TEÓRIA. Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín,

Transcript

1 TEÓRIA Množiny a operácie s nimi Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín, Vennove diagramy, disjunktné množiny, konečná a nekonečná množina, prázdna množina, intervaly. Základné číselné množiny, premenné Vysvetlite pojmy: konštanta, premenná, výraz, vznik a vlastnosti množín N, Z, Q, I, R (komutatívny, asociatívny a distributívny zákon), n-ciferné číslo, zlomky. Objasnite desatinný rozvoj čísla (konečný, nekonečný, periodický), číslo e, číslo π, nekonečno, číselná os, znázorňovanie čísel. Deliteľnosť prirodzených a celých čísel Objasnite pojmy: deliteľ, násobok, prvočíslo, zložené číslo, nesúdeliteľné čísla, zvyšok, prvočíselný rozklad, prvočiniteľ. Logika Vysvetlite obsah pojmov: výrok, definícia, úsudok, hypotéza, potvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, kvantifikátory, zložené výroky a ich pravdivostná hodnota. Popíšte základné druhy dôkazov: priamy a nepriamy dôkaz, dôkaz sporom, dôkaz matematickou indukciou. Algebrické výrazy a mnohočleny Vysvetlite pojmy: algebrický výraz, úprava výrazu, vysvetlite spôsob úpravy výrazov rozkladom na súčin, (napr.: x 2 + 3x 10), definičný obor výrazu, definičné obory výrazov, mnohočlen, pravidlá pre operácie s mnohočlenmi, delenie mnohočlenov

2 Zhodné zobrazenia Vysvetlite pojmy: zhodné zobrazenie, osová súmernosť, os súmernosti, posunutie, stredová súmernosť, stred súmernosti, otočenie, stred otočenia, orientovaný uhol a jeho veľkosti, uhol otočenia, osovo a stredovo súmerný útvar, samodružný bod, skladanie zobrazení. Podobné zobrazenia Vysvetlite na príkladoch pojmy: podobné zobrazenie, rovnoľahlosť, stred a koeficient rovnoľahlosti, vlastnosti rovnoľahlosti, inverzné zobrazenie. Funkcia, vlastnosti funkcie Vysvetlite obsah pojmov: funkcia f reálnej premennej x, definičný obor funkcie f, obor hodnôt funkcie f. Opíšte na príkladoch vlastnosti funkcií : rastúca, klesajúca, nerastúca, neklesajúca, prostá, párna, nepárna, periodická, ohraničená, maximum, minimum funkcie. Inverzná funkcia Vysvetlite pojem inverznej funkcie. Aký je vzťah medzi D(f), D(f -1 ), H(f), H(f -1 ) a ich grafmi? Kvadratická funkcia Opíšte predpis, graf a vlastnosti kvadratickej funkcie. Lineárne lomené funkcie Určite predpis, graf, asymptoty a vlastnosti lineárnej lomenej funkcie. Mocninové funkcie Vysvetlite pojmy: mocnina s prirodzeným, celočíselným, racionálnym exponentom. Určite predpis, graf a vlastnosti mocninovej funkcie. Načrtnite a porovnajte grafy funkcií f: y = x n pre rôzne hodnoty n Z.

3 Exponenciálna a logaritmická funkcia Vysvetlite pojmy: exponenciálna funkcia, graf a vlastnosti exponenciálnej funkcie, logaritmická funkcia, graf a vlastnosti logaritmickej funkcie. Popíšte závislosť vlastností exponenciálnej a logaritmickej funkcie od základu a. Aký je vzťah medzi exponenciálnou a logaritmickou funkciou? Goniometrické funkcie Definujte goniometrické funkcie ostrých uhlov pomocou dĺžok strán v pravouhlom trojuholníku. Opíšte pojmy: jednotková kružnica, orientovaný uhol, sinx, cosx, tgx. Určite, v ktorých kvadrantoch budú nadobúdať kladné a záporné hodnoty? Vysvetlite vlastnosti goniometrických funkcií na základe ich grafov. Postupnosti Objasnite pojmy: postupnosť, n-tý člen postupnosti, postupnosť rastúca, klesajúca, maximum (minimum) postupnosti, ohraničenosť postupnosti, rekurentný vzťah, limita postupnosti. Aritmetická postupnosť Vysvetlite pojmy: postupnosť určená n-tým členom, postupnosť určená rekurentne, uveďte príklady rekurentne určenej postupnosti, aritmetická postupnosť, vzťahy pre n-tý člen a súčet prvých n-členov aritmetickej postupnosti. Geometrická postupnosť Vysvetlite pojmy: geometrická postupnosť, vzťahy pre n-tý člen a súčet prvých n-členov geometrickej postupnosti, vlastnosti postupnosti, limita postupnosti. Kombinatorika Vysvetlite pojmy: faktoriál, permutácie, variácie s opakovaním a bez opakovania, kombinácie s opakovaním a bez opakovania, pravidlo súčtu, pravidlo súčinu, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník, rozdiel medzi variáciami bez opakovania a s opakovaním, vysvetlite na príklade.

4 Pravdepodobnosť Vysvetlite pojmy: pravdepodobnosť, vlastnosti pravdepodobnosti, doplnková pravdepodobnosť, náhodný jav, nezávislé javy, uveďte jednoduché príklady. Štatistika Vysvetlite pojmy: diagram graf (stĺpcový, kruhový, lomený, spojitý), základný súbor, výberový súbor, rozsah, modus, medián, aritmetický a geometrický priemer. Lineárne útvary Vysvetlite pojmy: bod, priamka, polpriamka, úsečka, stred úsečky, polrovina, rovnobežné a rôznobežné priamky, uhol ostrý, pravý, tupý, priamy, konvexný a nekonvexný, susedné, vrcholové, súhlasné a striedavé uhly, os úsečky, os uhla, uhol dvoch priamok, kolmé priamky, vzdialenosť dvoch bodov, bodu od priamky, rovnobežných priamok. Trojuholník Opíšte pojmy: trojuholník (ostrouhlý, pravouhlý, tupouhlý, rovnoramenný a rovnostranný), vrchol, strana, výška, uhol, ťažnica, ťažisko, stredná priečka, kružnica trojuholníku opísaná, kružnica do trojuholníka vpísaná, obvod a plošný obsah trojuholníka, trojuholníková nerovnosť, Pytagorova veta, Euklidove vety, sínusová a kosínusová veta. Mnohouholníky Vysvetlite pojmy: vrchol, strana, uhlopriečka a uhol mnohouholníka, rovnobežník, kosoštvorec, obdĺžnik, štvorec, lichobežník, konvexné, nekonvexné a pravidelné mnohouholníky, obsah mnohouholníka. Kružnica a kruh Vysvetlite pojmy: stred, polomer, priemer a tetiva kružnice, kružnicový oblúk, dotyčnica, sečnica a nesečnica, stredový a obvodový uhol, Talesova kružnica, obvod kruhu a dĺžka kružnicového oblúka, kruhový výsek a odsek, medzikružie, obsah kruhu a kruhového výseku, spoločné (vonkajšie, vnútorné) dotyčnice dvoch kružníc.

5 Polohové vlastnosti útvarov Objasnite jednoznačné určenie priamky, roviny. Popíšte vzájomnú polohu 2 priamok, priamky a roviny, 2 a 3 rovín, priesečnica 2 rovín, demonštrujte na kocke. Metrické vzťahy útvarov v priestore Vysvetlite pojmy: uhol dvoch priamok, uhol dvoch rovín, kolmosť priamok a rovín, kolmý priemet bodu a priamky do roviny, vzdialenosť dvoch lineárnych útvarov (dvoch bodov, bodu od roviny, bodu od priamky, vzdialenosť rovnobežných priamok, priamky a roviny s ňou rovnobežnej, vzdialenosť rovnobežných rovín), uhol priamky s rovinou. Telesá Objasnite pojmy: vrchol, hrana, stena, podstava, výška, sieť telesa. Popíšte druhy mnohostenov (rovnobežnosten, kváder, kocka, hranol, kolmý a pravidelný hranol, ihlan, štvorsten) a rotačných telies (valec, kužeľ, guľa). Určite objemy a povrchy základných telies. Analytická geometria v rovine Vysvetlite pojmy: vektor, umiestnenie vektora, súradnice vektora, opačný vektor k danému vektoru, nulový vektor, súčet a rozdiel vektorov, násobok vektora skalárom, dĺžka vektora, skalárny súčin vektorov, analytické vyjadrenie priamky v rovine. Derivácia funkcie Vysvetlite pojmy: derivácia funkcie, dotyčnica ku grafu funkcie v danom bode. opíšte využitie derivácie funkcie pri zisťovaní priebehu funkcie. Integrálny počet Vysvetlite pojmy: neurčitý integrál, integračná premenná, integračná konštanta, plocha ohraničená grafmi funkcií, určitý integrál, Newtonov-Leibnizov vzorec.

6 DÔKAZY Dokážte vzorec na prevod logaritmu z jedného základu na iný. Odvoďte vzorec pre objem zrezaného kužeľa (určitým integrálom). Dokážte, že protiľahlé hrany pravidelného štvorstena sú na seba kolmé. Dokážte vzorec pre súčet nekonečného geometrického radu. Odvoďte vzorce pre súčet veľkostí uhlov a počet uhlopriečok konvexného n-uholníka. Dokážte, že stredový uhol v kružnici je dvojnásobkom obvodového uhla prislúchajúceho tomu istému oblúku. Dokážte Euklidove vety o výške a o odvesne. Dokážte aspoň dvoma spôsobmi Pytagorovu vetu. Odvoď stredovú a všeobecnú rovnicu kružnice. Dokážte (napr. matematickou indukciou), že pre všetky prirodzené čísla n platí 3 \ ( n³ + 2n). Dokážte kosínusovú vetu. Dokážte, že nasledujúce výrokové formuly sú tautológie: a) ( A B) ( A' B) b) [( A B) A' ] ( B A) [( A B) ( A' B' )] c) (A B) Dokážte, že počet všetkých prvočísiel nie je konečný (sporom). Dokážte sínusovú vetu sinα : sin β = a : b. Je daná kocka ABCDEFGH a dve roviny CDE, KLM, kde K je stred hrany DH, L stred hrany AD a M stred hrany BC. Dokážte, že roviny CDE a KLM sú na seba kolmé. Odvoďte vzorec na výpočet koreňov kvadratickej rovnice. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n platí: 10 \ ( n² + 6) => 5 \ n Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n platí: 3 \ ( n³ + 11n) Odvoďte vzorec pre výpočet vzdialenosti bodu od priamky v rovine. Dokážte vzorec pre skalárny súčin vektorov u.v = u 1.v 1 + u 2.v 2.

7 Odvoďte vzorec pre výpočet vzdialenosti 2 bodov v priestore. Odvoďte kombinatorické vzorce počet permutácií, variácií a kombinácií k-tej triedy z n prvkov bez opakovania. Odvoďte vzorec pre objem gule (určitým integrálom). Dokážte, že 5 a log 2 3 nie sú racionálne čísla (sporom). Matematickou indukciou dokážte, že pre všetky prirodzené čísla n platí n = 2 1 n ( n + 1) Odvoďte vzorec pre deriváciu tgx. Dokážte vzorec pre súčet n členov geometrickej postupnosti. Dokážte vzťah sin²x + cos²x = 1. Dokážte vzorce pre cos2x a cos3x. Dokážte, že pre prirodzené čísla k, n, kde k n platí: n n + k k +1 n + 1 = k + 1

8 PRÍKLADY Zhodné zobrazenia Podobné zobrazenia Trojuholník Trigonometria Uhly v kružniciach Kružnica Súradnicová sústava v priestore Objem a povrch telies Analytická geometria v rovine Vzdialenosti a odchýlky lineárnych útvarov Mocniny Kvadratická rovnica Kvadratická nerovnica Rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou Nerovnice s jednou neznámou Sústavy lineárnych rovníc Sústavy nerovníc Rovnice s parametrom Exponenciálne rovnice Logaritmické rovnice Goniometrické rovnice Lineárne lomené funkcie Kvadratická funkcia Logaritmická funkcia Goniometrické funkcie Postupnosť

9 Kombinatorika Pravdepodobnosť Derivácie