ZHODNÉ ZOBRAZENIA A GEOGEBRA
|
|
- Ολυμπιάς Μαγγίνας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ODBORNÁ KONFERENCIA PRIMAS: OBJAVNÉ VYUČOVANIE MATEMATIKY A PRÍRODOVEDNÝCH PREDMETOV ZHODNÉ ZOBRAZENIA A GEOGEBRA V KONŠTRUKČNÝCH ÚLOHÁCH KARIN FUSKOVÁ ABSTRAKT Práca je zameraná na riešenie konštrukčných úloh v rovine s využitím interaktívneho matematického programu GeoGebra. Jeho výhodou je voľná dostupnosť a bezplatnosť. Práca poukazuje na to, že žiaci, ktorí využívajú geometrické softvéry, môžu dopĺňať vlastnú predstavivosť dynamickou manipuláciou s geometrickými objektmi a dokážu ľahšie vytvárať stratégie, preverovať hypotézy, zisťovať podmienky riešiteľnosti a počet vyhovujúcich riešení. Takto dochádza u žiakov ku rozvíjaniu tvorivosti, nápaditosti a predstavivosti. Zároveň sa žiaci učia formovať otázky, hľadať vzťahy, argumentovať, otvorene komunikovať, spolupracovať, verifikovať výsledky a aj ceniť chyby. V práci je uvedená teória zhodných zobrazení a konštrukčné úlohy riešené pomocou zhodných zobrazení v rovine s využitím programu GeoGebra. Cieľom práce je vzbudiť u žiakov záujem o matematiku prostriedkami interaktívneho geometrického systému a pestovať v nich lásku k matematike. ÚVOD V prírode a v každodennom živote sa stretávame so zhodnými zobrazeniami a so zhodnými útvarmi. Napríklad mnohobunkové živočíchy sa rozdeľujú na živočíchy lúčovito súmerné oddelenie dvojlistovce a živočíchy s dvojstrannou súmernosťou tela oddelenie trojlistovce. Kvety rastlín môžu byť súmerné podľa jednej roviny, alebo lúčovito súmerné podľa niekoľkých rovín. Ďalším príkladom sú tlačené písmená abecedy : A, C, D, E, M, T, U, V, Y sú osovo súmerné, N, Z sú stredovo súmerné a I, H, O, X sú osovo aj stredovo súmerné. Mnohé predmety našej dennej potreby sú osovo súmerné zubná kefka, poháre, taniere, panvice, niektoré druhy príboru. Príklady nájdeme aj v zariadení bytov a domov, napríklad osovo súmerné môžu byť stoličky, stoly, skrine, postele, svietidlá. V športe sú osovo aj stredovo súmerné mnohé športové ihriská. Osovo súmerné sú futbalové a hokejové brány, stolnotenisový stôl, lopty, tenisové rakety, niektoré druhy lyží. Žiaci si túto skutočnosť uvedomujú a ľahko pochopia a naučia sa teóriu zhodných zobrazení. Problém nastáva pri aplikácii príslušných teoretických poznatkov v konštrukčných úlohách, pretože sa v nich nedá uplatniť univerzálny algoritmus riešenia. Často aj jednoduché konštrukčné úlohy buď nevedia
2 m59 vyriešiť, alebo ich riešia neúplne. Majú aj skromnú zručnosť v konštruovaní. Treba ich viesť ku presnosti v rysovaní, trpezlivosti a dôslednosti, čo je užitočné aj v praktickom živote. Mali by riešiť dostatočné množstvo úloh rôzneho typu, aby sa naučili samostatnosti v riešení a aby sa rozvíjala ich tvorivosť. Ak sú žiakom zadávané iba úlohy analogického typu, žiaci ich síce ľahšie zvládajú, ale riešenie sa stáva stereotypnou prácou, ktorá nie je motivujúca a nerozvíja tvorivosť a intelekt žiakov. Je vhodné podľa možností a materiálno technického vybavenia školy využívať pri výučbe geometrie nielen tabuľu, rysovacie pomôcky, prípadne spätný projektor a fólie, ale aj rôzne výukové programy, ako napríklad Planéta vedomostí (komplexný elektronický vzdelávací systém pre základné a stredné školy pokrývajúci hlavné predmety matematika, fyzika, chémia, biológia a prírodoveda), alebo geometrické softvéry Cabri geometria, GeoGebra, Planimetrik, Cinderella, Euklides, WinGeom a iné. Niektoré z nich (napríklad maďarský Euklides) nemajú dostupné verzie v slovenskom jazyku a zatiaľ sa dá stiahnuť ich demo verzia ( program, ktorý funguje iba čiastočne a má blokované niektoré funkcie) iba v anglickom jazyku. Programy, ktoré slúžia na vyučovanie a prácu s dynamickou geometriou, sa líšia najmä spôsobom ovládania, systémom vytvárania objektov a tiež prácou s nimi. Je efektívnejšie pracovať s jedným uceleným programom, než s viacerými rôznymi aplikáciami. Takto sa vyhneme chybám, nejednotnosti a neporiadku. V slovenských školách patria medzi najčastejšie využívané geometrické softvéry Cabri geometria a GeoGebra. Zavádzaním výpočtovej techniky do procesu vyučovania sa zvyšuje efektivita vzdelávania. Žiaci už nie sú odkázaní na rysovanie statických obrázkov a dopĺňanie dynamiky vlastnou predstavivosťou. To robí mnohým, hlavne menej schopným žiakom značný problém. Dnes geometrické softvéry umožňujú zostrojovanie konštrukcií, v ktorých sa geometrické objekty dynamicky menia. Môžeme nimi rôzne manipulovať. Napríklad môžeme meniť ich polohu, veľkosť, tvar. Prehľadnosť konštrukcií sa dá docieliť aj farebným rozlišovaním bodov a čiar. Žiaci, ktorí využívajú geometrické softvéry, môžu v riešení úloh rôzne experimentovať. Napríklad preverovať hypotézy, vytvárať stratégie, zisťovať podmienky riešiteľnosti úlohy a počet vyhovujúcich riešení. Takto dochádza ku rozvíjaniu ich predstavivosti, nápaditosti a tvorivosti. Úlohy na zhodné zobrazenia v rovine, ktoré uvádzam, sú riešené pomocou programu GeoGebra. Jeho výhodou je, že je voľne dostupný a bezplatný. Umožňuje spracovanie úloh z geometrie, algebry aj matematickej analýzy. Objekt v geometrickom okne zodpovedá výrazu v algebrickom okne a naopak. Dajú sa v ňom priamo zadávať rovnice a súradnice. Je dosť rozšírený a na internete má rozsiahle archívy riešených úloh. V Rakúsku, Nemecku i v ďalších európskych krajinách získal mnoho ocenení. ZHODNÉ ZOBRAZENIA V ROVINE ZHODNÉ ZOBRAZENIE Zobrazenie Z v E 2 sa nazýva zhodným zobrazením v E 2 práve vtedy, keď pre každé dva body X, Y E 2 a ich obrazy X = Z(X), Y = Z(Y) platí : X Y = XY. Body roviny, ktoré zobrazujeme, nazývame vzory a body, do ktorých sa body zobrazili, nazývame obrazy. (Richtáriková, Kyselová, 2003, s. 185) Zápis zhodného zobrazenia : Z : X X, X = Z(X)
3 m60 Útvar U 1 je zhodný s útvarom U 2 práve vtedy, keď existuje aspoň jedno zhodné zobrazenie, ktoré zobrazuje útvar U 1 na útvar U 2. (Rácová, 1995, s. 66) Samodružný (invariantný) bod zobrazenia Z je bod, ktorý sa zobrazí sám do seba : X = Z(X) = X Samodružný útvar v zobrazení Z je taký útvar U, ktorý sa zobrazí sám do seba : U = Z(U) = U Zhodné zobrazenia v rovine sú: identita osová súmernosť stredová súmernosť posunutie otočenie posunutá súmernosť (Richtáriková, Kyselová, 2003, s. 185) VLASTNOSTI ZHODNÝCH ZOBRAZENÍ Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté. Každé zhodné zobrazenie možno zložiť najviac z troch osových súmerností. Zhodné zobrazenie je priama zhodnosť, ak nemení orientáciu trojuholníka. Vznikne zložením párneho počtu osových súmerností. Zhodné zobrazenie je nepriama zhodnosť, ak mení orientáciu trojuholníka. Vznikne zložením nepárneho počtu osových súmerností. (Richtáriková, Kyselová, 2003, s. 185) OSOVÁ SÚMERNOSŤ S OSOU o Zápis : S o Je zhodné zobrazenie, ktoré každému bodu X o priradí bod S o (X) = X a každému bodu X priradí bod S o (X) = X tak, že XX je kolmé na o a stred úsečky XX leží na o. Osová súmernosť je jednoznačne daná osou súmernosti alebo dvojicou vzor obraz. (Rácová, 1995, s. 66)
4 m61 Samodružnými bodmi sú body osi. Priamka kolmá na os je samodružným útvarom. IDENTITA Zápis : I Vznikne zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi splývajú : o 1 = o 2, I =S O1 os O2. Každý bod roviny sa v identite zobrazí sám do seba. (Rácová, 1995, s. 66) STREDOVÁ SÚMERNOSŤ SO STREDOM S Zápis : S S Vznikne zložením dvoch osových súmerností S O1, S O2, ktorých osi o 1, o 2 sú na seba kolmé. Priesečník osí je stred súmernosti. S S =S O1 os O2, S =o 1 o 2, o 1 o 2 (Rácová, 1995, s. 67) S S je zhodné zobrazenie, ktoré každému X = S priradí bod S S (X) = X a každému bodu X S priradí bod X = S S (X) tak, že SX = SX a X leží na polpriamke opačnej k polpriamke SX. Stredová súmernosť je jednoznačne určená stredom S, alebo dvojicou vzor obraz, alebo osami o 1 o 2. Samodružný bod je len stred S. Samodružné priamky sú priamky prechádzajúce stredom S. (Richtáriková, Kyselová, 2003, s. 186) POSUNUTIE (TRANSLÁCIA) Zápis : T, T AB (X) Posunutie je jednoznačne určené : 1. rovnobežnými osami alebo 2. dvojicou vzor obraz (Richtáriková, Kyselová, 2003, s. 186) 1.Posunutie určené rovnobežnými osami Vznikne zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi sú rovnobežné a rôzne. T=S O1 o S O2,o 1 o 2.. Translácia je zhodné zobrazenie, ktoré bodu X priradí bod X = T(X) tak, že platí XX = 2d, d je vzdialenosť osí o 1, o 2 a XX je kolmé na o 1, o 2. Vzdialenosť XX sa nazýva veľkosť posunutia a priamka XX určuje smer posunutia. (Richtáriková, Kyselová, 2003, s. 186)
5 m62 2. Posunutie určené dvojicou vzor obraz V rovine je daná usporiadaná dvojica bodov [A;B] (orientovaná úsečka AB). Translácia určená orientovanou úsečkou AB je také zhodné zobrazenie v rovine, ktoré bodu X priradí bod X tak, že orientované úsečky AB a XX sú rovnako veľké a súhlasne orientované. Orientovaná úsečka AB určuje smer a veľkosť posunutia. Posunutie nemá žiaden samodružný bod. Samodružné priamky sú priamky rovnobežné so smerom posunutia. (Richtáriková, Kyselová, 2003, s. 186) OTOČENIE (ROTÁCIA) Zápis : R S,α Rotácia vznikne zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi sú navzájom rôznobežné. R S,α = S O1 o S O2, o 1 x o 2, S =o 1 o 2. S je stred otočenia. α je uhol otočenia. Jeho veľkosť je dvojnásobkom uhla osí o 1, o 2. (Rácová, 1995, s. 67) Rotácia R S,α priradí každému bodu X = S bod R S,α (X ) = S a každému bodu X S priradí bod R S,α (X ) = X tak, že SX = SX a XSX = α. (Rácová, 1995, s. 68) Uhol môže byť kladný alebo záporný. Ak α > 0, tak otáčame proti pohybu hodinových ručičiek, t.j. v kladnom zmysle. Ak α< 0, tak otáčame v smere pohybu hodinových ručičiek, t.j. v zápornom zmysle. (Rácová, 1995, s. 68) Rotácia je jednoznačne určená stredom a uhlom otočenia alebo rôznobežnými osami. (Richtáriková, Kyselová, 2003, s. 186)
6 m63 A' B' o A B Jediným samodružným bodom otočenia je bod S. POSUNUTÁ SÚMERNOSŤ Zápis : P Vznikne zložením troch osových súmerností, ktorých osi nepatria tomu istému zväzku priamok (napríklad zložením stredovej a osovej súmernosti). Nemá nijaký samodružný bod ani priamku. (Rácová, 1995, s. 68) RIEŠENÉ ÚLOHY Úloha 1 Daný je štvorec KLMN a jeho vnútorný bod A. Zostrojte všetky úsečky XY tak, aby bod A bol ich stredom a krajné body X, Y ležali na stranách štvorca. Rácová (1995, s. 69) Úlohu riešte v programe GeoGebra. Následne vykonajte konštrukciu pomocou rysovacích pomôcok do zošitov. Riešenie: Náčrt: Rozbor: C = KLMNK, X C, Y C, AX = AY, S A : X Y, S A : C C 1,Y C 1 C
7 m64 Postup konštrukcie: 1. KLMN, A 2. C, C = KLMNK 3. C 1, S A : C C 1 4. Y, Y C 1 C 5. X, S A : Y X 6. XY Konštrukcia: Obrázok 1 Konštrukcia úlohy 1 Skúška: Overíme, či zostrojená úsečka XY má požadované vlastnosti: X C, Y C, A je stred XY. Diskusia: Úloha má jedno riešenie.
8 m65 ÚLOHA 2 Obrázok 2 Obrázok 3 Hodina matematiky riešenie úlohy 1 Hodina matematiky riešenie úlohy 1 Daná je priamka p, kružnica k a trojuholník ABC. Zostrojte všetky úsečky XY tak, že X leží na k, Y na obvode trojuholníka ABC, úsečka XY je kolmá na p a stred úsečky XY leží na priamke p. Úlohu riešte v programe GeoGebra. Následne vykonajte konštrukciu pomocou rysovacích pomôcok do zošitov. Riešenie: Náčrt:
9 m66 Rozbor: X k, Y obvodu ABC, XY p, stred XY leží na p, S p : X Y, S p : k k, Y k ABC Postup konštrukcie: 1. k, p, ABC 2. k, S p : k k 3. Y, Y k ABC 4. X, S p : Y X 5. XY Konštrukcia: Obrázok 4 Koštrukcia úlohy 2, Zdroj: Mlynarčíková, dostupné na gpohkk.yw.sk Skúška: Overíme, či zostrojená úsečka XY má požadované vlastnosti: X k, Y obvodu ABC, stred XY leží na p, XY p. Diskusia: Počet riešení závisí od k ABC.
10 m67 Obrázok 5 Obrázok 6 Hodina matematiky riešenie úlohy 2 Hodina matematiky riešenie úlohy 2 Úloha 3 Dané sú dve navzájom kolmé priamky a, b a bod C, ktorý na nich neleží. Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC tak, aby A a, B b. Úlohu riešte v programe GeoGebra. Následne vykonajte konštrukciu pomocou rysovacích pomôcok do zošitov. Riešenie: Náčrt:
11 m68 Rozbor: AB = BC = AC, CAB ABC BCA 60, R C,60 : B A, R C,60 : b b, A b a. Postup konštrukcie: 1. a, b, C 2. b, R C,60 : b b 3. A, A b a 4. B, R C, 60 : A B 5. ABC Konštrukcia: Obrázok 7 Konštrukcia úlohy 3 Skúška: Overíme, či zostrojený trojuholník ABC má požadované vlastnosti : AB = BC = AC, A a, B b. Diskusia: Úloha má dve riešenia (jedno riešenie v jednom otočení).
12 m69 Úloha 4 Obrázok 8 Obrázok 9 Hodina matematiky riešenie úlohy 3 Hodina matematiky riešenie úlohy 3 Dané sú kružnice k 1 (S 1, r 1 ), k 2 (S 2, r 2 ) a dva rôzne body A, B. Zostrojte úsečku XY rovnobežnú s priamkou AB tak, aby X k 1, Y k 2 a XY = AB. Úlohu riešte v programe GeoGebra. Následne vykonajte konštrukciu pomocou rysovacích pomôcok do zošitov. Riešenie: Náčrt:
13 m70 Rozbor: X k 1, Y k 2, XY = AB, XY AB, T AB : X Y, T AB : k 1 k 1, Y k 1 k 2 Postup konštrukcie: 1. k 1 (S 1, r 1 ), k 2 (S 2, r 2 ), A, B 2. k 3, T AB : k 1 k 3 3. Y, Y k 3 k 2 4. X, T BA : Y X 5. XY Konštrukcia: Obrázok 10 Konštrukcia úlohy 4 Skúška: Overíme, či zostrojená úsečka XY má požadované vlastnosti: X k 1, Y k 2, XY = AB, XY AB. Diskusia: Počet riešení závisí od k 3 k 2.
14 m71 Obrázok 11 Obrázok 12 Hodina matematiky riešenie úlohy 4 Hodina matematiky riešenie úlohy 4 ZÁVER Na vyučovacích hodinách odporúčam kombinovať konštrukcie s využitím programu GeoGebra s klasickým rysovaním pomocou rysovacích pomôcok. Takto si žiaci osvoja prácu s dynamickým geometrickým programom a naučia sa aj manuálnej zručnosti, sústredenosti a presnosti v rysovaní. Problémom je, že na väčšine škôl materiálno technické vybavenie neumožňuje každému žiakovi samostatne pracovať na hodinách matematiky na počítači. Takto pracujú iba na hodinách informatiky, programovania, alebo na krúžkoch výpočtovej techniky. Uvedený spôsob vyučovania sa dá realizovať napríklad na delených hodinách matematiky. Alternatívou je, že učiteľ pracuje na počítači a žiaci sledujú konštrukciu premietanú na plátno a súčasne rysujú do zošitov (príloha obrázky 5 až 12). Učiteľ nesmie hneď prezradiť správne riešenie. Žiaci by zostali pasívnymi akceptormi. Mal by prejsť z pozície informátora do úlohy konzultanta, poradcu a partnera žiaka. Mal by vždy vytvoriť priestor na diskusiu, vyslovovanie a overovanie hypotéz. Mal by žiakov viesť ku vyriešeniu problému, sformovaniu záveru a následnému zosumarizovaniu. V tomto heuristickom procese žiaci bádajú, objavujú, slobodne tvoria nápady, formujú otázky, hľadajú vzťahy, vytvárajú stratégie, učia sa spôsobom overovania, argumentácie, otvorenej komunikácie, spolupráci, verifikácii výsledkov a aj ceneniu chýb. Rozvíja sa ich kritické myslenie, dôvtip, samostatnosť a poznávacie schopnosti. Neuspokojujú sa iba s jedným postupom, ale hľadajú ďalšie spôsoby, neobvyklé, nové, jednoduchšie alebo kratšie riešenia. Veľmi dôležitá je pritom kultúra triedy, osobnosť učiteľa a jeho pôsobenie na žiakov. Motiváciou je samotné riešenie problému, ale aj očakávanie hodnotenia. Ako pozitívna motivácia pôsobí povzbudenie žiaka počas hľadania riešenia, po vyriešení pochvala, ale aj radosť učiteľa zo záujmu žiakov a zo správneho riešenia úloh. Potom sa aj žiaci nehanbia prejavovať radosť z riešenia a tešia sa z dosiahnutých výsledkov.
15 m72 Motivácia vo vyučovaní je výzva k tvorivosti. Vzrušujúca objaviteľská činnosť začala formovať psychiku človeka tak, že v nej samej zakorenila túžba po silných intelektuálnych zážitkoch, ktoré človeku poskytuje odhaľovanie matematických zákonitostí. Táto skutočnosť napomáha pestovaniu lásky k matematike. (Fulier, Šedivý, 2001, s.11). A práve to by malo byť poslaním učiteľa matematiky. Navodiť tvorivú klímu (napríklad aj prostriedkami interaktívnych geometrických systémov), vzbudiť u žiakov záujem a pestovať v nich lásku k matematike. ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY Fulier, J., Šedivý, O Motivácia a tvorivosť vo vyučovaní matematiky. Fakulta prírodných vied UKF v Nitre. 2001, 269 strán, ISBN Mlynarčíková M.: Planimetria elektronická zbierka úloh, Zhodné a podobné zobrazenia v konštrukčných úlohách, dostupné na gpohkk.zw.sk Rácová, M Matematika prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách. Enigma Bratislava. 1995, 241 strán, ISBN Richtáriková, S., Kyselová, D Matematika pomôcka pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách. Enigma Nitra. 2003, 312 strán, ISBN ADRESA AUTORA Mgr. Karin Fusková Piaristické gymnázium sv. J. Kalazanského Piaristická Nitra karin@meb.sk
23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραKruh a kružnica interaktívne
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Mgr. Róbert Truchan Kruh a kružnica interaktívne Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe Prešov 2013 Vydavateľ:
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραexperimentuj.eu MANUÁL EXPERIMENTŮ TATIANA HIKOVÁ LUDMILA POTOČÁKOVÁ PETR PUPÍK LUCIA RUMANOVÁ KITTI VIDERMANOVÁ
MANUÁL EXPERIMENTŮ TATIANA HIKOVÁ LUDMILA POTOČÁKOVÁ PETR PUPÍK LUCIA RUMANOVÁ KITTI VIDERMANOVÁ INTERAKTIVNÍ EXPERIMENTÁLNÍ WORKSHOP ŽILINA 4. 5. 9. 04 Interaktivní experimentální workshop je realizovaný
Διαβάστε περισσότεραNávrh maturitných zadaní v predmete matematika
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ RNDr. Renáta Kunová PhD. Návrh maturitných zadaní v predmete matematika Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Názov ŠVP: Štátny vzdelávací program ISCED 2 Školský vzdelávací program pre 2. stupeň
Matematika Názov predmetu: Matematika Časový rozsah výučby: 5 hodín týždenne/ 165 hodín ročne Názov ŠVP: Štátny vzdelávací program ISCED 2 Názov ŠkVP: Školský vzdelávací program pre 2. stupeň Ročník: deviaty
Διαβάστε περισσότεραPROGRAM GEOGEBRA AKO VHODNÝ MOTIVAČNÝ
ODBORNÁ KONFERENCIA PRIMAS: OBJAVNÉ VYUČOVANIE MATEMATIKY A PRÍRODOVEDNÝCH PREDMETOV PROGRAM GEOGEBRA AKO VHODNÝ MOTIVAČNÝ PROSTRIEDOK VO VYUČOVANÍ GEOMETRIE GABRIELA DUŠOVÁ ABSTRAKT Predmetom tohto príspevku
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA
ZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA 1. Afinné zobrazenia Definícia. Zobrazenie F z afinného priestoru A n do A m, ktoré zobrazuje každú trojicu nekolineárnych bodov do jedného bodu alebo do trojice bodov,
Διαβάστε περισσότεραMa-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko
Ma-Go-0-T List 1 Obsah trojuholníka RNDr Marián Macko U: Čo potrebuješ poznať, aby si mohol vypočítať obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem poznať jednu stranu a výšku na túto stranu, lebo základný vzorec
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραVýpočet. sledu skrátenia koľajníc v zloženom oblúku s krajnými prechodnicami a s medziľahlou prechodnicou a. porovnanie
Výpočet sledu skrátenia koľajníc v zloženo oblúku s krajnýi prechodnicai a s edziľahlou prechodnicou a porovnanie výsledkov výpočtového riešenia a grafického riešenia Príloha.4 Výpočet sledu skrátenia
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραVzorce pre polovičný argument
Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Metodicko pedagogické centrum.
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραVyužitie programu Cabri pri riešení geometrických úloh na gymnáziu
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ RNDr. Helena Repková Využitie programu Cabri pri riešení geometrických úloh na gymnáziu Osvedčená pedagogická skúsenosť
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραmatematika 2. časť Viera Kolbaská Slovenské pedagogické nakladateľstvo pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom
Viera Kolbaská matematika 9 Slovenské pedagogické nakladateľstvo pre 9. ročník základnej škol a. ročník gmnázia s osemročným štúdiom. časť Slovenské pedagogické nakladateľstvo Por. č. Meno a priezvisko
Διαβάστε περισσότεραMatematika Informatika Fyzika
Metodicko-pedagogické centrum Prešov Centrum celoživotného vzdelávania Prírodovedecká fakulta UPJŠ v Košiciach Matematika Informatika Fyzika číslo 21 didaktický časopis učiteľov matematiky, informatiky
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραZOBRAZOVACIE METÓDY 2. I Mongeovo zobrazenie
ZOBRAZOVACIE METÓDY 2 (prvý ročník, letný semester; prednáška 2 hod., cvičenie 2 hod. / týž.; 6 kreditov, 40 / 60) Program druhého semestra (Zobrazovacie metódy 2): I Mongeovo zobrazenie; II Perspektívna
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραStereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:
Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.
Διαβάστε περισσότεραCABRI GEOMETRY TM II PLUS
CABRI GEOMETRY TM II PLUS Inovačné nástroje matematiky KURZ PRE POKROČILÝCH VITAJTE! Vitajte v kurze pre pokročilých užívateľskej príručky Cabri Geometry. V tejto časti uvádzame v troch kapitolách niektoré
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch rotačného kužeľa
Ma-Te-04-T List 1 Objem a povrch rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má kužeľ prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný kužeľ vznikne rotáciou, čiže otočením, pravouhlého
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραMATURITA 2009 MATEMATIKA
MATURITA 2009 EXTERNÁ ČASŤ MATEMATIKA kód testu: 40 NEOTVÁRAJTE POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU. Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma typmi úloh: Pri úlohách s krátkou
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραMATURITA 2013 MATEMATIK A
Kód testu 8103 MATURITA 2013 EXTERNÁ ČASŤ MATEMATIK A NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 30 úloh. Na vypracovanie testu budete mať 120 minút. V teste sa
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότεραpiaty, šiesty, siedmy, ôsmy, deviaty ZŠ Dunajská Lužná
Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Ročník Škola Názov ŠkVP Kód a názov ŠVP ISCED 2 Stupeň vzdelania základné Dĺžka štúdia Forma štúdia Matematika a práca s informáciami Matematika piaty, šiesty, siedmy,
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B
. písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ OSNOVY PREDMETU MATEMATIKA
UČEBNÉ OSNOVY PREDMETU MATEMATIKA Názov predmetu: Matematika Stupeň vzdelania: ISCED 2 niţšie stredné Ročník: 5. 9. Časový rozsah výučby: 825 Poznámka: povinný predmet Vyučovací jazyk: slovenský jazyk
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότεραKOMPARO. celoslovenské testovanie žiakov 9. ročníka ZŠ. Matematika. exam KOMPARO 2006-07
Základné informácie o projekte KOMPARO 006-07 pre základné školy 006-07 KOMPARO KOMPARO celoslovenské testovanie žiakov 9. ročníka ZŠ Matematika A exam testing EXAM testing, spol. s r. o. P. O. Box 5,
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA
GEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA Obsahom predmetu je súhrn poznatkov viacerých geometrických disciplín od elementárnej planimetrie a stereometrie, syntetickej deskriptívnej geometrie, cez analytickú a
Διαβάστε περισσότεραTézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty
Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραVýpočet. grafický návrh
Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena odobných bodov echodníc a kužncových obúkov Píoha. Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena... Vtýčene kajnej echodnce č. Vstuné údaje: = 00 ; = 8 ; o = 8 S ohľado
Διαβάστε περισσότερα4 hodiny týţdenne (132 hodín ročne) Ročník V. Škola Základná škola, Zlaté Klasy, Hlavná 787/25 Učíme sa pre ţivot, múdrosť robí človeka
Názov predmetu Matematika Vzdelávacia oblasť Matematika a práca s informáciami Časový rozsah výučby 4 hodiny týţdenne (132 hodín ročne) Ročník V. Škola Základná škola, Zlaté Klasy, Hlavná 787/25 Učíme
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah geometrických útvarov
Obvod a obsah geometrických útvarov 1. Štvorcu ABCD so stranou a je opísaná a vpísaná kružnica. Vypočítajte obsah medzikružia, ktoré tieto kružnice ohraničujú. 2. Základňa rovnoramenného trojuholníka je
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραCabri Geometry TM II Plus
Cabri Geometry TM II Plus Užívateľská príručka Vitajte! Vitajte vo svete dynamickej geometrie! Cabri Geometry TM bola vyvinutá v 80-ich rokoch, vo výskumných laboratóriách CNRS (Centre National de Recherche
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 5 ( )( ) ( ) 1. ÚPRAVY VÝRAZOV
ÚPRAVY VÝRAZOV Algebrický výrz, definičný obor výrzu Počítnie s mnohočlenmi, úprv rcionálnch výrzov, prác s odmocninmi Príkld: Určte definičný obor výrzu: ) 5 b) log Určte definičný obor výrzu zjednodušte
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραEnergetická hodnota potravín
Súťažný odbor 02 Matematika, Fyzika Energetická hodnota potravín Stredoškolská odborná činnosť Sivek Michal, sexta Gymnázium Ivana Bellu L. Novomeského 15, Handlová Konzultant: Mgr. Zuzana Černáková Handlová
Διαβάστε περισσότερα1 Logika a dôkazy. 2 Množiny. 3 Teória čísel. 4 Premenné a výrazy. 5 Rovnice, nerovnice a ich sústavy. Pojmy:
1 Logika a dôkazy výrok, axióma, definícia, úsudok, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia výroku, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné,
Διαβάστε περισσότεραCIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE BRATISLAVA 2012 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky dňa
Διαβάστε περισσότεραCABRI GEOMETRY TM II PLUS
CABRI GEOMETRY TM II PLUS Inovačné nástroje matematiky REFERENČNÁ PRÍRUČKA VITAJTE! Vitajte v interaktívnom svete Cabri Geometry! V nasledujúcej časti nazvanej «Referenčná príručka» nájdete všetky softvérom
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq MATEMATIKA 1. ročník wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Učebný odbor:
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραNeeuklidovská geometria
Pedagogická fakulta, Katolícka univerzita, Ružomberok Neeuklidovská geometria Seminárna práca História matematiky Katarína Dovcová Biológia matematika 1.Mgr 2008/2009 Cieľom mojej práce je priblížiť čitateľom
Διαβάστε περισσότεραZbierka gradovaných úloh k učebnici matematiky pre 5. ročník ZŠ
METODICKO-PEDAGOGICKÉ CENTRUM V PREŠOVE Valéria Kocurová Zbierka gradovaných úloh k učebnici matematiky pre 5. ročník ZŠ - 2005 - OBSAH Úvod... 3 1 Delenie prirodzených čísel... 5 1.1 Delenie jednociferným
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραANULOID GEOMETRICKÉ VARIÁCIE NA TÉMU ANULOID
ANULOID ÚVOD Matematická analýza a deskriptívna (prípadne konštrukčná) geometria sú dva rôzne predmety, ktoré úzko spolu súvisia. Anuloid a guľová plocha sú plochy technickej praxe.v texte sú z geometrického
Διαβάστε περισσότεραTechnické kreslenie učebné texty
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Technické kreslenie učebné texty pre 1. a 2. ročník študijných odborov 8260 6 propagačné výtvarníctvo 8261 6 propagačná
Διαβάστε περισσότεραNORMATÍV 2675 M. elektrotechnika
MINISTERSTVO ŠKOLSTVA, VEDY, VÝSKUMU A ŠPORTU SLOVENSKEJ REPUBLIKY NORMATÍV materiálno-technického a priestorového zabezpečenia pre študijný odbor 2675 M elektrotechnika Schválilo Ministerstvo školstva,
Διαβάστε περισσότεραKonštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti
Ma-Ko-02-T List 1 Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti RNr. Marián Macko U: pomínaš si zo základnej školy na konštrukciu pravidelného šesťuholníka so stranou a dĺžky
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραhttp://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς
Διαβάστε περισσότερα