Ανοικτή Εκπαίδευση: το περιοδικό για την Ανοικτή και εξ Αποστάσεως Εκπαίδευση και την Εκπαιδευτική Τεχνολογία

Transcript

1 Ανοικτή Εκπαίδευση: το περιοδικό για την Ανοικτή και εξ Αποστάσεως Εκπαίδευση και την Εκπαιδευτική Τεχνολογία Τομ. 8 0 Προβλήματα δυναμικού σε μη κυρτά χωρία Μπαγάνης Γεώργιος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 0.68/jd.9790 Cpyght 0 T ct th atc: Μπαγάνης 0. Προβλήματα δυναμικού σε μη κυρτά χωρία. Ανοικτή Εκπαίδευση: το περιοδικό για την Ανοικτή και εξ Αποστάσεως Εκπαίδευση και την Εκπαιδευτική Τεχνολογία Pubh: EKT Dwadd at 6/0/07 :7:47

2 Op Educat - Th Jua f Op ad Dtac Educat ad Educata Tchgy Vum 8 Numb 0 Sct. Op Educat ISSN: 79-9 Προβλήματα δυναμικού σε μη κυρτά χωρία Ptta pbm -cvx dma Γεώργιος Μπαγάνης Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο gbaga@ap.g Περίληψη Ο μετασχηματισμός Kv γνωστός και ως αντιστροφή του Kv είναι μία από τις παλαιότερες και πολύ γνωστές μαθηματικές μεθόδους ο οποίος επιλύει ποικίλα προβλήματα δυναμικού. Η σπουδαιότητα και η ελκυστικότητα της τεχνικής αυτής έγκειται στο γεγονός ότι η λύση ενός προβλήματος σε μία επιφάνεια του R παραμένει λύση του προβλήματος και για μία διαφορετική επιφάνεια αυτή που είναι η εικόνα της αρχικής επιφάνειας μέσω της αντιστροφής του Kv W. Thmp 845. Με την παρούσα εργασία γίνεται αναφορά στην εφαρμογή της αντιστροφής τυ Kv στο R παρουσιάζοντας τη γεωμετρία και τις βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Kv στο R καθώς επίσης και τη διατύπωση του θεωρήματος του Kv στο επίπεδο Baga ad Hadjcau 009. Η μη γραμμικότητα του μετασχηματισμού σε συνδυασμό με το θεώρημα μας δίνουν τη δυνατότητα να εξασφαλίζουμε αναλυτικές λύσεις προβλημάτων συνοριακών τιμών για αρμονικές συναρτήσεις σε μη κυρτά χωρία. Μια ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι αυτή του εσωτερικού του ισόπλευρου τριγώνου στο οποίο η λύση της εξίσωσης Lapac με συνοριακές συνθήκες τύπου Dcht ή τύπου Numa έχει δοθεί από τους Da & Fka Da ad Fka 005. Το ισόπλευρο τρίγωνο μέσω της αντιστροφής του Kv ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του απεικονίζεται σε ένα συμμετρικό μη κυρτό σχήμα και μετά η εφαρμογή μιας σειράς βημάτων δίνει τη δυνατότητα κατασκευής αρμονικών συναρτήσεων οι οποίες ικανοποιούν πλήρως τη γεωμετρία του χωρίου εξωτερικά του μη κυρτού σχήματος. Abtact Kv tafmat a kw a Kv v f th at ad w kw mathmatca mthd f vg vau ptta pbm. Th attact f th tchqu ay th fact that c a pbm vd f ufac R th wth th tafmat w hav th ut f a pbm f a dfft ufac th mag f th ga ud th tafmat W. Thmp 845. Th pt wk da wth Kv v R by ptg ft th gmty ad th bac ppt f th tafmat R ad th th fmuat f th Kv thm -D Baga ad Hadjcau 009. Sc th Kv v tafm th buda a a way th Kv thm R ab u t v buday vau pbm f hamc fuct wh th th mag th p-mag dma accpt paab ut. A ttg ca that f th t f a quata tag whch th ut f th Lapac 9 -Pubh: EKT Dwadd at 6/0/07 :7:47

3 Op Educat - Th Jua f Op ad Dtac Educat ad Educata Tchgy Vum 8 Numb 0 Sct. Op Educat ISSN: 79-9 quat pct t Dcht Numa buday cdt ha b gv by Da ad Fka Da ad Fka 005. Th quata tag mappd ud Kv tafmat wth pct t th ccumcb cc t a ymmtc -cvx hap ad th by appyg a quc f tp ca ctuct hamc fuct whch atfy cmpty th gmty f th xt f th patcua -cvx dma. Λέξεις κλειδιά Αντιστροφή Kv ισόπλευρο τρίγωνο εξίσωση Lapac. Εισαγωγή Το περιεχόμενο της επιστολής του Wam Thmp αργότερα Ld Kv προς τον Luv στις 8 Οκτωβρίου 845 ήταν η περιγραφή μιας μη γραμμικής απεικόνισης στον R. Η απεικόνιση αυτή γνωστή σήμερα ως μετασχηματισμός του Kv ή αντιστροφή του Kv ως προς μία σφαίρα στην περίπτωση του R ή ως προς ένα κύκλο στην περίπτωση του R παρέχει την σπουδαία ιδιότητα της διατήρησης της αρμονικότητας. Αυτό σημαίνει ότι αν η λύση της εξίσωσης Lapac είναι γνωστή σε ένα χωρίο τότε η λύση της εξίσωσης Lapac είναι επίσης γνωστή και στην εικόνα του χωρίου που προκύπτει μέσω του μετασχηματισμού του Kv. H ιδιότητα αυτή μας εφοδιάζει με μια μαθηματική τεχνική με την οποία μπορούμε να δίνουμε αναλυτικές λύσεις σε προβλήματα δυναμικού και η οποία έχει εφαρμοσθεί σε πολλές περιπτώσεις προβλημάτων με μη κυρτά και λεία σύνορα όπου η γνωστή μέθοδος «χωρισμός των μεταβλητών» δεν μπορεί να εφαρμοσθεί. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιείται η αντιστροφή του Kv για την επίλυση ενός εξωτερικού προβλήματος δυναμικού σε ένα μη κυρτό χωρίο που είναι η εικόνα του ισόπλευρου τριγώνου μέσω της αντιστροφής του Kv ως προς το περιγεγραμμένο κύκλο. Αξίζει να σημειωθεί ότι δεν υπάρχει καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων που να επιτρέπει το χωρισμό μεταβλητών για την εξίσωση Lapac στο ισόπλευρο τρίγωνο. Τελευταία όμως μια νέα προσέγγιση για την εξασφάλιση λύσεων σε προβλήματα συνοριακών τιμών στο R και για την εξίσωση Lapac σε κυρτά χωρία παρουσιάσθηκε από τους Da ad Fka Da ad Fka 005. Η λύση εκφράζεται μέσω μιας ολοκληρωτικής αναπαράστασης συναρτήσει των φασματικών συναρτήσεων pcta fuct οι οποίες ορίζονται από επικαμπύλια ολοκληρώματα πάνω σε κάθε πλευρά του συνόρου του κυρτού πολυγώνου. Οι φασματικές συναρτήσεις ικανοποιούν μία εξίσωση την επονομαζόμενη από τον Fka Fka 00 ως gba at ή από τον Sha Sha 997 ως fucta quat. Ανάλογα με τον τύπο του προβλήματος η ποσότητα προς ολοκλήρωση εκφράζεται συναρτήσει των γνωστών δεδομένων Dcht και των άγνωστων δεδομένων Numa και αντίστροφα. Στην περίπτωση που έχουμε συνοριακές συνθήκες Dcht τα δεδομένα Numa υπολογίζονται από την απεικόνιση Dcht t Numa ενώ στην περίπτωση που έχουμε συνοριακές συνθήκες Numa τα δεδομένα υπολογίζονται από την απεικόνιση Numa t Dcht οι οποίες και οι δύο δίνονται από τους Da ad Fka Da ad Fka 005. Ο συνδυασμός της αντιστροφής του Kv και των ολοκληρωτικών αναπαραστάσεων του Fka μας παρέχουν την λύση της εξίσωσης Lapac σε ένα μη κυρτό χωρίο που είναι η εικόνα του ισόπλευρου τριγώνου Pubh: EKT Dwadd at 6/0/07 :7:47

4 Op Educat - Th Jua f Op ad Dtac Educat ad Educata Tchgy Vum 8 Numb 0 Sct. Op Educat ISSN: 79-9 Η δομή της εργασίας έχει ως εξής. Στην ενότητα γίνεται αναφορά στη γεωμετρία στις ιδιότητες του μετασχηματισμού του Kv στην επίδρασή του στους βασικούς διαφορικούς τελεστές και τέλος παρουσιάζεται η διατύπωση του θεωρήματος Kv στο R Baga ad Hadjcau 009. Στην τρίτη ενότητα γίνεται εφαρμογή της μεθόδου της αντιστροφής του Kv στο ισόπλευρο τρίγωνο ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο και επίσης γίνεται περιγραφή της διαδικασίας εύρεσης της εικόνας του τριγώνου. Στην ενότητα 4 γίνεται συνοπτική αναφορά στις λύσεις δύο εξωτερικών προβλημάτων το πρώτο είναι πρόβλημα Dcht με συνοριακή συνθήκη την άρτια συνιστώσα του αναπτύγματος της σειράς Fu ενώ το δεύτερο είναι πρόβλημα Numa με συνοριακή συνθήκη την περιττή συνιστώσα του αναπτύγματος της σειράς Fu. Στην πέμπτη ενότητα παραθέτουμε κάποια σχόλια για την αντιστροφή του Kv στο επίπεδο καθώς επίσης και για τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τις δύο εφαρμογές.. Γεωμετρία και ιδιότητες της αντιστροφής του Kv. Έστω V το εσωτερικό μιας κλειστής φραγμένης λείας επιφάνειας S στο R. Παριστάνουμε το διάνυσμα θέσης με και το αντίστοιχο μέτρο του με. Επιλέγουμε τον κύκλο ακτίνας για τον μετασχηματισμό του Kv 0 και κέντρου 00 ως τον κύκλο αντιστροφής K : R := R : K. Σχ. Αντιστροφή. Kv Άμεσα από τον ορισμό προκύπτει ότι. που σημαίνει ότι τα μέτρα των δύο διανυσμάτων θέσης είναι αντιστρόφως ανάλογα επομένως το σημείο της αρχής απεικονίζεται στο άπειρο και η εικόνα της επιφάνειας S είναι μία λεία επιφάνεια S που βρίσκεται έξω από τον κύκλο με εξωτερική επιφάνεια V η οποία είναι η εικόνα του V σχ.. Ένα άλλο αποτέλεσμα που προκύπτει ευθέως από τον ορισμό είναι.4 ˆ ˆ το οποίο δείχνει τη σχέση ανάμεσα στα δύο μοναδιαία διανύσματα. Επίσης αξίζει να αναφέρουμε την επίδραση του μετασχηματισμού Kv στους διαφορικούς τελεστές: 9 -Pubh: EKT Dwadd at 6/0/07 :7:47

5 Op Educat - Th Jua f Op ad Dtac Educat ad Educata Tchgy Vum 8 Numb 0 Sct. Op Educat ISSN: 79-9 α Η σχέση η οποία συνδέει τις κλίσεις gadt στο αρχικό χωρίο και στην εικόνα του είναι ˆ.5 β Η επίδραση της αντιστροφής του Kv στον τελεστή Lapac είναι u 4 u 4.6 Από τη σχέση.6 απορρέει το ακόλουθο θεμελιώδες αποτέλεσμα το οποίο καλούμε στη συνέχεια θεώρημα Kv σε δύο διαστάσεις του οποίου η απόδειξη δίνεται από Baga ad Hadjcau Baga ad Hadjcau 009. Θεώρημα Kv σε -Διαστάσεις. Έστω V είναι ένα φραγμένο χωρίο στον R και έστω V είναι η εικόνα του μέσω του μετασχηματισμού. Αν u είναι μία λύση της.7 u 0 V τότε u = u είναι μία λύση της u 0 V.. Αντιστροφή Kv στο Ισόπλευρο τρίγωνο. Έστω V είναι το εσωτερικό χωρίο φραγμένο από ένα ισόπλευρο τρίγωνο S. Υποθέτουμε ότι το μήκος κάθε πλευράς είναι και οι κορυφές του τριγώνου είναι οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των μιγαδικών αριθμών z z z z. z z z z και z z του ισοπλεύρου τριγώνου Τότε οι πλευρές περιγράφονται από τα διανύσματα θέσης ad αντίστοιχα. t a c c c c c c.α.β 5.γ Εφαρμόζοντας την αντιστροφή Kv σε δύο διαστάσεις. ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του ισοπλεύρου τριγώνου δηλαδή τον κύκλο με ακτίνα και κέντρο 00 τα παραπάνω διανύσματα μετασχηματίζονται στα ακόλουθα διανύσματα θέσης j j =. c c 6.4α.4β Pubh: EKT Dwadd at 6/0/07 :7:47

6 Op Educat - Th Jua f Op ad Dtac Educat ad Educata Tchgy Vum 8 Numb 0 Sct. Op Educat ISSN: 79-9 c 6 5.4γ Το σύνορο S είναι η εικόνα της περιμέτρου S και το εξωτερικό χωρίο V είναι η εικόνα του εσωτερικού V. σχ.. Σχ.. Αντιστροφή Kv για το ισόπλευρο τρίγωνο.. 4. Εφαρμογή Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζεται η μεθοδολογία και η λύση του εξωτερικού προβλήματος πρώτον με συνοριακή συνθήκη Dcht και δεύτερον με συνοριακή συνθήκη Numa. Και στις δύο περιπτώσεις αναζητούμε μία αρμονική συνάρτηση u που να ικανοποιεί την αντίστοιχη συνοριακή συνθήκη και επιπλέον για να είναι το πρόβλημα καλά τοποθετημένο η u πρέπει να ικανοποιεί την ασυμπτωτική συνθήκη u c όταν τείνει στο άπειρο 4. ' R για κάθε V με όπου R είναι κάποιος θετικός αριθμός και c είναι μία θετική σταθερά. Τέλος η σχέση που συνδέει τις κάθετες παραγώγους στα δύο σύνορα είναι ' όπου εκφράζει την κάθετη παράγωγο στο σύνορο S ενώ 4. εκφράζει την κάθετη παράγωγο στο σύνορο S. 4. Πρόβλημα Dcht Θεωρούμε το πρόβλημα Dcht: V u u f S όπου V είναι το εξωτερικό χωρίο μιας κλειστής και λείας μη κυρτής επιφάνειας στο R φραγμένη από την καμπύλη S που διαγράφουν τα διανύσματα θέσης.4α Pubh: EKT Dwadd at 6/0/07 :7:47

7 Op Educat - Th Jua f Op ad Dtac Educat ad Educata Tchgy Vum 8 Numb 0 Sct. Op Educat ISSN: β και.4γ Σχ.. Ακόμη επιβάλλουμε την ίδια συνάρτηση f C R να ισχύει σε κάθε τμήμα της καμπύλης S και ειδικότερα την άρτια συνιστώσα του αναπτύγματος της σειράς Fu Σχ... Γεωμετρία του προβλήματος f j c m j j= και m 4.5 όπου 4.6α 4.6β 5 4.6γ Για την επίλυση του προβλήματος εφαρμόζουμε την ακόλουθη μεθοδολογία που στηρίζεται σε τέσσερα αλγοριθμικά βήματα Baga ad Hadjcau 009: α Εφαρμόζουμε την αντιστροφή Kv στα δεδομένα Dcht του δοθέντος συνόρου για να υπολογίσουμε τις αντίστοιχες τιμές Dcht πάνω στο σύνορο του ισόπλευρου τριγώνου που είναι η εικόνα του αρχικού συνόρου. β Εφαρμόζουμε το Dcht t Numa map και παράγουμε τα δεδομένα Numa για το σύνορο του ισόπλευρου τριγώνου οπότε εξασφαλίζεται η ολοκληρωτική αναπαράσταση της λύσης του αντίστοιχου προβλήματος Dcht για το εσωτερικό του ισόπλευρου τριγώνου Da ad Fka 005. γ Εφαρμόζουμε αντιστροφή Kv για τα δεδομένα Numa του συνόρου του ισόπλευρου τριγώνου που προέκυψαν στο β βήμα οπότε αυτά μετασχηματίζονται στα αντίστοιχα δεδομένα Numa για το αρχικό σύνορο. δ Η εφαρμογή του Θεωρήματος Kv στο R μας επιτρέπει να μετασχηματίσουμε τη λύση του προβλήματος Dcht για το εσωτερικό του ισοπλεύρου τριγώνου αυτή που προέκυψε στο β βήμα στη λύση του ανάλογου εξωτερικού προβλήματος για την εικόνα της αντιστροφής του ισόπλευρου τριγώνου η οποία ικανοποιεί τις αρχικές συνοριακές συνθήκες. Η λύση παρουσιάζεται αναλυτικά στο Baga ad Hadjcau 009 και είναι: Pubh: EKT Dwadd at 6/0/07 :7:47

8 Op Educat - Th Jua f Op ad Dtac Educat ad Educata Tchgy Vum 8 Numb 0 Sct. Op Educat ISSN: 79-9 u = ' ' ' 5 ' ' ' m m 4 m m4 m m 4 m m4 m m 4 m m4 c c m d ' m d ' c m d ' Πρόβλημα Numa Θεωρούμε το πρόβλημα Numa : V u 0 u f S όπου V είναι το εξωτερικό χωρίο μιας κλειστής και λείας μη κυρτής επιφάνειας στο R φραγμένη από την καμπύλη S Σχ.. Ακόμη επιβάλλουμε την ίδια συνάρτηση f C R να ισχύει σε κάθε τμήμα της καμπύλης S και ειδικότερα την περιττή συνιστώσα του αναπτύγματος της σειράς Fu: j u f j 4.0 όπου j= και j ορίζονται από τις 4.6α 4.6β ad 4.6γ. Η μέθοδος επίλυσης στηρίζεται επίσης σε τέσσερα αλγοριθμικά βήματα Baga ad Hadjcau 00: α Μετασχηματίζουμε τις συνοριακές συνθήκες Numa του αρχικού εξωτερικού προβλήματος στις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες Numa για το σύνορο του ισόπλευρου τριγώνου χρησιμοποιώντας την αντιστροφή του Kv. β Εφαρμόζουμε το Numa t Dcht map οπότε υπολογίζουμε τα δεδομένα Dcht για το σύνορο του ισόπλευρου τριγώνου και επομένως εξασφαλίζεται η ολοκληρωτική αναπαράσταση της λύσης της εξίσωσης Lapac στο εσωτερικό του ισόπλευρου τριγώνου. γ Αντιστρέφοντας τα δεδομένα Dcht που προέκυψαν στο βήμα β έχουμε τα αντίστοιχα δεδομένα Dcht για το σύνορο του αρχικού προβλήματος. δ Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Kv στη λύση του εσωτερικού προβλήματος Numa οπότε προκύπτει η ολοκληρωτική αναπαράσταση της λύσης του αρχικού εξωτερικού προβλήματος που είναι η εικόνα του ισόπλευρου τριγώνου μέσω της αντιστροφής του Kv. Η παραπάνω μεθοδολογία μας δίνει τη λύση η οποία παρουσιάζεται αναλυτικά στο Baga ad Hadjcau 00 και είναι: u j ' j j j j' f j q j 'j d j Pubh: EKT Dwadd at 6/0/07 :7:47

9 Op Educat - Th Jua f Op ad Dtac Educat ad Educata Tchgy Vum 8 Numb 0 Sct. Op Educat ISSN: 79-9 Στην σχέση 4. οι συναρτήσεις f j είναι τα δεδομένα Numa για το σύνορο S και δίνονται από την σχέση f j j j 4. ενώ q j είναι τα δεδομένα Dcht για το σύνορο S q N k q N k q N k N k N k N k 4 N k 4 N k 4 N k Συμπεράσματα Στην εργασία αυτή γίνεται επισκόπηση της αντιστροφής του Kv στο επίπεδο παρουσιάζοντας πρώτα τη γεωμετρία και τις ιδιότητες και στη συνέχεια το θεώρημα Kv. Το εντυπωσιακό χαρακτηριστικό του μετασχηματισμού που απορρέει από το θεώρημα Kv είναι η διατήρηση της αρμονικότητας επομένως η λύση ενός εσωτερικού προβλήματος δυναμικού μετασχηματίζεται στην αντίστοιχη λύση του ισοδύναμου εξωτερικού προβλήματος και αντίστροφα. Χρησιμοποιώντας την αντιστροφή Kv μπορούμε να ανάγουμε το πρόβλημα σε απλό ή ακόμα και σε γνωστό. Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου αντιστροφής εξαρτάται από την επιλογή κατάλληλου κύκλου αντιστροφής. Αυτό φαίνεται πολύ καλά στην εφαρμογή που παρουσιάζεται σε αυτή την εργασία όπου με την επιλογή του περιγεγραμμένου κύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου ως κύκλο αντιστροφής παρατηρούμε ότι η εξωτερική επιφάνεια του προβλήματος είναι η εικόνα του εσωτερικού του ισοπλεύρου τριγώνου για το οποίο η λύση της εξίσωσης Lapac είναι γνωστή από Da ad Fka. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της μεθόδου που πρέπει να επισημάνουμε είναι ότι η αντιστροφή Kv είναι μία μονοδιάστατη ακτινική σύμμορφη απεικόνιση επομένως τα δεδομένα Dcht στο αρχικό σύνορο αλλά και στο σύνορο της εικόνας παραμένουν αμετάβλητα. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με τα δεδομένα Numa. Στην περίπτωση αυτή ένας αριθμητικός παράγοντας αντανακλά την απαιτούμενη διόρθωση που πρέπει να γίνει στο κάθετο διάνυσμα του αρχικού συνόρου ή του συνόρου της εικόνας ώστε αυτά τα δύο να συμπίπτουν. Στο πρώτο πρόβλημα της εργασίας έχουμε ως συνοριακή συνθήκη Dcht την άρτια συνιστώσα του αναπτύγματος του Fu ενώ στο δεύτερο ως συνοριακή συνθήκη Numa την περιττή συνιστώσα του Fu. Οι παραπάνω δύο μορφές συνοριακών δεδομένων μαζί με την περίπτωση της περιττής συνιστώσας για δεδομένα Dcht και της άρτιας συνιστώσας για δεδομένα Numa παρέχουν την απαιτούμενη βάση για το ανάπτυγμα Fu μιας οποιαδήποτε συνάρτησης που περιγράφει τη συνοριακή συνθήκη Baga ad Hadjcau Επομένως σε περιπτώσεις που τα δεδομένα του συνόρου είναι σε μορφή τέτοια που δεν επιτρέπουν τον αναλυτικό υπολογισμό των αντιστοίχων ολοκληρωμάτων της ολοκληρωτικής αναπαράστασης τότε υπάρχει η εναλλακτική λύση να χρησιμοποιήσουμε τα αναπτύγματα Fu Pubh: EKT Dwadd at 6/0/07 :7:47

10 Op Educat - Th Jua f Op ad Dtac Educat ad Educata Tchgy Vum 8 Numb 0 Sct. Op Educat ISSN: 79-9 Βιβλιογραφία W. Thmp Ld Kv 845. Pap cttatc ad Magtm Mac Ma Ld 98. Ft pubhd J. Math. Pu App p.64; 847 p.56. G. Baga ad M. Hadjcau 009. Aaytc ut f a xt Dcht pbm a cvx dma. IMA Jua f Appd Mathmatc 74 pp Da G ad Fka A. S.005. Th bac ptc quat a quata tag. Pc. Sc. A 46 pp Fka A. S. 00 Tw-dma a pata dffta quat a cvx pyg. Pc. R. Sc. A pp Sha A.V Exctat f wav fd a tag wth mpdac buday cdt. Jua f Mathmatca Scc Spg Nw Yk. Vum 0 Numb 4/ Dcmb 000 pp G. Baga ad M. Hadjcau 00. Aaytc ut f a xt Numa pbm a cvx dma. Mathmatca Mthd th Appd Scc V Iu 7 pp Σημείωση Η παρούσα εργασία αποτελεί μέρος της διδακτορικής διατριβής του συγγραφέως η οποία εκπονήθηκε υπό την επίβλεψη της Δρ. Χατζηνικολάου Μαρίας Αναπληρώτριας Καθηγήτριας του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας hatzk@ap.g Pubh: EKT Dwadd at 6/0/07 :7:47 Pwd by TCPDF