ΡΟΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ

Transcript

1 ΡΟΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ. Ιξώδες Έσω ροή µεαξύ δύο παράλληλων πλακών εµβαδού Α και ανοίγµαος Η (Σχ. ). Σχ. du ιαµηική άση: =η =η γ dy () όπου: γ ο ρυθµός διάµησης, η ο ιξώδες. Παραηρήσεις για ο ιξώδες πολυµερικών ηγµάων Κυµαίνεαι µεαξύ Pa s. Χαρακηρισική ιµή ου ιξώδους είναι ο οριακό ιξώδες για µηδενική αχύηα διάµησης, η 0 που αποελεί συνάρηση ου µοριακού βάρους ου πολυµερούς, βάσει ων σχέσεων (i) Για Μ w <M c : η = KM (α) 0 (ii) Για Μ w >M c : η =KM (β) 0 w 3.4 w όπου: K σαθερά, Μ w ο µοριακό βάρος ου πολυµερούς, Μ c ο κριικό µοριακό βάρος (που γίνοναι αισθηές οι περιελίξεις). Όαν υφίσααι διάλυµα πολυµερούς σε διαλύη, ο ιξώδες ου διαλύµαος αυξάνεαι µε η συγκένρωση C ου διαλύµαος. ιακρίνοναι α ακόλουθα ιξώδη διαλύµαος: ηsolutio Σχεικό ιξώδες: η r = (3α) η Ειδικό ιξώδες: Ανηγµένο ιξώδες: η solvet sp =ηr η (3β) sp η red = (3γ) C Εσωερικό ιξώδες: ηr η ih = C (3δ) ηsp Εγγενές ιξώδες: [ η ] = C C 0 (3ε) Ο νόµος ων Ostwald-de Waele συσχείζει ο ιξώδες µε η ροή πολυµερικών ηγµάων ή διαλυµάων και διαυπώνεαι υπό η µορφή: = m γ ή η= m (4) γ όπου: m ο δείκης συνοχής (όσο µεγαλύερος είναι ο m όσο πιο παχύρρευσο είναι ο ήγµα), ο δείκης ρεολογικής συµπεριφοράς (= σε νευωνικό ρευσό, < σε µη νευωνικό ρευσό).

2 Σε χαµηλούς ρυθµούς διάµησης ( γ< 3s ) α πολυµερή συµπεριφέροναι ως νευωνικά ρευσά, ενώ σις περισσόερες διεργασίες πολυµερών οι συνήθεις ιµές ου γ κυµαίνοναι σην περιοχή s. b(t T 0 ) Ο δείκης συνοχής εξαράαι από η θερµοκρασία σύµφωνα µε η σχέση: m= m e, όπου m0 o δείκης συνοχής ση θερµοκρασία αναφοράς T0. Τυπικές ιµές ων σαθερών ης εξίσωσης Ostwald-de Waele για πολυµερικά ήγµαα: 3 5 m= 0 0 Pa s = o b = C. Τάσεις και διαήρηση ορµής Ροή µεαξύ δύο παράλληλων πλακών (Σχ. ) Η δύναµη F που απαιείαι για ην κίνηση ης µιας πλάκας υπολογίζεαι από η σχέση U F= A=η A (5) H Ροή µεαξύ συγκενρικών σωλήνων (Σχ. ) 0 Σχ. Η ροπή T 0 που απαιείαι για ην σροφή ου εσωερικού σωλήνα υπολογίζεαι από η σχέση T0 = F R = AR (6) ενώ ανίσοιχα η απαιούµενη ισχύς P 0 από η σχέση P0 = F U= AU (7) Η εξίσωση διαήρησης ης ορµής Περιγραφική σχέση: Μαθηµαική σχέση: υν άµεις υν άµεις υν άµεις υν άµεις = + + αδρανείας πίεσης ροής βαρύηας (8α) V ρ + V V = P + +ρ g t (8β)

3 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Τα πολυµερικά ήγµαα έχουν πολύ υψηλό ιξώδες (περίπου 0 6 φορές µεγαλύερο ου ιξώδους 4 ου νερού). Άρα, η ροή ων πολυµερών είναι πάνοε σρωή (R e 0 = 0 ). Οι δυνάµεις αδρανείας (συναγωγής) είναι πολύ µικρές (έρπουσα ροή) και αµελούναι. Οι δυνάµεις βαρύηας συνήθως θεωρούναι επίσης αµεληέες. Συνεπώς, η εξ. (8β) γράφεαι υπό η µορφή: 0= P+ (8γ) Η αχύηα V είναι διανυσµαικό µέγεθος µε συνισώσες καά ους άξονες, y, z. ηλαδή, είναι V = V,V,V. ( y z) Ο ανυσής ων άσεων έχει εννέα συνισώσες, ρεις ορθές και έξι διαµηικές. ηλαδή, y z είναι: = y yy yz. z zy zz ιδιάσαη ροή (Σχ. 3) Από ην ισορροπία ου σοιχειώδους µήµαος ου Σχ. 3 προκύπει Σχ. 3 P dy dz P + d dy dz + + dy d dz d dz = 0 Γενική έκφραση: ή ελικά 0 = + (9) ( διαµηική ά ση) 0 = + ( καεύθυνση ροή ς) ( καεύθυνση κά θεη ση ροή) ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΗ ΡΟΗ Επειδή είναι (π.χ. για ροή καά ον άξονα ): P Vy yy = 0, = 0, = = 0 ισχύει µόνο µία εξίσωση 0 = + y Ι ΙΑΣΤΑΤΗ ΡΟΗ Εξίσωση ορµής: y 0 = y = + + Εξίσωση συνεχείας: V V y + = 0 yy 3

4 Μονοδιάσαες ροές Θα µελεηθούν α ακόλουθα είδη µονοδιάσαης ροής: Επίπεδη ροή καά η διεύθυνση. Αξονοσυµµερική ροή καά η διεύθυνση z. Ακινική ροή µεαξύ δίσκων καά η διεύθυνση r. ακυλική ροή Couette (Οπισθέλκουσα) καά η διεύθυνση θ. Σον Πίν. ίνοναι οι βασικές εξισώσεις που διέπουν καθένα είδος ροής. Πίνακας Είδος ροής Επίπεδη ροή Αξονοσυµµερική ροή Ακινική ροή Βασικές εξισώσεις 0 = + y =η y y (r rz) 0 = + z r r Vz rz =η r 0 = + r z Vr zr =η z zr ακυλική ροή Couette 0 = + ( r θ r r V r r θ rθ =ηr r rθ) ΡΟΗ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΟΥ ΤΗΓΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΠΛΑΚΩΝ (Σχ. 4) Σχ. 4 4

5 Εξίσωση ορµής: Βαθµίδα πίεσης: Εκθεικός νόµος: 0 = + P = y (0) () V V V y =η = mγ = m () P Από ο συνδυασµό ων εξ. (0)-() προκύπει: m = y+c, όπου C σαθερά ολοκλήρωσης. Αν δε εφαρµοσεί οριακή συνθήκη: «Ση θέση y=0 είναι = 0 (λόγω συµµερίας)», όε λαµβάνεαι σχέση προκύπει όι η ποσόηα C = 0 Καά συνέπεια, επιλύονας ως προς και εξ αυής είναι αρνηική. / P (+ )/ = + P m = y. Από ην ελευαία, παίρνουµε / P = y m / ή µε ολοκλήρωση V y C, η οποία µε οριακή συνθήκη: «Ση θέση y=η + m είναι V = 0(Συνθήκη µη ολίσθησης)» δίνει: Προφίλ αχύηας: Μέγιση αχύηα (σο κένρο για y=0): Μέση αχύηα: V V avg + / (+ )/ H P y = + m H Ογκοµερική παροχή ανά µονάδα πλάους: V ma H Vdz dy Vdy H + H H + H P = + m / (3) (4) = = = Vma (5) dz dy dy + / Q P = Vavg H= H W + m Πώση πίεσης: (+ ) + Q P= mh W (7) Τάση: P y = y (είναι γραµµική) (8) P Μέγιση άση (σο οίχωµα-από ην πλάκα σο ρευσό): w = H (9) / V y γ= = + V ma Ρυθµός διάµησης: H H (0) Ρυθµός διάµησης σο οίχωµα (κα απόλυη ιµή): + V V ma + avg + Q γ w = = = H H WH () (+ )/ (6) 5

6 Συµπληρωµαικές σχέσεις (+ )/ (+ )/ (+ )/ y + y + Q y V = Vma = Vavg = () H + H + WH H + Vma + Q w w m m m =η γ = γ = = H WH (3) ΡΟΗ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΟΥ ΤΗΓΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟ ΑΓΩΓΟ (Σχ. 5) Εξίσωση ορµής: Βαθµίδα πίεσης: Εκθεικός νόµος: (r rz) 0 = + z r r P = (4) (5) Σχ. 5 V V V rz =η = mγ = m r r r z z z Vz Vz P r Από ο συνδυασµό ων εξ. (4)-(6) προκύπει: m = + C, όπου C r r σαθερά ολοκλήρωσης. Ακολουθώνας ην ίδια διαδικασία µε ην προηγούµενη περίπωση και µε Vz οριακές συνθήκες: «Ση θέση r=0 είναι = 0 και σο οίχωµα (r=r) V z = 0», προκύπουν οι r σχέσεις: (+ )/ r Ταχύηα ροής: Vz = Vma (7) R / V r Μέγιση αχύηα: + R P Vma = + m (8) Μέση αχύηα: + Vavg = ma 3 + (9) P (3 )/ Ογκοµερική παροχή: Q π + = 3 + m R (30) Πώση πίεσης: Τάση: Μέγιση άση (σο οίχωµα): / (3+ ) 3 + Q P= mr π (3) P rz = r (3) z (6) P V 3 Q R m + = = = m + R πr ma w 3 6 (33)

7 / Vz r γ= = + V ma Ρυθµός διάµησης: (34) r R R Ρυθµός διάµησης σο οίχωµα (κα απόλυη ιµή): + V V ma 3+ avg 3+ Q γ w = = = (35) 3 R R π R ΡΟΗ ΣΕ ΣΦΗΝΟΕΙ Η ΑΓΩΓΟ Σχ. 6 Θεωρούµε σοιχειώδες µήµα ης σφηνοειδούς µήρας πάχους dz και σε απόσαση z από ην αρχή ων αξόνων (Σχ. 6). Η πώση πίεσης καά ο µήκος dz παρέχεαι σύµφωνα µε η σχέση (7) από ην εξίσωση: (+ ) + Q dp = mh dz (36) W H0 H όπου H= H0 z (από η γεωµερία ου Σχ. 6). Με ολοκλήρωση ης εξ. (36) σο διάσηµα [0, ] προκύπει H H0 m + Q P= P0 P = + W H H ή ανικαθισώνας H 0 S = cot θ και + S H0 = cot θ 7

8 mcotθ + Q H P= H + W H0 (37) Η εξ. (37) αναποκρίνεαι πολύ καλά για θ<5 ο. ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδειχθεί όι ο ρυθµός διαµήκους επιµήκυνσης ισούαι µε: dvz + Q ε= = ta θ (38) dz + WH ma ΡΟΗ ΣΕ ΚΩΝΙΚΟ ΑΓΩΓΟ Σχ. 7 Θεωρούµε σοιχειώδες µήµα ης κόλουρης κωνικής µήρας πάχους dz και σε απόσαση z από ην αρχή ων αξόνων (Σχ. 7). Η πώση πίεσης καά ο µήκος dz παρέχεαι σύµφωνα µε η σχέση (3) από ην εξίσωση: (3+ ) 3 + Q dp = mr dz π (39) R0 R όπου R = R0 z (από η γεωµερία ου Σχ. 7). Με ολοκλήρωση ης εξ. (39) σο διάσηµα [0, ] προκύπει (εργαζόµασε κα αναλογία µε ην προηγούµενη περίπωση) 8

9 3 3 m 3 + Q R R0 P= P0 P = 3 π R 0 R ή ισοδύναµα (40) 3 mcot θ 3 + Q 3 R P= R 3 π R 0 ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδειχθεί όι ο ρυθµός αξονικής επιµήκυνσης ισούαι µε: dvz 3 + Q ε= = ta θ (4) 3 dz + πr ma ΡΟΗ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΟΥ ΤΗΓΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΠΛΑΚΩΝ (Σχ. 8) Σχ. 8 Ροή οπισθέλκουσας ή ροή Couette υφίσααι όαν µια από ις πλάκες κινείαι µε αχύηα V o, ενώ η άλλη παραµένει ακίνηη. Είναι προφανές όι δεν χρειάζεαι βαθµίδα πίεσης για η δηµιουργία ου πεδίου ροής. y P Ισχύει ο νόµος ης ροής υπό η γνωσή ου µορφή: 0 = + και δεδοµένου όι = 0, y προκύπει: = 0 ή y = cost ή m = cost ή λαµβάνεαι η ακόλουθη σχέση για ο προφίλ ης αχύηας ροής V C = και µε ολοκλήρωση V = Cy+ C (4) όπου C,C σαθερές ολοκλήρωσης. Εφαρµόζονας σην εξ. (4) ις οριακές συνθήκες: «Σην ακίνηη πλάκα (y=0) είναι V = 0, ενώ σην κινούµενη πλάκα (y=η) είναι V = V o», λαµβάνοναι καά σειρά οι ακόλουθες σχέσεις: y Ταχύηα ροής: V = Vo (43) H Μέση αχύηα: Vavg = V o (44) Ογκοµερική παροχή: Q= Vo HW (45) 9

10 ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΣ ΡΟΗΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑ Ισχύουν: Εξίσωση ορµής: 0 = + y (46) P P0 P Βαθµίδα πίεσης: = = (47) Εκθεικός νόµος: y =η = V m V (48) Απλή αναλυική λύση µπορεί να ληφθεί µόνο σην περίπωση νευωνικού ρευσού (= και η=m). Από ο συνδυασµό ων εξ. (46)-(48) και µε οριακές συνθήκες: «Σην ακίνηη πλάκα (y=0) είναι V = 0, ενώ σην κινούµενη πλάκα (y=h) V = V», προκύπει Ταχύηα ροής: V P V = y+ y(h y) H η (49) Ογκοµερική παροχή: VHW H dp VHW H P Q= = + 6ηV d 6ηV (50) η VH Q Καανοµή πίεσης: P P0 = 3 ( 0) (5) H W Από ο προφίλ ης αχύηας προκύπει όι η βαθµίδα πίεσης µπορεί να βοηθά ή να ανιίθεαι ση ροή, βλ. Σχ. 9. Σχ. 9 0

11 Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΙΞΩ Η ΤΡΙΒΗ ΜΗ ΙΣΟΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΗ ΡΟΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ: Θερµ όηα Θερµ όηα Παραγ όµενη θερµ όηα µε συναγωγ ή = µε διάχυση + ιξ ώδους ριβ ής (5) ΕΠΙΠΕ Η ΡΟΗ (Για ρευσά που ακολουθούν ον εκθεικό νόµο) T [Ανηγµένη θερµόηα µε συναγωγή]= ρcv p T [Ανηγµένη θερµόηα µε διάχυση]= k y dv dv dv [Ανηγµένη θερµόηα ιξώδους ροής]= = m dy dy dy Εξίσωση διαήρησης ενέργειας (ανά µονάδα όγκου) ρcv p T = k y T dv + m dy dv dy (53) ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΡΟΗ T Με όµοια διαδικασία προκύπει: ρcv p z = r T k z r r r + dv m dr z dvz dr (54) ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΕΝΗ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑ ΡΟΗ [Ανηγµένη θερµόηα µε συναγωγή]=0 Εξίσωση διαήρησης ενέργειας (ανά µονάδα όγκου): T dv 0= k + m y dy dv dy (55α) ή για νευωνικό υγρό (=) T dv 0= k + m y dy (55β) ή για γραµµική καανοµή ης αχύηας dv dy V = H

12 T V 0= k + m y H (55γ) Με οριακές συνθήκες: «Ση θέση y=0 είναι T=T 0» και «Ση θέση y=η είναι T=T» και συνακόλουθη ολοκλήρωση προκύπει η καανοµή ης θερµοκρασίας σο διάκενο µεαξύ ων πλακών (βλ. επίσης Σχ. 0) T T0 µ V T= T0 + y+ y(h y) H k H (56) Σχ. 0 ΜΕΣΗ ΑΥΞΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟ Βασική παραδοχή: εν υπάρχει συναλλαγή θερµόηας µε α οιχώµαα (αδιαβαικές συνθήκες). ιέπουσα εξίσωση ροής: [ ύναµη] [Ταχύηα] = [Παροχή µάζας] C p Τ ή ισοδύναµα ( Ρ S) (Q/S) = ( ρq) C p Τ ή ελικά Ρ Τ = (57) ρ C p Ιξώδες: b me Τ 0 η= γ (58)