ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ETY-445 ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗ. Μέρος Α ( )

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ETY-445 ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μέρος Α ( )

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ I-1 Ρευσοµηχανική (Fluid Mechanics) είναι ο κλάδος ης εφαρµοσµένης µηχανικής (applied mechanics) που ασχολείαι µε ην συµπεριφορά αερίων και υγρών σε ισορροπία και κίνηση. Ρευσά σε ισορροπία εξεάζοναι σην Σαική Ρευσών (Fluid Statics), ενώ ρευσά σε κίνηση εξεάζοναι σην υναµική Ρευσών (Fluid Dynamics). H Σαική και η υναµική Ρευσών µαζί αναφέροναι σαν Ρευσοµηχανική (Fluid Mechanics). Ρευσά σε ισορροπία Σαική Ρευσών Ρευσά σε κίνηση υναµική Ρευσών Τι είναι ο ρευσό (fluid)? Παρακάω θα δώσουµε ένα πιό βασικό ορισµό για ο ρευσό. Από ην πλευρά ης θερµοδυναµικής οι καασάσεις ης ύλης είναι ρείς: σερεά, υγρά και αέρια. Οµως σην ρευσοµηχανική α αέρια και α υγρά ορίζοναι σαν ρευσά (οι καασάσεις ης ύλης που µπορούν να ρεύσουν κάω από ην επίδραση µίας µικρής δύναµης). Ως εκ ούου από ην πλευρά ης ρευσοδυναµικής οι καασάσεις ης ύλης είναι δύο: σερεά και ρευσά. Gas Liquid Solid Fluid

3 Σην ρευσοδυναµική ασχολούµασε µε µία µεγάλη γκάµα προβληµάων που µπορεί να είναι: - µελέη ροής αίµαος σε ριχοειδείς σωλήνες (capillaries of a few microns µ σε διάµερο). - µελέη ροής ακαέργασου περελαίου (crude oil) καά πλάος ης Αλάσκας (σωλήνες Κm σε µήκος και 1.5 m σε διάµερο). I-2 Τα προβλήµαα ρευσοδυναµικής χωρίζοναι σε (µικρο-προβλήµαα) micro-problems και µακρο-προβλήµαα macro-problems ο οποίο εξαράαι από ον ρόπο που α προσεγγίζουµε. ΜΙΚΡΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (MICRO-PROBLEMS µικρής κλίµακας) Σε έοια προβλήµαα ενδιαφερόµασε για ις µικρολεποµέρειες ης ροής (δοµή ης ροής). Αυές οι λεποµέρειες χρειάζοναι για ην περαιέρω ανάλυση ων φυσικών διεργασιών που είναι µέρος ου προβλήµαος (µεαφορά θερµόηας και µάζας και η δοµή ης ροής επηρεάζει πολύ αυά α φαινόµενα µεαφοράς).

4 Παράδειγµα 1: Ψύξη ρευσού (Cooling of a Fluid) Θέλουµε να ψύξουµε ένα ρευσό που ρέει σε ενα αγωγό δια µέσου ου οιχώµαος. Οι λεποµέρειες ης ροής χρειάζοναι για να υπολογίσουµε ον συνελεσή µεαφοράς θερµόηας (heat transfer coefficient, the ratio of the rate of heat removal per unit area to the temperature difference from the inside to the outside of the pipes). I-3 Figure I-1: Possible flow patterns near a wall Υπάρχουν δύο ρόποι. Σην εικόνα Ι-1 ο ρευσό ρέει παράλληλα µε ο οίχωµα και αυός ο ρόπος δεν είναι πολύ αποελεσµαικός επειδή µόνο ο σρώµα ου υγρού σε επαφή µε ο οίχωµα ψύχεαι. Οµως ση δεύερη περίπωση (αρχικά χωρίς ροή), ο υγρό κονά σο οίχωµα ψύχεαι, γίνεαι βαρύερο και καεβαίνει προς α κάω, ενώ ανέρχοναι θερµόερα σρώµαα (η πυκνόηα µειώνεαι µε ην θερµοκρασία). Το αποέλεσµα είναι ζώνες ανακύκλωσκς ου ρευσού όπως φαίνεαι σο σχήµα (recirculation zones). Αυός ο ρόπος είναι ένας πιο αποελεσµαικός ρόπος ψύξης.

5 I-4 Παράδειγµα 2: Η φυσική ου εγκεφαλικού ανευρύσµαος (Cerebral Aneurysm) Είναι µία ασθένεια ης αρηρίας η οποία εξασθενεί οπικά ο οίχωµα ης, µε αποέσµαα να δηµιουργεί εξογκώµαα. Οαν η αρηρία σπάσει µπορέι να επιφέρει και ον θάναο. Με η χρήση ης ρευσοδυναµικής µπορούµε να µελεήσουµε ις δυνάµεις που προέρχοναι από ην ροή και να καανοήσουµε πως αναπύσσεαι ο ανεύρυσµα µε απώερο σόχο ην πρόληψή ης. Figure I-2: Arterial bifurcation geometry and the development of cerebral aneurys

6 I-5 ΜΑΚΡΟ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (MACRO-PROBLEMS ΜΕΓΑΛΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ) Σε αυά α προβλήµαα δεν ενδιαφερόµασε για ις λεποµέρεις ης ροής αλλά για µακροσκοπικές ιδιόηες (ισχύς ανλίας, χρόνος για να ψύξουµε ένα ρευσό κλπ). Παραδειγµα 1: Ισχύς για ην µεαφορά ρευσού Ενα ρευσό µε γνωσές φυσικές ιδιόηες µεαφέρεαιι από ο σηµείο A σο σηµείο B (µεαφορά µαζού). Η ογκµερική παροχή και α µεγέθη ων σωλήνων είναι γνωσά. Υπολογίσε ην απαιούµενη ισχύ (power requirement). Figure I-3: Transfer of crude oil from point A to point B

7 ιάφορα άλλα παραδείγµαα: Χρησιµοποιώνας ις αρχές ης ρευσοδυναµικής µπορούµε να εξηγήσουµε πολλά φαινόµενα: - Γιαί α αεροπλάνα καασκευάζοναι µε αεροδυναµικές, λείες επιφάνειες, για πιο αποελεσµαική πήση? - Γιαί α µπαλακια ου golf γίνοναι µε ραχείες επιφάνειες για να αυξάνει ην αποελεσµαικόηα ους. Επίσης γιαί δίνεαι φάλσο σο µπαλλάκι, και όαν δοθεί ο µπαλλάκι παίρνει µία καµπυλόγραµµη ροχιά?. Η µπάλλα σο αµερικάνικο ποδόσφαιρο που µοιάζει σαν πεπόνι πειέαι πάνα µε φάλσο. Γιαί? Πως σουάρουν α φάουλ όσο αποελεσµαικά ο Ροναλνίνιο και ο Ζινάν? -Πως ένα ποάµι φαίνεαι όι έχει αρκεή αχύηα παρ όι η κλίση ου εδάφους δεν είναι οραή? - Πως ενας πύραθλος µπορεί να παράγει ώθηση (thrust) σο κενό (outer space)? I-6

8 ΑΝΑΣΚΟΠΙΣΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΩΝ ΓΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ I-7 Οι φυσικές ποσόηες σην θεωρία ων φαινοµένων µεαφοράς και ρευσοµηχανικής µπορούν να αξινοµηθούν σε - Αριθµηικά (µονόµερα ή βαθµωά) µεγέθη (Scalars, όπως θερµοκρασία, ενέργεια, όγκος). - ιανυσµαικά µεγέθη (Vectors, όπως αχύηα, ορµή, δύναµη). - Τανυσές ή ανυσικά µεγέθη (Second-order tensors, όπως διαµηική άση, ρυθµός ροής ορµής). Με α αριθµηικά (µονόµερα ή βαθµωά) µεγέθη υπάρχει µόνο ένας ρόπος πολλαπλασιασµού, όµως µε α διανυσµαικά και ανυσικά µεγέθη υπάρχουν οι εξής ρόποι: - single dot. (εσωερικό γινόµενο) - double dot : (διπλό γινόµενο) - cross x : (εξωερικό γινόµενο) Οι παρακάω ύποι παρένθεσης θα χρησιµοποιηθούν για να δηλώσουν α αποελέσµαα ων διαφορεικών πράξεων. ( ) Αριθµηικό µέγεθος (u. w), (σ : ) [ ] ιανυσµαικό µέγεθος [ u x w], [. u] { } Τανυσικό µέγεθος {σ. }

9 I-8 Το σύµβολο πολλαπλασιασµού µπορεί να ερµηνευεί σύµφωνα µε α παρακάω: Σηµείο ή σύµβολο πολλαπλασιασµού None Τάξη (Order) of Result x Σ-1. Σ-2 : Σ-4 Σ Παραδείγµαα: s η άξη είναι 0+22 δεύερης άξης (ανυσής) uxw η άξη είναι πρώης άξης (διάνυσµα) σ: η άξη είναι µηδενικής άξης (αριθµηικό µέγεθος)

10 I-9 Scalars: µονόµερα ή βαθµωά) µεγέθη (Scalars, όπως θερµοκρασία, ενέργεια, όγκος Ορισµός ιανύσµαος: Μία ποσόηα που έχει ένα συγκεκριµένο µέγεθος και διεύθυνση. u είναι ο µέγεθος ου διανύσµαος u ύο διανύσµαα είναι ίσα όαν α µεγέθη ους είναι ίσα και οι διευθύνσεις ους συµπίπουν. Το διάνυσµα µπορεί να γραφέι ως εξής: F a ˆi +b ˆj + c κˆ ( a, b, c ) όπου i, j, and κ είναι α µοναδιαία διανύσµαα (unit vectors) σε x, y, και z ανίσοιχα. Το µέγεθος ου F είανι ο µήκος ουο οποίο από ο Θεώρηµα ου Πυθαγόρα, F a + b + c

11 Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάων: I-10 Εσωερικό γινόµενο (single dot) δύο διανυσµάων: (u. w) u w cos(φ) Μεαθεικός (commutative) (u. v) (v. u) Μη-προσεαιρισικός (not associative) (u. v) w u(v. w) Επιµερισικός (distributive) (u. [v + w]) (u. v) + (u. w)

12 Εξωερικό γινόµενο (Cross Product ) δύο διανυσµάων: I-11 [uxw] u w sin(φ) n όπου n είναι ένα µοναδιαίο η κανονικό διάνυσµα (unit vector) κάθεο (normal) σο επίπεδο που περιέχει α u and w και έχει έοια διεύθυνση, που ένας δεξιόσροφος κοχλίας (right-handed screw) θα µεακινόαν εάν σρέφαµε ο u προς ο w µε ον συνοµόερο ρόπο. Οι συνισώσες από αυό ο γινόµενο είναι: ˆi ˆj κˆ u u u ˆi ( u w - w u )- ˆ j( u1 w3 - w1 u3 )+ κ( u1 w2 - w1 u2 ) ˆ w 1 w 2 w 3 Μη-µεαθεικός (not commutative) [uxw] -[wxu] Μη-προσεαιρισικός (not associative)[u x [v x w]] [[u x v] x w] Επιµερισικός (distributive)[[u + v] x w] [u x w] + [v x w]

13 ΤΑΝΥΣΤΕΣ I-12 Ενα διάνυσµα, u, ορίζεαι απο ις ρείς συνισώσες ου u 1, u 2, and u 3. Οµοια, ένας ανυσής ορίζεαι από εννέα συνισώσες ή σοιχεία (nine components) Τα σοιχεία 11, 22, και 33 λέγοναι διαγώνια, ενώ α άλλα µη-διαγώνια.. Εάν 12 21, 31 13, και όε ο ανυσής λέγεαι συµµερικός (symmetric). Ο ανάσροφος ανυσής (transpose) ου ορίζεαι ως: * Εάν είναι συµµερικός, όε *.

14 I-13 Ενα παράδειγµα απο ην ρευσοδυναµική είναι ο ανυσής άσης, σ, ο οποίος ορίζει ις δυνάµεις ανά µονάδα επιφάνειας που ασκούναι σε ένα υλικό. σ x x σ x y σ x z σ σ y x σ y y σ y z σ z x σ z y σ z z Ενα άλλο παράδειγµα είναι ο ανυσής ρυθµού διάµησης (rate-of-strain tensor), γ&, ο οποίος ορίζει ις παραµορφώσεις σε ένα ρευσό σε κίνηση.

15 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ (VECTOR DIFFERENTIAL OPERATIONS) I-14 Ο ελεσής ανάδελα del (operator) ορίζεαι (είναι διάνυσµα) ως: ˆ i x + ˆ j x + kˆ 1 2 x 3 Η κλίση αριθµηικού (βαθµωού) πεδίου (gradient of a scalar field): ˆ s s i x + ˆj s + κˆ s 1 x 2 x 3 Μη-µεαθεικός (not commutative) Μη-προσεαιρισικός (not associative) Επιµερισικός (distributive) s s L ( r)s (rs) (r+s) r + s Παράδειγµα: Σε προβλήµαα µεαφοράς θερµόηας ενδιαφερόµασε να υπολογίσουµε µεαφορά ενέργειας. Η ποσόηα αυή δίνεαι από heat flux, q", ο οποίο ορίζεαι: q" - k T - k T x T + y T + z

16 I-15 Η απόκλιση διανυσµαικού πεδίου (divergence of a vector field): [ ] z v + y v + x v v, v, v z, y, x ). ( v or [ ] z v + y v + x v v, v, v. z y x z y x z, y, x ). ( v Αυή η ποσόηα υπολογίζει αλλαγές όγκου σο ρευσό. Εσι, Εάν. v 0 η ροή είναι ασυµπίεση. Μη-µεαθεικός (not commutative) (. u ) ( u. ) Μη-προσεαιρισικός (not associative) (. s ) u ( s. u ) Επιµερισικός (distributive). ( u + w ) (. u ) + (. w )

17 I-16 O σροβιλισµός διανυσµαικού πεδίου (curl of a vector field): x v (αχύηα).το cross product δύο διανυσµάων είναι ένα διάνυσµα.. Αυή η ποσόηα µας ενδιαφέρει σην ρευσοµηχανική επειδή ο υπολογισµός ης µας δίνει πληροφορίες για ο εάν η ροή είναι άριβη (frictionless): y - x + x - z + z - y z y x v v ˆ v v ˆ v v ˆ v v v ˆ ˆ ˆ κ j i κ j i Η κλίση ενός διανύσµαος (Gradient of a Vector (Velocity)): Αυός είναι ένας ανυσής : z v y v x v z v y v x v z v y v x v v Η κλίση αχύηας δείχνει πως οι ρεις συνισώσες ης αχύηας αλλάζουν σις ρεις καευθύνσεις, πολύ χρήσιµο για να υπολογίσουµε παραµορφώσεις σε ένα ρευσό.

18 I-17 Tο υαδικό γινόµενο δύο διανυσµάων (Dyadic Product): Θεωρούµε δύο διανύσµαα u (u 1, u 2, u 3 ) και v (v 1, v 2, v 3 ). Το δυαδικό γινόµενο είναι ένας ανυσής που οριζεαι ως: v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u

19 I-18 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ (COORDINATE 1. Cartesian (x, y, z) SYSTEMS)

20 2. Cylindrical Coordinates Κυλινδρικές συνεαγµένες (cylindrical coordinates) I-19 Οι ιµές ων r, θ, and z ανί ων x, y, and z. Από απλή γεωµερία οι εξής παρασάσεις µπορούν να γραφούν: x r cosθ r + x 2 + y 2 y rsinθ θ arctan (y/x) z z z z

21 Σφαιρικές συνεαγµένες (spherical coordinates) I-20 Οι σφαιρικές συνεαγµένες συσχείζοναι µε ις ανίσοιχες καρεσιανές σύµφωνα µε ις εξής σχέσεις: x r sinθ cosφ r + x 2 + y 2 + z 2 y rsinθ sinφ θ arctan ( x 2 + y 2 /z ) z rcosθ φ arctan(y/z)

22 I-21

23 I-22

24 I-23

25 I-24

26 I-25

27 ΙΙ 1

28 ΟΡΙΣΜΟΣ ΡΕΥΣΤΟΥ ΙΙ 2 Ρευσό (fluid) είναι ο υλικό ο οποίο παραµορφώνεαι αδιάκοπα (deforms continuously) κάω από ην επίδραση µίας διαµηικής άσης όσο µικρή και να είναι αυή. Εσι ένα ρευσό δεν µπορεί να ανισαθεί σε δυνάµεις. Για καλύερη καανόηση θεωρήσε ο πείραµα απλής διάµησης µεαξύ δύο παράλληλων πλακών. x παραµόρφωση deformation ΣΤΕΡΕΟ: Εξασκώνας µία σαθερή δύναµη, µπορούµε να παραµορφώσουµε ο υλικό καά x. Τα σερεά µπορούν να ανισαθούν σε δυνάµεις. x/ t Ρυθµός παραµόρφωσης Rate of deformation ΡΕΥΣΤΟ: Τα ρευσά δεν µπορούν να ανισαθούν. Μία δύναµη F µπορεί να παραµορφώσει ο ρευσό αδιάκοπα.

29 ΙΙ 3 Η διαµηική άση (shear stress) ορίζεαι: S h e a r S t r e s s A F ( F o r c e ) ( W e t t e d A r e a ) Μία σαθερή διαµηική άση µπορεί να επιφέρει µία µικρή παραµόρφωση (όχι µόνιµη) σε ένα σερεό, αλλά µπορεί να επιφέρει αδιάκοπη και µόνιµη παραµόρφςση σε ένα ρευσό.. Stress Deformation, x Hook's law (Hookean solid) Stress Rate of Deformation, x / t Newton's law (Newtonian fluid)

30 ΙΙ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΑ ΩΝ (SYSTEMS OF UNITS) Πένε είναι οι βασικές διασάσεις (fundamental, primary dimensions) που χρησιµοποιούναι σην ρευσοµηχανική, οι ακόλουθες: (i) Μήκος (L) (ii) Μάζα (M) (iii) Χρόνος (t) (iv) ύναµη (F) (v) Θερµοκρασία (T) Αυές οι ποσόηες (εκός θερµοκρασίας)σχείζοναι µεαξύ ους µε ον δεύερο νόµο ου Νεύωνα (Newton's second law), που είναι: F m α Ολες οι άλλες µονάδες µπορούν να παραχθούν από αυές. S.I. System (Standard International): 1 Newton δύναµης 1 N 1kg. 1 m/s 2 The English Chemical Engineering System: 1 pound δύναµης 1 lbf 1 slug. 1 ft/s N όπου 1 slug είναι ισοδύναµο µε kg.

31 ΙΙ 5 SYSTEM Length Time Mass Force Temperature S.I. (Standard International) m s kg N K BG (British Gravitational) ft s slug lb f o R 1K1.8 o R Ενέργεια: 1 Btu 778 ft.lb f 1 J 1 N.m 1 kcal 4187 J Μάζα: Prefixes: 1 slug kg T tera G 10 9 giga M 10 6 mega k 10 3 kilo c 10 2 centi m 10-3 milli µ 10-6 micro n 10-9 nano p pico

32 ΙΙ 6 ΠΕ ΙΟ ΤΑΧΎΤΗΤΑΣ (VELOCITY FIELD) Η περιγραφή ου πεδίου αχύηας είναι ένας από ις έγνοιες (σκοπούς) ης ρευσοµηχανικής. Ταχύηα σε ένα σηµείο ου ρευσού µπορεί να ορισθεί σαν η σιγµιαία αχύηα ου σωµαιδίου ου ρευσού σην συγκεκριµένη σιγµή που περνάει από ο συγκεκριµένο σηµείο. Μία αχύηα ορίζεαι για κάθε σηµείο. Η αχύηα µπορεί να είναι διαφορεική σε διαφορεικά σηµεία και σιγµές ης ροής. Για µία γενική περιγραφή χρειαζόµασε: V V ( x, Εάν οι ιδιόηες ης ροής δεν αλλάζουν µε ο χρόνο, όε η ροή λέγεαι µόνιµη (steady flow) V V ( Για µόνιµες ροές (For steady flows), όλες οι ιδιόηες ου ρευσού είναι σαθερές, έσι V t που σηµαίνει καµµία αλλαγή ης αχύηας µε ο χρόνο, και ρ t που σηµαίνει καµµία αλλαγή ης πυκνόηας µε ο χρόνο. y, x, z, 0 0 y, t ) z )

33 ΙΙ 7 ΜΟΝΟ-, Ι-, ΚΑΙ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΡΟΕΣ Μία ροή µπορεί να καηγοριοποιηθεί σαν µονο, δι, ή ρισδιάσαη ροή. Αυό εξαράαι από ον αριθµό ων συνεαγµένων που απαιούναι για να περιγραφεί πλήρως ο πεδίο αχύηας. Εσι, V V ( x, y, z, t ) 3 - D unsteady V V ( x, y, z ) 3 - D steady V V ( x, t ) 1 - D unsteady V V ( x ) 1 - D steady Παράδειγµα µονοδιάσαης, µόνιµης ροής (1-D steady-state) είαι η ροή µέσα από κυλινδρικό αγωγό. Εάν ο αγωγός είναι µακρύς όε σε κάθε z- θέση η καανοµή ης αχύηας (velocity profile) είναι η ίδια και δίνεαι από: υ z υz, max 1- r R 2 Που µας λέει όι η αχύηα είναι συνάρηση ου r, έσι µονοδιάσαη, µόνιµη ροή. Η µόνη µη-µηδενική συνισώσα ης αχύηας είναι αυή σην z-καεύθυνση.

34 ΙΙ 8 Παράδειγµα διδιάσαης ροής είναι η ροή σε ένα σωλήνα µε σένεµα ή διασολή u z u z ( r, z ) u r u r ( r, z ) Εδώ έχουµε δύο µη-µηδενικές συνισώσες ης αχύηας σην z, και r καευθύνσεις. Λόγω συµµερίας, u θ 0, u z u z ( θ ), u r u r ( θ ) Βλέπε σο σχήµα για ο πως η καανοµή ης αχύηας αλλάζει σαν συνάρηση ου z. Σένεµα Contraction ιασολή Expansion

35 ΙΙ 9 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ (KINEMATICS) Κινηµαική προέρχεαι από ην ελληνική λέξη kinesis που σηµαίνει motion. Ορίζεαι σαν η επισήµη που ασχολείαι µε ην κίνηση ων ρευσών χωρίς αναφορά σις δυνάµεις που προκαλούν ην κίνηση. Είναι χρήσιµη: - Για ην ανάπυξη µίας ποσοικής θεωρίας ρευσοµηχανικής. - Για ην ερµηνεία πειραµαικών δεδοµένων από οπικά πειράµαα (visualization experimental methods) για ον καθορισµό ης δοµής ης ροής. οµές ροής (Flow Patterns) Για ον καθορισµό ων δοµών ροής (flow patterns) είε πειραµαικά είε αριθµηικά είε αναλυικά χρησιµοποιούµε έσσερεις διαφορεικές γραµµές δοµής (pattern lines). Αυές είναι οι ακόλουθες: οι χρονικές γραµµές (timelines), α µονοπάια (pathlines), οι ροικές γραµµές (streamlines) και οι δεσµικές γραµµές (streaklines).

36 ΙΙ 10 i. Χρονική γραµµή (Timeline): Μία χρονική γραµµή είναι ένα σύνολο σωµαιδίων ου ρευσού που σχηµαίζουν µία γραµµή σε µία δεδοµένη σιγµή. Σην χρονική σιγµή tt 0 η γραµµή ορίζεαι και η κίνησή ης ακολουθείαι σην συνέχεια. µία χρονική γραµµή σε διαφορεικούς χρόνους

37 ΙΙ 11 ii. Ροίκή γραµµή (Streamline): Είναι µία γραµµή που είναι πανού εφαποµένη σο διάνυσµα αχύηας σε κάθε δεδοµένη σιγµή (σε κάθε σηµείο ου ρευσού ένα διάνυσµα αχύηας µπορεί να ορισθεί). Θεωρείσε ην αχύηα V σε κάποιο σηµείο µε συνισώσες V (u, v, w) (u, v, w), και ο διάνυσµα θέσης (position vector) dr (dx, dy, dz). Η αχύηα, V, σ αυό ο σηµείο είναι παράλληλη ου dr, έσι ώσε V x dr 0. Από αυή η σχέση µπορούµε να εξάγουµε ην ακόλουθη εξίσωση για η ροική γραµµή. dr iˆ ˆj ˆ κ u v w iˆ ( v dz - w dy) + ˆj ( w dx - u dz) + ˆ κ ( u dy - v dx ) dx dy dz ή θέονας ην ιση µε ο µηδέν µπορούµε να πάρουµε. dx u dy v Για να βρούµε ην εξίσωση ης ροικής γραµµής, πρέπει να ολοκληρώσουµε αυές ις εξισώσεις. dz w

38 ΙΙ 12 iii. Μονοπάι (Pathline): Είναι ο πραγµαικό µονοπάι που ακολουθεί ένα σωµαίδιο ου ρευσού. Η θέση ης γραµµής αυής εξαράαι από ο σωµαίδιο που διαλέγουµε να ακολουθήσουµε και η χρονική περίοδο καά ην οποία ακολουθούµε ο σωµαίδιο. Οι εξισώσεις είναι: Pathline. t t' t 0. d d x u( t x, y, z) d d y v( t x, y, z) d d z w( t x, y, z) or x udt y vdt z wdt Ολοκληρώνονας αυές ις εξισώσεις µε ην αρχική συνθήκη (x 0, y 0, z 0, t 0 ) που ορίζεαι από ην αρχική θέση ου σωµαιδίου, και ην αρχική χρονική σιγµή. Σην συνέχεια ο χρόνος απαλείφεαι για να πάρουµε ην εξίσωση µονοπαιού, f(x,y,z). Πειραµαικά, ένα µονοπάι µπορεί να αυοποιηθεί µε ένα ρευσό που περιέχει κάποιο φωσφορίζον υλικό (luminous dye) ο οποίο εισάγεαι σιγµιαία σε κάποιο σηµείο ου ρευσού και σην συνέχεια παίρνουµε φωογραφία µε ον φωοφράκη ανοικό για µεγάλο διάσηµα (long exposure photograph, shutter open).

39 ΙΙ 13 iv. εσµική γραµµή (Streakline): Είναι η γραµµή που ενώνει ην προσωρινή θέση όλων ων σωµαιδιίων που περάσανε από ένα συγκεκριµένο σηµείο ου ρευσού. Μία σήλη καπνού (plume of smoke or dye) που εισάγεαι ακαριαία σε ένα σηµείο δίνει ην δεσµική γραµµή και ο πως αυή µεακινείαι. Το διάγραµµα παρακάω επεξηγεί µονοπάια και δεσµικές γραµµές για µία µη µόνιµη ροή. Για µόνιµη ροή οι ροικές γραµµές, οι δεσµικές γραµµές και α µονοπάια συµπίπουν. θ 1 > θ 2 > θ 3 > θ 4 Αυοί είναι οι χρόνοι σους οποίους α διάφορα σωµαίδια πέρασαν δια µέσου ου σηµείου O. t 2 Streakline Pathlines O(x,y) θ 3 θ 2 θ 1 θ o t 1 tθ

40 ΙΙ 14 EXAMPLE: Streamlines and Pathlines in Two-dimensional Flow A velocity field is given by V axi - ayj; where x, y are given in meters and a0.1 s -1. i. Obtain an equation for the streamlines in the xy plane. The equation for the streamline is: dy dx v u - a y a x - y x Separating variables, we get dy y - dx x or ln y - ln x + c 1 or xy c ii. Plot the streamline passing through the point (x 0, y 0, 0)(2, 8, 0) For the streamline passing through the point (x 0, y 0, 0)(2, 8, 0) the constant, c, has the value of 16 and the equation of the streamline is xy16 m 2. iii. Determine the velocity of a particle at the point (2,8,0)

41 ΙΙ 15 The velocity is V 0.2 i j which is readily obtained. Thus u0.2 m/s and v-0.8 m/s iv. If the particle passing through the point (x 0, y o, 0) is marked at time t 0 0, determine the location of the particle at time t20 s. A particle moving in the flow field will have velocity Vaxi - ayj. The equations for the pathline are: u dx dt Integrating ax v dy dt - a y x t dx a dt x 0 x0 0 y y dy y t 0 - a dt or x ln a t x0 ln or x x a t 0 e y y 0 - a t y y 0 e - a t At t20 s x2e (0.1) m and y8e -(0.1) m. Thus at t20 s the particle will be at the position (14.8, 1.08, 0) m

42 ΙΙ 16 v. What is the velocity of the particle at t20 s. Since the location of the particle at that instant is known, one can readily obtain V1.48i j m/s. vi. Show that the equation of the pathline is the same as the equation of the streamline. The equation of the streamline is xy16. Using the two parametric equations which were derived for the pathline and eliminating time, one may end up with xy16. For example, multiply these two equations to get x y x 0 y 0 2x8 16 m 2.

43 ΙΙΙ 1 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΓΙΑ ΤΟ ΙΞΩ ΕΣ ΙΞΩ ΕΣ ΚΑΙ ΙΞΩ ΕΙΣ ΤΑΣΕΙΣ (VISCOSITY & VISCOUS STRESSES) Τα περισσόερα φαινόµενα ση φύση συµπεριφέροναι σύµφωνα µε ον εξής βασικό νόµο: result flux or transfer inverse coeff. resistance or cause or gradient συνελεσ ής ( απο έλεσµα ) ( αίιο ) µεαφορ άς Για παράδειγµα η θερµόηα ρέει λόγω µιας θερµοκρασιακής διαφοράς διά µέσου ενός µέσου συγκεκριµένης θερµικής αγωγιµόηας. Εσι ο heat flux (ρυθµός θερµικής ενέργειας ανά µονάδα επιφάνειας) είναι ο αποέλεσµα και η θερµοκρασιακή διαφορά ο αίιο. Παρόµοια, κοµµάια πάγου ολισθαίνουν λόγω ου λεπού σρώµαος νερού, που σχηµαίζεαι λόγω ης αυξηµένης πίεσης, όπως φαίνεαι σο σχήµα. Η διαµηική άση που προκαλέι η ροή είναι: W cosφ W sin φ (κάθεη άση) P and (διαµηική άση) S L S L Γωνία µε ην οριζόνια

44 ΙΙΙ 2 Παρόµοια, ο βούυρο και ο µέλι µπορούν να επαλειφθούν (ρεύσουν) πάνω σε φέες ψωµιού µε ην διαµηική δράση ου µαχαιριού. Εσι, η εφαρµογή µιας εξωερικής διαµηικής άσης (external shear stress,, ) προκαλεί ροή ρευσού. Σε αναφορά µε ον βασικό νόµο, η ροή ρευσού είναι ο αποέλεσµα, η διαµηική άση είναι ο αίιο και η ανίσαση ση ροή λέγεαι ο ιξώδες (viscosity) (ιδιόηα ου ρευσού). Σην πραγµαικόηα ο αποέλεσµα είναι η µεαφορά ορµής και ο αίιο είναι η κλίση αχύηας (velocity gradient), που ορίζει ον νόµο ου Νεύωνα για ο ιξώδες (Newton's law of viscosity). Momentum transfer viscosity velocity gradient (Result) (Cause)

45 ΙΙΙ 3 Για καλύερη καανόηση ου µηχανισµού ροής, θεωρούµε ο εξής πείραµα. Θεωρούµε ένα ρευσό µεαξύ δύο πλακών επιφάνειας A, σε απόσαση Y. Ση χρονική σιγµή t0, η κάω επιφάνεια µεακινείαι µε αχύηα V. Αρχικά µόνο α σρώµαα ου ρευσού κονά σην κινούµενη επιφάνεια κινούναι, α οποία ση συνέχεια µεαδίδουν ην ορµή ους σε άλλα σρώµαα. Μεά από πεπερασµένο χρόνο, µία µόνιµη καανοµή αχύηας (γραµµική) επιβάλλεαι σο ρευσό (steadystate velocity profile). Σ αυό ο πείραµα µία σαθερή δύναµη F απαιείαι για ην κίνηση ης κάω επιφάνειας. Αυή έχει βρεθεί να είναι: F V or F A ή σην περίπωση πολύ µικρών αλλαγών V Y

46 ΙΙΙ 4 du µ dy Η δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας (shear stress) είναι ανάλογη ης κλίσης αχύηας και µ είναι ο ιξώδες ου ρευσού. F/A είναι η διαµηική άση σην x-καεύθυνση σε µία επιφάνεια σαθερού y ή σε µία επιφάνεια κάθεη σην y καεύθυνση. d u y x µ d y Αυός είναι ο νόµος ου Νεύωνα σε 1-D ροές. Η ποσόηα du/dy λέγεαι ρυθµός διάµησης (shear rate or deformation rate, velocity gradient). Ρευσά που υπακούν αυό ον νόµο λέγοναι Νευώνεια ρευσά (Newtonian fluids), ενώ α υπόλοιπα µη Νευώνεια ρευσά (non- Newtonian fluids). flux.. Η διαµηική άση, yx, συχνά λέγεαι viscous flux or momentum Momentum flux Momentum Area.time m u A t m ( u/t A ) mα A - Η ορµή µεαφέρεαι απο µία περιοχή µεγάλης αχύηας σε µία περιοχή µικρόερης αχύηας (Driving force for momentum transport is the velocity gradient). -Ενα έλκυθρο γλυσράει από µεγαλύερο ύψος πρός µικρόερα ύψη. F A

47 ΙΙΙ 5 -Η θερµόηα µεαφέρεαι από µία περιοχή µεγαλύερης θερµοκρασίας προς µικρόερης θερµοκρασίας. Για ην απλή διάµηση που εξαάσηκε πριν, vw0, η διαµηική άση είναι σαθερή, έσι µ du / dy µπορεί να du dy / µ const b / or u a + by ολοκληρωθεί για να προκύψει η καανοµή ης αχύηας χρησιµοποιώνας ην οριακή συνθήκη µηολίσθησης (no-slip boundary condition). Εσι, Θέουµε u0 at y0 (no-slip) και uv at yh. Η καανοµή αχύηας είναι: y u V h (γραµµική) Ο λόγος, µ, (ιξώδες) προς ην πυκνόηα λέγεαι κινηµαικό ιξώδεσ, ν, ν µ ρ.

48 ΙΙΙ 6 ΜΟΝΑ ΕΣ ΤΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΠΟΣΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟΝ ΝΟΜΟ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Quantity S.I. CGS BG yx PaN/m 2 dyn/cm 2 lbf / ft 2 u m/s cm/s ft/s y m Cm ft µ Pa.s (dyn/cm 2 ).s (lbf / ft 2 )s v m 2 /s cm 2 /s ft 2 /s In CGS: dyn.s/cm 2 gr.cm -1.s -1 poise (µονάδα ιξώδους) Πολλές φορές χρησιµοποιούµε ο centipoise (1 cp0.01 p)

49 ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΣΤΟ ΙΞΩ ΕΣ ΙΙΙ 7 Το ιξώδες ων αερίων αυξάνει µε ην θερµοκρασία, ενώ ων υγρών µειώνεαι. In gases momentum is transferred through molecular collisions. Thus, an increase of temperature increases the number of molecular collisions which increases the resistance to flow and as a result gases at a higher temperature appear to have a higher viscosity. In liquids the molecular collisions are overshadowed by the effects of interacting fields among the closely packed liquid molecules. An increase of temperature in general increases the free volume in liquids and in general decreases molecular collisions and interaction intermolecular forces. These effects are reflected upon a decrease of the viscosity of liquids. Η εξίσωση Arrhenius χρησιµοποιείαι για ο ιξώδες ων υγρών (the viscosity of liquids), που είναι: A exp B RT µ or ln µ ln A + όπου µ είναι ο ιξώδες ση θερµοκρασία T, και A και B σαθερές. Εάν υπάρχουν πειραµαικά δεδοµένα όε ο lnµ versus 1/T απεικονίζεαι και οι παράµεροι A και B µπορούν να υπολογισθούν: B R 1 T

50 ΙΙΙ 8 ln µ ln Μία άλλη εξίσωση είναι: A+ B R T ln µ T a + b T µ o o T + c T Για α αέρια (gases) η εξίσωση Sutherland χρησιµοποιείαι: o 2 µ µ o T T o ( T T ) 3 / 2 ( T + S) o n o T + S power όπου n και S είναι εµπειρικές σαθερές. law Sutherland law

51 ΙΙΙ 9 µ, C T, C p C Fluid Viscosity nondimentionalized by critical-point properties ( ± 20% )

52 ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΣΤΟ ΙΞΩ ΕΣ ΙΙΙ 10 Για µέριες πιέσεις ο ιξώδες ων ρευσών είναι ανεξάρηο ης πίεσης. Σε υψηλές πιέσεις γενικά ο ιξώδες αυξάνει µε ην πίεση. Μία υπική εξίσωση που χρηιµοποιείαι είναι, µ µ exp ( β P ) or ln µ ln µ + β P P 0 P 0 όπου µ P είναι ο ιξώδες σε πίεση P, µ 0 είναι ο ιξώδες σε αµοσφαιρική πίεση και β είναι ο συνελεσής εξάρησης ου ιξώδους από ην πίεση. Παραδείγµαα 1. Αt 30 0 C, the viscosity of toluene changes from 5220 µp to 8120 µp when the pressure changes from 0.1 MPa to 63.5 MPa. 2. Τhe viscosity of water doubles by increasing the pressure from 1 atm to 10,000 atms. 3. In addition increasing pressure from 1 to 50 atm would cause an increase of the air viscosity by 10%. Generally speaking these effects are small.

53 ΙΙΙ 11 FB x 1 mm

54 ΙΙΙ 12 According to Eqn.(1.26) the shear stress for a Newtonian liquid is given by du µ x dy yx µ V h Which is integrated to yx ux y + c µ Where c is an arbitrary constant, which turns out to be zero using the noslip boundary condition. Thus, yx 313 u x ( y) y y (175,000y) m / s µ The sliding speed, U, of the iceberg, located a distance H0.001 mm over the motionless surface is: Uu x (y1mm)175 m/s

55 ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ ΡΕΥΣΤΑ ΙV 1 Σύµφωνα µε ον νόµο ου Νεύωνα για ο ιξώδες ένα διάγραµµα ου yx versus du x /dy για ένα ρευσό δίνει µία γραµµική εξάρηση. Η κλίση είναι ίση µε ο ιξώδες ου ρευσού σε µία ορισµένη θερµοκρασία και πίεση. Αυό ισχύει για όλα α αέρια και για οµογενή (homogeneous), µη πολυµερικά (non-polymeric) µικρού µοριακού βάρους υγρά. Υπάρχουν όµως πολλά ρευσά α οποία δεν υπακούουν ο νόµο ου Νεύωνα. Αυά αναφέροναι σαν µη Νευώνεια ρευσά (non-newtonian fluids). yx Slopeµ du x /dy Newton's law (Newtonian fluid) du x yx µ dy

56 ΙV 2 Η µελέη ων µη-νευώνειων ρευσών είναι ο ανικείµενο ης επισήµης ης ρεολογίας (rheology). Ορίζεαι σαν η επισήµη που εξεάζει ην παραµόρφωση ων υλικών κάω από ην επίδραση δυνάµεων. Η µόνιµη ρεολογική συµπεριφορά ων περισσόερων ρευσών µπορεί να εκφρασθεί ως: xy d ux η, η f ( du d y x / dy ) όπου η είναι ο ιξώδες ο οποίο γενικά εξαράαι από ην διαµηική άση ή ον ρυθµό διάµησης, du x /dy. Σύµφωνα µ αυή ην εξάρηση α ρευσά µπορούν να αξινοµηθούν σε: i. Νευώνεια (Newtonian): Εάν ο η είναι ανεξάρηο ου du x /dy, ηµconstant. Examples include all gases, low molecular weight homogeneous liquids, water, oils and other simple liquids. ii. Ψευδοπλασικά (Pseudoplastic): Εάν ο η µικραίνει µε ην αύξηση ου du x /dy, - επίσης γνωσά σαν ρευσά διαµηικής λέπυνσης (shearthinning). Examples include polymers, colloidal solutions, paints, and some food sauces. iii. ιασαλικά (Dilatant): Εάν ο η αυξάνει µε αύξηση ου du x /dy - επίσης γνωσά σαν ρευσά διαµηικής πάχυνσης (shear thickening). Examples include suspensions of starch, dispersions, and certain blends.

57 ΙV 3 Το µονέλο Ostwald-de Waele (power-law) χρησιµοποιείαι συχνά για ην ρεολογική συµπεριφορά ων ρευσών: y x K du dy x n-1 du dy x (power-law model) όπου η είανι ο ιξώδες που δίνεαι από: η K du dy x n-1 K είναι is the consistency index, και n είναι ο εκθέης. ιακρίνουµε ις εξής περιπώσεις: n1 Newtonian n>1 Dilatant or shear-thickening n<1 Pseudoplastic or shear-thinning iv. Ρευσά Bingham: Υπάρχει µία καηγορία ρευσών α οποία συµπεριφέροναι σαν σερεά όαν η δαιµηική άση είναι µικρόερη από µία κρίσιµη ιµή και σαν ρευσά για µεγαλύερες Αυή λέγεαι άση διαρροής (yield stress). Η πιό απλή συµπεριφορά δόνεαι από ο µονέλο Bingham: d u dy yx x 0 d u 0 + η 0 dy x if if yx < 0 y x > no flow ( solidlike behaviour) o 0 ( fluidlike behaviour) όπου σ 0 είναι η άση διαροής και η 0 ο ιξώδες Παραδείγµαα include

58 ΙV 4 ketchup, mayonnaise, butter, and toothpaste. Note the slopes of the curves

59 ΠΕ ΙΟ ΤΑΣΗΣ (STRESS FIELD) ΙV 5 Σην ρευσοδυναµική, έχουµε δύο ειδών δυνάµεις: επιφανειακές (surface) και σωµαικές ( body) δυνάµεις. Σωµαικές δυνάµεις (surface forces) περιλαµβάνουν όλες ις δυνάµεις που ασκούναι πάνω σα όρια (boundaries), για παράδειγµα σην διεπιφάνεια ένός ρευσού µε σερεό. Οι δυνάµεις που αναπύσσοναι χωρίς φυσική επαφή και καανέµοναι σε όλο ον όγκο ου ρευσού λέγοναι σωµαικές δυνάµεις (body forces). Για παράδειγµα η δύναµη βαρύηας που ασκείαι σε όλο ον όγκο ου ρευσού, dv, δίνεαι από ρgdv. Θεωρήσε ην επιφάνεια ου ρευσού και µία µικρή επιφάνεια πανω ης ίση µε da που περνάει από ο σηµείο C. C Ο προσαναολισµός ου da δίνεαι από ο µοναδιαίο κάθεο διάνυσµα, n,. Η δύναµη, δf, που ασκείαι πάνω σο δa µπορεί να αναλυθεί σε δύο συνισώσες, µία κάθεη (normal stress, σ n ) και µία εφαποµενική σην επιφάνεια (shear stress n ) που ορίζοναι:

60 ΙV 6 σ n lim δ A 0 δ F δ A n and n lim δ A 0 δ F t δ A Οµως µε αναφορά σε ένα σύσηµα συνεαγµένων η δύναµη µπορεί να αναλυθεί σε ρείς συνισώσες σις καευθύνσεις x, y και z, δf x, δf y, and δf z. Εσι µπορούµε να ορίσουµε ρεις συνισώσες. yy lim δ A 0 δ F δ A y, yx lim δ A 0 δ F δ A x, yz lim δ A 0 δ F δ A Σην γενική περίπωση (3-D), 9 συνισώσες µπορούν να ορισθούν, για παράδειγµα όαν θεωρήσουµε όλες ις επιφάνειες ενός κυβικού σοιχείου. z

61 ΙV 7 ij j δείχνει ην διευθυνση ης άσης i δείχνει ο επίπεδο σο οποίο ασκείαι η αση

62 ΙV 8 Γενικά ij j δείχνει ην διεύθυνση ης άσης i δείχνει ο επίπεδο σο οποίο ασκείαι η άση Συµβολισµός για η άση (Notation for stress) -Ενα επίπεδο είναι θεικό όαν ο κάθεο διάνυσµα ση επιφάνεια που δείχνει προς α έξω (outward vector drawn normal to the plane) δείχνει σην θεική διεύθυνση. -Μία άση θεωρείαι θεική όαν α πρόσηµα ης διεύθυνσης ης άσης και ου επιπέδου σο οποίο ασκείαι είναι και α δύο θεικά ή αρνηικά. Plane Direction of stress Sign of stress

63 ΙV 9 Ο ανυσής άσης (Stress Tensor) x x y x z x x y y y z y x z y z z z Υπάρχουν ρία διαγώνια σοιχεία (κάθεες άσεις ) και έξι µη-διαγώνια (διαµηικές άσεις). Ο ανυσής άσης είναι συµµερικός ανυσής ij ji or xy yx, xz zx, yz zy Η πίεση είναι µία κάθεη άση. Είναι ίδια προς όλες ις καευθύνσεις και ασκείαι πάνα συµπιεσικά σις επιφάνειες (αρνηική κάθεη άση). Εσι ο ανυσής άσης µπορεί να γραφεί ως: - p + x x x y x z y x - p + y y y z z x z y - p + z z

64 ΙV 10 Ορίζονας -p+ xx σ xx, όε σ x x x y x z σ y x σ y y y z z x z y σ z z Υποσηµειώνεαι όι σ xy xy

65 ΙV 11

66 ΙV 12

67 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΠΙΕΣΗ ΤΡΙΧΟΕΙ ΟΥΣ (SURFACE TENSION AND CAPILLARY PRESSURE) Σην διεπιφάνεια υγρού-αερίου ή µεαξύ δύο µη αναµίξιµων υγρών, αναπύσσοναι δυνάµεις που σχείζοναι µε ην ανισοροπία ων αλληλεπιδράσεων ων µορίων καά πλάος ης διεπιφάνειας. V 1 Για α µόρια σο εσωερικό (bulk), οι αλληλεπιδράσεις είναι ισόροπες (isotropic) και η ολική δύναµη (net force) πάνω σε κάθε µόριο είναι µηδέν. Αυό δεν ισχύει σην διεπιφάνεια. Τα µόρια προσελκύοναι περισσόερο προς ο εσωερικό ου υγρού πάρα προς ο µέρος ου αερίου και έσι µία µη µηδενική δύναµη προκύπει.

68 Σαν αποέλεσµα αυών ων δυνάµεων µία µικρή ποσόηα υδραργύρου σχηµαίζει µία σχεδόν σφαιρική σαγόνα ή µία µικρή προσόηα νερού σχηµαίζει µία σφαιρική σαγόνα πάνω σε µία κερωµένη επιφάνεια (waxed surface). Εάν κόψουµε µία σαγόνα ση µέση, υπάρχει µία δύναµη ανά µονάδα µήκους (επιφανειακή άση) και αυή εξισορροπείαι από ην διαφορά πίεσης, PP B -P A όπου P B : εσςερική πίεση, P A : εξωερική πίεση. Το ισοζύγιο δυνάµεων είναι: 2 P π R 2 π R Y ή P 2Y R V 2 Αυή η διαφορά πίεσης λέγεαι πίεση ριχοειδούς (capillary pressure) η οποία οφείλεαι σην επιφανειακή αση.

69 Αυές οι αρχές µπορούν να γενικευθούν για διδιάσαες επιφάνειες για να πάρουµε ην εξίσωση Young-Laplace equation. V 3 P Y 1 R R 2 όπου R 1, και R 2 είναι οι δύο κύριες ακίνες καµπυλόηας διδιάσαης επιφάνειας. (1) Για επίπεδη διεπιφάνεια (plane interface): R 1 R 2 Liquid A Interface Liquid B P0 or P A P B (Για επίπεδη επιφάνεια δεν υπάρχει διαφορά πίεσης).

70 V 4 (2) Για σφαιρική διεπιφάνεια (spherical interface): R 1 R 2 R P2σ/R or P B - P A 2Y/R (Εσι υπάρχει ασυνέχεια πίεσης από ο εσωερικό προς ο εξωερικό (pressure jump). (3) Για κυλινδρική διεπιφάνεια (cylindrical interface): R 1 and R 2 R P B - P A Y/R (Εσι υπάρχει ασυνέχεια πίεσης από ο εσωερικό προς ο εξωερικό (pressure jump).

71 V 5 ύο συχνές διεπιφάνειες που συνανάµε σε διάφορες εφαρµογές είναι οι διεπιφάνειες νερού-αέρα και υγραργύρου-αέρα. Σους 20 o C68 o F, οι επιφανειακές άσεις είναι: Y lbf/ft0.073 N/m Y0.033 lbf0.48 N/m air-water air-mercury Η επιφανειακή άση αλλάζει σηµανικά µε ην παρουσία άλλων σωµαιδίων (contaminants and detergents). Επίσης µειώνεαι µε ην θερµοκρασία και γίνεαι µηδέν σο κρίσιµο σηµείο (critical point). Figure: Η επιφανειακή άση νερού-αέρα σαν συνάρηση ης Τ.

72 V 6 Γωνία επαφής (contact angle) Η γωνία επαφής (contact angle θ) εµφανίζεαι όαν µία επιφάνεια ενός υγρού διαέµνεαι µε µία επιφάνεια σερεού. Εάν η γωνία επαφής είναι λιγόερο από 90 o, ο υγρό λέγεαι όι διαβρέχει (wet) ο σερεό; εάν θ>90 o t ο υγρό λέγεαι όι δεν διαβρέχει ο σερεό. Για παράδειγµα ο νερό διαβρέχει ο σαπούνι (soap), αλλά δεν διαβρέχει ο κερί (wax).

73 V 7 Τριχοειδής ανύψωση υγρού (capillary rise) Το ύψος h ανύψωσης ου υγρού σον ριχοειδή σωλήνα µπορεί να προβλεφθεί εάν θεωρήσουµε ις δυνάµεις που ασκούναι σην διεπιφάνεια. Η άση καά µήκος ης περιφέρειας 2πR θα πρέπει να εξισορροπείαι από ο βάρος ου υγρού, έσι ο ισοζύγιο δύναµης µπορεί ναγραφεί ως: γ π R 2 h 2 π R Y cosθ or h 2 Y cosθ γ R Μερώνας h, και θ, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ην εξίσωση για να υπολογίσουµε ην επιφανειακή άση.

74 V 8 EXAMPLE: Measurement of Surface Tension (T. Papanastasiou) The Wilhelmy plate method (Figure below) is widely used to measure surface tension. A plate of known dimensions S, L, and h and density ρ s, is being pulled from a liquid of density ρ B and surface tension σ in contact with air of density ρ A. What is the relation between the force F measured and the liquid surface tension? The net force exerted by the air on the upper base surface is: F ( - A P0 ρ A g h A ) S L The net force exerted by the liquid on the lower base surface is: F ( + B P0 ρ B g h B ) S L The surface tension force on the plate in the vertical direction is:

75 V 9 F ( Y ) Y Π cos θ 2 Y ( L + S ) cosθ The weight of the plate is: B ρ S g V V h S L A force balance is: F + F B + F(Y) - F A - F B 0 or F F A + B F(Y) - F B Substituting the expressions for the various forces and simplifying we get: F g S L [ ρ h - ρ ha - ρ hb ] s A B 2 Y ( L + S ) cosθ This last expression can be used to calculate the surface tension as a function of F. All other quantities are known. Surface tension plays a significant role in a diversity of flows. - Liquid volumes tend to attain spherical shapes that exhibit the minimumto-volume ratio, the more so the higher their surface tension. -Movement of liquids through soil and other porous media, flow of thin films, formation of drops and bubbles, breakage of liquid jets. -Formation and stabilization of thin films, also surface tension controls levelling and spreading of liquids on substrates with application to spray coating or painting. -Enhanced oil recovery: Crude oil is trapped in underwater porous natural reservoirs, confined between impermeable rock layers).

76 V 10 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΚΑ ΤΥΡΒΩ ΗΣ ΡΟΗ LAMINAR AND TURBULENT FLOW Ρευσά ρέουν µέσα σε αγωγούς και κανάλια κάω από ην επίδραση εξωερικών δυνάµεων όπως βαρύηα (ροή σε κεκλιµένο επίπεδο), διαµηική δύναµη (επάλειψη βουύρου σο ψωµί) και διαφορά πίεσης µεαξύ εισόδου και εξόδου. Q Θεωρούµε ροή σε κυλινδρικό αγωγό µεαξύ δύο σηµείων σε απόσαση L όπου η διαφορά πίεσης µεριέαι PP 2 -P 1 σαν συνάρηση ης ογκοµερικής παροχής V & ή Q.

77 V 11 Απεικονίζουµε - P/ L versus Q, και παραηρούµε ρεις διαφορεικές περιοχές ροής. 1. Γραµµική ροή (Laminar flow) - P/ L είναι ανάλογη ου Q ή V&. 2. εν υπάρχει αναπαραγώγιµο αποέλασµα. 3. Τυρβώδης περιοχή ροής (Turbulent flow regime) - P/ L είναι ανάλογη ου Q 2 or 2 V& (roughly).

78 V 12 Η δοµή ης ροής µπορεί να εξηγηθεί µε ο περίφηµο πείραµα ου Sir Osborne Reynolds, όπου ένα ρευσό ρέει µέσα σε διαφανή σωλήνα. 1. Για χαµηλές ογκοµερικές παροχές, η χρωσική ουσία (injected dye) διαηρεί ην ακεραιόηα ης σαν ενα µακρύ νηµάιο (long filament) που ρέει µε ο ρευσό. Τα σωµαίδια ου νηµαίου ρέουν καά µήκος ων ροικών γραµµών. 2. Για µεγάλες ογκοµερικές παροχές µία χαοική µίξη παραηρείαι. Η χρωσική ουσία σχηµαίζει ασαθείς δίνες οι οποίες αναµιγνύοναι γρήγορα µε ο ρευσό και όλο ο ρευσό γίνεαι αθέαο. Ο Reynolds συσχέισε α αποελέσµαα µε ένα αδιάσαο αριθµό που περιλαµβάνει u ave, ρ, µ and D και φυσικά φέρει ο όνοµά ου: ρ uave D Re µ V& uave 2 π D /4 Q π D Επίσης βρήκε όι για Re<2,100 η ροή είναι γραµµική σε κυλινδρικό αγωγό. 2 / 4

79 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ V 13

80 ΣΤΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ (FLUID STATICS) VΙ 1 Η σαική ρευσών ασχολείαι µε η µελέη ων ρευσών σε ισορροπία (at rest) ή σε σαική ισορροπία (static equilibrium). Ενα ρευσό είναι σε σαική ισορροπία (static equilibrium) εάν δεν υπάρχει σχεική κίνηση ενός µέρος ου ρευσού σε σχέση µε ο υπόλοιπο ρευσό. Παραδείγµαα: -Νερό σε λίµνη όαν δεν υπάρχει άνεµος -Ενα ρευσό που µεακινείαι ή περισρέφεαι και αυές οι κινήσεις δεν προκαλούν καµµία σχεική κίνηση µέσα σο ρευσό (άκαµπη µη εασική κίνηση). Προβλήµαα ση Σαική Ρευσών: 1. Καανοµή πίεσης µέσα σε ρευσό σε ισορροπία (at rest). 2. Χρησιµοποιώνας ην καανοµή πίεσης µπορούµε να υπολογίσουµε δυνάµεις που ασκούναι πάνς σε σερεές επιφάνειες µέσα σα ρευσά.. Ποιά είναι η καανοµή πίεσης? Υπολογίσε ην δύναµη ου ρευσού πάνω ση πόρα (gate).

81 VΙ 2 Σηµασία ης σαικής ρευσών (Significance of Fluid Statics): 1. Σχεδιασµός συσηµάων για ην µέρηση κλίσης πίεσης ή διαφορά πίεσης σε συσήµαα ροής. Ροή σε αγωγό pp a -p b? (σχείζεαι µε ο h) Χρησιµοποιήσε ένα µανόµερο και υπολογίσε ο p από ο h. 2. Υπολογίσε δυνάµεις που αναπύσσοναι σε υδραυλικά συσήµαα - Βιοµηχανικές πρέσσες (Industrial presses) - Φρένα αυοκινήων (Automobile brakes)

82 VΙ 3 Roosevelt Dam in Arizona. Η υδροσαική πίεση λόγω ου βάρους ου νερού προκαλεί µεγάλες δυνάµεις και ροπές. Ο υπολογισµός αυών ων δυνάµεων έχει σηµασία για ον σχεδιασµό ων φραγµάων.

83 VΙ 4 Η ΒΑΣΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ Υδροσαική εξίσωση (Hydrostatic Equation) Θεωρούµε ένα διαφορικό σοιχείο ου ρευσού ο οποίο είναι σάσιµο σε αναφορά µε ο Καρεσιανό σύσηµα συνεαγµένων: Figure: Η δύναµη σην καεύθυνση x πάνω σο σοιχείο λόγω ης πίεσης. ύο είδη δυνάµεων ις σωµαικές δυνάµεις (body forces) (σχειζόµενες µε ον όγκο ου σοιχείου) και ις επιφανειακές δυνάµεις (surface forces) (σχειζόµενες µε ην επιφάνεια ου σοιχείου) Η σωµαική δύναµη λόγω ης βαρύηας είναι: d F grav g dm g d ( ρ V ) g ρ dv

84 VΙ 5 όπου dvdxdydz είναι ο όγκος, έσι d Fgrav g ρ dx dy dz or f grav ρ g όπου f grav είναι η βαρυική δύναµη ανά µονάδα όγκου, και γ είναι ο ειδικό βαρος (specific weight), µε γρg. Για σαικά ρεσυά δεν υπάρχουν διαµηικές άσεις, αλλά µόνο κάθεες άσεις. Συγκεκριµένα υπάρχει η κάθεη δύναµη ης πίεσης. Εάν η πίεση σην αρισερή επιφάνεια ου κυβικού σοιχείου είναι p, όε χρησιµοποιώνας ο ανάπυγµα ου Taylor, η πίεση σην δεξιά επιφάνεια σε απόσαση dx είναι ίση µε: p + p dx x Η ολική δύναµη σην καεύθυνση x είναι: df x pdydz p + p p dx dydz dxdydz x x Παρόµοιες εκφράσεις µπορούν να γραφούν για ις καευθύνσεις y- και z. Εσι η ολική δύναµη πάνω σσο διαφορικό σοιχείο είναι: ή df press p p p i j k dxdydz x x x df press p dxdydz

85 VΙ 6 ή p press f όπου press f είναι η κλίση δύναµης ανά µονάδα όγκου. Ση γενική περίπωση για ρευσά που ρέουν, ιξώδεις άσεις αναπύσσοναι σύµφωνα µε ον νόµο ου Νεύωνα για ο ιξώδες (περισσόερες λεποµέρεις αργόερα). Για ένα ασυµπίεσο ρευσό, η ολική ιξώδης άση είναι: V V V V f µ µ z y x VS Εφαρµόζουµε ον δεύερο νόµο ου Νεύωνα για ην κίνηση σωµάων: V g a f µ ρ ρ p ή ),,, ( ) ( 2 t z y x p B V a g + µ ρ όπου η επιάχυνση είναι dt d / V a Αυή η εξίσωση µπορεί να αναλυθεί σε: ),,, ( ),,, ( ),,, ( t z y x B z p t z y x B y p t z y x B x p z y x

86 Ειδικές περιπώσεις: VΙ 7 1. Ρευσό σε ισορροπία ή σαθερή αχύηα: Η επιάχυνση και οι ιξώδεις άσεις εξαφανίζοναι και η εναποµείνουσα εξίσωση είναι η υδροσαική εξίσωση: p ρ g η οποία υποννοεί όι η πίεση εξαράαι από ην βαρύηα και ην πυκνόηα ου ρευσού. 2. Μεαόπιση και περισροφή ρευσού σαν άκαµπη κίνηση (Rigidbody): p ρ( g a)

87 VΙ 8 Gage, Vacuum and Απόλυη (Absolute) Πίεση (Pressure) Η πίεση πάνω από ην αµοσφαιρική πίεση λέγεαι gage πίεση (pressure) και µεριέαι σχεικά µε ην αµοσφαιρική πίεση. Απο ην άλλη πλευρά η πίεση κάω από ην αµοσφαιρική λέγεαι πίεση κενού (vacuum pressure). Για παράδειγµα µία πίεση 50,000 Pa σην απόλυη κλίµακα λέγεαι όι είναι 40,000 Pa πίεση κενού (vacuum) i.e. 90,000-50,000 40,000 Pa. Από ην άλλη πλευρά, µία πίεση 120,000 Pa σην απόλυη κλίµακα λέγεαι όι είναι 30,000 Pa gauge i.e. 120,000-90,00030,000 Pa.

88 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ Υ ΡΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΣΕ ΕΝΑ ΣΤΑΤΙΚΟ ΡΕΥΣΤΟ VΙ 9 Εάν z είναι η κάθεη καεύθυνση προς α πάνω, ανίθεη µε ην καεύθυνση ης βαρυηικής επιάχυνσης, η καανοµή πίεσης σε ένα σαικό ρευσό µπορεί να υπολογισθεί από: ή p x 0 p ρ g g r p y 0 p z z ρ g γ όπου γ είναι ο ειδικό βάρος. Υποσηµειώνεαι όι g g k. Επιπλέον επειδή η p είναι ανεξάρηη από ις καευθύνσεις x και y µπορούµε να γράψουµε, ή dp dz - ρ g γ p2 p1 γ dz 2 1 Για να ην ολοκληρώσουµε χρειαζόµασε να ξέρουµε πως α ρ και g εξαρώναι από ο υψόµερο.

89 VΙ 10 -Για ις περισσόερες παρκικές εφαρµογές ο g θεωρείαι ανεξάρηο από ο υψόµερο εκός από πολύ µεγάλες υψοµερικές διαφορές. Η πυκνόηα ου ρευσού µπορεί επίσης να θεωρηθεί σαθερή. Εσι η υδροσαική εξίσωση γίνεαι: ή p z ( z ) 2 p1 γ 2 z1 2 z 1 p2 γ p1 γ Η ποσόηα γ είναι ο ειδικό βάρος και η ποσόηα µήκος που ονοµάζεαι pressure head. p / γ είναι ένα Πίνακας: Ειδικό βάρος διαφόρων υγρών.

90 VΙ 11 Η εφαρµογή ης υδροσαικής πίεσης µας λέει: Οι πιέσεις σα βάθη a, b, c, και d είναι οι ίδιες. Οι πιέσεις σα A, B, and C είναι οι ίδιες, αλλά η πίεση σο D είναι διαφορεική. Η πίεση σο D είναι µεγαλύερη από ην ανίσοιχη σα A, B ή C λόγω ης µεγαλύερης πυκνόηας ου υδραργύρου. Για να αναλύσουµε διάφορες περιπώσεις ακολουθούµε ους εξής νόµους: - ύο σηµείο σο ίδιο υψόµερο ή βάθος σε ένα συνεχές µήκος ου ίδιου ρευσού έχουν ην ίδια πίεση. -Η πίεση αυξάνει µε ο βάθος.

91 VΙ 12 Εφαρµογή ης υδροσαικής εξίσωσης σην αµόσφαιρα και σους ωκεανούς δίνει: Σην αµόσφαιρα: p p a bγ air Σον ωκεανό: p p a + hγ water

92 VΙ 13 Το βαρόµερο ου υδραργύρου (The Mercury Barometer) Η απλούσερη πρακική εφαρµογή ης υδροσαικής πεξίσωσης είναι ο βαρόµερο ου υδραργύρου. Μία έκφραση για ην αµοσφαιρική πίεση p a προέρχεαι από ο ύψος ου υδραργύρου σον σωλήνα που είναι: p Υποσηµειώνεαι όι: a p 0 γ M (0 h) or h γ p p γ ( z ) z a M