22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte"

Χαρικλώ Αλαφούζος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál dnej ircionálnej funkcie., b) +, b) +, c) Pomocou substitúcie t = + vypočítjte integrál I = +. ( )(+). Úprvou n štvorce výrzu + p + q lebo + p + q vhodnou lineárnou substitúciou preveďte dný integrál, λ {, }, n integrál typu dt λ +p+q t +c lebo dt, ten potom vypočítjte. t, b), c), Integrál P (), kde λ {, } P λ znčí polynóm. stupň, preveďte (podobne ko v predchádzjúcej úlohe) n integrál typu +p+q rt+s t dt lebo rt+s +c dt, ten potom t vypočítjte rozkldom n dv integrály (v prvom z nich treb použiť ďlšiu substitúciu)., b), c), (Poznámk: Úlohu možno riešiť j metódou neurčitých koeficientov, t.j. nájsť reálne čísl A, k tk, by pltilo: P () = A λ + p + q + k.) λ +p+q λ +p+q. Integrál P (), kde λ {, } P λ znčí polynóm. stupň, riešte metódou neurčitých koeficientov (t.j. nájdite reálne čísl A, B, k, by pltilo: P () +p+q = λ +p+q (A + B) λ + p + q + k ). λ +p+q +, b) +, c), Dné integrály vypočítjte použitím nsledovných vzorcov: ( + c = + c + c ln + ) + c, ( = ) + rcsin. (Možno použiť j metódu neurčitých koeficientov, keďže + p + q = +p+q.) +p+q 9, b) 9, c) + +, c). 7. Použitím substitúcie t = sin lebo t = cos vypočítjte integrál 4

2 e) cos sin 7, b) sin, c) cos, f) sin cos +cos, cos sin 4, cos, sin 4 cos h) sin + cos. 8. Použitím substitúcie t = tg (potom = rctg, = dt, sin = t, cos = +t +t sin cos = t ) vypočítjte integrál +t tg +tg, b) sin cos 6, c) sin sin + cos, +t, sin 4 cos. 9. Dný integrál typu R(cos, sin ), kde R je rcionáln funkci, vypočítjte pomocou univerzálnej substitúcie t = tg (potom = dt, cos = t, sin = t ). +t +t +t sin, b) cos, c) +sin +cos sin cos, 4 sin + cos.. Nsledovné integrály typu sin m cos n vypočítjte pomocou rekurentných vzorcov I n = n cosn sin + n n I n, kde n N + I n = cos n, J n = n sinn cos + n n J n, kde n N + J n = sin n. (Ak m + n je párne, potom dné integrály možno vypočítť j znížením mocnín goniometrických funkcií pomocou vzorcov: cos +cos =, sin cos sin =, sin cos =.) cos, b) sin, c) cos 4, sin cos e) sin 4 cos, f) sin.. Použitím vhodnej substitúcie t = r vypočítjte integrál +, b) e e 6 +4, c) e, e e. Výsledky:. t + t rctg t + C, kde t =, b) ( t t + t ln t + ) + C, kde t =, c) 6( t7 7 + t + t + t + ln t t+ ) + C, kde t = 6, 4 9 ( t6 6 + t + t4 4 + t ) + C, kde t = = t t +, = 4t dt, I = (t +) + C.. ln C, b) ln C, c) rcsin + C, rcsin + + C C, b) 9 + C, c) + + ln C, 4 rcsin + C ln C, b) ( ) ln C, c) + rcsin, ( 4 ) rcsin +C ln + 9 +C, b) rcsin + +C, c) ln( ) + C, + rcsin( ) + C sin 6 + C, b) t t + C, kde t = cos, c) t t + t 6 ln( + t) + C, kde t = cos, t t C, kde t = sin, e) t t + t + C, kde t = sin, f) +t ln t + C, kde t = sin, t t + +t ln t + C, kde t = sin, h) 4 ( + cos ) + C ln cos + sin + + C, b) t + t + C, kde t = tg, c) ln( + cos ) + C, t t + C, kde t

3 t = tg. 9. ln tg +C, b) ln tg( π 4 ) +C = ln +tg tg +C, c) + ln tg tg +C, tg +C.. 4 sin + +C, b) 4 sin + +C, c) 4 cos sin + 8 cos sin C, 8. ln(+ ) ln sin 4 +C, e) ( 6 sin 4 sin 6 sin ) cos + 6 +C, f) sin cos +C, b) 6 cos +C. rctg e +C, c) e ln + e e +C, rcsin(e )+C. Určitý integrál definíci, vlstnosti. Newton-Leibnizov vzorec. Substitučná metód. Metód per prtes. Porovnním integrovných funkcií zistite, ktorý z dných dvoch integrálov je väčší. Výsledok preverte výpočtom integrálov podľ Newton-Leibnizovho vzorc.,. Vypočítjte integrál (, b),, c) ( )(4 ), c) 8 + ), b), e), f) 4 4 π/ dt cos t, h) π/4. Formálny výpočet integrálu = [ ] = kldné hodnoty. V čom je problém? ( + 4 ), i), +4, +4, π + cos. sin. pomocou Newton-Leibnizovho vzorc, t.j. výpočet < je zjvne nesprávny, keďže integrovná funkci ndobúd ib 4. Vhodnou substitúciou lebo použitím metódy per prtes vypočítjte integrál j) π sin t cos t dt, b) e, e) e, h) e (ln ln ) k) R ρ R ρ dρ, c) 4 T/ + +, f) rctg, i) sin, l) π/4 sin( πt T e +e, rctg, e cos. ϕ ) dt, 6

4 . Pre n N oznčme I n = cos n J n = sin n. Metódou per prtes (lebo pomocou rekurentných vzorcov pre príslušné neurčité integrály) dokážte, že pre n plti rekurentné vzorce I n = n n I n J n = n n J n. Keďže I = J I = J, dostávme nsledovný dôsledok: I n = J n pre kždé n N. 6. Vypočítjte dný integrál. Pri výpočte využite rekurentné vzorce uvedené v predchádzjúcej úlohe. j) sin, b) sin 4, e) cos, h) sin 4, k) sin, c) cos 6, f) sin cos, i) π sin 4, l) cos, sin cos 4, sin 4 cos 4, sin. 7. Zistite, prečo formálne zvedenie substitúcie = t do určitého integrálu výpočet = + dt = rctg t + = π 6 = π +, t.j. < vedie k nesprávnemu výsledku. (Výsledok nemôže byť záporný, lebo integrovná funkci má v dnom intervle ib kldné hodnoty.) Správny výsledok je: = [ rctg ] + = π. Tiež zistite, prečo zvedenie substitúcie t = tg do určitého integrálu π tg + (tg ) = π π +cos, t.j. výpočet π +cos = ( cos +) cos = dt = vedie k nesprávnemu výsledku (výsledok musí byť > ). t + Výsledky:. 77 4, b) ln 7π, c) 4, π, e) ln , f) ln( + 6),, h) ln +, i).. Funkci y = nie je ohrničená v intervle I =,, tkže zápis nepredstvuje určitý integrál (je to nevlstný integrál). Tiež funkci y = nie je primitívnou funkciou k n celom intervle I, ib n podintervloch neobshujúcich číslo, dokonc nie je ni spojitá v I =,. 4., b) R, c) T π cos ϕ, e e, e) ln, f) rctg e π 4, e, h) π, i) π 4 ln, j) 4 e, k) π 4 + ln, l) (eπ ). 6. π, b), c) 4π, 6 π, e) I 6 = I = π, f) I 4 I 6 = ( 6 )I 4 = π, 7

5 I =, h) I I = ( 4 )I =, i) π, j) I 6 4 = 8 π, k) I 4 = 8π, l). 7. Funkcie t = ϕ() zvedené do dných integrálov nie sú spojité v dných intervloch. 4 Stredná hodnot funkcie n intervle. Pomocou geometrickej úvhy (bez počítni určitého integrálu) nájdite strednú hodnotu funkcie f v intervle I, k f() =, I =,, b) f() =, I =,, pre,, c) f() = pre (,, pre (, 4, I =, 4.. Nájdite strednú hodnotu funkcie f v intervloch I =, π, I =, π, I = π, π I 4 = π, π, k f() = sin, b) f() = sin, c) f() = sin.. Profil žľbu má tvr prbolického úseku so zákldňou d (šírk žľbu) hĺbkou h. Vypočítjte strednú hĺbku žľbu. Výsledky:. π 4, b) π 4, c) 4.. π, π,, π, b) π, c).. h. Integrál s premennými hrnicmi. Vypočítjte deriváciu funkcie F, k F () = t 4 + dt, b) F () = u 4 + du, c) F () = t 4 + dt.. Nájdite tké primitívne funkcie F, F, F, F 4 k funkcii f() = e, b) f() = sin, by pltilo: F () =, F () = 7, F (7) = F 4 ( ) =. Výsledky:. 4 +, b) 4 +, c) F () = e t dt, F () = 7 + e t dt, F () = e t dt, F 4 () = + e t dt, b) F () = cos, F () = 8 cos, 7 F () = cos 7 cos, F 4 () = + cos cos. 8

6 6 Nevlstný integrál integrál n neohrničenom intervle, integrál neohrničenej funkcie. Vypočítjte integrál, b) f) ( ) 4,. Vypočítjte integrál f), b),, c) +, h), c), h), +, i),, i), e) e, j), e., e), ( ) 4, j) ln. Výsledky:. diverguje, b) diverguje, c) diverguje,, e), f), π, h) diverguje, i), j).., b), c) diverguje, diverguje, e) diverguje, f) diverguje, ln( + ), h) π, i) π, j) -. 7 Geometrické plikácie určitého integrálu. Vypočítjte obsh čsti roviny ohrničenej krivkmi y = 6, y =, b) = y +, y = +, c) y =, = y, y = +, y =, e) + y = 8, = y, f) y = ln, y =, = e.. Pomocou určitého integrálu vypočítjte obsh trojuholník ABC, k A = (, ), B = (, ), C = (, ).. Pomocou určitého integrálu vypočítjte obsh čsti roviny ohrničenej elipsou s poloosmi, b. 4. Vypočítjte objem teles, ktoré vznikne rotáciou okolo osi o čsti roviny ohrničenej krivkmi y = 6, y =, b) y = k, = h, kde k >, h >, c) y =, = y, y = sin, y = π, kde, e) + y b =, f) + y = R, y = r, kde y r, < r < R, y b =, = h, = h, h) y b =, = + h, kde >, h >.. Pomocou určitého integrálu vypočítjte objem 9

7 rotčného kužeľ s polomerom zákldne r výškou h, b) zrezného kužeľ s polomermi zákldní r, R výškou h. 6. Je dný kruh so stredom v bode (, R) polomerom r, pričom < r < R. Vypočítjte objem teles (tzv. nuloidu), ktoré vznikne rotáciou tohto kruhu okolo osi o. 7. Vypočítjte dĺžku dnej krivky y = f(), b. (Vzorec: l = y =,, b) y = medzi priesečníkmi s osou o. 8. Pomocou určitého integrálu vypočítjte dĺžku kružnice s polomerom r. b + (f ()).) 9. Vypočítjte obsh rotčnej plochy, ktorá vznikne rotáciou okolo osi o dnej krivky y = f(), b. (Vzorec: S = π y = r + R r h b f() + (f ()).), h, h > (plášť zrezného kužeľ s výškou h), b) y = r, r h r, < h r (obsh guľového vrchlík s výškou h).. Zrkdlo má tvr odseku rotčného prboloidu, ktorého rozmery sú nsledovné: priemer kruhovej zákldne je 8, výšk (t.j. vzdilenosť vrcholu od roviny zákldne) je. Vypočítjte povrch zrkdl. Výsledky:. 6, b) 6, c), π, e) π + 4, 6π 4 64, f).... πb. 4. π, b) kh π π, c) π,, e) 4 πb, f) 4 π(r r ) R r, π h(+ h ), h) πb h b (+ h ).. πh r, b) πh (R + Rr + r ). 6. π r R ( ), b) + ln( + ). 9. π(r + r) h + (R r), b) πrh.. 6 π ( 8).

Σχετικά έγγραφα

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH MATEMATIKA II. Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH S T R O J N Í C K A F A K U L T A MATEMATIKA II Dušn Knežo, Mirim Andrejiová, Zuzn Kimáková RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. RNDr. Ján Buš, CSc. c doc. RNDr.