IΣΟΖΥΓΙΑ ΟΡΜΗΣ (SHELL MOMENTUM BALANCES) ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ (VELOCITY DUSTRIBUTION) ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ (LAMINAR FLOW)

Transcript

1 IΣΟΖΥΓΙΑ ΟΡΜΗΣ (SHE MOMENTUM BAANCES ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ (VEOCITY DUSTIBUTION ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ (AMINA FOW Σε αό ο κεφάλαιο θα εξεάσοµε πως µπορούµε να εφαρµόσοµε ο ισοζύγιο ορµής σε ένα διαφορικό όγκο (differential volume-shell και σην σνέχεια εφαρµόζονας ο νόµο ο Νεύωνα για ο ιξώδες να πολογίσοµε ην καανοµή αχύηας (velocity profiles. Αή η προσέγγιση είναι η µικροσκοπική περιγραφή. Οι µέθοδοι και α προβλήµαα πο θα αναπύξοµε ισχύον για µόνιµες ροές (steady flow: η πίεση, πκνόηα και οι σνισώσες ης αχύηας σε κάθε σηµείο ο ρεσού δεν αλλάζον µε ο χρόνο. Επίσης θα ασχοληθούµε µόνο µε σρωή ροή (laminar flow. Σρωή ροή είναι η ροή πο παραηρείαι σε αγωγούς σε αχύηες πολύ µικρές, όπο µικροσκοπικά σωµαίδια ακολοθούν ένα σγκεκριµένο µονοπάι πο λέγεαι ροική γραµµή (streamline, και δεν πάρχει µίξη γειονικών σρωµάων (no intermixing of layers. Σην ρβώδη ροή (µίξη αά α µικροσκοπικά σωµαίδια µπορούν να διασκορπισούν (dispersed δια µέσο όλης ης εγκάρσιας οµής (διαοµής, cross section ο σωλήνα (βλέπε Fig..0-1.

2 ΙΣΟΖΥΓΙΟ ΟΡΜΉΣ (MOMENTUM BAANCE Για µόνιµη ροή, ο ισοζύγιο ορµής είναι εισερχ όµενος εξερχ όµενος εισερχ όµενος εξερχ όµενος ρθµος ορµ ής ρθ µος ορµ ής ρθ µος ορµ ής ρθµος ορµ ής + µε µοριακό µε µοριακό µε σναγωγή µε σναγωγ ή µηχανισµ ό µηχανισµ ό + { βαρ ύηα} 0 Η διαδικασία για να γράψοµε ο ισοζύγιο µάζας έχει ως εξής Προσδιορίζοµε ις µη-µηδενικές σνισώσες ης αχύηας Γράφοµε ο ισοζύγιο ορµής Χρσιµοποιώνας α όρια για πολύ µικρές διασάσεις, γράφοµε (παράγοµε ην ανίσοιχη διαφορική εξίσωση Ολοκληρώνοµε ην εξίσωση Ανικαθισούµε ις σνισώσες ο ανσή άσης, χρησιµοποιώνας ον γενικεµένο νόµο ο Νεύωνα Ολοκληρώνοµε πάλι ην εξίσωση οπο προκύπει η καανοµή αχύηας Χρησιµοποιούµε ην καανοµή ης αχύηας (velocity distribution για να πολογίσοµε άλλες µακροσκοπικές και µικροσκοπικές ποσόηες. Οριακές σνθήκες (boundary conditions a. Ση διεπιφάνεια σερεού-ρεσού (solid-fluid interface ισχύει η σνθήκη µη-ολίσθησης (no slip και µη-διαπεραικόηας ης επιφάνειας (no penetration. b. Σην διεπιφάνεια ρεσού-ρεσού σαθερού x ισχύει η σνθήκη σνέχειας ης διαµηικής αχύηας, για ις σνισώσες, y, όπως επίσης και για ις εξής σνισώσες ο ανσή άσης p +,,. xx xy x c. Σην διεπιφάνεια ρεσού-αερίο (ελεύθερη επιφάνεια σαθερού x, xy, x 0.

3 3 ΡΟΗ ΣΤΩΜΑΤΟΣ ΡΕΥΣΤΟΥ (FOW OF A FAING FIM Θεωρούµε ροή γρού πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο µήκος και πλάος W, όπως φαίνεαι σο Σχήµα.-1. Η ροή αή είναι σηµανική για εφαρµογές σε wettedwall towers, κολώνες εξάµησης (evaporation, και απορρόφησης αερίο (gasabsorption όπως επίσης και σε ροές επικαλύψεως (coating flows. Οι επιδράσεις ων άκρων θεωρούναι αµεληέες. Φαίνεαι λογικό να ποθέσοµε (λόγω ων αµεληέων επιδράσεων ων άκρων όι: ( x, y 0, x 0 Επίσης p p(x Από ον πίνακα B1, µπορούµε να δούµε όι οι µη-µηδενικές σνισώσες ο ανσή άσης,, είναι: ( dx x x µ d / ιαλέγοµε ένα διαφορικό κέλφος (shell µε διασάσεις dx, W, και και ορίζοµε όλες ος ρθµούς ροής σε όλες ις πλερές όπως φαίνεαι σήν εικόνα.-. Γενικά dy και d δεν χρειάζοναι, επειδή ίποα δεν αλλάζει σε αές ις καεθύνσεις.

4 4 Εισερχόµενος ρθµός -ορµής δια µέσο ης επιφανείας σο 0 (rate of -momentum in across surface at 0 ( W x φ 0 Εξερχόµενος ρθµός -ορµής δια µέσο ης επιφανείας σο (rate of -momentum out across surface at ( W x φ Εισερχόµενος ρθµός -ορµής δια µέσο ης επιφανείας σο x (rate of -momentum in across surface at x ( x φ x x Εισερχόµενος ρθµός -ορµής δια µέσο ης επιφανείας σο x+ x (rate of -momentum in across surface at x+ x 0 ( x φ x x+ x Βαρύηα (gravity ( W x( ρg cos β Ανικαθισώνας όλες ις ποσόηες σην -σνισώσα ης ορµής (-momentum, διεύθνση ης ροής: W ( φ φ + W x( φ φ + ( W x( ρg cos 0 x x x x+ x 0 β ιαιρούµε µε W x, παίρνοµε ο limit όπως ο x προσεγγίζει ο µηδέν.

5 5 ή επειδή lim x 0 φx φ φ φ x x x+ x 0 x φ x x Επίσης ανικαθισούµε για: ρg cos β ρg cos β φ p + + ρ p µ + ρ x φ x x + ρ x µ + Για να πάροµε d x ρg cos β dx Ολοκληρώνοµε, ( ρg cos β x C x + 1 ρ x p Οριακή σνθήκη 1: Σο x0, 0 Την εφαρµόζοµε και παίρνοµε: x ( ρg cos β x x Σην σνέχεια χρησιµοποιούµε ον νόµο ο Νεύωνα για ο ιξώδες µ x d / dx Ολοκληρώνοµε πάλι d d x ρg cos β x µ ρg cos β x µ x + Οριακή σνθήκη : Σο xδ 0 (µη-ολίσθηση Υπολογίζοµε ην σαθερά και ανικαθισούµε: C

6 6 ρgδ cos β x 1 µ δ Αή η εξίσωση δίνει µία παραβολική καανοµή αχύηας η οποία απεικονίζεαι σο Σχήµα.-3, µαζί µε ην καανοµή ης διαµηικής άσης η οποία είναι γραµµική. Μπορούµε να δούµε όι όλες οι οριακές σνθήκες ικανοποιούναι από ις πολογισθένες καανοµές. Τώρα ένας αριθµός ποσοήων µπορεί να πολογισθεί από ην καανοµή ης αχύηας. (i Η µέγιση αχύηα (maximum velocity σο x0 (ii,max Η µέση αχύηα (average velocity ρgδ cos β µ W δ dxd 0 0 W δ 0 0 dxd ρgδ cos β 3µ 3,max

7 7 (iii Ο µέσος ρθµός ροής µάζας (mean rate of flow w W δ 0 0 ρ dxd ρwδ 3 ρ gwδ cos β 3µ (iv Το πάχος ο σρώµαος (film thickness δ 3µ ρg cos β 3 3µ w ρ gw cos β (v Η δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας σην -καεύθνση πάνω σε ένα σοιχείο επιφάνειας κάθεο σην x-καεύθνση είναι greater x (ρεσό πάνω σο οίχωµα + x (lesser to W W d F ( x x δ dyd x δ dyd dx ρgδw cos β Αά α αποελέσµαα ισχύον για γραµµική ροή (laminar flow και e<0, όπο οι κµαισµοί και οι πχώσεις πάνω ση επιφάνεια είναι αµεληέες. e 4δ ρ / µ. Σρωή ροή µε πχώσεις σνήθως λαµβάνεαι για 0<e<1500. Για e>1500 η ροή γίνεαι ρβώδης. Εσι έχοµε ρείς περιοχές ροής (three flow regimes. Βλέπε BS για δύο ενδιαφέροσες εφαρµογές αού ο προβλήµαος.

8 8 ΡΟΗ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΥ ΑΓΩΓΟΥ (FOW THOUGH A CICUA TUBE Θεωρούµε µόνιµη, σρωή, ασµπίεση δια µέσο κλινδρικού αγωγού, πο προκαλείαι απο κλίση, βαθµίδα ή διαφορά πίεσης (λόγω άνλησης - pumping και ης βαρύηας. Υποθέοµε όι: ( r, 0, 0, and p p(. Από ον πίνακα B.1 µπορούµε να r θ δούµε όι οι µόνες µη-µηδενικές σνισώσες ο ανσή άσης, είναι r r d / µ dr. Το διαφορικό κέλφος/σοιχείο (shell έχει κλινδρικό σχήµα πάχος r και µήκος. Οι εξής σνισώσες ης -ορµής πρέπει να ληφθούν π όψη:

9 9 Εισερχόµενος ρθµός -ορµής δια µέσο ης επιφανείας σο 0 (rate of -momentum in across annular surface at 0 π r r( φ 0 Εξερχόµενος ρθµός -ορµής δια µέσο ης επιφανείας σο (rate of -momentum out across annular surface at Εισερχόµενος ρθµός -ορµής δια µέσο ης επιφανείας σο r (rate of -momentum in across annular surface at r Εjερχόµενος ρθµός -ορµής δια µέσο ης επιφανείας σο r+ r (rate of -momentum out across annular surface at r+ r ( ( π φ r r( ( π r ( φ ( π ( r + r( φ (πrφ r+ r r r r r+ r Bαρύηα (gravity ( π r r ρg Ανικαθισούµε όλες ις ποσόηες σην -ορµή, διαιρούµε µε π r, παίρνοµε ο limit r να προσεγγίζει ο µηδέν: Σην οποία pressure. d dr ( p ( r r o ρg0 ( p ρg r P P P p ρg παρισάνει ην «ροποποιηµένη» πίεση (modified Ολοκληρώνοµε µία φορά Po P C1 r r + r Οριακή σνθήκε 1: Σο r0, η διαµηική άση πρέπει να είναι πεπερασµένη. Εσι προκύπει όι C 1 0 Ανικαθισούµε ον νόµο ο Νεύωνα και ολοκληρώνοµε πάλι: P P r o + Οριακή σνθήκη : Σο r, 0 Εσι η καανοµή αχύηας πο προκύπει είναι: ( P P o C r 1 4µ o r

10 10 Αή η εξίσωση δίνει µία παραβολική καανοµή αχύηας. Αή, µαζί µε ην καανοµή ης διαµηικής άσης φαίνοναι σο Σχήµα.3-. ιαφόρες ποσοήες µπορούν να πολογισούν από ην καανοµή ης αχύηας. (i Η µέγιση αχύηα (maximum velocity (at r0 (ii,max Η µέση αχύηα (average velocity ( P0 P 4µ π rdrdθ 0 0 π 0 0 rdrdθ ( P 0 P 8µ 1,max (iii Ο ρθµός ροής µάζας (mass rate of flow w π ( P w 0 4 P ρ 8µ Αή είναι η περίφηµη εξίσωση Hagen-Poiseuille. (iv Η -σνισώσα ης δύναµης, F, ο ρεσού πάνω σην επιφάνεια ο αγωγού

11 11 F d ( π µ r π ( p0 p + π ρg dr Αά α αποελέσµαα ισχύον για e<100, όπο e D ρ / µ Οι επιδράσεις άκρων θεωρούναι αµεληέες. Για παράδειγµα ύπαρχει ένα µήκος εισόδο ( entrance length e 0.035De όπο η ροή ειναι -D και µεά από αό ο µήκος η ροή αναπύσσεαι πλήρως (fully developed. Επίσης ισχύει η οριακή σνθήκη µη-ολίσθησης (γοα Νεωνικά ρεσά Οµως σην περίπωση ης ροής Knudsen flow (πολύ αραιά αέρια, όπο ο µέσο ελεύθερο µονοπάι είναι ίδια άξη µεγέθος µε ις διασάσεις ροής, όε η οριακή αή σνθήκη δεν ισχύει. Βλέπε προβλήµαα.3-1 and.3- από BS.

12 1 ΡΟΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟ (FOW THOUGH AN ANNUUS Το ρεσό πέει προς α πάνω και κλινδρικές σνεαγµένες χρησιµοποιούναι πάλι (βλέπε Σχήµα.4-1. Γράφονας ο ισοζύγιο ορµής και χρησιµοποιώνας ις δύο οριακές σνθήκες Οριακή σνθήκη 1: rκ 0 Οριακή σνθήκη : r 0 Οι καανοµές αχύηας και διαµηικής άσης πο προκύπον είναι r r P P r ln(1/ 1 ( 0 κ κ r r P P ln ln(1/ ( 0 κ κ µ Σχήµα.4-1 απεικονίζει ις καανοµές. Η άση είναι αρνηική σην εσςερική επιφάνεια (greater to lesser και θεική ση εξωερική (lesser to greater. Επίσης η άση είναι µεγαλύερη σην εσςερική επιφάνεια. Πως αό φαίνεαι σην καανοµή αχύηας? Οπως ο κ προσεγγίζει ο µηδέν α αποελέσµαα προσεγγίζον ην ροή µέσα από κλινδρικό αγωγό. Η µεάβαση απο σρωή σε ρβώδη ροή σµβαίνει σε e000.

13 13 ΡΟΗ ΥΟ ΓΕΙΤΟΝΙΚΩΝ ΜΗ ΑΝΑΜΙΞΙΜΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ (FOW OF TWO ADJACENT IMMISCIBE FUIDS ύο µη αναµίξιµα (immiscible ρεσά ρέον σην -καεύθνση σε ενα οριζόνιο κανάλι (απεριόρισο πλάος για να αγνοήσοµε ις επιδράσεις ων άκρων κάω από ην επίδραση µιας κλίσης πίεσης (βλέπε Σχήµα.5-1. Γράφοµε ο ισοζύγιο ορµής για κάθε ρεσό ξεχωρισά και ις οριακές σνθήκες. Οριακή σνθήκη 1: x0 I x II x Οριακή σνθήκη : x0 I II I Οριακή σνθήκη: x-b 0 II Οριακή σνθήκη: x+b 0 Οι καανοµές διαµηικής άσης και αχύηας απεικονίζοναι σο Σχήµα Ποιό ρεσό έχει ην µεγαλύερο ιξώδες εάν παραηρήσοµε (i ην καανοµή αχύηας και (ii ην καανοµή ης διαµηικής άσης? Η µέγιση αχύηα κααγράφεαι πάνα σο ρεσό µε ο µικρόερο ιξώδες (δύο µέγισες αχύηες? Γιαί όχι?. Χρησιµοποιώνας ις καανοµές µπορούµε να πολογίσοµε ην αχύηα σην διεπιφάνεια, ην µέγιση αχύηα και ην σνεαγµένη ης.

14 14 ΕΡΠΟΥΣΑ ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΦΑΙΡΑ (CEEPING FOW AOUND A SPHEE Θεωρούµε ροή (πολύ αργή γύρω από σφαίρα. Τέοιες αργές ροές λέγοναι «έρποσες ροές» creeping flows και αή η σγκεκριµένη ροή Stokes flow. Σις έρποσες ροές e D ρ / µ <0.1 (Σχήµα.6-1. Με ις µεθόδος πο θα αναπύξοµε αργόερα, η -D καανοµή ης αχύηας και πίεσης γύρω απο η σφαίρα µπορούν να πολογισθούν. 3 1 r 1 + r r θ r 4 r φ 0 3 cosθ 3 sinθ 3 µ p p0 ρg cosθ r Όπο ο πρώος όρος σην καανοµή πίεσης είναι η αµοσφαιρική πίεση (atmospheric pressure, ο δεύερος όρος προέρχεαι από η βαρύηα (gravity και ο ρίος από ην κίνηση ο ρεσού (fluid motion.

15 15 Πολύ µακριά από ην σφαίρα, η αχύηα πρέπει να είναι ίση µε ην αχύηα ο ελεύθερο ρεύµαος 0 (απόδειξέ ο. θ Οι σνισώσες ο ανσή άσης σε σφαιρικές σνθήκες είναι: rr θθ φφ 3µ + r r 4 cosθ 3 µ r θ θr r Ολες οι άλλες σνισώσες είναι µηδέν. 4 sinθ Σε αά α προβλήµαα είναι σηµανικό να µπορούµε να πολογίζοµε ην κάθεη και εφαπόµενη δύναµη η οποία εξασκείαι πάνω σο σώµα απο ο ρεσό. Κάθεη δύναµη (normal force Σε κάθε σηµείο ης επιφάνειας ο ρεσό ασκεί µια δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας ίση µε p + rr r (. Το µείον είναι επειδή ο ρεσό είναι σε µεγαλύερη r-σνεαγµένη. Η -σνισώσα ης δύναµης είναι ( + (cosθ. Τελικά η ολική δύναµη σην -καεύθνσηµπορεί να p rr r πολογισθεί από: F ( n ππ ( p + rr r 0 0 ( cosθ sinθ dθ dφ rr είναι µηδέν σην επιφάνεια και η µόνη σνεισφορά έρχεαι από ην πίεση. Η πίεση σην επιφάνεια είναι: 3 µ p r p0 ρg cosθ cosθ Ολοκλήρωση ο πρώο όρο δίνει µηδέν, ο δεύερος όρος δίνει ην δύναµη ης άνωσης (άνωσης, buoyancy και ο ρίος όρος δίνει ην οπισθέλκοσα σχήµαος ή µορφής form drag. Το ελικό αποέλεσµα είναι:

16 16 ( F n 3 π ρg + πµ 4 3 { Total force} { Buoyancy} { form drag} Eφαπόµενη δύναµη (tangential force Σε κάθε σηµείο ης επιφάνειας πάρχει και διαµηική άση η οποία ασκείαι εφαπόµενα ης επιφάνειας. Αή η δύναµη ασκείαι σην θ καεύθνση (βλέπε Σχήµα.6-1 από ο ρεσό (περιοχή µεγαλύερο r πάνω σο σερεό σώµα (περιοχή µικρόερο r είναι + θ sinθ. Εσι: r r + r θ r. Η -σνισώσα αής ης δύναµης είναι F ( t ππ rθ r 00 ( sinθ sinθ dθ dφ όπο + r θ r 3 µ sinθ Ανικαάσαση δίνει: ( F t 4πµ Εσι η ολική δύναµη, F, ο ρεσού πάνω σην σφαίρα είναι: 4 3 F π ρg + πµ + 4πµ 3 form drag friction drag buoyancy οπισθ έλκοσα οπισθέλκοσα άνωση σχήµαος µορφ ής ριβής Οι δύο ελεαίοι όροι µαζί ανιπροσωπεύον ην κινηική δύναµη (kinetic force, και η εξίσωση είναι γνωσή σαν Stokes law. F k 6 πµ Το αποέλεσµα ισχύει για αργές ροές όπο e<0.1. Παραδείγµα.6-1 in BS, Μέρηση ιξώδος από µέρηση ελικής αχύηας (terminal velocity.