1. Stereometria. 1.1 Premena jednotiek :10 :10 :10 :1000. Jednotky dĺžky: Jednotky obsahu :

Transcript

1 1. Stereometria 1.1 Premena jednotiek Jednotky dĺžky: :10 :10 :10 :1000 Jednotky obsahu : 1

2 Jednotky objemu: : 1000 : 1000 : 1000 : : 10 : 10 : 10 : 100 Cvičenia: 1) Premeňte na uvedené jednotky: 5,322 m [dm]= 0,11 cm [mm]= 46,1 cm [dm]= 12,64 cm [m]= 5400 cm [m]= 5,9 m [mm]= dm [km]= 27,7 dm [m]= 86,004 m [km]= 30 km [m]= 1,09 m [cm]= 3,33 dm [mm]= 2

3 2) Premeňte na uvedené jednotky: 57,46 m 2 [dm ]= 112 mm 2 [dm 2 ]= 44,15 cm 2 [dm 2 ]= 0,855 a [m 2 ]= 7600 cm 2 [m 2 ]= 8,09 dm 2 [mm 2 ]= 14,24 dm 2 [a]= 740,4 ha [km 2 ]= 522,8 a [km 2 ]= 0,988 km 2 [ha]= 15,2 dm 2 [m 2 ]= 2,35 m 2 [a]= 3) Premeňte na uvedené jednotky: 13,8 m 3 [dm ]= 6,345 m 3 [hl]= 12,06 ml [cl]= 2,464 hl [l]= 540 cl [cm 3 ]= 35,32 dm 3 [ml]= 0,98 l [cl]= 0,003 hl [l]= l [m 3 ]= 4587 ml [dm ]= 55,4 dm 3 [m 3 ]= 0,08 l [cl]= 1.2 Povrchy a objemy telies Kocka: Kváder: S = 2.S p + S p V = S p. v pl Hranol: 3

4 Cvičenia: 1) Vypočítajte povrch a objem pravidelného štvorbokého hranola s hranou podstavy a = 150 mm a výškou v = 300 mm. Výsledok: S = 22,5 dm 2, V = 6,75 dm 3 2) Kváder má rozmery a = 250 mm, b = 150 mm, c = 400 mm. Vypočítajte jeho povrch, objem a telesovú uhlopriečku. Výsledok: S =39,5 dm 2, V =15 dm 3 3) Hrana kocky a = 50 mm. Vypočítajte jej povrch, objem, stenovú a telesovú uhlopriečku. Výsledok: S =1,5 dm 2, V =125 cm 3,u s = 70,7 mm,u t = 86,6 mm 4) Vypočítajte dĺžku hrany a objem kocky, ak jej povrch S = 5,20 m 2. Výsledok: a = 9,3 dm, V = 804 dm 3 5) Objem kocky V = 142 cm 3. Vypočítajte hranu kocky a jej povrch. Výsledok: a = 5,21 cm, S = 163 cm 2 6) Pravidelný päťboký hranol má podstavnú hranu a = 80 mm a výšku v = 0,25 m. Aký má povrch a objem? Výsledok: S = 12,2 dm 2, V = 2,752 dm 3 7) Pravidelný šesťboký hranol má hranu podstavy a = 80 mm a výšku v = 150 mm. Vypočítajte jeho povrch, objem a uhlopriečky. Výsledok: S = 10,526 dm 2, V = 2,494 dm 3, u p = 160 mm, u s = 170 mm, u t = 219 mm 8) Povrch kvádra a jeho štvorcová podstava má stranu 2 cm dlhú. Vypočítajte výšku a objem. Výsledok: a = 6 cm, V = 24 cm 3 9) Vypočítajte povrch a objem pravidelného trojbokého hranola s podstavnou hranou a = 200 mm a výškou v = 300 mm. Výsledok: S = 21,5 dm 2, V = 5,19 dm 3 10) Podstava kvádra má rozmery a = 180 mm, b = 150 mm, jeho objem V = 13,5 dm 3. Vpočítajte tretí rozmer c kvádra. Výsledok: c = 500 mm 11) Vypočítajte povrch a objem kocky, ktorej najväčší rozmer (telesová uhlopriečka) má 312mm. Výsledok: a = 180 mm, S = 19,47 dm 2, V = 5,852 dm 3 12) Dva rozmery kvádra sú 150 mm a 120 mm, jeho povrch S = 19,8 dm 2. Vypočítajte tretí rozmer kvádra Výsledok: c = 300 mm 13) Koľkokrát sa zväčší objem kvádra, ak každú jeho stranu zväčšíme 2-krát? 4

5 Valec: S = 2πr 2 + 2πrv V = πr 2 v Cvičenia: 1) Vypočítajte povrch a objem valca s priemerom d = 180 mm a výškou v = 300 mm. Výsledok: S = 22,043 dm 2, V = 7,63 dm 3 2) Rovnostranný valec (t.j. v = 2r) má priemer 100 mm. Vypočítajte jeho povrch a objem. Výsledok: S = 4,71 dm 2, V = 0,785 dm 3 3) Vypočítajte povrch rovnostranného valca, keď jeho objem V = 216 cm 3. Výsledok: S = 1,99,dm 2 4) Rovnostranný valec má povrch S = 550 cm 2. Vpočítajte jeho polomer, výšku a objem. Výsledok: r = 5,4 cm, v = 10,8 cm, V = 990 cm 3 5) Vypočítajte povrch a objem dutého valca s vnútorným priemerom d = 100 mm, vonkajším priemerom D = 130 mm a výškou v = 250 mm. Výsledok: S = 19,1 dm 2, V = 1,354 dm 3 6) Valec má polomer r = 2,8 dm a výšku v = 42 cm. Vypočítajte jeho plášť, povrch a objem. Výsledok: S pl = 73,9 dm 2, S = 123,2 dm 2, 7) Povrch valca S = 253 cm 2 a polomer valca r = 3,5 cm. Vypočítajte výšku, plášť a objem valca. Výsledok: v = 8 cm, S pl = 176 cm 2, V = 308 cm 3. 8) Valec má obsah plášťa S pl = 75 m 2 a povrch S = 100 m 2. Vypočítajte polomer, výšku a objem valca. Výsledok: r = 2m, v = 5, 97 m, V = 76,5 m 3 9) Koľkokrát sa zmenší objem valca s priemerom d, keď sa zmenší jeho priemer (pri nezmenenej výške) na polovicu? Výsledok: 4-krát 10) Koľkokrát sa zväčší povrch valca, keď jeho priemer i výšku zväčšíme trojnásobne? Výsledok: 9-krát V = 103,5 dm 3 5

6 11) Valec 250 mm vysoký má objem 2,83 dm 3. Aký má priemer d? Výsledok: d = 120 mm 12) Vypočítajte priemer d a výšku v rovnostranného valca, ktorý má objem V = 15 dm 3. Výsledok: d = v = 268 mm Ihlan: S = S p + S pl V = S p v Cvičenia: 1) Vypočítajte povrch a objem pravidelného štvorbokého ihlana, keď hrana podstavy a = 140 mm, výška steny v s = 220 mm a telesová výška v = 210mm. Výsledok: S = 8,12 dm 2, V = 1,372 dm 3 2) Pravidelný päťboký ihlan má hranu podstavy a = 150 mm a výšku v = 300 mm. Vypočítajte dĺžku jeho bočnej hrany h. Výsledok: h = 326 mm 3) Vypočítajte povrch a objem pravidelného päťbokého ihlana s rozmermi z predchádzajúceho príkladu. Výsledok: S = 15,77 dm 2, V = 3,87 dm 3 4) Vypočítajte výšku, povrch a objem pravidelného štvorbokého ihlana, ktorého podstavná hrana a = 10 cm a ktorého bočná stena zviera s rovinou podstavy uhol α = 40. Výsledok: v = 4,2 cm, S = 230 cm 2, V = 140 cm 3 5) Vypočítajte povrch a objem pravidelného päťbokého ihlana, ktorého podstavná hrana a = 6 cm a bočná hrana b = 10 cm. Výsledok: S = 205 cm 2, V = 177 cm 3 6) Pravidelný trojboký ihlan má hranu podstavy a = 100 mm a výšku v = 300 mm. Vypočítajte jeho objem. Výsledok: 432 cm 3 7) Vypočítajte povrch a objem pravidelného štvorstena, ktorého hranaa má dĺžku a = 100 mm. Výsledok: S = 1,732 dm 2, V = 118cm 2 6

7 8) Je daný pravidelný kolmý trojboký ihlan. a) a = 5 cm, v = 8 cm, vypočítajte V, S, b) V = 173,2 cm 3, v = 12 cm, vypočítajte a, s. Výsledok: a)v = 28,87cm 3, S = 71,8 cm 2 ; b) a = 10 cm, s = 13,3 cm 9) Plášť pravidelného štvorbokého ihlana sa skladá zo štyroch zhodných rovnoramenných trojuholníkov, ktorých ramená sú 8 cm dlhé a zvierajú uhol α = 56. Vypočítajte dĺžku podstavnej hrany, povrch a objem ihlana. Výsledok: a = 7,5 cm, S = 162 cm 2, V = 112 cm 3 10) Výška pravidelného päťbokého ihlana je dlhá ako hrana podstavy, a to 20 cm. Vypočítajte povrch a objem ihlana. Výsledok: S = 1 214cm 2, V = 4 590cm 3 Kužeľ : S = πr 2 + πrs V = πr2 v Cvičenia: 1) Kužeľ má priemer podstavy d = 120 mm a výšku v = 150 mm. Vypočítajte jeho povrch a objem. Výsledok: S = 4,17 dm 2, V = 0, 565 dm 3 2) Strana rotačného kužeľa má dĺžku s = 10 cm a zviera s rovinou podstavy uhol α = Vypočítajte polomer podstavy, výšku kužeľa, povrch a objem kužeľa. 3) Je daný rotačný kužeľ. a) r = 2,4 m, v = 5,,5 m, vypočítajte V, s, S pl b) V = 3 dm 3, r = 1,5 dm, vypočítajte v, s, S, c) r = 6,8 cm, s = 14,4 cm, vypočítajte S pl, v, V. Výsledok: r = 3,8 cm, v = 9,24 cm, S = 166 cm 2, V = 142 cm 3 Výsledok: a) V = 33,2 m 3, s = 6 m, S pl = 45,25 m 2, b) v = 1, 27 dm, s = 1,97 dm, S = 16,34 dm 2, c) S pl = 307,6 cm 2, v = 12,69 cm, V = 615 cm 3 4) Povrch kužeľa je 235,5 cm 2, osový rez je rovnostranný trojuholník. Vypočítajte objem kužeľa. Výsledok: V = 226,6 cm 3 7

8 5) Objem kužeľa je mm 3, obsah osového rezu je 100 mm 2. Vypočítajte objem kužeľa. Výsledok: 711,65 mm 2 6) Vypočítajte povrch a objem kužeľa, ktorého priemer podstavy d = 280 mm a výška v = 330 mm. Aký povrch a objem má zrezaný kužeľ, ktorý vznikne z daného kužeľa a má výšku v k = v (mera ané od podstavy)? Výsledok: S = 21,94 dm 2, V = 6,77 dm 3, S 1 = 20,8 dm 2, V = 6,5 dm 3 7) Vypočítajte výšku kužeľa, ktorého priemer podstavy d = 50 mm, keď má mať objem V = 50 cm 3. Výsledok: v = 76,4 mm 8) Kužeľ vysoký v = 300 mm má objem V = 3,142 dm 3. Vypočítajte povrch S tohto kužeľa. Výsledok: (d = 2 dm, s = 3,16 dm), S = 13,064 dm 9) Kužeľ s rozmermi d = v = 60 mm rozdeľuje rez rovnobežný s podstavou a prechádzajúci stredom výšky n dve časti. Vypočítajte objemy oboch častí. Výsledok: V 1 = 49,46 cm 3, V 2 = 7,07 cm 3 m 2 Guľa: S = 4 πr 2 V = πr3 Cvičenia: 1) Vypočítajte povrch a objem gule s priemerom d = 500 mm. Výsledok: S = 78,5 dm 2, V = 65,46 dm 3 2) Koľkokrát sa zväčší a) povrch gule, b) objem gule, ak sa jej polomer zväčší dvakrát, trikrát? Výsledok: ) 4-krát, 9-krát, b) 8-krát, 24-krát 3) Určte polomer a objem gule, ktorej povrch je 616 cm 2. Výsledok: r = 7 cm, V = cm 3 4) Povrch gule je taký istý ako povrch kvádra s rozmermi 7 cm, 8 cm, 11 cm. Zistite polomer a objem gule. Výsledok: r = 5,93 cm, 874 cm 3 8

9 5) Polguľa má priemer d = 250 mm. Vypočítajte jej povrch. 6) Vypočítajte objem guľového odseku, keď priemer D = 50 mm a výška v = 20 mm. 7) Povrch polgule je 300 cm 2. Vypočítajte jej polomer. 8) Objem gule je 1 km 3. Vypočítajte jej povrch. 9) Povrch gule je 1 km 2. Vypočítajte jeho objem. 10) Dutá guľa má vonkajší priemer D = 100 mm a vnútorný priemer d = 80 mm. Vypočítajte jej objem. 11) Aký priemer má guľa, ktorej a) objem V = 100 cm 3, b) povrch S = 0,628 m 2? Výsledok: S = 14,73 dm 2 Výsledok: V = 23,8 cm 3 Výsledok: r = 4,89 cm Výsledok: 4,85 km 2 Výsledok: V = 0,094 km 3 Výsledok: V = 255,5 cm 3 Výsledok: d = 5,76 cm, d = 447 mm 12) Vypočítajte priemer gule, ktorá má mať rovnaký objem ako tri rôzne gule s priemermi 50 mm, 100 mm, 150 mm. Výsledok: d = 165 mm 13) Koľkokrát sa zmenší povrch a objem gule, keď sa jej priemer zmenší na polovicu. Výsledok: povrch 4-krát, objem 8-krát 1.3 Úlohy k samostatnému riešeniu: 1) Za aký čas, v hodinách, sa naplní bazén s rozmermi 30m, 15m, 2m vodou, ktorá priteká otvorom rýchlosťou 900 litrov za minútu, ak má byť naplnený vodou na 90%. 2) Podstava trojbokého kolmého ihlana je pravouhlý trojuholník s preponou dlhou 5 cm a jednou odvesnou dlhou 3 cm. Výška ihlana je 7/6 obvodu podstavy. Vypočítajte objem ihlana. 3) Na hornej hrane rotačného valca, ktorý má priemer 10 cm a výšku 30 cm, je postavený kužeľ s rovnakou podstavou. Vypočítajte výšku tohto kužeľa, ak sa jeho objem rovná 40% objemu valca. 4) Valec má objem 500 π. Jeho podstava má polomer 10. Aký je povrch valca? 9

10 5) Do nádoby v tvare valca je vložená nádoba v tvare kužeľa. Vrchol kužeľa je zhodný so stredom dolnej podstavy valca. Výška valca je 60 cm, dĺžka strany kužeľa je 900 mm. Koľko litrov vody sa dá naliať do kužeľa? 6) Kváder z ľadu sa roztápa. Za 19 minút zmenšil svoje pôvodné rozmery o jednu tretinu. Koľko minút ešte potrvá, kým sa úplne roztopí? 7) Rotačný kužeľ má priemer d a jeho strana zviera s rovinou podstavy uhol β. Vyjadrite výšku v tohto kužeľa. 8) Strecha pavilónu má tvar rotačného kužeľa so stranou dlhou 5 m a uhlom pri vrchole osového rezu je 150. Určte obsah plochy, na ktorej bola vymenená krytina, ak sa vymenilo 35% pôvodnej krytiny.(výsledky zaokrúhlite na dve desatinné miesta). 9) Nádrž má tvar kvádra s rozmermi 3,5 m, 18 dm, 1,5 m. Koľko ton mlieka sa do nej zmestí, ak je plná a jeden liter mlieka má hmotnosť 1,03 kg. 10) Akú dĺžku má bazén,ak má všade rovnakú hĺbku 2 m, jeho šírka je 10 m a na jeho naplnenie treba milión litrov vody. 11) Hrnček má tvar valca s výškou 60,7 mm. Nachádzajú sa v ňom 2 dl vody a ak ponoríme do vody guľôčku s priemerom 4 cm, voda ešte nezačne z hrnčeka vytekať. Aký je minimálny priemer tohto hrnčeka? 12) Koľko litrov vody je v akváriu vysokom 60 cm s dnom, ktoré má rozmery 80 cm a 50 cm, ak voda siaha len do 80% výšky akvária. 13) Do bazénu v tvare kvádra s rozmermi dna 5m a 12 m pritečie za hodinu 100 hl vody. Do akej výšky bude bazén naplnený za 3 hodiny? 14) Daný je kolmý trojboký hranol s podstavou v tvare pravouhlého trojuholníka, ktorého jedna odvesna je dlhá 12 cm a prepona 1,5 dm. Jeho povrch je 342 cm 2. Vypočítajte objem hranola. 15) Určte objem kvádra, ktorého hrany sú v pomere 2 : 3 : 4 a súčet ich dĺžok je18 cm. 16) Z kocky, ktorej dĺžka hrany je 20 cm a je celá naplnená vodou, sme všetku vodu preliali do valca, ktorého výška a priemer sú zhodné s veľkosťou hrany kocky. Ktoré tvrdenie je pravdivé? a) z valca vytečie 2(4-π) l vody b) do valca môžeme naliať 2( π- 1) l vody c) z valca vytečie 8(π- 1) l vody d) po preliatí je valec plný a nič nevytečie e) do valca môžeme naliať ešte 2(3π 4) l vody 17) Nádrž má obdĺžnikové dno so stranou a = 60 dm a uhlopriečkou u = 10 m. Za aký čas sa naplní nádrž do výšky 50 cm, ak je prítok vody 2 litre za sekundu? Čas vyjadrite v hodinách a minútach. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 10

11 18) Podstava kolmého trojbokého hranola je pravouhlý trojuholník, ktorého prepona má veľkosť 5 cm a jeho odvesna 3 cm. Číslo udávajúce výšku hranola je sedem šestín čísla udávajúceho obsah podstavy. Vypočítaj objem a povrch daného hranola. Ďalej vypočítajte koľko m 2 treba na jeho oplechovanie, ak odpad tvorí 6% povrchu. 19) Aká je plocha strechy tvaru pravidelného štvorbokého ihlana s hranou podstavy 6 m a výškou 4 m? 20) Vypočítajte objem a povrch kolmého hranola, ktorého podstava je pravouhlý trojuholník ABC, ak prepona AB má dĺžku 6cm a uhol CAB je 45. Výška hranola je 10 cm. 21) Vypočítajte povrch trojbokého kolmého hranola, ktorého objem je 480 cm 3 a jeho podstavou je pravouhlý trojuholník, s odvesnou dlhou 6 cm a preponou dlhou 10 cm. 22) Voda v akváriu s rozmermi dna 60 cm a 40 cm, s výškou 450 cm dosahuje výšku 4/5 výšky akvária. Vodu prelejeme do nádoby v tvare valca. Aký je vnútorný priemer podstavy valca, ak hladina vody vo valci je vo výške 20 cm nad úrovňou podstavy? 23) Cestný valec má priemer 2 m (1,2 m) a šírku 3 m (180 cm). Približne koľko metrov štvorcových zvalcuje, ak sa otočí sedemkrát ( 50-krát)? 24) V akváriu vysokom 27 cm s rozmermi dna 60 cm a 30 cm voda siaha do dvoch tretín jeho výšky. Koľko vody musíme pridať, keď chceme, aby siahala do 8/9 výšky akvária. 25) Z mosadzného valčeka s priemerom 70 mm a výškou 90 mm bol opracovaný kužeľ s výškou a priemerom 6 cm. Vypočítajte percento odpadu. 26) Strecha veže má tvar pravidelného štvorbokého ihlana s podstavnou hranou 6 m a výškou 4 m. Koľko kilogramov farby potrebujeme na jej natretie, ak 1 kg vystačí na 10m 2? 27) Koľko cm 2 papiera potrebujeme na zhotovenie pravidelného štvorbokého ihlana, ktorého podstavná hrana má veľkosť 8,4 cm a výška ihlana 6,2 cm, ak musíš pridať 5% na záhyby. 28) Nad kockou s hranou 6m je strecha v tvare ihlana s výškou 4 m. Vypočítaj: a) Akú plochu má stena kocky. b) Akú plochu má trojuholník strechy. c) Aký je povrch tohto zloženého telesa. d) Koľko kg farby potrebujeme na natretie celého telesa, ak na 8 m 2 plochy potrebujeme 1 kg farby. e) Koľko percent tvorí strecha v tvare ihlana z povrchu celého telesa. 29) Kubo našiel drevenú kocku s hranou 3 dm a zafarbil ju na červeno. Potom odrezal z nej rohy tak, že rezy viedol stredmi hrán. Vzniklo mu teleso, ktoré voláme kubooktaéder. Rezné plochy natrel zelenou farbou. Koľko percent povrchu kubooktaédra má červenú farbu? Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 11

12 30) Objem rotačného kužeľa je 16π dm 3. a) Vypočítajte veľkosť uhla, ktorý zviera strana kužeľa s podstavou, ak výška je 3 dm. b) Vypočítajte povrch kužeľa. 31) Kváder má štvorcovú podstavu s dĺžkou hrany 4 cm a telesovú uhlopriečku dlhú 6 cm. Vypočítajte objem a povrch kvádra. 32) Plášť valca má obsah 108 cm 2 a výšku 3 cm. Vypočítajte jeho objem a obvod podstavy. 33) Kocka má hranu a. valec má polomer r = a/2, výšku v = a/4. Vypočítajte pomer V 1 : V 2, kde V 1 je objem kocky a V 2 je objem valca. 34) Váza v tvare valca je 28 cm vysoká. Vnútorný priemer je 1,1 dm. Koľko litrov vody sa do nej zmestí, ak je hrúbka dna 1,5 cm? 35) V ihlane ABCDV so štvorcovou podstavou so stranou a = 5 m a výškou v = 10 m určte veľkosť uhla BDV, dĺžku strany BV, objem a povrch telesa. 36) Záhrada má pôdorys v tvare rovnoramenného lichobežníka so základňami 18 a 28 m, ramená sú dlhé 3 m. Na záhradu naprší 6 mm zrážok. Koľkými dvanásťlitrovými krhlami vody by sme ju rovnako výdatne museli poliať? 37) Pohár má tvar valca s priemerom 6 cm. Z plného pohára sa vyliali 2 dl vody. Potom hladina v pohári dosahovala výšku 4 cm. Aká je vnútorná výška celého pohára a aký je jeho objem? 38) Aká vysoká je nádrž v tvare kvádra s rozmermi dna 80 cm a 50 cm, ak po naliatí 480 litrov vody je naplnená do troch štvrtín svojej výšky? 39) Koľko cm 2 plechu potrebujeme na zhotovenie plechovej škatuľky v tvare kvádra, ak jedna hrana podstavy je dlhá 4 cm, uhlopriečka podstavy je dlhá 5 cm a výška kvádra 6 cm. Na odpad pri výrobe počítajte 5% z povrchu škatuľky. 40) Môžeme preliať tekutinu z plechovice v tvare kvádra s rozmermi 6 cm, 4 cm a 12 cm do plechovice v tvare valca s priemerom 12 cm a výškou v, ktorá sa rovná priemeru? 41) Rozmery hranola sú v pomere 3 : 3 : 4. Štvorcová podstava má obsah 81 cm 2. Aký je objem a povrch tohto hranola? 42) Vo fľaši v tvare valca s vnútorným priemerom 8 cm sú 3 dl džúsu. Vypočítajte plochu džúsom zmáčanej časti fľaše. 43) Otvorená nádoba má tvar trojbokého hranola. Podstavou je pravouhlý trojuholník s odvesnami 50 cm a 12 dm. Výška hranola sa rovná dvojnásobku obvodu tohto trojuholníka. a) Koľko litrov vody sa zmestí do nádoby? b) Koľko m 2 plechu potrebujeme na jej zhotovenie? Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 12

13 44) Vypočítajte objem a povrch kvádra, ak hrana podstavy a = 6 cm, veľkosť telesovej uhlopriečky u t = 20 cm a veľkosť uhlopriečky podstavy u p = 10 cm. 45) Vypočítaj objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana, ak má jeho podstava obsah 144 cm 2 a jeho výška je 1,6 dm. 46) Rotačný kužeľ má priemer d = 20 cm. Strana zviera s rovinou podstavy uhol 58. Vypočítajte objem a povrch kužeľa. 47) Murovaný pilier s prierezom 60 cm a 75 cm je vysoký 3 m. Vypočítajte objem piliera a potrebný počet tehál, ak na 1 m 3 ich treba 400 kusov. 48) Pravidelný štvorboký hranol s hranou podstavy 1 dm a výškou 60 cm naplníš vodou. Potom vodu preleješ do valca s priemerom 10 cm. Do akej výšky bude siahať voda vo valci? 49) Konzerva s olejom má tvar rotačného valca, ktorého výška sa rovná priemeru podstavy. Povrch konzervy je 1884 cm 2. Vypočítajte, koľko litrov oleja je v konzerve. 50) Koľkokrát sa zmení objem kvádra, ak sa je výška zväčší štyrikrát? 51) Koľko litrov benzínu sa zmestí do nádrže v tvare valca, ktorej dĺžka je 6,7 m a priemer podstavy 18 dm? 52) Na hornej podstave pravidelného štvorbokého hranola s hranou podstavy a = 10 cm a výškou v h = 2,5 dm je postavený ihlan s tou istou podstavou. Vypočítajte výšku tohto ihlana, ak sa jeho objem rovná 30% objemu hranola. 53) Určte dĺžku hrany kocky, ktorej objem sa rovná 60% objemu kvádra s rozmermi 4 cm, 5 cm a 6 cm. 54) Rotačný kužeľ má výšku 10 m a uhol pri hlavnom vrchole osového rezu má veľkosť 40. Vypočítajte priemer podstavy, objem a povrch kužeľa. 55) Pravidelný štvorboký ihlan má objem 24 cm 3 a podstavnú hranu dlhú 40 cm. Vypočítajte výšku ihlana. 56) Vypočítajte koľko cm 2 plechu treba na zhotovenie valcovej nádoby s polomerom dna 11 cm a výškou 2,5 dm. Na spoje a odpad treba pripočítať 6% plechu. 57) Stredom drevenej kocky s hranou 20 cm sa má vyvŕtať otvor v tvare rotačného valca tak, aby objem otvoru bol 50% z objemu kocky. Vypočítajte priemer otvoru. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 13

14 58) Nádoba na dažďovú vodu je 1,2 m vysoká a má objem 0,2 m 3. Koľko kanví s objemom 8 litrov môžeme naplniť z plnej nádoby, keď voda v nej má zostať do jednej pätiny jej objemu? 59) V jednej tretine výšky rozrežeme valec rovinou rovnobežnou s rovinou podstavy valca. V menšom vzniknutom valci zostrojíme kužeľ s podstavou valca a výškou rovnajúcou sa výške malého valca. Koľkokrát je objem kužeľa menší ako objem pôvodného valca? 60) Nádrž na vodu má tvar hranola s výškou 10 m. Podstavou hranola je rovnoramenný trojuholník, ktorého základňa je dlhá 6,8 m a výška 4,8 m. Aký je objem nádrže v hektolitroch? Koľko kilogramov farby treba na natretie dna a bočných stien, ak 1 kg farby vystačí na natretie 8 m 2? 61) Do plnej nádrže ponoríme betónové teleso v tvare kvádra s rozmermi 0,5 m, 1,2 m a 0,8m. Koľko litrov vody vytečie z nádrže? 62) Za koľko minút sa naplní do troch štvrtín svojho objemu akvárium v tvare kvádra s rozmermi 4 dm, 2 dm a 3dm, ak prívodnou hadičkou natečie za sekundu 60 ml vody? 63) Nad každou stenou kocky s hranou dlhou 5 cm je zostrojený ihlan s výškou 5 cm. Aký je povrch takto vzniknutého telesa? 64) Koľko litrov úžitkového priestoru má mraznička, ak má štvorcovú základňu so stranou dlhou 60 cm a výškou 140 cm? Motor a izolácia zaberajú 65% celkového objemu. 65) Chlapci zapichli do piesku tyč kruhového prierezu s priemerom vytiahli. V p 60 mm a opatrne ju 66) iesku ostala valcová diera, do ktorej naliali 2,6 l vody. Aká hlboká je diera? 2. Kombinatorika 2.1 Kombinatorické pravidlo súčinu Kombinatorické pravidlo súčinu: Počet všetkých usporiadaných k-tic, ktorých prvý člen môžeme vybrať n 1 spôsobmi, druhý člen po výberu prvého členu n 2 spôsobmi atď. až k-tý člen po výberu všetkých predchádzajúcich členov n k spôsobmi, je rovný n 1 n 2 n k. 14

15 Vzorový príklad: V stánku ponúkajú štyri druhy zmrzliny a tri polevy. Koľko rôznych zmrzlín s polevou môžeme vytvoriť, ak nechceme miešať viac druhov ani viac poliev? Riešenie: Nasledujúci diagram zobrazuje všetky možnosti: čokoládová poleva vanilková oriešková poleva ovocná poleva čokoládová poleva jahodová oriešková poleva ovocná poleva čokoládová poleva marhuľová oriešková poleva ovocná poleva čokoládová poleva citrónová oriešková poleva ovocná poleva Ku každému zo štyroch druhov zmrzliny môžeme pridať jednu z troch poliev, spolu je preto možné vytvoriť 4 3 = 12 rôznych zmrzlín s polevou. 2.2 Kombinatorické pravidlo súčtu Kombinatorické pravidlo súčtu Aj toto pravidlo v živote často využívame, bez toho aby sme si to uvedomili. Ak máme napr. tri žlté, dve modré a štyri zelené pastelky, vie každý ľahko spočítať, že spolu máme = 9 pasteliek. Kombinatorické pravidlo súčtu Ak sú A 1, A 2,, A n konečné množiny, ktoré majú p 1, p 2,, p n prvkov, a ak sú každé dve disjunktné, potom počet prvkov množiny A 1 A 2 A n je rovný p 1 + p p n. 15

16 Vzorový príklad: Hádžeme mincou, ide o opakovaný výber z dvoch prvkov (orol, panna). Po troch hodoch môže vzniknúť = 8 rôznych výsledkov: Riešenie: Prvý hod Druhý hod Tretí hod Po 3 hodoch orol orol orol Možnosť 1 orol orol pannaa 2 orol panna orol 3 orol panna panna 4 panna orol orol 5 panna orol panna 6 panna panna orol 7 panna panna panna 8 Vzorový príklad: Do triedy chodí 28 žiakov. Deväť z nich chodí do školy autobusom a tri vozia do školy rodičia autom. Koľko žiakov z tejto triedy chodí do školy pešo, ak nikto nepoužíva na ceste do školy iný dopravný prostriedok? Riešenie: Počet žiakov, ktorí sú z tejto triedy a chodia do školy pešo, označíme x. Potom platí: 28 = x Vyjadrením x získame výsledok: x = = 16 Z tejto triedy chodí do školy pešo 16 žiakov. Cvičenia: 1) Koľko rôznych usporiadaných dvojíc čísel môžeme dostať, keď hodíme dvakrát kockou s jedným až šiestimi bodmi na jednotlivých stenách kocky? Výsledok: 36 16

17 2) V jednej triede, v ktorej každý žiak ovláda aspoň jeden z dvoch jazykov (angličtinu nebo nemčinu), hovorí 25 žiakov anglicky, 16 žiakov nemecky a 7 žiakov hovorí oboma jazykmi. Koľko žiakov chodí do tejto triedy? Výsledok: 34 3) V lietadle na medzinárodnej linke je 9 chlapcov, 5 amerických detí, 9 mužov, 7 detí inej štátnej príslušnosti, 14 Američanov, z ktorých je 6 mužov, a 7 žien inej štátnej príslušnosti. Koľko cestujúcich je v lietadle? Výsledok: 31 4) Pri matematickej súťaži riešili žiaci tri úlohy; označme ich A, B, C. Zo sto štyridsiatich súťažiacich vyriešilo úlohu A osemdesiat, úlohu B sedemdesiat a úlohu C päťdesiat súťažiacich. Pritom úlohu A a zároveň B vyriešilo štyridsať súťažiacich, úlohu B a zároveň C tridsať súťažiacich a rovnako úlohu A a zároveň C vyriešilo tridsať súťažiacich. Všetky tri úlohy vyriešilo dvadsať súťažiacich. Koľko súťažiacich nevyriešilo ani jednu úlohu? Výsledok: 20 5) Určte počet všetkých prirodzených dvojciferných čísel, v dekadickom zápisu ktorých sa každá číslice vyskytuje najviac raz. Výsledok: 8 6) Z miesta A do miesta B vedú štyri turistické cesty, z miesta B do C tri. Určte, koľkými spôsobmi môžeme vybrať trasu z A do C a späť tak, že z týchto siedmych ciest je práve jedna použitá dvakrát. Výsledok: 60 7) Určte počet všetkých trojciferných prirodzených čísel, a) v ktorých dekadickom zápise sa každá číslica vyskytuje najviac raz; b) v ktorých dekadickom zápise sa nejaká číslica vyskytuje aspoň dvakrát. Výsledok: a) 648; b) ) Určte, koľkými spôsobmi sa dajú na šachovnici 8 8 vybrať dve rôznofarebné polia tak, aby obidve neležali v tom istom rade ani v tom istom stĺpci. Výsledok: 768 9) Určte, koľko dvojjazyčných slovníkov treba na to, aby bola zabezpečená možnosť priameho prekladu z anglického, francúzskeho, nemeckého a ruského jazyka do každého z nich. Výsledok: 12 10) Spočítajte, koľko čísel z množiny {1, 2,, } je: a) deliteľných 7; b) deliteľných 5 nebo 11; Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 17

18 *c) deliteľných 6 nebo 10 nebo 15. d) Ako sa zmení výsledok v prípade, že uvažujeme čísla z množiny {0, 1, 2,, }? 11) V košíku je 12 jabĺk a 10 hrušiek. Peter si má z neho vybrať buď jablko, alebo hrušku tak, aby Viera, ktorá si po ňom vyberie jedno jablko a jednu hrušku, mala čo najväčšiu možnosť výberu. Určte, čo si má vybrať Peter. 12) Na vrchol hory vedú štyri turistické cesty a lanovka. Určte počet spôsobov, ktorými je možné sa dostať a) na vrchol a späť; b) na vrchol a späť tak, aby spiatočná cesta bola iná než cesta na vrchol; c) na vrchol a späť tak, aby aspoň raz bola použitá lanovka; d) na vrchol a späť tak, aby lanovka bola použitá práve raz 13) Určte počet všetkých štvorciferných prirodzených čísel, v ktorých dekadickom zápise nie je nula a zo zvyšných 9 číslic sa v ňom každá vyskytuje najviac raz. Koľko z týchto čísel je väčších než 9 000? Koľko je menších než 3 000? 14) Určte počet všetkých štvorciferných prirodzených čísel, ktorých dekadický zápis je zložený z číslic 1, 2, 3, 4, 5 (každá sa môže opakovať), ktoré sú deliteľné a) piatimi, b) dvoma, c) štyrmi. Výsledky: a) 125; b) 250; c) ) Z miesta A do miesta B vedie päť ciest, z miesta B do miesta C vedú dve cesty a z miesta A do miesta C vedie jedna cesta (viď obrázok). Určte, koľkými rôznymi spôsobmi sa dá vykonať cesta a) z miesta A do miesta C cez miesto B; b) z miesta A do miesta C (akokoľvek); c) z miesta A do miesta C (akokoľvek) a potom späť do miesta B (priamo), ak každým miestom môžete prejsť najviac raz (nie je možné sa vracať). 16) Je daný štvorec ABCD a na každej jeho strane n vnútorných bodov. Určte počet trojuholníkov s vrcholmi v týchto bodoch, ktorých žiadna strana neleží v strane štvorca ABCD. Výsledok: 4. n 3 Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 18

19 17) Určte, koľkými spôsobmi sa dá dostať z A do B, ak cestujeme po cestách zobrazenej siete a nikdy sa nevraciame smerom k miestu A. Jedna z možných ciest je zobrazená. Výsledok: Variácie Variácie bez opakovania: Variácie k-tej triedy z n prvkov sú všetky usporiadané k-tice z množiny N, prvky sa neopakujú. V k (n) =!! Vzorový príklad: Máme dané číslice 2,3,,5,8. Zostavte všetky 3-ciferné čísla, pričom prvky sa neopakujú. (Záleží na poradí) Riešenie: V 3 (4) =! =!!! = 24 Úlohu môžeme riešiť aj použitím kombinatorického pravidla súčinu: = 24 Vzorový príklad: Máme dané číslice 0,1,,2,5,7,8. Zostavte všetky 4-ciferné čísla, pričom sa číslice neopakujú. (Záleží na poradí) Riešenie: V 4 (6) V 3 (5) =! -!!! = = 300 V 4 (6) počet všetkých usporiadaných štvoríc V 3 (5)- možnosť nuly na prvom mieste ( zlé štvorice) Úlohu môžeme riešiť aj použitím kombinatorického pravidla súčinu: =

20 Variácie s opakovaním: Variácie k-tej triedy z n prvkov sú všetky usporiadané k-tice z množiny N, prvky sa môžu opakovať. V k(n) = n k Vzorový príklad: Máme číslice 2, 3, 5, 8. Utvorte všetky 3-ciferné čísla, ak sa číslice môžu opakovať. Riešenie: V 3(4) = 4 3 = 64 Vzorový príklad: Určte počet päťciferných prirodzených čísel, zložených iba z cifier 6, 7, 8, 9. Koľko z nich je menších než 90000? Riešenie: V prvom prípade sa jedná o variácie 5-tej triedy s opakovaním zo štyroch prvkov (k = 5, n = 4), ich počet je preto V' 5 (4) = 4 5 = Ak chceme určiť počet takých prirodzených čísel, ktoré sa skladajú iba z cifier 6, 7, 8, 9 a sú menšie ako 90000, môžeme k výpočtu použiť kombinatorické pravidlo súčinu: na mieste desať tisícov môže stáť číslica 6, 7, nebo 8, máme teda tri možnosti výberu; na ďalších štyroch miestach môže stáť ľubovoľná z cifier 6, 7, 8, 9, počet možností ich výberu je preto V' 4 (4) = 4 4 = 256. Celkom je teda = 768 päťciferných prirodzených čísel menších ako 90000, zložených iba z cifier 6, 7, 8, 9. Cvičenia: 1) Koľko párnych 4-ciferných čísel môžeme vytvoriť z číslic 0,1,2,5,7,8,, ak sa v nich číslice neopakujú? (Záleží na poradí) Výsledok: 156 2) Koľko trojciferných čísel sa dá zostaviť z číslic 1, 2, 3, 4, 5, ak sa žiadna číslica neopakuje? Výsledok: 60 3) Koľko rôznych umiestení môže byť na prvých troch miestach pri hokejových majstrovstvách sveta, ak sa ich zúčastní osem družstiev? Výsledok:

21 4) Určte počet všetkých najviac štvorciferných prirodzených čísel s rôznymi číslicami, ktoré sú vytvorené z číslic 0, 2, 4, 6, 8. Výsledok: 164 5) Určte, koľkými spôsobmi sa dá vytvoriť rozvrh na jeden deň pre triedu, v ktorej sa vyučuje dvanásť predmetov a každý najviac jednu vyučovaciu hodinu denne, ak má pozostávať zo šiestich vyučovacích hodín. a) V koľkých z nich sa vyskytuje chémia? b) V koľkých z nich je chémia zaradená na 1. vyučovaciu hodinu? Výsledky: spôsobov, a) , b) ) Určte počet prvkov, z ktorých je možné vytvoriť a) 240 variácií druhej triedy; b) dvakrát viac variácií štvrtej triedy než tretej triedy. Výsledky: a) 16; b) 5 7) V telefónnom čísle svojho spolužiaka si Jožko zapamätal len to, že je deväťmiestne, začína dvojčíslom 23, neobsahuje žiadne dve rovnaké číslice a je deliteľné 25. Určte, koľko telefónnych čísel prichádza do úvahy. Výsledok: ) Vypíšte všetky dvojčlenné variácie s opakovaním z troch prvkov a, b, c. 9) Koľko rôznych päťciferných čísel môžeme vytvoriť z číslic 2 a 5? Výsledok: 32 10) Koľko rôznych päťciferných čísel môžeme zostaviť z číslic 0, 2, 3? Výsledok: ) Koľko slov skladajúcich sa z p písmen (tj. slov "dĺžky p") môžeme vytvoriť z abecedy, ktorá má n písmen? Výsledok: n p 12) Kufrík má heslový zámok, ktorý sa otvorí, keď na každom z piatich kotúčov nastavíme správnu číslicu; týchto číslic je na každom kotúči deväť. Určte najväčší možný počet pokusov, ktoré je nutné previesť, ak chceme kufrík otvoriť, ak sme zabudli heslo. Výsledok: ) Koľko znakov, ktoré sú zložené z jedného až štyroch signálov, môže obsahovať Morseova abeceda? (Signálom rozumieme "bodku" nebo "čiarku".) Výsledok: 30 14) Koľko rôznych štátnych poznávacích značiek pre automobily môžeme použiť, ak je k dispozícii 21 písmen a 10 číslic a značka sa skladá z troch písmen na prvých troch miestach a ďalej zo štyroch číslic? Výsledok: ) Určte počet štvorciferných prirodzených čísel deliteľných štyrmi, v ktorých sa vyskytujú iba číslice 1, 2, 3, 4, 5. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 21

22 16) Určte, z koľko prvkov môžeme vytvoriť 1024 päťčlenných variácií s opakovaním. Výsledok: 4 17) V množine prirodzených čísel riešte rovnici: V' 2 (x) x V' 2 (3) = 10 Výsledok: Permutácie Permutácie bez opakovania Počet P(n) všetkých permutácií z n prvkov bez opakovania je P(n) = n! = n (n 1) (n 2) Vzorový príklad: Určte počet všetkých permutácií prvkov a, b, c. Riešenie: Počet prvkov je 3, preto počítame P(3): P(3) = = 6. Počet všetkých permutácií prvkov a, b, c je 6. Pre kontrolu je môžeme vymenovať: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Cvičenia: 1) Koľkými spôsobmi rade? je možné rozsadiť päť hostí do piatich kresiel stojacich v jednom Výsledok: 120 2) Koľkými rôznymi spôsobmi je možné postaviť do kruhu (tvárou do stredu): a) 5 rôznych osôb; b) m rôznych osôb? Dve rozmiestnenia považujeme za rovnaké, ak sa dá jedno na druhé previesť otáčaním. Výsledky: a) 24; b) (m 1)! 3) Určte, koľkými spôsobmi sa v šesťmiestnej lavici môže posadiť šesť chlapcov, ak a) dvaja chcú sedieť vedľa seba; b) dvaja chcú sedieť vedľa seba a tretí chce sedieť na kraji. Výsledky: a) 240; b) 96 22

23 4) Určte, koľkými spôsobmi môže m chlapcov a n dievčat nastúpiť do zástupu tak, aby a) najskôr stáli všetky dievčatá a potom všetci chlapci; b) medzi žiadnymi dvoma chlapcami nebolo žiadne dievča ani medzi žiadnymi dvoma dievčatami nebol žiadny chlapec; c) medzi žiadnymi dvoma chlapcami nebolo žiadne dievča. 5) Koľkými spôsobmi môžeme usporiadať množinu prirodzených čísel {1, 2, 3,, 2n} tak, aby každé párne číslo zostalo v poradí na párnom mieste? 6) Určte počet prvkovv tak, aby a) z nich bolo možné utvoriť práve permutácií; b) pri zväčšení ich počtu o dva sa počet permutácií zväčšil 56krát; c) pri zmenšení ich počtu o dva sa počet permutácií zmenšil 20krát. 7) Predstavte si, že zapíšete pod seba všetky permutácie čísel 1, 2, 3, 4, 5; vznikne tak obdĺžniková schéma, ktorá má 120 riadkov a 5 stĺpcov. Určte súčet všetkých čísel v každom stĺpci. 8) Určte, koľkými nulami končí dekadický zápis čísla 258!. Výsledky: a) n! m!; b) 2 n! m!; c) m! (n + 1)! Výsledky: a) 8; b) 6; c) 5 Výsledok: 360 Výsledok: 63 9) Zistite počet prirodzených čísel, ktoré môžeme vytvoriť z číslic 1, 2, 5, 6, 8 v prípade, že číslice sa nesmú opakovať. Potom určte pravdepodobnosť, že náhodne vybrané číslo z takto vytvorených čísel je deliteľné: a) piatimi b) štyrmi c) 2.5 Kombinácie Kombinácie bez opakovania: Kombinácie k-tej triedy z n prvkov sú všetky k-tice z množiny N, prvky sa neopakujú. C k (n) =!!.! 23

24 Vzorový príklad: V triede je 26 žiakov. Koľkými spôsobmi z nich môžeme vybrať dvoch zástupcov triedy? Riešenie: Pretože nezáleží na poradí vybraných študentov, ide o dvojčlenné kombinácie z 26 prvkov. Ich počet je 26!!.! 325 Cvičenia: 1) Je daný štvorec ABCD a na každej jeho strane n (n 3) vnútorných bodov. Určte počet všetkých trojuholníkov s vrcholmi v týchto bodoch. 2) Peter má sedem kníh, o ktoré sa zaujíma Ivana, Ivana má desať kníh, o ktoré sa zaujíma Peter. Určte, koľkými spôsobmi si Peter môže vymeniť dve svoje knihy za dve Ivanine knihy. Výsledok: 945 3) V sklade je 10 výrobkov, medzi nimi sú 3 poškodené. Koľkými spôsobmi z nich môžeme vybrať kolekciu piatich výrobkov, aby a) všetky boli dobré, b) bol práve jeden poškodený, c) bol najviac jeden poškodený, d) bol aspoň jeden poškodený? Výsledky: a) 21; b) 105; c) 126; d) 231 4) Určte, koľkými spôsobmi je možné z 20 osôb vybrať 10, ak požadujeme, aby medzi vybranými a) nebol pán A; b) neboli zároveň páni A a B; c) bol aspoň jeden z pánov A, B. 5) Určte počet prvkov, z ktorých sa dá utvoriť 66 kombinácií druhej triedy. Výsledok: 12 6) Určte počet prvkovv tak, aby a) počet kombinácií štvrtej triedy z nich vytvorených bol 20krát väčší než počet kombinácií druhej triedy; b) pri zväčšení počtu prvkov o jeden sa počet kombinácií tretej triedy zväčšil o 21. Výsledky: a) 18; b) 7) Koľko hráčov sa zúčastnilo turnaja v stolnom tenise, ak sa odohraloo 21 zápasov a hráči hrali každý s každým raz? Výsledok: 7 24

25 8) Ak sa zväčší počet prvkov o 1, zväčší sa počet kombinácií tretej triedy z nich utvorených o 21. Koľko je prvkov? 9) Koľko trojprvkových podmnožín má množina {0, 1, 2,, 9}? Výsledok: ) Koľko priamok je určených šiestimi bodmi, ak a) žiadne tri body neležia na jednej priamke, b) práve tri body ležia na jednej priamke? Výsledky: a) 15; b) 13 11) Sú dané rovnobežné (rôzne) priamky p, q. Na priamke p je daných osem rôznych bodov, na priamke q jedenásť rôznych bodov. Určte počet: a) trojuholníkov s vrcholmi v daných bodoch, b) konvexných štvoruholníkov s vrcholmi v daných bodoch. Výsledky: a) 748; b) ) V ľavom dolnom rohu šachovnice 8 8 je umiestnená figúrka, ktorú je možné jedným ťahom premiestniť buď o jedno pole vpravo, alebo o jedno pole hore. Spočítajte, koľkými rôznymi spôsobmi je možné túto figúrku premiestniť do pravého horného rohu. Výsledok: 3432 spôsobmi 2.6 Faktoriál Pre každé prirodzené číslo n definujeme: n! = (n 1) n (Symbol n! čítame "n faktoriál".) 0! = 1 Vzorový príklad: Zjednodušte výraz: Riešenie:!! -! +! =!!!! - +!.!!!!! = -!.!.. ² = = +.!! Výraz má zmysel pre n z množiny prirodzených čísel. Pre n = 0 nie sú definované výrazy (3n 1)! a (3n 2)!. = 1 + (3n 1) = 25

26 Cvičenia: 1) Vypočítajte: a)!! = c)!.!! = b)!!! = d)!!.! = Výsledky: a) 42; b) 43; c) 120/7; d) 56 2) Pre prípustné hodnoty n zjednodušte výrazy: a)!! = c)!! -!! = b)!!!! = d) - -!!!! Výsledky: a) n, n N; b) n/(n + 2), n N; c) 1, n N; d) (1 n 2 )/n!, n N, n 2 3) Pre prípustné hodnoty n zjednodušte výrazy: a) b) - - ²!!! ² +!! - =! = c) d) e)!! 2!! -!!! +! =!! =! -! +!! + 9!! Výsledky: a) 0, n Z, n 0; b) 1/(n + 2)!, n Z, n d) 1, n Z, n 0; e) n(n 2) 1; c) 2, n N, n 2; 4) V Z riešte rovnice: a)! - 16x = -24!! c) x +! x2 = 14 b)! +! x2 16x = 28 d) (5!) x = (4!) x Výsledky: a) {5, 6}; b) {2}; c) {2}; d) {0} (druhý koreň kvadratické rovnice v úlohách b) a c) nie je platný, lebo faktoriál je definovaný len pre nezáporná celé čísla) 5) Rozhodnite o pravdivosti výrokov: a) 70! + 74! > 71! + 72! b) 299! + 300! + 301! = ! c) Pre každé n N platí: n! + (n + 3)! > (n + 1)! + (n + 2)! Výsledky: a) platí; b) neplatí; c) platí 26

27 2.7 Kombinačné čísla Vlastnosti kombinačných čísel: Pre všetky prirodzené čísla n, k, k n, platí: : + = = n ; =1 ; = 1 : = Cvičenia: 1) Vypočítajte: a) b) c) d) e) Výsledky: a) 21; b) 56; c) 121; d) 1/2 (n 2 + 3n + 2) ), n N; e) 1/2 (n 2 + n), n N 2) Vypočítajte: = Výsledok: 2 18 = ) Vypočítajte: a) b) c) d) Výsledky: a) 28; b) 28; c) 120; d) 455 4) Jediným kombinačným číslom vyjadrite tieto súčty: a) + c) b) d) Výsledky: a) ; b) ; c) ; d) 5) V množine prirodzených čísel riešte rovnice s neznámou x: a). x = c) + b) = 4 + = 4 d) + = 9 Výsledky: a){2}; b){3}; c)nemá rieš.; d){5} 27

28 2.8 Pascalov trojuholník ( 0 0 ) 1 ( 3 0 ) ( 1 0 ) (1 1 ) 1 1 ( 2 0 ) (2 1 ) ( 2 2 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) (3 3 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) (4 3 ) (4 4 ) ( 5 0 ) ( 5 1 )... ( n 0 ) (n 1 ) (n 2 ) (n 3 )... ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 ) ( n n 2 ) (n n 1 ) ( n n ) n-tý riadok Pascalovhoo trojuholníka ( n 1 0 ) ( n 1 1 ) ( n 1 ) 2 ( n 1 ) ( n 1 3 n 3 ) (n 1 n 2 ) (n 1 n 1 ) Vzorový príklad: Napíšte ôsmy riadok Pascalovho trojuholníka. Riešenie: prvý riadok druhý riadok tretí riadok Ôsmy riadok Cvičenia: 1) Napíšte: a) dvanásty riadok Pascalovho trojuholníka b) dvadsiaty riadok Pascalovho trojuholníka 2) Je daná štvorcová sieť, ktorá má m n štvorcov. Určte počet najkratších ciest, ktoré vedú v tejto sieti z ľavého dolného rohu (bod A) do pravého horného rohu (bod C). 28

29 Jedna z takých ciest je na obrázku: 2.9 Binomická veta Pri riešení rôznych algebraických úloh potrebujeme občas umocniť dvojčlen a + b na prirodzené číslo n, t.j. vypočítať (a + b) n. (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Porovnáme koeficienty u jednotlivých členov s hodnotami v Pascalovom trojuholníku: (a + b) 1 (a + b) 2 (a + b) 3 (a + b) 4 a + b 1 1 a 2 + 2ab + b a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b Vidíme, že koeficienty v mnohočlenoch zodpovedajú hodnotám v Pascalovom trojuholníku; každému mnohočlenu takto zodpovedá práve jeden riadok Pascalovho trojuholníka. Táto vlastnosť platí pre ľubovoľné n z množiny prirodzených čísel: Binomická veta: Pre všetky čísla a, b a každé prirodzené číslo n platí: (a+b) n =.an.b 0 +.a n-1.b 1 +.an-2.b an-k.b k an-(n-1).b n-1 +.a0.b n Vzorový príklad: Pomocou binomickej vety vypočítajte (x 1) 5. Riešenie: (x 1) 5 = x5 (-1) 0 + x4 (-1) 1 + x3 (-1) 2 + x2 (-1 x0 (-1) 5 = x x 4 ( 1) + 10 x x 2 1) 3 + x1 (-1) 4 + ( 1) + 5 x 1 + ( 1) = = x 5 5 x x 3 10 x x 1 29

30 k ty člen binomického rozvoja: Pre všetky reálne čísla a, b, každé prirodzené číslo n a prirodzené číslo k, k n + 1 platí, že k-ty člen binomického rozvoja výrazu (a + b) n má tvar an (k 1) b k 1 Vyjadrenie binomickej vety pomocou sumy: Pre všetky čísla a, b a každé prirodzené číslo n platí: Vzorový príklad: Vypočítajte (a + b) 4 : Riešenie: (a + b) 4 = (a + b) 3 (a + b) = (a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) (a + b) = = a 4 + 3a 3 b + 3a 2 b 2 + ab 3 + a 3 b + 3a 2 b 2 + 3ab 3 + b 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Vzorový príklad: Zjednodušte: Riešenie: Cvičenia: 1) Zjednodušte:. Výsledok: a 3 = 15 2) Určte štvrtý člen binomického rozvoja: Výsledok: M 4 = 448 x 2 3) Určte člen binomického rozvoja ( x + x-1) 8, ktorý neobsahuje x. Výsledok: M 5 = 70 30

31 4) Ktorý člen rozvoja (2x3 + x 1)10 obsahuje x 6? Výsledok: M 7 = 16 x6 5) V rozvoji (a + 2a3) n je koeficient 3. člena o 44 väčší ako koeficient 2. člena. Určte, pre ktoré prirodzené číslo platia uvedené podmienky. Výsledok: K = 11 6) Nájdite najväčší koeficient binomického rozvoja (a + b)n, keď súčet všetkých koeficientov je Výsledok: najväčší koeficient je = 924 7) Určte desiaty člen binomického rozvoja výrazu: 2 12 Výsledok: ) Použitím binomickej vety vypočítajte 1,01 6. Výsledok: 1, ) Určte, koľký člen binomického rozvoja výrazu (2x 3 + 3x 2 ) 10 obsahuje x 23. Výsledok: ôsmy člen 10) Podľa binomickej vety rozveďte: a) (a + b) 5 b) (a b) 5 b) b) (a b) 5 Výsledky: a) a a 4 b + 10 a 3 b a 2 b ab 4 + b 5 b) a 5 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 10 a 2 b ab 4 b 5 11) Vypočítajte podľa binomickej vety: a) (x 2 1) 5 ; b) ( 3 + 2) 4 ; c) (2a 3b) 5 + (2a + 3b) 5 Výsledky :a) x 10 5x x 6 10x 4 + 5x 2 1 b) c) 64 a a 3 b ab 4 12) Použitím binomickej vety vypočítajte: a) 1,02 5 ; b) 0,98 5 Výsledky: a) 1, b) 0, ) Použitím binomickej vety vypočítajte s presnosťou na tri desatinné miesta 1,05 7. Výsledok: 1,407 14) Určte koeficient piateho člena výrazu (x 2 + y) 8. Výsledok: 70 15) Určte: a) tretí člen binomického rozvoja výrazu (x 10) 9 b) predposledný člen binomického rozvoja výrazu (t ) 20 Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 31

32 c) piaty člen binomického rozvoja výrazu (y- d) deviaty člen binomického rozvoja výrazu (3 3) 12 e) šiesty člen binomického rozvoja výrazu (a 5 2b 4 ) 12 f) jedenásty člen binomického rozvoja výrazu (x y) 15 g) štvrtý člen binomického rozvoja výrazu (x + 2x -1 ) 8 16) Vypočítajte dva prostredné členy rozvoja výrazu ( 2x ) ) Vypočítajte kladné číslo x, ak piaty člen rozvoja výrazu (1 + ) 10 je rovný ) Koľký člen binomického rozvoja výrazu a) (3x 2 - obsahuje x 8 ; b) (x 3 + ) 12 neobsahuje x? (ide o tzv. absolútny člen) 20) Vypočítajte ten člen binomického rozvoje výrazu ( + )21, ktorý neobsahuje x. )8 Výsledky: a) 3600 x 7 ; b) 2t ; c)1 120 y 2 ;d) ; e) 25344a 35 b 20 ; f) 3003x 5 y 10 ; g) 448x 2 Výsledky: Desiaty člen: x16. Jedenásty člen: x18 Výsledok: {2} Výsledky: a) piaty člen; b) desiaty člen Výsledok: = Úlohy k samostatnému riešeniu: 1) Koľko rôznych optických signálov je možné dať vyťahovaním rôznych farebných vlajok, ak je vždy všetkých päť vlajok hore? 2) Zistite koľko existuje rôznych kvádrov, pre ktoré platí, že dĺžka každej ich hrany je prirodzené číslo z intervalu 2; 15 3) V obchode majú tri druhy cukríkov vo vreckách po 100g. Koľkými spôsobmi môže zákazník kúpiť 1 kg cukríkov? 4) Sú dané cifry: 1, 2, 3, 4, 5. Ak sa cifry nesmú opakovať, koľko je možné z týchto cifier vytvoriť čísel, ktoré sú: a) päťmiestne, párne b) päťmiestne, končiace dvojčíslím 21 c) päťmiestne, menšie ako d) trojmiestne, nepárne e) štvormiestne, väčšie ako 2000 f) štvormiestne, začínajúce cifrou 2 Výsledky: a) 48; b) 6; c) 48; d) 36; e) 96; f) 24 32

33 5) Koľko trojtónových akordov je možné zahrať z 8 tónov? 6) Koľko prvkov obsahuje množina všetkých päťciferných prirodzených čísel? Výsledok: ) Koľko rôznych značiek teoreticky existuje v Morzeovej abecede, ak sa bodky a čiarky zostavujú do skupín po jednej až piatich? Výsledok: 62 8) Koľko prvkov dá 120 kombinácií s opakovaním? 9) Z koľkých prvkov môžeme vytvoriť 90 variácií druhej triedy? 10) Z koľkých prvkov môžeme vytvoriť 55 kombinácií druhej triedy? 11) Z koľkých prvkov môžeme vytvoriť päťdesiat viac variácií tretej triedy než variácií druhej triedy? Výsledok: 52 12) V predajni si môžete vybrať zo siedmych druhov pohľadníc. Koľkými spôsobmi sa dá kúpiť a) 10 pohľadníc b) 5 pohľadníc c) 5 rôznych pohľadníc? Výsledky: a)c 10 (16); b)c 5 (11); c)21 13) V kníhkupectve predávajú 10 titulov knižných noviniek. Koľkými spôsobmi sa dá kúpiť a) 4 knižné novinky b) 5 rôznych knižných noviniek? Výsledky: a)c 4 (13); b) C 5 (10) 14) Na hokejovom turnaji, ktorého sa zúčastní 8 družstiev, zahrá každý tým s ostatnými práve 1 zápas. Koľko zápasov bude celkovo odohratých? Výsledok: 28 15) Z 5 bielych a 4 červených guľôčok tvoríme trojice tak, aby v každej trojici boli vždy 2 biele a 1 červená guľôčka. Koľko trojíc spĺňajúcich túto podmienku môžeme vytvoriť? Výsledok: 40 16) S hokejovým týmom odišlo na OH 23 hráčov, a to 12 útočníkov, 8 obrancov a 3 brankárov. Koľko rôznych zostáv môže tréner teoreticky vytvoriť? Výsledok: ) Na lavici sedí 6 žiakov a, b, c, d, e, f. Koľkými spôsobmi ich môžeme presadiť tak, aby: a) žiaci a, b sedeli vedľa seba Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 33

34 b) žiak c sedel na kraji c) žiak c sedel na kraji a žiaci a, b sedeli vedľa seba? Výsledky: a)240; b) 240; c) 96 18) Študent má v knižnici 4 rôzne učebnice fyziky, 3 rôzne učebnice matematiky a dve rôzne učebnice angličtiny. Koľkými spôsobmi sa dajú zoradiť, ak majú zostať učebnice jednotlivých odborov vedľa seba? Výsledok: ) Určte, koľkými spôsobmi sa dá na šachovnici 8 8 postaviť päť rôznych figúr tak, aby dve stáli na čiernych a tri na bielych poliach. Výsledok:.. 5! 20) Koľko rôznych signálov je možné vytvoriť použitím piatich rôznofarebných vlajok, ak použijeme: a) iba 3 vlajky, b) 2 vlajky? Výsledky: a) 60; b) 20 21) Čata vojakov má vyslať na stráž 4 mužov. Koľko mužov má čata, ak je možné úlohu splniť 210 spôsobmi? Výsledok: 10 22) V zásobníku je 7 ostrých a 3 slepé náboje. Určte koľkými spôsobmi môžeme náhodne zo zásobníka vybrať 5 nábojov, z ktorých aspoň 3 sú ostré. Výsledok: ) Koľkými spôsobmi môžeme na šachovnici so 64 poliami vybrať 3 polia tak, aby všetky 3 polia neboli rovnakej farby? Výsledok: ) Určte, koľkými spôsobmi je možné zoradiť na štartovacej čiare osem závodných automobilov do dvoch radov po štyroch vozidlách, ak a) v každom rade záleží na poradí; b) na poradí v radoch nezáleží. Výsledky: a) ; b) 70 25) V kupé železničného vagónu sú proti sebe dve lavice s piatimi miestami. Z desiatich cestujúcich si štyria prajú sedieť v smere jazdy, traja proti smeru a zvyšným trom je to jedno. Určte, koľkými spôsobmi sa môžu rozsadiť. Výsledok: ) Koľkými spôsobmi je možné usporiadať množinu A = {a, b, c, d, e, f}? V koľkých prípadoch bude prvok b pred prvkom c? V koľkých prípadoch je prvok b na prvom mieste a zároveň prvok c nie je na poslednom Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 34

35 mieste? V koľkých prípadoch nebude prvok c ani prvý, ani posledný? Výsledky :720; 360; 96; ) Na maturitnom večierku je 15 chlapcov a 12 dievčat. Určte, koľkými spôsobmi je z nich možné vybrať štyri tanečné páry. Výsledok: ) Zo skupiny desiatich kozmonautov treba vybrať štvorčlennú posádku. Je však nevhodné, aby určití dvaja kozmonauti leteli spolu. Koľko rôznych výberov posádky je možné vytvoriť? Výsledok: ) Koľkými spôsobmi môžeme rozdeliť 8 účastníkov finále v behu na 100 m do 8 dráh? Výsledok: 8! 30) Určte, koľkými spôsobmi sa dajú premiestniť písmena slova BEROUNKA tak, aby nejaká skupina po sebe idúcich písmen utvorila a) slovo BERAN; b) slová NERO a KUBA v ľubovoľnom poradí; c) slová BUK a NORA v ľubovoľnom poradí. Výsledky: a) 24; b) 2; c) 6. 31) Určte počet spôsobov, ktorými sa dajú vedľa sebe zapísať písmená slova KOMBINÁCIE tak, aby v tomto poradí boli samohlásky v abecednom poriadku. Výsledok: 10!/5! 32) Určte počet všetkých prirodzených čísel menších než 500, v ktorých dekadickom zápise sú iba cifry 3, 5, 7, 9, každá najviac raz. Výsledok: 22 33) V množine prirodzených čísel riešte rovnicu: V(2,x)+C(1, x) = 256. Výsledok: {16} 34) Osem hostí sa má ubytovať v troch izbách, ktoré majú čísla 1, 2, 3. Izba č. 1 je trojposteľová, izba č. 2 tiež a izba č. 3 je dvojposteľová. Koľkými spôsobmi je možné hostí rozmiestniť v týchto troch izbách? Výsledok: ) V množine prirodzených čísel riešte nerovnicu: C(x 2, x) < 45. Výsledok: {2, 3,, 9} 36) Šesťciferné heslo uzáveru trezoru je vytvorené z tých istých cifier ako číslo Koľko je možností? Výsledok: 180 Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 35

36 37) Ak zväčšíme počet daných prvkov? prvkov o 1, zvýši sa počet kombinácií tretej triedy o 21. Koľko je Výsledok: 7 38) V koľkých bodoch sa pretína 9 priamok, z ktorých 4 sú navzájom rovnobežné? 3. Pravdepodobnosť a štatistika 3.1 Základné pojmy teórie pravdepodobnosti Náhodný pokus akákoľvek činnosť, ktorej výsledok nie je predurčený podmienkami, za ktorých prebieha a ktorá je neobmedzene veľakrát (aspoň teoreticky) opakovateľná za rovnakých istých podmienok (napr. hádzanie kocky, výrobný proces... ) Hodnota náhodného pokusu sa od jedného konania k druhému mení (závisí od náhody). Výsledkom náhodnéhoo pokusu je náhodný jav. Náhodný jav je akékoľvek tvrdenie o výsledku náhodného pokusu, o ktorom možno po uskutočnení pokusu rozhodnúť, či pri danej realizácii pokusu je, či nie je pravdivé. Označenie náhodných javov: A, B, C,... Cieľ teórie pravdepodobnosti - zaviesť mieru početnosti výskytu náhodných javov a poskytnúť pravidlá pre manipuláciu s náhodnými javmi a s mierami početnosti ich výskytu. Náplňou teórie pravdepodobnosti je pravdepodobnostný náhodný jav. Elementárny náhodný jav (Ei) jav, ktorý sa za danej situácie sa nerozkladá na menšie, čiastkové javy. Nemožno ho vyjadriť ako zjednotenie viacerých javov.vzťahy a operácie medzi javmi 1. Jav A je podmnožinou (časťou) javu B - ak pri každom pokuse, ak nastane jav A, nastane aj jav B. A B 2. Jav C je zjednotením javov A a B je to jav, ktorý spočíva vo výskyte jedného z javov A alebo B. C = A B 3. Jav C je prienikom javov A a B je to jav, ktorý spočíva v súčasnom výskyte javov A a B. C = A B 4. Jav C je rozdielom javov A a B je to vtedy ak nastal jav A a nenastal jav B. C = A B 5.. Jav istý je jav, ktorý nevyhnutne musí nastať. Označuje sa V. 6. Jav nemožný je jav, ktorý nemôže nastať za žiadnych okolností. Označuje sa. 7. Jav je opačným (protikladným, komplementárnym) javom k javu A, ak jav nastane 36