ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Transcript

1 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2

3 Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων Αξιοσημείωτες ταυτότητες Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Διαίρεση πολυωνύμων Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Πράξεις Ρητών παραστάσεων

4

5 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΕΝΟΤΗΤΑ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ.. Ποιές είναι οι ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού; Οι ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού παρουσιάζονται στον επόμενο πίνακα: Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Ιδιότητα α + β = β + α α. β = β. α αντιμεταθετική (α + β) + γ = α + (β + γ) α. ( β. γ ) = ( α. β ). γ προσεταιριστική α + 0 = α α + ( α) = 0 α. ( β + γ ) = α. β + α. γ α. = α α α =, α 0 α. 0 = 0 επιμεριστική.. Να γράψετε τους ορισμούς και τις ιδιότητες των δυνάμεων. Ορισμοί: Ιδιότητες: Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός με ν Με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται έχουμε: τότε ορίζουμε: α ν = ααα... α. α μ. α ν = α μ+ν ν παραγοντες Για ν = ορίζουμε α = α. Για α 0, ορίζουμε α 0 = και Είναι α ( ) β β α ν = ( )ν α ν = ν α., α, β 0. α α μ ν = α μ ν. α ν. β ν = (α. β) ν ν ν α 4. = ν β ( α β ) 5. (α μ ) ν = α μν.. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α;. Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, ονομάζουμε τον θετικό αριθμό που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α. Δηλαδή α =, τότε = α ή ( ) α = α. Ακόμα ορίζουμε 0 = Να αποδείξετε ότι α β = αβ, με α, β 0. Υψώνουμε κάθε μέλος της ισότητας στο τετράγωνο και έχουμε: Από το ο μέλος: ( α β) α β = α.β = ( ) ( ) Από το ο μέλος: ( αβ ) = α.β

6 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις Άρα ( α β) = ( αβ) και επομένως α β = αβ..5. Να αποδείξετε ότι α β = α β με α 0 και β > 0. Υψώνουμε κάθε μέλος της ισότητας στο τετράγωνο και έχουμε: Από το ο μέλος: Από το ο μέλος: Άρα α β = α β α β α β = ( α ) ( β ) = α β και επομένως = α β α β =.5.. Αν α > 0 και β > 0 τότε α+ β α + β Η ισότητα α+ β = α + β ισχύει αν ένας τουλάχιστον είναι ίσος με 0. α β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα.6. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6 0+ (4 y ) Α = 00 ( + ( z) + ( y+ z) ) y, αν είναι + y = 00. [Απ. Α=-00].. Αν = και y = 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = 5. ( y y) [Απ ].7. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Π = ( ) 4 6 [Απ. Π=].. Δείξτε ότι = Δείξτε ότι =..8. Να μετατρέψετε την παράσταση: ( ).(.. ) σε δύναμη με βάση το Να μετατρέψετε την παράσταση: ( ) : +. + σε δύναμη με βάση το. [Απ. 0 ] [Απ. 7 ].5. Να γίνουν οι πράξεις: α) 4 β) Να εκτελέσετε τις πράξεις: 0 6 α) β) 5 [Απ. α) β)] [Απ. α) β)].0. Αν ισχύει + 4y = 5 να αποδείξετε ότι το κλά- y σμα Α = + y y.. Αν = 0,0 και y = 0 έχει σταθερή τιμή., να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α = [Απ. Α=] 7 5 ( y ) : y. [Απ. Α=000].7. Να εξετάσετε αν η παράσταση: είναι πολλαπλάσιο του 7. [Απ. 4=πολ.7].8. Αν α, β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, να υπολογίσετε την παράσταση: 49 β + 4β + α α. [Απ. 7]

7 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς 5.9. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α = 4 + και Β = 8 0 [Απ. Α=+, Β=4-5 ].5. Να βρείτε το αποτέλεσμα: [Απ. 7].0. Αν, y είναι μη αρνητικοί αριθμοί, τότε να δείξετε ότι η παράσταση: 5 y y y y είναι ίση με μηδέν... Να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με μια πλευρά cm και αντίστοιχο ύψος cm. [Απ. Ε=cm ].. Να βρείτε το αποτέλεσμα: i) 6 6+ ii) [Απ. i)5 ii)4].. Αν Α = + και Β = 8, να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α+Β, Α Β, Α. Β. [Απ. Α+Β= -, Α-Β= -, ΑΒ=].4. Να απλοποιήσετε οι παραστάσεις i) Α = + 7 ii) Β = [Απ. i)α=6 ii)β= ].6. Να λύσετε την εξίσωση: = 5 ( ).7. Να λύσετε την εξίσωση: 5 = Να αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης : είναι ίση με Να αποδείξετε ότι: 5 60 : =. 5 [Απ. =] [Απ. = 5 ].0. Ένα τραπέζιο έχει βάσεις 7 cm και cm και ύψος cm. Πόσες φορές είναι μεγαλύτερο το εμβαδόν του από το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς 5 cm; [Απ. φορές] β Ομάδα.. Να αποδείξετε ότι ( ) + ( + ) =... Να συμπληρώσετε το παρακάτω τετράγωνο ώστε να γίνει μαγικό, δηλαδή όλες του οι γραμμές, οι στήλες και οι διαγώνιοι να έχουν το ίδιο άθροισμα Να υπολογιστεί η παράσταση [Απ. 6]

8 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ.. Τι ονομάζουμε αλγεβρικές παραστάσεις; Οι εκφράσεις που περιέχουν μεταβλητές, λέγονται αλγεβρικές παραστάσεις.... Για παράδειγμα, αλγεβρικές παραστάσεις είναι: 5, 4α, α + 9β,,6κ 4 + λμ.. Τι ονομάζουμε αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης; Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται, προκύπτει ένας αριθμός που λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης.... Για παράδειγμα: Αν για α = η τιμή της αλγεβρικής παράστασης α 5α 8 είναι ( ) 5( ) 8 = = = 4... Τι ονομάζουμε μονώνυμο; Μονώνυμο ονομάζουμε την αλγεβρική παράσταση που σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού.... Παραδείγματα μονωνύμων:, α, 5, α β 4, 4,5κ 6 λ μ Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; Δύο ή περισσότερα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια μονώνυμα..4.. Για παράδειγμα: Τα μονώνυμα α βγ 5, 9α βγ 5,,7α βγ 5 είναι όμοια..5. Πως βρίσκουμε το άθροισμα όμοιων μονωνύμων; Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι ένα όμοια με αυτά μονώνυμο που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους..5.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Το άθροισμα των όμοιων μονωνύμων 5α β, α β, α β είναι: 5α β + α β + ( α β) = (5 + )α β = 4α β..6. Τι ονομάζουμε πολυώνυμο; Πολυώνυμο ονομάζουμε την αλγεβρική παράσταση που είναι άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια..6.. Για παράδειγμα:, 5α β +,α β, 6μ 5 μν + 4 μ νρ 5.

9 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα 7.7. Πως βρίσκουμε το γινόμενο μονωνύμων; Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη σε καθεμιά το άθροισμα των εκθετών τους..7.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Το γινόμενο των μονωνύμων α β, 4 αβ5 γ 4, αβγ 5 είναι: (α β).( 4 αβ5 γ 4 ).( αβ) = ( 4 )( )α αα.ββ 5 β.γ 4 γ.) = α4 β 7 γ Πως βρίσκουμε το πηλίκο δύο μονωνύμων; Το πηλίκο δύο μονωνύμων βρίσκεται, όπως και στους αριθμούς, με πολλαπλασιασμό επί τον αντίστροφο του διαιρέτη..8.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: () α 5 β γ : ( α βγ) = α 5 β γ. α βγ () ( 0 y ω) : ( 5y 4 ω) = ( 0 y ω). 4 5y ω 5 5 αβγ = = β γ α = 4α β. αβγ α β γ 0 y ω = = 0 y ω 4 4 5y ω 5 y ω = y..8.. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στο προηγούμενο παράδειγμα βλέπουμε ότι το πηλίκο δύο μονωνύμων ΔΕΝ είναι πάντοτε μονώνυμο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ.9. Να βρείτε ποιες από τις επόμενες παραστάσεις είναι μονώνυμα i) α β γ ii),4 4 y 5 iii) y iv) 4 6 ω - v) vi) (+ 5 )κλ.0. Αν +y = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) + y(y ) + y [Απ. 0].. Να αντικαταστήσετε τα κενά με τα κατάλληλα μονώνυμα στην ισότητα α) α y 7α y 5 y 5 + 7α y + + = 5α y β) 0,6α β γ + α γ 5 α β γ + + 4γ α = α γ.. Για ποια τιμή του κ η αλγεβρική παράσταση (5κ+4)α 4 β γ είναι το μηδενικό μονώνυμο;.. Να βρείτε ποια από τα επόμενα μονώνυμα, y, y, y, y,, είναι όμοια..4. Να κάνετε τις πράξεις: i) y y y + y ii) y ω ωy 5y ω y ω + 6 iii) κ λ μ 4 κ λ μ 4,5κ μ 4 λ κ λ μ 4.5. Δίνονται τα μονώνυμα α y β+, y 4 β. Να βρείτε τις τιμές των α, β ώστε τα παραπάνω μονώνυμα να είναι όμοια. [Απ. α=, β=].6. Να προσδιορίσετε τους ακέραιους αριθμούς κ, μ ώστε να είναι μονώνυμο η αλγεβρική παράσταση: α κ+ + 5α μ+.7. Να προσδιορίσετε τους ακέραιους αριθμούς λ, μ ώστε να είναι μονώνυμο η αλγεβρική παράσταση: α y μ+7 + α λ+ y.8. Να κάνετε τις πράξεις: i) y. ( y 4 ) ii) ( ). ( ) iii) 5 y ω. 5 ( 5 y ω) 8 iv) y. ( 4 y). ( 4 y 6 ) v) y. ( α β γ). 4α γ 5. ( α βγ ).9. Να κάνετε τις πράξεις: i) ( ) αβ. ( β α 5 ). ( αβ 4 γ) ii) ( y ω). ( ) 4 ω y α 4 αy

10 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις iii) ( κλ μ ). ( κ 4 λμ ). 5 6 ( ) μκλ v) ( α β y) ( αβ y ) ( a y ).0. Να κάνετε τις πράξεις: i) 8 : ( 6 5 ) ii) ( 4α 9 β 7 ) : (6α 5 β ) iii) ( 8α β ) : (9α β) iv) 0y 4 z : ( 5 y 4 z 5 ).. Να εκτελέσετε τις πράξεις: i) [ y 4. ( 6 y)] : ( 4 5 y 7 ) ii) [( 4α β ). α 5 ). ( α 6 β)] : ( 4α β 5 4 ) iii) ( α 5 ) : ( 9 4 α 4 4 ) 4 iv) ( κλμ) :( κλ) :( μλ) 4

11 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Πολυώνυμα - Πρόσθεση & Αφαίρεση πολυωνύμων 9 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ..Τι ονομάζουμε αναγωγή των όμοιων όρων; Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους, η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή των όμοιων όρων.... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: 5α α +6β + + 9β α + β + α = 4α α + 4β +. ΑΣΚΗΣΕΙΣ..Να κάνετε τις αναγωγές των όμοιων όρων i) ii) iii) α + + α iv) α 6α + 5α + α α Αν Α = +, Β = ++5 και Γ = να βρεθούν τα επόμενα αθροίσματα i) Α + Β ii) Α + Β + Γ iii) Α Β Γ.4.Να κάνετε τις πράξεις: i) [(5 ) + 4 ( +6)] + ( 5) ii) 5α (α +α ) + [ (α α 4) + ( +6α)].5.Να εκτελέσετε τις πράξεις: i) ( ) [ ( )] { [+4 ( )]} ii) { [ ( )]+} { + [+( ) ] } 4

12 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 4. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο; Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: (α β).(αβ β γ + 4) = 6α β α β γ + 8α β. 4.. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πολυώνυμα; Για να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός με κάθε όρο του άλλου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: (α ).(α α 4) = α α 4α α + 6α + 8 = α 5α + α ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όταν κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μονωνύμου με πολυώνυμο ή δύο πολυωνύμων, λέμε πολλές φορές ότι αναπτύσσουμε τα γινόμενα αυτά και το αποτέλεσμα λέγεται ανάπτυγμα του γινομένου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.. Να γίνουν οι πράξεις: ( y)y + (y+y )( ) + (+y)( y) (+)y. Μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του εξαγόμενου για = και y = Να δείξετε ότι η αλγεβρική παράσταση (α α+) (α+)(α ) (α +) + α έχει σταθερή τιμή για τις διάφορες τιμές των α, Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του εξαγόμενου για τις τιμές των μεταβλητών που αναφέρονται. α) (+)( + ) ( )(+), =. β) ( y y )( y) (+y) ( y)( y ), =, και y = Να γίνουν οι πράξεις: α) ( ) 4 (+) + 4( ) β) 5 ( +4) +( )( 4 ) ( ) γ) α(α αβ+β ) β (α β)( αβ) 4α β δ) [ (+4) ] [ + ( )] 5 ε) α{αβ [α ( αβ+4)] + } (α ) 4.7. Να αντικατασταθούν οι παρακάτω αστερίσκοι έτσι, ώστε να ισχύει κάθε μια από τις ισότητες: α) *. (4β 7β+8) = 8β 49β + 56β β) *. ( +8 7) = * * γ) 5α β ( * 9β + * ) = 0α 5 β 7 * + α 4 β Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς: α) (+)( ) β) ( +4)( 5) γ) (+)( )(+5) δ) (+)(+)(+) 4.9. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς: α) (κ )( κ)(κ ) β) μ(μ )(4μ+)( μ) γ) ( )( 5)( +5 ) δ) (α+)( α)(α α )(4 α ) 4.0. Να γίνουν οι πράξεις:

13 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων i) ( )( ) + ( +)( + ) ii) α(α+)( α) (α +α )( α+α ) 4.. Αν Α = α α+, Β = α+ και Γ = α να βρεθούν τα εξαγόμενα: Α. Β, Β. Γ, Α. Γ και Α. Β + Β. Γ Γ. Α. 4.. Αν Κ = 4, Λ = και Μ = + να βρεθούν τα εξαγόμενα: K. Λ, Λ. Μ, Κ. Μ και K. Λ Κ. (Λ. Μ Κ. Μ). 4.. Να εκτελέσετε τις πράξεις: 5 7 y y y y ( y)(4 y) ( )( ) ( ) 4.4. Ένα τραπέζιο έχει βάσεις, και ύψος. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών του τραπεζίου και του τετραγώνου. [Απ. 4 ]

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 5. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 5..Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) α(α ) = α α (ii) ( + )( + 5) = (iii) κ + λ = (κ + λ) κλ Τετράγωνο αθροίσματος 5..Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β) = α + αβ + β. Είναι : (α + β) = (α + β)(α + β) = α + αβ + βα + β = α + αβ + β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) (α + ) = α + α. + = α + 6α + 9. (ii) (5 + 4y) = (5) y + (4y) = y + 6y. (iii) (μ + 4 ν ) = (μ ) +. μ. 4 ν + ( 4 ν ) = 4μ 6 + μ ν + 6 ν4. Τετράγωνο διαφοράς 5..Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) = α αβ + β. Είναι : (α β) = (α β)(α β) = α αβ βα + β = α αβ + β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) (β ) = β β. + = β β +. (ii) ( 6 + 7α) = (7α 6 ) = (7α). 7α. 6 + (6 ) = 49α 84α κ (iii) 4λμ = κ + 4λμ = κ + 4λμ = κ +. 4 κ. 4λμ + (4λμ ) 8 = κ + 4κ 4 λμ + 6λ μ 6. 4

15 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Η : Αξιοσημείωτες ταυτότητες Κύβος αθροίσματος 5.4.Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β) = α + α β + αβ + β. Είναι : (α + β) = (α + β)(α + β) = (α + β)(α + αβ + β ) = α + α β + αβ + βα + αβ + β = α + α β + αβ + β. Κύβος διαφοράς 5.5.Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) = α α β + αβ β. Είναι : (α β) = (α β)(α β) = (α β)(α αβ + β ) = α α β + αβ βα + αβ β = α α β + αβ β. Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά 5.6.Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β)(α β) = α β. Είναι : (α + β)(α β) = α αβ + βα β = α β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (i) (9α + βy)(9α βy) = (9α) (βy) = 8α 4β y. (ii) ( μ 5 + λ ν )(μ 5 + λ ν ) = (λ ν μ 5 )( λ ν + μ 5 ) = (λ ν ) (μ 5 ) = λ 6 ν 4 9μ 0. Διαφορά κύβων Άθροισμα κύβων 5.7.Να αποδείξετε τις ταυτότητες (i) α β = (α β)(α + αβ + β ). (ii) α + β = (α + β)(α αβ + β ). (i) Το ο μέλος της ταυτότητας γράφεται: (α β)(α + αβ + β ) = α + α β + αβ βα αβ β = α β. (ii) Το ο μέλος της ταυτότητας γράφεται: (α + β)(α αβ + β ) = α α β + αβ + βα αβ + β = α + β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα 5.8.Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) ( + 5) β) ( ) γ) (α 7β) δ) (y + ) ε) ( 4y) στ) (α αβ ) 5.9.Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) ( + 4y) β) (7α β ) γ) (α α ) δ) ( 4a + α β) ε) ( 5 6 y 4 y ) στ) ( αβ γ 6 βγ ) 5.0.Να βρείτε τα αναπτύγματα: y ) α) ( α + β 4 ) β) ( + 4 γ) ( α 4 β5 ) δ) ( 4 y 6 y ) 5..Να μετατρέψετε την παράσταση (α + β) + (αγ + βγ) σε μία δύναμη. 5..Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε να προκύψουν τέλεια τετράγωνα και μετά να τα γράψετε ως τέλεια τετράγωνα: α) + α + β) 4 + 4y + γ) 9α 6αβ + δ) + 4y +

16 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ε) 5α + 4β + στ) 8μ + 49ν ζ) 40y η) 60κλ + 9κ + θ) μ ν + 4ν Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε να προκύψουν τέλεια τετράγωνα και μετά να τα γράψετε ως τέλεια τετράγωνα: α) α αβ + β) α γ) δ) 49α6 + β 8 + ε) 9 4 6y + στ) 5 4 a 5β Αν (α+β) = α + β +, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι. 5.5.Να αποδείξετε ότι η αριθμητική τιμή της παράστασης Α = (ν+) (ν ) είναι πάντοτε πολλαπλάσιο του 4, όταν ο ν παίρνει ακέραιες τιμές. 5.6.i) Να συγκρίνετε τους αριθμούς κ + λ και κλ. ii) Με τη βοήθεια της προηγούμενης σύγκρισης να αποδείξετε ότι: α + β + γ αβ + βγ + γα. 5.7.Να βρείτε τα γινόμενα: α) (4+)(4 ) β) (αβ+)(αβ ) γ) (5α β )(5α+β ) δ) ( y 4 a )( y 4 +a ) 5.8.Να βρείτε τα γινόμενα: α) (7a+4β)(4β 7α) β) ( 5 y ω )(ω + 5 y ) γ) (4α 9β y)( 4α 9β y) δ) ( a 4 κ)( a 4 κ ) 5.9.Να βρείτε τα γινόμενα: α) (+y )(+y+) β) (+y ω)(+y+ω) γ) (α+β γ)(α β+γ) δ) ( + +)( +) ε) (α +β y)(α++β+y) 5.0.Αν α =, β = +, να υπολογιστούν: αβ( α + β ) i) α.β ii) α + β iii) α+ β [Απ. i) ii) iii)6] 5..Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) ( + 4) β) ( ) γ) ( y) δ) (y + ) ε) ( + y) στ) ( a α ) 5..Να γίνουν οι πράξεις: α) (α+β) (α β) 5β β) ( α) (α β)(α+β ) ( β) γ) ( +y ) (y + ) + ( y )( +y ) δ) (+) + ( ) + (+)( ) ( 5) 5..Να εκτελέσετε τις πράξεις: α) (+) +( ) +( ) (+) + (+)( ) (+)( ) β) (+5) ( 5) + ( ) (+) ( )(+) γ) (+) + (+)( ) (+)( ) ( )( ) δ) ( +) + ( ) ( +4) + ( ) + ( )( +) 5.4.Να αποδείξετε ότι: (+)( )( ) ( ) ( )( 5) + 5 = 0( ). 5.5.Αν α = 4 5 και β = 6 0 τότε: i) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α β. ii) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι. 5.6.Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ δίνονται από τις ισότητες β = και γ = Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου. [Απ. Π=0, Ε=0] 5.7.Αν αφαιρέσουμε από το τετράγωνο του ημιαθροίσματος δύο αριθμών, το τετράγωνο της ημιδιαφοράς τους, βρίσκουμε τον αριθμό. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί αυτοί είναι αντίστροφοι. 5.8.Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ρ = λύση της εξίσωσης: = 0. είναι 5.9.Αν 6y + y 8y + 8 = 0 α) Να δείξετε ότι: ( y) + (y ) = 0. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Α(,y) που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση. [Απ. β)α(6,)] 5.0.Να αποδείξετε ότι: α) α β = (α β) + αβ(α β). β) α + β = (α + β) αβ(α + β). 5..Να εκτελεστούν οι πράξεις: α) ( ) (+) ( )(+) β) (+y) y( y)(+y) ( y) γ) (+) ( ) + ( )(+)( ) 5..Να βρείτε τα εξαγόμενα: i) (+) + (+) ( ) + (+)( ) + ( ) ii) ( y) ( y) (+y) + ( y)(+y) (+y) iii) (κ+λ) (κ λ) (κ+λ) (κ λ) + (κ+λ)(κ λ)

17 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Η : Αξιοσημείωτες ταυτότητες 5 iv) 5 y y Να αποδείξετε ότι: α) (α+β) (α β) = 4αβ β) (α +β ) (αβ) = (α β ) α+β γ) ( ) α β ( ) + 5 y 5 y y 5 y = αβ δ) (+y) ( y) 5y = 0y ε) (α +4)( +) (α+) = ( α) στ) (α +β )( +y ) = (α+βy) + (αy β) 5.4.Να αποδείξετε ότι: ( ) α) αα+ αα ( ) = α 5.5.Αν μ > ν, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί μ + ν, μ ν και μν είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου. 5.6.Αν μ >, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί μ, και μ + είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου. μ 5.7.Να αποδείξετε ότι: α) (α+β) + (β+γ) + (γ+α) α β γ = (α+β+γ) β) ( +y +y) = y + (+y) ( +y ) γ) (α+β+γ) + (α+β γ) + (α β+γ) + (α β γ) = 4(α +β +γ ) 5.8.Να αποδείξετε ότι: ( +) ( +) ( ) + 7 = 5( 4 ) ( )(4 +) 5.9.Να υπολογίσετε τις αριθμητικές παραστάσεις: α) β) γ) = (000+)( ) δ) ε) Να συμπληρώσετε τα κενά: i) (α + ) = + + 9β ii) (α + ) = iii) ( y ) = iv) ( κ) = 4μ κ + v) ( + ) = 4α + 9β 4 + vi) ( ) = Να συμπληρώσετε τα κενά: i) ( 5α + )( 8β ) = ii) ( )( + ) = α β y 6 iii) ( )( + ) = α β Να συμπληρώσετε τα κενά: i) ( + ) = 64α β ii) ( + ) = 8α + α β + + iii) ( α) = Να αποδείξετε τις ισότητες: i) (α+) = α(α ) + (α ) ii) (α+β) = α(α β) + β(β α) iii) ( +y ) ( +y ) + y (+y) = (y) 5.44.Αν = α β, y = αβ και ω = α +β, να αποδείξετε ότι θα είναι + y = ω Αν α = (+), β = ( ) και γ = α+8 τότε α- ποδείξτε ότι: α β + γ = (+) 5.46.Αν + y = και y =, να υπολογίσετε τις α- ριθμητικές τιμές των παραστάσεων: i) + y ii) + y [Απ.i) ii)6] 5.47.Αν + y = α και y = β, να αποδείξετε ότι: i) + y = α β ii) + y = α αβ 5.48.Αν α = 5 + και β = 5, να βρεθεί η τιμή των επόμενων παραστάσεων: i) Α = α αβ + β ii) Β = α + β αβ 5.49.Να βρεθούν δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που τα τετράγωνά τους να διαφέρουν κατά 99. [Απ.49, 50] 5.50.Αν α = 7, να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α i) α + ii) α α α. [Απ.i)5 ii)64] 5.5.Αν > 0 και ( + ) = 9, να βρείτε την τιμή της παράστασης +. [Απ.8] 5.5.Να αποδείξετε τις επόμενες ανισότητες: i) α + β αβ ii) (α + β) 4αβ + iii)

18 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις iv) α + α, α > 0 Πότε ισχύει η ισότητα σε κάθε μία από αυτές; 5.5.Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο ΕΖΗΘ είναι εγγεγραμμένο στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. A Ε Β Να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που προκύπτει από τα εμβαδά των δύο τετραγώνων και των ίσων τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων για να συμπεράνετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ότι: + y = z Δίνεται το επόμενο σχήμα: B Γ y z y ω ω Θ Η Ζ Γ A Μ Να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που προκύπτει από τα εμβαδά των δύο σχημάτων για να συμπεράνετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ότι: + y = ω. y Β Ομάδα 5.55.Χρησιμοποιήστε το πιο κάτω σχήμα για να δικαιολογήσετε τον τύπο: (α + ) = α + 4α +4. [Απ. =7w] 5.6.Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β και γ οι ο- ποίοι ικανοποιούν την παρακάτω σχέση: α + β + γ α 4β 6γ + 4 = 0. [Απ. α=, β=, γ=] 5.6.Για το επόμενο σχήμα δίνεται ότι: Γ 5.56.Αν οι αριθμοί, y, z είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα το, τότε δείξτε ότι και οι αριθμοί α = + y + z, β = + y + z, γ = + y + z είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου Να δείξετε ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών φυσικών αριθμών αυξημένο κατά μια μονάδα είναι τέλειο τετράγωνο. Δηλαδή, ν(ν+)(ν+)(ν+) + = (ν +ν+) Αν.y = 6 και y + y + +y = 5 να βρείτε την τιμή της παράστασης + y. [Απ. ] 5.59.Δίνεται η αλγεβρική παράσταση: Α = α 0αβ + 7β 8β + 8. α) Να μετασχηματίσετε την παράσταση Α σε ά- θροισμα τετραγώνων. β) Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η παράσταση Α παίρνει την ελάχιστη τιμή. [Απ. β)α=0, β=] Α y Ε Η Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ΑΔ =, ΑΕ = y, ΑΓ = + y. Το εμβαδόν (ΔΕΖΗ) του τετραγώνου ΔΕΖΗ ισούται με τα του εμβαδού (ΑΒΓ) του τριγώνου 5 ΑΒΓ. Να υπολογίσετε: i) Το λόγο y ii) Το λόγο (ΑΔΕ) (ΑΒΓ) Ζ Β [Απ. i) ii) 5 ] 5.60.Για τους πραγματικούς αριθούς, y, z, w ισχύει η ισότητα + 0y + 0z + 9w = 6(y + yz + z). α) Να μετασχηματίσετε την ισότητα ώστε στο ένα μέλος να γραφεί σαν άθροισμα τριών τέλειων τετραγώνων και στο άλλο μέλος το 0. β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους και w.

19 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Η : Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων 7 ΕΝΟΤΗΤΑ 6. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 6.. Τι ονομάζουμε παραγοντοποίηση; Η διαδικασία να μετατρέπουμε μια παράσταση από άθροισμα σε γινόμενο, λέγεται παραγοντοποίηση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κοινός παράγοντας 6.. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) αβ 4αγ β) 6 + γ) y + 6y y δ) 5α β 5αβγ + 0αβ γ 6.. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) α( ) + β) κ(α ) + 6 α γ) α(+y) 7β(+y) (y+) 6.4. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) (α β) + (α+β) (α β) β(α +β ) β) (5α β)(4 y) + (y 4)α 6.5. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: ν+ ν+ + ν είναι πολλαπλάσιο του 9. Ομαδοποίηση 6.6. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις α) α + ay + + 6y β) 5y 5ω λω + λy γ) 4αy βy + αω βω δ) 5α + 6β 0yα 8yβ ε) y + y 6y στ) ζ) α 5 + α 4 + α + α + α Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) α + αβ β β) + y y γ) α 6α + 5α 0 δ) α α β αβ + β ε) 8y 4y 7αy + α στ) + y y ζ) αβ αβy αγ + αγy η) Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) + (5 y) 5y β) α(α γ) β(β γ) γ) ( β) + y(α ) α( β) δ) y(α +β ) + αβ( +y ) ε) κλ(μ ν ) + μν(κ λ ) 6.9. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) (α+β)(λ+μ) γλ γμ β) κ κy λ + λy + μ μy γ) α β + βy + γy γ αy δ) α β α + α + β αβ ε) y + yω + yφ + yφω + ω 6.0. Οι αριθμοί, y είναι μη μηδενικοί και διάφοροι μεταξύ τους. Αν + y + = τότε να δείξετε ότι οι y, y είναι αντίστροφοι. Διαφορά τετραγώνων 6.. Να κάνετε τις παραγοντοποιήσεις: α) 8α 49β β) y 7 y γ) 45 y 4 80ω δ) 0κ 5 y ε) 9 4 στ) 4 ζ) 8 ζ) 6α 6 49β 8

20 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις 6.. Να υπολογίσετε τις αριθμητικές παραστάσεις: α) 00 β) γ) ε) 6, 7,69 4, δ) , 7, 97,4 6.. Να κάνετε τις παραγοντοποιήσεις: α) α β α + α + β αβ β) 8 4 6y 4 γ) 8 δ) 7 ε) Να κάνετε τις παραγοντοποιήσεις: α) α 5α 4α + 0 β) y 8y + 7 γ) α 4α + 4 δ) α 5 + α 4 α ε) α + β αy βy στ) α α (y + z) ζ) 9α 4α 9β + 4β 6.5. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις i) (5 6) 9 ii) (μ ν) 6ν iii) (α β) (β α) iv) ( 5y) 9(+y) v) 9(α β) 6(α+β) vi) (y z) 6.6. Αν ο είναι φυσικός αριθμός, τότε η παράσταση ( ++) είναι γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών φυσικών αριθμών Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις: α) (4 8) (4 +) β) 5(4 ) ( ) γ) (5 )(+4) + ( 5)( ) Αν ο κ είναι ακέραιος τότε δείξτε ότι ο κ κ γράφεται σαν γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων Έστω ν θετικός ακέραιος και Α = ν ν + ν. i) Να παραγοντοποιήσετε τον Α. ii) Να βρείτε τις τιμές του ν, για τις οποίες ο Α είναι πρώτος αριθμός. [Απ. ii)ν=] Διαφορά & άθροισμα κύβων 6.0. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις i) α 5 ii) 8κ + 7 iii) 7α + 64β iv) 6ω v) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις i) 64 y ii) 6 κ μ 8 iii) α β Ανάπτυγμα τετραγώνου 6.. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) + β) κ 4κy + 4y γ) y + 64y δ) y y ε) + 4 y στ) + y Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις α) α(α+) + β) 9(+y) 6y(+y) + y γ) + +, > 0 δ) y y Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις αλγεβρικές παραστάσεις α) α α + 8α β) γ) y + y Τριώνυμο 6.5. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα α) β) α + α + 7 γ) y + y 0 δ) α + α 5 ε) 6 4 στ) 40 ζ) 4 5 η) θ) 7 84 ι) β + 6β + 5β 6.6. Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α = παίρνει θετικές τιμές, για κάθε > Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα α) + 9α + 4α β) α 4αβ + β γ) μ + 4μν 5ν Ανάπτυγμα τετραγώνου και διαφορά τετραγώνων 6.8. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) α + 6α 9

21 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Η : Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων 9 β) 4y + 4y γ) 9 9α β + 6αβ δ) 9α α + 4 4β ε) + α +βγ α β γ στ) 9y ζ) y η) 6y Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i) α + β + (αβ 8) ii) κ λ y + β γ κλβ γy iii) y 4yω + ω ω 6.0. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: i) α 4 + α + ii) α 4 + α β + β 4 iii) α 4 α β + β 4 iv) v) y 4 y + vi) 5α 4 + α β + 6β Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: i) κ 4 + 4λ 4 + κ λ ii) 4 + 9y + 5 y iii) κ 4 κ + 6 Ανάπτυγμα κύβου 6.. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) β) 8α α + 6α γ) α + 6α + α Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α) (+y) (+y). y + (+y). y y β) (κ+λ) + (κ λ) + (κ+λ). (κ λ) + (κ+λ). (κ λ) Όλες οι περιπτώσεις 6.4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α) ( )(+) + β) (α+β)(β α) + (α β) (α 4β ) γ) ( 9) (+) δ) ( 5+) ε) 5κ 9 5 κ στ) y y 6.5. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i) κ + λ κ + λ κλ ii) + (α+) + α + α iii) γ + 9(β α ) + 6βγ iv) α + β γ δ αβ + γδ v) α + α(β+) +β(α+) + β 6.6. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις i) α + αβ + β ii) 9 4y 4y iii) y ω + yω + iv) y + 9y 4 v) 9( + y) 6y( + y) + y vi) (α ) (α ) (α ) vii) (ω ) (ω 4) + (4 ω ) 6.7. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: i) ( 5+6)( ) ( )( ) ii) 4(αδ + βγ) (α β γ + δ ) iii) (5α +α ) (α α ) iv) ( 6)( ) (5 0)( ) v) (ω 9) (ω + ) 6.8. Να γίνει γινόμενο η παράσταση: (ν + ν + ). [Απ.ν(ν+)(ν+)(ν+)] 6.9. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις α) κ 4 λ 4 (κ+λ)(κ λ) β) (α + ) 4α γ) α 6 δ) (α + β γ ) 4α β Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις α) 4α 4α + α(α ) + 8α 9α β) κ 5 + κ 4 + κ κ κ 6.4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i) ii) (++ ) iii) (++ ) iv) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις i) α + β α β α β αβ ii) αβ α β + βγ β γ + α γ αγ iii) αβ + α β + βγ + β γ + α γ + αγ + αβγ iv) α β α β + β γ β γ + γ α γ α Θέματα με παραγοντοποίηση 6.4. i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή των μη αρνητικών ακεραίων α, β με α > β ο αριθμός (α+ ) (β+ ) κ = 4 είναι θετικός ακέραιος. ii) Να προσδιορίσετε τις τιμές των α, β για τις οποίες ο κ είναι πρώτος, δηλαδή είναι κ > και οι μοναδικοί θετικοί διαιρέτες του είναι οι αριθμοί και κ. [Απ. ii)α=, β=0] Αν ισχύει ( ) (0 5 5) = 0 ν, όπου ν φυσικός αριθμός, να βρεθεί η τιμή του ν. [Απ. ν=7]

22 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις Να απλοποιηθεί το κλάσμα: Κ = [Απ. Κ= ] Να γίνει γινόμενο η παράσταση Π = α + β α β α β αβ Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: Α = ( + + ) (Υπόδειξη: Προσθέστε και αφαιρέστε τον.) [Απ. Α=(++ )(4+ )] α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 4 + 4y 4. β) Αν οι αριθμοί, y είναι θετικοί ακέραιοι και y, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 4 + 4y 4 είναι σύνθετος Δίνεται το άθροισμα S = α) Να αποδείξετε ότι = και έπειτα ότι S = β) Να υπολογίσετε το S χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που εφάρμοσε ο Gauss όταν ήταν μικρός. [Απ. β)s=5050]

23 ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Η : Διαίρεση Πολυωνύμων ΕΝΟΤΗΤΑ 7. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.. Να κάνετε τις διαιρέσεις: i) ( + 45) : ( + 5) ii) ( ) : ( 5) iii) ( 7 ) : ( + ) iv) (5α 4α + 7α + 6) : (5α + ) 7.. Να εκτελέσετε τις διαιρέσεις: i) ( ) : ( + ) ii) (ω + 4ω ω 0) : (ω ω 6) iii) ( y 4 + 8y 6y + 8) : (y 4) iv) ( ) : ( + + ) 7.. Να γίνουν οι διαιρέσεις: i) [(+5) + (+) (+4) (+) ] : ( ) ii) [( 9) (+5)( ) ] : ( + ) iii) 7.4. Να βρεθεί το πολυώνυμο, το οποίο πολλαπλασιαζόμενο με το + να δίνει γινόμενο το Να βρεθεί το πολυώνυμο, το οποίο πολλαπλασιαζόμενο με το + γίνεται Αν είναι φ() = 5 +, να εκτελεστεί η διαίρεση: [φ() + φ( ) φ( )] : ( ) 7.7. Αν είναι φ() = +, να γίνει η διαίρεση: [φ(+) + φ( ) φ()] : ( )

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 8. Ε.Κ.Π. & Μ.Κ.Δ. ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8.. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων: α) α β γ, 5α β γ, 6α 4 β β) 8α, 4α 5, α γ) α (α β), 6α β(α β) (α + β) 8.. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων: α) 4( y ), 6( + y), ( y) β) α β, (α β), α β γ) α 6α + α 8, α 4, α α δ) α α +, α + α 4, α α, α α +

25 ΕΝΟΤΗΤΑ 9 Η : Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 9. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9.. Τι ονομάζουμε κλασματική αλγεβρική παράσταση; Μια αλγεβρική παράσταση που περιέχει μεταβλητή στον παρονομαστή, λέγεται κλασματική αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα: Οι παραστάσεις, α 5y, είναι κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις. 4 β + y y ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9.. Να απλοποιηθoύν τα κλάσματα i) αλμ α α ii) αλ 6α 8α iii) a 4 a 4β iv) α 6α α αβ 9.. Να απλοποιηθoύν τα κλάσματα α β 4 y i) ii) 4β 4α y y iii) + 9 iv) Να απλοποιηθoύν τα κλάσματα α 4αβ+ 4β i) ii) ( ) α 4β aλ αμ+ λ μ iii) iv) αβ αγ+ β γ α + β α αβ+ β 9.5. Να απλοποιηθoύν οι παραστάσεις 9 4y y 7y + 7 i) ii) 9 y+ 4y iii) 49 6y 49 56y+ 6y iv) αβ + α β 6α β 6αβ 6α β 9.6. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα i) 4 ω ii) ω 9 4+ iii) ( αβ ) ( α+ ) ( 4) ( + ) iv) αβ+ α+ β Δίνεται το κλάσμα Κ = i) Για ποιες τιμές του ορίζεται το κλάσμα; ii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα; iii) Για ποιες τιμές του παίρνει την τιμή μηδέν; [Απ. i) και iii)=-4] 9.8. Για ποιες τιμές του κ το παρακάτω κλάσμα παίρνει την τιμή μηδέν; κ 4κ+ 49 κ 49 [Απ. καμμία] (α β) (α β) 9.9. Δίνεται η παράσταση Α = (5α 4 β) (4α 5 β) και οι αριθμοί α, β δεν είναι ίσοι ούτε αντίθετοι. Να δείξετε ότι Α > Να απλοποιηθoύν οι παραστάσεις i) + ( α+ β) αβ ii) αβ β iii) 4 4 α β α β iv) a + a β + αβ + β α a β β 9.. Να απλοποιηθεί η παράσταση: y y + y 4 y y + y 9.. Δίνεται το κλάσμα Α = ( ) i) Ποιες τιμές δεν μπορεί να πάρει το ; ii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα.

26 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις iii) Να λυθεί η εξίσωση Α =. [Απ. iii)=-] 9.. Δίνονται οι παραστάσεις Α = 7+ 6, 6 Β = i) Για ποιες τιμές του ορίζονται οι δύο παραστάσεις; ii) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. iii) Να αποδείξετε ότι: (Α+Β) (Α Β) = Να δείξετε ότι: y + y y y+ y = + y + y

27 ΕΝΟΤΗΤΑ 0 Η : Πράξεις Ρητών Παραστάσεων 5 ΕΝΟΤΗΤΑ 0. ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πολλαπλασιασμός Διαίρεση ρητών παραστάσεων 0.. Να γίνουν οι πράξεις: i) Να γίνουν οι πράξεις: α β i) ii) 4 6αβ 5α 5α iii) κ 6 κ : κ κ+ κ κ + κ 4 ii) : + α+ β α β α 6 : α+ α 8α+ 6 α 9 [Απ. i) 5α ii) α- α Να αποδείξετε ότι η παράσταση: 4 y y y + y A = : είναι σταθερή. y + y+ y 0.4. Να αποδείξετε ότι η παράσταση: 8 4 y : : είναι σταθερή. y + y+ y y y 0.5. Δίνεται το κλάσμα Α = i) Για ποιες τιμές του ορίζεται το κλάσμα; ii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα. iii) κ -κ ] [Απ. A=] 0.6. Να δείξετε ότι: α + α + : α (4α+ 5)( α+ ) =. 5+ 4α 6α α α [Απ. ] 0.8. Να γίνουν οι πράξεις: i) y ii) + y y iii) + 4 α α + α 4 iv) + 6 α + α α 9 v) α β α + β α [Απ. i) + ( β) ( α)( β) ii) + y iii) α + iv) α + v)] 0.9. Αν οι αριθμοί, y, z είναι διαφορετικοί ανά δύο, να δείξετε ότι: + + = 0. ( y)( z) ( y z)( y ) ( z )( z y) 0.0. Να γίνουν οι πράξεις: + y 4y i) y y α + β α + β + αβ ii) + α αβ α β α α + β iii) + α αβ+ β αβ a + αβ α iv) y + ( α + ) ( α + y) y y y v) α α 4 α α + 4 a y [Απ. i) + y ii)- α β iii)- α β α iv) v)- ] α + Πρόσθεση Αφαίρεση ρητών παραστάσεων 0.7. Να εκτελέσετε τις πράξεις: i) β + 4 ii) 5αα 4β β [Απ. i)- α ii) 4 ] 0.. Να γίνουν οι πράξεις: i) + 5α + α + a 6a 6 ii) + α β α + αβ α αβ β iii) + α 4αβ α β β + α a 4β

28 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Αλγεβρικές Παραστάσεις iv) v) Να γίνουν οι πράξεις: 6αβ i) + α β + 9α β α + β α β ii) iii) + κ κ + κ + κ + 4 κ κ α+ β [Απ. i) ii) iii) (κ ) ] α β ( ) κ 0.. Δίνεται η παράσταση Α = i) Για ποιες τιμές του έχει έννοια η παράσταση; ii) Να εκτελέσετε τις πράξεις που σημειώνονται στην παράσταση. [Απ. i) - και ii)α= + ] 0.4. Δίνεται η παράσταση Π = α) Για ποιες τιμές του έχει έννοια η παράσταση; β) Να γράψετε την παράσταση σε απλούστερη μορφή, αφού εκτελέσετε τις πράξεις Να γίνουν οι πράξεις: i) y y y [Απ. α) 0,- και β)π= (+) ] ii) α+ β α β : + α β α β + + ( α+ β) ( α β) iii) α + β α β α + β + αβ α β α β + + αβ α + β iv) y y y α β : α β β α αβ 0.6. Να δείξετε ότι η παράσταση: 4α α β α + β είναι σταθερή. α β α+ β α β 0.7. Να εκτελεστούν οι πράξεις στην παράσταση: ( 4 ) : [Απ. + ] 0.9. Να εκτελεστούν οι πράξεις: α + β α+ β α αβ + αβ i) ii) α + αβ α β + αβ 0.0. Να εκτελεστούν οι πράξεις: α+ β α β i) α+ β + α β 0.. Να γίνουν οι πράξεις: α + i) + α a a α + α a a ii) α β + β + γ α + γ [Απ. i)β-α ii)-β] α β β + β α + β ii) β α β+ α+ β γ + a + β 0.. Να κάνετε τις πράξεις: α + β α β α : β α β β α + [Απ. i) β α ii) β ] [Απ. i) ii)6] α [Απ. α] 0.. Αν α =, β =, να βρείτε την τιμή + της παράστασης α + β Τ = β α 0.4. Αν υποθέσουμε ότι: β = αγ α+ γ, = α, β + γ β γ y = και z =, να αποδείξετε ότι: α+ γ α+ β y = z + z α) Να αποδείξετε ότι: = ( νν ( + )( ν+ ) ν ν + ) ( ν + ν + ) β) Να αποδείξετε ότι: = Να εκτελεστούν οι πράξεις: i) ii) +

29 ΕΝΟΤΗΤΑ 0 Η : Πράξεις Ρητών Παραστάσεων Να αποδείξετε ότι η παράσταση: 4αβ 4αβ 4αβ + α β + α+ β α+ β α β : 4αβ 4αβ α+ β α β α β α+ β α+ β α β α+ β είναι σταθερή. [Απ. 5] 0.7. Αν οι αριθμοί, y, ω είναι διαφορετικοί ανά δύο, να δείξετε ότι: y + + ω =. ( y)( ω) ( y ω)( y ) ( ω )( ω y)

30

31 9 Η εξίσωση α + β = 0 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού Κλασματικές εξισώσεις Ανισότητες - Ανισώσεις με έναν άγνωστο

32

33 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Η εξίσωση α + β = 0 ΕΝΟΤΗΤΑ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ α + β = 0.. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; Τι γνωρίζετε για τις λύσεις μιας γραμμικής εξίσωσης; Μια εξίσωση της μορφής α + βy = γ λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι λύσεις της γραμμικής εξίσωσης βρίσκονται στην ίδια ευθεία. ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( ). = β) 0. ( ) = [Απ. α) β),5] β) Να βρεθεί η τιμή του α ώστε η εξίσωση να έχει λύση =. [Απ. α)-, β)α=5].7. Να λύσετε την εξίσωση: = 0. [Απ. =-].. Ποιος είναι ο ίδιος αριθμός, που πρέπει να τοποθετήσουμε σε κάθε ένα από τα παρακάτω τετραγωνάκια, ώστε να ισχύει η ισότητα; + = 6 0. [Απ. 5].. Να βρεθούν δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που τα τετράγωνά τους να διαφέρουν κατά 5. [Απ. 7,8].4. Να λύσετε την εξίσωση: ( + ) 5 = [Απ. =60].5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) = ( ) β) 5 = + 5+ [Απ. α) β) 5 ].6. Δίνεται η εξίσωση α + + = α. α) Ποιοι αριθμοί δεν μπορούν να είναι λύση της εξίσωσης αυτής;

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΕΝΟΤΗΤΑ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ.. Να αποδείξετε τον τύπο που δίνει τις λύσεις μιας εξίσωσης ου βαθμού. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει τη γενική μορφή α + β + γ = 0 με α 0. Έχουμε διαδοχικά α + β + γ = 0 4α.α + 4α.β + 4α.γ = 0 [πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με 4α] 4α + 4αβ = 4αγ [μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο ο μέλος] (α) +. α. β = 4αγ (α) +. α. β + β = β 4αγ [στο ο μέλος προσθέτουμε το β για να γίνει συμπλήρωση τετραγώνου] (α + β) = β 4αγ Αν συμβολίσουμε την παράσταση β 4αγ με Δ (διακρίνουσα) τότε η εξίσωση γράφεται: (α + β) = Δ και διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν Δ > 0 τότε έχουμε: α + β = ± Δ α = β ± Δ β ± Δ = α Αν Δ = 0 τότε έχουμε: α + β = 0 α = β = β α Αν Δ < 0 τότε η εξίσωση δεν έχει λύση (αδύνατη).... Συμπέρασμα: Η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 β ± Αν Δ > 0 έχει δύο άνισες λύσεις τις = α β Αν Δ = 0 έχει μία διπλή λύση την = α Αν Δ < 0 δεν έχει λύση (αδύνατη). Δ

35 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Εξισώσεις ου βαθμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = 0 ii) 7 = 0 iii) = 0 iv) = 5 [Απ. i)0, ii)0, 7 iii)0,-9 iv)0, 5 ].. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = 0 ii) 7 = 0 iii) 6 + = 0 iv) = 0 v) 5 0 = 0 vi) 8 5 = 0 [Απ. i)-, ii)-, iii)αδύνατη iv)-, v)-, vi)- 5 4, 5 4 ].4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = 0 ii) 00 = 000 [Απ. i)-8,8 ii)0,0].5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ( 4) = 0 ii) 4( + 6) = 0 iii) ( 5)( 47) = 0 iv) ( + )(8 ) = 0 [Απ. i)-,0, ii)0 iii)-7,5,7 iv)-,,- ].6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 9 +4 = 0 ii) +0 = 0 iii) 6 = 0 iv) 5 = 0 [Απ. i),7 ii), 0 iii) 4,- iv),- ].7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = 4000 ii) = 000 iii) = 0 [Απ. i) ii)-, Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ( + ) = + ii) ( + ) + 4 = 0 iii) ( ) + ( + ) = 9 iv) + (+) = ( + ) v) ( + ) + ( + ) = (5 + ) iii)αδύνατη] [Απ. i)-,- ii)0,- iii),-4 iv),- v)-,- ].9. Να λύσετε την εξίσωση: 5( + ) 9( ) = 0. [Απ. -8,- ].0. α) Να απλοποιήσετε την παρακάτω παράσταση: Α = ( ) 8 7( ) β) Να λύσετε την εξίσωση Α = 0... Να λύσετε τις εξισώσεις: [Απ. α)a= -5+ β), ] i) ( + )( + 8) = 0 ii) ( )( + )( + ) = 0 iii) = 0 iv) + = 0 [Απ. i)-4, -,, - ii)-,, iii)-, 0, ].. Να λύσετε την εξίσωση: ( 5+4) + ( 6+4) = 0... Να λύσετε τις εξισώσεις: α) + ( ) = 0 β) + = 0 γ) = 0 [Απ. ] [Απ. α), β),-4 γ),,- ].4. α) Να λύσετε την εξίσωση: ( 5 ) = 5. β) Αν, είναι οι ρίζες της προηγούμενης εξίσωσης, να υπολογίσετε το γινόμενο:.. [Απ. β)-5].5. Δίνονται τα πολυώνυμα Α = ( 9) (+5)( ) και Β = ( ) 4 i) Να παραγοντοποιήσετε τα Α, Β. ii) Για ποιες τιμές του ορίζεται το κλάσμα Α Β ; iii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα Α Β. iv) Να λυθεί ως προς η εξίσωση Α 6Β =. v) Να λυθεί ως προς η εξίσωση Α = B. 9 [Απ. i)a=(-) (+)(+4) B=(+)(-) ii) -, iii)(-)(+4) iv)= v)=-5/].6. Δίνονται οι παραστάσεις Α = 4, ( )( 9) Β = και Γ = i) Για ποιες τιμές του ορίζεται κάθε μία από τις τρεις παραστάσεις; ii) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α, Β και Γ. iii) Να λύσετε την εξίσωση Α Β = Γ. [Απ. i)η Α και η Γ όταν 0, η Β όταν - ii)a=-4, B=(-), Γ=(-) iii)=-, =].7. Δίνονται οι παραστάσεις Α = + 4, Β = 4 και K = A B, Λ = i) Για ποιες τιμές του ορίζεται οι παραστάσεις Κ και Λ; ii) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Κ και Λ. iii) Να λύσετε την εξίσωση Κ = Λ.

36 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις [Απ. i)η Κ όταν ±, η Λ όταν 0 και - iii)= 4 ].8. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = και Β = ( ) 4. i) Να απλοποιήσετε το κλάσμα Α και να βρείτε τις Β τιμές που μπορεί να παίρνει το ώστε αυτό ορίζεται. ii) Να λύσετε την εξίσωση Α Β =. [Απ. i) ± και 5, Α Β =(-)(+) -5 ii)=-6, =4].9. Να λυθεί η εξίσωση: ( + ) ( ) ( )( + ) = ( ) + 8 [Απ. -7, ].0. Να λύσετε την επόμενη εξίσωση με άγνωστο το. ( α) + ( + α) = ( α)( + α) + 4α. [Απ. α,α].. Να λυθεί η εξίσωση: ( 4)( ) = ( )( ) [Απ., ].. Για τον θετικό αριθμό α ισχύει η ισότητα: + α α =. i) Να βρείτε τον α. ii) Για την τιμή του α που θα βρείτε, να λύσετε την εξίσωση: α = 4. [Απ. i)α= ii)-,].. Να λυθεί η εξίσωση: ( ) = 5. [Απ. -,-,-,0].4. i) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: Α = + και Β = 5 +. ii) Να λύσετε την εξίσωση: Β + = Α. [Απ. i)α=(-) (+), B=(-) (+)( ++) ii)=]

37 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Προβλήματα εξισώσεων ου βαθμού 5 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Δίνεται ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσεις + και. Το εμβαδόν του είναι 40 cm. i) Να δείξετε ότι η αλγεβρική παράσταση που εκφράζει την περίμετρο του ορθογώνιου είναι μονώνυμο και να βρείτε το συντελεστή και το κύριο μέρος του. ii) Να βρείτε το. iii) Να υπολογίσετε την περίμετρό του. [Απ. i)4 ii)=7 iii)8cm].. Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου έ- χουν μήκη m, (+) m ενώ η υποτείνουσα έχει μήκος 4 m. Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου. [Απ. 6+ m].. Το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 5cm και η περίμετρός του ισούται με cm. Να υπολογίσετε τα μήκη των κάθετων πλευρών του. [Απ. cm, 4cm].4. Να βρεθούν οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, αν διαφέρουν κατά cm και η υποτείνουσά του είναι 0cm. [Απ. 6cm, 8cm].5. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η μια κάθετη πλευρά είναι κατά cm μεγαλύτερη από την άλλη, ενώ η υποτείνουσα είναι κατά cm μεγαλύτερη από τη μικρότερη κάθετη πλευρά. Να βρεθούν οι πλευρές του τριγώνου, η περίμετρος του και το εμβαδόν του. [Απ. cm 4cm 5cm, cm, 6cm ].6. Να υπολογίσετε τις κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 0m, αν η μια κάθετη πλευρά είναι ίση με το ημιάθροισμα της υποτείνουσας και της άλλης κάθετης πλευράς. [Απ. 6m, 8m].7. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆΑ = 90 0 έχουμε: α = ω + και β = ω + και ω >. Να βρεθεί η ω ω περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ. [Απ. ω+].8. Σε ένα ορθογώνιο η μια πλευρά του είναι κατά cm πιο μεγάλη απ το διπλάσιο της άλλης. Αν το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 60cm, να βρεθεί η περίμετρος του και η διαγώνιος του. [Απ. 4cm, cm].9. Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί. Να υπολογίσετε τις πλευρές του και το εμβαδόν του. [Απ., 4, 5].0. Το τετράγωνο της ηλικίας ενός μαθητή είναι ίσο με το εννεαπλάσιο της ηλικίας που θα έχει μετά από 0 χρόνια. Ποια είναι η ηλικία του; [Απ. 5].. Το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών άρτιων φυσικών αριθμών είναι ίσο με 00. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς. [Απ. 6,8].. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ δίνονται ΑΒ = 7 cm, ΒΔ = 5 cm και το εμβαδόν του ισούται με 7 cm. Να υπολογίσετε τις διαστάσεις του. [Απ. 9cm, cm].. Ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ έχει ˆΑ = ˆΔ = Αν ΑΒ = ΑΔ = cm, ΓΔ = +0 cm και εμβαδόν cm, να υπολογίσετε τις βάσεις του και το ύψος του. [Απ. β=υ=8cm, B=0cm]

38 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 4. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.. Ποια εξίσωση ονομάζουμε κλασματική;. Μια εξίσωση που περιέχει άγνωστο στον παρονομαστή, λέγεται κλασματική εξίσωση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4 + = + 4 β) = γ) = 5 + [Απ. α)/ β)αδύνατη γ)αδύνατη] 4.. Να εξετάσετε αν έχουν τις ίδιες λύσεις οι εξισώσεις: 8 = και 0 = [Απ. όχι] 4.4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) = β) 5 = γ) = + 4 δ) + + ( + 6) = + 9 [Απ. α) β)αδύνατη γ)αδύνατη δ)όλοι εκτός των -,] 4.5. Δίνονται οι κλασματικές παραστάσεις Α =, Β = και Γ = ( 4) α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις. β) Να λυθεί η εξίσωση Α Β = Γ. [Απ. α)η Α όταν 0 και -. Η Β όταν, η Γ ό- ταν ± β)όλοι οι αριθμοί εκτός των 0,-,] 4.6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) β) γ) δ) = = 0 = = [Απ. α) β), Να λυθούν οι εξισώσεις: 4 α) 4 = + β) = + 4 γ) 8 = γ), -0,8 δ)αδύνατη] [Απ. α)-, β)0 γ)] 4.8. Το άθροισμα των κλασμάτων και με ποιόν αριθμό πρέπει να είναι ίσο, ώστε η εξίσωση που θα προκύψει να έχει λύση = ; Ποια είναι η άλλη λύση της εξίσωσης; [Απ. 7 6, η άλλη λύση είναι - 7 ] 4.9. Δίνονται οι παραστάσεις + Α =, Β = α) Να μετασχηματιστούν οι Α και Β στην πιο απλή τους μορφή και να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες ορίζονται. β) Να λύσετε η εξίσωση Α (+).Β = 0.

39 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : Κλασματικές εξισώσεις 7 [Απ. α)η Α όταν 0, και -. Η Β όταν 0, και - β)4] 4.0. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση: λ + + λ + = 0 λ έχει ρίζα τον αριθμό. [Απ. -, ] 4.. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) = + β) + = γ) = Να λυθούν οι εξισώσεις: α) = β) = + 6 γ) + + = δ) = [Απ. α) 0 [Απ. α)αδύνατη β),4 γ),-6] β) γ)αδύνατη δ), 5 ] 4.. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) + + = β) + 4 = γ) + = + δ) + 4 = 8 [Απ. α)-4 β)αδύνατη γ) δ)-] 4.4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = + ii) [Απ. i)- ii)]

40 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΕΝΟΤΗΤΑ 5. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 5.. Πως συγκρίνουμε δύο αριθμούς α και β;. Για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς α και β, βρίσκουμε τη διαφορά τους α β και: Αν α β > 0 τότε α > β Αν α β < 0 τότε α < β Αν α β = 0 τότε α = β 5.. Να εξηγήσετε ότι αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή αν α > β τότε α + γ > β + γ. Έχουμε: (α + γ ) (β + γ) = α + γ β γ = α β > 0, αφού α > β. Άρα α + γ > β + γ. 5.. Να εξηγήσετε ότι αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή αν α > β και γ > 0 τότε α. γ > β. δ. Έχουμε: α. γ β. γ = γ.(α β) > 0, αφού γ > 0 και α β > 0. Άρα α. γ > β. γ Να εξηγήσετε ότι αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα α- ντίθετης φοράς. Δηλαδή αν α > β και γ < 0 τότε α. γ > β. δ. Έχουμε: α. γ β. γ = γ.(α β) < 0, αφού γ < 0 και α β > 0. Άρα α. γ < β. γ Να εξηγήσετε ότι αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ίδιας φοράς, προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή αν α > β και γ > δ τότε α + γ > β + δ. Έχουμε: (α + γ ) (β + δ) = α + γ β δ = (α β) + (γ δ) > 0, αφού α β > 0 και γ δ > 0. Άρα α + γ > β + δ. Βασικές εφαρμογές 5.6. Να αποδείξετε ότι αν α > β και β > γ τότε α > γ. (Μεταβατική ιδιότητα) Επειδή α > β τότε α β > 0 (). Όμοια, επειδή β > γ τότε β γ > 0 (). Προσθέτουμε κατά μέλη τις () και (), οπότε έχουμε: α β + β γ > 0 α γ > 0 α > γ Να αποδείξετε ότι αν α > β τότε α < β.

41 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Η : Ανισότητες - Ανισώσεις με έναν άγνωστο 9 Έχουμε διαδοχικά: α > β ( ).α < ( ).β α < γ Να αποδείξετε ότι αν α > β και α, β ομόσημοι αριθμοί, τότε Αφού οι αριθμοί είναι ομόσημοι, τότε αβ > 0 οπότε και Έχουμε διαδοχικά: α > β αβ α > αβ β β > α. α < β. αβ > 0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.9. Αν > y, να συγκρίνετε τους αριθμούς 4 5z και 4 y 5z Αν κ > λ, να συγκρίνετε τους αριθμούς 8,μ 6κ και 8,μ 6λ. 5.. Αν β > 0 να δείξετε ότι: α + β > α β. 5.. Αν < z και 0 < y < ω να δικαιολογήσετε ότι: y < z ω. 5.. Αν > να συγκρίνετε τους αριθμούς Α = ( ) και Β =. [Aπ. Α<Β] 5.4. Αν είναι α < β, να αποδείξετε ότι: α+ β β α < < Αν < < και < y < να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων: i) Α = + y ii) Β = 4 y + 5 [Aπ. i)0<a<4 ii)-5<b<] 5.6. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: + + ( ) > και < 0. [Aπ. -6<< 0 9 ]

42

43 4 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος

44

45 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης 4 ΕΝΟΤΗΤΑ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ.. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + β; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + β είναι ευθεία παράλληλη προς την ευθεία y = α... Τι παριστάνει η εξίσωση α + β = γ; Κάθε εξίσωση της μορφής α + β = γ παριστάνει μια ευθεία ε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ..Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε το σημείο Α(5λ,λ+) να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = +6. [Απ. λ=]..δίνονται οι ευθείες ε, ε με εξισώσεις y = (λ +4) + 5 και y = 4λ λ αντίστοιχα. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε οι δύο ευθείες να είναι παράλληλες. [Απ. λ=]..για ποιες τιμές του κ οι ευθείες y = κ + και y = (κ+4) 5κ είναι παράλληλες; [Απ. κ=- ή κ=4/].4.δίνεται η ευθεία ε : y = (λ 4) + λ 6. Για ποια τιμή του λ η ευθεία ε : α) Περνά από το σημείο Α(,) β) Είναι παράλληλη στον άξονα γ) Διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) Είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y = ε) Τέμνει τον άξονα στο σημείο με τετμημένη στ) Τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 4 ζ) Είναι παράλληλη στην ευθεία (λ ) + λ ε : y = [Απ. α)λ= β)λ= 4 γ)λ= δ)λ=4 ε)λ= 8 στ)λ=5 ζ)λ= 7 ] iii) Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. [Απ.ii)A(,0) B(0,4) iii)π=,e=6].6.δίνεται η ευθεία α + (α )y = η οποία διέρχεται από το σημείο Μ(, ). Να βρείτε: i) Την τιμή του α. ii) Τα σημεία τομής Α και Β της ευθείας με τους άξονες. iii) Τo εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. [Απ.i)α=- ii)a(6,0) B(0,-4) iii)e=].7.δίνονται οι ευθείες ε, ε με εξισώσεις y = κ + λ + και y = (5κ ) + 9 αντίστοιχα, όπου κ, λ ακέραιοι αριθμοί. Δίνεται ακόμα ότι η ε διέρχεται από το σημείο Α(,6). i) Να βρείτε τις τιμές των κ, λ.. ii) Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα αξόνων τις δύο ευθείες. [Απ.i)κ=λ=].5.Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση 4 + y =. i) Να σχεδιάσετε την ευθεία ε. ii) Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της ευθείας ε με τους άξονες.

46 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Γραμμικά Συστήματα ΕΝΟΤΗΤΑ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ..Να λύσετε γραφικά τα συστήματα: + y= 4 = α) β) γ) y = + y = 5 y= + y= 6 [Απ. α)(,y)=(,) β)(,y)=(,) γ)(,y)=(,)]..να λύσετε γραφικά τα συστήματα: y = y= + α) β) y = + y = 5 [Απ. α)(,y)=(,) β)(,y)=(,4)]..να βρείτε ποια από τα παρακάτω συστήματα έχουν λύση, ποια είναι αδύνατα και ποια είναι αόριστα. + y= 4 y= i) ii) y= + + y = 0 y= 5 y= iii) iv) 4y= y = 0 ( + y) 4 = 0.4.Το σύστημα είναι αδύνατο ή αόριστο; Να δικαιολογήσετε την απάντησή 5( + y) 0 = 0 σας.

47 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος 45 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Να λύσετε τα συστήματα και έπειτα να κάνετε την επαλήθευση. = y+ y= 4 i) ii) y= + y = [Απ. i)(,y)=(-5,-) ii) (,y)=(,9)].. Να λυθούν τα συστήματα: y= 5+ y= 45 i) ii) 7y + = 0 y = 5 [Απ. i)(,y)=(8,) ii) (,y)=(5,0)] y =.. Να λύσετε το σύστημα:. = 5( y+ ) [Απ. (,y)=(5,)].4. Να λυθούν τα συστήματα: [ (4 y)] + 0 = 0 (+ y) = ( y) + 0 i) ii) + 4y= 0 4 y= 4(6y ) +.5. Να λυθούν τα συστήματα: + y = i) y = 9 [Απ. i)=-8, y= ii)= 5,y=] 0,,5 y+ 0, = 0 ii) y 0, = 0, [Απ. i)(,y)=(5,-) ii)(,y)=(4,)].6. Να λυθούν τα συστήματα: 4 y = i) 6 4 ii) + y= 7.7. Να λυθούν τα συστήματα: y = 6 i) y ii) = 4.8. Να λυθούν τα συστήματα: + 4y= y+ = 0 [Απ. i)=, y=5 ii)=-,y= ] y+ y = + y + y+ = 5 [Απ. i)(-,-4) ii)(-,-)] + y + = i) + y + =.9. Να λυθούν τα συστήματα: y + y = 6 i) ii) + y = 7 ii) + + ( y+ ) = y ( + y) = [Απ. i)(,) ii)αδύνατο] + y+ 4= 0 + y y + = [Απ. i)(,y)=(4,5) ii)(,y)=(-,0)] (α ) + (4β + ) y =.0. Δίνεται το σύστημα με ( α + ) + ( β ) y = αγνώστους τα, y. Να βρείτε τις τιμές των α, β, ώ- στε το σύστημα να έχει λύση το ζεύγος (,). [Απ. α=-/, β=9/)].. Να λυθούν τα συστήματα: ( + y) ( y) = 8 i) ( y ) ( y) = 49 + y= 7 ii) (+ y) + 4( y+ ) = 4.. Να λυθούν τα συστήματα: y + = 4 8 i) 4+ 5y 9 = Να λυθούν τα συστήματα: y + y y+ + = i) + y = y + 6 [Απ. i)=5, y=-6 ii)αόριστο] ii) [Απ. i)=,y= ii)] y + = 4 ii) + y y+ = 4 5 [Απ. i)(6,4) ii)(,)] 5y = λ.4. Δίνεται το σύστημα. Να βρείτε 5y = την τιμή του λ ώστε το σύστημα να είναι αόριστο.

48 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Γραμμικά Συστήματα [Απ. λ= ή λ=-] y =.5. Δίνεται το σύστημα. Να βρείτε την μ μy = μ τιμή του μη μηδενικού αριθμού μ ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις. Για την τιμή του μ που θα βρείτε να λύσετε το σύστημα. [Απ. μ=].6. Να λυθεί το σύστημα: + y = 5 y + = [Απ. =,y= ].7. Δίνεται η εξίσωση 5 4y = 7. Να βρείτε μια άλλη εξίσωση που να σχηματίζει με αυτή α) ένα σύστημα, που να έχει μια λύση. β) ένα σύστημα, που να είναι αδύνατο. γ) ένα σύστημα, που να είναι αόριστο..8. Να λυθούν τα συστήματα: i) 9y = 5 + y= ii) [Απ. i)=,y=- 7 + = y + y= 7 ii)(,4), (4,)].9. Να λυθούν τα συστήματα: y = + y= 5 i) ii) + y y = + y + y= 7 [Απ. i)(-,0), (,) ii)(,), (,-)].0. Να λυθούν τα συστήματα: + y= 7 i) y+ y = + y= 5 ii) 5 y = 9 [Απ. i)(,), ( 8 5, ) ii)(,), (5,-6)] 0.. i) Να βρείτε τον β, αν η ευθεία με εξίσωση β y = + διέρχεται από το σημείο Α(0,). ii) Για τις τιμές του β που θα βρείτε να λύσετε το β y= + σύστημα: y + y= [Απ. i)β= ii)(,y)=(,), (- 6,- 8 )].. Να λυθούν τα συστήματα: = + y i) + = 4 + y 4 + = y + y ii) + = 0 y + y [Απ. i)(-,) ii)(5,-5)] 4.. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ δίνεται ότι: ΑΒ = + 4, ΑΓ = 4 y και ΒΓ = y +. Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του. [Απ. 7].4. Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου, το οποίο έχει περίμετρο 0 cm και η βάση του είναι μεγαλύτερη κατά cm κάθε μιας από τις ίσες πλευρές του. [Απ. cm 4cm].5. Ένας φυσικός αριθμός, όταν διαιρείται με το 5 ή το αφήνει υπόλοιπο και πηλίκα που δίνουν ά- θροισμα 8. Ποιος είναι ο αριθμός; [Απ. 7].6. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας y = α + β που διέρχεται από τα σημεία Α(,5) και Β(4, ). [Απ. y=-+].7. Να βρεθούν τα α, β, ώστε η εξίσωση + α + β = 0 να αληθεύει για = και = 7. [Απ. α=4, β=-].8. Δίνεται η συνάρτηση f () = α + + β. Αν ισχύει f () = και ο είναι ρίζα της εξίσωσης f () = 0 να βρείτε τα α, β καθώς και το είδος του ακροτάτου που παρουσιάζει η συνάρτηση. [Απ. α=-, β=, Μέγιστο].9. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας y = α + β αν αυτή διέρχεται από τα σημεία (α, ) και (,α). [Απ. y=--].0. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθενε 9 χρόνια ενωρίτερα, θα βασίλευε κατά το της ζωής του. Αν.ομως πέθενε 9 χρόνια αργότερα, θα βασίλευε κατά το μισό της ζωής του. Σε ποά ηλικία πέθανε και επί πόσο χρόνο βασίλεψε; [Απ. Πέθανε χρόνων και βασίλεψε χρόνια].. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = +6, ΒΓ =, ΓΔ = 5y+4 και ΔΑ = y όπου θετικός ακέραιος. Να βρείτε την περίμετρο του ορθογώνιου. [Απ. 0].. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή το Α έχει ΑΒ =, ΑΓ = 5 y και τα ύψη του από το Β, Γ είναι ΒΔ = + y και ΓΕ = αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τις ίσες πλευρές του τριγώνου. [Απ. ΑΒ=ΑΓ= ή ΑΒ=ΑΓ=4].. Αν η εξίσωση + α + β = 0 έχει διακρίνουσα 6 και κοινή λύση με την εξίσωση + = α +, να βρείτε τα α, β. [Απ. α=,β=- 5 4 ή α=-,β=- 7 4 ].4. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 9. Αν ο αριθμός αυξηθεί κατά 7 προκύπτει διψήφιος αριθμός με εναλλαγή των ψηφίων του αρχικού αριθμού. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός; [Απ. 6]

49 47 Η συνάρτηση y = α Η συνάρτηση y = α + β + γ, α 0

50

51 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Η συνάρτησης y = α 49 ΕΝΟΤΗΤΑ. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = α ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Δίνεται η συνάρτηση f () = 0. Να αποδείξετε ότι: f ( α) + f ( β) α) = 0. α + β f ( α+ β) + f ( α β) β) =. f ( α) + f ( β).. Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής y = και της ευθείας y = + 6. [Απ. (-,4), (,9)].. Για ποιες τιμές του α η παραβολή y = (α 6) έχει ελάχιστο; [Απ. α>].4. Για ποιες τιμές του α η παραβολή y = 5 α 7 βρίσκεται κάτω από τον άξονα ; [Απ. α> 5 ]

52 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : Συναρτήσεις ΕΝΟΤΗΤΑ. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = α + β + γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Δίνεται η συνάρτηση f () = +. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις τιμές της μεταβλητής οι οποίες να αντιστοιχούνται στο. [Απ. =-, =5].. Δίνεται η συνάρτηση f () = (λ+). α) Για ποια τιμή του λ, η γραφική της παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(, 5); β) Για την τιμή του λ που θα βρείτε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης όταν 4. [Απ. α)λ=5].. Δίνεται η συνάρτηση f () = λ i) Να βρείτε τις τιμές του λ, αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,8). ii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση έχει μέγιστο ή ελάχιστο. iii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τους άξονες. [Απ. i)λ=-].4. Δίνεται η παραβολή y = + α + β. i) Να βρείτε τα α, β αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή του συστήματος των αξόνων και από το σημείο Α(,5). ii) Να την παραστήσετε γραφικά. [Απ. i)α=, β=0].5. Δίνεται η ευθεία y = + και η παραβολή y = +. i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών τους σημείων. ii) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις τους στο ίδιο σύστημα αξόνων. [Απ. (0,) και (,6)].6. Δίνονται οι συναρτήσεις y = + α + β και y = α β. Αν το σημείο Α(,) είναι κοινό σημείο των γραφικών τους παραστάσεων τότε: i) Να βρεθούν τα α, β. ii) Να βρεθεί το άλλο κοινό σημείο των γραφικών τους παραστάσεων. [Απ. i)α=, β=- ii)b(-,0)].7. Στο επόμενο σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Οι κάθετες πλευρές του έχουν μήκος 0cm. B Ζ Α Να βρείτε την τιμή που πρέπει να πάρει το ώστε το ορθογώνιο ΑΔΕΖ να έχει μέγιστο εμβαδόν. [Απ. 5cm].8. Το άθροισμα μιας βάσης και του αντίστοιχου ύ- ψους ενός τριγώνου είναι cm. i) Αν η βάση είναι cm, να εκφράσετε το ύψος ως συνάρτηση του. ii) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του. iii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του εμβαδού για 0 6. iv) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του εμβαδού να βρείτε το μήκος που πρέπει να έχουν η βάση και το ύψος για να είναι το εμβαδόν μέγιστο. [Απ. i)υ=- ii)e()=- + iv)=, β=υ=6cm].9. Δίνεται η συνάρτηση f () = 9 +. Για ποιές τιμές του είναι: i) f () = 6 ii) f () = iii) f () = f ( ) iv) f () = f (+) E [Απ. i)=, =6 ii)=, =6 iii)=0 iv)=4].0. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + + β, αν διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο A(,). Γ

53 5 Τρίγωνα - Ίσα τρίγωνα Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων Θεώρημα του Θαλή Όμοια πολύγωνα Όμοια τρίγωνα Εμβαδά όμοιων σχημάτων Όγκοι όμοιων σχημάτων

54

55 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Ίσα τρίγωνα 5 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΙΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ.. Τι αναφέρει η τριγωνική ιδιότητα; Να κατασκευάσετε ένα σχήμα και να γράψετε τη σχέση. Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο. Η ιδιότητα αυτή των πλευρών ενός τριγώνου ονομάζεται τριγωνική ιδιότητα. γ Α β Στο διπλανό τρίγωνα συμβολίζουμε α, β, γ τις πλευρές ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Η σχέση της τριγωνικής ανισότητας είναι: α < β + γ β < α + γ γ < α + β. Β α Γ.. Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. Για κάθε κριτήριο να κατασκευάσετε ένα σχήμα και να γράψετε τις σχέσεις. Τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων είναι: ) Όταν δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες μια προς μια με δύο πλευρές ενός άλλου τριγώνου και οι περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες είναι ίσες, τότε τα δυο τρίγωνα είναι ίσα. Α Αν ΑΒ = ΔΕ ΑΓ = ΔΖ ˆΑ = ˆΔ Β Γ Ε Ζ Τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα. ) Όταν μια πλευρά ενός τριγώνου είναι ίση με μια πλευρά ενός άλλου τριγώνου και οι προσκείμενες γωνίες των πλευρών αυτών γωνίες είναι μια προς μια ίσες, τότε τα δυο τρίγωνα είναι ίσα. Α Αν ΒΓ = ΕΖ ˆΒ = ˆΕ ˆΓ = ˆΖ Β Γ Ε Ζ Τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα. ) Όταν οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες μια προς μια με τις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τα δυο τρίγωνα είναι ίσα. Α Αν ΑΒ = ΔΕ ΑΓ = ΔΖ ΒΓ = ΕΖ Τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα. Β Γ Ε Ζ

56 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Γεωμετρία.. Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας των ορθογωνίων τριγώνων. Τα δυο κριτήρια ισότητας των ορθογωνίων τριγώνων είναι: ) Όταν μια πλευρά και μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσες με μια αντίστοιχη πλευρά και οξεία γωνία ενός άλλου, τότε τα δυο τρίγωνα είναι ίσα. ) Όταν δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες με δυο αντίστοιχες πλευρές του άλλου, τότε τα δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ.4. Στις πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε από ένα σημείο Δ, Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΔΕΖ είναι μικρότερη από την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ..5. Πάνω στις πλευρές ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, παίρνουμε από ένα σημείο Ε, Ζ, Η και Θ. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τετραπλεύρου ΕΖΗΘ είναι μικρότερη από την περίμετρο του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ..6. Στο εσωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Ο. Να αποδείξετε ότι: α+ β+ γ ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ >..7. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των διαγωνίων ενός τετραπλεύρου είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα δύο απέναντι πλευρών του..8. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: β + γ α) υ α <. β) υ α + υ β + υ γ < α+ β + γ..9. Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ζ και Ε. Αν Κ είναι το σημείο τομής της ΒΕ με την ΓΖ και Δ το σημείο τομής της ΑΚ με την ΒΓ, να αποδείξετε ό- τι: α+ β+ γ ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ >..0. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο... Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Πάνω στις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε α- ντίστοιχα τα τμήματα ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΜ είναι ισοσκελές... Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ και παίρνουμε σε αυτές αντίστοιχα τα τμήματα ΒΔ, ΓΕ ώστε ΒΔ = ΓΕ. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΜ είναι ισοσκελές... Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ και παίρνουμε σε αυτές αντίστοιχα τα τμήματα ΒΔ, ΓΕ ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι ΓΔ = ΒΕ..4. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ φέρνουμε τη διάμεσό του ΑΜ. Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Δ πάνω στην ΑΜ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΒΓ είναι ισοσκελές..5. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και πάνω στις πλευρές του ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Κ, Λ, Μ έτσι ώστε ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ. α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΚΜ και ΒΚΛ. β) Να συγκρίνετε τα τμήματα ΚΜ και ΚΛ. γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο..6. Κατασκευάζουμε ένα σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας Αˆ και πάνω σ αυτήν παίρνουμε τα σημεία Δ και Ε, έτσι ώστε ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΔ..7. Δίνεται κύκλος κεντρου Ο και χορδή του ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ προς τα δύο άκρα της, κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΟΓΑ = ΟΔΒ. β) Το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές..8. Δίνεται γωνία Ο y. Στις πλευρές της Ο και Οy παίρνουμε τμήματα ΟΑ, ΟΓ και ΟΒ, ΟΔ α- ντίστοιχα τέτοια, ώστε ΟΑ = ΟΒ, ΟΓ = ΟΔ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΓ = ΑΔ β) ΜΓ = ΜΔ γ) Το τμήμα ΟΜ διχοτομεί τη γωνία Ο y.

57 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Ίσα τρίγωνα Θεωρούμε ένα σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ. Από τις κορυφές Β και Γ φέρνουμε καθέτους ΒΔ, ΓΕ στη διάμεσο ΑΜ. Να α- ποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ..0. Κατασκευάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και παίρνουμε το μέσο του Μ. Φέρνουμε μια ευθεία ε που να διέρχεται από το Μ και να μην είναι κάθετη στο ΑΒ. Να αποδείξετε ότι οι αποστάσεις των Α, Β από την ευθεία ε είναι ίσες... Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να α- ποδείξετε ότι οι αποστάσεις των κορυφών του Α και Γ από τη διαγώνιο ΒΔ είναι ίσες... Κατασκευάζουμε μια γωνία O y και φέρνουμε τη διχοτόμο της Οδ. Παίρνουμε ένα σημείο Μ πάνω στην Οδ και φέρνουμε τις καθέτους ΜΑ και ΜΒ πάνω στις πλευρές Ο και Οy της γωνίας. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές. β) Το τμήμα ΟΜ είναι διχοτόμος της γωνίας AMB. γ) Το τμήμα ΟΜ είναι κάθετο στο ΑΒ... Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι ίσες..4. Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ και εξωτερικά αυτού κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Να αποδείξετε ότι ΒΗ = ΓΕ.

58 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Γεωμετρία ΕΝΟΤΗΤΑ. ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ.. Να αποδείξετε ότι αν από το μέσο πλευράς τριγώνου φέρουμε την παράλληλη προς μια πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Μ Α Ν ε Από το μέσο Μ της πλευράς ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε ΜΝ//ΒΓ. Αν φέρουμε την ευθεία ε // ΒΓ η οποία διέρχεται από το Α, τότε οι παράλληλες ε, ΜΝ και ΒΓ θα ορίζουν ίσα τμήματα και στην ΑΓ. Δηλαδή το Ν θα είναι μέσο της ΑΓ. Β Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τα μέσα Κ, Λ, Μ των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΚΛΜ είναι η μισή της περιμέτρου του τριγώνου ΑΒΓ... Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τυχαίο σημείο Δ της πλευράς του ΒΓ. Σημειώνουμε τα μέσα Κ, Λ των τμημάτων ΑΒ και ΑΔ. Να αποδείξετε ότι το τμήμα ΚΛ προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΑΓ..4. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τα μέσα Μ, Ν των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ. Πάνω στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ σημειώνουμε τα σημεία Κ, Λ έτσι ώ- στε ΑΚ = ΑΜ και ΑΛ = ΑΝ. Να αποδείξετε ότι ΚΛ = 4 ΒΓ..5. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τη διάμεσο ΑΔ και παίρνουμε τα μέσα Ε, Ζ των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ. Το τμήμα ΕΖ τέμνει την ΑΔ στο σημείο Κ. Να αποδείξετε ότι η ΑΚ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΕΖ..6. Κατασκευάζουμε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ και παίρνουμε τα μέσα Κ, Λ, Μ, Ν των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα. Σχηματίζουμε τη διαγώνιο ΑΓ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραμμο..7. Κατασκευάζουμε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ, ΓΔ (ΑΒ < ΓΔ) και φέρνουμε τις διαγώνιές του ΑΓ και ΒΔ. Παίρνουμε τα μέσα των Κ, Λ των ΑΔ και ΒΔ. Να αποδείξετε ότι α) το τμήμα ΚΛ προεκτεινόμενο διέρχεται από τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ. ΑΒ β) ΚΛ = ΜΝ =. ΔΓ γ) ΚΜ = ΛΝ =. ΑΒ+ΔΓ δ) ΚΝ =. ΔΓ ΑΒ ε) ΛΜ =..8. Κατασκευάζουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και φέρνουμε το ύψος του ΑΔ. Παίρνουμε τα μέσα Μ, Ν των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΔΜΝ είναι η μισή της περιμέτρου του τριγώνου ΑΒΓ.

59 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων Σε ένα οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος του ΑΔ και παίρνουμε τα μέσα Μ, Ν, Ρ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΝΡΔ είναι τραπέζιο..0. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆΑ = 90 0, η ΒΓ = cm και η ΑΒ = + cm. Αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα είναι cm, να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία ˆΓ.

60 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Γεωμετρία ΕΝΟΤΗΤΑ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ.. Τι αναφέρει το θεώρημα του Θαλή; Να κατασκευάσετε ένα σχήμα και να γράψετε τη σχέση. Όταν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της άλλης. ε ε Οι ευθείες ε και ε τέμνονται από τις παράλληλες ευθείες ε, ε, ε και ε 4. A B Α Β Είναι: ΑΒ ΑΒ = ΒΓ ΒΓ = ΓΔ ΓΔ. Γ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η ΔΕ//ΒΓ. Δίνεται ότι ΑΔ = +, ΔΒ =, ΑΕ = + και ΕΓ = 4 +. Να βρείτε το. +.. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆΑ = 90 και ΑΒ = 8cm, ΒΓ = 6cm. Φέρνουμε ΔΕ//ΒΓ ώστε η ΑΕ = 4cm. Να υπολογίσετε το τμήμα ΑΔ. [Απ. ΑΔ=,cm] [Απ. = 7 ].4. Στο παρακάτω σχήμα η ΑΔ είναι διχοτόμος της ˆΑ και ΑΕ = ΕΔ. B Α Β Α + Ε Ε 4 + Γ Γ B A Να αποδείξετε ότι: i) ΔΕ//ΑΒ ΒΔ ii) ΔΓ = ΔΕ ΓΕ.5. Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε και ε. Αν από σημείο Α εντός των παραλλήλων αυτών ευθειών φέρουμε τις τέμνουσες ΒΑΓ και ΔΑΕ ώστε ΑΒ = cm, ΑΓ = cm, ΔΑ = + cm και AE = cm, να βρεθεί το μήκος του τμήματος ΑΓ. [Απ. cm].6. Στο επόμενο σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και πάνω στην πλευρά ΒΓ παίρνουμε σημείο Δ ώστε ΒΔ = ΑΒ = γ. E Γ

61 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Θεώρημα Θαλή 59 Α γ E Β Από το σημείο Δ φέρνουμε την ΔΕ παράλληλη προς την ΑΓ. Αν είναι ΓΔ =,5 m και ΒΕ = 8 m να βρεθεί το μήκος γ της πλευράς ΑΒ. [Απ. γ=0m] Γ

62 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Γεωμετρία ΕΝΟΤΗΤΑ 5. ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 5.. Πότε δύο πολύγωνα είναι όμοια; Δύο πολύγωνα είναι όμοια, όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. 5.. Να αναφέρεται τα κριτήρια ομοιότητας δύο τριγώνων. ) Όταν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες, τότε έχουν και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες, δηλαδή είναι όμοια. ) Όταν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες, τότε έχουν και τις αντίστοιχες τις γωνίες τους ίσες, δηλαδή είναι όμοια. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 5cm, cm ενώ ένα άλλο έχει διαστάσεις 5cm, 9cm. Να εξετάσετε αν είναι όμοια. 4 cm Α Β 5.4. Δύο παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και Α Β Γ Δ έ- χουν ΑΒ = 7,dm, ΒΓ = 40cm, ˆΑ = ˆΑ = 65 0, Α Β = 7cm, Β Γ = 4dm. Να εξετάσετε αν είναι όμοια Δύο παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και Α Β Γ Δ έ- χουν ΑΒ = 8cm, ΒΓ = cm, ˆΑ = ˆΑ = 70 0, Α Β = 0cm, Β Γ = 4cm. Να εξετάσετε αν είναι όμοια Δύο ορθογώνια ΑΒΓΔ και Α Β Γ Δ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας. Αν ΑΒ = 4cm, ΑΓ = 5cm 4 να υπολογίσετε τις πλευρές των δύο ορθογωνίων Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ δίνεται ΑΒ = cm και ΑΓ = 8 cm. Από ένα σημείο Δ της ΑΒ τέτοιο ώ- στε ΑΔ = 8 cm φέρνουμε παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε. Αν ΔΕ = 0 cm, να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΕ, ΕΓ και ΒΓ. [Απ. ΑΕ=cm, ΕΓ=6cm, ΒΓ=5cm] 5.8. Στο παρακάτω τετράπλευρο είναι ˆΑ = ΔΒΓ, ˆΔ = ˆΔ, ΑΔ = 4 cm και ΔΓ = 9 cm. 9 cm Να υπολογίσετε το μήκος της διαγωνίου ΒΔ. [Απ. 6cm] 5.9. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 6 cm προεκτείνουμε την πλευρά ΔΓ κατά τμήμα ΓΕ = cm. Αν η ΕΒ τέμνει την προέκταση της ΔΑ στο σημείο Ζ, να βρεθεί το μήκος του τμήματος ΑΖ. [Απ. ΑΖ=8cm] 5.0. Για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ δίνονται τα ε- ξής: ˆΑ = ˆΕ, ˆΓ = ˆΖ, ΑΒ = 4cm, ΒΓ = +6 cm, ΔΕ = + cm, ΔΖ = 4+8 cm. i) Να αποδείξετε ότι τα δύο τρίγωνα είναι όμοια. ii) Να υπολογίσετε το. iii) Να αποδείξετε ότι ο λόγος ομοιότητας των δύο τριγώνων είναι λ =. 5.. Στο επόμενο σχήμα τα διαδοχικά τετράγωνα ΑΒΓΔ, ΓΔΕΖ και ΕΖΗΘ έχουν πλευρά α. Γ

63 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Η : Όμοιότητα 6 Α Ε Θ α Β Γ i) Να υπολογίσετε τα τμήματα ΒΔ, ΒΕ, ΒΘ και ΖΘ ως συνάρτηση του α. ii) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΒΖΘ είναι όμοια. iii) Να αποδείξετε ότι ΔΒΕ = Ζ ΘΒΗ. Η 5.. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆΑ = 90 0, είναι ΑΓ = 8 cm και ΒΓ = 0 cm. Από το μέσο Μ της πλευράς ΑΓ φέρνουμε την κάθετη ΜΔ προς την ΒΓ. i) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΜΔ και ΓΔ. ii) Να επαληθεύσετε τα αποτελέσματα που βρήκατε, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΓΔΜ. [Απ. i)μδ=,4cm, ΓΔ=,cm] 5.. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 6, ΑΓ = (+) και ΒΓ = + 5. α) Είναι δυνατόν το να ισούται με ; β) Να βρεθεί το αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 5 cm. γ) Για την τιμή του που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε τις πλευρές τριγώνου το οποίο είναι όμοιο με το ΑΒΓ με λόγο ομοιότητας λ =. [Απ. α)όχι β)= γ)0cm, 8cm, cm]

64 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Γεωμετρία ΕΝΟΤΗΤΑ 6. ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 6..Πως συνδέονται τα εμβαδά δύο όμοιων σχημάτων; Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6..Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 490cm. Στην πλευρά του ΑΒ παίρνουμε ένα σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ ΔΒ =. Από το Δ φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ, η οποία τέμνει την πλευ- 5 ρά ΑΓ στο σημείο Ε. Από το Ε φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την ΒΓ στο Ζ. i) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ, ΓΕΖ και ΑΒΓ είναι όμοια. ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν των τριγώνων ΑΔΕ και ΓΕΖ. iii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΔΕΖΒ. [Απ. i)40cm ii)50cm iii)00cm ]

65 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών Σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας Νόμος των ημιτόνων Νόμος των συνημιτόνων

66

67 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με ωˆ ΕΝΟΤΗΤΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ.. Τι ονομάζουμε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Ημίτονο μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου, ονομάζουμε το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Δηλαδή, ημω = ΑΓ απεναντι καθετη πλευρα =. ΒΓ υποτεινουσα Συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου, ονομάζουμε το πηλίκο της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Δηλαδή, συνω = ΑΒ προσκειμενη καθετη πλευρα =. ΒΓ υποτεινουσα B ω υποτείνουσα προσκείμενη κάθετη πλευρά Α Γ απέναντι κάθετη πλευρά Εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου, ονομάζουμε το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά. Δηλαδή, εφω = ΑΓ ΑΒ = απεναντι καθετη πλευρα προσκειμενη καθετη πλευρα.... ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι τρεις αριθμοί ημω, συνω και εφω λέγονται τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω... Να αποδείξετε ότι για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των συμπληρωματικών γωνιών ισχύει: ημ(90 0 ω) = συνω και συν(90 0 ω) = ημω. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ παρατηρούμε ότι: ημβ = ΑΓ ΒΓ και συνγ = ΑΓ ΒΓ, δηλαδή ημβ = συνβ. Όμως οι γωνίες ˆΒ και ˆΓ είναι συμπληρωματικές, ως οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου, δηλαδή ˆΒ + ˆΓ = 90 0 ή ˆΒ = 90 0 ˆΓ. Επομένως ημ(90 0 Γ) = συνγ. Όμοια βρίσκουμε ότι συν(90 0 Γ) = ημγ. Γενικά, για τις συμπληρωματικές γωνίες ω και 90 0 ω ισχύει: ημ(90 0 ω) = συνω. Όμοια βρίσκουμε ότι συν(90 0 ω) = ημω. B Γ Α... Για παράδειγμα: ημ54 0 = ημ( ) = συν6 0. συν7 0 = συν( ) = ημ7 0.

68 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : Τριγωνομετρία.. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας ω. y M(,y) y ρ ω O Σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων παίρνουμε ένα σημείο Μ(, y) τέτοιο, ώστε Αν θέσουμε ΟΜ = ρ, τότε ορίζουμε να είναι: ημω = y, συνω =, εφω = y ( 0). ρ ρ OM = ˆω..4. Να εξηγήσετε ότι το ημω και το συνω, παίρνουν τιμές από το έως το. Οι αριθμοί και y εκφράζουν τις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου στο οποίο η υποτείνουσα είναι ρ > και ρ > y. Τα ημω και συνω μπορούν ακόμα να πάρουν και τις τιμές, και 0. Επομένως, για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύουν: ημω και συνω..5. Να γράψετε τον πίνακα με τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών. Τεταρτημόριο Τριγ. Αρ. ο ο ο 4 ο ημ + + συν + + εφ + + ΑΣΚΗΣΕΙΣ.6. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: Α = ημ5 0 συν5 0 + ημ55 0 συν65 0 Β = συν + ημ(90 0 ) 5συν 0 0 εφ ημ Γ = εφ 45 συν60 [Απ. Α=0, Β=0, Γ=-].0. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης y = 4ημ. [Απ.Ελάχιστη -, Μέγιστη ].7. Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων παίρνουμε τα σημεία Α(,0), Β(, ), Γ( 6,8), Δ(0, 5). Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ και ΟΔ..8. Να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των επόμενων παραστάσεων: i) Α = ημ 5 ii) Β = 4 συν iii) Γ = 7ημ + 6συν iv) Δ = ημ συν.9. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης y = συν +. [Απ.Ελάχιστη, Μέγιστη ]

69 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με ωˆ ΕΝΟΤΗΤΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ˆω και 80 0 ˆω ισχύει: ημ(80 0 ω) = ημω συν(80 0 ω) = συνω εφ(80 0 ω) = εφω ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: (i) ημ0 0 = ημ( ) = ημ50 0 0,766 (ii) συν5 0 = συν( ) = συν65 0 0,4 (iii) εφ98 0 = εφ( ) = εφ8 0 7,5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Αν συν5 0 = 0,89 να υπολογίσετε: α) ημ55 0 β) συν45 0 [Απ. α)0,89 β)-0,89].. Να γραφεί σε απλούστερη μορφή η παράσταση: ημ(90 θ) συν(90 θ) εφ(80 θ) εφ45 Α = εφθ ημ(80 θ) συν(80 θ) ημ50 [Απ. ].6. Αν 90 0 < ω < 80 0 και ( ημω) = ( ημω) + 6 να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω καθώς και την γωνία. [Απ. ημω=,συνω=-,εφω=-, ω=00 ].. Αν Α, Β, Γ είναι οι γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι: α) ημ(α+β) = ημγ β) συν(β+γ) = συνα γ) εφ(γ+α) = εφb.4. Να υπολογίσετε τη γωνία, αν: α) ημ = 0, 0 0 < < 80 0 β) συν =, 90 0 < < 80 0 γ) εφ + = 0, 90 0 < < 80 0 δ) εφ =, 90 0 < < Να υπολογίσετε τη γωνία, αν: α) ημ = 0,5, β) 4συν =, γ) ημ ημ + = 0, δ) ημ + ημ = 0, ε) (ημ )(συν ) = 0,

70 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : Τριγωνομετρία ΕΝΟΤΗΤΑ. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ.. Να αποδείξετε ότι: εφω = ημω συνω. M(,y) y y Για τη γωνία ημω = y ρ OM = ˆω, έχουμε και συνω = ρ ρ ω Επομένως ημω συνω = y ρ ρ = y ρ = y ρ = εφω. O Δηλαδή, εφω = ημ ω συνω. Ο τύπος ισχύει με την προϋπόθεση ότι η γωνία ˆω είναι τέτοια, ώστε συνω 0, δηλαδή όταν ˆω 90 0 και ˆω Να αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω =. M(,y) y Έχουμε: + y = ρ y ρ + = ρ ρ ρ A ρ O ω ρ + y ρ = (συνω) + (ημω) =. Δηλαδή, ημ ω + συν ω =. ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. i) Να βρείτε τους αριθμούς: α = και β = ii) Αν η γωνία ω ανήκει στο ο τεταρτημόριο και είναι ημω = α, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της β ημω συν ω παράστασης: Π =. εφ ω [Απ. i)α=,β=6 ii)π= 4 ].4. Αν ημ = 5 και 00 < < 90 0, να υπολογίσετε: i) Tο συν και την εφ. ii) Tην αριθμητική τιμή της παράστασης: ημ + 5ημ συν A =. εφ

71 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών Αν συν = 5 και , να υπολογίσετε: i) Tο ημ και την εφ. ii) Tην αριθμητική τιμή της παράστασης: 5εφ+ ημ + συν A =. ημ+.6. Να αποδείξετε ότι: ημα+ εφα = + συνα. εφα.7. Να αποδείξετε ότι: ημ.συν.εφ + +εφ =..8. Να αποδείξετε ότι: ( συν ω )( ημ ω ) =..6. Αν εφ και 0 0 < < 90 0, να υπολογίσετε την α- ριθμητική τιμή της παράστασης: ημ ημ συν Π =. 4ημ συν [Απ. Π= ].9. Να αποδείξετε ότι:.0. Να αποδείξετε ότι: ημα+ συνα = εφ α + ημα συνα εφα. εφ ω εφ ω+ = ημ ω συν ω..7. Αν ημω = λ και συνω = 4λ με 0 < λ < 4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = 5λ + (5λ ). [Απ. Α=].. Αν α = ημω.ημφ, β = ημω.συνφ, γ = συνω να δείξετε ότι: α + β + γ = 9... Να αποδείξετε ότι: ημω + + ημω = συν ω..8. Έστω ότι η εξίσωση + ημα. + συν α = 0 έχει μοναδική λύση. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς α- ριθμούς της γωνίας α, αν η γωνία ανήκει στο 4 ο τεταρτημόριο. [Απ. ημα=- 5 5, συνα= 5 5, εφα=-].. Να αποδείξετε ότι:.4. Να αποδείξετε ότι: ημα +συνα + εφα = ημα. ημα συνα εφα = ημα..9. Αν ημφ = κ λ, κ > λ > 0 και 90 0 < < 80 0, κ +λ να βρείτε: α) το συνφ β) την εφφ [Απ. α)συνφ=- κλ κ + λ.0. Να αποδείξετε ότι: συν ω ( + εφ ω) =. β)εφφ= λ -κ κλ ].. Να αποδείξετε ότι: εφα (συνα συν α) = ημ α... i) Να λύσετε το σύστημα: y+ 4 y + = + y = ( ) ii) Αν (,y) είναι η λύση του παραπάνω συστήματος να αποδείξετε ότι: 4(.ημω+006y.συνω) + (006y.ημω+.συνω) = 4. [Απ. i)(,y)=(,0)].. Να αποδείξετε ότι: + εφ α = συν α..4. Να αποδείξετε ότι: (ημα + συνα) (ημα συνα) = 4ημα.συνα..5. Να αποδείξετε ότι: (ημω + 4συνω) + (4ημω συνω) = Να αποδείξετε ότι: ημα συνα + συν α ημα = ημα..6. Να αποδείξετε ότι: εφ α ημ α = εφ α. ημ α..7. Να αποδείξετε ότι: ημ 4 α ημ α = συν 4 α συν α..8. Να αποδείξετε ότι: ημ 4 συν 4 = ημ..9. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 4 4 συν ω ημ ω συν ω i) ii) 4 4 εφ ω συν ω ημ ω.0. Να αποδείξετε ότι: [Απ. i)συν ω ii)] συν ω +ημω = ημω... Να αποδείξετε ότι: (εφω + συν ω ημω )( συνω συνω)( ημω) =. ημω.. Να αποδείξετε ότι: συν ημ + = ημ + συν. εφ ημ συν.. Αν 0 0 < < 90 0 και συν = ημ να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. [Απ. ημ= 4 5, συν= 5, εφ= 4 ]

72 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : Τριγωνομετρία.4. i) Αν συνθ = και 900 θ 80 0 να υπολογιστούν τα ημθ και εφθ. (ημ θ) (συν θ) y = ii) Να λυθεί το σύστημα:. ( εφ θ) y= [Απ. i)ημθ= 5, εφθ=- 5 ii)( 5, 4 )].5. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας, αν είναι ημ + 4συν = 5. [Απ. ημθ= 5, συνθ= 4 5, εφθ= 4 ]

73 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Η : Νόμος των ημιτόνων & συνημιτόνων 7 ΕΝΟΤΗΤΑ 4. ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ & ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 4.. Να γράψετε και να εξηγήσετε το νόμο των ημιτόνων. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και γωνίες ˆΑ, ˆΒ και ˆΓ ισχύει: Όμοια αποδεικνύεται ότι ισχύει β ημβ Επομένως, σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α ημα β = ημβ γ = ημγ Σχεδιάζουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και φέρνουμε το ύψος ΓΔ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΓ είναι ημα = ΓΔ ή ΓΔ = ΑΓ.ημΑ () ΑΓ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΓ είναι ημβ = ΓΔ ΒΓ ή ΓΔ = ΒΓ.ημΒ () Από τις () και () έχουμε γ = ημγ ΒΓ.ημΒ = ΑΓ.ημΑ ή α.ημβ = β.ημα ή. α ημα β = ημβ γ = ημγ. α ημα. β =. ημβ 4.. Να γράψετε και να εξηγήσετε το νόμο των συνημιτόνων. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και γωνίες ˆΑ, ˆΒ και ˆΓ ισχύει: α = β + γ βγ.συνα β = γ + α γα.συνβ γ = α + β αβ.συνγ. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος ΓΔ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔΒ έχουμε α = ΓΔ + ΔΒ () Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ είναι ημα = ΓΔ ή ΓΔ = β.ημα () ΑΓ Ακόμα συνα = ΑΔ ή ΑΔ = β.συνα. ΑΓ Είναι ΔΒ = ΑΒ ΑΔ = γ β.συνα () Από τις (), () και () έχουμε α = (β.ημα) + (γ β.συνα) = β.ημ Α + γ βγ.συνα + β.συν Α = β.(ημ Α+συν Α) + γ βγ.συνα = β + γ βγ.συνα. Όμοια αποδεικνύεται ότι ισχύουν β = γ + α γα.συνβ και γ = α + β αβ.συνγ.

74 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : Τριγωνομετρία 4... ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε: α = β + γ βγ.συνα βγ.συνα = β + γ α β + γ α συνα =. βγ γ + α β α + β γ Όμοια συνβ = και συνγ = γα αβ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και την διάμεσο του ΑΔ. Αν ΔΑΒ = και ΔΑΓ = y να δείξετε ότι: ημ ημβ = ημy ημγ = β γ Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ˆΑ > 90 0 είναι ˆΓ = 45 0, ΑΒ = 0 cm και ΑΓ = 5 cm. Να βρείτε τις άλλες γωνίες του τριγώνου. [Απ. ˆΒ =0 0, ˆΑ =05 0 ] γ 4.5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α = β, β = και ˆΓ = i) Να υπολογίσετε τα ημα, ημβ καθώς και τις γωνίες ˆΑ και ˆΒ. ii) Τι είδους είναι το τρίγωνο ΑΒΓ; iii) Να υπολογιστούν τα μήκη των πλευρών β, γ όταν α = 0cm. iv) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. [Απ. i) ˆΑ =90 0, ˆΒ =0 0 iii)β=5cm, γ=5 cm iv)ε= 5 cm ] 4.6. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: ημ Α = ημ Β + ημ Γ. Να αποδείξετε ότι ˆΑ = Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα β = γσυνα, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 4.. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δείξετε ότι: βσυνγ + γσυνβ = α. 4.. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δείξετε ότι: αβσυνγ αγσυνβ = β γ. 4.. Για ένα τρίγωνο ΑΒΓ δίνεται ότι: α =, β = 5 και γ = 7. Να αποδείξετε ότι ˆΓ = 0 0. [Απ. 0 0 ] 4.4. Αν α, β, γ είναι οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει η ισότητα: β = α + γ + αγ, να βρείτε την ˆΒ. [Απ. 0 0 ] 4.5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β = α 4, γ = α 4 και ˆΑ = 0 0. i) Να βρεθεί η πλευρά α. ii) Να βρεθεί το ημb. iii) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου. [Απ. i)α=7 ii)ημβ= 4 iii)ε= 5 4 ] 4.7. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι β = cm, γ = cm και ˆΑ = 0 0, να βρεθούν: i) η πλευρά α. ii) η ˆΒ. [Απ. i)α= ii)0 0 ] 4.8. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι β = cm, γ = cm και ˆΑ = Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές Για ένα τρίγωνο ΑΒΓ δίνεται ότι α =, β = +, γ = + και ˆΑ = Να βρείτε τις πλευρές β και γ. [Απ. β=5, γ=6]

75

76 Η τριγωνική διάταξη των αριθμών, με το στην κορυφή, στην οποία κάθε αριθμός προκύπτει από το άθροισμα του ζεύγους των αριθμών που βρίσκονται πάνω από αυτόν, είναι γνωστή ως τρίγωνο του Pascal (6-66), ο οποίος το χρησιμοποίησε στη μελέτη των πιθανοτήτων το 65. Το τρίγωνο έχει πολλές ενδιαφέρουσες αριθμητικές ιδιότητες. = 0 + = ++ = +++ = = 4 Το άθροισμα των αριθμών όπως φαίνεται στο σχήμα δημιουργούν τους όρους της ακολουθίας Fibonacci. Δηλαδή,,,,, 5, 8,,, 4, 55, η οποία ορίζεται συναρτησιακά ως εξής α =, α = και α n+ = α n+ + α n. Το διαγώνιο άθροισμα των αριθμών ξεκινώντας από μία μονάδα, ισούται με τον αριθμό κάτω από τον τελευταίο, ο οποίος δεν βρίσκεται στη διαγώνιο. +9 = = = 84