Εργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1

Transcript

1 Εργασηριακή Άσκηση 4 5 Το σύσημα αναμονής M/G/ Γιάννης Γαροφαλάκης, Καθηγηής Αθανάσιος Ν.Νικολακόπουλος, Phd(c) Σκοπός ης παρούσας εργασίας είναι η εξερεύνηση ων βασικών ιδιοήων ενός από α κλασικόερα μονέλα ης θεωρίας αναμονής: ης ουράς M/G/. Αφού αποδείξουμε με ενσικώδη ρόπο ον κλεισό ύπο που δίνει ο μέσο χρόνο αναμονής σην ουρά (ην περίφημη Pollaczek-Khintchine φόρμουλα ) εξεάζουμε μέσα από ασκήσεις, εφαρμογές ης ουράς ση μονελοποίηση και ην ανάλυση ης απόδοσης απλών συσημάων. Η άσκηση είναι προαιρεική και μεράει μόνο θεικά σην ελική βαθμολογία (έως μονάδα). Η παράδοσή ης μπορεί να γίνει ο αργόερο ην ημέρα εξέασης ου μαθήμαος σην εξεασική Φεβρουαρίου.. Το M/G/ Σύσημα Θεωρούμε ένα σύσημα σο οποίο οι πελάες φθάνουν καά Poisson με ρυθμό λ, αλλά οι χρόνοι εξυπηρέησης είναι γενικά καανεμημένοι. Συγκεκριμένα, θεωρούμε πως οι πελάες εξυπηρεούναι με ην σειρά που φθάνουν και πως X i είναι ο χρόνος εξυπηρέησης ης i-οσής άφιξης. Υποθέουμε πως οι υχαίες μεαβληές (X, X, ) είναι όμοια καανεμημένες, ανεξάρηες μεαξύ ους, και ανεξάρηες ων χρόνων μεαξύ διαδοχικών αφίξεων. Έσω όι ο μέσος χρόνος εξυπηρέησης (δηλαδή η μέση ιμή ων υχαίων μεαβληών X i ) είναι: E[X] = μ H Pollaczek-Khintchine (P-K) φόρμουλα δίνει ο μέσο χρόνο αναμονής σην ουρά συναρήσει ου ρυθμού αφίξεων, ου ρυθμού εξυπηρέησης και ης ποσόηας: E[X ] (δεύερη ροπή ου χρόνου εξυπηρέησης): E[W ] = λe[x ] (.)

2 όπου E[W ] είναι ο μέσος χρόνος που περνά ένας πελάης περιμένονας σην ουρά και ρ = λ/μ = λe[x]. Όαν γνωρίζει κανείς ην (P-K), προφανώς μπορεί πολύ εύκολα να πάρει όλες ις βασικές ενδιαφέρουσες μερικές με χρήση ου νόμου ου Little. Μέσος Συνολικός Χρόνος Σο Σύσημα: E[T ] = E[X] + λe[x ] (.) Μέσος Αριθμός Πελαών Σην Ουρά: E[N Q ] = λ E[W ] = λ E[X ] (.3) Μέσος Αριθμός Πελαών Σο Σύσημα: E[N] = ρ + λ E[X ] (.4) Για ην αυσηρή απόδειξη ης (P-K) ση βιβλιογραφία συνήθως χρησιμοποιούναι οι ιδιόηες ων renewal σοχασικών διαδικασιών (βλέπε []), ή εναλλακικά οι embedded μαρκοβιανές αλυσίδες διακριού χρόνου με ανάλυση σο πεδίο ου μεασχημαισμού Z (βλέπε []). Εμείς εδώ θα ακολουθήσουμε μία λιγόερο αυσηρή αλλά πολύ διδακική και ενσικώδη προσέγγιση για ην εξαγωγή ης (P-K), που βασίζεαι σε απλά γραφικά επιχειρήμαα. Απόδειξη ης P-K φόρμουλας Σόχος μας είναι η εύρεση ου μέσου χρόνου αναμονής σην ουρά ενός υχαίου πελάη που φθάνει, όαν ο σύσημα βρίσκεαι σε καάσαση ισορροπίας. Θεωρούμε ον i-οσό πελάη που φθάνει σο σύσημα και συμβολίζουμε με W i ον χρόνο αναμονής ου σην ουρά. Έσω N i ο αριθμός ων πελαών που βρίσκει ο i να περιμένουν σην ουρά η σιγμή ης άφιξής ου. Όαν N i > προφανώς σο σύσημα εκός από ους N i πελάες που περιμένουν σην ουρά, υπάρχει κι άλλος ένας που βρίσκεαι σον εξυπηρεηή. Έσω R i ο υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέησης ου πελάη αυού. Οπόε ο χρόνος W i θα ισούαι με: W i = R i + X j (.5) j=i N i Όαν N i = όε R i = και ο πελάης που φθάνει μπαίνει καευθείαν για εξυπηρέηση

3 Αυό που μας ενδιαφέρει είναι η εύρεση ης μέσης ιμής ου χρόνου αναμονής, οπόε παίρνουμε μέσες ιμές ης παραπάνω σχέσης: E[W i ] = E[R i ] + E[ X j ] j=i N i = E[R i ] + j=i E[N i ] E[X j N i ] Κάνονας χρήση ης υπόθεσης ανεξαρησίας ων N i και X,, X i Ni, καθώς και ου γεγονόος όι οι υχαίες μεαβληές X i είναι όμοια καανεμημένες, έχουμε: E[W i ] = E[R i ] + j=i E[N i ] = E[R i ] + E[X]E[N i ] E[X j ] οπόε θεωρώνας πως ο σύσημα είναι εργοδικό και λειουργεί σε καάσαση ισορροπίας έχουμε: E[W ] = R + μ E[N Q] (.6) όπου ως R ορίζεαι ο μέσος υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέησης που βιώνει ένας υχαίος πελάης που φθάνει σο σύσημα όαν αυό βρίσκεαι σε ισορροπία. Από ον νόμο ου Little, έχουμε πως ισχύει: E[N Q ] = λe[w ] οπόε ανικαθισώνας σην.6 παίρνουμε: E[W ] = E[R] ρ (.7) Το μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε ο E[R]. Σο σχήμα σχεδιάζουμε ον υπολειπόμενο χρόνο εξυπηρέησης, R(t), συναρήσει ου χρόνου t. Όαν η σιγμή t i, ένας νέος πελάης με χρόνο εξυπηρέησης X i εισέλθει σον εξυπηρεηή, η R(t) ξεκινά από ο σημείο (t i, X i ) και μειώνεαι γραμμικά για X i μονάδες χρόνου (δηλαδή, μέχρι ο σημείο (t i + X i, )). Θεωρούμε μία χρονική σιγμή για ην οποία R() =. Έσω όι μέχρι η σιγμή έχουν εξυπηρεηθεί M() πελάες. Ο μέσος χρόνος ου R(t) σο διάσημα [, ] είναι: R(t)dt = M() i= X i Να σημειωθεί πως αυό σημαίνει πως α όρια ων W i, N i, X i και R i καθώς i υπάρχουν και μπορούμε να ους θεωρήσουμε ανεξάρηους ου i

4 R(t) X X X X M(t) Χρόνος t Σχήμα. Βλέπουμε ον υπολειπόμενο χρόνο εξυπηρέησης R(t) συναρήσει ου χρόνου t. Οπόε πολλαπλασιάζονας και διαιρώνας με ο M() παίρνουμε lim R(t)dt = M() M() i= Xi M() R(t)dt = lim M() lim M() i= Xi M() (.8) Αλλά σην ισορροπία ο ρυθμός αναχωρήσεων από ο σύσημα ισούαι με ον ρυθμό αφίξεων σο σύσημα, λ, συνεπώς ελικά παίρνουμε: E[R] = λe[x ] (.9) η οποία όαν ανικαασαθεί σην.6 μας δίνει ο ζηούμενο: E[W ] = λe[x ] (.) Παραηρήσεις. Η απόδειξη ης P-K, παραπάνω, έκανε ην παραδοχή πως οι πελάες εξυπηρεούναι με ην σειρά που φθάνουν, δηλαδή ο πλήθος ων πελαών που εξυπηρεούναι μεαξύ ης χρονικής σιγμής άφιξης ου i-οσού πελάη και ης εξυπηρέησής ου είναι ο αριθμός ων πελαών σην ουρά καά η σιγμή άφιξης ου i. Προκύπει ωσόσο, πως η P-K ισχύει για οποιαδήποε σειρά εξυπηρέησης ων πελαών, αρκεί η σειρά εξυπηρέησης να μην εξαράαι από ον χρόνο εξυπηρέησης ων πελαών σην ουρά.

5 . Ζηούμενα Άσκηση. Κάποιος διαυπώνει ο ακόλουθο επιχείρημα για ο M/G/ σύσημα: Όαν φθάνει ένας πελάης, η πιθανόηα να εξυπηρεείαι κάποιος άλλος πελάης είναι λe[x]. Αφού ο πελάης που εξυπηρεείαι έχει μέσο χρόνο εξυπηρέησης E[X], ο μέσος υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέησης είναι: E[X] λe[x] = λ (E[X]) Πού είναι ο λάθος σον παραπάνω συλλογισμό? Άσκηση. Θεωρούμε ένα ηλεπικοινωνιακό σύσημα σο οποίο φάνουν πακέα σύμφωνα με ην καανομή Poisson με ρυθμό 6 πακέα ο λεπό. Τα πακέα έχουν μήκος 5, και bits με πιθανόηα /, /4 και /4 ανίσοιχα. Το σύσημα μπορεί να μεαδίδει πακέα με ρυθμό 5Mbps. Τα πακέα που φθάνουν, αποθηκεύοναι σε buffer, πρακικά άπειρου μήκους, ενώ θεωρούμε πως η μεάδοση ων πακέων γίνεαι με η σειρά που φθάνουν.. Να βρεθεί ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πακέου σον buffer ου συσήμαος.. Τροποποιούμε ο σύσημα ώσε να χειρίζεαι με διαφορεικό ρόπο α μικρά πακέα (5 bits) και με διαφορεικό α μεγάλα ( bits και bits). Συγκεκριμένα, όαν φθάνει ένα μικρό πακέο, ο σύσημα σαμαάει ην αποσολή οποιουδήποε μεγαλύερου πακέου και σέλνει ο μικρό πακέο. Όαν η αποσολή ου μικρού πακέου ολοκληρωθεί συνεχίζει ην αποσολή ου μεγαλύερου πακέου από εκεί που είχε μείνει. Αν θεωρήσουμε ο κανάλι ιδανικό, να βρεθεί ο μέσο πλήθος μικρών πακέων που υπάρχουν σον buffer ου συσήμαος σο ροποποιημένο σύσημα. 3. Έσω ώρα όι ο κανάλι μεάδοσης δεν είναι αξιόπισο. Συγκεκριμένα υποθέουμε πως η πιθανόηα ένα bit να μεαδοθεί εσφαλμένα είναι p error 5. Σην περίπωση που συμβεί σφάλμα καά ην μεάδοση, η αποσολή ου πακέου επαναλαμβάνεαι μέχρι να μεαδοθεί σωσά. Θεωρούμε επίσης πως δεν έχουμε ρόπο να γνωρίζουμε αν η μεάδοση πραγμαοποιήθηκε με επιυχία πριν ην ολοκλήρωση ης αποσολής ολόκληρου ου πακέου. Να βρεθεί ο μέσος χρόνος αναμονής ων μικρών πακέων σον buffer ου ροποποιημένου συσήμαος σην περίπωση αυή. Αναφορές [] Randolf Nelson, Probability Stochastic Processes, and Queueing Theory. Springer-Verlag, 995. [] Leonard Kleinrock, Queueing Systems, Volume I: Theory. Wiley, 975. Γιάννης Γαροφαλάκης, Καθηγηής Αθανάσιος Ν.Νικολακόπουλος, Phd(c) Ώρες γραφείου: Παρασκευή 3 ΠΡΟΚΑΤ, δίπλα σο γραφείο ου κ.τσακαλίδη nikolako@ceid.upatras.gr