ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ"

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ V. ΜΙΚΡΟΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ 1. Εισαγωγή Ση µέχρι ώρα συζήησή µας για ην µηχανική συµπεριφορά ων µεαλλικών υλικών, όπου εξεάσαµε ην ελασική και ην πλασική ους συµπεριφορά µέσω ων θεωριών ελασικόηας και πλασικόηας ανίσοιχα, ανιµεωπίσαµε α υλικά αυά από µία καθαρά µακροσκοπική άποψη, θεωρώνας α σαν συνεχή, οµογενή και ισόροπα σώµαα. Όποιος όµως έχει ην ευκαιρία να παραηρήσει η µικροδοµή (microstructure) µεαλλικών υλικών µε ένα οπικό µικροσκόπιο, θα διαπισώσει όι αυά κάθε άλλο παρά σαν οµογενή υλικά µπορούν να θεωρηθούν. Η συνριπική πλειοψηφία ων µεαλλικών υλικών είναι κρυσαλλικά (crystalline), γεγονός που σηµαίνει όι α άοµά ους διαάσσοναι µε έναν πολύ συγκεκριµένο, περιοδικό και επαναλαµβανόµενο ρόπο µέσα σον όγκο ου υλικού. Ο ρόπος µε ον οποίο διαάσσοναι α άοµα σα κρυσαλλικά υλικά καθορίζει και ην κρυσαλλική δοµή ους. Όπως είναι γνωσό, α περισσόερα µεαλλικά υλικά µε εχνολογική σηµασία κρυσαλλώνοναι σε ρεις κυρίως κρυσαλλικές δοµές: ην κυβική χωροκενρωµένη (bcc), ην κυβική εδροκενρωµένη (fcc) και ην πυκνή εξαγωνική (hcp). Για περισσόερες λεποµέρειες σχεικά µε αυές, αλλά και όλες ις υπόλοιπες, κρυσαλλικές δοµές ο αναγνώσης θα πρέπει να αναρέξει σην εχνολογία υλικών και η φυσική µεαλλουργία. Σην ενόηα αυή θα εξεάσουµε ον ρόπο µε ον οποίο παράγεαι, σε µικροσκοπική κλίµακα, η πλασική παραµόρφωση σα µεαλλικά υλικά. Θα συζηήσουµε δηλαδή σχεικά µε αυό που ονοµάζεαι µικροπλασικόηα ων κρυσάλλων. Τα συµπεράσµαα που θα προκύψουν από η συζήηση αυή θα µας φανούν χρήσιµα ση συνέχεια, για να εξεάσουµε ρόπους µε ους οποίους µπορούµε να ισχυροποιήσουµε α µεαλλικά υλικά απένανι σην πλασική διαρροή. 94

2 2. Ολίσθηση Κρυσαλλικών Επιπέδων Ας υποθέσουµε όι κάνουµε ο εξής απλό πείραµα: παίρνουµε ένα κοµµάι από κάποιο όλκιµο µεαλλικό υλικό, όπως για παράδειγµα χαλκό, αλουµίνιο ή έναν µαλακό χάλυβα, ου οποίου λειαίνουµε και σιλβώνουµε (γυαλίζουµε) ην εξωερική επιφάνεια. Ση συνέχεια, µε κάποιο ρόπο (π.χ. µε µία µέγγενη) προκαλούµε πλασική παραµόρφωση σο κοµµάι αυό και καόπιν, χρησιµοποιώνας έναν καλό µεγεθυνικό φακό ή ένα οπικό µικροσκόπιο, εξεάζουµε ην γυαλισµένη επιφάνεια ου µεάλλου. Αυό που θα παραηρήσουµε φαίνεαι σις φωογραφίες ων Σχ. 1 και 2. Σχ.1: Μπάνες ολίσθησης σε χαλκό (µεγέθυνση 500 ). Σχ.2: Μπάνες ολίσθησης σε αλουµίνιο (µεγέθυνση 250 ). 95

3 Όπως φαίνεαι σις φωογραφίες, µεά ην πλασική παραµόρφωση, σην επιφάνεια ου µεάλλου έχουν σχηµαισθεί παράλληλες µεαξύ ους γραµµές. Αν οι γραµµές αυές εξεασθούν σε µεγαλύερη µεγέθυνση, χρησιµοποιώνας για παράδειγµα ένα ηλεκρονικό µικροσκόπιο, όε φαίνεαι όι κάθε µία από αυές σην πραγµαικόηα αποελείαι από έναν µεγάλο αριθµό πιο µικροσκοπικών και επίσης παράλληλων µεαξύ ους γραµµών. Εσιάζονας, δηλαδή, σε οποιαδήποε από ις γραµµές ων Σχ. 1 και 2, σε µεγάλη µεγέθυνση θα βλέπαµε ην εικόνα ου Σχ. 3. Οι µεγαλύερες γραµµές (αυές ων Σχ. 1 και 2) ονοµάζοναι µπάνες ολίσθησης (slip bands) και έχει παραηρηθεί όι ο πλάος ους είναι περίπου αοµικές διάµεροι. Κάθε µπάνα ολίσθησης αποελείαι, όπως φαίνεαι σο Σχ. 3, από πολλές µικροσκοπικές γραµµές ολίσθησης (slip lines), ο πλάος κάθε µίας εκ ων οποίων είναι περίπου ης άξεως ων 100 αοµικών διαµέρων. µπάνα ολίσθησης µικροσκοπικές γραµµές ολίσθησης Σχ.3: Μπάνα και γραµµές ολίσθησης. Από ο Σχ. 3 είναι φανερό όι, καά ην πλασική παραµόρφωση ου υλικού, ολόκληρα κρυσαλλικά επίπεδα ολίσθησαν (γλίσρησαν) ο ένα σε σχέση µε ο άλλο, δηµιουργώνας ις γραµµές και ις µπάνες ολίσθησης. Μπορούµε να φανασούµε ην ολίσθηση αυή σαν να έχουµε µία ράπουλα σο ραπέζι, ης οποίας αρχίζουµε να σπρώχνουµε ελαφρά α 96

4 ραπουλόχαρα. Κάθε ραπουλόχαρο (που ανισοιχεί σε µία γραµµή ολίσθησης ου Σχ. 3) αρχίζει να ολισθαίνει σε σχέση µε ο γειονικό ου. Η ελική µορφή ης ράπουλας θα έµοιαζε µε αυήν ου Σχ. 3. Η ολίσθηση πραγµαοποιείαι επάνω σε συγκεκριµένα κρυσαλλικά επίπεδα και προς συγκεκριµένες κρυσαλλικές διευθύνσεις (γι αυό οι γραµµές και οι µπάνες ολίσθησης εµφανίζοναι παράλληλες µεαξύ ους). Έχει παραηρηθεί πειραµαικά όι α κρυσαλλικά επίπεδα επάνω σα οποία πραγµαοποιείαι καά προίµηση η ολίσθηση δεν είναι υχαία, αλλά πρόκειαι για α πυκνά επίπεδα ων κρυσάλλων. (Να υπενθυµισθεί εδώ όι πυκνά επίπεδα είναι αυά σα οποία α άοµα εφάποναι µεαξύ ους και εµφανίζουν ην πυκνόερη δυναή διάαξη.) Επιπρόσθεα, οι διευθύνσεις προς ις οποίες ολισθαίνουν α πυκνά επίπεδα είναι και αυές πολύ συγκεκριµένες σε κάθε κρύσαλλο και συµπίπουν µε ις πυκνές διευθύνσεις ου κρυσάλλου. (Πυκνές διευθύνσεις είναι οι διευθύνσεις προς ις οποίες α άοµα ων πυκνών επιπέδων εφάποναι µεαξύ ους.) Τα κρυσαλλικά επίπεδα σα οποία λαµβάνει χώρα η ολίσθηση ονοµάζοναι επίπεδα ολίσθησης (slip planes), ενώ οι διευθύνσεις προς ις οποίες ολισθαίνουν α επίπεδα ολίσθησης ονοµάζοναι διευθύνσεις ολίσθησης (slip directions). Ένα επίπεδο ολίσθησης και µία διεύθυνση ολίσθησης επάνω σε αυό ορίζουν ένα συγκεκριµένο σύσηµα ολίσθησης (slip system). Αναρέχονας σην εχνολογία υλικών, πρέπει να θυµηθούµε όι α πυκνά επίπεδα και οι πυκνές διευθύνσεις διαφέρουν ανάλογα µε ην κρυσαλλική δοµή σην οποία κρυσαλλώνεαι ο κάθε µεαλλικό υλικό. Εποµένως, θα πρέπει να περιµένουµε όι και α διάφορα πιθανά συσήµαα ολίσθησης (δηλαδή επίπεδα και διευθύνσεις ολίσθησης) θα εξαρώναι από ην κρυσαλλική δοµή ου κάθε µεάλλου. Ο Πίνακας 1 συνοψίζει α συσήµαα ολίσθησης που έχουν παραηρηθεί πειραµαικά για ις ρεις βασικόερες κρυσαλλικές δοµές ων µεαλλικών υλικών, δηλαδή ις fcc, bcc και hcp. 97

5 Πίνακας 1 98

6 Ας περάσουµε ώρα να δούµε µε ποιον ρόπο σχηµαίζοναι οι γραµµές ολίσθησης και, κα επέκαση, οι µπάνες ολίσθησης σα κρυσαλλικά υλικά. Να δούµε, δηλαδή, µε ποιο ρόπο µπορούν να ολισθήσουν µεαξύ ους δύο γειονικά κρυσαλλικά επίπεδα. Αυό θα ο κάνουµε µε η βοήθεια ου Σχ. 4. Σο Σχ. 4α φαίνεαι ένα µικρό µήµα από έναν κρύσαλλο, κονά σην εξωερική ου επιφάνεια, όπου οι σφαίρες ανιπροσωπεύουν α άοµα ου υλικού. Κάθε σειρά αόµων (όπως για παράδειγµα οι Α και Β) ανιπροσωπεύει ένα πυκνό κρυσαλλικό επίπεδο (εννοείαι όι ο επίπεδο εκείνεαι κάθεα προς η σελίδα). Με ην εφαρµογή µίας διαµηικής άσης,, παράλληλης προς α πυκνά επίπεδα ο ένα µήµα ου κρυσάλλου ολισθαίνει σε σχέση µε ο υπόλοιπο, Σχ. 4β, µε αποέλεσµα να δηµιουργείαι ένα µικρό σκαλοπάι σην εξωερική επιφάνεια. (Παραηρήσε όι µία ορθή άση δεν θα είχε ο ίδιο αποέλεσµα.) A B A B (α) (β) (γ) Σχ. 4 Σο Σχ. 4β φαίνεαι όι δεν χρειάζεαι να ολισθήσουν όλα α κρυσαλλικά επίπεδα για να δηµιουργηθεί αυό ο µικρό σκαλοπάι. Ση συγκεκριµένη περίπωση η ολίσθηση έγινε µόνο µεαξύ ων κρυσαλλικών επιπέδων Α και Β, α οποία αποελούν και ο επίπεδο ολίσθησης. Η διεύθυνση ολίσθησης σο συγκεκριµένο παράδειγµα συµπίπει µε ην διακεκοµµένη γραµµή ου σχήµαος. Σο Σχ. 4β ο µέγεθος ου σκαλοπαιού που δηµιουργήθηκε είναι µόλις 1 αοµική διάµερος. Ωσόσο, εύκολα µπορεί να φανασεί κανείς όι εάν συνεχισεί η ολίσθηση ου επιπέδου Α σε σχέση µε ο Β όε ο σκαλοπάι θα γίνει µεγαλύερο σε 99

7 µέγεθος. Κάι έοιο δείχνει ο Σχ. 4γ, όπου εδώ έχουν απαλειφθεί α άοµα για απλόηα. Με αυό ον ρόπο δηµιουργούναι οι γραµµές ολίσθησης, που φάνουν να είναι παραηρήσιµες µε ηλεκρονικό µικροσκόπιο. Βεβαίως, η διαδικασία αυή δεν γίνεαι µόνο µεαξύ δύο κρυσαλλικών επιπέδων, αλλά όπως είναι λογικό συµβαίνει σε πολλά ακόµη κρυσαλλικά επίπεδα. Με ον ρόπο αυό δηµιουργούναι πολλές γραµµές ολίσθησης, ις οποίες εµείς βλέπουµε ελικά σαν µπάνες ολίσθησης σο οπικό µικροσκόπιο. 3. Θεωρηική Ανοχή ων Κρυσάλλων σε ιάµηση Το επόµενο λογικό ερώηµα που προκύπει σχεικά µε ην ολίσθηση ων κρυσαλλικών επιπέδων, έχει να κάνει µε ο µέγεθος ης άσης που είναι ικανό να προκαλέσει ην ολίσθηση αυή. Κα αρχήν, σην προηγούµενη παράγραφο διαπισώσαµε όι ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων µπορεί να συµβεί µόνο µε ην επίδραση διαµηικής άσης παράλληλης προς ο επίπεδο ολίσθησης (βλ. Σχ. 4α και β). Μία ορθή άση δεν θα µπορούσε να προκαλέσει ολίσθηση, αλλά απλώς θα προσπαθούσε να αποµακρύνει (αν ήαν εφελκυσική για παράδειγµα) ο ένα κρυσαλλικό επίπεδο από ο άλλο. Καά συνέπεια, εφόσον η πλασική παραµόρφωση ων µεαλλικών υλικών (σε µακροσκοπική κλίµακα) συνελείαι µε ην ολίσθηση εκαονάδων ή χιλιάδων κρυσαλλικών επιπέδων (σε µικροσκοπική κλίµακα) µέσω διαµηικών άσεων, είναι λογικό όι οι διαµηικές άσεις είναι αυές που ευθύνοναι για ην πλασική παραµόρφωση ων µεαλλικών υλικών. Πόσο µεγάλη, όµως, πρέπει να είναι η διαµηική άση για να µπορέσει να προκαλέσει ολίσθηση ανάµεσα σε δύο κρυσαλλικά επίπεδα; Ας υποθέσουµε όι από ο Σχ. 4α έχουµε αποµονώσει και εξεάζουµε µόνο δύο (πυκνά) κρυσαλλικά επίπεδα 1 και 2, επάνω σα οποία λαµβάνει χώρα ολίσθηση κάω από ην επίδραση ης διαµηικής άσης, Σχ. 5. Έσω όι η απόσαση από άοµο σε άοµο επάνω σε κάθε πυκνό επίπεδο είναι b και η απόσαση µεαξύ ων πυκνών επιπέδων (interplanar spacing) είναι α (α b = 2r, όπου r η αοµική ακίνα). Κάω από ην επίδραση ης διαµηικής άσης ο κρυσαλλικό επίπεδο 1 είνει να ολισθήσει προς α δεξιά και ο 2 προς α αρισερά. Για να πραγµαοποιηθεί η ολίσθηση αυή θα πρέπει α άοµα ου 1 να περάσουν πάνω από α άοµα ου 2. Για παράδειγµα, ο άοµο Α ου επιπέδου 1 θα πρέπει να περάσει πάνω από ο άοµο C ου επιπέδου 2 και να κααλήξει σην θέση ου αόµου Β ου επιπέδου 1. Εννοείαι όι ην ίδια κίνηση κάνουν αυόχρονα και α υπόλοιπα γειονικά 100

8 άοµα ου κάθε επιπέδου. Με ον ρόπο αυό α δύο κρυσαλλικά επίπεδα θα έχουν ολισθήσει καά µία απόσαση b. 1 2 Σχ. 5 Σο κάω µέρος ου Σχ. 5 υπάρχει ένα διάγραµµα, που δείχνει ην ανίσαση που προβάλλει ο κρυσαλλικό πλέγµα σε σχέση µε ην απόσαση ολίσθησης ων κρυσαλλικών επιπέδων. Σην αρχική θέση (αυή που φαίνεαι σο Σχ. 5) α άοµα βρίσκοναι σε θέσεις ισορροπίας και εποµένως η δύναµη ανίσασης είναι µηδέν. Καθώς ο επίπεδο 1 αρχίζει να ολισθαίνει προς α δεξιά, ο άοµο Α αρχίζει να σκαρφαλώνει επάνω σο άοµο C. Η δύναµη ανίσασης σην κίνηση αυή αρχίζει να αυξάνει. Η µέγιση δύναµη παραηρείαι σε µία απόσαση περίπου x = b/4, όαν δηλαδή ο άοµο Α έχει σκαρφαλώσει καά ο ήµισυ επάνω σο C. Όαν ο Α φάσει ακριβώς σην κορυφή ου C, όε η δύναµη ανίσασης και πάλι µηδενίζεαι, καθώς σο σηµείο αυό ο άοµο Α βρίσκεαι σε θέση µεασαθούς ισορροπίας. Καθώς η ολίσθηση συνεχίζεαι, ο άοµο Α αρχίζει να κινείαι προς η νέα θέση ισορροπίας, δηλαδή ην θέση ου αόµου Β. Σην κίνηση αυή ο πλέγµα προβάλλει και πάλι ην ίδια ανίσαση, µε ανίθεη όµως φορά. Όαν ο άοµο Α φάσει ση νέα θέση ισορροπίας (αυή που αρχικά είχε ο άοµο Β) όε η δύναµη ανίσασης µηδενίζεαι και πάλι. Τώρα α κρυσαλλικά επίπεδα 1 και 2 έχουν ολισθήσει καά µία απόσαση b. 101

9 Η µεαβολή ης ανίσασης που προβάλλει ο κρυσαλλικό πλέγµα σην ολίσθηση ων επιπέδων 1 και 2 µπορεί να θεωρηθεί καά προσέγγιση σαν ηµιονοειδής. Ας υπολογίσουµε ώρα ην διαµηική άση που απαιείαι, για να υπερνικηθεί η ανίσαση ου πλέγµαος σην ολίσθηση. Η διαµηική άση µεαβάλλεαι ηµιονοειδώς µε ην απόσαση ολίσθησης, δηλαδή: 2π x = k sin (1) b Για πολύ µικρές µεαοπίσεις ισχύει όι sin(2πx/b) 2πx/b, οπόε η Εξ. (1) γίνεαι: 2π x = k b (2) Από ο νόµο ου Hooke έχουµε όι: x = G γ = G (3) α όπου γ η διαµηική παραµόρφωση. Από ις Εξ. (2) και (3) έχουµε όι: π 2 x x G k = G k = b (4) b α 2π α Ανικαθισώνας ο k από ην Εξ. (4) σην Εξ. (1) λαµβάνουµε: = G b 2π x sin 2π α b (5) Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως, η µέγιση δύναµη ανίσασης σην ολίσθηση εµφανίζεαι περίπου σο x = b/4. Εποµένως, η µέγιση διαµηική άση που απαιείαι για να 102

10 υπερνικήσει ην ανίσαση αυή και να προκαλέσει ολίσθηση ων κρυσαλλικών επιπέδων (άρα και πλασική παραµόρφωση) είναι: max = G b 2π b sin 2π α 4b max = G b 2π α (6) Επειδή b α, η µέγιση διαµηική άση που απαιείαι για να προκαλέσει ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων παίρνει ελικά ην ιµή: G = th 6 max (7) Η Εξ. (7) δίνει ην θεωρηική ανοχή κρυσάλλου σε διάµηση, th. Εάν, δηλαδή, σε έναν έλειο κρύσαλλο η διαµηική άση που αναπύσσεαι επάνω σο επίπεδο ολίσθησης (και η οποία προέρχεαι από α εξωερικά φορία) ξεπεράσει ην ιµή th, όε θα υπάρξει ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων και, καά συνέπεια, πλασική παραµόρφωση ου κρυσάλλου. Η ιµή ης θεωρηικής ανοχής σε διάµηση ων µεαλλικών υλικών είναι πάρα πολύ υψηλή. Για παράδειγµα, για ένα όλκιµο µέαλλο όπως ο χαλκός, ο µέρο διάµησης είναι περίπου G = 41 GPa th = 6,8 GPa. Ωσόσο, πειράµαα σε µονοκρυσάλλους χαλκού έχουν δείξει όι η πλασική διαρροή ξεκινά, όαν η διαµηική άση σα ενεργά συσήµαα ολίσθησης πάρει ιµές ης άξεως ου 1 MPa! ηλαδή, η πραγµαική ανοχή ου κρυσάλλου σε διάµηση είναι 3 άξεις µεγέθους µικρόερη από ην θεωρηική. Η ίδια απόκλιση µεαξύ θεωρηικής και πραγµαικής ανοχής ου υλικού έχει παραηρηθεί σε όλα α µεαλλικά υλικά. Όπως είναι γνωσό από ην εχνολογία υλικών, η εράσια αυή απόκλιση οφείλεαι σο γεγονός όι οι κρύσαλλοι ων µεαλλικών υλικών δεν είναι έλειοι, αλλά περιέχουν διαφόρων ειδών αέλειες (imperfections) ή ελαώµαα (defects) σην κρυσαλλική ους δοµή. Το σηµανικόερο είδος αέλειας, που παίζει βασικό ρόλο σην πλασική διαρροή ων µεαλλικών υλικών είναι, ως γνωσόν, οι γραµµοααξίες (dislocations). Παρόι για ις γραµµοααξίες και ον ρόλο σους σην πλασική παραµόρφωση ων µεαλλικών υλικών έχει γίνει εκενής αναφορά σα ανικείµενα ης εχνολογίας υλικών και ης φυσικής 103

11 µεαλλουργίας, µία σύνοµη ανασκόπηση δίδεαι ση συνέχεια ης ενόηας αυής. Προηγουµένως, όµως, θα αναφερθούµε σην έννοια ης ενεργού ή ανηγµένης διαµηικής άσης (effective ή resolved shear stress) και σο νόµο ου Schmid. 4. Ο Νόµος ου Schmid Τα περισσόερα µεαλλικά υλικά που χρησιµοποιούναι σην πράξη είναι πολυκρυσαλλικά (polycrystalline). Αυό σηµαίνει όι η µικροδοµή ους αποελείαι από πολλούς κρυσάλλους (κόκκους grains), ης ίδιας ή διαφορεικής φάσης. Εάν ο υλικό αποελείαι από µία µόνο φάση, όε όλοι οι κόκκοι έχουν ην ίδια κρυσαλλική δοµή (π.χ. fcc, bcc, κ..λ.). Ωσόσο, κάθε κόκκος διαφέρει από ους υπόλοιπους ως προς ον προσαναολισµό. Αυό σηµαίνει όι α κρυσαλλικά επίπεδα κάθε κόκκου έχουν διαφορεικό προσαναολισµό σο χώρο σε σχέση µε α ανίσοιχα κρυσαλλικά επίπεδα (δηλαδή επίπεδα µε ους ίδιους δείκες Miller) ων υπόλοιπων κόκκων. Το γεγονός αυό έχει σαν συνέπεια όι, όαν κααπονούµε ένα πολυκρυσαλλικό µεαλλικό υλικό µε κάποια εξωερικά φορία, σα κρυσαλλικά επίπεδα κάθε κόκκου αναπύσσοναι διαφορεικές άσεις (ορθές και διαµηικές), ανάλογα µε ον προσαναολισµό ου κάθε κόκκου. Ας θεωρήσουµε για παράδειγµα ο δοκίµιο ου Σχ. 6, ο οποίο υποβάλλουµε σε εφελκυσµό. Η εναική καάσαση µακροσκοπικά, θεωρώνας δηλαδή ολόκληρο ο δοκίµιο σαν ένα συνεχές, οµογενές και ισόροπο σώµα, είναι αυή ου απλού µονοαξονικού εφελκυσµού. Ωσόσο, εάν εξεάσουµε ένα συγκεκριµένο κρυσαλλικό επίπεδο µέσα σο υλικό, που έσω όι είναι ένα επίπεδο ολίσθησης, ο οποίο σχηµαίζει γωνία λ µε ον µακροσκοπικό άξονα εφελκυσµού, όε οι άσεις που επενεργούν επάνω σο συγκεκριµένο κρυσαλλικό επίπεδο είναι οι εξής: ορθή άση σο επίπεδο ολίσθησης σ r F cosφ F cosφ F 2 = = = cos φ A Ao Ao σ r cosφ = σ cos 2 φ (8) διαµηική άση σο επίπεδο ολίσθησης r F cos λ F cos λ F = = = cosφ cos λ A Ao Ao r cosφ = σ cosφ cos λ (9) 104

12 σ r = F cosφ/a Α = Α ο /cosφ r = F cosλ/a Σχ. 6: Επίπεδο ολίσθησης, διεύθυνση ολίσθησης και ανηγµένη διαµηική άση. Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε σην προηγούµενη ενόηα, η ορθή άση που επιδρά επάνω σο επίπεδο ολίσθησης (σ r ) δεν παίζει κανένα ρόλο σην ολίσθηση ων κρυσαλλικών επιπέδων. Ανίθεα, η διαµηική άση επάνω σο επίπεδο ολίσθησης ( r ) είναι αυή που θα προκαλέσει ολίσθηση ων κρυσαλλικών επιπέδων και άρα πλασική παραµόρφωση ου κρυσάλλου, εάν ξεπεράσει κάποια κρίσιµη ιµή. Η διαµηική άση r ονοµάζεαι ενεργή ή ανηγµένη διαµηική άση (resolved shear stress), ακριβώς διόι αναφέρεαι επάνω σο επίπεδο ολίσθησης και έχει φορά προς ην διεύθυνση ολίσθησης. Η Εξ. (9), η οποία δίνει ην ανηγµένη διαµηική άση σαν συνάρηση ης µακροσκοπικής άσης (σ) που κααπονεί ο υλικό, ονοµάζεαι νόµος ου Schmid. Εάν ο δοκίµιο ου Σχ. 6 ήαν µονοκρυσαλλικό, δηλαδή εάν ολόκληρο ο δοκίµιο αποελούναν από έναν και µόνο κόκκο, όε η πλασική διαρροή ου δοκιµίου θα ξεκίναγε 105

13 όαν η ανηγµένη διαµηική άση σα πιο ευνοϊκά προσαναολισµένα επίπεδα ολίσθησης ου κρυσάλλου ξεπέρναγε µία κρίσιµη ιµή. ηλαδή, πλασική διαρροή θα είχαµε όαν: r ο (10) Η διαµηική άση ο ονοµάζεαι κρίσιµη ανηγµένη διαµηική άση (critical resolved shear stress) και ουσιασικά ανιπροσωπεύει ο όριο διαρροής µονοκρυσάλλου σε διάµηση. Εάν ο κρύσαλλός µας ήαν έλειος, όε πλασική διαρροή (δηλαδή ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων) θα είχαµε όαν r th. Βέβαια, όπως είδαµε, σους πραγµαικούς κρυσάλλους που περιέχουν αέλειες η πραγµαική ανοχή σε διάµηση είναι πολύ µικρόερη από ην θεωρηική, δηλαδή ο << th. Σην πράξη, όπου α περισσόερα µεαλλικά υλικά είναι πολυκρυσαλλικά και αποελούναι από πάρα πολλούς και υχαία προσαναολισµένους κόκκους, ο γνωσό µας (µακροσκοπικό) όριο διαρροής που µεράµε εύκολα µε η δοκιµή εφελκυσµού, σ ο, είναι καά κάποιο ρόπο ένας µέσος όρος ου ορίου διαρροής σε διάµηση όλων ων κόκκων ου υλικού. Τα δύο αυά µεγέθη, δηλαδή σ ο και ο, συνδέοναι µεαξύ ους εµπειρικά µέσω ου παράγονα Taylor, M = 1,5. Καά προσέγγιση, λοιπόν, ο µακροσκοπικό όριο διαρροής σε εφελκυσµό (αυό που µεράµε µε ην δοκιµή εφελκυσµού) ενός όλκιµου πολυκρυσαλλικού µεαλλικού υλικού συνδέεαι µε ο όριο διαρροής µονοκρυσάλλου (δηλ. ενός µόνο κόκκου) σε διάµηση, µέσω ης σχέσης: σ 2 ο (11) o = M o σ = 3 o Η Εξ. (11) είναι πολύ προσεγγισική, γεγονός που πρέπει να λαµβάνεαι υπόψη εάν πρόκειαι να χρησιµοποιηθεί για να εξαχθούν ποσοικά αποελέσµαα. Ωσόσο, ποιοικά η σηµασία ης είναι µεγάλη, διόι µας δείχνει πως οιδήποε αυξάνει ην ανοχή µονοκρυσάλλου σε διάµηση (δηλ. ο ο ), οδηγεί αυόχρονα σε αύξηση ης ανοχής ου συνολικού πολυκρυσαλλικού υλικού σε εφελκυσµό (δηλ. ο σ ο ). 106

14 5. Γραµµοααξίες Όπως προαναφέραµε, οι πραγµαικοί κρύσαλλοι περιέχουν αέλειες. Η ανοχή ενός κρυσάλλου σε διάµηση, δηλαδή η ανίσαση που προβάλλει σην ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων, εξασθενεί λόγω ων αελειών αυών. Από α διάφορα είδη αελειών που περιέχουν οι πραγµαικοί κρύσαλλοι, οι γραµµοααξίες (dislocations) παίζουν ον κυριόερο ρόλο σην πλασική παραµόρφωση. Η παρουσία ων γραµµοααξιών επιρέπει σα µεαλλικά υλικά να υφίσαναι πλασική διαρροή σε διαµηικές άσεις πολύ µικρόερες από ην θεωρηική ανοχή σε διάµηση, th. Το Σχ. 7 δείχνει σε ρισδιάσαη απεικόνιση ην απλούσερη µορφή γραµµοααξίας, που είναι η γραµµοααξία ακµής (edge dislocation), σε ένα απλό κυβικό κρυσαλλικό πλέγµα. Γραµµοααξία ακµής δηµιουργείαι όαν η κανονική αλληλουχία ων κρυσαλλικών επιπέδων διααράσσεαι από ένα ηµιελές κρυσαλλικό επίπεδο, όπως φαίνεαι σο Σχ. 7. Η χαµηλόερη ακµή ου ηµιελούς κρυσαλλικού επιπέδου είναι η γραµµή ης γραµµοααξίας (dislocation line). Σχ. 7: Γραµµοααξία ακµής σε απλό κυβικό κρύσαλλο. 107

15 Σο Σχ. 7 αξίζει να παραηρήσει κανείς όι α άοµα που βρίσκοναι κονά σην γραµµοααξία είναι µεαοπισµένα από ις κανονικές θέσεις ισορροπίας ους, λόγω ης ύπαρξης ου ηµιελούς κρυσαλλικού επιπέδου. Μάλισα, όσο πιο κονά βρίσκοναι σην γραµµοααξία, όσο περισσόερο µεαοπισµένα είναι. Αυό σηµαίνει όι η ύπαρξη ης γραµµοααξίας προκαλεί ελασική παραµόρφωση ου κρυσαλλικού πλέγµαος που βρίσκεαι κονά σε αυήν. Τα γειονικά προς ην γραµµοααξία άοµα, επειδή έχουν µεαοπισεί από ις θέσεις ισορροπίας ους, πιέζοναι από α άοµα που βρίσκοναι πιο µακριά από ην γραµµοααξία να επανέλθουν σις κανονικές ους θέσεις. Καά συνέπεια, γύρω από ην γραµµοααξία αναπύσσεαι ένα πεδίο άσεων (dislocation stress field). Η µορφή ου ασικού αυού πεδίου, που επικραεί γύρω από µία γραµµοααξία ακµής, φαίνεαι παρασαικά σο Σχ. 8. Όπως βλέπουµε, σα κρυσαλλικά επίπεδα που γειονεύουν µε ο ηµιελές επίπεδο ης γραµµοααξίας ακµής επικραούν γενικά θλιπικές άσεις, ενώ σε εκείνα που βρίσκοναι κάω από ο ηµιελές επίπεδο (δηλ. κάω από ο επίπεδο ολίσθησης) επικραούν εφελκυσικές άσεις. Προσέξε όι οι άσεις αυές δεν έχουν σχέση µε εξωερικά φορία που κααπονούν ο υλικό. Πρόκειαι για ενδογενείς ελασικές άσεις, που αναπύσσοναι λόγω ης παρουσίας ης γραµµοααξίας. Σχ. 8: Τασικό πεδίο γύρω από γραµµοααξία ακµής. 108

16 Με βάση ο σύσηµα συνεαγµένων ου Σχ. 8, οι ελασικές άσεις που αναπύσσοναι σο κρυσαλλικό πλέγµα γύρω από µία γραµµοααξία ακµής, µπορούν να υπολογισούν προσεγγισικά µε ις παρακάω σχέσεις: ( 1 ν ) 2 2 ( 3x + y ) σ G b y = (12) x 2 2 2π x + y 2 2 y ( x y ) 2 2 ( x + ) 2 σ G b y = 2π ( 1 ν ) (13) y σ G ν y z = π (14) 2 2 ( 1 ν ) x + y 2 2 x ( x y ) 2 2 ( x + ) 2 G b xy = 2π ( 1 ν ) (15) y = 0 (16) xz = yz όπου b η απόσαση µεαξύ ων αόµων προς ην διεύθυνση ολίσθησης (βλ. και Σχ. 5). Με ην εφαρµογή διαµηικής άσης (προερχόµενης από εξωερικά µηχανικά φορία) παράλληλης προς ο επίπεδο ολίσθησης και µε φορά προς ην διεύθυνση ολίσθησης, η γραµµοααξία ακµής µπορεί πολύ εύκολα να ολισθήσει, να αρχίσει δηλαδή να κινείαι µέσα σον κρύσαλλο. Όπως θα δούµε παρακάω, η ολίσθηση ων γραµµοααξιών προκαλεί ην πλασική παραµόρφωση ων κρυσάλλων. Το Σχ. 9 δείχνει πώς αναδιαάσσοναι α άοµα, καθώς η γραµµοααξία ολισθαίνει µέσα σον κρύσαλλο (οι µαύρες κουκίδες παρισάνουν α άοµα). Εφ όσον η γραµµοααξία περάσει από ην µία άκρη ου κρυσάλλου σην άλλη, όε ο κάω µήµα ου κρυσάλλου (δηλ. αυό που βρίσκεαι κάω από ο επίπεδο ολίσθησης) µεαοπίζεαι σε σχέση µε ο επάνω καά µία απόσαση b, που ονοµάζεαι διάνυσµα Burgers και είναι χαρακηρισική ιδιόηα ης γραµµοααξίας. Σις γραµµοααξίες ακµής ο διάνυσµα Burgers και η γραµµή ης γραµµοααξίας είναι κάθεα 109

17 µεαξύ ους, µε αποέλεσµα να ορίζεαι πάνοε µόνο ένα επίπεδο ολίσθησης πάνω σο οποίο µπορεί να ολισθήσει η γραµµοααξία ακµής. επίπεδο ολίσθησης b Σχ. 9: Ολίσθηση γραµµοααξίας ακµής. Το ελικό αποέλεσµα ης ολίσθησης ης γραµµοααξίας είναι όι ουσιασικά έχει ολισθήσει ο µήµα ου κρυσάλλου που βρίσκεαι πάνω από ο επίπεδο ολίσθησης (βλ. Σχ. 9) ως προς ο µήµα ου κρυσάλλου που βρίσκεαι κάω από ο επίπεδο ολίσθησης. Το αποέλεσµα είναι ίδιο µε αυό ου Σχ. 4, όπου εκεί είδαµε πώς µπορεί να πραγµαοποιηθεί η ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων χωρίς ην ύπαρξη γραµµοααξίας. Ωσόσο, µε ην γραµµοααξία η διαµηική άση που απαιείαι για ην ολίσθηση αυή είναι καά πολύ µικρόερη από ην θεωρηική. Και αυό επειδή ώρα αρκεί µία µικρή διαµηική άση για να ολισθήσει µόνο η γραµµοααξία, ενώ σην περίπωση ου Σχ. 4 έπρεπε να ολισθήσει αυόχρονα ολόκληρο ο κρυσαλλικό επίπεδο. Το ελικό αποέλεσµα και σις δύο περιπώσεις (Σχ. 4 και Σχ. 9) είναι ο ίδιο, ώρα όµως επιυγχάνεαι µε πολύ µικρόερη διαµηική άση. Αυός είναι ο λόγος που η πειραµαικά µερηµένη ανοχή µονοκρυσάλλων σε διάµηση ( ο ) είναι πολύ µικρόερη από ην ανίσοιχη θεωρηική ( th ). Ένα άλλο είδος γραµµοααξίας είναι η γραµµοααξία έλικα (screw dislocation). Οι διαφορές ης µε η γραµµοααξία ακµής είναι όι η γραµµοααξία έλικα δεν χρειάζεαι 110

18 ηµιελές κρυσαλλικό επίπεδο για να σχηµαισθεί και, κυρίως, όι σην γραµµοααξία έλικα ο διάνυσµα Burgers και η γραµµή ης γραµµοααξίας είναι παράλληλα µεαξύ ους. Αυό έχει σαν συνέπεια να µην ορίζεαι µόνο ένα, αλλά περισσόερα πιθανά επίπεδα ολίσθησης, επάνω σα οποία µπορεί να ολισθήσει η γραµµοααξία έλικα. Έσι, οι γραµµοααξίες έλικα έχουν η δυναόηα, όαν ολισθαίνουν επάνω σε ένα συγκεκριµένο επίπεδο ολίσθησης και συνανήσουν κάποιο εµπόδιο, να αλλάξουν επίπεδο ολίσθησης και να συνεχίσουν ην πορεία ους. Η διαδικασία αυή ονοµάζεαι σαυρολίσθηση (cross-slip). Σο Σχ. 10 φαίνοναι α βασικά γεωµερικά χαρακηρισικά ης γραµµοααξίας έλικα. Η ονοµασία ης προέρχεαι από ο γεγονός όι α κρυσαλλικά επίπεδα γύρω από ην γραµµή ης γραµµοααξίας σχηµαίζουν µία ελικοειδή επιφάνεια. Ο ρόπος µε ον οποίο ολισθαίνει η γραµµοααξία έλικα µέσα σε έναν κρύσαλλο, πάνοε κάω από ην επίδραση µίας διαµηικής άσης παράλληλης προς ο επίπεδο ολίσθησης, φαίνεαι σο Σχ. 11. Όπως η γραµµοααξία ακµής έσι και η γραµµοααξία έλικα παραµορφώνει ελασικά ο κρυσαλλικό πλέγµα που βρίσκεαι σην άµεση γειονιά ης, µε αποέλεσµα γύρω ης να δηµιουργείαι ένα πεδίο ελασικών άσεων. Σε ανίθεση µε ην γραµµοααξία ακµής, ο ασικό πεδίο γύρω από ην γραµµοααξία έλικα περιέχει µόνο διαµηικές και όχι ορθές άσεις. Οι διαµηικές αυές άσεις µπορούν να υπολογισούν προσεγγισικά από ις εξής σχέσεις: G b y xz = (17) 2 2 2π x + y G b 2π yz = (18) 2 2 x x + y Οι γραµµοααξίες και οι ιδιόηές ους είναι ένα θέµα µε εράσια επισηµονική και εχνολογική σηµασία ση µεαλλουργία. Αυός είναι άλλωσε και ο λόγος που υπάρχει εκενέσαη βιβλιογραφία σχεικά µε ο θέµα αυό, σην οποία θα πρέπει να αναρέξει κανείς για µια πιο λεποµερή ανάλυση. Αυό που έχει µεγάλο πρακικό ενδιαφέρον είναι όι, εφόσον η ολίσθηση ων γραµµοααξιών παράγει ουσιασικά ην πλασική παραµόρφωση ων µεαλλικών υλικών, κάθε µηχανισµός που οποθεεί εµπόδια σην ολίσθηση ων 111

19 γραµµοααξιών ισχυροποιεί ο υλικό, αυξάνει δηλαδή ο µέγεθος ων µηχανικών φορίων που µπορεί να ανέξει ο υλικό, χωρίς να υποσεί πλασική διαρροή. διεύθυνση ολίσθησης επίπεδο ολίσθησης γραµµή γραµµοααξίας Σχ. 10: Γεωµερικά χαρακηρισικά ης γραµµοααξίας έλικα. γραµµή ααξίας επίπεδο ολίσθησης διεύθυνση ολίσθησης b Σχ. 11: Ολίσθηση γραµµοααξίας έλικα. 112

20 6. Πλεγµαική Ανίσαση Πλεγµαική ανίσαση (lattice resistance) ή άση Peierls Nabarro είναι η ανίσαση που προβάλλει ο ίδιο ο κρυσαλλικό πλέγµα σην ολίσθηση µίας γραµµοααξίας. Όπως είδαµε σην προηγούµενη ενόηα, η ολίσθηση µίας γραµµοααξίας ακµής ή έλικα δεν είναι συνεχής, αλλά βηµαική (βλ. Σχ. 9 και 11). Για να προχωρήσει η γραµµοααξία χρειάζεαι σε κάθε βήµα να σπάσουν ορισµένοι χηµικοί δεσµοί και να γίνει κάθε φορά µία µικρή αναδιάαξη ων αόµων, που βρίσκοναι σε άµεση γεινίαση µε ην γραµµοααξία. Αυές οι διαδικασίες έχουν σαν αποέλεσµα να εµφανίζεαι πλεγµαική ανίσαση απένανι σην ολίσθηση ων γραµµοααξιών. Οι Peierls και Nabarro πρώοι διεύπωσαν ην πρόαση όι η διαµηική άση, που απαιείαι για να προκαλέσει ην ολίσθηση µίας γραµµοααξίας επάνω σε ένα επίπεδο ολίσθησης και προς µία συγκεκριµένη διεύθυνση ολίσθησης, δίδεαι προσεγγισικά από ην εξής σχέση: P 2G e 1 ν 2π W b (19) Σην Εξ. (19) G είναι ο µέρο διάµησης και ν ο λόγος Poisson ου υλικού, b η απόσαση ων αόµων προς ην διεύθυνση ολίσθησης (βλ. και Σχ. 5) και W ο πλάος ή εύρος ης γραµµοααξίας. Σαν πλάος γραµµοααξίας ορίζεαι η απόσαση εκαέρωθεν ης γραµµής ης γραµµοααξίας, µέχρι ην οποία α γειονικά κρυσαλλικά επίπεδα έχουν µεαοπισεί από ις κανονικές θέσεις ισορροπίας ους (βλ. και Σχ. 7). Ο ρόπος που ορίζεαι ο πλάος γραµµοααξίας W φαίνεαι παρασαικά σο Σχ. 12. (Προσέξε όι ουσιασικά η γραµµή ης γραµµοααξίας χωρίζει ο µήµα ου κρυσάλλου από ο οποίο έχει ήδη περάσει και άρα έχει προκαλέσει ολίσθηση, από ο υπόλοιπο µήµα ου κρυσάλλου, από ο οποίο δεν έχει περάσει ακόµη.) 113

21 µήµα ου κρυσάλλου που έχει ολισθήσει πλάος ααξίας µήµα ου κρυσάλλου που δεν έχει ολισθήσει ακόµη Σχ. 12: Πλάος (W) γραµµοααξίας. Σην Εξ. (19) ο πλάος ης γραµµοααξίας βρίσκεαι υψωµένο σον εκθέη, γεγονός που σηµαίνει όι η πλεγµαική ανίσαση εξαράαι ισχυρά από ην διάαξη ων άµεσα γειονικών προς ον πυρήνα ης γραµµοααξίας αόµων. Φυσικά, οι αποσάσεις αυές είναι δύσκολο να µερηθούν πειραµαικά, γεγονός που δεν µας επιρέπει να υπολογίσουµε ποσοικά µε ακρίβεια ην πλεγµαική ανίσαση σε διάφορα υλικά. Ωσόσο, η Εξ. (19) έχει µεγάλη ποιοική αξία, επειδή αποδεικνύει όι αρκεί µία σχεικά µικρή διαµηική άση για να προκαλέσει ολίσθηση ων γραµµοααξιών (ολίσθηση όαν P ). Σις γραµµοααξίες ακµής ο πλάος ης γραµµοααξίας είναι περίπου W = α/(1-ν), όπου α είναι η απόσαση µεαξύ ων κρυσαλλικών επιπέδων όπου λαµβάνει χώρα η ολίσθηση (βλ. Σχ. 5). Ανίθεα, ο πλάος µίας γραµµοααξίας έλικα είναι περίπου W = α. Αυό σηµαίνει όι οι γραµµοααξίες ακµής έχουν µεγαλύερο πλάος και εποµένως, σύµφωνα µε ην Εξ. (19), µπορούν να ολισθήσουν µε µικρόερη εφαρµοζόµενη διαµηική άση (ο P για γραµµοααξία ακµής είναι µικρόερο από ο P για γραµµοααξία έλικα). Επίσης, η Εξ. (19) και οι σχέσεις για ο πλάος ης γραµµοααξίας εξηγούν γιαί η ολίσθηση συµβαίνει καά προίµηση επάνω σε πυκνά κρυσαλλικά επίπεδα και προς ις πυκνές διευθύνσεις. Τα πυκνά επίπεδα, όπως για παράδειγµα α {111} σην δοµή fcc, έχουν µεγαλύερη απόσαση α µεαξύ ους από όι α µη πυκνά επίπεδα. Καά συνέπεια, η πλεγµαική ανίσαση P είναι µικρόερη σα πυκνά επίπεδα από όι σα µη πυκνά, γεγονός που σηµαίνει όι οι γραµµοααξίες µπορούν να ολισθήσουν σα πυκνά επίπεδα µε πολύ µικρόερες διαµηικές άσεις σε σύγκριση µε α µη πυκνά. Αυός είναι και ο λόγος που σις 114

22 κρυσαλλικές δοµές fcc και hcp (όπου πυκνά είναι α επίπεδα {0001}) η ολίσθηση ων γραµµοααξιών γίνεαι σχεδόν αποκλεισικά επάνω σα πυκνά επίπεδα. Επίσης, η διεύθυνση ολίσθησης ων γραµµοααξιών συµπίπει µε ις πυκνές διευθύνσεις ων πυκνών επιπέδων, επειδή σις διευθύνσεις αυές η απόσαση µεαξύ ων αόµων b είναι η ελάχιση δυναή, οπόε σύµφωνα µε ην Εξ. (19) σε αυές ις διευθύνσεις ελαχισοποιείαι η ανίσαση πλέγµαος P. Σις δοµές fcc και hcp οι πυκνές διευθύνσεις είναι οι <110> και < 1120 >, ανίσοιχα. Εποµένως, σις δοµές fcc και hcp η ολίσθηση ων γραµµοααξιών πρέπει να λαµβάνει χώρα καά προίµηση σα συσήµαα ολίσθησης {111}<110> και {0001} < 1120 >, ανίσοιχα, γεγονός που έχει επιβεβαιωθεί πειραµαικά. (Αυό δεν σηµαίνει όι η ολίσθηση γίνεαι αποκλεισικά σε αυά α συσήµαα. Σε µεγάλες ιµές πλασικής παραµόρφωσης ενεργοποιούναι και άλλα µη πυκνά συσήµαα ολίσθησης.) 7. Παραµόρφωση Μονοκρυσάλλου από Ολίσθηση Γραµµοααξίας Έχει ενδιαφέρον να υπολογίσουµε η διαµηική παραµόρφωση που παράγει η ολίσθηση µίας γραµµοααξίας µέσα σε έναν µονοκρύσαλλο. Εάν υποθέσουµε όι µία γραµµοααξία (ακµής ή έλικα) ολισθήσει µέσα σε έναν µονοκρύσαλλο µέχρις όου κααλήξει σην εξωερική ου επιφάνεια, ο αποέλεσµα ης ολίσθησης αυής θα είναι η δηµιουργία ενός σκαλοπαιού ή, όπως λέµε καλύερα, ενός βήµαος ολίσθησης (slip step) σην εξωερική επιφάνεια (βλ. και Σχ. 4). Το µήκος ου βήµαος ολίσθησης θα ισούαι µε ο διάνυσµα Burgers ης γραµµοααξίας, b. Κοιάζονας ο Σχ. 13, βλέπουµε όι η ολίσθηση ης γραµµοααξίας προκάλεσε διαµηική παραµόρφωση σον µονοκρύσαλλο, η οποία ισούαι µε γ = b/h. Εάν για παράδειγµα ο κρύσαλλος έχει h = 1 cm, η διαµηική παραµόρφωση που παράγει η ολίσθηση µίας γραµµοααξίας είναι ης άξεως ου γ 10-8, που είναι µία πολύ µικρή πλασική παραµόρφωση. Εποµένως, φαίνεαι όι για να παραχθούν πλασικές παραµορφώσεις που µπορούµε να παραηρήσουµε και να µερήσουµε µακροσκοπικά, χρειάζεαι να γίνει ολίσθηση πάρα πολλών γραµµοααξιών µέσα σον κρύσαλλο. Η συνολική µακροσκοπική πλασική παραµόρφωση που παραηρούµε σε ένα κρυσαλλικό υλικό, είναι ο άθροισµα ων µικροσκοπικών παραµορφώσεων που παράγει η ολίσθηση ενός πολύ µεγάλου πλήθους γραµµοααξιών. Έσι, εάν ρεις γραµµοααξίες είχαν ολισθήσει σε ρία διαφορεικά και παράλληλα µεαξύ ους επίπεδα ολίσθησης, η διαµηική παραµόρφωση που θα παρήγαγαν συνολικά θα ήαν απλώς γ = 3b/h. 115

23 b γ h Σχ. 13 Ας θεωρήσουµε ώρα ην περίπωση όπου µία γραµµοααξία ολισθαίνει εν µέρει µέσα σε έναν µονοκρύσαλλο, χωρίς δηλαδή να κααλήξει σην εξωερική ου επιφάνεια, Σχ. 14. Αφού b είναι ο βήµα ολίσθησης που παράγει η γραµµοααξία σον κρύσαλλο εφόσον ολισθήσει σε όλο ου ο µήκος (L), η ολίσθηση που παράγεαι όαν ολισθήσει µόνο εν µέρει µέσα σον κρύσαλλο καά µία απόσαση x i (0<x i <L) θα είναι: x i δ i = b (20) L Το δ i είναι ουσιασικά η µεαόπιση ου άνω µήµαος ου κρυσάλλου σε σχέση µε ο κάω, που προκλήθηκε από ην ολίσθηση µίας γραµµοααξίας καά µία απόσαση x i επάνω σο επίπεδο ολίσθησης. Εάν έχουµε Ν γραµµοααξίες σε διάφορα παράλληλα µεαξύ ους επίπεδα ολίσθησης, κάθε µία εκ ων οποίων ολισθαίνει καά µία απόσαση x i µέσα σον κρύσαλλο, όε η συνολική µεαόπιση ου άνω µήµαος ου κρυσάλλου σε σχέση µε ο κάω θα είναι: 116

_Σχήµα 2_. Σελίδα 1 από 5. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση. Άξονας περιστροφής τροχού. Άξονας γύρω από. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση

_Σχήµα 2_. Σελίδα 1 από 5. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση. Άξονας περιστροφής τροχού. Άξονας γύρω από. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση ιονύσης Μηρόπουλος Κίνηση σερεού Παραηρήσεις ση µεαπωική κίνηση ενός σρεφόµενου ροχού Η ανάρηση αυή έγινε µε αφορµή: 1) Την πολύ καλή και ενδιαφέρουσα ανάρηση ου συναδέλφου Νίκου αµαόπουλου µε ίλο «Μεαπωική

Διαβάστε περισσότερα

Πως λύνεται ένα πρόβληµα.

Πως λύνεται ένα πρόβληµα. Πως λύνεαι ένα πρόβληµα. Όπως έχουµε ήδη αναφέρει, α βήµαα για ην παραγωγή λογισµικού είναι: 1. Καανόηση προβλήµαος 2. Επίλυση ου προβλήµαος 3. Λογικός έλεγχος ης λύσης (αν υπάρχουν λάθη πήγαινε σο 1.)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 4.1 Η ΥΙΟΘΕΤΗΣΗ ΝΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ: ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Όαν η εχνολογία εξελίσσεαι η πρώη ερώηση µας είναι καά πόσο θα υιοθεηθεί δεδοµένου ης µεγάλης εγκαεσηµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Για κάθε γραµµικό και χρονικά αναλλοίωο σύσηµα συνεχούς χρόνου ισχύει όι η απόκριση y() ου όαν αυό διεγείρεαι από είσοδο x() δίνεαι από η σχέση: y () = x( ) h ( ) d = x ()

Διαβάστε περισσότερα

13. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

13. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής 67 3 Σνήθεις διαφορικές εξισώσεις 3 Ορισµοί Μια εξίσση πο περιέχει παραγώγος κάποιας σνάρησης, ονοµάζεαι διαφορική εξίσση ( Ε) Αν η σνάρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 90º. 180º ω. Οι απαντήσεις και τα σχετικά σχόλια

ΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 90º. 180º ω. Οι απαντήσεις και τα σχετικά σχόλια Φυσική καεύθυνσης Γ Σερεό σώµα ΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ άξονας 9º 18º Ο ροχός ου σχήµαος έχει ροπή αδράνειας Ι και σρέφεαι γύρ από ον άξονά ου µε γνιακή αχύηα µέρου.

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννη Σ. Μπούταλη Αναπληρωτή Καθηγητή Δ.Π.Θ. ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ βοηθητικές σημειώσεις στο μάθημα ΣΑΕ ΙΙ

Γιάννη Σ. Μπούταλη Αναπληρωτή Καθηγητή Δ.Π.Θ. ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ βοηθητικές σημειώσεις στο μάθημα ΣΑΕ ΙΙ Γιάννη Σ Μπούαλη Αναπληρωή Καθηγηή ΔΠΘ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ βοηθηικές σημειώσεις σο μάθημα ΣΑΕ ΙΙ Ξάνθη, Μάιος 7 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Σε αυό ο κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

Κεφάλαιο 8 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Κεφάλαιο 8 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Θεωρούµε όι Έσω X µία διακριή χρονοσειρά 0 ± ±. µ x Ε{X } και γ { X X } E { [ X µ ][ X µ ] } ( 0 ± cov + + x x Το φάσµα ισχύος ης X ορίζεαι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο. Κυκλώματα με στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας

Κεφάλαιο 3 ο. Κυκλώματα με στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Κεφάλαιο 3 ο Κυκλώμαα με σοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Η διαφορά μεαξύ ης ανάλυσης ων ωμικών κυκλωμάων, που μελεήσαμε ως ώρα, και ων κυκλωμάων που ακολουθούν είναι όι οι εξισώσεις που προκύπουν από ην

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ Ισορροπία Σωματιδίου Στατική Ισορροπία Στερεού Σώματος

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ Ισορροπία Σωματιδίου Στατική Ισορροπία Στερεού Σώματος ΔΥΝΑΜΕΙΣ Διανυσμαική Φύση ης Δύναμης Σύνθεση Δυνάμεων ΡΟΠΗ Η Έννοια ης Ροπής Ροπή Πολλών Δυνάμεων Ζεύγος Δυνάμεων ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Α. Καραμπαρμπούνης, Ε. Συλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 4 5 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων (3B) 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Αν.

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων (3B) 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Αν. ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων (3B) 1. Υπολογισμός Διαμηικής Ανοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία ριβής (φ ο ) Διδάσκονες: Β. Χρησάρας Καθηγηής Β. Μαρίνος, Αν. Καθηγηής Εργασήριο Τεχνικής Γεωλογίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή δύναμης. Τι προκαλεί την επιτάχυνση ενός υλικού σημείου; Η άσκηση δύναμης F πάνω του. Τι προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση ενός στερεού σώματος;

Ροπή δύναμης. Τι προκαλεί την επιτάχυνση ενός υλικού σημείου; Η άσκηση δύναμης F πάνω του. Τι προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση ενός στερεού σώματος; Τι προκαλεί ην επιάχυνση ενός υλικού σημείου; Η άσκηση δύναμης F πάνω ου Τι προκαλεί ην γωνιακή επιάχυνση ενός σερεού σώμαος; Η ροπή δύναμης F Για να αλλάξουμε ην περισροφική καάσαση ενός σώμαος παίζουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλοί χημικοί αντιδραστήρες

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλοί χημικοί αντιδραστήρες Κεφάλαιο 5 Πολλαπλοί χημικοί ανιδρασήρες Σε ορισμένες περιπώσεις, σε μια χημική βιομηχανία, η χρήση ενός μόνο χημικού ανιδρασήρα δεν είναι όσο αποελεσμαική όσο θα ήαν επιθυμηό. Συνεπώς, είναι απαραίηο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ηλεκτρικών κυκλωμάτων

Εργαστήριο Ηλεκτρικών κυκλωμάτων Εργασήριο Ηλεκρικών κυκλωμάων Αυό έργο χορηγείαι με άδεια Creaive Commons Aribuion-NonCommercial-ShareAlike Greece 3.. Σκοπός ων πειραμάων Ονομ/νυμο: Μηρόπουλος Σπύρος Τμήμα: Ε6 Το εργασήριο πραγμαοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΕΡΓΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΞΑ ΣΥΝΑΡΜΟΓΗΣ ΣΙ ΗΡΟ ΡΟΜΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΕΡΓΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΞΑ ΣΥΝΑΡΜΟΓΗΣ ΣΙ ΗΡΟ ΡΟΜΙΚΗΣ Ε. Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Αγρονόµων-Τοπογράφων Μηχανικών Εργασήριο Συγκοινωνιακής Τεχνικής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΕΡΓΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΞΑ ΣΥΝΑΡΜΟΓΗΣ ΣΙ ΗΡΟ ΡΟΜΙΚΗΣ 1. Τόξο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Οι κινηήρες αυής ης καηγορίας ροφοδοούναι από κάποια πηγή συνεχούς άσης. Από καασκευασικής απόψεως, δεν παρουσιάζουν καμία διαφορά σε σχέση με ις γεννήριες ΣΡ. Βασικό πλεονέκημά

Διαβάστε περισσότερα

Θεματική ενότητα : Βασικά εργαλεία και Μέθοδοι για τον έλεγχο της ποιότητας.

Θεματική ενότητα : Βασικά εργαλεία και Μέθοδοι για τον έλεγχο της ποιότητας. Εργασία 5 Θεμαική ενόηα : Βασικά εργαλεία και Μέθοδοι για ον έλεγχο ης ποιόηας. Άσκηση 1 (η άσκηση έχει λυθεί βάσει ων διευκρινίσεων που δόθηκαν από ον καθηγηή ) α) Το καάλληλο σαισικό εργαλείο που θα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΜΕ ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΣΤΡΩΣΕΙΣ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ Ε ΟΜΕΝΑ

ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΜΕ ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΣΤΡΩΣΕΙΣ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ Ε ΟΜΕΝΑ Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ, 07 ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΜΕ ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΣΤΡΩΣΕΙΣ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ Ε ΟΜΕΝΑ οκός Οπλισµένου Σκυροέµαος Ενισχυµένη µε Σρώση Οπλισµένου Σκυροέµαος Φ0 Φ0 η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΕΦΑΡΜΟΓΗ Yλικά : C5/30, Φ0 S Άνοιγµαοκού:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ. ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΣΟΖΥΓΙΟ) ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΟΡΜΗΣ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ ΡΟΗ. LT και μονάδες στο SI, kgm/s 2 ή N. υνισταμένη. υνισταμένη. d dt. d dt.

ΙΙΙ. ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΣΟΖΥΓΙΟ) ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΟΡΜΗΣ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ ΡΟΗ. LT και μονάδες στο SI, kgm/s 2 ή N. υνισταμένη. υνισταμένη. d dt. d dt. ΙΙΙ. ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΣΟΖΥΓΙΟ) ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΟΡΜΗΣ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ ΡΟΗ Έσω ένα υδραυλικό σύσημα ο οποίο περιέχεαι σε έναν όγκο ελέγχου C συνολικού όγκου και ο οποίο αναλλάσει μάζα με ο περιβάλλον με ρυθμούς (παροχές

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1

Εργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1 Εργασηριακή Άσκηση 4 5 Το σύσημα αναμονής M/G/ Γιάννης Γαροφαλάκης, Καθηγηής Αθανάσιος Ν.Νικολακόπουλος, Phd(c) Σκοπός ης παρούσας εργασίας είναι η εξερεύνηση ων βασικών ιδιοήων ενός από α κλασικόερα μονέλα

Διαβάστε περισσότερα

, e + Σε ένα δείγμα ίδιων ραδιενεργών πυρήνων η πιθανότητα διάσπασης για κάποιο συγκεκριμένο πυρήνα είναι τυχαία.

, e + Σε ένα δείγμα ίδιων ραδιενεργών πυρήνων η πιθανότητα διάσπασης για κάποιο συγκεκριμένο πυρήνα είναι τυχαία. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 : ΠΥΡΗΝΙΚΕΣ ΔΙΑΣΠΑΣΕΙΣ Πυρηνικοί Μεασχημαισμοί Οι δυναοί πυρηνικοί μεσχημαισμοί είναι : Εκπομπή σωμαιδίων-α : 4 2 H Εκπομπή σωμαιδίων-β : - ν, + Εκπομπή ακίνων-γ : φωόνιο Σχάση : διάσπαση πυρήνα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μεγαλύτερες περιπέτειες

Μεγαλύτερες περιπέτειες Μεγαλύερες εριέειες Μεά ην ανάρηση «Ένα σύσημα σωμάων σε εριέειες» ας άμε ένα βήμα αρακάω, ση μελέη ου συσήμαος σωμάων και ης εφαρμογής ου γενικευμένου νόμου ου Νεύωνα. --------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ (DISLOCATIONS )

ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ (DISLOCATIONS ) ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ (DISLOCATIONS ) 1. ΕΙΣΑΓΩΓΉ Η αντοχή και η σκληρότητα είναι μέτρα της αντίστασης ενός υλικού σε πλαστική παραμόρφωση Σε μικροσκοπική κλίμακα, πλαστική παραμόρφωση : - συνολική κίνηση μεγάλου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης (Με ιδέες και υλικό από ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Καρεσιανές Συνεαγμένες Εσωερικό Γινόμενο Διανυσμάων Εξωερικό Γινόμενο Διανυσμάων Βαθμωό Γινόμενο Τριών Διανυσμάων ΔΥΝΑΜΕΙΣ Διανυσμαική Φύση ης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Μοναδιαία βηµαική συνάρηση (Ui Sep Fucio) U () =, U () =, .5 - -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΩΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΩΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Ελληνικό Σαισικό Ινσιούο Πρακικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Σαισικής (5) σελ.35-34 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΩΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Παπάνα Αγγελική και Κουγιουμζής Δημήρης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική. Τελική εξέταση 5 Μάη 2007 Ομάδα 2 η

ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική. Τελική εξέταση 5 Μάη 2007 Ομάδα 2 η ΦΥΣ 145 Υπολογισικές Μέθοδοι ση Φυσική Τελική εξέαση 5 Μάη 2007 Ομάδα 2 η Γράψε ο ονομαεπώνυμο, αριθμό αυόηας και ο password σας σο πάνω μέρος ης αυής ης σελίδας. Πρέπει να απανήσεε και σα 5 προβλήμαα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Πλεονεκτήματα ψηφιακού ελέγχου

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Πλεονεκτήματα ψηφιακού ελέγχου ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πλεονεκήμαα ψηφιακού ελέγχου Ικανόηα για επεξεργασία αλγορίθμων με λογισμικό ανί για harwar. Αλλαγή ου σχεδιασμού χωρίς αλλαγές σο harwar. Μείωση μεγέθους, βάρους, ισχύος καθώς και χαμηλό κόσος.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή ση Θεωρία Σημάων και Συσημάων Ιωάννης Χαρ. Κασαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ Τηλεπ. & Δικύων Πανεπισήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοπωρινό Εξάμηνο 9/ Άσκηση Να υπολογίσεε ο παρακάω άθροισμα: Θυμίζουμε ην ανάπυξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ NOTATION ΓΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ -Bd, Steat and Lghtfoot "Tanpot Phenomena" -Bd, Amtong and Haage

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας

Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας Η Έννοια ης υχαίας ιαδικασίας Η έννοια ης υχαίας διαδικασίας, βασίζεαι σην επέκαση ης έννοιας ης υχαίας µεαβληής, ώσε να συµπεριλάβει ο χρόνο. Σεκάθεαποέλεσµα s k ενόςπειράµαοςύχης ανισοιχούµε, σύµφωναµεκάποιοκανόνα,

Διαβάστε περισσότερα

d k dt k a ky(t) = dt k b kx(t) (3.1)

d k dt k a ky(t) = dt k b kx(t) (3.1) Κεφάλαιο 3 Ανάλυση Σημάων και Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 3. Εισαγωγή Σε αυό ο κεφάλαιο, θα συζηήσουμε για ο πως μπορούμε να μελεάμε συσήμαα σο πεδίο ου χρόνου. Είδαμε σο προηγούμενο κεφάλαιο κάποια εισαγωγικά

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Περασμένων Εξετάσεων και Απαντήσεις

Θέματα Περασμένων Εξετάσεων και Απαντήσεις Θέμαα Περασμένων Εξεάσεων και Απανήσεις Εξεάσεις Ιουνίου. ΘΕΜΑ.,5 μονάδα Δίνεαι ο ΓΧΑ σύσημα με κρουσική απόκριση iπ h co8 π π Να βρεθεί η έξοδός ου αν η είσοδός είναι co π co 6π co 8π i W, < Εφαρμόζονας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 1 Κεφάλαιο 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 1.1 Εισαγωγή Ένα από α βασικόερα ανικείμενα σο επάγγελμα ου μηχανικού είναι η λεγόμενη διασασιολόγηση ή σχεδιασμός δομικών σοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική συμπεριφορά των λογικών κυκλωμάτων MOS. Διάλεξη 10

Δυναμική συμπεριφορά των λογικών κυκλωμάτων MOS. Διάλεξη 10 Δυναμική συμπεριφορά ων λογικών κυκλωμάων MOS Διάλεξη 10 Δομή ης διάλεξης Εισαγωγή Ανισροφέας NMOS με φορίο ύπου αραίωσης Ανισροφέας CMOS Διάφορα ζηήμαα Ασκήσεις Δυναμική συμπεριφορά ων λογικών κυκλωμάων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 1. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 1. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάσκονα με λύσεις ροβλημάων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγηής epapamic@civil.auth.gr ΝΙΚΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΑΚΗΣ Καθηγηής charalam@civil.auth.gr Αρισοέλειο Πανισήμιο

Διαβάστε περισσότερα

TO MONTEΛΟ ΤΗΕ ΕΡΠΙΣΗΣ (Reptation Model)

TO MONTEΛΟ ΤΗΕ ΕΡΠΙΣΗΣ (Reptation Model) TO MOTEΛΟ ΤΗΕ ΕΡΠΙΣΗΣ (epttion Moel) Η έννοια ου σωλήνα (tube) σις περιελίξεις (entglements). Αλληλεπιδράσεις-interpenetrtion Τοπολογικοί περιορισμοί (σην lterl/κάθεη κίνηση) Tube moel [e Gennes ; Ewrs

Διαβάστε περισσότερα

ιονύσης Μητρόπουλος νόµος του Νεύτωνα έχει για το σωµατίδιο τη µορφή F = (2), (3).

ιονύσης Μητρόπουλος νόµος του Νεύτωνα έχει για το σωµατίδιο τη µορφή F = (2), (3). ιούσης Μηρόπουλος Σερεό ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ, ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ ΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Έα σωµαίδιο, Ορµή, Σροφορµή Ο ος όµος ου Νεύωα σε αδραειακό και µη αδραειακό σύσηµα Γωρίζουµε όι η ορµή εός σωµαιδίου µάζας

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος Αmpere. i r. Β dl = Β(dl ακτ +dl τοξ ) = Β rdθ = 2π. Β dl = μ ο i

Νόμος Αmpere. i r. Β dl = Β(dl ακτ +dl τοξ ) = Β rdθ = 2π. Β dl = μ ο i Νόος Αmpee = o Τυχαία κλεισή διαδροή προσεγγιζεαι από ακινικά ευθ. ήαα και κυκλικά όξα dθ dθ dl ακινικά = 0 dl όξα = dθ dl = (dl ακ +dl οξ ) = dθ = o dθ = o dθ Ρευαοφόρο ς αγωγός dl = ο Νόος Αmpee Το ολοκλήρωα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΛΥΜΠΕΡΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΛΕΓΚΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΑΛΥΣΩΤΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΜΟΡΙΑΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΑΛΥΣΩΤΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΜΟΡΙΑΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΑΛΥΣΩΤΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΜΟΡΙΑΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ Η ρόοδος ης ανίδρασης μορί να υολογισί: Τιλοδόηση διλών δσμών Μαβολή ου όγκου ου μέσου ης ανίδρασης Μέρηση ης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή Υλικών Πείραμα εφελκυσμού

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή Υλικών Πείραμα εφελκυσμού Μάθημα: Πειραματική Αντοχή Υλικών Πείραμα εφελκυσμού Κατασκευαστικός Τομέας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Περιεχόμενα Σχήμα 1 οκίμια εφελκυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Αξιολόγηση Στρατηγικής Κεντρικού Ελέγχου Ροών σε Αποχετευτικά ίκτυα µε Έµφαση στην Εφαρµογή της στον Ελλαδικό Χώρο

Ανάπτυξη και Αξιολόγηση Στρατηγικής Κεντρικού Ελέγχου Ροών σε Αποχετευτικά ίκτυα µε Έµφαση στην Εφαρµογή της στον Ελλαδικό Χώρο ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ: Μηχανικών Παραγωγής & ιοίκησης Ανάπυξη και Αξιολόγηση Σραηγικής Κενρικού Ελέγχου Ροών σε Αποχεευικά ίκυα µε Έµφαση σην Εφαρµογή ης σον Ελλαδικό Χώρο ιαριβή που υπεβλήθη για ην

Διαβάστε περισσότερα

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 7. Στρέψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Εισαγωγή Σε προηγούμενα κεφάλαια μελετήσαμε πώς να υπολογίζουμε τις ροπές και τις τάσεις σε δομικά μέλη τα

Διαβάστε περισσότερα

3 Συσχετίσεις σε χρονοσειρές

3 Συσχετίσεις σε χρονοσειρές 3 Συσχείσεις σε χρονοσειρές Η χρονοσειρά ενός χρημαισηριακού δείκη { y, y,, yn } ως πραγμαοποίηση μιας σοχασικής διαδικασίας { t } t= ης μεαβολής ων ιμών ου δείκη { x, x,, xn} πραγμαοποίηση μιας άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση διεργασίας χρησιμοποιώντας την τεχνολογία σύγκλισης (Pinch Technology)

Ολοκλήρωση διεργασίας χρησιμοποιώντας την τεχνολογία σύγκλισης (Pinch Technology) Θέμα: Ολοκλήρωση διεργασίας χρησιμοποιώνας ην εχνολογία σύγκλισης (Pinch Technology) Εισηγηές: Εμμανουήλ Κοζαμπασάκης, Πανεπισήμιο ου Maπchester, Ινσιούο Ε πισήμης και Τεχνολογίας, UMST, U.K. καθηγ. Bodo

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ FOURIER ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΣΕΙΡΑΣ FOURIER. Ανάπτυξη σειράς Dirac σε σειρά Fourier (Εκθετική Fourier):

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ FOURIER ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΣΕΙΡΑΣ FOURIER. Ανάπτυξη σειράς Dirac σε σειρά Fourier (Εκθετική Fourier): ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 7-5-7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ FOURIER ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER Ανάπυξη σειράς Dirac σε σειρά Fourier (Εκθεική Fourier): s () = δ ( k) k = c s e d e inω inω () n = = = ιόι f () δ (

Διαβάστε περισσότερα

Καταστάσεις της ύλης. Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο.

Καταστάσεις της ύλης. Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο. Καταστάσεις της ύλης Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο. Υγρά: Τάξη πολύ µικρού βαθµού και κλίµακας-ελκτικές δυνάµεις-ολίσθηση. Τα µόρια βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VI. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΙΣΧΥΡΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΩΝ 1. Εισαγωγή Στην προηγούµενη ενότητα εξετάσαµε την σηµαντικότερη ατέλεια της κρυσταλλικής δοµής των µεταλλικών υλικών, που είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

y(t) = T [x(t)] (7.1)

y(t) = T [x(t)] (7.1) Κεφάλαιο 7 Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 7. Εισαγωγή Σε αυό ο κεφάλαιο, θα συζηήσουμε για ο πως μπορούμε να μελεάμε συσήμαα σο πεδίο ου χρόνου. Τι είναι όμως α συσήμαα και γιαί α χρησιμοποιούμε;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΗΠΟΣ & ΒΕΡΑ. τα «πώς ντας σε όλα μας ό πλούσιο φωτογρ. λίδα 3. όλης. Διαβάστε στη σελ. 7 για ένα βιβλίο που θα κάνει τις ιδέες σας...

ΚΗΠΟΣ & ΒΕΡΑ. τα «πώς ντας σε όλα μας ό πλούσιο φωτογρ. λίδα 3. όλης. Διαβάστε στη σελ. 7 για ένα βιβλίο που θα κάνει τις ιδέες σας... μ Κηπο ανία Π ΕΡ Ι Ο Δ Ι ΚΗ ΕΚ Δ ΟΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑ Ι ΤΟ ΠΕ ΡΙ ΒΑ ΛΛΟ Ν Αγαπηοί φίλοι ου πράσινου, Όλοι μας διαπισώνουμε καθημερινά ο έλλειμμα που υπάρχει σε καθαρό νερό και αέρα, σο πράσινο, ση διαχείριση

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ

ΡΟΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΡΟΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ. Ιξώδες Έσω ροή µεαξύ δύο παράλληλων πλακών εµβαδού Α και ανοίγµαος Η (Σχ. ). Σχ. du ιαµηική άση: =η =η γ dy () όπου: γ ο ρυθµός διάµησης, η ο ιξώδες. Παραηρήσεις για

Διαβάστε περισσότερα

1 Η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΧΑΛΥΒΕΣ

1 Η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΧΑΛΥΒΕΣ Η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΧΑΛΥΒΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΤΡΙΩΡΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ Α.Μ. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΑΣΚΗΣΗ Α. ΟΠΤΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ. Στο μεταλλογραφικό μικροσκόπιο Leitz μελετήθηκαν κατάλληλα προετοιμασμένα δοκίμια χάλυβα. 2.

Διαβάστε περισσότερα

Α Σ Κ Η Σ Η 1 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΚΑΛΩΔΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ MURRAY

Α Σ Κ Η Σ Η 1 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΚΑΛΩΔΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ MURRAY Α Σ Κ Η Σ Η ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΚΑΛΩΔΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ MURRAY Γενικά Με η μέθοδο Murray, όπου χρησιμοποιούναι οι ιδιόηες ης γέφυρας Wheatstone, μπορούν να προσδιορισούν σφάλμαα διαρροής προς η γη και

Διαβάστε περισσότερα

Που ασκείται η δύναμη στήριξης;

Που ασκείται η δύναμη στήριξης; Που σκείι η δύνμη σήριξης; Θεωρούμε μι πρισμική ράβδο μήκους l η οποί θεωρείι ιδνικό σερεό σώμ. Υποθέουμε όι η ράβδος βρίσκει «υπό κθεσώς κπόνησης». Θεωρούμε μι νοηή ομή η οποί διιρεί ην ράβδο σε δύο μέρη

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΟΓΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ. Πλαστικότητα, Διαρροή, Ολκιμότητα

ΕΠΙΛΟΓΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ. Πλαστικότητα, Διαρροή, Ολκιμότητα ΕΠΙΛΟΓΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ Πλαστικότητα, Διαρροή, Ολκιμότητα Διαρροή (Yielding) Αντοχή σε διαρροή (yield strength) είναι η τάση πέρα από την οποία το υλικό επιδεικνύει πλαστική συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

(1A) Ε ΟΜΕΝΑ 2Φ10 Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Yλικά : Άνοιγµα δοκού: l 0-2 = l 2-3 = 4,40 m ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ: Σ..Η ΔΡΙΤΣΟΣ

(1A) Ε ΟΜΕΝΑ 2Φ10 Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Yλικά : Άνοιγµα δοκού: l 0-2 = l 2-3 = 4,40 m ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ: Σ..Η ΔΡΙΤΣΟΣ (A) κός Οπλισένυ Σκυρδέας Ενισχυένη ε Σρώση Οπλισένυ Σκυρδέας- Έλεγχς άρκειας ιφάνειας Ε ΟΜΕΝΑ Άνιγα δκύ: l 0- l -3 4,40 m Φ0 Η. Πλάς δκύ: b 0 mm Πλάς σήριξης: b. ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΜΕ ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ σ 0mm 0

Διαβάστε περισσότερα

Multi Post. Ενδοριζικοί άξονες ανασύστασης

Multi Post. Ενδοριζικοί άξονες ανασύστασης Multi Post Ενδορζοί άξς ανασύσασης MultiPost Σύσηµα νδορζών αξόνων α αποαάσαση µ ρηνώδη υλά Το σύσηµα Multi Post ης D+Z που πρλαµβάν άξς αασυασµένους από αθαρό άνο ίνα ένα ύολο σο χρσµό α δοµασµένο σύσηµα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Τεχνολογίας Υλικών

Εργαστήριο Τεχνολογίας Υλικών Εργαστήριο Τεχνολογίας Υλικών Εργαστηριακή Άσκηση 07 Εφελκυσμός Διδάσκοντες: Δρ Γεώργιος Ι. Γιαννόπουλος Δρ Θεώνη Ασημακοπούλου Δρ Θεόδωρος Λούτας Τμήμα Μηχανολογίας ΑΤΕΙ Πατρών Πάτρα 2011 1 Μηχανικές

Διαβάστε περισσότερα

- Ομοιότητα με βάση τις εξισώσεις Νavier-Stokes - 2- διάστατη ασυμπίεστη Ροή

- Ομοιότητα με βάση τις εξισώσεις Νavier-Stokes - 2- διάστατη ασυμπίεστη Ροή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΡΟΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ-ΣΥΝΕΚΤΙΚΗ ΡΟΗ - Ιξώδες - Ομοιόηα με βάση ις εξισώσεις Νaier-Stkes - - διάσαη ασυμπίεση Ροή ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΜΗΣ t 1 μ 1 g μ t - Οιακές Συνθήκες B σο -

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Σύνθετη καταπόνηση

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Σύνθετη καταπόνηση Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Σύνθετη καταπόνηση Κατασκευαστικός Τομέας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Σχήμα 1 Μέσω των πειραμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΩΝ I

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΩΝ I ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΩΝ I 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μηχανική συμπεριφορά αντανακλά την σχέση παραμόρφωση ασκούμενο φορτίο/δύναμη Να γνωρίζουμε τα χαρακτηριστικά του υλικού - να αποφευχθεί υπερβολική παραμόρφωση,

Διαβάστε περισσότερα

Επιστήμη των Υλικών. Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Τμήμα Φυσικής

Επιστήμη των Υλικών. Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Τμήμα Φυσικής Επιστήμη των Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Φυσικής 2017 Α. Δούβαλης Μηχανικές ιδιότητες των στερεών (μεταλλικά στερεά) Τάση και παραμόρφωση Τάση (stress): αίτιο (δύναμη/ροπή) που προκαλεί παραμόρφωση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Κανονισμός Πυροπροστασίας Κτιρίων (π.δ. 41/2018)

Κανονισμός Πυροπροστασίας Κτιρίων (π.δ. 41/2018) Κανονισμός Πυροπροσασίας Κιρίων (π.δ. 41/2018) Πεδίο Εφαρμογής Πεδίο Εφαρμογής Α. Σα κίρια ή μήμαα κιρίων, που ανεγείροναι μεά ην έναρξη ισχύος ου και ων οποίων οι χρήσεις εμπίπουν σε μία από ις περιπώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Ασκήσεων στην Αντοχή των Υλικών

Σειρά Ασκήσεων στην Αντοχή των Υλικών Σιρά Ακήων ην Ανοχή ων Υλικών Άκηη η Σο ημίο Α μιας πίπδης μαλλικής πιφάνιας μ μέρο λαικόηας 00 GP και λόγο Pissn 0.5 μρήθηκαν οι πιμηκύνις ις καυθύνις, και μ η διάαξη ων πιμηκυνιομέρων ου χήμαος, ως 900,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ

ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 105 Κεφάλαιο 5 ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 5.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια αναλύσαμε την εντατική κατάσταση σε δομικά στοιχεία τα οποία καταπονούνται κατ εξοχήν αξονικά (σε εφελκυσμό ή θλίψη) ή πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ETY-445 ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗ. Μέρος Α (2007-08)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ETY-445 ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗ. Μέρος Α (2007-08) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ETY-445 ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μέρος Α (2007-08) ΕΙΣΑΓΩΓΗ I-1 Ρευσοµηχανική (Fluid Mechanics) είναι ο κλάδος ης εφαρµοσµένης µηχανικής (applied

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων

2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1 Όπως είναι γνωστό, όταν σε κάποιο σώμα ενεργούν δυνάμεις, ένα από τα αποτελέσματά τους μπορεί να είναι να αλλάξει η κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Παραγωγή Κυµατοµορφών FM:

Παραγωγή Κυµατοµορφών FM: Παραγωγή Κυµαοµορφών ύο βασικές µέθοδοι για ην αραγωγή κυµαοµορφών : - Έµµεση (inir ) - όου ο σήµα διαµόρφωσης χρησιµοοιείαι αρχικά για ην αραγωγή κυµαοµορφής σενής και ση συνέχεια χρησιµοοιείαι ολλαλασιασµός

Διαβάστε περισσότερα

Παραγωγή Κυµατοµορφών FM:

Παραγωγή Κυµατοµορφών FM: Παραγωγή Κυµαοµορφών ύο βασικές µέθοδοι για ην αραγωγή κυµαοµορφών : - Έµµεση (inir ) - όου ο σήµα διαµόρφωσης χρησιµοοιείαι αρχικά για ην αραγωγή κυµαοµορφής σενής ζώνης και ση συνέχεια χρησιµοοιείαι

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μετρήσουμε διαστάσεις στερεών σωμάτων χρησιμοποιώντας όργανα ακριβείας και θα υπολογίσουμε την πυκνότητα τους. Θα κάνουμε εφαρμογή της θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της µηχανικής συµπεριφοράς της συνάφειας ράβδων οπλισµού FRP µε σκυρόδεµα

Ανάλυση της µηχανικής συµπεριφοράς της συνάφειας ράβδων οπλισµού FRP µε σκυρόδεµα Ανάλυση ης µηχανικής συµπεριφοράς ης συνάφειας ράβδων οπλισµού FRP µε σκυρόδεµα Β. Καραζαφέρης MΕ, Υποψήφιος διδάκωρ ΕΜΠ Μ. Καής Επίκουρος Καθηγηής ΕΜΠ Λέξεις κλειδιά: FRP, συνάφεια, πεπερασµένα σοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

1η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΑΕΡΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΑΙΣΘΗΤΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

1η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΑΕΡΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΑΙΣΘΗΤΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΑΕΡΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΑΙΣΘΗΤΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ Δισολή (θερμική δισολή σερεών-υγρών-ερίων) Ηλεκρική νίσση (εξάρησή ης πό θερμοκρσί) Θερμοηλεκρικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ Πανελή Α. Δείρογλου Πυχιούχου Παιδαγωγικού Τήαος Δηοικής Εκπαίδευσης Το Ολοήερο Δηοικό Σχολείο από η σκοπιά ων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Ιδανικοί χημικοί αντιδραστήρες

Κεφάλαιο 4 Ιδανικοί χημικοί αντιδραστήρες Κεφάλαιο 4 Ιδανικοί χημικοί ανιδρασήρες Με βάση α σοιχεία για ην κινηική και η σοιχειομερία ων ανιδράσεων, μπορούμε ώρα να προχωρήσουμε σην ανάλυση ορισμένων βασικών ύπων χημικών ανιδρασήρων. Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8: Μαγνητικά Υλικά και Ιδιότητες ΙΙ. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 8: Μαγνητικά Υλικά και Ιδιότητες ΙΙ. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαρμοσμένν Μαθημαικών και Φυσικών Εισημών Εθνικό Μεσόβιο Πολυεχνείο Διηλεκρικές Οικές Μαγνηικές Ιδιόηες Υλικών Κεφάλαιο 8: Μαγνηικά Υλικά και Ιδιόηες ΙΙ Λιαροκάης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το αρόν εκαιδευικό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΗ ΛΥΓΙΣΜΟΥ. Σχήμα 1 : Κοιλοδοκοί από αλουμίνιο σε δοκιμή λυγισμού

ΔΟΚΙΜΗ ΛΥΓΙΣΜΟΥ. Σχήμα 1 : Κοιλοδοκοί από αλουμίνιο σε δοκιμή λυγισμού ΔΟΚΙΜΗ ΛΥΓΙΣΜΟΥ 1. Γενικά Κατά τη φόρτιση μιας ράβδου από θλιπτική αξονική δύναμη και με προοδευτική αύξηση του μεγέθους της δύναμης αυτής, η αναπτυσσόμενη τάση θλίψης θα περάσει από το όριο αναλογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IΙΙ: TAΣΕΙΣ ΣΤΟ Ε ΑΦΟΣ. 1. Τάσεις σε συνεχή μέσα (ε πανάληψη) 2. Τάσεις σε α-συνεχή. μέσα. 3. Ενεργός και Ολική τάση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IΙΙ: TAΣΕΙΣ ΣΤΟ Ε ΑΦΟΣ. 1. Τάσεις σε συνεχή μέσα (ε πανάληψη) 2. Τάσεις σε α-συνεχή. μέσα. 3. Ενεργός και Ολική τάση ΚΕΦΑΛΑΙΟ IΙΙ: 3. Ενεργός και Ολική άη TAΣΕΙΣ ΣΤΟ Ε ΑΦΟΣ. Τάεις ε υνεχή μέα (ε πανάληψη). Τάεις ε α-υνεχή μέα 4. Γεωαικές άεις (λόγω ιδίου βάρους) 5. Τάεις λόγω εξωερικών φορίων Θεωρία Ελαικόηας Καανομή

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Ζ Η ΕΝΝΟΙΑ, ΟΙ ΤΥΠΟΙ ΚΑΙ ΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΣΤΟΧΙΑΣ

Ενότητα Ζ Η ΕΝΝΟΙΑ, ΟΙ ΤΥΠΟΙ ΚΑΙ ΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΣΤΟΧΙΑΣ Ενόηα Ζ ΚΑΜΠΤΟΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΦΟΡΕΩΝ Η ΕΝΝΟΙΑ, ΟΙ ΤΥΠΟΙ ΚΑΙ ΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΣΤΟΧΙΑΣ 1. ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΦΟΡΕΩΝ 1.1.1 Παραμορφώσεις Καθύψος ης Διαομής 1.1 MΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΑΝΑΛΗΨΗΣ ΔΡΩΣΑΣ ΡΟΠΗΣ Όπως φαίνεαι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Σκλήρυνση µεταλλικού υλικού είναι η ισχυροποίησή του έναντι πλαστικής παραµόρφωσης και χαρακτηρίζεται από αύξηση της σκληρότητας, του ορίου διαρροής

Διαβάστε περισσότερα

? Συμπεριφορά ψαθυρών υλικών 11/6/2018. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Κριτήρια Αστοχίας Διάτμηση Τοιχοποιίας

? Συμπεριφορά ψαθυρών υλικών 11/6/2018. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Κριτήρια Αστοχίας Διάτμηση Τοιχοποιίας 11/6/018 Σημειώεις Εργαηριακής Άκηης Κριήρια Αοχίας Διάμηη Τοιχοποιίας Δρ. Σωήρης Δέμης Πολιικός Μηχανικός (Πανεπιημιακός Υπόροφος) Έως ώρα Καααικός νόμος όλκιμων υλικών (αξονική κααπόνιη ε μία διεύθυνη)

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Τεχνικής Μηχανικής Διαγράμματα Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.) Υπολογισμός Αντιδράσεων Διαγράμματα Φορτίσεων Διατομών (MNQ) Αντοχή Φορέα? Αντικείμενο Τεχνικής Μηχανικής Σχήμα 2 F Y A Γ B A Y B Y 1000N

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. . Μητρόπουλος Στερεό. Άξονας Β. Άξονας Α. ίσκος 2. ίσκος 1. Βάση στήριξης. Σύστηµα στήριξης του δίσκου 1. Κοχλίες σύσφιξης.

Σχήµα 1. . Μητρόπουλος Στερεό. Άξονας Β. Άξονας Α. ίσκος 2. ίσκος 1. Βάση στήριξης. Σύστηµα στήριξης του δίσκου 1. Κοχλίες σύσφιξης. ύο δίσοι µε ιµάν ι πιχνίδι ης σροφορµής () Άξονς Άξονς ίσος ίσος Σχήµ άση σήριξης Η ειονιζόµενη διάξη σο σχήµ είνι έν σύσηµ δύο οριζόνιων δίσων µε µάζες Μ, Μ ι ίνες,, συνεζευγµένων µε ιµάν, που µπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕΤΑΛΛΩΝ ΜΕ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ. Πλαστική παραμόρφωση με διατήρηση όγκου

ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕΤΑΛΛΩΝ ΜΕ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ. Πλαστική παραμόρφωση με διατήρηση όγκου ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕΤΑΛΛΩΝ ΜΕ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ Πλαστική παραμόρφωση με διατήρηση όγκου Περιοχή ευσταθούς πλαστικής παραμόρφωσης Η πλαστική παραμορφωση πέρα από το σημείο διαρροής απαιτεί την αύξηση της επιβαλλόμενης

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης

Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης Βιοφυσική & Νανοτεχνολογία Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης Ημερομηνία εκτέλεσης άσκησης... Ονοματεπώνυμα... Περίληψη Σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση με την χρήση

Διαβάστε περισσότερα

«Προσβλητική» και «απαξιωτική» ενέργεια

«Προσβλητική» και «απαξιωτική» ενέργεια Σκέψου ον πλανήη σου... ανακύκλωσε η ΦΩΝΗ σου Εβδομαδιαία πολιική εφημερίδα Πάρου - Ανιπάρου 67 ΧΡΟΝΙΑ αφιερωµένα σην ενηµέρωση Παρασκευή 1 Οκωβρίου 2010 Φύλλο 127 www.fonitisparou.gr Έος 65 ο Νέα Περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ποιότητας και Τεχνολογία Δομικών Υλικών

Έλεγχος Ποιότητας και Τεχνολογία Δομικών Υλικών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Έλεγχος Ποιότητας και Τεχνολογία Δομικών Υλικών Ενότητα 4: Δοκιμή Εφελκυσμού Χάλυβα Οπλισμού Σκυροδέματος Ευάγγελος Φουντουκίδης

Διαβάστε περισσότερα