Γιάννη Σ. Μπούταλη Αναπληρωτή Καθηγητή Δ.Π.Θ. ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ βοηθητικές σημειώσεις στο μάθημα ΣΑΕ ΙΙ

Transcript

1 Γιάννη Σ Μπούαλη Αναπληρωή Καθηγηή ΔΠΘ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ βοηθηικές σημειώσεις σο μάθημα ΣΑΕ ΙΙ Ξάνθη, Μάιος 7

2 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Σε αυό ο κεφάλαιο θα αναπυχθεί η γενική λύση ης εξίσωσης καάσασης ενός γραμμικού και χρονικά αμεάβληου ΓΧΑ συσήμαος Αρχικά, γίνεαι αναφορά σην ομογενή εξίσωση και έπεια ση μη ομογενή Λύση ης ομογενούς εξίσωσης καάσασης Πριν ην επίλυση ων διαφορικών εξισώσεων διανυσμάων πινάκων, ας γίνει μια ανασκόπηση σην επίλυση ων βαθμωών διαφορικών εξισώσεων a Σην επίλυση αυής ης εξίσωσης, μπορεί να υποεθεί μια λύση ης μορφής b b b bk Ανικαθισώνας αυή η λύση σην εξίσωση ο αποέλεσμα είναι b k b b kbk a b b b bk Εάν η υποιθέμενη λύση είναι πράγμαι η σωσή, όε η εξίσωση πρέπει να ισχύει για κάθε Επομένως, εξισώνονας ους συνελεσές ων ίδιων δυνάμεων προκύπει b ab b b ab ab a b a b b k k a b k! Η ιμή ου b καθορίζεαι ανικαθισώνας ο σην εξίσωση, δηλαδή b Επομένως, η λύση μπορεί να γραφεί ως εξής

3 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης a! k k a a k! a Ακολουθεί ώρα η επίλυση ης διαφορικής εξίσωσης διανυσμάων - πινάκων 4 όπου, είναι ένα n-διάσαο διάνυσμα και ένας n n σαθερός πίνακας Σε αναλογία με η βαθμωή περίπωση, γίνεαι η υπόθεση όι η λύση είναι ση μορφή μιας σειράς διανυσμάων και δυνάμεων ου, δηλαδή b b b bk 5 Ανικαθισώνας αυή η λύση σην εξίσωση 4 ο αποέλεσμα είναι k b b b kbk b b b bk 6 Εάν η υποιθέμενη λύση είναι πράγμαι η σωσή, όε η εξίσωση 6 πρέπει να ισχύει για κάθε Επομένως, εξισώνονας ους συνελεσές ων ίδιων δυνάμεων ου και σα δύο μέλη προκύπει b b b b b b b b b k k b k! Ανικαθισώνας ο σην εξίσωση 5 συνεπάγεαι πως b Επομένως, η λύση Μπορεί να γραφεί ως I k k! k!

4 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης Η έκφραση ης παρένθεσης ου δεξιού σκέλους ης ελευαίας εξίσωσης είναι ένας n n πίνακας Λόγω ης ομοιόηας με ην σειρά ων άπειρων δυνάμεων για ένα βαθμωό εκθεικό, ο πίνακας ονομάζεαι εκθεικός και γράφεαι! k! k k I Σε σχέση με ον εκθεικό πίνακα, η λύση ης εξίσωσης 4 μπορεί να γραφεί με ον ακόλουθο ρόπο 7 Επειδή ο εκθεικός πίνακας είναι πολύ σημανικός για ην ανάλυση σο χώρου καάσασης, παρακάω θα εξεασθούν οι ιδιόηές ου Εκθεικός πίνακας Μπορεί να αποδειχεί όι ο εκθεικός πίνακας ενός n n πίνακα Α k k k! k συγκλίνει πλήρως για όλα α πεπερασμένα Λόγω ης σύγκλισης ων άπειρων σειρών k k, οι σειρές μπορούν να διαφορισούν όρος προς όρο και να δώσουν k! k d d k k! k! k k I! k! k k I! k! Ο εκθεικός πίνακας έχει ην παρακάω ιδιόηα Αυό μπορεί να αποδειχθεί με ον ακόλουθο ρόπο: k k h h k k! h h! k h k! h! k h k h Έσω khm Τόε

5 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης k mk m k! m k! m! k m k m m m Συγκεκριμένα εάν είναι -, όε I Γι αυό ο λόγο, ο ανίσροφος ου είναι ο Επειδή ο ανίσροφος ου υπάρχει πάνα, ο είναι ομαλός ή αλλιώς μη ιδιόμορφος noningular Είναι πολύ σημανικό να θυμάαι κανείς όι B B B B αν ΑΒΒΑ αν B B Οι ιδιόηες αυές αποδεικνύοναι ως εξής: B B I B! B! B Γι αυό ο λόγο B B I I B!!!! B B B I B B!!!!! B B B B! B B B BB! B B Η διαφορά ανάμεσα σους B και B εξαφανίζεαι αν οι Α και Β είναι ανιμεαθεοί commu Προσέγγιση ης λύσης ης ομογενούς εξίσωσης καάσασης με μεασχημαισμό Laplac Ας εξεασεί αρχικά η βαθμωή περίπωση : a 8 Παίρνονας ο μεασχημαισμό Laplac ης εξίσωσης 8 ο αποέλεσμα είναι X ax 9 όπου X L [] Λύνονας ην 9 ως προς X προκύπει 4

6 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης X a a Ο ανίσροφος μεασχημαισμός Laplac ης ελευαίας εξίσωσης δίνει η λύση a Η προηγούμενη προσέγγιση ση λύση ης ομογενούς βαθμωής διαφορικής εξίσωσης μπορεί να επεκαθεί και σην ομογενή εξίσωση καάσασης Παίρνονας ο μεασχημαισμό Laplac και σο δύο μέλη ης παραπάνω εξίσωσης κααλήγει κανείς σην εξής σχέση όπου X L [] Επομένως X X I X Πολλαπλασιάζονας και α δύο μέλη ης ελευαίας εξίσωσης με προκύπει η σχέση I X I Ο ανίσροφος μεασχημαισμός Laplac ου X δίνει η λύση Δηλαδή, Σημειώσε όι [ I ] - L I I Επομένως ο ανίσροφος μεασχημαισμός Laplac ου I δίνει [ I ] I - L!! Ο ανίσροφος μεασχημαισμός Laplac ενός πίνακα είναι ένας πίνακας ο οποίος περιλαμβάνει ους ανίσροφους μεασχημαισμούς Laplac όλων ων σοιχείων Από ις εξισώσεις και, η λύση ης εξίσωσης παράγεαι ως εξής 5

7 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης Η σημασία ης εξίσωσης έγκειαι σο γεγονός όι παρέχει έναν εύκολο ρόπο για ην εύρεση ης κλεισής λύσης για έναν εκθεικό πίνακα Πίνακας μεάβασης καάσασης μεαβαικός πίνακας Η λύση ης ομογενούς εξίσωσης καάσασης μπορεί να γραφεί ως μπορεί να γραφεί ως όπου Φ 4 Φ είναι ένας n n πίνακας και είναι η μοναδική λύση ης εξίσωσης Φ Φ, Φ I Για να ο επιβεβαιώσεε, σημειώσε όι και Φ Φ Φ Έσι αποδεικνύεαι όι η εξίσωση 4 είναι η λύση ης εξίσωσης Από ις εξισώσεις 7, και 4 προκύπει Σημειώσε όι [ I ] - Φ L Φ Φ Από ην εξίσωση 4 παραηρεί κανείς όι η λύση ης εξίσωσης είναι ένας απλός μεασχημαισμός ης αρχικής συνθήκης Γι αυό ο λόγο ο μοναδικός πίνακας Φ καλείαι πίνακας μεάβασης καάσασης ή μεαβαικός πίνακας Ο πίνακας μεάβασης καάσασης περιλαμβάνει όλες ις πληροφορίες σχεικά με ους βαθμούς ελευθερίας ου συσήμαος που καθορίζεαι από ην εξίσωση Παράδειγμα Βρείε ον πίνακα μεάβασης καάσασης Φ ου συσήμαος 6

8 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης Βρείε επίσης ον ανίσροφο Φ Για ο σύσημα είναι Ο Φ δίνεαι από η σχέση [ ] I Φ - L Εφόσον είναι I ο ανίσροφος ου δίνεαι από η σχέση I I Επομένως, [ ] I Φ - L Επειδή είναι ο ανίσροφος προκύπει ως εξής: Φ Φ Φ Φ Επίλυση μη ομογενών εξισώσεων καάσασης Αρχικά εξεάζεαι η βαθμωή περίπωση bu a 5 7

9 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης Η εξίσωση 5 γράφεαι ως a bu 6 Πολλαπλασιάζονας και α δύο μέλη με a προκύπει a d d a a [ a ] [ ] bu Ολοκληρώνονας αυήν ην εξίσωση από έως, ο αποέλεσμα είναι ή a a bu d a a a bu d Ο πρώος όρος σο δεξί μέλος είναι η απόκριση σην αρχική συνθήκη και ο δεύερος όρος είναι η απόκριση σην είσοδο u Ας εξεασεί ώρα η μη ομογενής εξίσωση η οποία περιγράφεαι από ην εξίσωση Bu 7 όπου είναι ένα διάνυσμα n διασάσεων, u είναι ένα διάνυσμα r διασάσεων, είναι ένας n n σαθερός πίνακας και B είναι ένας n r σαθερός πίνακας Γράφονας ην εξίσωση 7 ως Bu και πολλαπλασιάζονας και α δύο μέλη με, προκύπει d d [ ] [ ] Bu Ολοκληρώνονας ην προηγούμενη εξίσωση από έως ο αποέλεσμα έχει ως εξής ή Bu d Bu d 8 8

10 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης Η εξίσωση 9 μπορεί επίσης να γραφεί και ως Φ Φ Bu d 9 όπου Φ Η εξίσωση 8 ή η 9 είναι λύσεις ης 6 Η λύση είναι προφανώς ο άθροισμα ενός όρου που αποελεί ην μεάβαση ης αρχικής καάσασης και ενός όρου που προκύπει από ο διάνυσμα εισόδου Προσέγγιση ης λύσης μη ομογενούς εξίσωσης καάσασης με μεασχημαισμό Laplac Η λύση ης μη ομογενούς εξίσωσης καάσασης Bu μπορεί να παραχθεί και με ην προσέγγιση ου μεασχημαισμού Laplac Ο μεασχημαισμός Laplac ης ελευαίας εξίσωσης οδηγεί ση σχέση ή X X BU I X BU Πολλαπλασιάζονας και α δύο μέλη ης ελευαίας εξίσωσης με προκύπει I X I I BU Χρησιμοποιώνας η σχέση που δίνεαι σην εξίσωση συνεπάγεαι ο αποέλεσμα [ ] [ ] BU X L L Ο ανίσροφος μεασχημαισμός Laplac ης ελευαίας εξίσωσης μπορεί να παραχθεί χρησιμοποιώνας η συνέλιξη ως ακολούθως Bu d Λύσεις με όρους ου 9

11 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης Μέχρι ώρα θεωρήθηκε όι ο αρχικός χρόνος ήαν μηδέν Εάν, παρόλα αυά, ο αρχικό χρόνος είναι και όχι μηδέν, όε η εξίσωση 8, που είναι η λύση ης 7 πρέπει να ροποποιηθεί σε o o d Bu Παράδειγμα Βρείε η χρονική απόκριση ου συσήμαος u όπου u είναι η μοναδιαία βημαική συνάρηση που εμφανίζεαι για ή u Για ο συγκεκριμένο σύσημα είναι, B Ο πίνακας ο οποίος υπολογίσηκε σο παράδειγμα είναι Φ Φ Η απόκριση ση μοναδιαία βημαική είσοδο υπολογίζεαι ως [] d ή 5 5 Σην ειδική περίπωση που η αρχική καάσαση είναι μηδέν, ή, η λύση μπορεί να απλοποιηθεί ως εξής 5 5 Σχόλιο Όαν ο δυναμικό σύσημα είναι ρίης ή μεγαλύερης άξης, η παραγωγή αναλυικών λύσεων σε προβλήμαα μεαβαικής απόκρισης είναι πολύ κουρασική Ο καλύερος ρόπος για ην επίλυση έοιων προβλημάων είναι η χρήση μεθόδων που επιυγχάνουν η λύση με η βοήθεια υπολογισή

12 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης Παράδειγμα εύρεσης ου με διάφορες μεθόδους Έσω ο ηλεκρικό κύκλωμα ου σχήμαος dv Επειδή ισχύουν οι σχέσεις i C V id d C Από ο νόμο άσεων προκύπει di όι i id V d με [,] και uv Ορίζονας b id, i L i, όε u Θα επιλύσουμε ις εξισώσεις καάσασης Α Με η μέθοδο Lvrir έχουμε - β± β 4αγ ± < α dsi- d, οπόε καά συνέπεια, εφαρμόζονας ον κανόνα Lvrir, SF F ΦS SI όπου F I α -ίχνοςf -ίχνος F F αi Α Ι και α - ιχνος F και έλος, για επαλήθευση F Α F Q I Ακολούθως αναλύουμε ο:

13 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης ΦS Φ λ, i i, i, S-λi i Φ lim S λ ΦS i i Δεδομένου όι ΦS S λi Φ lim S - Φ lim S - ΦS SI ΦS Η λύση ης ομογενούς είναι Φ L ΦS Φ Φ και η γενική λύση Φ Φ λbuλdλ λ λ Φ λbu λ d λ u d λ λ λ λ όπου λ λ dλ- dλ λ λ dλ dλ

14 Ι Μπούαλη Λύση ων εξισώσεων καάσασης και ελικά Β Με η μέθοδο ιδιοιμών Και οι δύο ρίζες ου χαρακηρισικού πολυώνυμου λ -, λ - είναι διακριές Βρίσκουμε ην λ λ I- - Έσω - όε Ομοίως λ λ I- - αν και - όε Σχημαίζουμε ον πίνακα M [ Πισοποιούμε όι dm Οπόε, - d M M