Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVINTA 2011/2012

Transcript

1 Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVINTA 2011/2012 Odporúčam: cez učivá, predmety a ročník navštíviť príslušné tematické celky 1. POLROK (Použitá učebnica Matematika pre 1. ročník gymnázií - 1. časť - vydaná v r.2009.) 1 POČÍTAME S KALKULAČKOU AJ BEZ NEJ 1.1 Počítame s kalkulačkou Vypočítajte na kalkulačke - úloha str.8 - tréning 1.2 Zátvorky a poradie operácií (35 7) ( ) Počítame spamäti a premieňame jednotky Koľko eur je 0,002 milióna eur? Ak 1 minúta hovoru stojí 0,12 koľko minút môžeme telefonovať za 6? Koľko hektárov má futbalové ihrisko s rozmermi 110 m x 80 m? 1.4 Zaokrúhľujeme Dané číslo 3 561,453 7 zaokrúhlite na: a) celky b) na desatiny nadol c) na desatiny aritmeticky 1.5 Odhadujeme Najprv odhadnite výsledok, odhad zapíšte a potom vypočítajte na kalkulačke: ,8 : 0, PERCENTÁ, POMER, MIERKA, KURZY 2.1 Percentá, promile a časti celku Základné úlohy Koľko je 37,5 % z 1 695? Ak 37,5 % je 1695, koľko je 100 % (teda základ)? Na letáku z obchodného domu je uvedené zlacnenie o 51 %, nová cena je 13,29. Aká bola pôvodná cena? Zlacnenie je zaokrúhlené na celé percentá DPH - daň z pridanej hodnoty ( v SR je od DPH 20 %) Cena lopty bez DPH je 12. Aká cena je na bločku, ak je predajná cena s DPH? Ďalšie úlohy na percentá mzda Len môj samotný preddavok na daň je 31,94, pozdychla si pani Jarmila. Viete zistiť, koľko je jej hrubá mzda? 2.2 Rozdeľujeme v rôznych pomeroch Rozdeľte 550 v pomere 2 : 4 : Priama úmernosť Z 80 kg zberového papiera možno vyrobiť 50 kg recyklovaného papiera. Koľko recyklovaného papiera sa vyrobí z 1000 kg zberového papiera? Aká je vzdialenosť v skutočnosti, ak na mape s mierkou 1 : je to úsečka dlhá 1,5 cm? - 1 -

2 2.4 Nepriama úmernosť Ak pri rýchlosti sťahovania z internetu KB za sekundu trvá sťahovanie súboru 35 sekúnd, koľko by trvalo pri rýchlosti 5 MB/s? (PRIPOMEŇME SI, ŽE 1 KILOBAJT (KB) = BAJTOV, 1 MEGABAJT (MB) = KB) Manažér firmy sa vyjadril: Pred mesiacom sme na ten istý objem výroby potrebovali 8 ľudí na 16 hodín, dnes to zvládne 6 ľudí za 10 hodín. O koľko percent sa zvýšila produktivita práce? 2.5. Ďalšie úlohy Ak pred cestou do USA meníte eurá na doláre pozriete si stĺpec nákup alebo predaj? Ktorý stĺpec vás bude v zmenárni zaujímať, ak po návrate budete chcieť zameniť doláre na eurá? 5 VÝROKY, LOGICKÉ SPOJKY A KVANTIFIKÁTORY 5.1 Výrok a jeho pravdivostná hodnota Uveďte aspoň jeden príklad vety, ktorá je : pravdivý výrok nepravdivý výrok nie je výrok 5.2 Definície Sformulujte definície pre: deliteľnosť piatimi prvočíslo 5.4 Protipól a negácia Napíšte negáciu tvrdenia: Číslo 13 je párne Čo je negácia negácie? Sformulujte negáciu tvrdenia Viac ako štyria hráči futbalovej jedenástky podali dobrý výkon. 5.6 Spojky a, alebo, buď - alebo v matematike Vymenujte tie z čísel 1, 2, 3,, 50, ktoré spĺňajú podmienku číslo je deliteľné 3 a súčasne Vymenujte tie z čísel 1, 2, 3,, 50, ktoré spĺňajú podmienku číslo je deliteľné 3 alebo Vymenujte tie z čísel 1, 2, 3,, 50,ktoré spĺňajú podmienku číslo je deliteľné buď 3, alebo Negácia podmienok a tvrdení spojených spojkami a, alebo, buď - alebo Podľa pravidiel volejbalu je zakázané mať dres inej farby ako ostatní hráči mužstva a /alebo bez čísla. Uvedené pravidlo sa nevzťahuje na špecializovaného hráča, ktorý sa nazýva libero. Kedy hráč, ktorý nie je libero, toto pravidlo poruší? 5.8 Spojky ak tak, len ak, len vtedy. Implikácia a ekvivalencia Na webovej stránke úradu je tento oznam : Informácie o osobných údajoch fyzickej osoby úrad sprístupní len vtedy, ak to ustanovuje zákon, alebo na základe predchádzajúceho písomného súhlasu dotknutej osoby. Kedy úrad nesprístupní uvedené údaje? 6 Vzorce a vzťahy s písmenami aj bez nich 6.1 Slovný opis vzťahu a jeho zápis pomocou premenných Číslo M je o 7 menšie ako číslo K Číslo A je aritmetický priemer čísel B a C

3 6.1.3 Číslo w je hodnota u zmenšená o 21 % Dvojnásobok čísla r je o 5 menší ako trojnásobok čísla s Navrhnite slovný opis, z ktorého vznikol tento symbolický zápis: r = s Písmená pomáhajú pochopiť a vysvetliť Pomocou roznásobovania skontrolujte, že rovnosť (a + b)(a b) = a 2 b 2 platí pre ľubovoľné dve čísla a, b Roznásobením skontrolujte správnosť vzorcov: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b (a b) 2 = a 2-2ab + b Čo ten vzorec vlastne je? Opravte vzorec s novín (str. 99) tak, aby bol v súlade s uvedeným slovným opisom. 6.4 Z niektorých vzorcov odvodzujeme iné Čo je BMI? Aká hmotnosť sa pokladá za normálnu pre 16-ročné dievča vysoké 165 cm? Aká hmotnosť sa pokladá za normálnu pre 16-ročného chlapca s výškou 175 cm? Ak za 1 minútu naprší 3 mm vody, koľko litrov vody by napršalo za sekundu na plochu 1 ha (t. j. aká špecifická výdatnosť dažďa zodpovedá intenzite dažďa 3mm/min)? Ak na 100 obyvateľov pripadá 51 mužov, koľko percent obyvateľstva tvoria ženy (teda ak K m = 51, akú hodnotu má K f )? 6.5 Ďalšie úlohy Za koľko minút dorazí hasičské auto priemernou rýchlosťou 45 km/h k požiaru vzdialenému 18 km? Predpokladajme, že FMS za plyn je 2 za mesiac a cena za 1 m 3 plynu je 0,05. Koľko zaplatíme, ak za 2 mesiace odoberieme 30 m 3 plynu? V pravidlách súťaže bicyklistov sa uvádza : Pretekári a pretekárky získavajú body v závislosti od dosiahnutého času podľa určitého vzorca ( M pre 1. ročník gymnázia, str. 110). Koľko bodov získa víťaz? Akú veľkosť musí mať základ dane, aby sa nezdaniteľná čiastka rovnala 0? 7 Bez rovníc to nepôjde 7.1 Lineárne rovnice s jednou neznámou Riešte rovnicu: x 3 = 15 6x x (1 0,5x) = x 12, x + 5 = 1-2 ( x - 7 ) Nájdite všetky korene rovnice: x = x = w w = 5w Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi dosadzovacia metóda: a b = 3 3a + 2b = 7 sčítacia metóda: x 2y = 7 5x + 2y = 9-3 -

4 x + 3y = 5,5 3x 5y = Zvládneme aj iné rovnice (x + 1)(x + 2) = (x + 1)(3 2x) x 7,5 2x 3 = = 2y - 4 y 5 y úloha 62 / str úloha 64 / str

5 2. POLROK (Použitá učebnica Matematika pre 1. ročník gymnázií 2.časť - vydaná v r.2010.) 8 Uhly, dĺžky, obsahy 8.1 Uhly Uhol a jeho veľkosť Ktoré písmeno označuje vrchol uhla ABC? Koľko stupňov má priamy uhol? Doplňte: 5 =. (minút) =... (sekúnd) Načrtni súhlasné uhly: susedné uhly: vrcholové uhly: striedavé uhly: Azimut orientovaný uhol Aký azimut zodpovedá smeru juhozápad? Uhly a poloha na zemeguli Zemepisná dĺžka sa meria na rovnobežkách alebo na poludníkoch? Keby sme nakreslili všetky rovnobežky na Zemi, aký útvar by vznikol? 8.2 Zhodnosť trojuholníkov Čo znamenajú tieto zápisy: sss, sus, usu, Ssu? 8.3 Trojuholníky, štvoruholníky, mnohouholníky a ich obsahy (nezabudnite na náčrty) Vypočítajte obsahy Obdĺžnika ABCD, ak a = 35 mm, b = 2 cm Trojuholníka ABC, ak c = 25 cm, v c = 1,2 dm Rovnobežníka KLMN, ak KL = 10 cm, v MN = 2,5 cm Lichobežníka PQRS s výškou 50 mm, PQ = 1dm, RS = 35 mm Narysujte ľubovoľný nepravidelný mnohouholník (vzor na str.15) a vypočítajte jeho obsah. Potrebné údaje si odmerajte. 8.4 Podobnosť trojuholníkov (nezabudnite na náčrty) Trojuholník KLM je podobný trojuholníku ABC s koeficientom podobnosti 3. Koľkonásobkom obvodu trojuholníka ABC je obvod trojuholníka KLM? Trojuholník PQR je podobný trojuholníku ABC s koeficientom podobnosti ½. Koľkonásobkom obsahu trojuholníka ABC je obsah trojuholníka PQR? Tyč dĺžky 1,5 m má tieň dlhý 0,9 m. Tieň stromu má dĺžku 14,4 m. Aký vysoký je strom? Ukážte ( podľa znázornenia v úlohe 30 / strana 21 načrtnite si ho k tejto úlohe), že z podobnosti zeleného trojuholníka BCD a pôvodného trojuholníka ABC vyplýva rovnosť a 2 = c. c a, žltého trojuholníka CAD a pôvodného trojuholníka ABC vyplýva rovnosť b 2 = c. c b, žltého a zeleného trojuholníka vyplýva rovnosť v c 2 = c a. c b Práve ste dokázali... (doplňte). 8.5 Tangens, sínus a kosínus goniometrické funkcie (nezabudnite na náčrty) TANGENS (tan) Aká je výška stromu, ak má jeho tieň dĺžku 12,5 m a slnečné lúče dopadajú pod uhlom 35? Ako ďaleko od veže vysokej 81 m je predmet, ktorý vidíme pod hĺbkovým uhlom 41? Zisti veľkosti uhlov v pravouhlom trojuholníku s odvesnami dlhými 3 jd ( jednotky dĺžky ) a 4 jd

6 SÍNUS A KOSÍNUS (sin, cos) Zisti veľkosť ostrých uhlov v pravouhlom trojuholníku s preponou 10 jd, ak jedna z odvesien je dlhá 6 jd. KRUHOVÝ VÝSEK a ODSEK použitie goniometrických funkcií pri riešení úloh Vypočítajte obsah kruhového výseku a kruhového odseku v kružnici s polomerom r = 5 cm a stredovým uhlom α = Koľko máme možností 9.1 Niekoľko základných myšlienok Vypisujeme všetky možnosti Koľkými rôznymi spôsobmi možno 50-eurovú bankovku rozmeniť na bankovky menšej hodnoty ( 20, 10, 5 )? { (kombinatorické) pravidlo súčtu} S akou pravdepodobnosťou možno očakávať, že nedostaneme 5-eurovku? Koľko rôznych kódov chýb určitého výrobku možno vytvoriť z číslic 1 až 9 a z 24 veľkých písmen abecedy ( bez CH, Q a W a bez diakritických znamienok )? { (kombinatorické) pravidlo súčinu} 9.2 Variácie, permutácie a kombinácie Variácie s opakovaním Koľko rôznych kódov môžeme vytvoriť z 24 veľkých písmen abecedy ( bez CH,Q a W a bez diakritických znamienok )? Určte počet všetkých 5-prvkových variácií s opakovaním z 12 prvkov. Variácie a permutácie Koľko rôznych 4 - miestnych PIN - kódov možno vytvoriť z číslic 2, 4, 6 a 8, ak sa v kóde žiadna číslica nemá opakovať? Koľko 5 - ciferných čísel možno vytvoriť z číslic 1 až 9, ak v jednom čísle môže byť každá číslica najviac jedenkrát? n! ( n-faktoriál ) pre zjednodušenie počítania permutácií a k-prvkových kombinácií Určte počet všetkých 4-prvkových variácií zo 6 prvkov Určte počet všetkých permutácií z 12 prvkov. Kombinácie ( kombinačné čísla ) Koľko možných výsledkov žrebovania má lotéria, v ktorej z 35 čísel žrebujeme 5? Pani Eva vyplnila jeden stávkový lístok na jeden tip v lotérii 5 z 35. Aká je pravdepodobnosť, že vyhrá výhru v I.poradí? 9.3 Ďalšie úlohy Napíšte všetky možnosti stavu po prvom polčase pre futbalový zápas, ktorý skončil 3 : Zistite počet všetkých možností stavu tretín hokejového zápasu s celkovým výsledkom 3 : Koľko zlatých (alebo strieborných) čísel vytvoril mobilný operátor 09XX podľa opisu, že ďalšia časť mobilného čísla má tvar XYY ZYY, kde X, Y, Z sú navzájom rôzne ( teda z číslic 0 až 9 ). 10 Zobrazujeme priestor 10.1 Priamky roviny a ich vzájomná poloha (urobte si náčrt kocky ABCDEFGH obr. 6/ str.63) Rôzne spôsoby určenia roviny Napíšte, ktoré z bodov vyznačených na načrtnutom obrázku ležia v rovine určenej priamkou HD a bodom L Ktoré body ležia v rovine určenej bodmi A, B, F? A ktoré ležia v rovine určenej priamkami AE a AC? Vzájomná poloha priamok v priestore ( stále pracujeme s náčrtom kocky! ) Nájdite aspoň 1 dvojicu priamok ( priamky pomenujte pomocou bodov na kocke ), ktorá spĺňa dané vlastnosti: Priamky.. a.. sú rôznobežné a majú.. spoločných bodov

7 Priamky.. a.. sú rovnobežné a majú.. spoločných bodov Priamky.. a.. sú mimobežné a majú.. spoločných bodov Priamky.. a.. sú totožné a majú.. spoločných bodov. Vzájomná poloha priamky a roviny ( stále pracujeme s náčrtom kocky! ) Nájdite aspoň 1 priamku, ktorá leží v rovine ABC Nájdite aspoň 1 priamku, ktorá je s rovinou ABC rôznobežná Nájdite aspoň 1 priamku, ktorá je s rovinou ABC rovnobežná. Vzájomná poloha dvoch rovín Akú vzájomnú polohu majú roviny: ABF a ERK BCG a HEF ADK a BCU NKM a FGH 10.2 Rovnobežné premietanie Vo voľnom rovnobežnom premietaní zobrazte telesá (rysovanie!): Kocka s hranou 3cm: nadhľad sprava podhľad zľava Kváder so štvorcovou podstavou, hrana podstavy má dĺžku 1, výška je Pravidelná 6-boký ihlan, hrana podstavy má dĺžku 1, výška je 1, Zobrazte prostredné teleso z úlohy 42/str.73 v nadhľade zľava a podhľade sprava Bokorysy, pôdorysy a nárysy Riešte úlohu č. 46 a), c), f) na strane Riešte úlohu č. 47 a) na strane 76. ( Pomôcka: Najprv si načrtnite ihlan vo voľnom rovnobežnom premietaní.) Riešte úlohu č. 49 na strane Ďalšie možnosti vrstevnice a lineárna perspektíva Riešte úlohu č. 53 na strane Podľa obr. 41 / str. 85 nakreslite aj vy obraz miestnosti. Dokážete to? 11 Funkcie a grafy 11.1 Premenné a funkcia Zapíšte symbolicky: číslo 12 je (funkčná) hodnota funkcie g v bode Napíšte predpis funkcie F vyjadrujúci vzťah medzi polomerom gule r a jej povrchom S Znázorňujeme funkciu graficky Bodové grafy Riešte úlohu č.6 / str Riešte úlohu č.8 / str Aké iné grafy (diagramy) poznáte? 11.3 Graf priamej úmernosti a lineárnej funkcie, nepriama úmernosť Vypočítajte hodnoty p( x )= 12,5x pre x = 0,5, x =1, x = 1,5,. x = 5 a znázornite zodpovedajúce body grafu funkcie p. ( Pri výpočte aj zostrojovaní grafu odporúčame použiť tabuľkový kalkulátor.) Čo je definičný obor funkcie? Graf funkcie y = kx (priama úmernosť) Narysujte graf funkcie y = 3,5x pre x medzi -2 a 5. Lineárna funkcia a jej graf Napíšte všeobecný tvar rovnice (predpis) lineárnej funkcie. Čo je jej grafom? Riešte úlohu č.26 / str Riešte úlohu č.28 / str

8 Nepriama úmernosť Napíšte predpis funkcie nepriamej úmernosti. Čo je jej grafom? Aké je vtedy k? 11.4 Čo možno zistiť z grafu funkcie Riešte úlohy podľa obr.29 / str.110 : úloha úloha úloha Ďalšie úlohy Vyberte si 3 ľubovoľné úlohy zo str , označte ich číslom príslušnej úlohy a stranou. VEĽA ÚSPECHOV PRI PRÁCI! V prípade potreby som tu pre vás: tadova@gmail.com (Valeria Godovičová) - 8 -