiky využiť pre podporu výučby. Charakteristika a niektoré možnosti využitia informačných technológií sú v článku analyzované pre jednotlivé etapy vyučovacieho procesu. Spôsoby začleňovania rôznych programových systémov do výučby sú konkretizované na riešení vybraných matematických úloh. Kľúčové slová: V súčasnej dobe sme svedkami prudkého rozmachu informačných technológií (IT), ktoré rozhodujúcim spôsobom ovplyvňujú takmer všetky oblasti ľudskej činnosti. Aj v školskej praxi sa postupne upevňuje a rozvíja nezastupiteľná pozícia nových IT. Okrem veľkých možností nových technológií pri vedení bežnej agendy a riadení školy sa informatizácia vzdelávania vzťahuje najmä na modernizáciu tradičnej koncepcie vyučovania. Prepojenie počítačov do celosvetových počítačových sietí spôsobilo revolúciu v získavaní a výmene informácií. Pre učiteľov, ktorí vedia využívať základné služby internetu a vedia sa orientovať v zložitej spleti informácií poskytovaných touto počítačovou sieťou, sa internet stáva nevyčerpateľným zdrojom aktuálnych informácií z odboru, metodických materiálov, námetov a inšpirácie pre skvalitnenie procesu výučby. Získané informácie môžu učitelia využiť v etape plánovania a prípravy vyučovania, pričom na ich spracovanie sa znova ponúkajú najmä IT združené v kancelárskych programových balíkoch. Ďalšie typy programových systémov ponúkajú rozsiahle možnosti pre riešenie matematických problémov a ich vhodné využitie vo vyučovaní matematiky môže uľahčiť a zefektívniť proces výučby. Z uvedených faktov vyplýva, že učitelia majú k dispozícii širokú paletu moderných, pre školu stále dostupnejších technologických nástrojov. Napriek tomu ich prínos pre skvalitnenie vzdelávacieho procesu neprebieha automaticky, ale je potrebné hľadať cesty, ako zmysluplne a efektívne začleniť IT pre podporu vyučovacieho procesu (CAL computer assisted learning). Úspešnosť procesu integrácie IT do matematického vzdelávania je podmienená viacerými faktormi. Jednou zo základných požiadaviek je dostatok a prístupnosť programových systémov využiteľných pre vyučovanie matematiky. Ďalším dôležitým predpokladom je zvládnutie moderných technologických nástrojov zo strany učiteľov a rozvíjanie ich hodnotiacich schopností kedy a ako využiť tieto nástroje vo výučbe. Programové systémy využiteľné v matematickom vzdelávaní možno rozdeliť do troch základných skupín: vzdelávacie programy, ktoré boli vyvinuté pre výučbu matematiky (napr. program Cabri geometry, multimediálne výučbové programy: Rozprávková matematika, Animovaná matematika, a pod.) matematické programové systémy (napr. Equation Grapher, Derive a pod.) štandardné aplikačné programy (napr. tabuľkový kalkulátor MS Excel) Aj keď posledné dva typy programov nemožno považovať za didaktické programy, ponúkajú vyspelé prostriedky pre podporu vyučovania matematiky a ich vhodné a zmysluplné

31 IKT vo vyučovaní matematiky 29 využívanie môže prispieť k naplňovaniu vzdelávacích cieľov. Nové IT možno úspešne využiť vo všetkých etapách vyučovacieho procesu. V ďalšej časti sme vybrali niekoľko matematických úloh, na riešení ktorých sme sa pokúsili ilustrovať možnosti a spôsoby využitia vybraných programových systémov. Motivácia Dôležitou súčasťou vzdelávacích cieľov vyučovania matematiky je prebudenie záujmu žiakov a budovanie ich kladného vzťahu k matematike a k poznaniu. IT môžu byť jedným z prostriedkov, ktoré môžu zohrať v tejto oblasti významnú úlohu. Tento aspekt sa zreteľne prejavuje v kvalitných multimediálnych výučbových programoch, tvorcovia ktorých sa snažia o vytvorenie pútavého a podnetného učebného prostredia obohateného o prvky zábavy a súťaživosti (edutainment software). Ďalším zdrojom motivácie môžu byť príbehy, matematické problémy, alebo aj nesprávne hypotézy z histórie matematiky, ktoré môžu vo vyučovacom procese navodiť skúmavý postoj a pracovné zanietenie žiakov. Jedným z takýchto príkladov môže byť D Alembertov omyl, na ilustráciu ktorého využijeme program MS Excel. D Alembert sa domnieval, že pri hode dvoma mincami predstavuje výberový priestor množina výsledkov {ČČ, ČZ, ZZ}(Ččíslo, Z-znak), a preto pravdepodobnosť javu, že padne aspoň raz znak, je 2/3. Obrázok 1 Na prvom obrázku je zobrazená časť tabuľky, v ktorej je náhodne vygenerovaných 300 hodov dvoma mincami na základe vzorca: =IF(RAND()<0,5; c ; z ). Po vyhodnotení jednotlivých hodov je vypočítaná relatívna početnosť získaných výsledkov hodov. Po stlačení klávesu F9 počítač vygeneruje nových 300 hodov. Aj po viacnásobnom generovaní hodov mincí sa možno presvedčiť, že výsledok nie je v zhode s predpokladanou hodnotou. Na vysvetlenie tohto zistenia vyrobíme na druhom hárku (obrázok 2) tabuľku s rovnakými prvými troma stĺpcami a vyhodnotíme získané údaje. Obrázok 2 V stĺpci Výsledok budeme rozlišovať hodnoty 0, 1, 2 podľa toho, či padlo dvakrát číslo, znak, alebo obe možnosti. V stĺpci Početnosť určíme pomocou funkcie COUNTIF, koľkokrát nastal každý z popisovaných výsledkov (napr. do bunky G2 zapíšeme vzorec: =COUNTIF($D$2:$D$301;"=0"). Získané výsledky interpretujeme pomocou kruhového diagramu, z ktorého je zrejmé, že jednotlivé výsledky náhodných pokusov nie sú rovnako pravdepodobné, a preto nemožno využiť klasický vzorec na výpočet pravdepodobnosti, alebo je potrebné upraviť výberový priestor. Osvojovanie nových poznatkov Multimediálne technológie prinášajú možnosti na spracovanie a prezentovanie informácií M

32 30 IKT vo vyučovaní matematiky M pôsobiacich na viaceré zmysly človeka. Interaktívna počítačová grafika a animácie umožňujú vizuálne skúmanie objektov reálneho sveta, čo môže dodať nový rozmer sprístupňovaniu nového učiva. Vizualizácia v matematickom vzdelávaní napomáha rozvoju predstavivosti, umožňuje priblížiť žiakom podstatu niektorých matematických metód a uľahčiť pochopenie vzťahov medzi skúmanými objektmi. Naviac počítače dovoľujú simulovať procesy, ktoré z určitých príčin (napr. nákladnosť, zdĺhavosť) nemožno priamo realizovať vo vyučovacom procese. Príkladom môže byť aj riešenie predchádzajúceho problému. Vhodným prostriedkom pre skúmanie a objavovanie vlastností prvkov geometrických konštrukcií môžu byť dynamické geometrické systémy napr. program Cabri geometry. Na základe interaktívnych zmien voľných prvkov konštrukcie môžu žiaci nachádzať vlastnosti ortocentra alebo ťažiska v trojuholníku, zobrazovať útvary pomocou zhodných zobrazení a vo vytvorených konštrukciách hľadať samodružné body, osi súmernosti, skladať osové súmernosti a pod. Tento spôsob počítačového modelovania umožňuje pochopenie významu pojmov na základe praktických skúseností z práce s dynamickými konštrukciami. Tabuľkové kalkulátory ponúkajú nástroje na pochopenie grafickej interpretácie niektorých numerických metód ako napr. riešenie rovníc, nerovníc, sústav rovníc. V nasledujúcom príklade využijeme MS Excel na prezentáciu geometrického významu derivácie funkcie. Zadaná funkcia má tvar y = x 2 2x + 2. V tabuľke na obrázku 3 možno meniť hodnoty x 0 a h. V bunke E2 je približný výpočet derivácie funkcie v bode x 0 ((f(x 0 +h)- f(x 0 ))/h). Pre malé hodnoty h sa vypočítaná hodnota derivácie funkcie blíži k presnej hodnote a priamka je takmer dotyčnicou grafu funkcie v bode x 0. Na ďalšom hárku (obrázok 4) môžeme využiť približný výpočet derivácie na hľadanie grafu derivácie funkcie. Obrázok 4 Zvolili sme funkciu f: y = sin(x) a na výpočet jej hodnôt bol využitý príkaz Tabuľka. Žiaci môžu takto samostatne hľadať základné pravidlá pre derivovanie funkcií. Pre kvalitné a trvácne osvojenie poznatkov je potrebná bezprostredná spätná väzba a precvičovanie. Práve táto oblasť je dobre rozpracovaná vo výučbových programoch alebo jednoduchších precvičovacích programoch prístupných na Internete. Vysoká miera interaktivity učebných systémov umožňuje individualizovať a priebežne hodnotiť proces učenia. Na Internete možno nájsť aj on-line prístupné interaktívne testy. Pekným príkladom sú stránky vytvorené ako súčasť projektu Maths online realizovaného na Univerzite vo Viedni ( Obrázok 3 Prehlbovanie poznatkov Osvojené poznatky by sa mali žiaci naučiť využívať pri riešení rôznych druhov problémov. Podľa povahy problému možno v jednotlivých etapách riešenia problému využiť niektoré z vyššie uvedených programov. Jedným z programov, ktorý je vhodný pre riešenie úloh na vyšetrovanie množín všetkých bodov s danou vlastnosťou, je Cabri geometry.

33 IKT vo vyučovaní matematiky 31 Ako uvádza kolektív autorov v článku [4], žiaci môžu pomocou dynamických konštrukcií ľahšie formulovať hypotézy o skúmaných množinách a vykonať tak úvodnú etapu riešenia problému, na ktorej by žiaci s menšou geometrickou predstavivosťou mohli stroskotať. Postupné riešenie problému pomocou programu Cabri Geometry budeme ilustrovať na inom type úlohy z planimetrie. Nájdite v trojuholníku súvis medzi pomerom úsekov, na ktoré delí os vnútorného uhla trojuholníka protiľahlú stranu a pomerom zvyšných strán. Zostrojíme trojuholník ABC a os vnútorného uhla ACB. Odmeriame dĺžky strán a úsekov a pomocou kalkulačky vypočítame pomer úsekov a pomer priľahlých strán. Konštrukcia a výpočty sú uvedené na obrázku 5. a z faktu, že trojuholník BCD je rovnoramenný s veľkosťou uhla pri základni rovnajúcej sa polovičnej veľkosti vnútorného uhla trojuholníka ABC pri vrchole C, vyplýva, že pomer dĺžky úsečky AP ku PB je rovný pomeru strán b ku a. V ďalšom príklade využijeme pre riešenie problému matematický programový systém Derive, ktorý patrí medzi programy typu CAS (computer algebra system) a jeho hlavné prednosti možno zhrnúť do troch bodov: numerické a algebraické výpočty, symbolické manipulácie a grafická reprezentácia údajov. Jeho možnosti pre riešenie rovníc budeme ilustrovať na nasledujúcej úlohe. Žiak mal riešiť v množine reálnych čísel rovnicu: 7 x x x 2 = 23 7( x + 1) Odpísal ju však s chybami. V čitateli na ľavej strane napísal chybne druhý člen a v menovateli na pravej strane napísal znamienko mínus. Napriek tomu pri správnom riešení chybne odpísanej rovnice získal riešenie zadanej rovnice. Akú riešil rovnicu? Na obrázku 6 je zobrazená časť pracovnej plochy so vstupnými a výstupnými údajmi. M Obrázok 5 Po overení výsledkov pre viaceré trojuholníky pristúpime k dôkazu hypotézy. Dôkaz môže byť založený na podobnosti trojuholníkov, a preto ešte pred ním využijeme takúto úvahu. Ak platí zistené tvrdenie, potom ak zostrojíme bod K na strane b vo vzdialenosti od bodu C rovnej vzdialenosti bodov A, P a bod L na strane a vo vzdialenosti od bodu C rovnej vzdialenosti bodov P, B, tak priamka KL musí byť rovnobežná s priamkou AB. Po vykonaní tejto konštrukcie sme vykonali test na rovnobežnosť spomínaných priamok. Jeho výsledok je zobrazený na obrázku. Pre korektný dôkaz vytvoríme pomocnú konštrukciu doplnením priamky BD rovnobežnej s osou o a priamky ED rovnobežnej s priamkou AB. Z podobnosti trojuholníka APC s trojuholníkom DEC Obrázok 6 Riešenie úlohy sme vykonali v troch krokoch. Najprv sme vyriešili pôvodnú rovnicu. Potom sme vytvorili rovnicu s parametrom upravením pôvodnej rovnice podľa zadania úlohy. Po vyriešení rovnice s parametrom sme zistili, kedy sa vypočítaný výraz rovná riešeniu pôvodnej rovnice. Programy typu CAS prinášajú do matematiky nové moderné technológie. Napriek ich rozsiahlym možnostiam pre kvantitatívne a grafické spracovanie údajov ich nemožno

34 32 IKT vo vyučovaní matematiky M považovať za univerzálnu učebnú pomôcku. Učiteľ musí vo vyučovaní matematiky zvážiť spôsoby ich využívania, aby nedošlo k oslabeniu tradičných matematických zručností. Na hodinách zameraných napríklad na zvládnutie konkrétnych druhov výpočtov a riešenia určitých typov rovníc by sa mali programy tohto typu využívať len na grafickú reprezentáciu údajov prípadne na overenie výsledkov a odstraňovanie chýb vyplývajúcich z nepozornosti žiakov. Pri problémoch, riešenie ktorých vyžaduje vytvorenie matematického modelu a rôzne druhy výpočtov zvládnutých na predchádzajúcich hodinách, by mohol tento program v niektorých prípadoch zefektívniť výučbu a uľahčiť žiakom vykonávanie jednotvárnych, nudných a zdĺhavých výpočtov a rutinných úprav. Urýchlenie algoritmických častí riešenia problémov by mohlo pomôcť študentom koncentrovať sa na význam a spôsob využitia matematických metód. Na druhej strane musí učiteľ dohliadnuť, aby snahy o prílišné zrýchľovanie tempa riešenia úloh nezúžili výučbu na rutinné zadávanie príkazov bez chápania zmyslu ich aplikovania a podstaty riešeného problému. Dôležitým aspektom využívania IT vo vyučovaní matematiky je možnosť vytvárať na základe vzťahov medzi objektmi modely popisujúce rôzne reálne situácie. Charakteristika závislostí medzi prvkami modelu prispieva k analýze riešeného problému a umožňuje priblíženie k pochopeniu logických väzieb potrebných pre formulovanie úvah vedúcich k vyriešeniu problému. V ďalšej časti sa zameriame na využitie programu MS Excel pri tvorbe jednoduchého aritmetického modelu založeného na definovaní väzieb medzi bunkami tabuľky prostredníctvom vzorcov. V publikácii [1] popisuje autor metódu nesprávneho predpokladu, ktorá môže uľahčiť žiakom formulovanie rovníc vedúcich k vyriešeniu problému. Na vysvetlenie spôsobu využitia vyhodnocovania údajov v tabuľke sme zvolili túto úlohu: Hlava ryby predstavuje 1/3 hmotnosti celej ryby. Chvost je o 4 dkg ľahší ako polovica hmotnosti hlavy. Zvyšné telo má hmotnosť 52 dkg. Aká je hmotnosť celej ryby? Na začiatku by sme mohli vytvoriť tabuľku podľa predlohy. Do bunky D2 sme vložili počiatočnú hodnotu (60) a do ostatných buniek vzorce vyjadrujúce vzťahy medzi hmotnosťami častí tela. V bunke C2 sa po vyhodnotení vzorca zobrazí hodnota 34. Keďže telo má hmotnosť 52 dkg, zväčšíme hodnotu bunky D2. Takto môžeme pokračovať, kým sa nám nepodarí nastaviť hodnotu bunky C2 na 52 dkg. A B C D 1 Hlava Chvost Telo Spolu 2 =D2/3 =A2/2-4 =D2-A2-B2 60 V ďalšom kroku opravíme údaje v bunkách C2 a D2 podľa zadania úlohy. Ak zameriame našu pozornosť na vzorce v bunkách A2 a D2, zbadáme, že sme vytvorili tzv. cyklický odkaz. Ak má totiž program vyhodnotiť vzorec v bunke A2, potrebuje hodnotu bunky D2, pre výpočet ktorej zasa treba využiť hodnotu bunky A2. A B C D 1 Hlava Chvost Telo Spolu 2 =D2/3 =A2/ =A2+B2+C2 Pri štandardnom nastavení nedovolí program vypočítať takto definované vzorce. Preto ešte pred zapísaním vzorca do bunky D2 zvolíme príkaz Možnosti v ponuke Nástroje a na karte Výpočet zapneme vykonávanie iteračných výpočtov. Po niekoľkonásobnom zopakovaní iterácií stláčaním klávesu F9 získame v bunke D2 hodnotu 96 predstavujúcu riešenie úlohy. Druhá tabuľka má už veľmi blízko aj k zostaveniu rovnice na riešenie úlohy. Stačí ak označíme bunku D2 obsahujúcu hmotnosť celej ryby ako neznámu x, a prepíšeme vzorec v nej uložený podľa obsahu buniek, na ktoré sa odkazuje. Získame rovnicu: x = x/3 + (x/3)/ Systematizácia a aplikácia poznatkov Pri zakomponovaní vedomostí do vnútorného systému poznatkov žiaka majú významnú úlohu nielen väzby na doterajšie vedomosti

35 IKT vo vyučovaní matematiky 33 a pochopenie podstatných vzťahov medzi novými a už osvojenými poznatkami, ale aj uvedomenie si možností ich využitia v praktickom živote. V jednotlivých etapách riešenia problémov od analýzy až po ich vyriešenie a overenie výsledkov možno vhodne využiť aj nové IT. Ako ilustračný príklad využijeme nasledovnú úlohu na hľadanie extrému. Zo štyroch rovnakých stanových tyčí dĺžky 3 m sa má postaviť stan so štvorcovou podstavou a najväčším uzavretým priestorom. Určte dĺžku strany podstavy a veľkosť stanového priestoru. Veľkosť strany štvorcovej podstavy označíme x. Potom veľkosť objemu v závislosti od x vyjadruje funkcia V: V ( x) = x 9 Na jednotlivé kroky riešenia úlohy využijeme program Derive, pomocou ktorého budeme realizovať nielen výpočty a symbolické manipulácie, ale aj grafickú reprezentáciu údajov na potvrdenie získaných výsledkov. Na obrázku 7 sú zobrazené vedľa seba okno Algebra s výpočtami a okno 2D-plot s grafom funkcie V. Obrázok 7 Podmienkam riešiteľnosti úlohy vyhovuje len druhý stacionárny bod. Pomocou druhej derivácie funkcie V by sme mohli overiť, že funkcia nadobúda v tomto bode maximálnu hodnotu. Názornejšou interpretáciou získaného výsledku je graf funkcie V. Veľkosť stanového priestoru je vypočítaná v poslednom riadku v okne Algebra. Riešenie úlohy možno zovšeobecniť aj v prostredí programu Derive x 2 zavedením parametra a označujúceho dĺžku stanových tyčí. Pre veľkosť strany štvorcovej podstavy a objem stanového priestoru získame tieto výsledky: 2 3a x = 3 4 3a V = 27 Záver Vzhľadom na rozsah článku nebolo možné charakterizovať všetky možnosti začleňovania nových IT do vyučovania matematiky. Nevenovali sme dostatočný priestor preverovaniu a hodnoteniu učebných výsledkov, ktoré predstavujú veľmi dôležitú etapu vyučovacieho procesu, v ktorej môžu zaujímať významné miesto aj moderné IT. V posledných rokoch participuje rozhodujúcou mierou na informatizácii vzdelávania na Slovensku projekt Infovek. Okrem zásobovania škôl počítačmi a ich pripájaniu na Internet sa v projekte venuje veľká pozornosť aj výberu softvérových systémov a ich dodávaniu na školy spolu s metodickými návodmi poskytujúcimi základy ovládania dodávaných programov a námety na ich využívanie vo výučbe. Edukačný balík dodaný na školy koncom roku 2002 bol bohatý práve na IT využiteľné vo vyučovaní matematiky. Okrem multimediálnych výučbových programov pre 1. stupeň ZŠ obsahuje aj programové systémy Cabri geometry, Derive a Equation Grapher, z ktorých prvé dva systémy sme sa snažili predstaviť aj v tomto článku. Zámerom článku bolo poskytnúť učiteľom, ktorí hľadajú cesty, ako prekonať jednotvárnosť, stereotyp vyučovacích hodín a pamäťový typ učenia, námety pre vhodné využitie IT v jednotlivých etapách vyučovacieho procesu. Vyššie uvedené programové systémy nemali mnohí učitelia matematiky počas svojho vysokoškolského štúdia k dispozícii, a preto je dôležité nielen poskytnúť im študijné materiály, ale aj organizovať ďalšie vzdelávanie učiteľov zamerané na využívanie IT vo vzdelávaní. Aj v tejto oblasti má dôležitú úlohu projekt 3 M

36 34 IKT vo vyučovaní matematiky M Infovek, ktorý organizuje rôzne druhy vzdelávania učiteľov. Sme si vedomí skutočnosti, že na mnohých školách zatiaľ nie sú vytvorené podmienky na plnohodnotné využívanie moderných IT vo vyučovaní matematiky. Z dotazníkov vyplnených učiteľmi matematiky na vzdelávacích kurzoch, ktoré sme organizovali v posledných rokoch vyplynulo, že dôležitými podmienkami, ktoré podľa učiteľov podmieňujú pravidelné využívanie počítačov vo výučbe matematiky je väčšia dostupnosť počítačových učební pre výučbu prírodovedných predmetov a znižovanie počtu žiakov v triedach. Aj vzhľadom na tieto aspekty vystupujú do popredia aj moderné metódy a formy vyučovania. IT môžu poskytovať platformu pre zaktivizovanie procesu učenia využívaním kooperatívneho vyučovania, ale najmä projektovej metódy, ktorá v súčasnosti naberá na význame v celosvetovom meradle. Literatúra: [1] Kopka, J.: Hrozny problémů ve školské matematice. Ústí nad Labem, [2] Kutzler, B., Kokol-Voljc, V.: Introduction to Derive 5. OEG Austria, [3] Lukáč, S.: Multimédiá a počítačom podporované učenie sa v matematike. PF UPJŠ Košice, [4] Seibert, J., Slabý, A., Trojovský, P.: Cabri geometrie a formulace hypotéz o množinách bodů dané vlastnosti. MFI, roč. 11 (2001/2002), č. 7. [5] Vejsada, F., Talafous, F.: Zbierka úloh z matematiky pre SVŠ a gymnáziá. SPN Bratislava, [6] Vyšín, J., Macháček, V.: Vybrané úlohy z matematických olympiád. SPN Bratislava, Adresa autora: RNDr. Stanislav Lukáč, PhD. Ústav matematických vied Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Jesenná Košice slukac@kosice.upjs.sk Stanislav Lukáč (1962) je absolventom PF UPJŠ odbor Učiteľstvo všeobecnovzdelávacích predmetov: matematika, fyzika, informatika. V rokoch vyučoval uvedené predmety na Gymnáziu Opatovská 7 v Košiciach. V roku 1996 nastúpil na miesto odborného asistenta na Katedru matematickej analýzy na PF UPJŠ. V roku 2002 obhájil dizertačnú prácu zameranú na vzdelávanie učiteľov matematiky v oblasti informačných technológií. Ďalšie príklady testov z matematiky na internete Okrem pekne spracovaných testov z matematiky na stránkach projektu Maths online možno nájsť interaktívne testy z matematiky aj na nasledujúcich WWW stránkach: ponúka niekoľko testov z rôznych oblastí školskej matematiky (napr. riešenie lineárnych rovníc), ktoré obsahujú úlohy s výberom odpovede. math.about.com/cs/testprep poskytuje materiály pre prípravu testov a ukážky hotových testov z matematiky. Zaujímavé sú štandardizované testy z algebry, ktoré obsahujú pri každej otázke aj pomocné informácie pre riešiteľa. V časti Math Tests and Assessment Samples je niekoľko príkladov na testy rozdelené podľa veku študentov. Radi by sme upozornili aj na niektoré české a slovenské WWW stránky na internete, ktorých súčasťou sú aj testy z matematiky: tvorcovia týchto stránok ponúkajú možnosť plateného prístupu k študijným materiálom z rôznych predmetov. Zaregistrovaní používatelia získajú testovacie programy a možnosť sťahovania aktuálnych testov z ponúkanej databázy. stránky firmy Exam poskytujú okrem iného aj testy z matematiky, ktoré boli súčasťou MONITORu v časti Školstvo ponúka odkaz Matematika pre deti a rodičov, ktorý vedie k zbierke riešených úloh z matematiky rozdelených podľa oblastí. Tvorcovia týchto WWW stránok pripravujú aj ukážky testov z prijímacích skúšok na rôzne typy škôl.

37 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov 35 VYKONÁVATELE (PROCESORY) ALGORITMOV Ľubomír Šnajder Univerzita P.J. Šafárika v Košiciach, Prírodovedecká fakulta, Ústav informatiky Anotácia: Výučbe algoritmizácie sa v súčasnej školskej informatike venuje čoraz menšia pozornosť. Obzvlášť kritická situácia je pri jednoročných kurzoch informatiky na niektorých stredných odborných školách a stredných odborných učilištiach, kde vo výučbe informatiky nenájdeme žiadnu zmienku o algoritmizácii. Jednou z možností nenásilného zaradenia algoritmizácie do výučby informatiky je využitie tzv. vykonávateľov (procesorov) algoritmov. Pomocou nich vieme žiakom ozrejmiť ďalšie pojmy - algoritmus, jazyk, chyby a krokovanie algoritmov atď. Riešením problémov pomocou vybraných vykonávateľov algoritmov môžeme prispieť k propedeutike zavedenia ďalších informatických pojmov a metód riešenia algoritmických problémov. Kľúčové slová: výučba programovania, vykonávatele algoritmov, procesory algoritmov, jazyk vykonávateľa, krokovanie algoritmu, druhy chýb, procedúra Úvod Nahliadnutím do osnov predmetu informatika [1] zistíme, že výučba problematiky algoritmov a algoritmizácie je povinná na gymnáziách a voliteľná na stredných odborných školách a stredných odborných učilištiach. Ak chceme zaradiť problematiku algoritmov a algoritmizácie do výučby, máme niekoľko možností. Pri veľkých časových dotáciách (rádovo hodín) môžeme vyučovať algoritmizáciu a programovanie pomocou nejakého programovacieho jazyka (napr. Pascal, C), pri menších dotáciách (rádovo hodín) môžeme prebrať niektorý z detských programovacích jazykov (Logo, Baltík, Karel). Ak algoritmizácii mienime vo výučbe informatiky venovať len zopár hodín, jedným z riešení sú práve vykonávatele algoritmov. Poďme sa pozrieť na zadania troch úloh, ktoré môžeme často nájsť medzi úlohami z rekreačnej matematiky. Úloha o prievozníkovi Na jednom z dvoch brehov rieky stoja vlk, koza a kapusta. Úlohou prievozníka je pomocou člna previezť vlka, kozu a kapustu na druhý breh rieky. Do člna sa okrem prievozníka zmestí len jeden pasažier (vlk, koza alebo kapusta). Vymyslite návod, podľa ktorého by sa mal riadiť prievozník, aby splnil svoju úlohu. Pri tvorbe návodu pre prievozníka musíme brať do úvahy skutočnosť, že nemôžeme bez dozoru nechať na brehu rieky vlka s kozou, a tiež kozu s kapustou, lebo by sa zožrali a prievozník by svoju úlohu nesplnil. Úloha so štyrmi mincami Obr.1: Počiatočný a konečný stav mincí v úlohe o 4 minciach Na mieste A sú na sebe položené 4 mince s nominálnou hodnotou 1 Sk, 2 Sk, 5 Sk a 10 Sk. Minca s menšou nominálnou hodnotou pritom leží na minci s väčšou nominálnou hodnotou. Vymyslite postup na premiestnenie týchto 4 mincí z miesta A na miesto C za pomoci miesta B. Pri presunoch musíte dodržať nasledovné pravidlá - v každom kroku môžete premiestniť len jednu mincu, a to len vrchnú mincu z ľubovoľného miesta (A, B, C) na iné miesto (A, B, C). Ďalej nesmiete položiť mincu s väčšou nominálnou hodnotou na mincu s menšou nominálnou hodnotou. Zapíšte postup riešenia tejto úlohy čo najpresnejšie. Úloha o trojtlačidlovej kalkulačke Majme kalkulačku s trojmiestnym displejom a s troma tlačidlami: N - nuluj vymaže na displeji číslo a namiesto neho napíše číslo 0, P - pričítaj jedna k zobrazenému číslu na displeji pričíta 1, Z - vynásob dvomi zobrazené číslo na displeji vynásobi dvoma. Navrhnite čo najkratšie postupy na zobrazenie čísel 11, 16, 31. Pokúste sa navrhnúť postup I

38 36 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov I na zobrazenie ľubovoľného prirodzeného čísla zobraziteľného na tomto displeji. Všetky tri úlohy majú spoločné to, že v zadaní je známy výsledok. Od žiaka sa očakáva, že vymyslí postup, návod, algoritmus na vyriešenie každej úlohy. Postupy, ktoré žiak vymyslí, musia byť zapísané čo najpresnejšie, aby sa dali jednoznačne vykonať. V prvej úlohe bude realizátorom navrhnutého postupu prievozník, v druhej resp. tretej úlohe robot alebo človek, ktorý presúva mince resp. stláča tlačidlá kalkulačky. Vytvorenie postupu, návodu, algoritmu na vyriešenie neznámeho problému si vyžaduje od žiaka tvorivú prácu. Vykonanie postupu je z pohľadu jeho realizátora rutinná a netvorivá činnosť. Riešením takýchto a podobných úloh rozvíjame u žiakov schopnosti vytvárať postupy, návody, algoritmy, a tiež presnosť ich vyjadrovania sa. Predtým, než sa pustíme do riešenia týchto úloh, predstavíme si niektoré dôležité pojmy. Vymedzenie pojmov Podľa [2] pod vykonávateľom (procesorom) algoritmov (VA) rozumieme človeka, skupinu ľudí, živočícha alebo technické zariadenie, ktoré rozumie a vie presne vykonať zadávané príkazy. Podľa [3] VA nazývame adresáta, pre ktorého je určený návod, algoritmus na vyriešenie problému. Jazykom VA rozumieme všetky príkazy a pravidlá pre ich používanie. Pri realizácii algoritmu rozlišujeme tieto druhy chýb: syntaktické VA povie nerozumiem (algoritmus obsahuje slovo, ktoré nie je príkazom, napr. u VA Prievozník - slovo "zapískaj"), behové VA povie nemôžem vykonať (počas behu algoritmu došlo k stavu, v ktorom sa nedá daný príkaz vykonať, napr. u VA Prievozník, keď sa má naložiť koza do plného člna), logické (po skončení realizácie algoritmu dostaneme nesprávny výsledok, napr. u VA Prievozník, keď dôjde k situácii, že vlk zožerie kozu). Keď si VA predstavíme, že pozostáva z dvoch častí - riadiaceho zariadenia a vykonávacieho orgánu, tak syntaktické chyby sa rozpoznajú v riadiacom zariadení, behové chyby spozná až počas behu vykonávací orgán. Z pohľadu spracovania informácií, VA realizáciou algoritmu prevádza vstupnú informáciu na výstupnú informáciu. VA môžeme schematicky znázorniť nasledovne: Obr.2: Všeobecná schéma vykonávateľa algoritmov VA predstavuje určitý model sveta (mikrosveta), v ktorom je možné manipulovať s objektmi daného mikrosveta dopredu dohodnutým spôsobom. Príklady VA Vyriešme úlohu s prievozníkom. Pozrime sa na neho z pohľadu uvedenej schémy VA. Názov VA: Prievozník Prostredie VA tvoria: rieka a jej dva brehy, loď s jedným voľným miestom, objekty - vlk, koza, kapusta. Súbor príkazov VA: Zoznam príkazov: nalož, vylož, plav. Spôsob zadávania príkazov: zapísaním názvov príkazov na tabuľu. Ako sa vykonávajú: nalož x - naloží z brehu do člna objekt x, pričom x {vlk, koza, kapusta}, vylož x - vyloží z člna na breh objekt x, pričom x {vlk, koza, kapusta}, plav - čln sa premiestni k opačnému brehu rieky.

39 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov 37 Vymedzenie behových chýb: nalož x - nemôže naložiť objekt x, ak je čln obsadený iným objektom, prípadne objekt x nie je k dispozícii, vylož x - nemôže vyložiť z člna na breh objekt x v prípade, že objekt x nie je k dispozícii. Riešenie úlohy zapíšeme do tabuľky: P.č. Algoritmus 1. nalož 2. plav 3. vylož 4. plav Ľavý breh rieky Rieka Pravý breh rieky Riešenie úlohy algoritmus pozostáva zo 17 príkazov. Pre lepšiu názornosť je v tabuľke zachytená aj situácia (stav objektov) po každom vykonanom príkaze. Takúto tabuľku voláme ladiacou tabuľkou, lebo nám môže byť nápomocná pri hľadaní chýb v algoritme ladení. Pri lepšom pohľade na algoritmus zistíme, že sa niektoré skupiny príkazov opakujú. Zápis algoritmu sprehľadníme, ak zavedieme nový príkaz prevez (rozšírime jazyk VA Prievozník): prevez x = nalož x plav vylož x Nový príkaz, ktorý vznikol z iných príkazov nazývame procedúra. Prepíšme uvedený algoritmus pomocou nového príkazu prevez. 1. prevez 2. plav 3. prevez 4. prevez I 5. nalož 6. plav 7. vylož 8. nalož 9. plav 10. vylož 11. nalož 12. plav 13. vylož 14. plav 15. nalož 16. plav 5. prevez 6. plav 7. prevez Obr.3: Upravený algoritmus riešenia úlohy o prievozníkovi s procedúrou prevez Pomocou predchádzajúcej úlohy sme precvičili so žiakmi tvorbu a ladenie algoritmov, prehĺbili pojmy algoritmus, príkazy, procedúra, rôzne druhy chýb (syntaktická, behová, logická). Vyriešme teraz úlohu s trojtlačidlovou kalkulačkou [4]. Opäť využijeme uvedenú schému pre VA. Názov VA: Kalkulačka Prostredie VA tvoria: trojmiestny displej, tri tlačidlá N, P, Z, objekty čísla od 0 do vylož Súbor príkazov VA: Zoznam príkazov: nuluj, pričítaj, zdvojnásob.

40 38 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov I Spôsob zadávania príkazov: stlačením tlačidiel N (nuluj), P (pričítaj), Z (zdvojnásob). Ako sa vykonávajú: nuluj - vynuluje obsah displeja, pričítaj - pripočíta 1 k číslu zobrazenom na displeji, zdvojnásob - zdvojnásobi číslo zobrazené na displeji, Vymedzenie behových chýb: pričítaj - ak je na displeji zobrazené číslo 999, zdvojnásob - ak je na displeji zobrazené číslo väčšie alebo rovné ako 500. Pozrime sa na niekoľko spôsobov vytvorenia čísla 11. Každý zo spôsobov začína vynulovaním displeja a pričítaním čísla 1. Prvý spôsob je založený na postupnom pričítavaní čísla 1. Spolu potrebujeme použiť 12 príkazov. N P P P P P P P P P P P x Obr.4: VA Kalkulačka tvorba čísla 11 použitím 12 príkazov V druhom spôsobe sa snažíme násobiť pokiaľ je to možné a potom iba pripočítavame 1. Použijeme iba 8 príkazov. N P Z Z Z P P P x Obr.5: VA Kalkulačka tvorba čísla 11 použitím 8 príkazov Pri treťom spôsobe sa snažíme uvažovať nasledovne. Aký mohol byť posledný príkaz, pomocou ktorého sme dostali číslo 11? Vzhľadom na nepárnosť čísla 11 to musel byť príkaz J. Predchádzajúce číslo je 10. To môžeme dostať pričítaním 1 k číslu 9 alebo zdvojnásobením čísla 5. Druhý spôsob vedie rýchlejšie k cieľu, k číslu 1. V tomto prípade sme potrebovali len 7 príkazov N P Z Z P Z P x Obr.6: VA Kalkulačka tvorba čísla 11 použitím 7 príkazov Posledne uvedeným spôsobom vyrobíme číslo 16 nasledovne: N P Z Z Z Z x Obr.7: VA Kalkulačka tvorba čísla 16 použitím 6 príkazov Po ďalšom uvažovaní nájdeme súvis medzi použitými príkazmi a zápisom daného čísla v dvojkovej sústave: Číslo 11 Použitá postupnosť 7 príkazov NP Z ZP ZP ( ( (1) ) ) = = Číslo 16 Použitá postupnosť 6 príkazov NP Z Z Z Z ( ( ( (1) ) ) ) = = Týmto spôsobom môžeme precvičiť so žiakmi prevod čísel do dvojkovej sústavy, uvedomiť si jednoznačnosť tohto prevodu. Touto úlohou môžeme uviesť žiakov tiež do problematiky použitia Hornerovej schémy. Napokon tento jednoduchý VA by mal byť nápomocný pri tvorbe optimálneho algoritmu na výpočet mocniny. Pozrime si tradičný a optimálny spôsob výpočtu mocniny. function mocni1(x,n:longint):longint; var j,y:longint; begin y:=1; for j:=1 to n do y:=y*x; mocni1:=y; end; Obr.8: Funkcia počítajúca mocninu tradičná verzia function mocni2(x,n:longint):longint; begin if n>1 then if odd(n) else end; then mocni2:=mocni2(x,n-1)*x else mocni2:=sqr(mocni2(x,n div 2)) mocni2:=x; Obr.9: Funkcia počítajúca mocninu vylepšená verzia

41 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov 39 Funkcia mocni1 pri výpočte mocniny x n vykoná n priraďovacích príkazov, čo sa podobá na prvý spôsob vypísania čísla 11, postupným pripočítavaním čísla 1. Funkcia mocni2 počíta mocninu x n oveľa efektívnejšie s počtom priraďovacích príkazov log 2 n + s(n), kde s(n) je počet jednotiek v dvojkovom zápise čísla n. Pre lepšiu predstavivosť zoberme n= , mocni1 potrebuje na svoj výpočet priradení a mocni2 iba 21 priradení. Ďalším príkladom VA je Kreslič. Tentokrát môžeme prenechať žiakom oveľa väčšiu iniciatívu. O Kresličovi povieme, že je to veľmi jednoduchý VA, ktorý vie kresliť na papieri. Postupne predkladáme žiakom útvary, ktoré by mal vedieť nakresliť VA Kreslič. Oni by mali postupne rozširovať príkazy VA tak, aby vedel nakresliť požadované útvary. Týmto žiaci sami budujú VA, pričom by si mali uvedomiť, že čím má VA bohatší repertoár príkazov, tým dokáže vyriešiť väčšiu triedu problémov. 1. Kreslič na začiatku pozná len príkazy dopredu, vľavo, vpravo. Vie kresliť len súvislé pravouhlé čiary s pevnou dĺžkou úsečiek. 4. Pridaním príkazov hrúbka x, šikmo vľavo a šikmo vpravo, Kreslič zvládne kresby s rôznou hrúbkou čiary, ktorá môže obsahovať aj úsečky, ktoré nezvierajú pravý uhol. 5. Rozšírením príkazov dopredu, vľavo a vpravo o parametre t.j. dopredu x, vľavo x, vpravo x, vie Kreslič zobrazovať aj útvary, ktoré obsahujú úsečky s rôznou dĺžkou, zvierajúce ľubovoľný uhol. Keďže príkazy šikmo vľavo a šikmo vpravo sú špeciálnym prípadom týchto príkazov, môžeme ich zrušiť zo skupiny príkazov Kresliča. I 2. Po pridaní príkazu farba x, vie Kreslič kresliť čiary aj inej farby ako čierna. 6. Po doplnení príkazu oblúk s niekoľkými parametrami bude Kreslič zvládať aj takéto časti ornamentov. 3. Ak doplníme príkazy pero hore a pero dole, Kreslič vie kresliť aj nesúvislé útvary. 7. Príkazom štýl čiary rozšírime možnosti Kresliča o kreslenie útvarov s rozličným štýlom čiary (súvislé, bodkované, čiarkované, atď.)

42 40 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov I Okrem uvedených VA, vieme zostaviť aj ďalšie, ktoré môžu, ale nemusia byť implementované v elektronickej podobe. Spočiatku predstavíme VA ako človeka-robota, prípadne skupinu ľudírobotov. Detičky v materských školách poznajú hru Kubo velí, ktorá vyžaduje od dieťaťa, ktoré zadáva príkaz inému dieťaťu vykonávateľovi, aby sa vyjadrovalo presne podľa dohody, inak sa príkaz nevykoná. Staršie deti poznajú kolektívnu hru Schôdza, bomba, potopa, ktorá spočíva v tom, že niektorý z členov skupiny vysloví nahlas niektorý z uvedených troch príkazov a ostatní členovia skupiny musia tento príkaz splniť ( schôdza tlieskajú, bomba ľahnú si na zem, potopa zaujmú polohu na vyvýšenom mieste). Ďalšie príklady ľudských VA by mohli súvisieť napr. s nonverbálnou komunikáciou dohodneme si navzájom posunky, gestá, dotyky, zvuky, ktorými budeme štartovať vykonávanie dohodnutých príkazov. Aktívny prístup a tvorivosť žiakov rozvíjame otázkami typu: Akými príkazmi by ste vybavili robotaregulovčíka na križovatke, robota-skladníka?. Tieto ľudské VA napomáhajú rozvoju exaktného myslenia, vyjadrovania sa v presných termínoch. Ďalšie VA vieme zostaviť zo známych úloh z rekreačnej matematiky. Podobne ako úloha o prievozníkovi, ktorý mal previezť vlka, kozu a kapustu na opačný breh rieky, je známa úloha o dvoch vojakoch a dvoch chlapcoch. Cieľom je napísať postup, pomocou ktorého sa prepravia dvaja vojaci (každý s hmotnosťou 100 kg) na opačný breh rieky, pričom nosnosť člna je 100 kg a hmotnosť každého z chlapcov je 50 kg. Cieľom ďalšej známej úlohy je pomocou veľkého rezervoára s vodou a dvoch nádob s objemom napr. 3 litre a 5 litrov vyrobiť 4 litre vody. Podobnou úlohou je vymyslieť postup ako odmerať určený časový interval pomocou dvoch rôznych presýpacích hodín. Stav na začiatku pred vykonaním návodu Stav na konci po vykonaní návodu Obr.10: Prostredie VA Rušňovodič VA Rušňovodič pracuje s lokomotívou a troma vagónmi v prostredí dvoch koľají s výhybkou. Obr.11: VA Zásobník výpočet výrazu 36- ulož 36 ulož 4 ulož 7 vynásob odpočítaj ulož 18 sčítaj x Cieľom je premiestniť vagóny z jednej koľaje na druhú v stanovenom poradí. Rušňovodič pozná príkazy, dopredu, dozadu, prehoď výhybku, pripoj, odpoj. Veľmi známou úlohou, ktorú môžeme chápať ako VA, je problém Hanojských veží. Jej zjednodušená verzia úloha so štyrmi mincami je uvedená v prvej časti príspevku. Obe úlohy o rušňovodičovi aj o Hanojských vežiach sú výbornou propedeutikou ku pochopeniu údajovej štruktúry zásobník, s ktorým sa žiaci hlbšie oboznámia už pri ďalšom VA Zásobník [4]. Prostredie VA tvorí zásobník s hĺbkou 3 (t.j. pamäť, ktorá môže uchovať 3 čísla) a aritmetická jednotka s 2 vstupmi (registrami) na realizáciu aritmetických výpočtov. VA Zásobník pozná 6 príkazov - vyčisti, ulož x, sčítaj, odčítaj, vynásob, vydeľ. Pre ilustráciu uvedieme postup na výpočet výrazu

43 Obsah a ciele vyučovania, hodnotenie výsledkov 41 o ulož 36 o ulož 4 o ulož 7 o vynásob o odpočítaj o ulož 12 o sčítaj Typickým matematickým vykonávateľom je VA Zlomky. VA pracuje so zlomkami a pozná tri príkazy sčítaj, odčítaj, vymeň. Príkaz sčítaj prevedie zlomok b a na zlomok odčítaj prevedie zlomok a b a + b b na, príkaz zlomok a b a a príkaz vymeň prevedie zlomok na b b zlomok b. Pomocou VA Zlomky môžeme a priblížiť Euklidov algoritmus na výpočet najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel, a tiež poukázať na uzavretosť párnych čísel na sčítanie a odčítanie (nemožnosť vytvorenia 1 2 zlomku zo zlomku ). 2 4 Záver Pri manipulácii s VA by mali žiaci získať predstavu o tvorbe algoritmov, stavbe umelých jazykov, rozlíšovať autora algoritmu od jeho vykonávateľa, rozlišovať rôzne druhy chýb. Pri realizácii vytvoreného algoritmu odporúčame používať ladiaciu tabuľku. Rovnako môžeme urobiť propedeutiku časovej a priestorovej zložitosti algoritmov (koľko zaberie VA prostriedkov, priestoru resp. času, peňazí, energie ). Veľmi nenásilne vieme žiakom predstaviť procedúry (aj s parametrami - VA Prievozník), a tiež urobiť propedeutiku k údajovej štruktúre zásobník. Jeho metodický význam spočíva v tom, že umožňuje induktívnym spôsobom vybudovať programovací jazyk ako súbor vykonávateľov. Verím, že sa podarilo týmto príspevkom osloviť a inšpirovať učiteľov k výučbe algoritmizácie zaujímavým spôsobom. I Literatúra [1] Projekt Infovek: Učebné osnovy a štandardy pre predmet informatika ( [2] Golcman M. a kol.: Procesory, Informatika i obrazovanije č. 4 /1990, Pedagogika, Moskva 1990, str.17-25, [3] Kalaš I. a kol: Informatika pre stredné školy učebnica, Mediatrade, spol. s r.o. SPN, Bratislava, 2002, str. 47, [4] Golcman M. a kol.: Aritmetické vykonávatele, Informatika i obrazovanije č. 6 /1990, Pedagogika, Moskva 1990, str Adresa autora: RNDr. Ľubomír Šnajder, PhD. Ústav informatiky Prírodovedecká fakulta Univerzita P.J. Šafárika v Košiciach Jesenná Košice snajder@upjs.sk Ľubomír Šnajder (1965) Pracuje ako odborný asistent na Prírodovedeckej fakulte na Ústave informatiky (od roku 1990). Odborne je zameraný na problematiku využívania multimédii a internetu vo výučbe a v príprave učiteľov. Je spoluautorom dvoch tematických zošitov z informatiky (Práca s Internetom, Práca s tabuľkami). Organizuje kluby učiteľov informatiky a koordinuje dva multimediálne teleprojekty.

44 42 Didaktické metódy, formy a prostriedky ŠTUDENTSKÉ WWW PROJEKTY NA GYMNÁZIU PAVLA HOROVA V MICHALOVCIACH Jana Machová Gymnázium Pavla Horova, Michalovce Anotácia: Už piaty rok sa v našej škole venujeme tvorbe hypertextových projektov s edukačným obsahom, so zaujímavými témami a spracovaním, ktoré sú prístupné pre každého používateľa Internetu. Práce študentov sú interaktívne, okorenené obrázkami, animáciami, Java appletmi, zvukom, čo zvyšuje názornosť spracovanej problematiky. Mnohé z prác získali popredné umiestnenia na regionálnych, krajských a celoslovenských prehliadkach stredoškolskej odbornej činnosti. Projekty sú využiteľné na hodinách matematiky, biológie, chémie, fyziky... Kľúčové slová: hypertextový dokument, www projekt, stredoškolská odborná činnosť I Tvorba WWW projektov - hypertextových dokumentov s edukačným či informačným obsahom sa už na našej škole stáva tradíciou. Mnohé z týchto prác zvíťazili v regionálnych, krajských, či celoslovenských prehliadkach SOČ. Projekty vznikajú na hodinách informatiky, na krúžkoch tvorby WWW stránok, študenti z triedy so zameraním na informatiku ich vytvárajú v rámci individuálnych úloh. Projekty sú príkladom fungovania medzipredmetových vzťahov, študenti si témy prác vyberajú z iných neinformatických predmetov, preto pri štúdiu vybranej problematiky, získavaní nových informácií a ich následnom spracovávaní spájajú vedomosti z rôznych predmetov. WWW projekty sú využiteľné na hodinách matematiky, fyziky, informatiky, biológie ako zdroj riešených i neriešených úloh, edukačných textov, testov, rozširujúcich informácií... V školskom roku 2001/2002 vzniklo viac ako 25 nádherných projektov, päť najúspešnejších postúpilo do krajského kola súťaže SOČ, dve z nich do celoslovenského kola SOČ. Všetky práce vznikli v rámci individuálnych prác žiakov z tried zameraných na informatiku alebo žiakov z ostatných tried v rámci záujmovej a krúžkovej činnosti. Najvydarenejšie z projektov sú témy z matematiky. Využívajú Cabri applety, vložené do HTML kódu, ktoré zabezpečujú interaktivitu a vysokú mieru názornosti preberanej problematiky, čo je ich veľkým prínosom a výhodou oproti tradičnému vyučovaniu a klasickým statickým informáciám v učebniciach, v knihách. Projekty obsahujú potrebné teoretické informácie (niektoré z nich sú tiež dynamického charakteru, čo používateľov určite upúta), množstvo riešených i neriešených úloh, komplexne riešia vybranú tému. Projekty s menším rozsahom riešia skôr statickými prostriedkami vybranú problematiku z chémie, biológie, ekológie, fyziky, ale sú medzi nimi aj práce s vlastnou témou podľa záujmov autorov. Bližšie predstavíme najlepšie práce za rok 2001/2002: 1. Využitie Cabri appletov v priestorovej geometrii Autor: T. Halás - 4. ročník - 1. miesto v celoštátnej prehliadke SOČ v odbore Matematika a fyzika. Hypertext obsahuje riešené i neriešené úlohy zo stereometrie a priestorovej geometrie, úlohy na rezy hranolov a ihlanov, prieniky telies, rovín a priamok a pod. Obr.1: Kópia obrazovky www stránky projektu Využitie Cabri appletov v priestorovej geometrii

45 Didaktické metódy, formy a prostriedky 43 Všetky úlohy sú riešené prostredníctvom interaktívnych Cabri appletov, vložených do hypertextu. Tie umožňujú krokovanie riešenia, zmenu parametrov úlohy, zmenu veľkostí a presun objektov pomocou myši. Práca je prístupná na webovej adrese: Hypertext obsahuje veľké množstvo úloh riešených pomocou vzťahov medzi uhlami v kružniciach a s využitím kružnicového oblúka. 2. Komplexný pohľad na geometriu trojuholníkov s využitím Cabri appletov Autori: P. Juhász, M. Rada - 2. ročník - 2. miesto v krajskej prehliadke SOČ, zvláštna cena poroty na celoslovenskej prehliadke v odbore Matematika a fyzika Obr.3: Kópia obrazovky www stránky projektu Uhly v kružniciach Všetky úlohy sú riešené prostredníctvom interaktívnych Cabri appletov, umožňujú krokovanie riešenia, zmenu parametrov a veľkostí, presun objektov pomocou myši. Práca je prístupná na webovej adrese: I 4. Množiny bodov s danou vlastnosťou Autori: M. Vanát, M. Markovič - 3. ročník - 1. miesto v regionálnej prehliadke SOČ v odbore Učebné pomôcky. Obr.2: Kópia obrazovky www stránky projektu Komplexný pohľad na geometriu trojuholníkov s využitím Cabri appletov Hypertext obsahuje všetkých 98 možných riešiteľných konštrukcií trojuholníka, skonštruovaných pomocou pravítka a kružidla. Obsahuje aj zoznam neriešiteľných úloh, potrebné teoretické poznatky, ďalšie zaujímavé úlohy. Všetky úlohy sú riešené prostredníctvom interaktívnych Cabri appletov, vložených do hypertextu. Tie umožňujú krokovanie riešenia, zmenu veľkostí úsečiek, uhlov, presun objektov pomocou myši a pod. Práca sa vyznačuje úplnosťou riešení, včítane diskusie. Je prístupná na webovej adrese: 3. Uhly v kružniciach Autori: M. Bátorová, P. Palko - 2. ročník - 3. miesto v regionálnej prehliadke SOČ v odbore Učebné pomôcky. Obr.4: Kópia obrazovky www stránky projektu Množiny bodov s danou vlastnosťou Práca obsahuje základné i zložitejšie úlohy riešené pomocou množín bodov s danou vlastnosťou, definície základných kvadratických útvarov pomocou množín bodov s danou vlastnosťou. Úlohy a definície sú realizované interaktívnymi Cabri appletmi. Práca je prístupná na webovej adrese:

46 44 Didaktické metódy, formy a prostriedky I 5. Chránená krajinná oblasť VIHORLAT Autor: A. Kováč - 1. ročník - 3. miesto v regionálnej prehliadke SOČ v odbore Ekológia. Obr.5: Kópia obrazovky www stránky projektu Chránená krajinná oblasť VIHORLAT Hypertext prezentuje faunu a flóru chránenej krajinnej oblasti Vihorlat na východnom Slovensku. Ak zablúdite na túto stránku, môžete sa poprechádzať náučným chodníkom, oboznámiť sa s jedinečnosťou CHKO v rámci Slovenska, získať množstvo ďalších cenných informácií, obrázkov, originálnych zvukov... Práca je prístupná na webovej adrese: Pri výbere témy projektu si žiaci volili vhodné látky najmä z prírodovedných predmetov biológia, chémia, fyzika, alebo si vyberali námety vlastnej záujmovej činnosti. Individuálne úlohy sú vyvrcholením základnej výučby tvorby www stránok. Súčasťou individuálnych úloh je aj ich obhajoba na hodine informatiky pred spolužiakmi v pracovnej skupine. Výsledkom sú pekné, obsahovo zaujímavé projekty s témami: Zvuk a jeho vlastnosti Farby Proteíny Voda Uhlík Chordáty Druhoústovce Živočíchy Srdce Svet tajomných síl Virtuálna škola Autá Obr.6: Kópia obrazovky www stránky projektu Farby, svetlo, ilúzie Ďalšie práce vytvorili žiaci 2. a 3. ročníka z tried so zameraním na informatiku a programovanie v rámci individuálnych prác na hodinách informatiky. Obr.7: Kópia obrazovky www stránky projektu Zvuk Všetky spomínané projekty sú prístupné na webovej adrese: V minulých školských rokoch vznikli nádherné projekty, z ktorých spomeniem najvydarenejšie: Podobné a zhodné zobrazenia (matematika), Geometrická optika (fyzika), Procesory (informatika), Počítačová grafika (informatika), Periférne zariadenia (informatika) a ďalšie. Všetky spomínané práce sú prístupné na adrese:

47 Didaktické metódy, formy a prostriedky 45 Hypertextové projekty vytvárame so žiakmi už piaty rok. Prínosom pre študentov sú nadobudnuté nové skúsenosti a zručnosti, ktoré získajú počas práce na projekte. Naučia sa ovládať prostredia grafických, textových a zvukových editorov, HTML editorov, prostredia programu Cabri geometria a ďalších podporných programov. Získajú nové vedomosti z vybranej témy nad rámec stredoškolského učiva, pracujú s literatúrou, s internetovými zdrojmi. Prezentujú a obhajujú svoje projekty minimálne na školskom kole súťaže SOČ, čo sú pre nich často nové skúsenosti. Prvé tri citované práce sú preložené do anglického jazyka a sú súčasťou projektu The Explora challenge s témou The Collection of Math v rámci projektu European Schoolnet. Odkazy na všetky doteraz vytvorené práce aj s krátkou anotáciou sú prístupné na stránke školy s webovou adresou: Obr.8: Kópia obrazovky www stránky projektu Srdce Veríme, že vám mnohé práce poslúžia či už priamo na vyučovacích hodinách, alebo pri získavaní informácií pútavou formou. Príjemné surfovanie edukačnými stránkami prác našich študentov! I Adresa autora: Mgr. Jana Machová Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce machova@gphmi.sk Mgr. Jana Machová je absolventkou učiteľstva Prírodovedeckej fakulty UPJŠ v Košiciach. Pracuje ako učiteľka matematiky, fyziky a informatiky. Venuje sa počítačovej grafike, digitalizácii zvuku, vedie práce študentov v rámci stredoškolskej odbornej činnosti a zapája sa do práce v rámci rôznych teleprojektov. Zopár webových stránok týkajúcich sa vzdelávania: Ministerstvo školstva SR Štátny pedagogický ústav Ústav informácií a prognóz školstva Projekt Infovek Školský informačný servis Učitelský spomocník Bobrův pomocník Projekt ThinkQuest European Schoolnet European Schools Project Education World AskERIC

48 46 Didaktické metódy, formy a prostriedky POCHOPENIE REKURZIE POMOCOU PROGRAMOVACIEHO JAZYKA KAREL Ľubomír Šnajder Univerzita P.J. Šafárika v Košiciach, Prírodovedecká fakulta, Ústav informatiky Anotácia: V príspevku je na riešení konkrétnych úloh predstavená metodika sprístupnenia rekurzie pomocou programovacieho jazyka Karel od nekonečnej rekurzie, cez chvostovú rekurziu až po všeobecnejší zápis rekurzie. Kľúčové slová: rekurzia, programovací jazyk Karel, I Úvod Čo je to rekurzívny program? Ponúkame relatívne jednoduché vymedzenie. Pod rekurzívnym programom chápeme program, ktorý v svojom tele obsahuje volanie samého Obr. 1: Schéma priamej rekurzie seba. V prípade, že dva alebo viacero programov obsahujú navzájom vo svojich telách volania ostatných programov, hovoríme o tzv. nepriamej rekurzii. Príkladom nepriamej rekurzie dvoch programov je situácia, keď Obr. 2: Schéma nepriamej rekurzie program A obsahuje v svojom tele volanie programu B a naopak program B v svojom tele obsahuje volanie programu A. Rekurzia je silným nástrojom pri riešení niektorých problémov (napr. výpis všetkých permutácií, hľadanie cesty v labyrinte, násobenie matíc). Niektoré problémy sú definované rekurentne (napr. faktoriál, najväčší spoločný deliteľ), tu je použitie rekurzie veľmi prirodzené. Napriek výpočtovej sile rekurzie, je náročná na pamäťové prostriedky (rekurzívne volania sa musia niekde zapamätať), preto sa odporúča podľa možnosti využívať skôr iteračné programy namiesto rekurzívnych. Typickým príkladom kedy dať prednosť iteračnej verzii programu pred rekurzívnou, je výpočet členov Fibonnaciho postupnosti. Z vlastných pedagogických skúsenosti sa mi osvedčilo predstaviť princíp rekurzie už v prostrediach tzv. detských programovacích jazykov (Karel. Logo). V príspevku sa zameriame na vysvetlenie princípu rekurzie pomocou programovacieho jazyka Karel. Nekonečná rekurzia Skúsme preštudovať nasledovné dva príkazy napísané v programovacom jazyku Karel. príkaz t1 začiatok VĽAVO-VBOK t1 koniec Obr.3: Ukážka nekonečnej rekurzie s volaním na konci príkaz t2 začiatok t2 VĽAVO-VBOK koniec Obr.4: Ukážka nekonečnej rekurzie s volaním na začiatku Čo majú tieto príkazy spoločné, a v čom je rozdiel medzi nimi?

49 Didaktické metódy, formy a prostriedky 47 Očakávame, že žiaci prídu na to, že obidva príkazy t1 a t2 obsahujú vo svojom tele volanie samého seba. Mali by prísť na to, že tie rekurzívne volania sú v prvom prípade na konci tela príkazu a v druhom prípade na začiatku tela príkazu. Ďalšou prirodzenou otázkou učiteľa je otázka týkajúca sa toho, čo budú robiť príkazy t1 a t2? Príkaz t1 sa vykonáva nasledovne: najprv sa vykoná príkaz vľavo-vbok, a potom sa vykoná príkaz t1, čo znamená, že sa spustí ďalšia kópia príkazu t1 a opäť sa vykoná príkaz vľavovbok, po ňom sa vykoná príkaz t1... proces (otáčanie sa vľavo) by sa mal teoreticky opakovať do nekonečna. Ak ho spustíme v nejakej implementácii jazyka Karel, príkaz skončí behovou chybou, ktorá je spôsobená pretečením zásobníka, ktoré spôsobili rekurzívne volania. Podobne príkaz t2 by mal teoreticky volať do nekonečna sám seba a k vykonaniu príkazu vľavo-vbok vôbec nedôjde. Aj tento príkaz skončí po krátkom čase behovou chybou. Na týchto dvoch jednoduchých príkazoch by mohli žiaci pochopiť princíp nekonečnej rekurzie. Nekonečnú rekurziu vieme uviesť aj známou pesničkou Byl jeden Číňánek, měl hezký copánek, vyskočil na tramvaj... a na hrobě měl napsáno Byl jeden Číňanek.... Deti sa s touto alebo inou nekonečnou pesničkou môžu stretnúť už na prvom stupni základnej školy. Čo môže byť pre nich prekvapivé, je to, že túto nekonečnú pesničku vieme zapísať pomocou konečného počtu slov: Pesnička Byl jeden Číňanek, měl hezký copánek, vyskočil na tramvaj... a na hrobě měl napsáno Pesnička Obr.5: Rekurzívny zápis pesničky Ako sa vykonáva tento rekurzívny zápis? Autori prvých metodických príručiek ku Karlovi odporúčali predstaviť si každé rekurzívne volanie ako skopírovanie návodu a následné jeho vykonanie [1]. Na obrázku 6 sú tri kópie rekurzívnych zápisov, ktoré sa vykonávajú podľa naznačeného poradia 1. až 12. atď. Obr.6: Vykonávanie zobrazovania textu rekurzívnej pesničky Chvostová rekurzia Zvládnutie nekonečných rekurzívnych príkazov je dobrým prvým krokom ku pochopeniu rekurzie. Na to, aby sme mohli hovoriť o algoritme, vyžadujeme, aby rekurzívne príkazy skončili po konečnom počte krokov s požadovaným výsledkom. Na zabezpečenie konečnosti rekurzívneho príkazu potrebujeme do neho vsunúť podmienený príkaz, ktorý ukončí jeho vykonávanie, ak nastane určitá podmienka. Pokúsme sa zistiť, čo robia nasledovné 3 programy. Následne ich porovnajme. príkaz X začiatok kým NIE JE STENA rob KROK *kým koniec Obr.7: Neznámy príkaz X príkaz Y začiatok ak NIE JE STENA KROK Y *ak koniec Obr.8: Neznámy príkaz Y príkaz Z začiatok KROK ak NIE JE STENA *ak koniec Z Obr.9: Neznámy príkaz Z tak tak I

50 48 Didaktické metódy, formy a prostriedky I Príkaz X je obyčajný nerekurzívny príkaz, ktorý premiestni robota Karla z jeho aktuálnej pozície na pozíciu ku najbližšej stene v smere, do ktorého je robot Karel natočený. Príkaz Y je rekurzívny, ktorý skončí a vykoná to isté ako príkaz X. Príkaz Z vykoná aspoň jeden krok a potom robí to isté ako príkazy X a Y. V prípade, že robot Karel stojí tesne pred stenou, po spustení príkazu Z dôjde k behovej chybe. Oba príkazy Y a Z majú umiestnené rekurzívne volania na konci - na chvoste svojho tela. Takúto rekurziu voláme chvostovou rekurziou. Všeobecnejší zápis rekurzie Skúsme teraz doplniť zápis chvostovej rekurzie tak, že aj za rekurzívne volanie zapíšeme skupinu príkazov a doplníme príkazy aj do vetvy inak podmieneného príkazu. príkaz Y začiatok ak P tak A Y B inak C *ak koniec Obr.10 Schéma všeobecnejšieho zápisu rekurzie Pokúsme sa preskúmať chovanie rekurzívneho príkazu Y, ktorý má všeobecnejší zápis, ako je zápis pri chvostovej rekurzii. Podobne ako v predchádzajúcich prípadoch použijeme kópie rekurzívnych príkazov a na nich budeme sledovať priebeh výpočtu. Pre lepšie pochopenie si pomôžeme diagramom. Obr.11: Vykonávanie príkazu so všeobecneším zápisom rekurzie Príkaz Y bude vykonávať nasledovné: 1. pokiaľ platí P rob A, 2. (ak už neplatí P) vykonaj C, 3. vykonaj B toľkokrát, koľkokrát si vykonal A. V skratke môžeme priebeh výpočtu znázornený na diagrame vyjadriť zapísať ako AAACBBB a vo všeobecnosti A n(p). C. B n(p), kde n(p) je číslo, ktoré predstavuje počet opakovaní (rekurzívnych vnorení) závisle od platnosti podmienky P. Bod 1. označujeme ako vnáranie sa do rekurzie a bod 3 ako vynáranie sa z rekurzie. Keďže Karel nemá premenné, rekurzia sa často využíva v príkazoch, keď potrebujeme urobiť rovnaký počet príkazov pred aj po nejakom inom príkaze. Ukážeme si to na nasledovných dvoch úlohách. 1. Napíšte príkaz TAMASPAT pre robota Karla, aby išiel ku stene, na ktorú je natočený, a vrátil sa naspäť na pôvodné miesto. Nesmie však pri tom použiť značky ani tehličky. 2. Robot Karel stojí v kúte miestnosti s rozmermi 1x20, t.j. má za sebou, vľavo aj vpravo stenu. Napíšte príkaz POSUN pre robota Karla, ktorý potlačí stĺpik neznámeho počtu tehličiek, ktorý je pred ním o jedno miesto dopredu. príkaz TAMASPAT začiatok ak JE VOĽNO tak KROK TAMASPAT KROK inak CZ *ak koniec Obr.12: Príkaz TAMASPAT využívajúci všeobecnejší zápis rekurzie príkaz POSUN začiatok ak JE TEHLA tak ZDVIHNI POSUN POLOŽ inak KROK *ak koniec Obr.13: Príkaz POSUN využívajúci všeobecnejší zápis rekurzie

51 Didaktické metódy, formy a prostriedky 49 Rovnakým spôsobom sa rieši nasledujúca úloha, ktorej zámerom je upevniť vedomosti a zručnosti pri tvorbe rekurzívnych programov. Niekde vo vnútri miestnosti je z tehličiek vytvorený lietajúci koberec s rozmermi s nepárnym počtom tehličiek. Karel stojí v ľubovoľnej polohe tesne pred kobercom. Napíšte príkaz DOSTREDU, pomocou ktorého sa robot Karel premiestni uprostred lietajúceho koberca. [3] Na riešenie tejto úlohy vieme žiakov naviesť pomocou jednoduchšieho variantu úlohy, ktorý vyžaduje premiestnenie robota Karla do stredu radu tehličiek ( chodníka ), pred ktorým tesne stojí robot Karel. Záver Zámerom príspevku bolo predstaviť metodiku výučby rekurzie pomocou programovacieho jazyka Karel. Dúfam, že tento príspevok bude inšpiratívny a pomôže učiteľom pri výučbe rekurzie. Privítam všetky ohlasy a skúsenosti s výučbou rekurzie pomocou tejto resp. inej metodiky na adrese snajder@upjs.sk. Literatúra [1] Blaho A.: Detský programovací jazyk Karel metodická príručka, Dom detí a mládeže, Bratislava 1990, [2] Kalaš I. a kol: Informatika pre stredné školy učebnica, Mediatrade, spol. s r.o. SPN, Bratislava, 2002, [3] Časopisy ZENIT. Porozmýšľajte, čo vypíše nasledovný program v programovacom jazyku Pascal. Spustením programu overte, či ste mali pravdu. I program vypocet1; begin writeln(1.1+( )=( )+3.3); writeln(1.1*6=6.6); writeln(2.2*3=6.6); writeln(3.3*2=6.6); readln; end. Nedostali ste výsledok štyrikrát výpis true? Podstata problému tkvie v tom, že uvedené čísla 1.1, 2.2, 3.3, 6.6 majú nekonečný periodický zápis v dvojkovej sústave. Niektoré z nich sa zaokrúhlia nahor, iné nadol, čo spôsobí neplatnosť niektorých z uvedených rovností. Jedna z možností záznamu priebežného a celkového hodnotenia študentov pomocou tabuľky:

52 50 Výsledky didaktického výskumu VLASTNOSTI PLYNOV - VSTUPNÝ TEST Adriana Trojanovičová Gymnázium Lipany Abstrakt: Obsahom tohto článku sú výsledky vstupného testu zameraného na vlastnosti plynov, ktorý vyplnilo 249 žiakov gymnázia a výsledky porovnania odpovedí žiakov prvého písania a opakovaného písania toho istého vstupného testu po ôsmich mesiacoch. Pojednáva o jednotlivých výhodách písania vstupného testu. Kľúčové slová: prvotné poznatky, vstupný test, motivácia ÚVOD F Pod pojmom cieľ sa rozumie ideálna predstava toho, čo sa má v činnosti dosiahnuť. Prostredníctvom cieľa sa určuje, k akým zmenám má výchovno-vzdelávací proces dospieť z hľadiska rôznych stránok a úrovní rozvoja osobnosti žiaka [1]. Cieľ vyučovacieho procesu sa premieta do obsahu, metód, organizačných foriem i materiálnych prostriedkov výchovy a vzdelávania. Ak dosiahneme daný cieľ, hovoríme o úspešnosti vyučovania. Za akú cenu sme to dosiahli, nazývame efektívnosť. Práve o efektívnosti sa v dnešnej dobe často hovorí. Obsah fyziky je široký a hodín je málo. Ako dosiahnuť plánované výsledky čo najefektívnejšie? Významným prostriedkom zvyšovania efektívnosti vyučovania je motivácia žiakov k učeniu. Chápeme ju ako súhrn činiteľov, ktoré podnecujú, usmerňujú a udržujú správanie človeka [2]. Existuje celý rad motivačných stratégií, metód a prostriedkov, ale predkladané návrhy sú do istej miery neefektívne, pokiaľ si nevšímame poznatky žiaka, s ktorými žiak prichádza na vyučovaciu hodinu. Žiaci sú denne pod vplyvom najnovších objavov vedy a techniky. Majú prístup k najmodernejšej technike v domácnosti, k aktuálnym informáciám prostredníctvom počítačových sietí, multimediálnych prostriedkov, odborných časopisov, kníh... Tieto predmety a informácie sa stávajú súčasťou ich záujmu. Sledovaním javov každodenného života si vytvárajú prvotné koncepty o fungovaní prírody [3]. Pri poznaní žiakovho spôsobu uvažovania a vysvetľovania si vyučovaných javov, môže učiteľ vybrať efektívny spôsob, akým formovať žiakove predstavy do fyzikálne správnych úvah a zabezpečiť tak hlbšie pochopenie javov a ich súvislostí. Prvotné predstavy žiaka možno diagnostikovať tak vstupným testom, ako aj rozhovorom či inou metódou. Vstupný test má oproti iným metódam výhody v tom, že umožňuje zistiť predstavy všetkých žiakov v krátkom čase za rovnakých podmienok a k odpovediam sa učiteľ môže vrátiť aj po istom čase. 1.VÝSLEDKY VSTUPNÉHO TESTU V mesiacoch október - november 2000 sa pomocou vstupného testu zisťovali poznatky žiakov o plynoch. Test pozostával z 10 úloh, ktoré boli zamerané na fyzikálne javy z tematického celku Štruktúra a vlastnosti plynného skupenstva látok. Tento test vyplnilo 249 žiakov prvého a druhého ročníka gymnázií týchto miest: Stropkov, Spišská Nová Ves, Poprad, Prešov, Michalovce, Sečovce a Košice. Test vypĺňali žiaci, ktorí ešte nepreberali daný celok. Hlavné ciele testu boli: 1. Zistenie počtu žiakov, ktorí vysvetlili jav fyzikálne správne, čiastočne správne, nesprávne alebo neodpovedali. 2. Zistenie spektra návrhov riešení. Znenia úloh so sledovanými javmi: 1. Akými troma spôsobmi by ste zvýšili tlak vzduchu vo futbalovej lopte? (rovnica pre tlak plynu)

53 Výsledky didaktického výskumu Uniesli by ste množstvo vzduchu, ktoré je vo vašej triede? Aká je asi jeho hmotnosť? (stavová rovnica) 3. Vysvetlite vzlietnutie teplovzdušného balóna. (zmena stavových veličín) 4. Je v priebehu jazdy tlak v pneumatikách rovnaký ako keď stoja? Odôvodnite svoju odpoveď. (izochorický dej) 5. Banky elektrických žiaroviek sa plnia dusíkom pri zníženom tlaku. Prečo sa plnia v takýchto podmienkach? (izochorický dej) 6. Prečo od horiacich polien s praskotom odletujú iskry? (objemová rozťažnosť plynov) 7. FANTA pri otváraní často strieka. Kedy sa to stáva najčastejšie? Ako to vysvetlíte? (objemová rozťažnosť plynov) 8. Mení sa objem bubliniek plynu vystupujúcich k hladine, vydychovaných potápačom, ktorý je ponorený v hĺbke 40 m? Odôvodnite svoju odpoveď. (izotermický dej) 9. Pri prepichnutí sifónovej bombičky s oxidom uhličitým CO 2 tento náhle zväčší svoj objem na objem sifónovej fľaše. Zistíme, že sifónová bombička sa značne ochladila. Vysvetlite to. (adiabatický dej) 10.Pri pumpovaní kolies bicykla zistíme, že pumpa sa zohriala. Prečo? (adiabatický dej) 1.1 KVANTITATÍVNE HĽADISKO Pri analýze jednotlivých úloh vstupného testu sa učiteľ môže zamerať na zistenie počtu žiakov, ktorí vysvetlili jav fyzikálne správne, čiastočne správne, nesprávne a koľkí sa nevyjadrili. Takto kvantitatívne zmapuje prvotné predstavy žiakov o fyzikálnych javoch [4]. Výsledok spracovania odpovedí podľa tohto kritéria zobrazuje tabuľka č.1. a graf č.1. Ako je vidieť, ani v jednej otázke nemajú prevahu správne odpovede. Čiastočne správne vysvetlenia javov prevažovali v úlohách č.1, 3, 4, 7, 8, 10. Nesprávne vysvetlenia javov prevažujú v úlohách č.2 a 5. Úlohy č.6 a 9 veľa žiakov nevedelo vysvetliť. Sledovaním písomnej formy odpovedí žiakov sa zistilo, že odpovede žiakov sú väčšinou neúplné, bez udania podmienok, predpokladov. To je dôvod, prečo prevažujú čiastočne správne odpovede nad správnymi odpoveďami. Úloha č. Správna odpoveď Čiastočná odpoveď Nesprávna odpoveď Bez odpovede poč % poč % poč % poč % , ,83 1 0, , , , , , , , ,49 4 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,83 početnosť v % Tabuľka č.1 graf č KVALITATÍVNE HĽADISKO - SPEKTRUM NÁVRHOV RIEŠENÍ Úloha č.1 Táto úloha bola zameraná na rovnicu pre tlak plynu. V tabuľke č.2 je zobrazená početnosť odpovedí zameraných na zmenu týchto veličín: počet molekúl N, objem plynu V, teplota plynu T, vnútorná energia plynu U a odpovede týkajúce sa zmien tlaku v okolí lopty. Meniaca sa veličina Ukážky odpovedí žiakov Počet odpovedí N pumpou, dofúkať loptu 242 V postavil by som sa na ňu 129 T zohrievaním na slnku, hodím ju do teplej vody 100 U búchaním o zem 27 p - v okolí lopty VÝSLEDOK VSTUPNÉHO TESTU dáme ju do hlbšej vody 18 Tabuľka č.2 Úloha č.2 Žiaci pri odpovedaní na túto úlohu vychádzali zo známeho vzťahu pre hmotnosť (m = ρ.v). Objem triedy určovali odhadom a o hustote sa vyjadrili ako o malej veličine. Keďže hustota je malá, tak 115 žiakov si myslí, že unesie vzduch v triede. Iba 20 žiakov odhadlo hmotnosť vzduchu v triede rádovo v stovkách kg. Našla sa aj výborná odpoveď: úloha Správna odpoveď Čiastočne správna odpoveď Nesprávna odpoveď Neodpovedali F

54 52 Výsledky didaktického výskumu F "Áno, približne kg. Asi by som to uniesol, lebo na teleso s takým objemom pôsobí dosť veľká vztlaková sila." Úloha č.3 Odpovede žiakov sa opierali o vzťah medzi hmotnosťou (hustotou) teplého a studeného vzduchu. Sú im známe všeobecné tvrdenia: teplý vzduch je ľahší ako studený, teplý vzduch stúpa nahor. Len dvaja žiaci spomenuli gravitačnú a vztlakovú silu. Úloha č žiakov si myslí, že sa tlak v priebehu jazdy mení, no odpovede sa líšili v zdôvodnení. Najčastejšie dôvody boli: trením pneumatiky sa zvyšuje teplota plynu, a preto narastá tlak, deformáciou pneumatík spôsobenou nerovnosťami cesty. Žiaci nezabudli ani na aerodynamiku auta: "Nie, lebo keď ideme v aute, tak ho aerodynamika buď nadľahčuje, alebo tlačí k zemi." Úloha č.5 V tejto úlohe 55 žiakov ako dôvod uviedlo prasknutie banky, no správnych zdôvodnení jej prasknutia bolo zopár. Niektorí sa zase zamerali na vlastnosti dusíka: pri akom tlaku mrzne, kedy je tekutý, výbušný. Len 11 žiakov si všimlo zvýšenie teploty plynu pri zasvietení žiarovky. Úloha č.6 Spektrum odpovedí v tejto úlohe bolo dosť široké: od zvyšovania tlaku vzduchu uzavretého v dreve, rôzne chemické reakcie, teplotnú rozťažnosť dreva až po uvoľňovanie častíc z mriežok z dôvodu zvýšenia ich energie nad väzbovú energiu. Úloha č.7 Až 221 žiakov striekanie malinovky spája s pretrepaním fľaše tesne pred otvorením a iba 29 žiakov uviedlo zvýšenie teploty malinovky pred otvorením. Samotné striekanie vysvetľovali zvýšením tlaku CO2 uzavretého vo fľaši (129 žiakov). Úloha č.8 Zo 162 žiakov, ktorí spomenuli zmenu objemu bublinky vystupujúcej k hladine, 116 žiakov postrehlo, že to súvisí s tlakom vody v určitej hĺbke. Ostatné zdôvodnenia boli: bublinky sa spájajú, pohlcujú kyslík, ktorý je vo vode atď. Úlohy č.9 a 10 Tieto úlohy boli zamerané na adiabatický dej. V úlohe č.9 išlo o adiabatickú expanziu a v úlohe č.10 o adiabatickú kompresiu. Pekne to vystihol jeden žiak svojou odpoveďou v úlohe č.10: "Je to opačný jav ako úloha č.9." Žiaci vo svojich odpovediach dávali do súvisu veličiny objem, tlak a teplotu, no v úlohe č.10 viac žiakov postrehlo zmenu teploty plynu ako v úlohe č.9. V úlohe č.9 sa niektorí žiaci zamerali hlavne na vlastnosti plynu CO2, napr. " pretože stlačený CO2 pri vypustení mrzne." V úlohe č.10 najčastejšími dôvodmi zvýšenia teploty pumpy boli trenie (148 žiakov) a zvýšenie tlaku vzduchu (55 žiakov). Zo zistených výsledkov vstupného testu vyplýva, že žiaci objavili súvis medzi meniacimi sa veličinami v jednotlivých úlohách. V niektorých úlohách ich bolo viac, v iných zase menej. Veľkým prínosom pre učiteľa je zistenie nesprávnych predstáv žiakov. V tomto vstupnom teste v úlohe č.2 16 žiakov tvrdí, že vzduch sa nedá vážiť, nemôžeme ho chytiť. V úlohe č.4 žiaci zase pozabudli na Pascalov zákon. Tvrdili: "... keď stojí, tlak je na jednom mieste, keď ide, tlak sa rozmiestni do celej pneumatiky." 2. OPAKOVANÝ VSTUPNÝ TEST V školskom roku 2001/2002 napísali žiaci druhého ročníka Gymnázia v Lipanoch ten istý vstupný test a po troch mesiacoch od jeho napísania, vyplnili dotazník. Otázkami dotazníka sa sledoval názor žiakov na písanie podobných vstupných testov a zisťoval sa motivačný vplyv úloh každodenného života. Zo zistených odpovedí vyplýva, že vstupný test nie je veľmi obľúbený u žiakov. Pravdepodobná príčina ja tá, že každý žiak sa musí vyjadriť a ešte k tomu písomne, čo nie je také jednoduché. Na otázku, či úlohy vstupného testu zvýšili ich záujem o učivo až, 70,6 % žiakov tvrdí, že nie. Keďže dotazník písali žiaci tri mesiace po napísaní vstupného testu, bolo zaujímavé zistenie, na ktoré úlohy sa ešte pamätajú a z akého dôvodu.

55 Výsledky didaktického výskumu 53 Najčastejšie spomínané úlohy vstupného testu: 1.Vysvetlite vzlietnutie teplovzdušného balóna. 2.Banky elektrických žiaroviek sa plnia dusíkom pri zníženom tlaku. Prečo sa plnia v takýchto podmienkach? 3.Akými troma spôsobmi by ste zvýšili tlak vzduchu vo futbalovej lopte? 4.Uniesli by ste množstvo vzduchu, ktoré je vo vašej triede? Aká je asi jeho hmotnosť? Dôvody: prekvapilo má riešenie, už dávnejšie som nad tým uvažoval, zaujalo ma to, na princíp som prišiel neskoro. Žiaci v dotazníku uviedli niektoré úlohy vstupného testu, no viacerí sa vyjadrili, že sa už nepamätajú. Z tohto dôvodu osem mesiacov po prvom napísaní vstupného testu písali žiaci ešte raz ten istý vstupný test za účelom porovnania jednotlivých odpovedí. Úloha č.1 Akými troma spôsobmi by ste zvýšili tlak vzduchu vo futbalovej lopte? Porovnanie odpovedí je v tabuľke č.3. PRVÉ PÍSANIE VSTUPNÉHO TESTU (30 žiakov) odpovede žiakov stlačením, kopnutím nafúkaním, chemickým dodaním látky do lopty OPAKOVANÉ PÍSANIE VSTUPNÉHO TESTU (21 žiakov) počet počet odpovede žiakov odpovedí odpovedí stlačením, kopnutím, deformovaním, znížením objemu nafúkaním, chemickou reakciou, dodaním častíc zvýšením teploty 2 zvýšením teploty 13 Tabuľka č.3 Pri prvom písaní vstupného testu len 6,7 % žiakov spomenulo zmenu teploty ako ďalší spôsob zmeny tlaku vzduchu v lopte. Pri opakovanom písaní vstupného testu už 61,9 % žiakov uviedlo tento spôsob zmeny tlaku. Úloha č.2 Uniesli by ste množstvo vzduchu, ktoré je vo vašej triede? Aká je asi jeho hmotnosť? Porovnanie odpovedí je v tabuľke č PRVÉ PÍSANIE VSTUPNÉHO TESTU (30 žiakov) odpovede žiakov OPAKOVANÉ PÍSANIE VSTUPNÉHO TESTU (21 žiakov) počet počet odpovede žiakov odpovedí odpovedí áno 10 áno 0 nie 13 nie 21 odhad hmotnosti vzduchu 2 kg, 3 kg, 5 kg, 100 kg, 200 kg Tabuľka č.4 odhad hmotnosti vzduchu 150 kg, 180 kg, 200 kg, 220 kg, 300 kg Pri prvom písaní vstupného testu 33,3 % žiakov odpovedalo kladne a hmotnosť vzduchu odhadovali asi 3 kg, 5 kg. Pri opakovanom písaní testu už uvažovali, či vzduch je stlačený v nejakej malej škatuli alebo nie: "... v našej triede je toho vzduchu dosť veľa (200 kg), tento vzduch by sme mohli uniesť len v takom prípade, že by nebol stlačený (v škatuli s rozmermi triedy)", "...asi 300 kg. Ak by bol v škatuli s malými rozmermi, nie." Hmotnosť vzduchu odhadovali rádovo stovky kilogramov, pričom sa opierali o objem triedy a hustotu vzduchu. Úloha č.5 Banky elektrických žiaroviek sa plnia dusíkom pri zníženom tlaku. Prečo sa plnia v takýchto podmienkach? Porovnanie odpovedí je v tabuľke č.5. PRVÉ PÍSANIE VSTUPNÉHO TESTU (30 žiakov) odpovede žiakov správna odpoveď čiastočne správna odpoveď nesprávna odpoveď početnosť v % OPAKOVANÉ PÍSANIE VSTUPNÉHO TESTU (21 žiakov) odpovede žiakov početnosť v % 6,7 správna odpoveď 42,9 26,7 čiastočne správna odpoveď 38,1 26,7 nesprávna odpoveď 14,3 neodpovedalo 40 neodpovedalo 4,8 Tabuľka č.5 Výrazný rozdiel medzi prvým písaním a opakovanom písaní vstupného testu je v početnosti správnych odpovedí.. V prvom prípade správne odpovedalo len 6,7 % a v druhom prípade už 42,9 %. F

56 54 Výsledky didaktického výskumu Ďalší výrazný rozdiel je v početnosti neuvedenia odpovede na otázku. Keďže úlohy vstupného testu sa týkajú javov každodenného života, pôsobia silne motivačne. Aj keď v dotazníku sa žiaci nevyjadrili v súlade s týmto tvrdením, hneď po napísaní vstupného testu sa pýtajú na správne riešenia. Silným argumentom motivačnej funkcie úloh vstupného testu je porovnanie odpovedí prvého písania a opakovaného písania vstupného testu. Z porovnania odpovedí žiakov v tabuľke č.3, 4 a 5 vyplýva, že tieto úlohy zaujali žiakov. Aj samotní žiaci v dotazníku uviedli, že tieto úlohy si pamätajú preto, že už dávnejšie nad tým uvažovali, prekvapilo ich riešenie, zaujalo ich to. Úlohou vyučovania je citlivo meniť mylné predstavy žiaka. Z tohto dôvodu učiteľ mal by poznať predstavy žiaka, mal by zaskočiť, prekvapiť žiaka, a potom jasne a zrozumiteľne predniesť správnu teóriu. Môžem konštatovať, že takto prebudované poznatky žiaka sú trvalejšie. Literatúra: [1] Turek, I.: Ciele vyučovacieho procesu. Kapitoly z didaktiky, MC Bratislava, [2] Hrabal, V., Man, F., Pavelková, I.: Psychologické otázky motivace ve škole. Praha, SPN, [3] Kireš, M., Onderová, Ľ., Salák, M.: Fyzika v každodennom živote. Košice: Prírodovedecká fakulta UPJŠ, Košice, [4] Gajdušek, J., Trojanovičová, A., Révay, T.: Vstupný informačný test - pomocník učiteľa. MC Prešov, 2000 Adresa autora: Adriana Trojanovičová Gymnázium Lipany, trojanovicova@pobox.sk Adriana Trojanovičová sa narodila v roku 1975 v Lipanoch. Po ukončení vysokoškolského štúdia v odbore matematika - fyzika na Prírodovedeckej fakulte UPJŠ v Košiciach pokračovala v internom doktorandskom štúdiu v odbore Teória vyučovania fyziky. Ako tému dizertačnej práce si zvolila Motiváciu žiakov vo vyučovaní fyziky na gymnáziu a ich prvotné poznatky. V súčasnosti pôsobí na gymnáziu v Lipanoch ako učiteľka matematiky, fyziky a informatiky. Internetové okienko F Univerzity Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra základov a didaktiky fyziky Univerzita Konštantína filozofa v Nitre Fakulta prírodných vied Fakulta fyziky Univerzita Mateja Bela v Banskej Bystrici Fakulta prírodných vied Katedra fyziky Univerzita P.J.Šafárika v Košiciach Prírodovedecká fakulta Ústav fyzikálnych vied-oddelenie didaktiky fyziky Prešovská univerzita Katedra prírodných a humanitných vied Fakulta fyziky Slovenská technická univerzita v Bratislave Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra fyziky Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra fyziky index.html Univerzita Sv.Cyrila ametoda v Trnave Fakulta prírodných vied Katedra fyziky Slovenská poľnohospodárska univerzita v Nitre Mechanizačná fakulta Katedra fyziky Žilinská univerzita Katedra fyziky

57 IKT vo vyučovaní 55 EXPERIMENTÁLNA VÝUČBA FYZIKY NA GYMNÁZIU J.A.RAYMANA V PREŠOVE Vladimír Grejták Oddelenie didaktiky fyziky UFV PF UPŠ v Košiciach Abstrakt: Príspevok opisuje programy použité pri experimentálnej výučbe tematického celku stacionárne a nestacionárne magnetické pole, ktorá bola realizovaná na gymnáziu J.A.Raymana v Prešove. Výučba bola zameraná na skúmanie možností využitia IKT pri skvalitňovaní klasickej výučby. Príspevok dáva návrh ako programy, ktoré sú momentálne voľne prístupné na Internete, využiť pre zvýšenie názornosti zavádzaných pojmov, motivácie študentov, podporu ich samostatnej činnosti a rozvoj počítačových zručností. Kľúčové slová: experimentálne vyučovanie fyziky, počítačové programy, magnetické pole Úvod Ako doktorand na oddelení didaktiky fyziky sa často stretávam so snahou vylepšiť a aktualizovať učebné postupy používané pri výučbe fyziky na základných a stredných školách. V dnešnej dobe je veľmi aktuálna otázka použitia nových informačných technológií v tejto oblasti. Tieto dva fakty, spolu s ponukou RNDr. M. Krajňáka PhD (toho času riaditeľa gymnázia J.A.Raymana v Prešove) že toto je časť fyziky, ktorá si zaslúži určite väčšiu pozornosť, ako jej bola v učebnici venovaná. Nešlo len o nedostatky pri prezentácii javov, ale hlavne o definovanie nových fyzikálnych veličín a tvorby záverov resp. prepojenia ústredných pojmov. Logická analýza bude spolu s konkrétnym postupom detailnejšie prezentovaná v pripravovanej publikácii. V tomto príspevku nazerám na technologický aspekt experimentu. Ústredným pojmom v tomto experimente sú magnetické indukčné čiary. Obr. 1: Prostredie aplikácie Vizimagfree odučiť vybraný tematický celok stredoškolskej fyziky v novovytvorenej multimediálnej učebni s využitím výpočtovej techniky, boli hlavnými stimulmi pre moju experimentálnu výučbu. Voľba tematického celku padla na stacionárne a nestacionárne magnetické pole. Prvým krokom bolo vypracovanie logicko-didaktickej analýzy učiva a oboznámenie sa s učebnými textami, ktoré majú študenti gymnázia k dispozícii. Po prečítaní učebnice fyziky pre 3. ročník gymnázia [1], som nadobudol pocit, Gymnázium J.A.Raymana v Prešove Tematický celok stacionárne a nestacionárne magnetické pole je na gymnáziu J.A.Raymana, s časovou dotáciou 16 vyučovacích hodín, zaradené v rámci alternatívneho učebného plánu na koniec druhého ročníka. Na prvej hodine študenti absolvovali vstupný didaktický test, na nasledujúcich 6 vyučovacích hodinách výklad z oblasti stacionárneho magnetického poľa, nasledovala opakovacia hodina a po nej hodina s výstupným testom, 3 hodiny celku nestacionárne magnetické pole a opäť jedna opakovacia hodina a záverečná hodina bola venovaná výstupnému testu. Na základe samostatného štúdia v experimente som sa rozhodol pre postup vychádzajúci z vytvorenia (presnejšie dotvorenia žiackych predstáv zo ZŠ) pojmu magnetické indukčné čiary. F

58 56 IKT vo vyučovaní Programy na vyučovanie fyziky Jedným z hlavných cieľov experimentálnej výučby bolo vyskúšať rôzne možnosti aplikácií IKT. Zámerom experimentu bolo u študentov podporiť analytické myslenie (pozorovanie) a implikačné schopnosti (zdôvodňovanie, formulácia tvrdení, kauzálne vzťahy), logické myslenie (syntéza poznatkov) a aplikáciu už naučených poznatkov. Počas experimentu som použil viaceré modálne stimulujúce aplikácie. Cez statické obrázky, videá, statické simulácie, až po dynamické simulácie a modely. Zdrojom informácií o produktoch z danej oblasti bola celosvetová informačná sieť Internet. ViziMagFree Siločiary sú fundamentálnym pojmom pri vysvetľovaní fyzikálnych polí. Pomocou nich je možné názorne vysvetliť množstvo javov aj bez matematického aparátu. Program je voľne dostupný zo stránky na adrese: pomocou magnetických indukčných čiar. Systémy je možné vytvárať pomocou permanentných magnetov, cievok, solenoidov, obdĺžnikových magnetických domén a prúdovodičov. Jednotlivé prvky je možné otáčať, meniť horizontálny a vertikálny rozmer, meniť ich permeabilitu, definovať magnetické póly resp. smer prúdu. Po vytvorení systému počítač preráta a zobrazí daný systém pomocou siločiar. Tento program som viackrát použil pri výklade novej látky z oblasti stacionárneho magnetického poľa. Osvedčil sa tiež ako prostriedok samostatnej poznávacej činnosti študentov, pri ktorej sa lepšie oboznámili (upevnila sa predstava) s dvojrozmernou reprezentáciou magnetického poľa pomocou magnetických siločiar. Veľmi názorným a vďačným vytvoreným modelom je model prúdovodiča vo vonkajšom magnetickom poli. Ten je dobrým základom na zavedenie správania sa elektricky nabitej častice vo vonkajšom magnetickom poli. F Obr. 2: Magnetické pole prúdovodiča a dvoch permanentných magnetov Je šírený ako shareware t.j. funkčný s istými obmedzeniami. Po zakúpení získate plne funkčnú aplikáciu. Popíšem verziu 1.00 (Obr. 1). Tá má obmedzenia, ale niektoré je možné šikovným ovládaním obísť. Program vizimag vizualizuje v rovine magnetické pole rôznych magnetických systémov (Obr. 2) xyzet Popis správania sa pohybujúcej častice s elektrickým nábojom vo vonkajšom magnetickom poli má mnoho aplikácií (polárna žiara, obrazovky, urýchľovače a detektory častíc. Simulačný program xyzet umožňuje dynamicky modelovať situácie z rozličných oblastí fyziky. Väčšinou ide o mechaniku, kinematiku, elektrinu a magnetizmus. Spolu s programom sa dodáva aj kurz fyziky. Na internetovej adrese: ml je voľne prístupná verzia xyzet 3beta. Prostredie aplikácie je rozdelené do viacerých okien (Obr. 3). Hlavné sú simulačné okno a hlavné ovládacie okno. V simulačnom okne prebieha simulácia vytvoreného modelu za nastavených podmienok. Experiment je situovaný do kocky, ktorá predstavuje laboratórium, v ktorom sa daný systém skúma a pozoruje. Hlavné ovládacie okno umožňuje počas spustenej aj zastavenej animácie kocku otáčať ľubovoľným smerom resp. približovať

59 IKT vo vyučovaní 57 alebo vzďaľovať a dokonca meniť perspektívu pohľadu. Hlavné ovládacie okno okrem tlačidiel ovládajúcich pohľad na kocku obsahuje aj tlačidlo na krokovanie animácie vo veľmi krátkych intervaloch a stopky. Užívateľ je teda schopný pohodlne ovládať tento model v čase. Základnou charakteristikou xyzet je dynamika a interaktivita, s ktorou užívateľ ovplyvňuje a skúma model. Ak sa počas spustenej simulácie zmení niektorý parameter model okamžite berie do úvahy novú hodnotu a tomu prispôsobí aj zobrazované výsledky zmena fyzikálneho parametra má okamžitý pozorovateľný dôsledok. To umožňuje skúmať kvalitatívne závislosti medzi nezávislými parametrami modelu. Program umožňuje nielen sledovať isté parametre častice (polohu, rýchlosť, pôsobiacu silu, zrýchlenie) ale aj ich ľubovoľnú zmenu. Užívateľ môže meniť aj ďalšie parametre častice (elektrický náboj, hmotnosť, elasticitu). xyzet umožňuje v rámci sledovania častice zobrazovať rýchlosť, zrýchlenie a pôsobiacu silu ako vektor. Je možné sledovať aj časový vývoj (graf) zrýchlenia, rýchlosti, sprievodiča resp. ich zložiek x, y, z. Software vie vytvoriť rôzne typy vonkajších magnetických polí (homogénne pole, len južný pól, severný a južný pól). Pri homogénnom poli je možné definovať aj smer a veľkosť magnetickej indukcie charakterizujúcej dané pole (viď global parameter setting). Zmenou množstva parametrov vytvoreného modelu si študenti vytvárajú vlastný myšlienkový model. Pomocou už známych analógií sú schopní popísať prebiehajúcu animáciu kvalitatívne. Python Obr. 3: Možnosti nastavení parametrov v prostredí programu xyzet Jedným z obmedzení použitia pilinových obrazcov resp. programu vizimagfree, je fakt, že vizualizujú magnetické pole len dvojrozmerne (v rovine). Pre dotvorenie predstavy trojrozmerného magnetického poľa som (Obr. 4) použil modely vytvorené v prostredí Python. Ďalšou významnou funkciou je možnosť sledovať aj vypočítané hodnoty niektorých premenných fyzikálneho modelu. Ich hodnoty užívateľ sleduje buď priamo (číselné hodnoty) alebo vo forme grafu. Týmto spôsobom je schopný odhaľovať kvalitatívne závislosti. Program xyzet som použil pri výklade správania sa elektricky nabitej častice vo vonkajšom magnetickom poli. Častica s elektrickým nábojom vstupuje do vonkajšieho homogénneho magnetického poľa. Vektor rýchlosti zviera s vektorom magnetickej indukcie vonkajšieho poľa nenulový uhol, teda častica popisuje trajektóriu tvaru skrutkovnice. Obr. 4: Trojrozmerný model magnetického poľa toroidálnej cevky Python je objektový programovací jazyk. Na internete je množstvo aplikácií resp. programov napísaných v tomto jazyku. F

60 58 IKT vo vyučovaní Inštalačné súbory a ďalšie informácie nájdete na adrese Python umožňuje vytvoriť zaujímavé trojrozmerné modely. Pri sledovaní výsledku je možné model ľubovoľne otáčať a približovať resp. vzďaľovať. Plusom tejto aplikácie je rýchle osvojenie si trojrozmerného pohľadu na situáciu. Tento jazyk ma veľký potenciál. Na internete je možné stretnúť sa s videoukážkami animácií vytvorených práve v tomto prostredí. sú vhodné modely prúdovodiča so svojím magnetickým poľom, cievka spolu s animáciou vytvárania magnetického poľa pri pretekaní prúdu, vletenie elektricky nabitej častice do vonkajšieho magnetického poľa a i. Užívateľ vidí zdrojový kód a môže meniť parametre modelu a sledovať ako sa mení. Študenti s rozšíreným vyučovaním informatiky takto mohli využiť svoje schopnosti z oblasti programovania (podpora medzipredmetového charakteru výučby). Záver Obr. 5: Nabitá častica pohybujúca sa v homogénnom magnetickom poli Na hodinách fyziky som používal modely vytvorené inými užívateľmi, ktoré sú voľne prístupné na internete. Pre výučbu magnetizmu Použitie spomenutých softwarových produktov na hodinách fyziky prinieslo nielen spestrenie aktivít študentov na hodinách, ale aj zmenu spôsobu vnímania popisovaných fyzikálnych modelov. Medziiným, experiment potvrdil, že alternatívny učebný plán (AUP) poskytuje dostatočný priestor pri organizovaní vyučovacej jednotky a voľbe jej obsahovej náplne. Za účelom spresnenia a dopracovania vyučovacích metód a foriem bude experimentálna výučba zopakovaná v období máj a jún 2003, opäť v prostredí AUP na gymnáziu J. A. Raymana v Prešove. Literatúra: [1] Lepil. O. a kol.: Fyzika pre 3.ročník gymnázia, SPN, Bratislava, 1986 Adresa autora: RNDr. Vladimír Grejták Oddelenie didaktiky fyziky ÚFV PF UPJŠ v Košiciach Angelinum Košice grejtak@yahoo.com F Vladimír Grejták je absolventom učiteľského štúdia kombinácia matematika - fyzika na PF UPJŠ v Košiciach (2001). V roku 2001 obhájil rigoróznu prácu z teoretickej fyziky na tému: Význam Schrödingerovej rovnice v teoretickej fyzike. Od októbra 2001 interným doktorandom na ODF ÚFV PF UPJŠ v Košiciach v odbore Teória vyučovania fyziky. Zamyslite sa a skúste nájsť odpoveď Pri náraze biliardových gúľ počuť zvuk. Čím je podmienená frekvencia tohto zvuku? Ako by sme ju mohli vypočítať? Prečo sa nám javí Slnko ako žlté, keď je zdrojom bieleho svetla? Použite zrkadlo tvaru obdĺžnika. Vytvorte svetelné prasiatko v slnečnom svetle na blízkej stene. Má obdĺžnikový tvar. Ak svetelné prasiatko posunieme na vzdialenejšiu stenu, bude jeho tvar kruhový. Vysvetlite, prečo?

61 IKT vo vyučovaní 59 VÝUČBOVÉ MULTIMEDIÁLNE CD - OPTIKA Miriam Jadroňová Technická univerzita, Košice Abstrakt: Jednou z možností, ako dosiahnuť zvýšenie záujmu žiakov o fyzikálne poznatky, je prepojenie vyučovania fyziky s čoraz rozsiahlejším prenikaním počítačov do nášho každodenného života. Postupné zaraďovanie počítačov do vyučovacieho procesu je možné dosiahnuť aj prostredníctvom výučbových programov. Cieľom príspevku je prezentovať v programe Flash vznikajúce výučbové multimediálne CD z optiky. Kľúčové slová: výučbové multimediálne CD, Flash, názornosť vo vyučovaní fyziky, optika 1. FLASH NEODMYSLITEĽNÁ SÚČASŤ MODERNÉHO WEBU Program Flash sa v súčasnej dobe stal silným nástrojom pre tvorbu interaktívnych multimediálnych animácií, ktoré sú súčasťou mnohých webových stránok, reklamných bannerov, animácií a pod.. Okrem úzkeho spojenia s internetom nám Flash ponúka možnosť vytvoriť kreslené filmy, animované hry, videoklipy a interaktívne prezentácie. Výhodou programu Flash je okrem iného aj možnosť vytvorenia vlastnej prezentácie vo forme samospustiteľného CD, ktoré je možné prehrávať aj bez pripojenia na internet a bez nainštalovania programu Flash. Pomocou vlastného jednoduchého objektového programovacieho jazyka ActionScript dokážeme vytvoriť komplexnú navigáciu v grafike, komplikovanejšie akcie, formuláre, pracovať s informáciami atď. Popularita programu Flash narastá, dôkazom toho je nielen čoraz väčší počet webových stránok ponúkajúcich aj Flash verziu, ale aj diskusné fóra a weby venujúce sa práve problematike produktov vytvorených v programe Flash. ( ) 2. VÝUČBOVÉ MULTIMEDIÁLNE CD OPTIKA Výnimočné vlastnosti programu Flash sú využívané pri tvorbe výučbového programu OPTIKA, ktorý zahŕňa časť tematického celku Optika učiva 4.ročníka gymnázia. Štyri hlavné kapitoly (Svetlo, Zákony optiky, Optické vlákna a Optické javy v prírode) a šesť doplňujúcich častí (Animácie, Fotogaléria, Úlohy, Slovník, Výpočty, Nástroje) tvoria štruktúru vznikajúceho výučbového programu (Obr.1). Medzi jednotlivými kapitolami a doplňujúcimi časťami sú vzájomné prepojenia. V nasledujúcich riadkoch nasleduje stručná charakteristika CD OPTIKA (Obr.2). F Obr.1: Štruktúra výučbového multimediálneho CD Optika Obr.2: Úvodná obrazovka multimediálneho CD Optika 1 Program Flash je produkt americkej firmy Macromedia a beží pod Windows 95 a vyššie. Požiadavky na počítač sú nasledovné: minimálne Intel Pentium 133 Hz, 32 MB (odporúča sa 64 MB), 40 MB voľného miesta na disku. 2 Výučbový program OPTIKA vzniká v programe Flash 5. Prednedávnom sa na trh dostala najnovšia (šiesta) verzia nesúca názov Flash MX.