ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και P E Αν υπάρχει το όριο lim t P t a P ( + ) t και ισούται µε ένα αριθµό λ, τότε λέµε ότι υπάρχει η παράγωγος της στο Ρ κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a, συµβολικά: Παρατηρήσεις: λ a = ( P ) ή λ = ή a P λ = D P a H κατευθυνόµενη παράγωγος a ( P ) (όταν αυτή υπάρχει) ισούται µε την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας της καµπύλης του + χώρου µε παραµετρική εξίσωση στο σηµείο της P, ( P ) c: r( t) = P + t a+ ( P + ta) e + ( ), η οποία (καµπύλη) προκύπτει ως τοµή της γραφικής παράστασης της µε το επίπεδο Π που διέρχεται από το P και είναι παράλληλο προς τα διανύσµατα a = ( a,, a,) και e + = (,,,) ηλαδή = εφφ P a, όπου φ είναι η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = ( a,, a,) και του εφαπτόµενου διανύσµατος (,,, ( )) + c στο σηµείο P, ( P ) του χώρου t P ta ( ) a a ϕ της καµπύλης ϕ = + Σηµειώνουµε ότι η φ µετράται επί του επιπέδου Π, όπου ( ) 47

2 Αν ( P ) > a (ή ( P ) < a ) τότε οι τιµές P αυξάνουν (ή µειώνονται) όσο κινούµαστε από (ή προς) το P κατά την κατεύθυνση του a Προφανώς (θέτουµε στον ορισµό = t) ( P ) = P a a Iσχύουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης, πχ ( λ ± µ g) g ( P) = λ ( P) ± µ ( P), λ, µ a a a ( g) g ( P) = ( P) g( P) + ( P) ( P), κλπ a a a a συνεχής πάνω στην ευθεία ε που διέρχεται από το a παράλληλη στο διάνυσµα a (άµεση συνέπεια του ορισµού) Αν υπάρχει η κατευθυνόµενη παράγωγος ( P ), τότε η είναι P και είναι Ο ορισµός της παραγώγου κατά κατεύθυνση µπορεί να επεκταθεί ώστε να περιλάβει και τις τιµές ± Μερικές Παράγωγοι Εστω Ε είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Καλούµε µερικές παραγώγους µιας συνάρτησης : E να είναι όλες οι παράγωγοι της πάνω στις κατευθύνσεις των µοναδιαίων διανυσµάτων της,, e e του συνήθους κανονικής βάσης { } Στο εξής θα εργασθούµε για ευκολία µε την περίπτωση συναρτήσεων δύο µεταβλητών : E Τα αποτελέσµατα γενικεύονται και για συναρτήσεις περισσοτέρων των δύο µεταβλητών Ορισµός Εστω Ε είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και P = (, ) E Καλούµε µερική παράγωγο της ως προς τη µεταβλητή στο σηµείο P, το όριο (εάν υπάρχει) lim h ( +, ) (, ) h h = λ, 48

3 συµβολικά ( P) = (, ), ή πιο απλά ( P ) Οµοίως, καλούµε µερική παράγωγο της ως προς τη µεταβλητή στο σηµείο P, το όριο (αν υπάρχει) ( ), = lim (, + ) (, ) h h συµβολικά ( P) = (, ), ή πιο απλά ( ) επεκτείνονται και στην περίπτωση που ( P ) = ± (ή h, P Οι ορισµοί P =± ) Παρατηρήσεις: Ο ορισµός προκύπτει άµεσα από τον ορισµό της κατευθυνόµενης παραγώγου Πράγµατι: και P = P, e = (,), e P = P, e = (,) e Πρακτικά για να υπολογίσουµε τις µερικές παραγώγους της κρατάµε κάθε φορά σταθερές όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές εκτός από µία και παραγωγίζουµε την ως προς αυτή τη µεταβλητή Αν όµως η συνάρτηση αλλάζει τύπο εκατέρωθεν του Ρ τότε αναγκαστικά υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους στο Ρ (αν υπάρχουν) µέσω του ορισµού Παράδειγµα Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους των συναρτήσεων: 49

4 (, ) = +, g= e ( + + ) (, ), h(,, z) =, ( > ) ηµ z Λύση (α) =, = (β) g e ( ) = e + +, g = e + + (γ) ηµ z ηµ z h ηµ z =, ηµ z ηµ z h ηµ z =, z ηµ z l( ) ηµ z h = e = συν z z Παράδειγµα Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους της συνάρτησης:, (, ) (,) (, ) = + (, ) = (,) Λύση Αν (, ) (,), τότε υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους της µε χρήση των γνωστών κανόνων παραγώγισης και παίρνουµε: ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) = = ( + ) ( + ) + = = Αν (, ) = (,) υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους µε χρήση του ορισµού ( + h) ( + h,) (,) ( + h) + (,) = lim = lim = lim =+ h h h h h h ( + h) (, + h) (,) + ( + h), = lim = lim = lim = h h h h h h Θεώρηµα Εστω Ε είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και P Ε Αν σε κάποια περιοχή π ε ( P ) E του σηµείου P υπάρχουν 5

5 όλες οι µερικές παράγωγοι της συνάρτησης και είναι φραγµένες, τότε η είναι συνεχής στο P Απόδειξη Για ευκολία θα δείξουµε το Θεώρηµα για = Έστω, P E P =, Τότε:, όπου π ε (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) + Εφαρµόζουµε το θεώρηµα µέσης τιµής για συναρτήσεις µιας µεταβλητής δηλαδή θεωρούµε = σταθερά (, ) (, ) = ( *, ) ( ) = σταθερά (, ) (, ) = (, * ) ( ) για κάποιο * (, ) ή στο (, ) και * (, ) ή στο (, ) (, ) (, ) ( *, ) (, *) + άρα η είναι συνεχής στο P οπότε: M + M, (, ) (, ) Παρατήρηση Εάν απλά υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι της σε κάποια περιοχή π ε ( P ) E χωρίς να είναι φραγµένες, τότε το παραπάνω συµπέρασµα δεν ισχύει πάντα Για παράδειγµα η συνάρτηση (, ),,, = +, =, έχει µη φραγµένες µερικές παραγώγους στο P = (,) και δεν είναι συνεχής στο P Ορισµός 3 Aν υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι της σε σηµείο Ρ και είναι πεπερασµένες τότε λέµε ότι η είναι µερικώς παραγωγίσιµη στο Ρ Ορισµός 4 Αν η είναι µερικώς παραγωγίσιµη στο Ρ, τότε ορίζουµε το διάνυσµα κλίσης της στο Ρ, συµβολικά grad ( P ) (ή ( P ) ) ως εξής: 5

6 3 ιαφορισιµότητα,, grad P = P = P P Από το ιαφορικό Λογισµό συναρτήσεων µιας µεταβλητής : E είναι γνωστό ότι αν η είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο E µε πεπερασµένη παράγωγο, τότε: ή ισοδύναµα: δηλαδή: ( ) = lim ( ) lim =, ( ) lim =, Εµπνεόµενοι από την παραπάνω σχέση δίνουµε κατ αναλογία τον εξής: Ορισµός 5 Eστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, : E και P E Θα λέµε ότι η είναι παραγωγίσιµη (ή διαφορίσιµη) στο P αν υπάρχει ένας πίνακας γραµµή διάστασης τον οποίο καλούµε (ολική) παράγωγο της συνάρτησης στο P, συµβολικά ( P ) (ή D ( P ) ), έτσι ώστε: ( ) P P P P P lim = P P PP Σηµειώνουµε ότι µε την πράξη ( P ) ( P P ) εννοούµε γινόµενο πινάκων, οπότε το P P θεωρείται ως πίνακας στήλη Θεώρηµα Eστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, : E και P E Εάν η είναι διαφορίσιµη στο σηµείο P, τότε: a (α) H είναι παραγωγίσιµη προς κάθε κατεύθυνση a = και a 5

7 ( P) = ( P) a a (β) Ο πίνακας γραµµή ( P ) είναι µοναδικός και ισούται µε ( P) = D ( P) = ( P) ( P) (γ) Για κάθε κατεύθυνση a ισχύει ( P ) grad ( P ) a Απόδειξη (α) Εστω ότι η είναι διαφορίσιµη στο P Εκλέγουµε µία a τυχαία κατεύθυνση a = και θέτουµε P= P + ta Τότε από τον a ορισµό έχουµε: ( P + ta) ( P) ( P) ta lim = και επειδή a = t t a (αφού το a είναι κατεύθυνση) παίρνουµε: ή ισοδύναµα ( P + ta) ( P) lim ( P ) a =, t t ( P) ( P) a =, a δηλαδή P = ( P) a a = Υπενθυµίζουµε ότι (β) Εστω P [ b b ] ( ) a P = ( P) a 53

8 όπως δείξαµε παραπάνω Αν πάρουµε a = e i για κάθε i=,, τότε η παραπάνω ισότητα γίνεται ( P ) = bi e, δηλαδή i ( P) = [ b b ] = ( P) ( P) Αν υπήρχε πίνακας [ ] C = c c ( P ) ώστε να ισχύει P P C ( P P) lim = P P PP τότε εργαζόµενοι όπως παραπάνω θα παίρναµε ( P ) a = e i e θα είχαµε ( P ) i = c i a, άτοπο διότι υποθέσαµε ότι = C a, οπότε για (c) Eχουµε: [ ] C = c,, c ( P ) a ( P ) = grad ( P ) a grad ( P ) a = grad ( P ) Cauch Schwarz Παρατηρήσεις: (α) Εστω ότι η είναι διαφορίσιµη σε σηµείο P Αφού σε κάθε πίνακα γραµµή [ a a ] αντιστοιχεί µοναδικό διάνυσµα a= ( a,, a ), στο εξής χωρίς βλάβη της γενικότητας θα µπορούµε να θεωρούµε την παράγωγο ( P ) είτε ως πίνακας-γραµµή ( P) ( P ) ( P ), = = Με αυτή τη γραφή στην ουσία ταυτίζουµε την παράγωγο της στο P µε το διάνυσµα κλίσης της στο P (βλέπε ορισµό 4), δηλαδή είτε ως διάνυσµα ( P) ( P ),, ( P ) P = ( P) πάντα υπό την προϋπόθεση διαφορισιµότητας για την 54

9 (β) Αν η είναι διαφορίσιµη σε σηµείο P, τότε υπάρχει µοναδικό εφαπτόµενο υπερεπίπεδο στη γραφική παράσταση της στο σηµείο ( P, ( P )) που προσεγγίζει τις τιµές της σε µια περιοχή του σηµείου P Με άλλα λόγια υπάρχουν οι εφαπτόµενες ευθείες στη γραφική παράσταση της στο ( P, ( P )) ως προς κάθε κατεύθυνση και ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, το οποίο καλούµε εφαπτόµενο υπερεπίπεδο της στο ( P, ( P )) Αν P = ( ρ,, ρ ) και P= (,, ) είναι τυχαίο σηµείο του, τότε κάθε σηµείο (,,, z ) του εφαπτόµενου υπερεπιπέδου στο σηµείο ( P, ( P )) ικανοποιεί την εξίσωση z = P + ( P) ( P P) ( ρ ) ( ρ ) = ( P) + P + + P (γ) Το Θεώρηµα (γ) υπονοεί ότι η κλίση της εφαπτόµενης ευθείας της γραφικής παράστασης της στο ( P, ( P )) κατά µία κατεύθυνση a παίρνει τη µέγιστη τιµή της στην κατεύθυνση του grad ( P ) και την ελάχιστη τιµή της στην κατεύθυνση του grad ( P ) (δ) Σηµειώνουµε ότι αν µια συνάρτηση είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο ανοικτού συνόλου Ε τότε θα λέµε ότι η είναι διαφορίσιµη στο Ε (ε) Αν, g: E είναι διαφορίσιµες στο Ε τότε ισχύουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης: a ± b g P = a P ± b g P P E a b = + ( P) g( P) ( P) g ( P) =, g( P) g g ( P),,, ( g) ( P) ( P) g( P) ( P) g ( P) P Είδαµε παραπάνω ότι η ύπαρξη µόνον των µερικών παραγώγων µιας συνάρτησης σ ένα σηµείο P δεν εγγυάται τη συνέχεια της στο P (βλέπε Θεώρηµα ) Η διαφορισιµότητα όµως της σε σηµείο P διασφαλίζει τη συνέχεια της στο P Θεώρηµα 3 Αν είναι διαφορίσιµη στο P, τότε η είναι συνεχής στο P 55

10 Απόδειξη Αφού η είναι διαφορίσιµη στο P υπάρχει µια περιοχή του ( P) ( P) ( P) ( P P) P, έστω π δ ( P ), όπου η συνάρτηση PP είναι φραγµένη από κάποιο θετικό αριθµό L, δηλαδή: Aρα: P P P ( P P) < L P π δ ( P ) PP P P P ( P P) < L PP L PP + P ( P P ) < P P < L PP + P ( P P ) Aπό την ανισότητα Cauch-Schwartz έχουµε οπότε παίρνουµε P P P P PP, P P < L PP + P PP και επειδή PP όταν P P παίρνουµε το ζητούµενο Το αντίστροφο Θεωρήµατος 3 δεν ισχύει Ισχύει όµως το ακόλουθο πολύ χρήσιµο: Θεώρηµα 4 Αν υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι της και είναι συνεχείς σε κάποια περιοχή π ε ( P ) του σηµείου P, τότε η είναι διαφορίσιµη στο P Θεώρηµα 5 (Μέσης τιµής) Αν η : E είναι διαφορίσιµη επί κυρτού τόπου Ε, τότε για οποιαδήποτε σηµεία P, P E υπάρχει * σηµείο P πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα που ορίζουν τα P, P έτσι ώστε 4 Κανόνας αλυσίδας ( P) ( P) = ( P ) ( P P) * Θεώρηµα 6 Εστω E, U k : E U : ( P) = ( P),, m ( P) G: U : G( Q) = g Q,, g Q 56 m είναι ανοικτά σύνολα και ( k ) F F,

11 είναι δύο διανυσµατικές συναρτήσεις Αν F, G είναι διαφορίσιµες στα σηµεία P και Q= F( P) αντιστοίχως, τότε η σύνθετη συνάρτηση ( ) k H= GF: E : GF( P) = G F P είναι επίσης διαφορίσιµη στο P και ισχύει G F ( P) = G F P F ( P) () Aν P= ( ) και Q ( ),, =,, m, τότε λαµβάνοντας υπόψην ότι και j( P) F ( P) = i m gl ( Q) G ( Q) = j k m (j=,,m, i=,,) (l=,,k, j=,,m), από τη σχέση () µε χρήση του γινοµένου πινάκων προκύπτει ότι ( Q) m h g j ( P) l P l =, i j= j i (,, k ) όπου H( P) G F( P) h ( P) h ( P) = = 5 Μερικές Παράγωγοι ανώτερης τάξης Ορισµός 7 Έστω E ανοικτό υποσύνολο του P E Αν υπάρχει η µερική παράγωγος, : E και ( P), k,, km k m k, k τότε αυτή καλείται µερική παράγωγος m-τάξεως της στο P και συµβολίζεται µε m ( P ) ή k P k m k k k m 57

12 m Η γραφή ( P ) k k k m υπονοεί ότι η παραγώγιση γίνεται πρώτα ως προς k, µετά ως προς k και τέλος ως προς k m Οµοίως η γραφή k P k m υπονοεί ότι η παραγώγιση γίνεται πρώτα ως προς k, µετά ως προς k και τέλος ως προς k Αν k = k = = k λ γράφουµε λ k αντί να γράφουµε k k k Παράδειγµα 3 Eστω m (,, z) z 3z 4 = + Υπολογίστε τη µερική παράγωγο ης τάξης και τη µερική παράγωγο 3 ης τάξης 4 Απάντηση = = z + 3z = z z 3 3 = = ( + z ) = = z z Προσοχή: Eάν αλλάξουµε τη σειρά της παραγώγισης τότε µπορεί να αλλάξει το αποτέλεσµα Για παράδειγµα δεν ισχύει πάντα = Ισχύει όµως το ακόλουθο βασικό: Θεώρηµα 7 Aν : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι k-τάξης ( k ) σε ανοικτό σύνολο E, τότε οποιαδήποτε αλλαγή στη σειρά της παραγώγισης (µέχρι k-τάξης) δεν αλλάζει το αποτέλεσµα Παρατήρηση: Μία συνάρτηση : E που έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε ανοικτό σύνολο Ε και ικανοποιεί την εξίσωση ( P) + + ( P) =, P E καλείται αρµονική συνάρτηση Οι αρµονικές συναρτήσεις έχουν πολύ σηµαντικές ιδιότητες, πχ είναι αναλυτικές, παίρνουν µέγιστο και ελάχιστο πάνω στο σύνορο του Ε κλπ Πολλές φορές χρησιµοποιούµε τους συµβολισµούς 3 = + + ή =

13 για τον γραµµικό τελεστή του Laplace ή αλλιώς Λαπλασιανή Ετσι η παραπάνω ισότητα γράφεται ως = ή = 6 ιαφορικά πρώτης και ανώτερης τάξης Ορισµός 8 Εστω P = ( ρ ρ ), P ( ) =,, και είναι διαφορί-,, σιµη στο P Η ποσότητα ρ dp ( P) = ( P ) dp = ( P) ( P P) = P P ρ ρ d P = P ( ) + + P ( ρ ) P καλείται διαφορικό ης τάξης της στο σηµείο P Γεωµετρική ερµηνεία του διαφορικού: Είπαµε παραπάνω ότι η εξίσωση + του εφαπτόµενου υπερεπιπέδου στο σηµείο ( P, ( P ) ) του χώρου δίνεται από τη σχέση Αν ( P, ( P) ) P z = P = P + P P P = P + d ( P) είναι οποιοδήποτε σηµείο ΠΑΝΩ στο εφαπτόµενο υπερεπίπεδο της στο (, ) έχουµε P P τότε από την παραπάνω ισότητα d ( P) = ( P) ( P ) P Εφόσον ( P) ( P ) όταν P P (βλέπε ορισµό 5), και P = P P έχουµε χρησιµοποιώντας το συµβολισµό P P P d P P για P «κοντά» στο dp P µετρά το σφάλµα που προκύπτει αν προσεγγίσουµε το γράφηµα της σε µία περιοχή του P, ( P ) Με P, δηλαδή η ποσότητα σηµείου Ρ από το εφαπτόµενο επίπεδό της στο σηµείο ( ) άλλα λόγια η ποσότητα d σε µια περιοχή του Ρ P P είναι ένα µέτρο της γραµµικότητας της 59

14 Ας υποθέσουµε τώρα ότι dp παραµένει σταθερό για οποιαδήποτε ζεύγη σηµείων Τότε η έκφραση d ( P) = ( P) dp είναι µια συνάρτηση πολλών µεταβλητών Eστω ότι η έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι k-τάξης στο πεδίο ορισµού της Tότε µπορούµε να ορίσουµε το διαφορικό ης τάξης της συνάρτησης d ( P ) ως 6 d P = d d P και το διαφορικό αυτό καλούµε διαφορικό ης τάξης της στο P Για ευκολία θα εργασθούµε για συναρτήσεις δύο µεταβλητών Τα αποτελέσµατα γενικεύονται και για συναρτήσεις περισσοτέρων µεταβλητών Εφόσον dp = d, d = σταθερό, προφανώς οι ποσότητες d και d είναι σταθερές, οπότε = = ( ) = d( d+ d) d ( P) d d ( P) d ( P) dp = ( d + d) d + ( d + d) d = d + dd + dd + d = d + dd + d Η τελευταία ισότητα θυµίζει ανάπτυγµα τέλειου τετραγώνου και γι αυτό γράφουµε «συµβατικά» () d ( P) ( P) d ( P) d = + Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι το διαφορικό k-τάξης της δίνεται από τη σχέση Παρατηρήσεις: ( k ) k d ( P) = ( P) d+ ( P) d () Υπενθυµίζουµε τον τύπο του διωνυµικού αναπτύγµατος Newto

15 a+ b = a b k= k k k βάσει του οποίου αναπτύσσεται η () µε τη σύµβαση ότι αντί για δύναµη θα εννοούµε παραγώγιση ηλαδή ( ( P) d+ ( P) d) = k k P d d k k k k= k Αν dp ( d, d) = δεν είναι σταθερό, τότε d d d d d d d ( P ) = ( + ) + ( + ) = d + d + dd + dd + d + d () = d+ d + d + d Ας θεωρήσουµε τώρα µια συνάρτηση δυο µεταβλητών της µορφής Pd (, ) + Qd (, ) (3) Ένα βασικό ερώτηµα είναι, πότε η (3) είναι διαφορικό ης τάξης (ή ολικό διαφορικό) κάποιας συνάρτησης : E Ισχύει το Θεώρηµα 8 Εστω Ε είναι κυρτός τόπος του και οι συναρτήσεις PQ, : E έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους στο Ε Τότε η συνάρτηση Pd (, ) + Qd (, ) είναι διαφορικό µιας συνάρτησης : E αν και µόνον αν για κάθε σηµείο του Ε ισχύει Τότε: P, = Q P E (, ) (,), = Pt dt + Qtdt όπου (, ) Ε και (, ) είναι οποιοδήποτε πλην όµως σταθεροποιηµένο σηµείο του πεδίου( PQ, ) είναι τυχαίο σηµείο του Ε Η καλείται δυναµικό του 6

16 Aπόδειξη Εστω ότι η = P (, ) d+ Q (, ) d είναι διαφορίσιµη συνάρτηση Τότε = d+ d, συνεπώς = P = P P = Q = Q = Q = Αντίστροφα έστω ότι ισχύει η ισότητα P = Q, όπου οι PQ, : E έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης στο Ε Αφού ο τόπος είναι κυρτός µπορούµε να υποθέσουµε ότι (, ) (,), = Pt dt + Qtdt όπου (, ) είναι σταθεροποιηµένο Τότε: Q(, ) t 6 = Επίσης: = P, + Q (,) t dt = P, + P (,) t dt = P, + P, P, = P, Aρα υπάρχει = P d+ Q d= d+ d η οποία είναι και διαφορίσιµη εφόσον έχει συνεχείς µερικές παραγώγους στο Ε Το Θεώρηµα 8 µπορεί να επεκταθεί και σε συναρτήσεις τριών µεταβλητών ως εξής: 3 Θεώρηµα 9 Εστω ότι οι συναρτήσεις PQR,, : E έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους σε κυρτό τόπο Ε Τότε η συνάρτηση Pzd (,, ) + Qzd (,, ) + Rzdz (,, ) είναι διαφορικό µιας 3 συνάρτησης : E αν και µόνον αν για κάθε σηµείο του Ε ισχύει P = Q και Pz = R και Qz = R Τότε: z = P( t,, z) dt + Q(, t, z) dt + R(,, t) dt όπου (,, ) του Ε και (,, ) z, z είναι οποιοδήποτε πλην όµως σταθεροποιηµένο σηµείο z είναι τυχαίο σηµείο του Ε ΠΡΟΣΟΧΗ: Tόσο το Θεώρηµα 8 όσο και το Θεώρηµα 9 µπορούν να γενικευθούν και σε απλά συνεκτικούς τόπους Τα θεωρήµατα αυτά όµως ΕΝ ισχύουν γενικά για ΜΗ ΑΠΛΑ συνεκτικούς τόπους

17 7 Συναρτησιακή εξάρτηση Oρισµός 9 Εστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του Θα λέµε ότι οι συναρτήσεις i : E, i=,,m είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες επί του Ε εάν υπάρχει µια µη σταθερή συνάρτηση Φ τέτοια ώστε Φ,, = m Σε αντίθετη περίπτωση λέµε ότι οι συναρτήσεις i είναι συναρτησιακά ανεξάρτητες Θεώρηµα Εστω m, : m, Ε ανοικτό υποσύνολο του Αν οι συναρτήσεις i : E, i=,, m έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε κάθε σηµείο του Ε τότε οι i είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες αν και µόνον αν ο βαθµός του πίνακα ( P) ( P) ( P) ( P) ( P) ( P) i ( P) J( P) = = j m m( P) m( P) m( P) που καλείται Iακωβιανός πίνακας ικανοποιεί τη σχέση rak ( A) < m Στην ειδική περίπτωση όπου m=, τότε ο Iακωβιανός πίνακας είναι τετραγωνικός και η ορίζουσα αυτού καλείται Iακωβιανή ορίζουσα, συµβολικά J( P ) ή ( ) D(,, ) D,, ( P) ή ( ) (,, ),, ( P) Στην ειδική αυτή περίπτωση το Θεώρηµα αναδιατυπώνεται ως Θεώρηµα Αν οι συναρτήσεις i : E, i=,, έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους σε κάθε σηµείο ανοικτού συνόλου Ε τότε οι i είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες αν και µόνον J( P ) = για κάθε P E 63

18 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ίνεται η συνάρτηση :, όπου (, ),, = +, =, ( ) Να εξετασθεί εάν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι (,), (,) Είναι η συνεχής στο, ; Λύση Εστω (, ) = (,) Τότε: Οµοια: ; Είναι η διαφορίσιµη στο ( +,) (,) h (,) = lim h h 64 ( ) ( + ) hh = lim = h hh, + h, h (,) = lim = lim = h h h h( + h ) { } ως πηλίκο συνεχών (πολυωνυµι- Η είναι συνεχής στο (,) κών) συναρτήσεων Αν (, ) (,), τότε (, ) = = = (,), + άρα η είναι συνεχής στο Για να είναι η διαφορίσιµη στο σηµείο Ρ =(,) θα πρέπει να ισχύει (βάσει του ορισµού 5) P P ( P) ( P P) lim = P P PP Αν η είναι διαφορίσιµη στο Ρ =(,) θα πρέπει (βλ Θεώρηµα (α)) ( ) ( P) = ( P) = (,), (,) = (,) Εχουµε: ( P) ( P) ( P) ( P P) PP

19 = (, ) (, ) ( (,), (,)) (, ) (, ) (,) = (, ) (, ) (,) (, ) (, ) (,), = (, ) ( ) ( ) +,, = = Μελετούµε το lim ( + ) (, ) (,) 3 Έστω + P=,, (βαδίζουµε στο (,) κατά µήκος της ηµιευθείας = για > ) Τότε: Έστω lim P lim, lim (, + + ) 3 = = = P + P=,, (βαδίζουµε στο (,) κατά µήκος της ευθείας = ) Τότε: / lim P = lim, = lim = lim = ( + ) ( + ) P, 3/ 3/ Αρα το όριο lim ( + ) (, ) (,) 3 διαφορίσιµη στο σηµείο (, ) δεν υπάρχει και συνεπώς η δεν είναι Να δειχθεί ότι η συνάρτηση (, ) = ( e + e) κάτωθι ισότητες: ικανοποιεί τις 65

20 + = και = e e Λύση Εχουµε =, = e + e e + e, άρα: Eπίσης: και e + e + = = e + e ( + ) + + e e e e e e + e e e = = = e e e e e e ( + ) + e e e e e e = = + + e e e e, Απ την άλλη πλευρά έχουµε: ( + ) e e e e = = = e e e e e e Τελικά: + + e e = = 4 4 e + e e + e 3 Να υπολογισθεί η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου της επιφάνειας (, ) ( ) = + στο σηµείο P, ( P ) = (,, 5) Λύση Η συνάρτηση είναι πολυωνυµική, άρα διαφορίσιµη στο σηµείο P = (, ) ( έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε µία περιοχή του σηµείου Ρ ), συνεπώς έχει µοναδικό εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο P, ( P ) =,, 5 µε εξίσωση: Αλλά 4( ) z = P + P + P = +, συνεπώς 66

21 και 4( ) = +, συνεπώς ( P ) = 4( ) ( ) + = ( P ) = 4 ( ) + = 4 z = = , δηλαδή Τελικά: 4+ z+ 75 = 4 Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης 3 (, ) = στο σηµείο P = ( 3,) κατά την a = 6,5 κατεύθυνση του διανύσµατος Λύση Η κατεύθυνση του a είναι a ( 6,5) 6 5 a = = =, a , = είναι: Η κλίση της συνάρτησης 3 (, ) ( 3 6 3, 3 6 ) = = + +, άρα: ( P ) = ( , ) = (, 9) Τελικά µε χρήση του Θεωρήµατος (α) και λαµβάνοντας υπόψη ότι η είναι διαφορίσιµη ως πολυωνυµική παίρνουµε: ( P) = ( P) a = (, 9 ), = = a (α) Υπολογίστε την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας του ίχνους της καµπύλης που ορίζεται ως τοµή της επιφάνειας z = / µε το επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο P =(,,) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο Οz (β) Υπολογίστε τo ρυθµό µεταβολής της h= + z στο σηµείο P =(,,- ) κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a = (,, 3) Ποια είναι η κατεύθυνση πάνω στην οποία παρατηρείται η ελάχιστη τιµή της κλίσης 67

22 της εφαπτόµενης ευθείας στη γραφική παράσταση της h στο σηµείο (,,,3); Ποια είναι η τιµή αυτή; z = Λύση (α) Η ζητούµενη κλίση είναι η (, ) (β) O ζητούµενος ρυθµός µεταβολής είναι Μετά από πράξεις βρίσκουµε (,, ) h = a h(,, ) a = h(,, ) a a Aπό το Θεώρηµα (γ) η ελάχιστη τιµή της κλίσης παρατηρείται πάνω στην κατεύθυνση του διανύσµατος grad h(,,) = h(,,) =,, H ελάχιστη τιµή της κλίσης είναι h(,,) = + + = 6 6 Αν : : = ( + + ) δείξτε ότι = Λύση Εστω i=,, Tότε: και = i + + i ( ) ( ) i ( ) = i Αθροίζοντας παίρνουµε ( ) + + = ( + + ) ( + + ) = 4 68

23 7 Προσεγγίστε την ποσότητα σηµείου σε περιοχή κατάλληλου + Λύση Ορίζουµε τη συνάρτηση (, ) =,, > Παρατηρούµε ότι (9,) = =, οπότε επιλέγουµε το σηµείο 3+ 3 P = ( 9,) Σε µία µικρή περιοχή π ε ( P ) που περιέχει το σηµείο ( 885, ) (πχ θεωρούµε 5 < ε < ) είναι εύκολο να δούµε ότι η έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης διότι οι µερικές παράγωγοι = 3 ( + ) και = + ( 3 + ) είναι συνεχείς στην περιοχή π ε ( P ) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Αρα η είναι διαφορίσιµη στην π ε ( P ) (λόγω του Θεωρήµατος 4) και συνεπώς υπάρχει µοναδικό εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο ( P, ( P ) ) το οποίο προσεγγίζει τις τιµές (P) στην περιοχή π ε ( P ) Αρα λοιπόν µπορούµε να πούµε (µε κάποιο σφάλµα που µπορεί να ελεγχθεί) ότι ( P) d ( P) P P Αρα (, ) ( 9, ) (9,) ( 9 ) (9,) ( ) + ( 885,) ( 9, ) + (9,) ( ) + (9,) ( ) ( 5) = Nα εξετασθεί αν η ( ) e d+ e + d είναι διαφορικό συνάρτησης Aν ναι, υπολογίστε όλες τις συναρτήσεις δυναµικού Λύση Εστω P (, ) = e και Q (, ) = e + Επειδή P Q = e =, P 69

24 από το Θεώρηµα 8 υπάρχει τέτοια συνάρτηση Mπορούµε να χρησιµοποιήσουµε απευθείας τον τύπο του Θεωρήµατος 8 (για φιξαρισµένο (, ), πχ (, ) = (,) ) διότι το πεδίο ορισµού είναι το που είναι κυρτό, είτε να εργασθούµε ως εξής: Αφού η ( ) ισχύει ed+ e + d είναι διαφορικό της θα πρέπει να = e και e = + (4) Ολοκληρώνοντας ως προς (και θεωρώντας σταθερό) παίρνουµε = e (, ) = e d+ g = e + g, όπου g : αυθαίρετη πλην όµως συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση που θα προσδιορίσουµε Από την παραπάνω ισότητα έχουµε (, ) = e + g = e + g Συνδυάζοντας µε την (4) προκύπτει ότι συνεπώς = e +, e + g = e + g = g d= ( ) d+ c g = + c 9 είξτε ότι οι συναρτήσεις = e cos z, = e si z, = e 3 είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες και να βρεθεί η σχέση εξάρτησής τους Λύση Θα µελετήσουµε την Ιακωβιανή ορίζουσα Θεώρηµα ) Εχουµε (,, 3) (,, ) D D z (βλέπε 7

25 (,, ) (,, ) D ecos z ecos z esi z = esi z esi z ecosz =, ( z,, ), 3 D z e e άρα οι,, 3 είναι γραµµικά εξαρτηµένες Λόγω της ύπαρξης των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων siz και cosz στους τύπους των, υψώνοντας στο τετράγωνο εύκολα βρίσκουµε ότι + = 3 Εξετάστε αν η συνάρτηση {(,)} (, ) = + είναι αρµονική στο,,,, έχουµε { } Λύση Υπενθυµίζουµε ότι αν + = η είναι αρµονική Για κάθε, τότε και =, + = = + = = =, = = ( + ) ( + ) 3/ 3/ 3/ 3/ Αρα + = και συνεπώς η δεν είναι αρµονική Να βρεθεί το διαφορικό ης και ης τάξης της συνάρτησης (, ) = e cos Λύση Προφανώς η έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης στο Εχουµε ( ηµ ) ( ηµ ) d = d + d = e + d + e + d Συνεχίζοντας παίρνουµε: 7

26 () d = d + d = ( d) + dd + ( d) (βλέπε ()) Επειδή = cos, = = e + ηµ = e + cos + si, = e + cos µε αντικατάσταση στην παραπάνω ισότητα παίρνουµε το ζητούµενο ίνεται η επιφάνεια µε εξίσωση (, ) = + 4 Να βρεθεί η εξίσωση του εφαπτοµένου επιπέδου της επιφάνειας που είναι παράλληλο προς το επίπεδο + z = 4 καθώς επίσης και το σηµείο επαφής Λύση Προφανώς η είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο Ρ (έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης), άρα υπάρχει µοναδικό εφαπτόµενο επίπεδο στη γραφική παράσταση της επιφάνειας της στο σηµείο P, ( P ) µε εξίσωση όπου P (, ) z = P + P + P = Εφόσον όµως το παραπάνω επίπεδο είναι παράλληλο µε το επίπεδο + z = 4 θα πρέπει να ισχύει Από την (5) έχουµε ( ( ) ) P P = = = λ (5) ( ) ( P) P 8 = = = = (, ) =, 8 Αρα z 5 = (, ) =, =, συνεπώς το σηµείο επαφής είναι το ( P, ( P) ) = (,, z) =,, και η εξίσωση του εφαπτόµενου 8 6 επιπέδου της στο σηµείο αυτό είναι z = P + P + P 7

27 5 z = + ( ) είξτε ότι κάθε παραγωγίσιµη συνάρτηση : : w= ( s) όπου s = + a είναι λύση της µερικής διαφορικής εξίσωσης:, w a w = ( a σταθερά) Λύση Xρησιµοποιούµε τον κανόνα αλυσίδας Eχουµε: ( ) ( ) ( ) dw= s ds= s s d+ s d = s s d+ s s d, οπότε w = s s = s a= a s w = s s = s = s συνεπώς w a w a ( s) a ( s) = = 4 Yπολογίστε τις µερικές παραγώγους της σύνθετης συνάρτησης (, ) = e, όπου = u + v και = uv Λύση Eφαρµόζουµε τον κανόνα αλυσίδας και έχουµε d = d + d = du + dv + du + dv u v u v ( u u) ( v v) d = + du+ + dv e + u e v u = u + u = v = v + v e + v e u 73 ( u v ) + ue + uv vu = + ve uv uv u + v u + v u + v uv uv e u + v u + v u + v u v u uv uv + e

28 5 Aν u = (, z, z ), δείξτε ότι u + u + u = z Λύση Eστω u =, v= z, w= z Τότε έχoυµε: άρα: du = u du + v dv + w dw, u = u u + v v + w w u = u + v + w u = u u + v v + w w u = u ( ) + v + w uz u uz v vz w w = + + z uz = u + v ( ) + w Αρα u + u + u = z ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Yπολογίστε τις µερικές παραγώγους των συναρτήσεων: + + z (, ) = l εφ, g (, ) =, hz (,, ) = τοξεφ Απάντηση: =, = ηµ ηµ + + g = +, g = ( + z ), + z, h = h = h = ( ) + ( + + z) ( ) + ( + + z) ( ) + ( + + z) z ίνεται η συνάρτηση, (, ) (,) :, (, ) = + (, ) = (,) Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους (,), (,) Eίναι η συνεχής στο ; Eίναι η διαφορίσιµη στο σηµείο (,); Υπόδειξη: Εργασθείτε όπως στη λυµένη άσκηση 74

29 Απάντ (,) = (,) = Η είναι συνεχής στο διαφορίσιµη στο (,) εν είναι 3 3 (α) Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης (, ) = 3+ στο σηµείο P = (,) κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος PP, όπου P = (3,4) (β) Να βρεθεί η κλίση (στο σηµείο (,, 6) ) της εφαπτόµενης ευθείας της καµπύλης που ορίζεται ως τοµή της επιφάνειας g(, ) = µε το επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο (,-,) και είναι παράλληλο στο διάνυσµα e 3 = (,,) και στην εφαπτόµενη ευθεία της παραβολής = στο σηµείο (,) Yπόδειξη: Εργασθείτε όπως στη λυµένη άσκηση 5 Απάντ (α) (, ) = PP (β) Ψάχνουµε την παράγωγο της στο σηµείο (, ) κατεύθυνση του διανύσµατος a = (, 4) (γιατί αυτό;) κατά την (, ) = 6 a 7 4 Αν ( z,, ) = ( + + z), δείξτε ότι z = z = z Yπόδειξη Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους ανώτερης τάξης 4 z 4 4, z = =, = ( + + z ) ( + + z ) ( + + z ) z z 5 Προσεγγίστε την ποσότητα e e Απάντ Θεωρήστε συνάρτηση (,, z) = και το σηµείο 3 + z 4787 Ρ =(4,,8) Τότε (398,5,795) 48 6 Υπολογίστε το διαφορικό ης και ης τάξης της συνάρτησης z = + ( z,, ) 75

30 Απάντ ( ) ( ( ) ) ( ( )( ) ) z z z d = + d + z + d dz z z z ( ) ( 4 ( ) ) ( ) z ( + ) z ( ( ) ) d = + d + z + dd ddz + + z ( + ) + ddz + ( z z( z ) + )( d) + + ( + ) + ( dz) z z z 7 Εστω έχει συνεχείς µερικές παραγώγους 3 ης τάξης στο είναι αρµονική στο, δείξτε ότι η είναι αρµονική στο Αν Υπόδειξη: Εργασθείτε όπως στη λυµένη άσκηση και χρησιµοποιείστε κατάλληλα το Θεώρηµα 7 8 είξτε ότι η παράσταση ( + z) d+ ( + z) d+ ( + ) dz είναι διαφορικό µιας συνάρτησης ( z,, ) Στη συνέχεια προσδιορίστε όλες αυτές τις συναρτήσεις Υπόδειξη: είξτε ότι ισχύει το Θεώρηµα 9 και εργασθείτε όπως στη λυµένη άσκηση 8 Aπάντ ( z,, ) = + z+ z+ c 9 είξτε ότι αν : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους σε τόπο Ε και αν P = = P = P E, τότε ( P) = c για κάποια σταθερά c είξτε µε αντιπαράδειγµα ότι η πρόταση παύει να ισχύει αν το Ε είναι µόνον ανοικτό σύνολο Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε το θεώρηµα µέσης τιµής του Λογισµού Ι για καθεµιά από τις µερικές παραγώγους λαµβάνοντας υπόψην ότι σε κάθε τόπο Ε πάντα υπάρχει πολυγωνική γραµµή που ενώνει οποιαδήποτε δύο σηµεία του Ε και κείται εντός του Ε Αν : : P = OP δείξτε ότι OP OP ( P ) 3, ( ( P )), P (,,) = = ( P) ( P) Yπόδειξη: Χρησιµοποιείστε τον ορισµό του µέτρου διανύσµατος και τον ορισµό της διανύσµατος κλίσης και επαληθεύστε 76

31 Εάν z ( ) =, όπου η είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση, z δείξτε ότι z + z = Yπόδειξη: Xρησιµοποιείστε τον κανόνα αλυσίδας και επαληθεύστε Αν είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση και αν z =, δείξτε ότι z = z Yπόδειξη: Xρησιµοποιείστε τον κανόνα αλυσίδας και επαληθεύστε 3 είξτε ότι η συνάρτηση z e e = + επαληθεύει τη σχέση: z + z = z + z Υπολογίστε τη Λαπλασιανή µιας συνάρτησης (, ) µε συνεχείς παραγώγους ης τάξης σε πολικές συντ/νες ηλαδή υπολογίστε την = +, όπου = ρσυνθ, = ρηµθ, k 5 είξτε ότι Απάντ = ρ + + ρ ρ ρρ θθ ( t, t) = t (, ) k + = k (, ) Τέτοιες συναρτήσεις καλούνται οµογενείς βαθµού k Yπόδειξη: " " Χρησιµοποιείστε κατάλληλα τον κανόνα αλυσίδας t u, v : u= t, v= t και παραγωγίστε τη συνάρτηση θεωρώντας ότι k ( t, t) = t (, ) ως προς t " " Θεωρήστε ότι Φ () t = ( t, t) και παραγωγίστε και τα δύο µέλη 77

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Οριο και συνέχεια πραγµατικών συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ο υπολογισµός ορίου σε σηµείο Ρ συναρτήσεων πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1 76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι)

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α) Σ 5. Σ. Σ β) Σ 6.

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων 5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Τρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1 ης Τάξης.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1 ης Τάξης. . Γενικά. Εστω p pt Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις ης Τάξης. = είναι ένας (άγνωστος) αποµονωµένος πληθυσµός ενός βιότοπου τη χρονική στιγµή t. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε nt () γεννήσεις και mt () θανάτους

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Νικόλαος. Ατρέας. Αναλυτική Γεωµετρία Α.Π.Θ. Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής

Νικόλαος. Ατρέας. Αναλυτική Γεωµετρία Α.Π.Θ. Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Νικόλαος Ατρέας Αναλυτική Γεωµετρία ΑΠΘ Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Θεσσαλονίκη 9 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Ευκλείδιοι χώροι σελ 4 Πράξεις µε διανύσµατα ιάνυσµα θέσης Καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Οι χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

KEΦΑΛΑΙΟ 1. Ευκλείδιοι χώροι

KEΦΑΛΑΙΟ 1. Ευκλείδιοι χώροι KEΦΑΛΑΙΟ Ευκλείδιοι χώροι Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο Α και πέρας το σηµείο Β Ένα διάνυσµα AB καθορίζεται πλήρως από τη διεύθυνση, τη φορά και το µέτρο του

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A

Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A Στη γενική περίπτωση µπορούµε να ορίσουµε άπειρα συστήµατα συντεταγ- µένων τα οποία να µας επιτρέπουν να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σηµείου. Στη Φυσική χρησιµοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

0.4 ιαφόριση συναρτήσεων

0.4 ιαφόριση συναρτήσεων 0.4 ιαφόριση συναρτήσεων Ορισµός Έστω f : A R R µια πραγµατική συνάρτηση δύο µεταβλητών µε A ανοικτό και ( α, β ) A. Τότε οι µερικές παράγωγοι της συνάρτησης f ως προς τις µεταβλητές και στο σηµείο ( α,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη

Διαβάστε περισσότερα