experimentuj.eu MANUÁL EXPERIMENTŮ TATIANA HIKOVÁ LUDMILA POTOČÁKOVÁ PETR PUPÍK LUCIA RUMANOVÁ KITTI VIDERMANOVÁ
|
|
- Τρυφωσα Βασιλικός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MANUÁL EXPERIMENTŮ TATIANA HIKOVÁ LUDMILA POTOČÁKOVÁ PETR PUPÍK LUCIA RUMANOVÁ KITTI VIDERMANOVÁ
2 INTERAKTIVNÍ EXPERIMENTÁLNÍ WORKSHOP ŽILINA Interaktivní experimentální workshop je realizovaný v rámci projektu Podpora talentů v přírodovědných a technických oborech v slovensko-českém příhraničí (ITMS ), který je financován z Operačního programu přeshraniční spolupráce SR-ČR
3 Lektorský tým Petr Pupík vystudoval učitelství matematiky a deskriptivní geometrie na Přírodovědecké fakultě MU v Brně a nyní učí na matematickém gymnáziu zvaném Jaroška. Organizoval několik matematických soutěží pro středoškolské i základoškolské studenty (Brněnský korespondenční seminář, Kurz pro maturanty, Mathrace) a nyní organizuje logickou hru BRLOH a věnuje se dalším aktivitám spojených s talentovanými studenty. Ve volném čase se věnuje agility. Kitti Vidermanová vyštudovala odbor matematika informatika na Fakulte prírodných vied UKF v Nitre. Po úspešnej obhajobe dizertačnej práce s názvom Výučba stereometrie a rozvoj priestorovej predstavivosti začala svoju akademickú cestu na Katedre matematiky FPV UKF v Nitre. V rámci pedagogickej činnosti sa zaoberá využívaním IKT a manipulačných pomôcok vo vyučovaní matematiky. Jej vedecko výskumná činnosť je tiež zameraná na teóriu vyučovania matematiky. Vo voľnom čase najradšej číta, lúšti hlavolamy a krížovky a pravidelne športuje. Lucia Rumanová vyštudovala FMFI UK v Bratislave, odbor matematika deskriptívna geometria. V súčasnosti pôsobí na Katedre matematiky FPV UKF v Nitre. Jej pedagogická činnosť je zameraná na výučbu konštrukčnej geometrie a jej vedecko-výskumná činnosť je v oblasti teórie vyučovania matematiky a geometrie. Najradšej trávi voľný čas so svojou rodinou, pričom aktivity jej vymýšľajú hlavne jej dve deti. Tatiana Hiková ukončila štúdium na Pedagogickej fakulte v Banskej Bystrici aprobáciu matematika zemepis. Pracuje ako učiteľ na Gymnáziu, Hlinská 9 v Žiline. Žiakov motivuje k účasti na súťažiach geografická olympiáda, strojárska olympiáda, festival vedy a techniky a pod. Vo voľnom čase sa venuje krasokorčuľovaniu ako rozhodkyňa, v lete rada cestuje po Slovensku alebo sa venuje záhrade. Ľudmila Potočáková vyštudovala na Pedagogickej fakulte v Banskej Bystrici, odbor matematika a branná výchova. Štvrťstoročie pracuje na Gymnáziu na Hlinskej ulici v Žiline. Vo voľnom čase hráva bedminton, bicykluje, v zime rada lyžuje a pozerá romantické filmy. Jej obľúbená farba je zelená. 3
4 Úvod Existuje lepší cesta, jak se něco naučit, než si to vyzkoušet? Věda je nejlepším způsobem poznání světa a experiment je její nedílnou součástí. Praktické ukázky a řešení problémů ze všedního života žáků v matematice pomáhá si danou problematiku představit a je pro ně uchopitelnější. Zároveň praktické příklady probouzejí vrozenou zvídavost a žáky pozitivně motivují. Nepříznivá finanční situace na většině škol experimentování bohužel nepřeje, takže tato nenahraditelná část výuky často trpí. Učitelé se potýkají s nedostatkem pomůcek a prostředků k jejich koupi. Alternativním řešením jsou jednoduché experimenty nenáročné na materiály a přístupné pro všechny. V této příručce naleznete soubor takových pokusů s přehledným návodem. Některé z nich jsou snadné a nekladou velké požadavky na přípravu, jiné jsou pojaty jako otevřené úlohy a svou povahou si vyžadují čas a soustředění jak učitele, tak žáků. Doufáme, že všechny bez výjimky se stanou základem pro nové experimentování, podnětem k novému bádání a sdílení nápadů. Rádi bychom, abyste v nich našli povzbuzení ke své práci, a žáci prostředek, jak je může matematika bavit. Tým projektu 4
5 Keď sa niečo opakuje Tatiana Hiková Typ učiva: Vlastnosti funkcie sínus Časová náročnosť: 0 minút Forma: práca vo dvojici/diskusia Pomôcky a materiál: Pracovný list (príloha), kalkulačka, počítač Metodické pokyny: Pri goniometrických funkciách sa žiaci stretávajú s novou vlastnosťou periodickosť. Čo znamená táto vlastnosť a ako sa prejavuje si môžu odvodiť žiaci sami. Sledovaním údajov pomocou tabuliek č. a č. o vzťahoch medzi veľkosťou uhla a hodnotami funkcie sínus žiaci objavia vlastnosť - periodickosť. Učiteľ môže žiakom úlohu doplniť o ďalšie veľkosti uhlov (napr. 655,...) tak, aby sami zovšeobecnili, že daná vlastnosť platí pre ľubovoľné hodnoty uhla, ktoré sa líšia o celočíselné násobky 360. Žiaci prečítajú svoje formulácie v bode 5 a spolu s učiteľom upravia do správnej podoby. Riešenie: α (stupne) sin α -0,7-0,87-0,97 -,00-0,97-0,87-0,7-0,50 0,00 0,50 0,7 0,87 0,97,00 α (stupne) sin α 0,97 0,7 0,50 0,00-0,50-0,7-0,87 -,00-0,7-0,50 0,00 0,50 0,7,00 Tabuľka č (-45 ) = sin α α sin α α sin α α sin α α 40 - (-0 ) = = ,7-0,87 0, sin sin Tabuľka č
6 Tatiana Hiková Zovšeobecnenie: Periódou funkcie nazývame rozdiel medzi dvomi veľkosťami uhlov, ktorých funkčné hodnoty sa rovnajú. Pre funkciu sínus má perióda veľkosť 360 stupňov a platí: sin 0 k. 360 sin k Z 0 Poznámka: Pri sledovaní hodnôt v tabuľke, rozdelením tabuľky na kvadranty, zobrazením uhlov na jednotkovej kružnicu si môžu žiaci odvodiť kvadrantové vzťahy a pod.. Celé zadanie úlohy môže učiteľ upraviť aj pre uhly v oblúkovej miere. Zdroj: obrázok 6
7 Tatiana Hiková Pracovný list Téma: VLASTNOSTI GONIOMETRICKÝCH FUNKCIÍ Pracujte podľa pokynov, svoje výsledky konzultujte so susedom.. Pomocou kalkulačky alebo vhodného matematického softvéru vypočítajte hodnoty goniometrickej funkcie sínus (hodnoty zaokrúhlite na desatinné miesta) pre dané veľkosti uhlov a vpíšte do tabuľky. α (stupne) sin α α (stupne) sin α Tabuľka č.. Vyberte hodnotu funkcie sínus z tabuľky č., ktorá sa opakuje. Priraďte k nej všetky veľkosti uhlov a doplňte do tabuľky č.. Chýbajúcu veľkosť uhla pre vybranú hodnotu funkcie sa pokúste správne doplniť. Sin α α sin α α sin α α sin α α -35-0,7 Tabuľka č. 3. Vyznačte veľkosti uhlov z tabuľky č. pre vybranú hodnotu funkcie do jednotkovej kružnice. 4. Ak sa zobrazili uhly do toho istého bodu na kružnici, vypočítajte medzi nimi rozdiel zapíšte vzťah medzi funkčnými hodnotami. sin405 sin sin Pokúste sa sformulovať vlastnosť funkcie periodickosť (opakovanie) a matematicky ju zapísať.... 7
8 Goniometrické domino Tatiana Hiková Typ učiva: Funkcie/Hodnoty goniometrických funkcií Časová náročnosť: 0 minút Forma: práca v skupine 3-4 Pomôcky a materiál: Obdĺžniky 3cm x 6cm (30 kusov) rozdelené na štvorce, ktoré vystrihneme z kartónu alebo iného pevného materiálu (kocky hry DOMINO), písacie potreby, tabuľka hodnôt goniometrických funkcií, kalkulačka, pomocný papier. x = 0 0 rad sin x cos x Pracovný postup:. Vytvorte 30 dvojíc pre funkcie sínus a kosínus použitím všetkých hodnôt z tabuľky a využitím kvadrantových vzťahov: funkcia uhla = hodnota funkcie (napr. cos ).. Do obdĺžnika vpíšte na ľavú stranu (do ľavého štvorca) funkciu uhla a na pravú stranu (do pravého štvorca) hodnotu funkcie. Na jednej kocke by nemali byť zodpovedajúce si výsledky (viď ukážka). sin cos Hra sa môže začať. 8
9 Tatiana Hiková Metodické pokyny: Žiaci veľmi neradi drilujú nové poznatky aj napriek tomu, že im umožňujú zrýchliť ich činnosť. Hra je jeden zo spôsobov, ako môžeme žiakov nenásilnou formou naviesť na túto činnosť. Hru môžeme so žiakmi tvoriť, ak nadobudli poznatky o veľkosti uhla, jednotkovej kružnici a hodnotách funkcií sínus a kosínus. Učiteľ plní úlohu pozorovateľa a koordinátora činnosti žiakov. Keďže počet kociek je dosť veľký a výpočty by mohli zabrať veľa času, učiteľ môže skupine pomôcť nápovedou ako využiť jednotkovú kružnicu. Pri tvorbe kociek hry DOMINO si žiaci overia, že funkčné hodnoty pre funkcie sínus a kosínus sa opakujú a môžu ich priradiť niekoľkokrát. Vytvorenú hru môžeme na vyučovaní používať v rámci rozcvičky, pri skúšaní (na rýchlosť a správnosť), pričom vytvorené zadania vymeníme medzi dvojicami. Poznámka: pravidlá pre hru DOMINO 9
10 Obraz plný matematických funkcií Tatiana Hiková Typ učiva: Grafy funkcií Forma: individuálna práca ukážka + domáca príprava Pomôcky a materiál: Priesvitné fólie so základnými grafmi matematických funkcií, fólia so sústavou súradníc, papier, farbičky (resp. iné pomôcky pre použitie rôznych výtvarných techník), podľa možností počítač s vhodným softvérom napr. Cabri geometry. Pracovný postup:. Uložte fólie s grafmi matematických funkcií na fóliu so sústavou súradníc tak, aby vznikol obrázok.. Z polohy grafu určte predpisy použitých funkcií (využite vedomosti o zmene predpisu funkcie pri posúvaní grafu). 3. Obrázok prekreslite na papier a umelecky dotvorte. 0
11 Tatiana Hiková Metodické pokyny: Pojem funkcia a jej graf je pre žiakov abstraktný aj napriek tomu, že sa každodenne stretávajú s množstvom obrázkov napr. reklamných plagátov či upútaviek, kde môžu nájsť grafy funkcií. Tvorbu obrázku je vhodné zaradiť do vyučovacieho procesu, keď žiaci poznajú niekoľko typov funkcií. Učiteľ na hodine vystupuje v úlohe poradcu konzultanta. Žiaci posunom grafov sledujú zmeny súradníc bodov zvolenej funkcie na grafe a zapisujú si zmeny koeficientov v predpise funkcie.. d y a. f bx c Práca s fóliami umožní žiakom rýchle upraviť alebo meniť vzhľad obrázku, vytvárať v krátkom čase nové obrázky pomocou tých istých grafov funkcií a uvedomiť si zmenu predpisu funkcie. Tvorba obrázku je vhodným spestrením vyučovacieho procesu, ktorá rozvíja predstavivosť a kreativitu žiakov. Motiváciou pre tvorbu obrázka môžu byť rôzne udalosti: -Obrázok pre učiteľa (Deň učiteľov) - Obrázok pre moju mamu, otca (Deň matiek, otcov) - Logo školy - Logo mojej budúcej firmy a pod. Súradnice a grafy
12 Tatiana Hiková
13 Tatiana Hiková 3
14 Tatiana Hiková 4
15 Tatiana Hiková 5
16 Tatiana Hiková 6
17 Tatiana Hiková 7
18 Tatiana Hiková 8
19 Pojmová mapa Ludmila Potočáková Typ učiva: Štatistika Časová náročnosť: 5-30 minút Forma: práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: kartičky s pojmami, kancelársky papier, obyčajná ceruzka, pero, farbičky, pravítko A Š 3 4 Pracovný postup:. Štatistické pojmy, vzorce, grafy uvedené v tabuľke pomocou kartičiek usporiadajte do pojmovej mapy na tému ŠTATISTICKÝ SÚBOR: štatistický súbor pohlavie variačné rozpätie medián charakteristika variability výška žiaka smerodajná odchýlka modus charakteristika polohy farba očí spojnicový diagram rozptyl štatistický znak známka z písomky polygón početnosti histogram kvantitatívny znak harmonický priemer stĺpcový diagram kvalitatívny znak aritmetický priemer výsekový diagram xmax x min n x.x... x n dĺžka chodidla geometrický priemer kruhový diagram x n i x x i x n n... x n n xi x i n x x x3... xn n n n x i i n n i xi n x i n i Január Február Marec Apríl Máj Jún Sever Juh Východ Západ 4% 4% 6% 0% 36% Január Február Marec Apríl Máj Jún Západ Východ Juh Sever. Schému vytvorenú z kartičiek prekreslite na kancelársky papier a výtvarne dotvorte. 9
20 Ludmila Potočáková Metodické pokyny: (teórie, pozorovaní.). Učiteľ rozdelí žiakov do dvojíc, rozdá dvojiciam zadanie úlohy, kartičky s pojmami, kancelársky papier a stanoví časový limit.. Žiaci pracujú vo dvojiciach. Najskôr kartičky poukladajú na lavicu tak, aby jednotlivé pojmy navzájom súviseli. Vzniknutú pojmovú mapu prekreslia na kancelársky papier a výtvarne ju dotvoria. 3. Po uplynutí časového limitu učiteľ vedie so žiakmi rozhovor o riešení úlohy. Pýta sa na vzťahy medzi jednotlivými pojmami. Prostredníctvom interaktívnej tabule premietne svoju pojmovú mapu, aby si ju žiaci mohli porovnať so svojim riešením. 4. Učiteľ pozbiera žiacke riešenia, ohodnotí ich známkou alebo bodovou hodnotou. Originálne pojmové mapy vystaví na matematickej nástenke. Poznámka: Aktivita vhodná pre fixačnú etapu vyučovacieho procesu zameranú na systematizáciu a utvrdzovanie pojmov v danom tematickom celku. Pojmové mapy možno vytvárať v ktoromkoľvek tematickom celku. Umožňujú aj slabším žiakom získať pozitívne hodnotenie v matematike. Ukážka žiackej práce: Pojmová mapa (M. Strýčková, III.E, Gymnázium, Žilina): TELESÁ Mnohosteny Rotačné telesá Hranol y Ihlany Bez podstá vy Jedna podstava Dve podstav y Podstava v tvare Podstava v tvare Podstav a v tvare Podstava v tvare Podstava v tvare Podstava v tvare Guľa Guľový odsek Povrch v tvare guľovéh o Guľová vrstva Zrezaný kužeľ Kužeľ Rôzna veľkosť podstáv Pravidelné Nepravidelné Šikmé (Kosé) Kolmé 0 Plášť v tvare kruhové ho výseku Valec Rovnaká veľkosť podstáv
21 Obsah rovinného útvaru Pomôcky a materiál: Ludmila Potočáková Typ učiva: Planimetria Časová náročnosť: 40min Forma: práca vo dvojiciach pracovný list č., kancelársky papier, ceruzka, pravítko, farbičky, pero, kalkulačka Pracovný postup:. Vypočítajte obsah obrazca zobrazeného na obrázku č... Zostrojte obrazec zmenšený v pomere :. 3. Vypočítajte obsah zmenšeného obrazca a porovnajte jeho hodnotu s obsahom pôvodného. Zdôvodnite svoje zistenie. Metodické pokyny:. Učiteľ rozdelí žiakov do dvojíc, rozdá im zadanie úlohy a pracovný list č... Žiaci pracujú vo dvojiciach a riešia jednotlivé čiastkové úlohy. Obrázok č. 3. Po uplynutí časového limitu učiteľ vedie so žiakmi rozhovor o riešení úlohy. Pýta sa na hodnotu obsahu daného obrazca, hodnotu obsahu zmenšeného obrazca a vzájomný vzťah medzi nimi. Spoločne so žiakmi zhrnie získané poznatky a vyvodí pravidlo, že pomer obsahov dvoch podobných útvarov sa rovná druhej mocnine koeficienta podobnosti. 4. Učiteľ pozbiera žiacke riešenia, ohodnotí ich známkou alebo bodovou hodnotou. Poznámka: Aktivita vhodná pre expozičnú etapu vyučovacieho procesu. Aktivizuje žiakov k objavovaniu súvislostí medzi dĺžkami strán, obvodmi a obsahmi podobných útvarov.
22 Ludmila Potočáková Typ učiva: Planimetria Doplňovačka Časová náročnosť: 30min Forma: práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: pracovné listy č.3a, č.3b, ceruzka, pravítko, farbičky, pero Pracovný postup:. K pojmom uvedeným v pracovnom liste č.3a priraďte ich správnu charakteristiku označenú A. až CC a vytvorte z nich doplňovačku s tajničkou: GEOMETRICKÉ ÚTVARY V ROVINE.. Do pracovného listu č.3b nakreslite schému vlastnej doplňovačky. Ku každému použitému pojmu uveďte do stĺpca CH jeho charakteristiku označenú písmenami A. až CC. Pojmy: planimetria, Eulerova veta, Pythagorova veta, stredová súmernosť, osová súmernosť, otočenie, posunutie, rovnobežné priamky, rôznobežné priamky, totožné priamky, štvoruholník, kružnica, štvorec, trojuholník, kosoštvorec, kosodĺžnik, lichobežník, obdĺžnik, konvexný útvar, nekonvexný útvar, dĺžka úsečky, ortocentrum, ťažnica, výška, ťažisko, vpísaná kružnica, opísaná kružnica, Thalesova kružnica, ostrouhlý, tupouhlý, pravouhlý, rovnoramenný, rovnostranný, všeobecný, pravidelný, nepravidelný Charakteristiky pojmov: G E 3 O 4 M 5 E 6 T 7 R 8 I 9 C 0 K É A. Dve priamky v rovine, ktoré nemajú spoločný bod, sú navzájom... B. Dve priamky v rovine, ktoré majú všetky body spoločné, sú navzájom... C. Dve priamky v rovine, ktoré majú práve jeden spoločný bod, sú navzájom... D. Útvar, v ktorom každá úsečka vytvorená z ľubovoľných dvoch bodov útvaru patrí do daného útvaru, sa nazýva... E. Vzdialenosť krajných bodov úsečky. F. Spojnica vrcholu a stredu protiľahlej strany trojuholníka. G. Množina bodov, z ktorých vidno danú úsečku pod pravým uhlom. H. Rovinný útvar vytvorený prienikom troch rôznobežných polovín. I. Trojuholník, ktorého všetky vnútorné uhly majú veľkosť menšiu ako 90 stupňov, sa nazýva... J. Trojuholník, ktorého dve strany majú rovnakú veľkosť, sa nazýva... K. Trojuholník, ktorého všetky vnútorné uhly majú veľkosť 60 stupňov, sa nazýva... L. Kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka, sa nazýva... Ú 3 T 4 V 5 A 6 R 7 Y 8 V 9 R 0 O V I 3 N 4 E
23 Ludmila Potočáková M. Kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán trojuholníka, sa nazýva... N. Bod, v ktorom sa pretínajú ťažnice trojuholníka. O. N-uholník so štyrmi vrcholmi. P. Pravouholník, ktorý nie je štvorec. Q. Rovnobežník, ktorého všetky strany sú rovnako dlhé, ale nie sú na seba kolmé. R. Rovnobežník, ktorého dve protiľahlé strany sú rovnobežné, ale nie sú rovnako dlhé. S. Zhodné zobrazenie jednoznačne dané bodom a uhlom. T. Zhodné zobrazenie jednoznačne dané smerom a veľkosťou. U. Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevne zvoleného bodu konštantnú vzdialenosť. V. N-uholník, ktorého všetky strany a vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť. W. Veta, ktorá znie: Obsah štvorca nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu úsekov na prepone vytvorených výškou. X. Bod, v ktorom sa pretínajú výšky trojuholníka. Y. Bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka. Z. Bod, v ktorom sa pretínajú osi vnútorných uhlov trojuholníka. AA. Veta, ktorá znie: Obsah štvorca nad preponou sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad odvesnami. BB. Geometria v rovine. CC. Geometria v priestore. Metodické pokyny:. Učiteľ rozdelí žiakov do dvojíc, rozdá im zadanie úlohy a pracovné listy.. Žiaci pracujú vo dvojiciach a z daných pojmov vytvárajú doplňovačku. 3. Po uplynutí časového limitu učiteľ vedie so žiakmi rozhovor o riešení úlohy. Pýta sa na použité pojmy a ich charakteristiky. 4. Učiteľ pozbiera žiacke riešenia, ohodnotí ich známkou alebo bodovou hodnotou. Poznámka: Aktivita vhodná pre fixačnú etapu vyučovacieho procesu zameranú na systematizáciu a utvrdzovanie pojmov v akomkoľvek tematickom celku, napr. Planimetria, Postupnosti,... Tvorbu doplňovačky môžeme zadať aj náročnejším spôsobom. Žiakom oznámime len názov tematického celku, z ktorého majú použiť jednotlivé pojmy a počet riadkov doplňovačky. Pojmy a ich charakteristiky si žiaci z daného tematického celku vyberú sami. 3
24 Ludmila Potočáková Ukážka žiackej práce: Doplňovačka na tému KUŽEĽOSEČKY (P. Seidl, III.F, Gymnázium, Žilina):. Priamka, ku ktorej sa hyperbola približuje.. Priamka, ktorá má s kužeľosečkou dva rôzne spoločné body. 3. Spoločný bod priamky a kužeľosečky nájdeme pomocou.. rovníc. 4. Množina bodov, ktorá má v rovine od dvoch rôznych bodov F, F stály súčet vzdialeností a. 5. V elipse vzťah medzi dĺžkami polosí a, b vyjadruje..veta Ako sa volá priamka, ktorá má s kužeľosečkou práve jeden spoločný bod? 7. V bode [m, n] sú premenné m, n stredové Premennými F, F označujeme Vyjadrenie geometrických útvarov pomocou rovníc nazývame..vyjadrenie. 0. Písmenami A,B,C,D označujeme hlavné a vedľajšie.... Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od dvoch rôznych pevne stanovených bodov stály rozdiel vzdialeností a.. V parabole vzdialenosť ohniska a riadiacej priamky voláme Zápisom {X E ; Xd=XF, Fd} označujeme množinu bodov nazývanú Ako sa v elipse nazýva vzdialenosť ohniska od jej stredu? 5. Priamka, ktorá obsahuje iba vonkajšie body kužeľosečky sa nazýva.... a s y m p t o t a. s e č n i c a 3 s ú s t a v a 4 e l i p s a 5 p y t a g o r o v a 6 d o t y č n i c e 7 s ú r a d n i c e 8 o h n i s k á 9 a n a l y t i c k é 0 v r ch o l y h y p e r b o l a p a r a m e t e r 3 p a r a b o l a 4 e x c e n t r i c i t a 5 n e s e č n i c a 4
25 Ludmila Potočáková Typ učiva: Stereometria Výrobná cena Časová náročnosť: 40 min Forma: práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: pracovný list č.4, hárky papiera A4, kalkulačka, pero Pracovný postup: Na obrázku č. je zobrazený robot, ktorý bol zhotovený z viacerých materiálov. Hlava je vyrobená z plastovej loptičky, telo v tvare zrezaného kužeľa a chodidlá sú z mäkkého dreva, končatiny z kovovej ohybnej rúrky. Jednotlivé časti sú pospájané L-kovými plieškami (6 kusov) a skrutkami (3 kusov). Obrázok č. (M. Baránková, III.E, Gymnázium, Žilina) Zistite, za koľko eur sa dá vyrobiť robot na obrázku č.. Za vykonanú prácu účtujte 5 eur na hodinu. Ceny jednotlivých materiálov sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. Názov materiálu množstvo cena Plastová loptička kus,50 eur Kovová ohybná rúrka... Φ 4 cm m 6 eur Kovová ohybná rúrka... Φ 3 m m 4 eurá Mäkké drevo m 3 00 eur Spojovacie L-kové pliešky ks 0,0 eur Skrutky ks 0,0 Strieborná farba (spotreba m 0, litra) liter 8 eur Metodické pokyny:. Učiteľ rozdelí žiakov do dvojíc, rozdá im zadanie úlohy a pracovný list č. 4.. Žiaci pracujú vo dvojiciach. Z údajov uvedených v pracovnom liste vypočítajú objem alebo povrch jednotlivých častí robota a na základe uvedených cien v tabuľke navrhnú jeho výrobnú cenu. 5
26 Ludmila Potočáková 3. Po uplynutí časového limitu učiteľ vedie so žiakmi rozhovor o riešení úlohy. Pýta sa na postup výpočtu ceny robota a jej výslednú hodnotu. Spoločne so žiakmi zhrnie získané poznatky o tvorbe ceny akéhokoľvek výrobku. 4. Učiteľ pozbiera žiacke riešenia, ohodnotí ich známkou alebo bodovou hodnotou. Poznámka: Aktivita vhodná pre fixačnú etapu vyučovacieho procesu zameranú na spájanie matematických poznatkov s reálnym životom a rozvoj matematickej gramotnosti. Riešenie vzorovej úlohy z praxe je prípravnou fázou pre riešenie komplexnejšej projektovej úlohy zameranej na výrobu vlastného predmetu (bábky, kresla,...) a výpočtu jeho ceny. Ukážka žiackej práce: Rozpočet na výrobu a návrh ceny darčeka (M. Strýčková, III.E, Gymnázium, Žilina) farebné fixky červená a modrá... fixka zatrie cca m (0000cm )... zatrela som cca 50 cm... fixky...0,075 = 0,5 žltá... fixka zatrie cca m (0000cm ) t.j. 40 hodnoty fixky... 3, :40 =0, zatrela som cca 0 cm t.j. hodnoty fixky... 3,00...3:000 = 0, lepiaca páska dĺžka... 0 m (000cm)/,50 použitých cca 5 cm hodnoty pásky...,50 :80 = 0,03 tvrdý papier 0 ks (A3)...,00 použité výkresy...cena ks... :0 = 0,... cena ks....0,= 0, kúrenie 333 /rok (vykurovacia sezóna 7 mesiacov = rok)...00 m izba...0m...333:00 = 6,67.0 = 33,4 6 hodín práce...33,4:7 = 9, :30 = 0,64 :4 = 0,07. 6 = 0,6 amortizácia počítača cena PC prac. dní priemerne 8h práce/deň el. energia spotrebovaná počítačom PC vydrží asi 3 roky... cena el. energie za kwh , = 3,33 7 spotreba PC...0.,7 = 374 Wh = 0,98 8 = 0,3 = 0,374 kwh...0,374. 0,04 = 0,076 celková suma použitých materiálov a energií...0,749 rabat ručná práca...40%...0,749.,4 =,0486 -> celková suma darčeka 6
27 Tvorba matematickej úlohy Ludmila Potočáková Typ učiva: Štatistika Časová náročnosť: 40min/ vyuč. hod. Forma: práca vo dvojici Pomôcky a materiál: počítač, kancelársky papier, pero, kalkulačka Pracovný postup:. Nájdite štatistický súbor vhodný na vytvorenie matematickej úlohy zameranej na využitie vzťahov pre aritmetický alebo geometrický alebo harmonický priemer. Vybraný štatistický súbor (jednu tabuľku) odfoťte pomocou klávesy PRINT SCREEN a uveďte adresu webovej stránky, z ktorej ste ho získali.. Pre nájdený štatistický súbor vymyslite zadanie matematickej úlohy zameranej na využitie vzťahov pre aritmetický alebo geometrický alebo harmonický priemer. 3. Vytvorenú úlohu vzorovo vyriešte. Metodické pokyny:. vyučovacia hodina. Učiteľ rozdelí žiakov do dvojíc. Na stôl rozloží lístočky so zadaniami úloh.. Jeden z dvojice žiakov vylosuje zadanie, v ktorom bude uvedené, či dvojica vytvorí úlohu zameranú na aritmetický alebo geometrický alebo harmonický priemer. 3. Dvojice žiakov prostredníctvom počítačov prezerajú webové stránky a hľadajú vhodný štatistický súbor pre vytvorenie vlastnej úlohy, ktorý odfotia a vložia do riešenia vlastnej úlohy. Zostavia zadanie matematickej úlohy a vyriešia ju. 4. Učiteľ chodí pomedzi žiakov, sleduje ich činnosť a konzultuje s nimi vzniknuté problémy.. vyučovacia hodina. Jednotlivé dvojice prostredníctvom interaktívnej tabule prezentujú pred ostatnými spolužiakmi vytvorené úlohy.. Ostatní žiaci sledujú prezentácie a prideľujú im body od po 5 podľa toho, ako ich úloha zaujala (originalita, spracovanie, náročnosť). 3. Učiteľ vyhodnotí prácu dvojíc na základe žiackeho i vlastného bodovania. 7
28 Ludmila Potočáková Poznámka: Aktivita vhodná pre fixačnú etapu vyučovacieho procesu, zameranú na porozumenie vzorcom pre výpočet rôznych matematických hodnôt, napr. v Planimetrii výpočet obsahov, objemov, v Trigonometrii použitie sínusovej, kosínusovej vety, v Stereometrii výpočet objem, povrchov,... Pre urýchlenie práce žiakov na vyučovacej hodine môžeme štatistické súbory vhodné na spracovanie pripraviť dopredu sami, žiaci si ich vylosujú a spracujú do matematickej úlohy. Z vytvorených úloh môžeme zostaviť Zbierku úloh, ktorú budú žiaci využívať na opakovanie tematického celku Štatistika. Ukážky žiackych prác: A) Zadanie úlohy na aritmetický priemer (B. Marčanová, IV.A, Gymnázium Žilina): V päťčlennej rodine zvyknú každé ráno raňajkovať nejaký druh pečiva. Otec zje 3 krajce bieleho chleba, z ktorých každý má hmotnosť 50g. Mame stačia krajce celozrnného chleba, z ktorých má každý takisto 50 gramov. Syn zje jednu 00 gramovú bielu bagetu a dve dcéry po 5 gramové grahamové rožky. Vypočítajte podľa pridanej tabuľky (Obrázok č.), akú priemernú kalorickú hodnotu skonzumuje táto päťčlenná rodina za jedno ráno. B) Zadanie úlohy na geometrický priemer (D. Kordovaníková, IV.A, Gymnázium Žilina): Obrázok č. Inflácia je jedným z najzávažnejších problémov, s ktorými bojujú vyspelé trhové ekonomiky. Pod pojmom inflácia rozumieme zníženie kúpnej sily peňažnej jednotky, ktoré sprevádza zvýšenie cenovej hladiny trvalého charakteru. Medzimesačná inflácia hovorí, o koľko sa zmenila cenová hladina v krajine v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom, t.j. ak v vo februári 0 dosiahla medzimesačná inflácia hodnotu 0,3 %, znamená to, že ceny oproti januáru 0 stúpli o 0,5 %. 8
29 Ludmila Potočáková V nasledujúcej tabuľke (Obrázok č. ) je uvedený vývoj medzimesačnej inflácie na Slovensku v roku 0. Vypočítajte priemernú medzimesačnú infláciu v roku 0. Obrázok č. Zadanie úlohy na harmonický priemer (A. Jakub, IV.A, Gymnázium Žilina): Firma Alphacool vyrába 3 modely vodných púmp. Model EheimCompact prečerpá l vody za 6 sekúnd, model Laing D5 V Vario prečerpá l vody za,4 sekundy a model Eheim AGB Station taktiež prečerpá l vody za 6 sekúnd (Obrázok č. 3). A) Vypočítajte, aký je priemerný čas potrebný na prečerpanie jedného litra vody. B) Určte, koľko vody prečerpajú všetky 3 pumpy spolu za 4 hodín. Obrázok č.3 9
30 Spracovanie štatistického súboru Ludmila Potočáková Typ učiva: Štatistika Časová náročnosť: 40min/ vyuč. hod. Forma: skupinová práca Pomôcky a materiál: počítač, kancelársky papier, pero, kalkulačka, krajčírsky meter, váha Pracovný postup:. Zvoľte dva kvantitatívne štatistické znaky a zistite ich hodnoty v danom štatistickom súbore (žiaci vlastnej triedy).. Zostrojte štatistický diagram pre obidva zvolené znaky. 3. Vypočítajte koeficient korelácie pre zvolené znaky. 4. Vyhodnoťte svoje zistenie. Metodické pokyny:. vyučovacia hodina. Učiteľ rozdelí žiakov do štvorčlenných skupín a oznámi zadanie úlohy.. Žiaci v každej skupine si rozdelia čiastkové úlohy, ktoré budú plniť: zistiť hodnoty zvolených znakov u jednotlivých žiakov (meranie, váženie), vyplniť tabuľky početnosti, vypočítať koeficient korelácie, zostrojiť grafy pomocou počítača, sumarizovať riešenie projektovej úlohy. 3. Učiteľ chodí pomedzi žiakov, sleduje ich činnosť a usmerňuje prácu jednotlivých skupín.. vyučovacia hodina. Každá skupina prostredníctvom interaktívnej tabule prezentuje pred ostatnými spolužiakmi výsledky riešenia projektovej úlohy.. Učiteľ vyhodnotí prácu skupín, upozorní na pozitíva i negatíva. Riešenia skupín ohodnotí. Poznámka: Aktivita vhodná pre fixačnú etapu vyučovacieho procesu zameranú na porozumenie vzorcom a výsledkom štatistických výpočtov. Žiakov opísaná aktivita baví, dokážu byť tvoriví a obohatiť i učiteľa o nové poznatky. 30
31 Ludmila Potočáková Pracovný list č. Pojmová mapa štatistický súbor pohlavie variačné rozpätie medián Charakteristika variability výška žiaka smerodajná odchýlka modus charakteristika polohy farba očí spojnicový diagram rozptyl štatistický znak známka z písomky polygón početnosti histogram kvantitatívny znak harmonický priemer stĺpcový diagram xmax x min kvalitatívny znak aritmetický priemer výsekový diagram n x.x...x n dĺžka chodidla geometrický priemer kruhový diagram n i x i x n n i x i x n n n x i i n x i n i x x n... x n x x x3 n... x n n i n x i % 6% Sever Juh Východ Západ 4% 0% Západ Východ Juh Sever Január Február Marec Apríl Máj Jún 36% Január Február Marec Apríl Máj Jún 3
32 Ludmila Potočáková Pracovný list č. Obsah rovinného útvaru 3
33 Ludmila Potočáková Pracovný list č. 3a Doplňovačka Pojmy: planimetria rôznobežné priamky lichobežník Eulerova veta totožné priamky obdĺžnik Pythagorova veta štvoruholník konvexný útvar stredová súmernosť kružnica nekonvexný útvar osová súmernosť štvorec dĺžka úsečky otočenie trojuholník ortocentrum posunutie kosoštvorec ťažnica rovnobežné priamky kosodĺžnik výška ostrouhlý rovnostranný ťažisko tupouhlý všeobecný vpísaná kružnica pravouhlý pravidelný opísaná kružnica rovnoramenný nepravidelný Thalesova kružnica Charakteristiky pojmov: DD. Dve priamky v rovine, ktoré nemajú spoločný bod, sú navzájom... EE. Dve priamky v rovine, ktoré majú všetky body spoločné, sú navzájom... FF. Dve priamky v rovine, ktoré majú práve jeden spoločný bod, sú navzájom... GG. Útvar, v ktorom každá úsečka vytvorená z ľubovoľných dvoch bodov útvaru patrí do daného útvaru, sa nazýva... HH. Vzdialenosť krajných bodov úsečky. II. Spojnica vrcholu a stredu protiľahlej strany trojuholníka. JJ. Množina bodov, z ktorých vidno danú úsečku pod pravým uhlom. KK. Rovinný útvar vytvorený prienikom troch rôznobežných polovín. 33
34 Ludmila Potočáková LL. Trojuholník, ktorého všetky vnútorné uhly majú veľkosť menšiu ako 90 stupňov, sa nazýva... MM. Trojuholník, ktorého dve strany majú rovnakú veľkosť, sa nazýva... NN. Trojuholník, ktorého všetky vnútorné uhly majú veľkosť 60 stupňov, sa nazýva... OO. Kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka, sa nazýva... PP. Kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán trojuholníka, sa nazýva... QQ. Bod, v ktorom sa pretínajú ťažnice trojuholníka. RR. N-uholník so štyrmi vrcholmi. SS. Pravouholník, ktorý nie je štvorec. TT. Rovnobežník, ktorého všetky strany sú rovnako dlhé, ale nie sú na seba kolmé. UU. Rovnobežník, ktorého dve protiľahlé strany sú rovnobežné, ale nie sú rovnako dlhé. VV. Zhodné zobrazenie jednoznačne dané bodom a uhlom. WW. Zhodné zobrazenie jednoznačne dané smerom a veľkosťou. XX. Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevne zvoleného bodu konštantnú vzdialenosť. YY. N-uholník, ktorého všetky strany a vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť. ZZ. Veta, ktorá znie: Obsah štvorca nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu úsekov na prepone vytvorených výškou. AAA. Bod, v ktorom sa pretínajú výšky trojuholníka. BBB. Bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka. CCC. Bod, v ktorom sa pretínajú osi vnútorných uhlov trojuholníka. DDD. Veta, ktorá znie: Obsah štvorca nad preponou sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad odvesnami. EEE. Geometria v rovine. FFF. Geometria v priestore. 34
35 Ludmila Potočáková Pracovný list č. 3b Doplňovačka Č T CH G E 3 O 4 M 5 E 6 T 7 R 8 I 9 C 0 K É Ú 3 T 4 V 5 A 6 R 7 Y 8 V 9 R 0 O V I 3 N 4 E 35
36 Ludmila Potočáková Pracovný list č. 4 Výrobná cena 36
37 3D zrcadla Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj prostorové představivosti Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Je dána krychle krychliček, na obrázku ji máte zobrazenou po jednotlivých vrstvách. To, jak jsou jednotlivé vrstvy uspořádány, vidíte na modelu krychle. V některých krychličkách jsou oboustranná obdélníková zrcadla, jejichž jedna strana má délku stěnové úhlopříčky a druhá strana má délku strany krychličky. Zrcadlo je znázorněno tak, že bílá část je vždy blíže k nám než černá část. Z červeného bodu vyšleme parsek směrem od nás. Určete, v jakém místě vyletí parsek ven. 37
38 Barevné dělení Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj logického myšlení Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Rozdělte následující pole složené z 4 čtverců na čtyři shodné části tak, aby každá část obsahovala právě jednu bublinu každé barvy. 38
39 Dělení obrazců Typ učiva: Úvod geometrie Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Petr Pupík Dané obrazce rozdělte na n shodných částí. 39
40 Nápisy Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj prostorové představivosti Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Dokážete přečíst nápisy? 40
41 Netradiční křížovka Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj logického myšlení Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Do každého políčka doplňte jedno z písmen z nabídky tak, aby slova čtená po řádcích dávala smysl. a) písmena ASKLLMOPSSTT b) písmena ABDEJKLNOTVZ c) písmena ACDEIKLORTUV 4
42 Řady Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj logického myšlení Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Doplňte následující či poslední člen řady: 4
43 Zrcadla Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj logického myšlení Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Je daná soustava zrcadel, paprsek (směr šipky) a terč. Přidejte do soustavy jedno zrcadlo a dvě zrcadla otočte, aby paprsek prošel přes všechna zrcadla do terče. 43
44 Šifry Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj logického myšlení Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Dokážete přečíst uvedené nápisy? 44
45 K. Vidermannová, L. Rumanová Zápis kockových telies Typ učiva: Stavby telies zo stavebnicových kociek Časová náročnosť: x 45 minút Forma: skupinová práca/práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: kocky (plastové alebo drevené), papier, písacie potreby. Pracovný postup: V úvode hodiny si so žiakmi vysvetlíme, aké telesá považujeme za kockové telesá, a aké nie. Pod označením kockové teleso budeme rozumieť teleso zložené z konečného počtu zhodných kociek tak, že každá kocka je spojená s aspoň jednou ďalšou kockou celou stenou. Žiakom ukážeme dve stavby jedna stavba je kockové teleso, druhá stavba nie je kockové teleso. kockové teleso teleso, ktoré nenazývame kockové teleso Žiakom postupne na úlohách vysvetlíme rôzne záznamy kockových stavieb:. Obrázok zobrazený vo voľnom rovnobežnom premietaní. (Nebudeme ich učiť presné pravidlá voľného rovnobežného premietania). Plán a úplný plán. 3. Kódovaný zápis. 4. Zobrazením pohľadov spredu nárys, zhora pôdorys, zboku - bokorys. Úloha Postavte teleso dané na obrázku. Najprv spočítajte, koľko kociek budete na stavbu potrebovať. 45
46 K. Vidermannová, L. Rumanová Problémová situácia Všetci žiaci majú postavenú budovu. Nechajme ich porozmýšľať, ako by danú budovu popísali tak, aby ju bez videnia predlohy mohli spolužiaci nakresliť očakávané odpovede sú: má tri poschodia; prvé a druhé je rovnaké, ale tretie má už o šesť kociek menej; je široká šesť kociek; atď... Žiakov navedieme správnymi otázkami na plán stavby akoby sme obkreslili kockové teleso, a vyznačíme v ňom kocky prvého poschodia. Potom do každého štvorčeka napíšeme, koľko kociek sa nachádza v stĺpci nad ním a) obkreslíme kockové teleso b) vyznačíme štvorčeky na základe kociek v prvom poschodí telesa c) do jednotlivých štvorčekov vyznačíme, koľko kociek je v stĺpci nad ním Úloha Sú dané telesá a plány. Priraď k plánom farbu telesa, ktoré popisuje Zelené teleso 3 plán č., 3 3 Ružové teleso plán č., 3 Modré 3 teleso Žlté teleso Červené teleso 3 plán č. 3, 3 3 plán č. 4, plán č. 5, farba farba farba farba farba 46
47 K. Vidermannová, L. Rumanová Riešenie plán č. modrá, plán č. červená, plán č. 3 ružová, plán č. 4 zelená, plán č. 5 žltá. Úloha Podľa daného plánu postavte stavbu. 3 Riešenie Úloha Postavte teleso podľa predlohy. Je táto stavba správne zapísaná nasledovným plánom? Ak nie, aký plán priradíme tejto stavbe? 3 3 Riešenie Nie je správne zapísaná. Učiteľ prediskutuje so žiakmi, prečo daný plán nie je správny. Pri stavbách takéhoto typu vidíme, že je veľmi vhodné využiť program, keďže stavať stavebnicové kocky vo vzduchu nie je možné bez zlepenia jednotlivých kociek. Pre stavby takéhoto typu zavedieme úplný plán - plán podľa poschodia. Pre jednotlivé stĺpce namiesto počtu kociek v stĺpci zapíšeme, na ktorom poschodí máme kocku. Plán telesa bude,,3,3,,3 47
48 K. Vidermannová, L. Rumanová Stavebný diktát Učiteľ diktuje žiakom pokyny na stavbu telies, a žiaci stavajú podľa jeho pokynov: Polož kocku, choď doprava, polož kocku, choď doprava, polož kocku, choď dozadu, polož kocku, choď o poschodie vyššie, polož kocku. Na skrátenie zápisu budeme používať kódovaný zápis telesa, pričom jednotlivé kódy sú: polož kocku choď dozadu ( od seba) choď dopredu ( k sebe) choď doľava choď doprava choď hore ( o poschodie vyššie) # choď dole ( o poschodie nižšie) Úloha Postavte kockové teleso dané kódovaným zápisom a zapíšte jeho plán. Riešenie Plán telesa: Vidíme, že je to teleso zadané v diktáte. Pri tvorbe diktátu učiteľ nesmie zabúdať, že žiaci nemôžu pridávať kocku pod plán, ani mimo plánu. Je vhodné žiakom presne určiť pozíciu na pláne, kde majú začať stavať. Úloha K danému kockovému telesu priraďte jeho kódový zápis. Riešenie Existuje veľa riešení tejto úlohy, jedným z nich je napr. zápis ##. 48
49 K. Vidermannová, L. Rumanová Úloha Ktorý z kódovaných zápisov a) d) nepopisuje teleso, ktorého úplný plán je,3, a) c) b) # # d) # Riešenie: Zápis c) nepopisuje teleso dané plánom. Úloha Niektoré z nasledujúcich zápisov popisujú rovnaké telesá. Zistite, ktoré sú to: a), d), b), e), c), f). Riešenie: Zápisy a) a b) popisujú rovnaké teleso, zápisy d) a e) popisujú rovnaké teleso, Úloha Postavte teleso dané úplným plánom. Nakreslite jeho pôdorys pohľad zhora na teleso, nárys pohľad spredu na teleso a bokorys pohľad sprava na teleso. Riešenie,, Nakreslíme jednotlivé pohľady na teleso: pôdorys nárys bokorys 49
50 K. Vidermannová, L. Rumanová Úloha Postavte teleso dané nárysom, pôdorysom, bokorysom. Načrtnite toto teleso. Riešenie nárys pôdorys bokorys Úloha Postavte teleso podľa daných pohľadov. Koľko najmenej kociek potrebujete? Koľko najviac kociek môžete použiť? nárys pôdorys bokorys 50
51 Soma kocka K. Vidermannová, L. Rumanová Typ učiva: Stavby telies zo stavebnicových kociek Časová náročnosť: x 45 minút Forma: skupinová práca/práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: kocky (plastové alebo drevené), papier, písacie potreby, lepiaca páska, nožnice. Pracovný postup: Úloha Nájdite všetky rôzne kockové telesá zložené z troch zhodných kociek. Teleso zložené z troch kociek budeme nazývať trikub. Riešenie: Trikuby existujú dva, sú zobrazené na obrázku. Poznámka: Žiakov musíme upozorniť na zhodné telesá. To znamená, že ak jedno z telies vieme otočiť do takej polohy, že je totožné s druhým telesom, považujeme ich za zhodné. Napr. trikuby na obrázku považujeme za zhodné. Úloha Nájdite všetky rôzne kockové telesá zložené zo štyroch zhodných kociek. Teleso zložené zo štyroch kociek budeme nazývať tetrakub. Riešenie: Tetrakubov je osem. Jednotlivé telesá sa nazývajú: O, I4, L4, N, T, trojnožka (tripod), pravá veža, ľavá veža (názvy prevzaté z angličtiny, preklad autora). Poznámka: Často robí žiakom problém dvojica tetrakubov ľavá a pravá veža tieto dve telesá sú iba nepriamo zhodné, teda ich považujeme za dva rôzne tetrakuby. Pri určovaní, ktorá z veží je pravá a ľavá, pozorujte obrázok 5. Vychádzame z trikubu L3, pričom ho máme otočený v tvare v smerom k nám a prikladáme štvrtú kocku dostávame ľavú vežu, trojnožku a pravú vežu. 5
52 K. Vidermannová, L. Rumanová Otázka Koľko zhodných kociek je vo všetkých trikuboch a tetrakuboch? Odpoveď: Máme dva trikuby, spolu majú. 3 = 6 kociek. Tetrakubov je spolu osem, obsahujú 8. 4 = kociek. Teda vo všetkých trikuboch a tetrakuboch je 38 kociek. Poznámka: Zo skúseností môžeme povedať, že žiaci a študenti odpovedajú na túto otázku vždy správne. Otázka Akú najväčšiu kocku z týchto trikubov a tetrakubov vieme poskladať, ak každý diel môžeme použiť najviac raz? Odpoveď: Spolu máme 38 kociek, uvažujme dĺžku hľadanej veľkej kocky 4 malé kocky (označíme pojmom 4-kocka, obrázok vľavo). S touto možnosťou začíname ako prvou, keďže najdlhší tetrakub I4 má dĺžku 4 kocky. Na stavbu 4-kocky potrebujeme = 64 malých kociek. Toľko však nemáme, uvažujme teda dĺžku hľadanej kocky 3 malé kocky (analogicky označíme pojmom 3-kocka, obr.6 vpravo) na jej stavbu potrebujeme = 7 malých kociek. Poznámka: Vo väčšine prípadov žiaci najskôr začnú stavať hľadanú veľkú kocku, bez predchádzajúceho počítania. Je na učiteľoch, či ich upozornia vopred na veľkosť hľadanej kocky, alebo to ponechajú na svojich žiakov. Skôr či neskôr všetci žiaci začnú počítať, akú najväčšiu kocku môžu zložiť zo svojich trikubov a tetrakubov. Túto otázku je možné v tomto poradí aj preskočiť a vrátiť sa k nej až v rámci riešenia úlohy 3. Úloha Postavte kocku z otázky. Ktoré trikuby a tetrakuby nepoužijete pri jej skladaní? Poznámka Najskôr nechajte samostatne pracovať žiakov. Zo skúseností vieme, že každý žiak objaví aspoň polovicu možností vynechania niektorých dielov z trikubov a tetrakubov. Potom odporúčame prejsť so žiakmi výpočet všetkých možností. Riešenie Tetrakub I4 má dĺžku 4 jednotkové kocky, preto nemôže byť súčasťou hľadanej 3- kocky, teda ďalej už o tomto tetrakube neuvažujeme. Zostávajúce trikuby a tetrakuby obsahujú spolu 34 kociek. Hľadaná 3-kocka musí obsahovať 7 kociek, musíme teda vynechať ešte 7 kociek - pri jej skladaní teda nepoužijeme jeden trikub a jeden tetrakub.. 5
53 K. Vidermannová, L. Rumanová a) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub L4 b) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub trojnožka c) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub L4 d) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub T e) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub O f) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub N g) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub ľavá veža h) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub pravá veža i) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub ľavá veža j) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub pravá veža k) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub trojnožka l) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub O (Soma kocka) Nedá sa! m) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub N n) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub T 53
54 Pravidelné telesá K. Vidermannová, L. Rumanová Typ učiva: Úvod do stereometrie Časová náročnosť: x 45 minút Forma: skupinová práca/práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: stavebnica Polydron, papier, písacie potreby. Pracovný postup: Úloha Skúmajte, ktoré pravidelné mnohouholníky môžu tvoriť steny pravidelných mnohostenov? Koľko mnohouholníkov môže byť spojených v jednom vrchole? Od čoho závisí tento počet? Riešenie Steny pravidelných mnohostenov môžu tvoriť pravidelný trojuholník, štvorec a pravidelný päťuholník. Počet stien pri jednom vrchole od súčtu uhlov mnohouholníkov, ktoré sa tam stretnú. Máme 5 možností pri jednom vrchole: Úloha Vymodelujte všetky pravidelné telesá. Riešenie 54
55 Eulerova veta K. Vidermannová, L. Rumanová Typ učiva: Úvod do stereometrie Časová náročnosť: x 45 minút Forma: skupinová práca/práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: stavebnica Polydron, papier, písacie potreby. Pracovný postup: V úvode aktivity necháme žiakov poskladať ľubovoľný priestorový útvar teleso (napr. využijeme Platónove telesá z predchádzajúcej aktivity). Každé teleso, ktoré žiaci poskladajú, nerozoberáme, budeme neskôr študovať jeho vlastnosti. Poznámka: Zo skúsenosti môžeme povedať, že žiaci takmer vždy poskladajú kocku; kváder; ihlany - najčastejšie trojboký a štvorboký, niekedy aj päťboký a šesťboký; hranol s rôznymi podstavami; často sa objaví aj pravidelný -sten, ktorý žiaci často zamieňajú za model futbalovej lopty. Úloha Zistite, či existuje vzťah medzi počtom vrcholov, stien a hrán poskladaných mnohostenov. 55
56 K. Vidermannová, L. Rumanová Pri skúmaní vzťahu medzi danými počtami žiaci najskôr vypočítajú súčet zo zistených údajov, potom vyskúšajú odpočítať vhodné hodnoty tak, aby dosiahli konštantný výsledok. Niektorí z nich i odhalia vzťah, ktorý poznáme ako Eulerovu vetu: Súčet počtu vrcholov a stien konvexného telesa je o dva väčší ako počet jeho hrán. 56
57 Siete kocky K. Vidermannová, L. Rumanová Typ učiva: Kocka siete kocky Časová náročnosť: x 45 minút Forma: práca vo dvojiciach, samostatná práca Pomôcky a materiál: stavebnica Polydron, papier, písacie potreby. Pracovný postup: Úloha Nájdite všetky siete kocky. Riešenie Uvažujme o dĺžke siete ako o najdlhšom páse štvorcov spojených za sebou. Potom najdlhší pás môže byť tvorený zo štyroch štvorcov. Musíme k tomuto pásu pridať ešte dva štvorce jeden štvorec na jednu z pozícií P až P4, druhý štvorec na jednu z pozícií P5 až P8. Spolu máme 4. 4 = 6 možností. Uvažujme, či všetkých 6 možností sú navzájom rôzne siete. Položme druhý štvorec na pozíciu P5. Potom máme štyri možnosti pre sieť kocky (sieť,,3,4). Tieto možnosti sú však zhodné s tými, ktoré dostaneme pri pozícii druhého štvorca na P8. To isté platí o pozíciách P6 a P7 pre druhý štvorec vzniknú zhodné riešenia. Uvažujeme iba o umiestnení druhého štvorca na pozíciách P5 a P6. Takto sme 6 možností zúžili iba na 8, z ktorých máme 6 rôznych sietí kocky: 57
58 K. Vidermannová, L. Rumanová Uvažujem ďalej o sieti dĺžky 3. Máme jedinú možnosť umiestnenia dvoch štvorcov spolu a posúvame iba jeden štvorec dostaneme tri možnosti (sieť 7,8,9). Ďalšia sieť vznikne priložením troch štvorcov spolu (sieť 0). Poslednú sieť dostaneme pre dĺžku. 58
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMa-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko
Ma-Go-0-T List 1 Obsah trojuholníka RNDr Marián Macko U: Čo potrebuješ poznať, aby si mohol vypočítať obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem poznať jednu stranu a výšku na túto stranu, lebo základný vzorec
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραKruh a kružnica interaktívne
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Mgr. Róbert Truchan Kruh a kružnica interaktívne Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe Prešov 2013 Vydavateľ:
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch rotačného kužeľa
Ma-Te-04-T List 1 Objem a povrch rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má kužeľ prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný kužeľ vznikne rotáciou, čiže otočením, pravouhlého
Διαβάστε περισσότεραVzorce pre polovičný argument
Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah geometrických útvarov
Obvod a obsah geometrických útvarov 1. Štvorcu ABCD so stranou a je opísaná a vpísaná kružnica. Vypočítajte obsah medzikružia, ktoré tieto kružnice ohraničujú. 2. Základňa rovnoramenného trojuholníka je
Διαβάστε περισσότεραZHODNÉ ZOBRAZENIA A GEOGEBRA
ODBORNÁ KONFERENCIA PRIMAS: OBJAVNÉ VYUČOVANIE MATEMATIKY A PRÍRODOVEDNÝCH PREDMETOV ZHODNÉ ZOBRAZENIA A GEOGEBRA V KONŠTRUKČNÝCH ÚLOHÁCH KARIN FUSKOVÁ ABSTRAKT Práca je zameraná na riešenie konštrukčných
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMATURITA 2013 MATEMATIK A
Kód testu 8103 MATURITA 2013 EXTERNÁ ČASŤ MATEMATIK A NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 30 úloh. Na vypracovanie testu budete mať 120 minút. V teste sa
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Metodicko pedagogické centrum.
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραNávrh maturitných zadaní v predmete matematika
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ RNDr. Renáta Kunová PhD. Návrh maturitných zadaní v predmete matematika Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραpiaty, šiesty, siedmy, ôsmy, deviaty ZŠ Dunajská Lužná
Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Ročník Škola Názov ŠkVP Kód a názov ŠVP ISCED 2 Stupeň vzdelania základné Dĺžka štúdia Forma štúdia Matematika a práca s informáciami Matematika piaty, šiesty, siedmy,
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραKOMPARO. celoslovenské testovanie žiakov 9. ročníka ZŠ. Matematika. exam KOMPARO 2006-07
Základné informácie o projekte KOMPARO 006-07 pre základné školy 006-07 KOMPARO KOMPARO celoslovenské testovanie žiakov 9. ročníka ZŠ Matematika A exam testing EXAM testing, spol. s r. o. P. O. Box 5,
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Názov ŠVP: Štátny vzdelávací program ISCED 2 Školský vzdelávací program pre 2. stupeň
Matematika Názov predmetu: Matematika Časový rozsah výučby: 5 hodín týždenne/ 165 hodín ročne Názov ŠVP: Štátny vzdelávací program ISCED 2 Názov ŠkVP: Školský vzdelávací program pre 2. stupeň Ročník: deviaty
Διαβάστε περισσότεραMATURITA 2009 MATEMATIKA
MATURITA 2009 EXTERNÁ ČASŤ MATEMATIKA kód testu: 40 NEOTVÁRAJTE POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU. Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma typmi úloh: Pri úlohách s krátkou
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραRočník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín
OKTÓBER SEPTEMBER Skúmanie vlastností kvapalín,, tuhých látok a Mesiac Hodina Tematic ký celok Prierezo vé témy Poznám ky Rozpis učiva predmetu: Fyzika Ročník: šiesty 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia
Διαβάστε περισσότεραVýpočet. sledu skrátenia koľajníc v zloženom oblúku s krajnými prechodnicami a s medziľahlou prechodnicou a. porovnanie
Výpočet sledu skrátenia koľajníc v zloženo oblúku s krajnýi prechodnicai a s edziľahlou prechodnicou a porovnanie výsledkov výpočtového riešenia a grafického riešenia Príloha.4 Výpočet sledu skrátenia
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραMocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραMargita Rybecká NIEKOĽKO PROBLÉMOVÝCH ÚLOH Z MATEMATIKY PRE 5. ROČNÍK ZÁKLADNEJ ŠKOLY
Margita Rybecká NIEKOĽKO PROBLÉMOVÝCH ÚLOH Z MATEMATIKY PRE 5. ROČNÍK ZÁKLADNEJ ŠKOLY Metodicko-pedagogické centrum a.p. Tomášikova 4 Bratislava 2008 3 OBSAH ÚVOD A I. Vytvorenie oboru prirodzených čísel
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ (MSc)
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ (MSc) ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΣΕ60 Ακαδημαϊκό Έτος: 207-208 η Γραπτή Εργασία Επιβλέπων
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu
Február Mesiac Týždeň Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 8, časť Stupeň vzdelania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika
Διαβάστε περισσότεραPříloha č. 1 etiketa. Nutrilon Nenatal 0
Příloha č. 1 etiketa Nutrilon Nenatal 0 Čelní strana Logo Nutrilon + štít ve štítu text: Speciální výživa pro nedonošené děti a děti s nízkou porodní hmotností / Špeciálna výživa pre nedonosené deti a
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť
Διαβάστε περισσότεραÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI
ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI 1. Zadanie: Určiť odchýlku kolmosti a priamosti meracej prizmy prípadne vzorovej súčiastky. 2. Cieľ merania: Naučiť sa merať na špecializovaných
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq MATEMATIKA 1. ročník wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Učebný odbor:
Διαβάστε περισσότεραCIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE BRATISLAVA 2012 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky dňa
Διαβάστε περισσότεραMatematika Informatika Fyzika
Metodicko-pedagogické centrum Prešov Centrum celoživotného vzdelávania Prírodovedecká fakulta UPJŠ v Košiciach Matematika Informatika Fyzika číslo 21 didaktický časopis učiteľov matematiky, informatiky
Διαβάστε περισσότεραTrapézové profily Lindab Coverline
Trapézové profily Lindab Coverline Trapézové profily - produktová rada Rova Trapéz T-8 krycia šírka 1 135 mm Pozink 7,10 8,52 8,20 9,84 Polyester 25 μm 7,80 9,36 10,30 12,36 Trapéz T-12 krycia šírka 1
Διαβάστε περισσότεραModel redistribúcie krvi
.xlsx/pracovný postup Cieľ: Vyhodnoťte redistribúciu krvi na začiatku cirkulačného šoku pomocou modelu založeného na analógii s elektrickým obvodom. Úlohy: 1. Simulujte redistribúciu krvi v ľudskom tele
Διαβάστε περισσότεραJednoducho o matematike
Jednoducho o matematike Prehľad matematiky zo základnej školy Spracoval: Vladimír Rýs (voľne prístupná práca o matematike základnej školy) 1 1. Úvod Prečo vlastne chcem napísať tento prehľad? Dôvod je
Διαβάστε περισσότεραStereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:
Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMATURITA 2014 MATEMATIK A
Kód testu 2106 MTURIT 2014 EXTERNÁ ČSŤ MTEMTIK NEOTVÁRJTE, POČKJTE N POKYN! PREČÍTJTE SI NJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 30 úloh. Na vypracovanie testu budete mať 120 minút. V teste sa stretnete s
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΑ Χ Ρ ΗΜ ΑΤ ΙΣ Τ ΗΡ ΙΑ CISCO EXPO 2009 G. V a s s i l i o u - E. K o n t a k i s g.vassiliou@helex.gr - e.k on t ak is@helex.gr 29 Α π ρ ι λ ί ο υ 20 0 9 Financial Services H E L E X N O C A g e
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραZbierka gradovaných úloh k učebnici matematiky pre 5. ročník ZŠ
METODICKO-PEDAGOGICKÉ CENTRUM V PREŠOVE Valéria Kocurová Zbierka gradovaných úloh k učebnici matematiky pre 5. ročník ZŠ - 2005 - OBSAH Úvod... 3 1 Delenie prirodzených čísel... 5 1.1 Delenie jednociferným
Διαβάστε περισσότερα«W i -F i & Τ ο π ι κ ή α υ τ ο δ ι ο ί κ η σ η Κ ο ι τ ά ζ ο ν τ α ς π ί σ ω α π ό τ η ν υ π ο δ ο µ ή Γρηγόρης Γκ ότ σσ ης ΥΥ ππ εε ύύ θθ υυ νν οο ς ΈΈ ργο υυ .γ γ ιι αα ττ ίί νν αα εε ππ εε νν δδ ύύ
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραTEST Z MATEMATIKY. Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018
TEST Z MATEMATIKY Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018 Milí žiaci, máte pred sebou test z matematiky ku prijímacím skúškam. Budete ho riešiť na dvojhárok. Najprv na nalepený štítok dvojhárku napíšte
Διαβάστε περισσότερα!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
Διαβάστε περισσότεραΠροσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB του καθ. Ιωάννη
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ OSNOVY PREDMETU MATEMATIKA
UČEBNÉ OSNOVY PREDMETU MATEMATIKA Názov predmetu: Matematika Stupeň vzdelania: ISCED 2 niţšie stredné Ročník: 5. 9. Časový rozsah výučby: 825 Poznámka: povinný predmet Vyučovací jazyk: slovenský jazyk
Διαβάστε περισσότεραdifúzne otvorené drevovláknité izolačné dosky - ochrana nie len pred chladom...
(TYP M) izolačná doska určená na vonkajšiu fasádu (spoj P+D) ρ = 230 kg/m3 λ d = 0,046 W/kg.K 590 1300 40 56 42,95 10,09 590 1300 60 38 29,15 15,14 590 1300 80 28 21,48 20,18 590 1300 100 22 16,87 25,23
Διαβάστε περισσότεραmatematika 2. časť Viera Kolbaská Slovenské pedagogické nakladateľstvo pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom
Viera Kolbaská matematika 9 Slovenské pedagogické nakladateľstvo pre 9. ročník základnej škol a. ročník gmnázia s osemročným štúdiom. časť Slovenské pedagogické nakladateľstvo Por. č. Meno a priezvisko
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραOdraz a lom svetla. Kapitola 4
Kapitola 4 Odraz a lom svetla Náuka o svetle, optika, je jednou z najdôležitejších častí fyziky, lebo valnú väčšinu skúseností so svetom, ktorý nás obklopuje, získavame našim zrakom. Čo vieme o vzdialených
Διαβάστε περισσότερα7 Mechanika tuhého telesa
105 7 Mechanika tuhého telesa V tejto kapitole sú popísané základy dynamiky sústavy hmotných bodov a tuhého telesa. Zovšeobecnia sa vzorce pre pohyb, rýchlosť a zrýchlenie takýchto sústav pomocou ťažiska.
Διαβάστε περισσότερα