ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ"

Transcript

1 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2

3 Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων Αξιοσημείωτες ταυτότητες Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Διαίρεση πολυωνύμων Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Πράξεις Ρητών παραστάσεων

4

5 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΕΝΟΤΗΤΑ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ.. Ποιές είναι οι ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού; Οι ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού παρουσιάζονται στον επόμενο πίνακα: Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Ιδιότητα α + β = β + α α. β = β. α αντιμεταθετική (α + β) + γ = α + (β + γ) α. ( β. γ ) = ( α. β ). γ προσεταιριστική α + 0 = α α + ( α) = 0 α. ( β + γ ) = α. β + α. γ α. = α α α =, α 0 α. 0 = 0 επιμεριστική.. Να γράψετε τους ορισμούς και τις ιδιότητες των δυνάμεων. Ορισμοί: Ιδιότητες: Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός με ν Με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται έχουμε: τότε ορίζουμε: α ν = ααα... α. α μ. α ν = α μ+ν ν παραγοντες Για ν = ορίζουμε α = α. Για α 0, ορίζουμε α 0 = και Είναι α ( ) β β α ν = ( )ν α ν = ν α., α, β 0. α α μ ν = α μ ν. α ν. β ν = (α. β) ν ν ν α 4. = ν β ( α β ) 5. (α μ ) ν = α μν.. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α;. Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, ονομάζουμε τον θετικό αριθμό που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α. Δηλαδή α =, τότε = α ή ( ) α = α. Ακόμα ορίζουμε 0 = Να αποδείξετε ότι α β = αβ, με α, β 0. Υψώνουμε κάθε μέλος της ισότητας στο τετράγωνο και έχουμε: Από το ο μέλος: ( α β) α β = α.β = ( ) ( ) Από το ο μέλος: ( αβ ) = α.β

6 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις Άρα ( α β) = ( αβ) και επομένως α β = αβ..5. Να αποδείξετε ότι α β = α β με α 0 και β > 0. Υψώνουμε κάθε μέλος της ισότητας στο τετράγωνο και έχουμε: Από το ο μέλος: Από το ο μέλος: Άρα α β = α β α β α β = ( α ) ( β ) = α β και επομένως = α β α β =.5.. Αν α > 0 και β > 0 τότε α+ β α + β Η ισότητα α+ β = α + β ισχύει αν ένας τουλάχιστον είναι ίσος με 0. α β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα.6. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6 0+ (4 y ) Α = 00 ( + ( z) + ( y+ z) ) y, αν είναι + y = 00. [Απ. Α=-00].. Αν = και y = 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = 5. ( y y) [Απ ].7. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Π = ( ) 4 6 [Απ. Π=].. Δείξτε ότι = Δείξτε ότι =..8. Να μετατρέψετε την παράσταση: ( ).(.. ) σε δύναμη με βάση το Να μετατρέψετε την παράσταση: ( ) : +. + σε δύναμη με βάση το. [Απ. 0 ] [Απ. 7 ].5. Να γίνουν οι πράξεις: α) 4 β) Να εκτελέσετε τις πράξεις: 0 6 α) β) 5 [Απ. α) β)] [Απ. α) β)].0. Αν ισχύει + 4y = 5 να αποδείξετε ότι το κλά- y σμα Α = + y y.. Αν = 0,0 και y = 0 έχει σταθερή τιμή., να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α = [Απ. Α=] 7 5 ( y ) : y. [Απ. Α=000].7. Να εξετάσετε αν η παράσταση: είναι πολλαπλάσιο του 7. [Απ. 4=πολ.7].8. Αν α, β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, να υπολογίσετε την παράσταση: 49 β + 4β + α α. [Απ. 7]

7 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς 5.9. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α = 4 + και Β = 8 0 [Απ. Α=+, Β=4-5 ].5. Να βρείτε το αποτέλεσμα: [Απ. 7].0. Αν, y είναι μη αρνητικοί αριθμοί, τότε να δείξετε ότι η παράσταση: 5 y y y y είναι ίση με μηδέν... Να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με μια πλευρά cm και αντίστοιχο ύψος cm. [Απ. Ε=cm ].. Να βρείτε το αποτέλεσμα: i) 6 6+ ii) [Απ. i)5 ii)4].. Αν Α = + και Β = 8, να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α+Β, Α Β, Α. Β. [Απ. Α+Β= -, Α-Β= -, ΑΒ=].4. Να απλοποιήσετε οι παραστάσεις i) Α = + 7 ii) Β = [Απ. i)α=6 ii)β= ].6. Να λύσετε την εξίσωση: = 5 ( ).7. Να λύσετε την εξίσωση: 5 = Να αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης : είναι ίση με Να αποδείξετε ότι: 5 60 : =. 5 [Απ. =] [Απ. = 5 ].0. Ένα τραπέζιο έχει βάσεις 7 cm και cm και ύψος cm. Πόσες φορές είναι μεγαλύτερο το εμβαδόν του από το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς 5 cm; [Απ. φορές] β Ομάδα.. Να αποδείξετε ότι ( ) + ( + ) =... Να συμπληρώσετε το παρακάτω τετράγωνο ώστε να γίνει μαγικό, δηλαδή όλες του οι γραμμές, οι στήλες και οι διαγώνιοι να έχουν το ίδιο άθροισμα Να υπολογιστεί η παράσταση [Απ. 6]

8 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ.. Τι ονομάζουμε αλγεβρικές παραστάσεις; Οι εκφράσεις που περιέχουν μεταβλητές, λέγονται αλγεβρικές παραστάσεις.... Για παράδειγμα, αλγεβρικές παραστάσεις είναι: 5, 4α, α + 9β,,6κ 4 + λμ.. Τι ονομάζουμε αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης; Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται, προκύπτει ένας αριθμός που λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης.... Για παράδειγμα: Αν για α = η τιμή της αλγεβρικής παράστασης α 5α 8 είναι ( ) 5( ) 8 = = = 4... Τι ονομάζουμε μονώνυμο; Μονώνυμο ονομάζουμε την αλγεβρική παράσταση που σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού.... Παραδείγματα μονωνύμων:, α, 5, α β 4, 4,5κ 6 λ μ Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; Δύο ή περισσότερα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια μονώνυμα..4.. Για παράδειγμα: Τα μονώνυμα α βγ 5, 9α βγ 5,,7α βγ 5 είναι όμοια..5. Πως βρίσκουμε το άθροισμα όμοιων μονωνύμων; Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι ένα όμοια με αυτά μονώνυμο που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους..5.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Το άθροισμα των όμοιων μονωνύμων 5α β, α β, α β είναι: 5α β + α β + ( α β) = (5 + )α β = 4α β..6. Τι ονομάζουμε πολυώνυμο; Πολυώνυμο ονομάζουμε την αλγεβρική παράσταση που είναι άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια..6.. Για παράδειγμα:, 5α β +,α β, 6μ 5 μν + 4 μ νρ 5.

9 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα 7.7. Πως βρίσκουμε το γινόμενο μονωνύμων; Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη σε καθεμιά το άθροισμα των εκθετών τους..7.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Το γινόμενο των μονωνύμων α β, 4 αβ5 γ 4, αβγ 5 είναι: (α β).( 4 αβ5 γ 4 ).( αβ) = ( 4 )( )α αα.ββ 5 β.γ 4 γ.) = α4 β 7 γ Πως βρίσκουμε το πηλίκο δύο μονωνύμων; Το πηλίκο δύο μονωνύμων βρίσκεται, όπως και στους αριθμούς, με πολλαπλασιασμό επί τον αντίστροφο του διαιρέτη..8.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: () α 5 β γ : ( α βγ) = α 5 β γ. α βγ () ( 0 y ω) : ( 5y 4 ω) = ( 0 y ω). 4 5y ω 5 5 αβγ = = β γ α = 4α β. αβγ α β γ 0 y ω = = 0 y ω 4 4 5y ω 5 y ω = y..8.. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στο προηγούμενο παράδειγμα βλέπουμε ότι το πηλίκο δύο μονωνύμων ΔΕΝ είναι πάντοτε μονώνυμο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ.9. Να βρείτε ποιες από τις επόμενες παραστάσεις είναι μονώνυμα i) α β γ ii),4 4 y 5 iii) y iv) 4 6 ω - v) vi) (+ 5 )κλ.0. Αν +y = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) + y(y ) + y [Απ. 0].. Να αντικαταστήσετε τα κενά με τα κατάλληλα μονώνυμα στην ισότητα α) α y 7α y 5 y 5 + 7α y + + = 5α y β) 0,6α β γ + α γ 5 α β γ + + 4γ α = α γ.. Για ποια τιμή του κ η αλγεβρική παράσταση (5κ+4)α 4 β γ είναι το μηδενικό μονώνυμο;.. Να βρείτε ποια από τα επόμενα μονώνυμα, y, y, y, y,, είναι όμοια..4. Να κάνετε τις πράξεις: i) y y y + y ii) y ω ωy 5y ω y ω + 6 iii) κ λ μ 4 κ λ μ 4,5κ μ 4 λ κ λ μ 4.5. Δίνονται τα μονώνυμα α y β+, y 4 β. Να βρείτε τις τιμές των α, β ώστε τα παραπάνω μονώνυμα να είναι όμοια. [Απ. α=, β=].6. Να προσδιορίσετε τους ακέραιους αριθμούς κ, μ ώστε να είναι μονώνυμο η αλγεβρική παράσταση: α κ+ + 5α μ+.7. Να προσδιορίσετε τους ακέραιους αριθμούς λ, μ ώστε να είναι μονώνυμο η αλγεβρική παράσταση: α y μ+7 + α λ+ y.8. Να κάνετε τις πράξεις: i) y. ( y 4 ) ii) ( ). ( ) iii) 5 y ω. 5 ( 5 y ω) 8 iv) y. ( 4 y). ( 4 y 6 ) v) y. ( α β γ). 4α γ 5. ( α βγ ).9. Να κάνετε τις πράξεις: i) ( ) αβ. ( β α 5 ). ( αβ 4 γ) ii) ( y ω). ( ) 4 ω y α 4 αy

10 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις iii) ( κλ μ ). ( κ 4 λμ ). 5 6 ( ) μκλ v) ( α β y) ( αβ y ) ( a y ).0. Να κάνετε τις πράξεις: i) 8 : ( 6 5 ) ii) ( 4α 9 β 7 ) : (6α 5 β ) iii) ( 8α β ) : (9α β) iv) 0y 4 z : ( 5 y 4 z 5 ).. Να εκτελέσετε τις πράξεις: i) [ y 4. ( 6 y)] : ( 4 5 y 7 ) ii) [( 4α β ). α 5 ). ( α 6 β)] : ( 4α β 5 4 ) iii) ( α 5 ) : ( 9 4 α 4 4 ) 4 iv) ( κλμ) :( κλ) :( μλ) 4

11 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Πολυώνυμα - Πρόσθεση & Αφαίρεση πολυωνύμων 9 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ..Τι ονομάζουμε αναγωγή των όμοιων όρων; Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους, η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή των όμοιων όρων.... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: 5α α +6β + + 9β α + β + α = 4α α + 4β +. ΑΣΚΗΣΕΙΣ..Να κάνετε τις αναγωγές των όμοιων όρων i) ii) iii) α + + α iv) α 6α + 5α + α α Αν Α = +, Β = ++5 και Γ = να βρεθούν τα επόμενα αθροίσματα i) Α + Β ii) Α + Β + Γ iii) Α Β Γ.4.Να κάνετε τις πράξεις: i) [(5 ) + 4 ( +6)] + ( 5) ii) 5α (α +α ) + [ (α α 4) + ( +6α)].5.Να εκτελέσετε τις πράξεις: i) ( ) [ ( )] { [+4 ( )]} ii) { [ ( )]+} { + [+( ) ] } 4

12 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 4. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο; Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: (α β).(αβ β γ + 4) = 6α β α β γ + 8α β. 4.. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πολυώνυμα; Για να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός με κάθε όρο του άλλου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: (α ).(α α 4) = α α 4α α + 6α + 8 = α 5α + α ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όταν κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μονωνύμου με πολυώνυμο ή δύο πολυωνύμων, λέμε πολλές φορές ότι αναπτύσσουμε τα γινόμενα αυτά και το αποτέλεσμα λέγεται ανάπτυγμα του γινομένου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.. Να γίνουν οι πράξεις: ( y)y + (y+y )( ) + (+y)( y) (+)y. Μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του εξαγόμενου για = και y = Να δείξετε ότι η αλγεβρική παράσταση (α α+) (α+)(α ) (α +) + α έχει σταθερή τιμή για τις διάφορες τιμές των α, Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του εξαγόμενου για τις τιμές των μεταβλητών που αναφέρονται. α) (+)( + ) ( )(+), =. β) ( y y )( y) (+y) ( y)( y ), =, και y = Να γίνουν οι πράξεις: α) ( ) 4 (+) + 4( ) β) 5 ( +4) +( )( 4 ) ( ) γ) α(α αβ+β ) β (α β)( αβ) 4α β δ) [ (+4) ] [ + ( )] 5 ε) α{αβ [α ( αβ+4)] + } (α ) 4.7. Να αντικατασταθούν οι παρακάτω αστερίσκοι έτσι, ώστε να ισχύει κάθε μια από τις ισότητες: α) *. (4β 7β+8) = 8β 49β + 56β β) *. ( +8 7) = * * γ) 5α β ( * 9β + * ) = 0α 5 β 7 * + α 4 β Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς: α) (+)( ) β) ( +4)( 5) γ) (+)( )(+5) δ) (+)(+)(+) 4.9. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς: α) (κ )( κ)(κ ) β) μ(μ )(4μ+)( μ) γ) ( )( 5)( +5 ) δ) (α+)( α)(α α )(4 α ) 4.0. Να γίνουν οι πράξεις:

13 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων i) ( )( ) + ( +)( + ) ii) α(α+)( α) (α +α )( α+α ) 4.. Αν Α = α α+, Β = α+ και Γ = α να βρεθούν τα εξαγόμενα: Α. Β, Β. Γ, Α. Γ και Α. Β + Β. Γ Γ. Α. 4.. Αν Κ = 4, Λ = και Μ = + να βρεθούν τα εξαγόμενα: K. Λ, Λ. Μ, Κ. Μ και K. Λ Κ. (Λ. Μ Κ. Μ). 4.. Να εκτελέσετε τις πράξεις: 5 7 y y y y ( y)(4 y) ( )( ) ( ) 4.4. Ένα τραπέζιο έχει βάσεις, και ύψος. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών του τραπεζίου και του τετραγώνου. [Απ. 4 ]

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 5. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 5..Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) α(α ) = α α (ii) ( + )( + 5) = (iii) κ + λ = (κ + λ) κλ Τετράγωνο αθροίσματος 5..Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β) = α + αβ + β. Είναι : (α + β) = (α + β)(α + β) = α + αβ + βα + β = α + αβ + β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) (α + ) = α + α. + = α + 6α + 9. (ii) (5 + 4y) = (5) y + (4y) = y + 6y. (iii) (μ + 4 ν ) = (μ ) +. μ. 4 ν + ( 4 ν ) = 4μ 6 + μ ν + 6 ν4. Τετράγωνο διαφοράς 5..Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) = α αβ + β. Είναι : (α β) = (α β)(α β) = α αβ βα + β = α αβ + β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) (β ) = β β. + = β β +. (ii) ( 6 + 7α) = (7α 6 ) = (7α). 7α. 6 + (6 ) = 49α 84α κ (iii) 4λμ = κ + 4λμ = κ + 4λμ = κ +. 4 κ. 4λμ + (4λμ ) 8 = κ + 4κ 4 λμ + 6λ μ 6. 4

15 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Η : Αξιοσημείωτες ταυτότητες Κύβος αθροίσματος 5.4.Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β) = α + α β + αβ + β. Είναι : (α + β) = (α + β)(α + β) = (α + β)(α + αβ + β ) = α + α β + αβ + βα + αβ + β = α + α β + αβ + β. Κύβος διαφοράς 5.5.Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) = α α β + αβ β. Είναι : (α β) = (α β)(α β) = (α β)(α αβ + β ) = α α β + αβ βα + αβ β = α α β + αβ β. Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά 5.6.Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β)(α β) = α β. Είναι : (α + β)(α β) = α αβ + βα β = α β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) (9α + βy)(9α βy) = (9α) (βy) = 8α 4β y. (ii) ( μ 5 + λ ν )(μ 5 + λ ν ) = (λ ν μ 5 )( λ ν + μ 5 ) = (λ ν ) (μ 5 ) = λ 6 ν 4 9μ 0. Διαφορά κύβων Άθροισμα κύβων 5.7.Να αποδείξετε τις ταυτότητες (i) α β = (α β)(α + αβ + β ). (ii) α + β = (α + β)(α αβ + β ). (i) Το ο μέλος της ταυτότητας γράφεται: (α β)(α + αβ + β ) = α + α β + αβ βα αβ β = α β. (ii) Το ο μέλος της ταυτότητας γράφεται: (α + β)(α αβ + β ) = α α β + αβ + βα αβ + β = α + β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα 5.8.Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) ( + 5) β) ( ) γ) (α 7β) δ) (y + ) ε) ( 4y) στ) (α αβ ) 5.9.Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) ( + 4y) β) (7α β ) γ) (α α ) δ) ( 4a + α β) ε) ( 5 6 y 4 y ) στ) ( αβ γ 6 βγ ) 5.0.Να βρείτε τα αναπτύγματα: y ) α) ( α + β 4 ) β) ( + 4 γ) ( α 4 β5 ) δ) ( 4 y 6 y ) 5..Να μετατρέψετε την παράσταση (α + β) + (αγ + βγ) σε μία δύναμη. 5..Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε να προκύψουν τέλεια τετράγωνα και μετά να τα γράψετε ως τέλεια τετράγωνα: α) + α + β) 4 + 4y + γ) 9α 6αβ + δ) + 4y +

16 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ε) 5α + 4β + στ) 8μ + 49ν ζ) 40y η) 60κλ + 9κ + θ) μ ν + 4ν Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε να προκύψουν τέλεια τετράγωνα και μετά να τα γράψετε ως τέλεια τετράγωνα: α) α αβ + β) α γ) δ) 49α6 + β 8 + ε) 9 4 6y + στ) 5 4 a 5β Αν (α+β) = α + β +, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι. 5.5.Να αποδείξετε ότι η αριθμητική τιμή της παράστασης Α = (ν+) (ν ) είναι πάντοτε πολλαπλάσιο του 4, όταν ο ν παίρνει ακέραιες τιμές. 5.6.i) Να συγκρίνετε τους αριθμούς κ + λ και κλ. ii) Με τη βοήθεια της προηγούμενης σύγκρισης να αποδείξετε ότι: α + β + γ αβ + βγ + γα. 5.7.Να βρείτε τα γινόμενα: α) (4+)(4 ) β) (αβ+)(αβ ) γ) (5α β )(5α+β ) δ) ( y 4 a )( y 4 +a ) 5.8.Να βρείτε τα γινόμενα: α) (7a+4β)(4β 7α) β) ( 5 y ω )(ω + 5 y ) γ) (4α 9β y)( 4α 9β y) δ) ( a 4 κ)( a 4 κ ) 5.9.Να βρείτε τα γινόμενα: α) (+y )(+y+) β) (+y ω)(+y+ω) γ) (α+β γ)(α β+γ) δ) ( + +)( +) ε) (α +β y)(α++β+y) 5.0.Αν α =, β = +, να υπολογιστούν: αβ( α + β ) i) α.β ii) α + β iii) α+ β [Απ. i) ii) iii)6] 5..Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) ( + 4) β) ( ) γ) ( y) δ) (y + ) ε) ( + y) στ) ( a α ) 5..Να γίνουν οι πράξεις: α) (α+β) (α β) 5β β) ( α) (α β)(α+β ) ( β) γ) ( +y ) (y + ) + ( y )( +y ) δ) (+) + ( ) + (+)( ) ( 5) 5..Να εκτελέσετε τις πράξεις: α) (+) +( ) +( ) (+) + (+)( ) (+)( ) β) (+5) ( 5) + ( ) (+) ( )(+) γ) (+) + (+)( ) (+)( ) ( )( ) δ) ( +) + ( ) ( +4) + ( ) + ( )( +) 5.4.Να αποδείξετε ότι: (+)( )( ) ( ) ( )( 5) + 5 = 0( ). 5.5.Αν α = 4 5 και β = 6 0 τότε: i) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α β. ii) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι. 5.6.Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ δίνονται από τις ισότητες β = και γ = Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου. [Απ. Π=0, Ε=0] 5.7.Αν αφαιρέσουμε από το τετράγωνο του ημιαθροίσματος δύο αριθμών, το τετράγωνο της ημιδιαφοράς τους, βρίσκουμε τον αριθμό. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί αυτοί είναι αντίστροφοι. 5.8.Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ρ = λύση της εξίσωσης: = 0. είναι 5.9.Αν 6y + y 8y + 8 = 0 α) Να δείξετε ότι: ( y) + (y ) = 0. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Α(,y) που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση. [Απ. β)α(6,)] 5.0.Να αποδείξετε ότι: α) α β = (α β) + αβ(α β). β) α + β = (α + β) αβ(α + β). 5..Να εκτελεστούν οι πράξεις: α) ( ) (+) ( )(+) β) (+y) y( y)(+y) ( y) γ) (+) ( ) + ( )(+)( ) 5..Να βρείτε τα εξαγόμενα: i) (+) + (+) ( ) + (+)( ) + ( ) ii) ( y) ( y) (+y) + ( y)(+y) (+y) iii) (κ+λ) (κ λ) (κ+λ) (κ λ) + (κ+λ)(κ λ)

17 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Η : Αξιοσημείωτες ταυτότητες 5 iv) 5 y y Να αποδείξετε ότι: α) (α+β) (α β) = 4αβ β) (α +β ) (αβ) = (α β ) α+β γ) ( ) α β ( ) + 5 y 5 y y 5 y = αβ δ) (+y) ( y) 5y = 0y ε) (α +4)( +) (α+) = ( α) στ) (α +β )( +y ) = (α+βy) + (αy β) 5.4.Να αποδείξετε ότι: ( ) α) αα+ αα ( ) = α 5.5.Αν μ > ν, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί μ + ν, μ ν και μν είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου. 5.6.Αν μ >, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί μ, και μ + είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου. μ 5.7.Να αποδείξετε ότι: α) (α+β) + (β+γ) + (γ+α) α β γ = (α+β+γ) β) ( +y +y) = y + (+y) ( +y ) γ) (α+β+γ) + (α+β γ) + (α β+γ) + (α β γ) = 4(α +β +γ ) 5.8.Να αποδείξετε ότι: ( +) ( +) ( ) + 7 = 5( 4 ) ( )(4 +) 5.9.Να υπολογίσετε τις αριθμητικές παραστάσεις: α) β) γ) = (000+)( ) δ) ε) Να συμπληρώσετε τα κενά: i) (α + ) = + + 9β ii) (α + ) = iii) ( y ) = iv) ( κ) = 4μ κ + v) ( + ) = 4α + 9β 4 + vi) ( ) = Να συμπληρώσετε τα κενά: i) ( 5α + )( 8β ) = ii) ( )( + ) = α β y 6 iii) ( )( + ) = α β Να συμπληρώσετε τα κενά: i) ( + ) = 64α β ii) ( + ) = 8α + α β + + iii) ( α) = Να αποδείξετε τις ισότητες: i) (α+) = α(α ) + (α ) ii) (α+β) = α(α β) + β(β α) iii) ( +y ) ( +y ) + y (+y) = (y) 5.44.Αν = α β, y = αβ και ω = α +β, να αποδείξετε ότι θα είναι + y = ω Αν α = (+), β = ( ) και γ = α+8 τότε α- ποδείξτε ότι: α β + γ = (+) 5.46.Αν + y = και y =, να υπολογίσετε τις α- ριθμητικές τιμές των παραστάσεων: i) + y ii) + y [Απ.i) ii)6] 5.47.Αν + y = α και y = β, να αποδείξετε ότι: i) + y = α β ii) + y = α αβ 5.48.Αν α = 5 + και β = 5, να βρεθεί η τιμή των επόμενων παραστάσεων: i) Α = α αβ + β ii) Β = α + β αβ 5.49.Να βρεθούν δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που τα τετράγωνά τους να διαφέρουν κατά 99. [Απ.49, 50] 5.50.Αν α = 7, να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α i) α + ii) α α α. [Απ.i)5 ii)64] 5.5.Αν > 0 και ( + ) = 9, να βρείτε την τιμή της παράστασης +. [Απ.8] 5.5.Να αποδείξετε τις επόμενες ανισότητες: i) α + β αβ ii) (α + β) 4αβ + iii)

18 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις iv) α + α, α > 0 Πότε ισχύει η ισότητα σε κάθε μία από αυτές; 5.5.Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο ΕΖΗΘ είναι εγγεγραμμένο στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. A Ε Β Να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που προκύπτει από τα εμβαδά των δύο τετραγώνων και των ίσων τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων για να συμπεράνετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ότι: + y = z Δίνεται το επόμενο σχήμα: B Γ y z y ω ω Θ Η Ζ Γ A Μ Να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που προκύπτει από τα εμβαδά των δύο σχημάτων για να συμπεράνετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ότι: + y = ω. y Β Ομάδα 5.55.Χρησιμοποιήστε το πιο κάτω σχήμα για να δικαιολογήσετε τον τύπο: (α + ) = α + 4α +4. [Απ. =7w] 5.6.Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β και γ οι ο- ποίοι ικανοποιούν την παρακάτω σχέση: α + β + γ α 4β 6γ + 4 = 0. [Απ. α=, β=, γ=] 5.6.Για το επόμενο σχήμα δίνεται ότι: Γ 5.56.Αν οι αριθμοί, y, z είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα το, τότε δείξτε ότι και οι αριθμοί α = + y + z, β = + y + z, γ = + y + z είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου Να δείξετε ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών φυσικών αριθμών αυξημένο κατά μια μονάδα είναι τέλειο τετράγωνο. Δηλαδή, ν(ν+)(ν+)(ν+) + = (ν +ν+) Αν.y = 6 και y + y + +y = 5 να βρείτε την τιμή της παράστασης + y. [Απ. ] 5.59.Δίνεται η αλγεβρική παράσταση: Α = α 0αβ + 7β 8β + 8. α) Να μετασχηματίσετε την παράσταση Α σε ά- θροισμα τετραγώνων. β) Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η παράσταση Α παίρνει την ελάχιστη τιμή. [Απ. β)α=0, β=] Α y Ε Η Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ΑΔ =, ΑΕ = y, ΑΓ = + y. Το εμβαδόν (ΔΕΖΗ) του τετραγώνου ΔΕΖΗ ισούται με τα του εμβαδού (ΑΒΓ) του τριγώνου 5 ΑΒΓ. Να υπολογίσετε: i) Το λόγο y ii) Το λόγο (ΑΔΕ) (ΑΒΓ) Ζ Β [Απ. i) ii) 5 ] 5.60.Για τους πραγματικούς αριθούς, y, z, w ισχύει η ισότητα + 0y + 0z + 9w = 6(y + yz + zw). α) Να μετασχηματίσετε την ισότητα ώστε στο ένα μέλος να γραφεί σαν άθροισμα τριών τέλειων τετραγώνων και στο άλλο μέλος το 0. β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους και w.

19 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Η : Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων 7 ΕΝΟΤΗΤΑ 6. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 6.. Τι ονομάζουμε παραγοντοποίηση; Η διαδικασία να μετατρέπουμε μια παράσταση από άθροισμα σε γινόμενο, λέγεται παραγοντοποίηση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κοινός παράγοντας 6.. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) αβ 4αγ β) 6 + γ) y + 6y y δ) 5α β 5αβγ + 0αβ γ 6.. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) α( ) + β) κ(α ) + 6 α γ) α(+y) 7β(+y) (y+) 6.4. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) (α β) + (α+β) (α β) β(α +β ) β) (5α β)(4 y) + (y 4)α 6.5. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: ν+ ν+ + ν είναι πολλαπλάσιο του 9. Ομαδοποίηση 6.6. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις α) α + ay + + 6y β) 5y 5ω λω + λy γ) 4αy βy + αω βω δ) 5α + 6β 0yα 8yβ ε) y + y 6y στ) ζ) α 5 + α 4 + α + α + α Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) α + αβ β β) + y y γ) α 6α + 5α 0 δ) α α β αβ + β ε) 8y 4y 7αy + α στ) + y y ζ) αβ αβy αγ + αγy η) Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) + (5 y) 5y β) α(α γ) β(β γ) γ) ( β) + y(α ) α( β) δ) y(α +β ) + αβ( +y ) ε) κλ(μ ν ) + μν(κ λ ) 6.9. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) (α+β)(λ+μ) γλ γμ β) κ κy λ + λy + μ μy γ) α β + βy + γy γ αy δ) α β α + α + β αβ ε) y + yω + yφ + yφω + ω 6.0. Οι αριθμοί, y είναι μη μηδενικοί και διάφοροι μεταξύ τους. Αν + y + = τότε να δείξετε ότι οι y, y είναι αντίστροφοι. Διαφορά τετραγώνων 6.. Να κάνετε τις παραγοντοποιήσεις: α) 8α 49β β) y 7 y γ) 45 y 4 80ω δ) 0κ 5 y ε) 9 4 στ) 4 ζ) 8 ζ) 6α 6 49β 8

20 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις 6.. Να υπολογίσετε τις αριθμητικές παραστάσεις: α) 00 β) γ) ε) 6, 7,69 4, δ) , 7, 97,4 6.. Να κάνετε τις παραγοντοποιήσεις: α) α β α + α + β αβ β) 8 4 6y 4 γ) 8 δ) 7 ε) Να κάνετε τις παραγοντοποιήσεις: α) α 5α 4α + 0 β) y 8y + 7 γ) α 4α + 4 δ) α 5 + α 4 α ε) α + β αy βy στ) α α (y + z) ζ) 9α 4α 9β + 4β 6.5. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις i) (5 6) 9 ii) (μ ν) 6ν iii) (α β) (β α) iv) ( 5y) 9(+y) v) 9(α β) 6(α+β) vi) (y z) 6.6. Αν ο είναι φυσικός αριθμός, τότε η παράσταση ( ++) είναι γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών φυσικών αριθμών Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) (4 8) (4 +) β) 5(4 ) ( ) γ) (5 )(+4) + ( 5)( ) Αν ο κ είναι ακέραιος τότε δείξτε ότι ο κ κ γράφεται σαν γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων Έστω ν θετικός ακέραιος και Α = ν ν + ν. i) Να παραγοντοποιήσετε τον Α. ii) Να βρείτε τις τιμές του ν, για τις οποίες ο Α είναι πρώτος αριθμός. [Απ. ii)ν=] Διαφορά & άθροισμα κύβων 6.0. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις i) α 5 ii) 8κ + 7 iii) 7α + 64β iv) 6ω v) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις i) 64 y ii) 6 κ μ 8 iii) α β Ανάπτυγμα τετραγώνου 6.. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) + β) κ 4κy + 4y γ) y + 64y δ) y y ε) + 4 y στ) + y Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις α) α(α+) + β) 9(+y) 6y(+y) + y γ) + +, > 0 δ) y y Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις α) α α + 8α β) γ) y + y Τριώνυμο 6.5. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα α) β) α + α + 7 γ) y + y 0 δ) α + α 5 ε) 6 4 στ) 40 ζ) 4 5 η) θ) 7 84 ι) β + 6β + 5β 6.6. Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α = παίρνει θετικές τιμές, για κάθε > Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα α) + 9α + 4α β) α 4αβ + β γ) μ + 4μν 5ν Ανάπτυγμα τετραγώνου και διαφορά τετραγώνων 6.8. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) α + 6α 9

21 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Η : Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων 9 β) 4y + 4y γ) 9 9α β + 6αβ δ) 9α α + 4 4β ε) + α +βγ α β γ στ) 9y ζ) y η) 6y Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i) α + β + (αβ 8) ii) κ λ y + β γ κλβ γy iii) y 4yω + ω ω 6.0. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: i) α 4 + α + ii) α 4 + α β + β 4 iii) α 4 α β + β 4 iv) v) y 4 y + vi) 5α 4 + α β + 6β Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: i) κ 4 + 4λ 4 + κ λ ii) 4 + 9y + 5 y iii) κ 4 κ + 6 Ανάπτυγμα κύβου 6.. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) β) 8α α + 6α γ) α + 6α + α Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) (+y) (+y). y + (+y). y y β) (κ+λ) + (κ λ) + (κ+λ). (κ λ) + (κ+λ). (κ λ) Όλες οι περιπτώσεις 6.4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α) ( )(+) + β) (α+β)(β α) + (α β) (α 4β ) γ) ( 9) (+) δ) ( 5+) ε) 5κ 9 5 κ στ) y y 6.5. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i) κ + λ κ + λ κλ ii) + (α+) + α + α iii) γ + 9(β α ) + 6βγ iv) α + β γ δ αβ + γδ v) α + α(β+) +β(α+) + β 6.6. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις i) α + αβ + β ii) 9 4y 4y iii) y ω + yω + iv) y + 9y 4 v) 9( + y) 6y( + y) + y vi) (α ) (α ) (α ) vii) (ω ) (ω 4) + (4 ω ) 6.7. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: i) ( 5+6)( ) ( )( ) ii) 4(αδ + βγ) (α β γ + δ ) iii) (5α +α ) (α α ) iv) ( 6)( ) (5 0)( ) v) (ω 9) (ω + ) 6.8. Να γίνει γινόμενο η παράσταση: (ν + ν + ). [Απ.ν(ν+)(ν+)(ν+)] 6.9. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις α) κ 4 λ 4 (κ+λ)(κ λ) β) (α + ) 4α γ) α 6 δ) (α + β γ ) 4α β Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις α) 4α 4α + α(α ) + 8α 9α β) κ 5 + κ 4 + κ κ κ 6.4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i) ii) (++ ) iii) (++ ) iv) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις i) α + β α β α β αβ ii) αβ α β + βγ β γ + α γ αγ iii) αβ + α β + βγ + β γ + α γ + αγ + αβγ iv) α β α β + β γ β γ + γ α γ α Θέματα με παραγοντοποίηση 6.4. i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή των μη αρνητικών ακεραίων α, β με α > β ο αριθμός (α+ ) (β+ ) κ = 4 είναι θετικός ακέραιος. ii) Να προσδιορίσετε τις τιμές των α, β για τις οποίες ο κ είναι πρώτος, δηλαδή είναι κ > και οι μοναδικοί θετικοί διαιρέτες του είναι οι αριθμοί και κ. [Απ. ii)α=, β=0] Αν ισχύει ( ) (0 5 5) = 0 ν, όπου ν φυσικός αριθμός, να βρεθεί η τιμή του ν. [Απ. ν=7]

22 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις Να απλοποιηθεί το κλάσμα: Κ = [Απ. Κ= ] Να γίνει γινόμενο η παράσταση Π = α + β α β α β αβ Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: Α = ( + + ) (Υπόδειξη: Προσθέστε και αφαιρέστε τον.) [Απ. Α=(++ )(4+ )] α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 4 + 4y 4. β) Αν οι αριθμοί, y είναι θετικοί ακέραιοι και y, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 4 + 4y 4 είναι σύνθετος Δίνεται το άθροισμα S = α) Να αποδείξετε ότι = και έπειτα ότι S = β) Να υπολογίσετε το S χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που εφάρμοσε ο Gauss όταν ήταν μικρός. [Απ. β)s=5050]

23 ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Η : Διαίρεση Πολυωνύμων ΕΝΟΤΗΤΑ 7. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.. Να κάνετε τις διαιρέσεις: i) ( + 45) : ( + 5) ii) ( ) : ( 5) iii) ( 7 ) : ( + ) iv) (5α 4α + 7α + 6) : (5α + ) 7.. Να εκτελέσετε τις διαιρέσεις: i) ( ) : ( + ) ii) (ω + 4ω ω 0) : (ω ω 6) iii) ( y 4 + 8y 6y + 8) : (y 4) iv) ( ) : ( + + ) 7.. Να γίνουν οι διαιρέσεις: i) [(+5) + (+) (+4) (+) ] : ( ) ii) [( 9) (+5)( ) ] : ( + ) iii) 7.4. Να βρεθεί το πολυώνυμο, το οποίο πολλαπλασιαζόμενο με το + να δίνει γινόμενο το Να βρεθεί το πολυώνυμο, το οποίο πολλαπλασιαζόμενο με το + γίνεται Αν είναι φ() = 5 +, να εκτελεστεί η διαίρεση: [φ() + φ( ) φ( )] : ( ) 7.7. Αν είναι φ() = +, να γίνει η διαίρεση: [φ(+) + φ( ) φ()] : ( )

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 8. Ε.Κ.Π. & Μ.Κ.Δ. ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8.. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων: α) α β γ, 5α β γ, 6α 4 β β) 8α, 4α 5, α γ) α (α β), 6α β(α β) (α + β) 8.. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων: α) 4( y ), 6( + y), ( y) β) α β, (α β), α β γ) α 6α + α 8, α 4, α α δ) α α +, α + α 4, α α, α α +

25 ΕΝΟΤΗΤΑ 9 Η : Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 9. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9.. Τι ονομάζουμε κλασματική αλγεβρική παράσταση; Μια αλγεβρική παράσταση που περιέχει μεταβλητή στον παρονομαστή, λέγεται κλασματική αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα: Οι παραστάσεις, α 5y, είναι κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις. 4 β + y y ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9.. Να απλοποιηθoύν τα κλάσματα i) αλμ α α ii) αλ 6α 8α iii) a 4 a 4β iv) α 6α α αβ 9.. Να απλοποιηθoύν τα κλάσματα α β 4 y i) ii) 4β 4α y y iii) + 9 iv) Να απλοποιηθoύν τα κλάσματα α 4αβ+ 4β i) ii) ( ) α 4β aλ αμ+ λ μ iii) iv) αβ αγ+ β γ α + β α αβ+ β 9.5. Να απλοποιηθoύν οι παραστάσεις 9 4y y 7y + 7 i) ii) 9 y+ 4y iii) 49 6y 49 56y+ 6y iv) αβ + α β 6α β 6αβ 6α β 9.6. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα i) 4 ω ii) ω 9 4+ iii) ( αβ ) ( α+ ) ( 4) ( + ) iv) αβ+ α+ β Δίνεται το κλάσμα Κ = i) Για ποιες τιμές του ορίζεται το κλάσμα; ii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα; iii) Για ποιες τιμές του παίρνει την τιμή μηδέν; [Απ. i) και iii)=-4] 9.8. Για ποιες τιμές του κ το παρακάτω κλάσμα παίρνει την τιμή μηδέν; κ 4κ+ 49 κ 49 [Απ. καμμία] (α β) (α β) 9.9. Δίνεται η παράσταση Α = (5α 4 β) (4α 5 β) και οι αριθμοί α, β δεν είναι ίσοι ούτε αντίθετοι. Να δείξετε ότι Α > Να απλοποιηθoύν οι παραστάσεις i) + ( α+ β) αβ ii) αβ β iii) 4 4 α β α β iv) a + a β + αβ + β α a β β 9.. Να απλοποιηθεί η παράσταση: y y + y 4 y y + y 9.. Δίνεται το κλάσμα Α = ( ) i) Ποιες τιμές δεν μπορεί να πάρει το ; ii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα.

26 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις iii) Να λυθεί η εξίσωση Α =. [Απ. iii)=-] 9.. Δίνονται οι παραστάσεις Α = 7+ 6, 6 Β = i) Για ποιες τιμές του ορίζονται οι δύο παραστάσεις; ii) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. iii) Να αποδείξετε ότι: (Α+Β) (Α Β) = Να δείξετε ότι: y + y y y+ y = + y + y

27 ΕΝΟΤΗΤΑ 0 Η : Πράξεις Ρητών Παραστάσεων 5 ΕΝΟΤΗΤΑ 0. ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πολλαπλασιασμός Διαίρεση ρητών παραστάσεων 0.. Να γίνουν οι πράξεις: i) Να γίνουν οι πράξεις: α β i) ii) 4 6αβ 5α 5α iii) κ 6 κ : κ κ+ κ κ + κ 4 ii) : + α+ β α β α 6 : α+ α 8α+ 6 α 9 [Απ. i) 5α ii) α- α Να αποδείξετε ότι η παράσταση: 4 y y y + y A = : είναι σταθερή. y + y+ y 0.4. Να αποδείξετε ότι η παράσταση: 8 4 y : : είναι σταθερή. y + y+ y y y 0.5. Δίνεται το κλάσμα Α = i) Για ποιες τιμές του ορίζεται το κλάσμα; ii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα. iii) κ -κ ] [Απ. A=] 0.6. Να δείξετε ότι: α + α + : α (4α+ 5)( α+ ) =. 5+ 4α 6α α α [Απ. ] 0.8. Να γίνουν οι πράξεις: i) y ii) + y y iii) + 4 α α + α 4 iv) + 6 α + α α 9 v) α β α + β α [Απ. i) + ( β) ( α)( β) ii) + y iii) α + iv) α + v)] 0.9. Αν οι αριθμοί, y, z είναι διαφορετικοί ανά δύο, να δείξετε ότι: + + = 0. ( y)( z) ( y z)( y ) ( z )( z y) 0.0. Να γίνουν οι πράξεις: + y 4y i) y y α + β α + β + αβ ii) + α αβ α β α α + β iii) + α αβ+ β αβ a + αβ α iv) y + ( α + ) ( α + y) y y y v) α α 4 α α + 4 a y [Απ. i) + y ii)- α β iii)- α β α iv) v)- ] α + Πρόσθεση Αφαίρεση ρητών παραστάσεων 0.7. Να εκτελέσετε τις πράξεις: i) β + 4 ii) 5αα 4β β [Απ. i)- α ii) 4 ] 0.. Να γίνουν οι πράξεις: i) + 5α + α + a 6a 6 ii) + α β α + αβ α αβ β iii) + α 4αβ α β β + α a 4β

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 009 ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα; Γράψτε ένα παράδειγμα δύο αντίθετων μονωνύμων. β) Ποια αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Θέματα απολυτήριων εξετάσεων Γ Γυμνασίου σχολικού έτους 013-014 ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά B Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Φυσικοί & Δεκαδικοί Αριθμοί Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ 119. Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Άσκηση 1 η. Άσκηση 2 η. Άσκηση 3 η

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ 119. Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Άσκηση 1 η. Άσκηση 2 η. Άσκηση 3 η ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 119 α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται. Δώστε ένα παράδειγμα μονωνύμου. β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) α + β = α + αβ + β γ. Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 5 7 ii. 8 6 iii. 6 4 iv. 9 5 v. 15 15 vi. 17 0 vii. 0 15 viii. 13 14 ix. 12 16 2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 6,35

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. ςεδς

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. ςεδς 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) 3 ) 3) 5 3 3 5 3 5) 5 4) 3 5 6) ( α 3 + 3β ) 7) (7 + )(7 ) 8) (β 4 + 1)(β + 1)(β + 1)(β 1). Να κάνετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα