ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

Transcript

1 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...7 II. Ε ΟΜΕΝΑ-ΒΑΣΕΙΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ...8. ΓΕΝΙΚΑ...8. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΧΕΙΡΙΣΕΩΣ ΒΑΣΕΩΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ...9 III. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.... ΓΕΝΙΚΑ.... ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΝΟΜΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟΥΣ Υ ΑΤΙΚΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ.. 8. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ. ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ...7 IV. ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ...8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...8. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ / ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ V. ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΟΓΕΝΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΙΠΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΣΥΝΤΟΜΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ...40 VI. ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ...44 VII. ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΜΕΘΟ ΟΙ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ, ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΟΧΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ KRIGING...48

3 3 3. ΤΟ ΗΜΙΜΕΤΑΒΛΗΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΗΜΕΙΑΚΟ KRIGING ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ KRIGING ΣΤΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ...55 II. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΙΕΡΑΡΧΙΚΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ...65 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ...68 ΟΡΙΣΜΟΙ...69 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...7

4 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ηµερινή εποχή χαρακτηρίζεται ως "Αιώνας της Πληροφορίας". Μετά την ραγδαία εξέλιξη της πληροφορικής και την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιτών κατά το δεύτερο µιό του 0ού αιώνα, οι δυνατότητες για διαχείριη και αξιοποίηη κάθε είδους πληροφοριών έγιναν διαθέιµες, µε µικρό αναλογικά κότος, ε όλη την κοινωνία. Στις περιότερες περιπτώεις η ροή, επεξεργαία και διαχείριη πληροφοριών ε ύγχρονες υκευές τηλεπικοινωνίας, ψυχαγωγίας και τους ηλεκτρονικούς υπολογιτές περνάει απαρατήρητη για τον τελικό χρήτη ο οποίος ενδιαφέρεται µόνο για το τελικό αποτέλεµα. Επιπλέον, ο τελικός χρήτης επιζητεί περιότερο την αιθητική ποιότητα, την ευκολία και την ελκυτικότητα του τελικού αποτελέµατος, περιότερο και από την ουία ή την κοπιµότητα του. εν είναι βέβαια το ίδιο για τους επιτήµονες και µηχανικούς, που επιζητούν τα τοιχεία για την λύη προβληµάτων και την λήψη ορθών αποφάεων. Στην περίπτωη αυτή, η γνώη του προβλήµατος και των µεθόδων επιλύεώς του, οδηγεί την αναζήτηη δεδοµένων και την προεκτική ανάλυή τους, έτι ώτε να δηµιουργηθεί µια τέρεα αλυίδα, από την αρχική παρατήρηη, µέχρι και την έκφραη τεκµηριωµένων και αδιάβλητων υµπεραµάτων. Για τον κοπό αυτό χρειάζεται µεθοδολογία, τεχνολογία, και εµπειρία την υλλογή, διαχείριη και ανάλυη των απαραίτητων πληροφοριών. Η υλλογή πληροφοριών υνεπάγεται µετρήεις, η διαχείριη αρχεία και η ανάλυη µαθηµατικές µεθόδους. Η τεχνολογία και κατ επέκταη οι χετικές µεθοδολογίες των µετρήεων έχουν εξελιχθεί ακολουθώντας την πρόοδο τα ηλεκτρονικά και την πληροφορική. Η διαχείριη των αρχείων πλέον γίνεται αποδοτικά µόνο µε την ψηφιοποίηή τους και την χρήη ηλεκτρονικού υπολογιτή. Η ανάλυη, τέλος, των πληροφοριών γίνεται µε προωθηµένες µαθηµατικές µεθόδους που ξεπερνούν την κλαική τατιτική και αναφέρονται ήµερα ως «Μέθοδοι αναλύεως δεδοµένων». Τα χετικά προβλήµατα είναι πολλά: Πολύ λίγα ή πάρα πολλά δεδοµένα, αναξιόπιτα ή µη αντιπροωπευτικά δεδοµένα, ποικιλία µεθόδων αναλύεως, δυκολίες την ερµηνεία και την αξιολόγηη των αποτελεµάτων. Πώς αντιµετωπίζονται; Η κατ αρχήν γνώη των χετικών θεµάτων, η υτηµατική εναχόληη, η τελικά αποκτώµενη εµπειρία και κυρίως το «ανοικτό µυαλό» και η έλλειψη προκαταλήψεων και προειληµµένων αποφάεων είναι τα κλειδιά για την επιτυχή υλλογή και αξιοποίηη των πληροφοριών ε κάθε δρατηριότητα ή επιτήµη και κυρίως την προπάθεια για την προταία και την βιώιµη διαχείριη του περιβάλλοντος.

5 5 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ. ΓΕΝΙΚΑ Προκειµένου να γνωρίουµε καλύτερα και να ποοτικοποιήουµε τις διάφορες µεταβλητές που περιγράφουν τα φυικά φαινόµενα που µελετούµε, κάνουµε µετρήεις. Μέτρηη ηµαίνει ύγκριη της τιµής της µεταβλητής µε κάποιο πρότυπο ή κλίµακα που είναι παγκοµίως αποδεκτά αν «ύτηµα µονάδων» για την υγκεκριµένη περίπτωη. Για παράδειγµα, η ζύγηη ενός αντικειµένου αποτελεί ύγκριη του βάρους του αντικειµένου µε το πρότυπο βάρους kg που φυλάεται το γραφείο µέτρων και ταθµών το Παρίι. Φυικά, για να γίνονται πιο εύκολα οι µετρήεις δεν καταφεύγουµε κάθε φορά απ ευθείας τα διάφορα πρότυπα, αλλά είτε χρηιµοποιούµε πιτά κατά το δυνατόν αντίγραφά τους είτε, ανάλογα και µε την φυική µεταβλητή που θέλουµε να µετρήουµε, χρηιµοποιούµε ύνθετες, έµµεες µεθόδους και ειδικές διατάξεις που µας εξαφαλίζουν µεγαλύτερη ευκολία, ταχύτητα και ακρίβεια τις µετρήεις. Τα πρώτα υτήµατα διατάξεις, µηχανιµοί µετρήεων ήταν αποκλειτικά µηχανικά. Με την ανάπτυξη του ηλεκτριµού επινοήθηκαν πολλά ηλεκτροµηχανικά υτήµατα και, µε την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών και των ηλεκτρονικών υπολογιτών, υπάρχει η τάη για καθιέρωη µόνο ηλεκτρονικών υτηµάτων. Τα τελευταία έχουν ηµαντικά πλεονεκτήµατα έναντι των παλαιοτέρων υτηµάτων, όπως λιγότερα ή καθόλου κινούµενα µέρη, µικρότερες διατάεις και βάρος, ταχύτερη απόκριη, µεγαλύτερη ακρίβεια, αυτόµατη λειτουργία και ψηφιακή αποθήκευη ή τηλεµετάδοη δεδοµένων. Έχουν όµως και µια ηµαντική ειρά µειονεκτηµάτων, όπως το µεγάλο κότος κτήεως τους όταν πρόκειται για νέα τεχνολογία, η ανάγκη τροφοδοίας µε ηλεκτρικό ρεύµα, και, κυρίως, η µετατροπή του µετρούµενου µεγέθους ε ηλεκτρικά ήµατα, που ηµαίνει ότι χάνεται η άµεη εποπτεία της ποιότητας της µετρήεως και απαιτούνται ειδικοί έλεγχοι και ρυθµίεις του οργάνου. Έτι, ήµερα, χρηιµοποιούνται ακόµη όλων των ειδών τα υτήµατα, αν και η τάη για επικράτηη των ηλεκτρονικών υτηµάτων είναι αδιαµφιβήτητη. α β γ Σταθµηγράφοι: α Πλήρως µηχανικός µε καταγραφή ε χαρτί, β Ηλεκτροµηχανικός µε ψηφιακό καταγραφέα, γ πλήρως ηλεκτρονικός-ψηφιακός

6 . ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ 6 Τα όργανα µετρήεων διακρίνονται ε δύο µεγάλες κατηγορίες: α Απλά, για τιγµιαία µέτρηη και β Καταγραφικά, για καταγραφή διαδοχικών τιµών ε διάρκεια χρόνου. Τα πρώτα καλούνται «µεταβλητή που µετρείται»-µετρο, δηλαδή θερµόµετρο, βαρόµετρο, ταθµήµετρο κλπ. Και τα δεύτερα «µεταβλητή που µετρείται»-γράφος, δηλαδή θερµογράφος, βαρογράφος, ταθµηγράφος κλπ. Για όλα τα όργανα, µηχανικά, ηλεκτρονικά ή άλλα υπάρχουν κοινά, αλλά και ιδιαίτερα χαρακτηριτικά που προδιορίζουν την πραγµατική αξία του κάθε οργάνου για µετρήεις καλής ποιότητας και επηρεάζουν ηµαντικά και την αντίτοιχη εµπορική αξία του οργάνου. Στο κότος των µετρήεων, µε υγκεκριµένη µέθοδο και όργανα, θα πρέπει να έχει κανείς υπόψη του να υµπεριλαµβάνει όχι µόνο το εµπορικό κότος κτήεως, αλλά και το κότος χρήεως και την διάρκεια ζωής του οργάνου πραγµατική και πρακτική λόγω ενδεχόµενης τεχνικής απαξιώεως. Περιληπτικά, τα διάφορα χαρακτηριτικά που πρέπει να ελέγχει κανείς κατά την επιλογή και προµήθεια οργάνων είναι τα ακόλουθα: Α. Ποιότητα µετρήεων Πιτότητα Accurac. Πόο κοντά είναι οι τιµές των µετρήεων την πραγµατική αλλά άγνωτη τιµή. Ακρίβεια Precso. ιαπορά των τιµών για µια ειρά µετρήεων της αυτής τιµής ενός φυικού µεγέθους. Λεπτοµέρεια Detal. Εξαρτάται από την κλίµακα µετρήεως του οργάνου ή των αριθµό των ηµαντικών ψηφίων που παριτούν το αποτέλεµα της µετρήεως ιακριτότητα dscrmato. Χρονικό ή χωρικό διάτηµα ώτε δύο µετρήεις να είναι ανεξάρτητες. Ταχύτητα Speed. Μέγιτος αριθµός µετρήεων ανά µονάδα χρόνου. Σταθερότητα Stablt. Τα χαρακτηριτικά του οργάνου δεν παρουιάζουν υτηµατικές αποκλίεις µε τον χρόνο Ευαιθηία Sesblt. Η ελάχιτη µεταβολή το µετρούµενο µέγεθος ώτε να ενεργοποιηθεί το όργανο µετρήεως ή να αλλάξει η ένδειξη του. Αξιοπιτία Relablt. εν θα παρουιάζονται τυχαίες αποκλίεις ή υτηµατική αλλαγή των χαρακτηριτικών του οργάνου µε τον χρόνο. Επαναληψιµότητα Repeatablt Για την ίδια ειρά µετρήεων κάτω από τις ίδιες ακριβώς υνθήκες δίνει τις ίδιες ακριβώς τιµές. Αναπαραγωγιµότητα Reproductablt. Για την ίδια ειρά µετρήεων κάτω από διαφορετικές υνθήκες δίνει τις ίδιες ακριβώς τιµές. Γραµµικότητα Leart. Η ευαιθηία, η ακρίβεια και γενικά όλα τα χαρακτηριτικά του οργάνου, καθώς και η κλίµακα την απεικόνιη των τιµών που µετράει είναι ταθερές και ανεξάρτητες από την απόλυτη τιµή της µετρήεως.

7 7 Β. Ποιότητα Οργάνου. Αυτοπροταία Self Protecto Αυτόµατη ρύθµιη Auto Rage / Self Calbrato Κατανάλωη ενέργειας Power Cosumpto Κατανάλωη αναλωίµων Cosumables Ευκολία υντηρήεως Servceablt Αντοχή Resstace, Weather proof, Water Proof Ποιότητα και αντοχή την γήρανη των υλικών του Qualt of costructo materals Γ. Πρακτικότητα Απλότητα χειριµού Οθόνη και µενού πληροφοριών ΣυνδειµότηταCoectvt Πρόθετος εξοπλιµός υποτηρίξεως Τεχνική υποτήριξη και εξυπηρέτηη Ευκολία, ταχύτητα, κότος προµήθειας ανταλλακτικών ιάρκεια υκευής ή αιθητήρων 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Γνώη του φυικού µεγέθους Γνώη των µεθοδολογιών µετρήεων Εµπειρία µετρήεων Προτίµηη ε δοκιµαµένη τεχνολογία Οργάνωη µετρήεων Τεχνική υποτήριξη Πολλαπλά όργανα µετρήεων

8 8 II. Ε ΟΜΕΝΑ-ΒΑΣΕΙΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ. ΓΕΝΙΚΑ Ως δεδοµένα Data εννοούµε κάθε πληροφορία, που αφορά ένα υγκεκριµένο αντικείµενο υλικό ή ιδεατό, που έχει κάποια χρηιµότητα και µπορεί να χρηιµοποιηθεί για κάποιο κοπό. Τα δεδοµένα µπορεί να είναι αριθµοί, λέξεις, εικόνες, ήχοι, οµάδες από αριθµούς, λέξεις, εικόνες, ήχους ή υνδυαµοί των παραπάνω. Σαν παράδειγµα αναφέρουµε τα τεχνικά χαρακτηριτικά ενός αυτοκινήτου, την φωτογραφία του τον ήχο της µηχανής του. Τα δεδοµένα µπορεί να είναι απλά µία λέξη, ένας αριθµός, ύνθετα πολλές λέξεις, πολλοί αριθµοί, τατικά τον χώρο και τον χρόνο µία µοναδική τιµή ή ειρές διαδοχικών τιµών τον χώρο και τον χρόνο χρονοειρές. Μια Βάη εδοµένων Database, DB είναι µια οργανωµένη υλλογή δεδοµένων που αφορά ένα υγκεκριµένο θέµα, αντικείµενο ή κοπό. Για παράδειγµα, ο τηλεφωνικός κατάλογος του ΟΤΕ, είναι µία βάη δεδοµένων που αφορά όλους τους αριθµούς τηλεφώνου των υνδροµητών του ΟΤΕ. Βάη δεδοµένων επίης αποτελεί και το προωπικό ηµειωµατάριο µας ή ο προωπικός τηλεφωνικός κατάλογός µας. Άλλα παραδείγµατα βάεων δεδοµένων αποτελούν τα λευκώµατα γραµµατοήµων, το λεύκωµα φωτογραφιών από ένα γάµο ή τις διακοπές. Ένα Σύτηµα ιαχειρίεως Βάεως εδοµένων Database Maagemet Sstem, DBMS είναι ένα ύτηµα, µέθοδος ή µηχανιµός, που µας επιτρέπει να διαµορφώνουµε µία βάη δεδοµένων, δηλαδή να προδιορίζουµε τον τρόπο αποθηκεύεως των δεδοµένων, τις µεταξύ τους διαυνδέεις, και τους διάφορους χειριµούς που µπορούµε να κάνουµε τα δεδοµένα. Οι πιο ηµαντικές λειτουργίες µιας βάεως δεδοµένων είναι αυτές που µας επιτρέπουν να αποθηκεύουµε δεδοµένα Ειαγωγή δεδοµένων την βάη δεδοµένων και να τα ανακτούµε πάλι την πλέον κατάλληλη µορφή Εξαγωγή δεδοµένων, για να τα χρηιµοποιήουµε. Στην περίπτωη ενός προωπικού τηλεφωνικού καταλόγου, για παράδειγµα, η µορφή ευρετηρίου που έχει µας βοηθά να εντοπίουµε το όνοµα, για το οποίο αναζητούµε τον αριθµό τηλεφώνου. Η ειαγωγή των δεδοµένων τοιχείων: όνοµα, διεύθυνη αριθµό τηλεφώνου γίνεται µε απλή γραφή, µε µολύβι, το ένα έπειτα από το άλλο, και η εξαγωγή των τοιχείων γίνεται µε απλή ανάγνωη. Όο ο αριθµός των δεδοµένων και η πολυπλοκότητα που παρουιάζουν αυξάνει, τόο µεγαλύτερες γίνονται και οι απαιτήεις για τη βάη δεδοµένων και το ύτηµα διαχειρίεώς της. εν είναι µόνο ο απαιτούµενος χώρος για τη διαφύλαξη των δεδοµένων που αυξάνει, αλλά και οι ταχύτητα µε την οποία πρέπει να λειτουργεί το ύτηµα ώτε οι χρόνοι αναζητήεως και ανακτήεως των δεδοµένων να είναι πρακτικά περιοριµένοι. Ακόµη, αυτή καθ εαυτή η δυνατότητα να µπορεί κανείς να εντοπίει εύκολα τα δεδοµένα που ζητά, µέα ε πλήθος άλλων δεδοµένων, και η αφάλεια που απαιτείται ώτε τα δεδοµένα να µην έχουν φόβο ούτε να αλλοιωθούν, ούτε και να υγχέονται µε άλλα, αυξάνει δραµατικά µε την αύξηη του όγκου των δεδοµένων. Άλλοι παράγοντες που αφορούν τη λειτουργία µιας βάεως δεδοµένων είναι η αφάλεια ε αθέλητη ή κόπιµη αλλοίωη κάποιων δεδοµένων, ο περιοριµός την πρόβαη κάποιων προώπων «κλείδωµα της βάεως», η δυνατότητα για περιοδική τακτοποίηη και εκκαθάριη των δεδοµένων κλπ.

9 9 Είναι φανερό ότι για µεγάλο αριθµό ποικιλίας δεδοµένων, για µεγάλο πλήθος δεδοµένων, για δεδοµένα που απαιτούν υχνή πρόβαη και αλλαγές, τα παραδοιακά υτήµατα οργανώεως µε βιβλία καταχωρήεων και εγγραφές µε το χέρι γίνονται δύχρητα, αργά και ευαίθητα ε λάθη. Αντίθετα τα ηλεκτρονικά υτήµατα αρχειοθετήεως που ήµερα χεδόν αποκλειτικά βαίζονται ε ηλεκτρονικούς υπολογιτές, παρακάµπτουν άνετα όλες αυτές τις δυκολίες ενώ προφέρουν επιπλέον δυνατότητες για αυτοµατοποιηµένη επεξεργαία και ανάλυη των δεδοµένων και παραγωγή νέων δεδοµένων και εκθέεων διαφόρων τύπων. Οι τρόποι οργανώεως των δεδοµένων οµές δεδοµένων, η διαµόρφωη και οι αρχές λειτουργίας των βάεων δεδοµένων, η θεωρία και µεθοδολογία των υτηµάτων διαχειρίεως των βάεων δεδοµένων έχει αναπτυχθεί εξαιρετικά τα τελευταία χρόνια και ήµερα αποτελεί ένα ιδιαίτερο κλάδο της επιτήµης της πληροφορικής, τα «Συτήµατα Βάεως εδοµένων». Ένας ακόµη νέος τοµέας έχει προκύψει από τον υνδυαµό της Αυτοµατοποιηµένης Σχεδιάεως Computer Aded Desg, CAD και της χαρτογραφίας Mappg, µε βάεις δεδοµένων τα Γεωγραφικά Συτήµατα Πληροφοριών ΓΣΠ ή Γεωπληροφοριακά Συτήµατα Geographcal Iformato Sstems, GIS. Τα ΓΣΠ επιτρέπουν τη διαχείριη γεωγραφικών πληροφοριών, δηλαδή πληροφοριών που έχουν αν χαρακτηριτικά την εξάρτηη τους από γεωγραφικές υντεταγµένες και περιοχές του χώρου, καθώς και το ότι είναι πολυεπίπεδες ή διατρωµατωµένες, δηλαδή για την ίδια περιοχή ή ηµείο το χώρο υπάρχει µία επαλληλία πληροφοριών που έχουν έννοια είτε αν ανεξάρτητες µεταξύ τους πληροφορίες είτε ε υνδυαµό, ανάλογα µε το επιδιωκόµενο κάθε φορά αποτέλεµα. Για παράδειγµα ένα γεωφυικός χάρτης της Ελλάδας που περιλαµβάνει και τα όρια διοικητικής διαιρέεως ε διαµερίµατα και νοµούς, τις πόλεις και το οδικό δίκτυο. Το ανάγλυφο του εδάφους, τα όρια των νοµών, οι πόλεις και το οδικό δίκτυο αποτελούν ξεχωριτές πληροφορίες που, προκειµένου για κοινό χάρτη, θα µπορούαν να χεδιατούν ε διαφορετικά διαφανή φύλλα επίπεδα ή τρώµατα, laers και ανάλογα µε το τι θέλουµε, να χρηιµοποιήουµε ένα µόνο ή να µπορούµε να υνδυάουµε δύο ή περιότερα φύλλα. Π.χ. το ανάγλυφο µε το οδικό δίκτυο.. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΧΕΙΡΙΣΕΩΣ ΒΑΣΕΩΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Στην αρχή οι βάεις δεδοµένων είχαν αν απαίτηη απλά και µόνο την αποθήκευη απλών δεδοµένων. Στην περίπτωη αυτή, ο γενικός τρόπος αποθηκεύεως είναι η δηµιουργία ενός αρχείου όπου καταχωρούνται τα δεδοµένα το ένα µετά από το άλλο και ξεχωρίζουν µεταξύ τους είτε µε κάποιο διακριτικό ηµάδι, π.χ. κενό διάτηµα ή κόµµα, είτε διότι καταλαµβάνουν αυτηρά προκαθοριµένο χώρο, π.χ. δύο ή τέαρες θέεις µνήµης ψηφιολέξεις, btes. Αν οι ανεξάρτητες πληροφορίες υντίθενται από δύο ή περιότερες απλές πληροφορίες π.χ. όνοµα, επώνυµο, αριθµός τηλεφώνου, τότε κάθε τέτοια οµάδα αποτελεί ένα πεδίο feld το αρχείο ή την βάη δεδοµένων. Στην πρώτη περίπτωη έχουµε ένα απλό αρχείο ειράς, όπου για να φθάουµε µέχρι τη ζητούµενη πληροφορία πρέπει να διατρέξουµε όλες τις προηγούµενες από την αρχή του αρχείου πρόβαη ειράς, seral access. Στην δεύτερη περίπτωη, αν γνωρίζουµε τον αριθµό θέεως της πληροφορίας µπορούµε να έχουµε άµεη πρόβαη αυτήν άµεη ή τυχαία πρόβαη, radom access. Η έννοια «τυχαία» εννοείται εδώ ως «µε ελεύθερη βούληη». Προκειµένου να είναι ταχεία η πρόβαη ε υγκεκριµένες πληροφορίες τα αρχεία, οι πληροφορίες πρέπει να είναι ταξινοµηµένες µε κάποια ειρά, κάποιο κριτήριο, και

10 0 εναλλακτικά ή επιπλέον να υπάρχουν βοηθητικοί πίνακες µε υνοπτικές πληροφορίες ευρετήρια, dex για το που βρίκεται τι. Τέλος όταν υπάρχουν πολλές διαφορετικές πληροφορίες που κατά περίπτωη υνδυάζονται µε τον ένα ή τον άλλο τρόπο, τότε αυτές καταχωρούνται ε διαφορετικά αρχεία ή περιοχές του αρχείου της βάεως και µπορούν να υνδυατούν µε βάη κάποιες λογικές επιλογές που προδιορίζει ο ενδιαφερόµενος χρήτης της βάεως. Στην περίπτωη αυτή ηµαντικό ρόλο την οργάνωη αλλά και την αξιοποίηη της πληροφορίας παίζουν οι χέεις relatos που θα οριθούν µεταξύ των διαφόρων κατηγοριών πληροφοριών. Μια βάη δεδοµένων αυτού του τύπου, που επιτρέπει τον υνδυαµό πληροφοριών µε διάφορες χέεις καλείται χειακή βάη δεδοµένων relatoal database και αντίτοιχα το ύτηµα για τη διαχείριη της βάεως ύτηµα διαχειρίεως χειακής βάεως δεδοµένων relatoal database maagemet sstem, RDBMS. Αυτά αποτελούν ήµερα και τα πλέον διαδεδοµένα υτήµατα βάεων δεδοµένων. Η εξέλιξη του προγραµµατιµού και των δυνατοτήτων των υπολογιτών, οδήγηε τα αντικείµενα objects και το αντικειµενοτραφή προγραµµατιµό object oreted programmg που είναι εξέλιξη των ενοτήτων προγράµµατος modules και του δοµηµένου προγραµµατιµού structured programmg. Ένα αντικείµενο είναι µια ιδεατή οντότητα που όπως και ένα υλικό ή πραγµατικό αντικείµενο έχει αφ ενός κάποια χαρακτηριτικά και ιδιότητες και αφ ετέρου κάποιες λειτουργίες και αντιδράεις ε εξωτερικές προκλήεις. Το πλέον χαρακτηριτικό, αλλά όχι και µοναδικό, παράδειγµα αντικειµένου ε υπολογιτή είναι τα γνωτά παράθυρα wdows, παλαιότερα γνωτά ως πλαίια frames, όπως αυτά λειτουργούν το οµώνυµο λειτουργικό ύτηµα. Ένα παράθυρο προδιορίζεται από τις πληροφορίες data που ορίζουν τον τύπο, την θέη, τις διατάεις του, το χρώµα του κλπ. Και επιπλέον περιλαµβάνει καθοριµένες λειτουργίες που ενεργοποιούνται αν αντίδραη ή απάντηη ε προκαθοριµένους χειριµούς του πληκτρολογίου ή του ποντικιού. Η ιδέα του αντικειµένου, αποτελεί µια ελκυτική εξέλιξη της ιδέας του πεδίου για τις βάεις δεδοµένων. Μέα τα πεδία µπορεί κανείς να αποθηκεύει µόνο τατικά δεδοµένα. Όλες οι χέεις µεταξύ των δεδοµένων, καθώς και οι διάφορες δυνατές επεξεργαίες που µπορούν αυτά να υποτούν πρέπει να οριθούν εξωτερικά. Αυτό πολλές φορές δηµιουργεί προβλήµατα, διότι εκτός από την δυκολία αυτή καθ εαυτή του οριµού αυτών των χέεων και επεξεργαιών που υνήθως απαιτεί κάποια επιπλέον προγράµµατα, υπάρχει και ο φόβος να χρηιµοποιηθούν εκ παραδροµής χέεις και επεξεργαίες ε υγκεκριµένα δεδοµένα που δεν είναι επιτρεπτές ή δεν έχουν έτω νόηµα. Για παράδειγµα ως µηνιαία τιµή της βροχής ε µία περιοχή ορίζουµε το άθροιµα των ηµερηίων τιµών της βροχής του υγκεκριµένου µήνα, ενώ ως µηνιαία τιµή της θερµοκραίας ε µία περιοχή ορίζουµε την µέη τιµή των µέων ηµερηίων τιµών της θερµοκραίας του υγκεκριµένου µήνα. Σε µία υνηθιµένη βάη δεδοµένων, τόο τα ηµερήια ύψη βροχής, όο και οι µέες ηµερήιες θερµοκραίες καταχωρούνται κατά τον ίδιο τρόπο. Αν κανείς δεν προέξει, όταν επεξεργάζεται ταυτόχρονα βροχές και θερµοκραίες µπορεί πολύ απλά να κάνει λάθος,. Η τελευταία εξέλιξη τις βάεις δεδοµένων είναι λοιπόν οι αντικειµενοτραφείς βάεις δεδοµένων object oreted databases όπου οι καταχωρηµένες πληροφορίες δεν είναι απλά πεδία, αλλά αντικείµενα, ύµφωνα µε τα παραπάνω. Άλλες εξελίξεις τις βάεις δεδοµένων, ηµαντικές αλλά πλέον απλές τη ύλληψη είναι οι διανεµηµένες βάεις δεδοµένων dstrbuted databases και οι τεχνολογία πελάτουπαροχέα clet-server techolog. Στην πρώτη περίπτωη η βάη δεδοµένων είναι φυικά

11 διανεµηµένη ε πολλούς υπολογιτές, και διαφορετικές τοποθείες, ενώ από άποψη χρήης και πληροφορικής εµφανίζεται αν µια ενιαία βάη. Τέτοιες βάεις χρηιµοποιούνται ήµερα ε τράπεζες, νοοκοµειακά υτήµατα και µεγάλες πολυεθνικές επιχειρήεις όπου οι πληροφορίες ανανεώνονται υνεχώς από διάφορα ηµεία και πρέπει να µπορούν να προεγγιθούν και να αξιοποιηθούν από κάθε ηµείο του υτήµατος που µπορεί να καλύπτει περιοχή τόο µεγάλη όο ολόκληρος ο πλανήτης µας. Στη δεύτερη περίπτωη απλά αποµονώνεται η καθ αυτό βάη από τους χρήτες της, έτι ώτε να είναι αφαλέτερη και πρακτικότερη η χρήη της από πολλούς χρήτες ταυτόχρονα.

12 III. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΓΕΝΙΚΑ Η Στατιτική είναι η Επιτήµη που µελετά την υλλογή, ταξινόµηη, ανάλυη και παρουίαη αριθµητικών δεδοµένων µε τόχο την εξαγωγή γενικών υµπεραµάτων από ένα µεγάλο υνήθως ύνολο λεπτοµερειών. Το ξεκίνηµα της Στατιτικής ιτορικά δεν είναι µε ακρίβεια γνωτό, φαίνεται όµως ότι υνδέεται µε την δηµιουργία οργανωµένων κρατών µε κεντρική διοίκηη. Το όνοµά της αυτό καθ εαυτό «Στατιτική» ετυµολογικά προέρχεται από τη λέξη «Status» που τα λατινικά ηµαίνει κράτος. Οι τατιτικές αναλύεις που ενδιέφεραν τα κράτη τα αρχαία χρόνια βέβαια, ήταν περιότερο υγγενείς µε τη ηµερινή ηµογραφία. Η αρχές της ηµερινής επιτήµης της Στατιτικής είναι αρκετά πιο πρόφατες, πριν από δύο περίπου αιώνες. Η τατιτική βοηθήθηκε πολύ την ανάπτυξή της από την πρόοδο των µαθηµατικών και, κατά την τελευταία τριακονταετία, από την πρόοδο των ηλεκτρονικών υπολογιτών και της πληροφορικής. Ταυτόχρονα οι νέες µέθοδοι υψηλής τεχνολογίας για τη υλλογή τοιχείων αύξηαν τις απαιτήεις για ανάλυη µεγάλου αριθµού και ποικιλίας δεδοµένων. Η Στατιτική αν επιτήµη ανήκει την περιοχή των Μαθηµατικών. Είναι όµως και «Τέχνη», αφού η επιλογή των καταλληλότερων µεθόδων δεν µπορεί να γίνει πάντοτε µε αντικειµενικά κριτήρια ή µε βάη αυτηρές διαδικαίες, αλλά πολλές φορές είναι αποτέλεµα εµπειρίας αν όχι και διαιθήεως. Πολλές µέθοδοι που χρηιµοποιούνται αποδοτικά για πολλά χρόνια και που οδηγούν ε αξιόπιτα υµπεράµατα δεν είναι ακόµη πλήρως θεωρητικά τεκµηριωµένες. Σε κάθε περίπτωη η γνώη των µεθόδων, της θεωρητικής αναλύεως και τεκµηριώεώς των όταν αυτή υπάρχει, και οι αυτηρές διαδικαίες εφαρµογής των είναι απαραίτητες προκειµένου να ληφθούν αποτελέµατα αντιπροωπευτικά και χωρίς φάλµατα. Η κακή χρήη των διαφόρων µεθόδων, η κατάχρηη της τατιτικής, και η κακή υλλογή δεδοµένων δίνει άχρητα και επικίνδυνα αποτελέµατα που οδηγούν ε εφαλµένες εκτιµήεις και υµπεράµατα ή απατηλές εικόνες της πραγµατικότητας. Ανάλογα µε το αντικείµενο των αναλύεων και τον επιδιωκόµενο κοπό, διακρίνουµε τους ακόλουθους µεγάλους τοµείς τη Στατιτική: Θεωρία πιθανοτήτων / Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας /Νόµοι και κατανοµές πιθανότητας Βαική Στατιτική / ιερευνητική Στατιτική Ανάλυη της διαποράς / Θεωρία φαλµάτων / ιατήµατα εµπιτούνης Προαρµογή Καµπυλών, Παλινδρόµηη και Συχέτιη Θεωρία ειγµατοληψίας Έλεγχοι υποθέεων και ηµαντικότητας Μη παραµετρικές µέθοδοι Ανάλυη Χρονοειρών Χωρική Στατιτική / Πολυδιάτατη ανάλυη

13 . ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 3 Οριµένες από τις µεταβλητές που περιγράφουν φυικά φαινόµενα µπορούν να εκφραθούν αν υνάρτηη περιοριµένου αριθµού άλλων µεταβλητών, κατά τρόπο ώτε αν είναι γνωτές οι τιµές των δεύτερων να προδιορίζονται µε ακρίβεια και οι τιµές των πρώτων. Για παράδειγµα η µέη ταχύτητα ε ένα αγωγό, V, που είναι υνάρτηη της παροχής και της διατοµής του αγωγού: Q V S Οι µεταβλητές αυτές και οι χέεις που τις υνδέουν καλούνται προδιοριτικές. Υπάρχουν όµως και µεταβλητές που εξαρτώνται από ένα πολύ µεγάλο πλήθος άλλων µεταβλητών, έτι ώτε να είναι πρακτικά αδύνατο να διερευνηθεί ο τρόπος εξαρτήεώς των από αυτές και να κατατρωθεί µία προδιοριτική χέη µεταξύ των. Σ'αυτή την περίπτωη δεν είναι δυνατόν να προβλέψουµε την τιµή τους µε ακρίβεια και για τον λόγο αυτό τις ονοµάζουµε τυχαίες µεταβλητές. Οι τυχαίες µεταβλητές υπακούουν υνήθως ε οριµένους µαθηµατικούς - τατιτικούς νόµους, που τους ονοµάζουµε νόµους της "τύχης". Παράδειγµα τυχαίας µεταβλητής είναι το ύψος βροχής που εξαρτάται από χιλιάδες µετεωρολογικούς παράγοντες της ατµόφαιρας της Γης. Όταν οι τυχαίες µεταβλητές παρουιάζουν κάποια αλληλουχία ή δοµή τον χρόνο ή τον χώρο, τις αποκαλούµε τοχατικές µεταβλητές. Παράδειγµα η παροχή ενός ποταµού τον χρόνο. Το αν µία µεταβλητή και τα χετικά προβλήµατα θα αντιµετωπιθούν ως προδιοριτικά ή τοχατικά εξαρτάται από την κρίη του µελετητού ύµφωνα µε τις δυνατότητές του για µετρήεις, ανάλυη και υπολογιµό. Μία µεγάλη κατηγορία προβληµάτων των Υδατικών Πόρων και του Περβάλλοντος έχει επικρατήει να θεωρούνται πιθανολογικά ή τοχατικά. Οι τυχαίες µεταβλητές, και οι τοχατικές υναρτήεις, υµβολίζονται υνήθως µε ένα κεφαλαίο γράµµα, π.χ., Y, Qt. Εάν µια τυχαία µεταβλητή παίρνει πεπεραµένο ή άπειρο αριθµήιµο πλήθος τιµών, καλείται απαριθµητή ή "διακριτή τυχαία µεταβλητή, ενώ εάν παίρνει άπειρο µη αριθµήιµο πλήθος τιµών, καλείται υνεχής τυχαία µεταβλητή. Οι τυχαίες µεταβλητές που εκφράζουν διάφορα χαρακτηριτικά του περιβάλλοντος είναι γενικά υνεχείς, όµως για να γίνει δυνατή η επεξεργαία τους από τους ψηφιακούς υπολογιτές τις µετατρέπουµε ε διακριτές. Κάνουµε δηλαδή τη λεγοµένη διακριτοποίηη των µεταβλητών.

14 4 3. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Η Θεωρία Πιθανοτήτων αχολείται µε τους µέους όρους µαζικών φαινοµένων που υµβαίνουν διαδοχικά ή υγχρόνως, όπως η κατανοµή ταχυτήτων ε τυρβώδη ροή και οι βροχοπτώεις. Παρατηρήθηκε οτι ε τέτοιες περιπτώεις µερικοί µέοι όροι τείνουν προς µία ταθερή τιµή όταν ο αριθµός των παρατηρήεων αυξάνει. Ο κοπός της Θεωρίας πιθανοτήτων είναι να περιγράψει και να προβλέψει τέτοιους µέους όρους και αυτό γίνεται επιυνάπτοντας πιθανότητες ε διάφορα γεγονότα. Γεγονός είναι το αποτέλεµα µιας πειραµατικής µετρήεως ή παρατηρήεως της τυχαίας µεταβλητής. Ένα ύνολο γεγονότων υνθέτει ένα δείγµα. Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα γεγονός, εκφράζει τον λόγο των ευνοϊκών ενδεχοµένων προς το ύνολο των δυνατών ενδεχοµένων. Η πιθανότητα δηλαδή δίνει το µέτρο της χετικής υχνότητας µε την οποία παρατηρείται ένα ενδεχόµενο όταν γίνουν πολλές παρατηρήεις. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος α είναι ένας θετικός αριθµός Ρα µικρότερος ή ίος της µονάδας. Όταν η πιθανότητα είναι τότε πρόκειται για το βέβαιο γεγονός, δηλαδή αυτό που πραγµατοποιείται 00%. Αξιωµατικός οριµός της Πιθανότητας Υπάρχουν πολλοί οριµοί της πιθανότητας που βαίζονται το τι εκφράζει η πιθανότητα. Ο καλύτερος όµως οριµός είναι ο αξιωµατικός οριµός της πιθανότητας που βαίζεται τα τρία επόµενα αξιώµατα, και επιτρέπει τη µαθηµατική δόµηη της θεωρίας των πιθανοτήτων: Αξίωµα. Η πιθανότητα PA ενός ενδεχοµένου Α είναι ένας θετικός αριθµός που χαρακτηρίζει το ενδεχόµενο αυτό: PA 0 Αξίωµα. Η πιθανότητα του βεβαίου ενδεχοµένου ιούται µε : PS Αξίωµα 3. Εάν τα ενδεχόµενα Α και Β είναι αυµβίβατα µεταξύ τους τότε: PA+BPA+PB Ο υπολογιµός των πιθανοτήτων ενός ενδεχοµένου την πράξη γίνεται είτε µε βάη τον λόγο των ευνοϊκών ενδεχοµένων προς το ύνολο των δυνατών ενδεχοµένων, εάν ο υνολικός αριθµός ενδεχοµένων είναι γνωτός και τα διαφορετικά ενδεχόµενα θεωρούνται ιοπιθανά. Εάν ο αριθµός των δυνατών ενδεχοµένων είναι άγνωτος ή άπειρος, τότε ο υπολογιµός των πιθανοτήτων ενός ενδεχοµένου γίνεται µε βάη τη χετική υχνότητα, χρηιµοποιώντας τον µεγαλύτερο δυνατό αριθµό παρατηρήεων.

15 5 Πιθανότητες υπό υνθήκη Εάν εξαρτήουµε την πιθανότητα επιυµβάεως ενός ενδεχοµένου B από την αντίτοιχη πιθανότητα ενός άλλου ενδεχοµένου A τότε έχουµε την πιθανότητα υπό υνθήκη ή δεµευµένη πιθανότητα: PB A «Η πιθανότητα του Β όταν Α», δηλαδή η πιθανότητα να υµβεί το Β µε την προϋπόθεη οτι έχει υµβεί το Α. Σ αυτήν την περίπτωη δεν ενδιαφέρει η υνολική πιθανότητα του Β αλλά µόνο εκείνο το ποοτό της κοινής πιθανότητας να υµβεί το Α και το Β, και φυικά η πιθανότητα να υµβεί το Α: Το θεώρηµα του Baes Ο Thomas BAYES ήταν Άγγλος κληρικός του 8 ου αιώνα που µελέτηε τον τρόπο µε τον οπoίο αλλάζουν οι πιθανότητες καθώς αυξάνει η διαθέιµη πληροφορία. Η εξίωη A,BPB APA δηλώνει ότι η πιθανότητα να πραγµατοποιηθούν το ενδεχόµενο Α και το ενδεχόµενο Β ταυτόχρονα ιούται µε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο Α επί την πιθανότητα να υµβεί το Β, δοθέντος ότι το Α έχει πραγµατοποιηθεί. Το ίδιο ιχύει προφανώς αν τα Α και Β ανταλλάξουν θέεις: PA,BPA BPΒ Οπότε προκύπτει ότι: PA,BPA BPΒ PB APΑ Που µπορεί να γραφεί ως A P B P B A P A B P Αποδεικνύεται οτι εάν Α είναι ένα γεγονός που αν υµβεί, τότε πραγµατοποιείται οπωδήποτε και ένα από τα αυµβίβατα µεταξύ τους γεγονότα Β, Β,..., Β τότε: B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A P... Ο υνδυαµός των δύο τελευταίων εξιώεων δίνει την εξίωη που είναι γνωτή ως «θεώρηµα του Baes»: B A P B P B P B A P A B P Το θεώρηµα αυτό εκφράζει τη χέη µεταξύ των δεµευµένων πιθανοτήτων και των ανεξάρτητων πιθανοτήτων., Α P A B P Α, Β P A P B A P A B P

16 6 4.ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Για µία τυχαία µεταβλητή ορίζεται:. Η υνάρτηη ή κατανοµή πιθανότητας, που είναι µία θετική υνάρτηη : α ιακριτή µεταβλητή: f x P x όπου k,,3 k k µε f 0, f β Συνεχής µεταβλητή: f x P x x k k x k µε f x 0 και f x dx. Η αθροιτική υνάρτηη κατανοµής ή απλώς υνάρτηη κατανοµής, που είναι µία θετική µη φθίνουα υνάρτηη : α ιακριτή µεταβλητή: F P x P x < x P x k a P x < x P x a b µε f 0, f x k k b x k k k β Συνεχής µεταβλητή: F P x P < x f u du P a < < b f u du µε f x 0 και b a f x dx x Τέλος ιχύει οτι : df x f x dx

17 7 Παράµετροι κατανοµών Η µαθηµατική ελπίδα ή αναµενόµενη τιµή ή µέη τιµή µίας διακριτής τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως : E Χ και µίας υνεχούς τυχαίας µεταβλητής ως : x P x E Χ xf x dx Στην ειδική περίπτωη που όλες οι πιθανότητες είναι ίες έχουµε : E Χ x + x + x x Η µέη τιµή είναι η ροπή πρώτης τάξεως της τυχαίας µεταβλητής και υµβολίζεται µε m ή x. Γενικά η ροπή k τάξεως µιας τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως: k k E x µ x f x dx και έχουµε και τις κεντροβαρικές ροπές k τάξεως: k E k x µ µ k x µ k f x dx Η ροπή µ καλείται διαπορά και η τετραγωνική ρίζα της τυπική απόκλιη : E [ x µ Var x µ ] E [ x µ ] Var x Η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη αποτελούν τα κύρια χαρακτηριτικά µίας τυχαίας µεταβλητής και µε τη βοήθεια τους ορίζουµε την αντίτοιχη αδιάτατη τυχαία µεταβλητή που καλείται τυποποιηµένη ή ανηγµένη τυχαία µεταβλητή: µ * * * * προκύπτει οτι E 0 και Var Μεταξύ δύο τυχαίων µεταβλητών ορίζεται η υνδιαπορά ή υµµεταβλητότητα ή υνδιακύµανη που είναι : ΧΥ Cov, Y E[ Y Y ] και ο υντελετής υχετίεως:

18 8 ΧΥ ρ ΧΥ, ρ ΧΥ ΧΥ Όταν ρ 0 λέγουµε οτι οι Χ και Υ είναι αυχέτιτες ή ορθογώνιες. * Όταν αναφερόµατε τον υντελετή υχετίεως, γενικά εννοούµε τον υντελετή γραµµικής υχετίεως, δηλαδή αυτόν που εκφράζει κατά πόο µπορούν δύο µεταβλητές να υνδεθούν µεταξύ των µε κάποια γραµµική χέη. Είναι δυνατόν δύο µεταβλητές να είναι γραµµικά αυχέτιτες, αλλά να υπάρχει απόλυτη χέη µεταξύ των άλλης µορφής, όπως για παράδειγµα όταν τα ζεύγη τιµών των δύο µεταβλητών αποτελούν ηµεία της περιφέρειας ενός κύκλου.

19 5. ΝΟΜΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟΥΣ Υ ΑΤΙΚΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ 9 Έχει παρατηρηθεί οτι οριµένες κατηγορίες τυχαίων µεταβλητών ακολουθούν καθοριµένους νόµους πιθανοτήτων. Οι κυριότεροι από αυτούς τους νόµους παρουιάζονται τον χετικό πίνακα. Στη υνέχεια θα επιµείνουµε περιότερο τους νόµους του GAUSS και του GUMBEL που είναι οι απλούτεροι και περιότερο χρηιµοποιούµενοι. ΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ. Κανονική κατανοµή Gauss. ις εκθετική κατανοµή Gumbel 3. Λογοκανονική κατανοµή Logormal, Galto 4. Κατανοµή Posso 5. Οµοιόµορφη κατανοµή 6. Οι ακραίες κατανοµές 7. Κατανοµή χ 8. Κατανοµή F Sedecor-Fsher 9. Κατανοµή t του Studet 0. υωνυµική κατανοµή. Κατανοµή Pearso ΙΙΙ. Κατανοµή βήτα 3. Κατανοµή Beroull 4. Εκθετική κατανοµή Κανονική κατανοµή ή κατανοµή Gauss. Οι τυχαίες µεταβλητές που περιγράφουν τις µέες τιµές φυικών µεγεθών π.χ. οι ετήιες παροχές ή τα ετήια ύψη βροχής κατανέµονται τατιτικά ύµφωνα µε το νόµο του Gauss. Η υνάρτηη πυκνότητας της κατανοµής αυτής είναι: f z e π z /

20 0 και η αθροιτική υνάρτηη κατανοµής : F z π e u / du + π 0 e u / du όπου z m u : η ανηγµένη µεταβλητή µε µέη τιµή m και τυπική απόκλιη. Η δις-εκθετική κατανοµή ή κατανοµή Gumbel. Ο νόµος αυτός υγκαταλέγεται την οµάδα των ακραίων κατανοµών διότι περιγράφει ικανοποιητικά τις κατανοµές των ακραίων τιµών τυχαίων µεταβλητών π.χ. µέγιτες ετήιες βροχοπτώεις. Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας είναι : f e e e και η αθροιτική υνάρτηη κατανοµής F e e όπου ax-b, α.8s - και b m s Εάν γνωρίζουµε τη υνάρτηη κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής µπορούµε να υπολογίουµε ποία πιθανότητα έχει αυτή να πάρει µία οριµένη τιµή ή για οριµένη πιθανότητα ποία τιµή θα πάρει. Στην Υδρολογία, αλλά και ε άλλες επιτήµες της Γής, οι πιθανότητες αναφέρονται υνήθως την περίοδο επαναφοράς, δηλαδή κάθε πόα έτη πρέπει κατά µέο όρο να αναµένουµε οτι η τυχαία µεταβλητή θα υπερβεί µία οριµένη τιµή. Έτι έχουµε: F x ή F x T T ανάλογα µε το εάν η υπέρβαη γίνει προς τα ελάχιτα ή προς τα µέγιτα. Τ είναι η περίοδος επαναφοράς ε έτη. Παράδειγµα: για ένα δείγµα βροχής διάρκειας 5' µε m 4.0 και s.5 : a 0.85, b 3.33 και από το νόµο του Gumbel προκύπτει H Τ0 6.0 mm.

21 6. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Στην Στατιτική γενικά και το Περιβάλλον ιδιαιτέρως γνωρίζουµε τις τυχαίες µεταβλητές από ένα περιοριµένο ύνολο τιµών τους που αποτελεί ένα δείγµα. Αγνοούµε και τις κατανοµές αυτών των τυχαίων µεταβλητών και τις παραµέτρους των κατανοµών αυτών. Συνήθως έχουµε µετρήεις µερικών δεκαετιών και ζητούµε να υπολογίουµε τις τιµές των µεταβλητών για περιόδους επαναφοράς εκατονταετίας ή χιλιετίας, προκειµένου για φαινόµενα που εξελίονται τον χρόνο, ή ηµειακές µετρήεις ε λίγα ηµεία µίας περιοχής πολλών τετραγωνικών χιλιοµέτρων, προκειµένου για φαινόµενα που εξελίονται τον χώρο. Επιπλέον οι παρατηρήεις που υνθέτουν το δείγµα µας περιέχουν γενικά διάφορα φάλµατα τυχαία ή υτηµατικά. Το πρώτο πράγµα που πρέπει να κάνει κανείς όταν πρόκειται να επεξεργαθεί περιβαλλοντικά δεδοµένα είναι να ελέγξει την αξιοπιτία τους, εξετάζοντας την προέλευη τους και τις υνθήκες κάτω από τις οποίες έχουν µετρηθεί. Αυτό δεν είναι πάντοτε εύκολο. 7. ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Όταν διαθέτουµε ένα αξιόπιτο δείγµα µε µετρήεις επί 0 έως 30 έτη τουλάχιτον, επιδιώκουµε να προαρµόουµε το δείγµα µία γνωτή υνάρτηη κατανοµής ώτε να µπορούµε να κάνουµε αργότερα τατιτικές εκτιµήεις και προβλέψεις. Η εκλογή ε πρώτη φάη της κατανοµής είναι αυθαίρετη και µόνος οδηγός µπορεί να είναι η πείρα. Οι πραγµατικές παράµετροι της τυχαίας µεταβλητής είναι άγνωτες, έτι αναγκατικά θα εργαθούµε µε τις "δειγµατικές παραµέτρους" : M x + x + x x 3 δειγµατική µέη τιµή S x x δειγµατική διαπορά όπου: Cov x x x δειγµατική υνδιαπορά x x µέη τιµή Επειδή οι δειγµατικές παράµετροι είναι περιότερο ή λιγότερο ακριβείς και αντιπροωπευτικές για τις πραγµατικές παραµέτρους ε χέη και µε το µέγεθος του δείγµατος υνηθίζεται να υνοδεύονται από ένα διάτηµα εµπιτούνης που αντιτοιχεί ε ένα βαθµό εµπιτούνης. Π.χ. για τιµή µέγιτου ύψους βροχής h δίδεται και µία τιµή h' έτι ώτε h - h' < h< h + h' για ένα βαθµό εµπιτούνης α%. ηλαδή τα α% των περιπτώεων το h' θα βρίκεται µέα το διάτηµα [h - h'], [h + h']. Για τις διάφορες κατανοµές υπάρχουν τα εξειδικευµένα βιβλία χετικοί πίνακες και διαγράµµατα που διευκολύνουν τον υπολογιµό.

22 Για την κανονική κατανοµή υπολογίζεται εύκολα οτι : Για: M S x M + S α 68.7% M S x M + S α 95.45% M 3 S x M + 3S α 99.73% Υπάρχουν, τέλος, διάφοροι µέθοδοι ελέγχου, οι οποίες µπορούν να µας πληροφορήουν ποία από τις κατανοµές που προεκλέξαµε ταιριάζει καλύτερα τα δεδοµένα µας.

23 3 8. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οριµός και ιδιότητες των εκτιµητριών Έτω τυχαίες µεταβλητές Χ, Χ, Χ 3,, Χ που προέρχονται από τον ίδιο πληθυµό και ακολουθούν τον νόµο κατανοµής Fx, θ. Η παράµετρος θ µπορεί να εκτιµηθεί µε τη βοήθεια της υναρτήεως: gχ, Χ, Χ 3,, Χ. H g είναι η εκτιµήτρια της παραµέτρου θ. Κάθε τιµή της g θα είναι µια εκτίµηη της παραµέτρου θ. Αυτή η εκτιµήτρια καλείται αµερόληπτη ή αβίατη εάν: Ε[gΧ, Χ, Χ 3,, Χ ]θ ηλαδή δεν υπάρχει υτηµατικό φάλµα για κανένα Η εκτιµήτρια είναι υγκλίνουα ή ορθή εάν: Var[gΧ, Χ, Χ 3,, Χ ] 0 Ε[g] θ όταν όταν Εάν ιχύουν τα παραπάνω, αυτό ηµαίνει ότι η εκτίµηη τείνει κατά τη µέη τετραγωνική τιµή προς την τιµή που θέλουµε να εκτιµήουµε. Η εκτιµήτρια καλείται απολύτως ορθή όταν είναι ορθή και αµερόληπτη. Η αποτελεµατικότητα µιας εκτιµήτριας βαίζεται τη διακύµανη της. Όο περιότερο η διακύµανη είναι µικρή, τόο πιο αποτελεµατική είναι η εκτιµήτρια. Εκτιµήτρια της µέης τιµής Ζητούµε την εκτίµηη της µέης τιµής m ενός πληθυµού µε τη βοήθεια ενός δείγµατος µεγέθους από αυτόν τον πληθυµό. Οι τιµές x, x, x 3,, x που παρατηρούνται το δείγµα είναι οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών Χ, Χ, Χ 3,, Χ που έχουν τις ίδιες χαρακτηριτικές τιµές. Η εκτιµήτρια της m: Η M M είναι λοιπόν µια αβίατη εκτιµήτρια. E[ M ] E[ ] E m Var M E M m E x E m Επειδή οι τυχαίες µεταβλητές Χ ι είναι ανεξάρτητες και έχουν την ίδια διακύµανη :

24 4 m E M Var Η εκτιµήτρια M είναι λοιπόν απολύτως ορθή Εάν οι τυχαίες µεταβλητές Χ ι ακολουθούν της κανονική κατανοµή, τότε, λόγω της ταθερότητας της κανονικής κατανοµής, µπορούµε να βεβαιώουµε ότι και η M θα ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Η m M / ακολουθεί την ανηγµένη κανονική κατανοµή. Αυτό ιχύει και για τυχαίες µεταβλητές Χ ι που δεν ακολουθούν της κανονική κατανοµή, υπό την προϋπόθεη ότι το είναι αρκετά µεγάλο. Συνέπεια του κεντρικού θεωρήµατος. Εκτιµήτρια της ιαποράς. Η εκτίµηη της διαποράς του πληθυµού γίνεται µε τη βοήθεια της εκτιµήτριας: m m E m E E Πρόκειται λοιπόν για µια αβίατη εκτιµήτρια. + 4 m m E m E Var Επειδή οι τυχαίες µεταβλητές Χ ι είναι ανεξάρτητες: [ ] 4 4 m E m E m E Var j j j + [ ] [ ] µ µ µ Var + Η εκτιµήτρια είναι λοιπόν απολύτως ορθή.

25 5 Στην πραγµατικότητα όµως πάνια το θέµα τίθεται όπως παραπάνω διότι η m είναι γενικά άγνωτη και εκτιµάται µε τη βοήθεια της εκτιµήτριας: M Οπότε και η εκτιµήτρια της διαποράς γίνεται: S E E S E ] [ [ ] m E Var E + + για κάθε I [ ] ] [ ] [ m M E M Var E + + Από όπου η τιµή: ] [ m m S E + + Αυτή η εκτιµήτρια είναι λοιπόν µεροληπτική, και έτι προτιµούµε την: S Η διακύµανη αυτής της εκτιµήτριας είναι: 4 3 ] [ µ µ S Var Η εκτιµήτρια S είναι λοιπόν απολύτως ορθή και όταν ] [ ] [ ] [ 4 Var µ µ S Var Εκτιµήτρια της υνδιαποράς Έτω µια πρώτη εκτιµήτρια:, Y Y Y ov C Η µαθηµατική της ελπίδα είναι:

26 6 ] [ ], [ Y E Y E Y Cov E x m m Y Cov Y E +, [ ] [ ] x x j j m m m m Y Cov Y Y E Y E Y E, + +,,, ], [ Y Cov m m m m Y Cov m m Y Cov Y Cov E x x x + Επειδή αυτή η εκτιµήτρια είναι µεροληπτική προτιµούµε την:, Y Y Y ov C

27 9. ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ. ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 7 Όταν διαθέτουµε ένα ύνολο τιµών µιας υναρτήεως για αντίτοιχες τιµές της µεταβλητής, µε µία µέθοδο παρεµβολής και ίως παρεκβολής, µπορούµε να κατακευάουµε µία υνεχή καµπύλη για να υπολογίζουµε άµεα τις ενδιάµεες ή τις ακραίες τιµές της υναρτήεως. Όταν όµως οι τιµές που διαθέτουµε προέρχονται από µετρήεις οπωδήποτε περιέχουν ένα µικρό ή µεγάλο φάλµα και η καµπύλη που προκύπτει γίνεται εξαιρετικά ανώµαλη, είναι δε φανερό οτι δεν είναι πλέον αντιπροωπευτική της άγνωτης υναρτήεως. Π.χ. οι καµπύλες Q Qh που υπολογίζονται πειραµατικά το εργατήριο. Στην περίπτωη αυτή διαλέγουµε µία καµπύλη, την καµπύλη παλινδροµήεως, που φαίνεται να ταιριάζει µε τη µακροκοπική µορφή της διατάξεως των δεδοµένων µας και την προαρµόζουµε ε αυτά. Η προτιµότερη καµπύλη είναι η ευθεία αx + β για ευνόητους λόγους. Εάν είναι φανερό οτι είναι ακατάλληλη, τότε µπορούµε να "γραµµικοποιήουµε" τις µεταβλητές, δηλαδή να κάνουµε κατάλληλη αλλαγή µεταβλητής, όπως u log ή u κλπ. Οι υντελετές α και β µπορούν να υπολογιτούν εύκολα µε τη µέθοδο των ελαχίτων τετραγώνων, που ελαχιτοποιεί τη µέη τετραγωνική απόκλιη των δεδοµένων από την ευθεία παλινδροµήεως. a b x x x x x x x Για να έχει νόηµα η προαρµογή της καµπύλης παλινδροµήεως θα πρέπει ο υντελετής υχετίεως ρ x x x

28 8 IV. ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα ύνολο διαδοχικών δεδοµένων αποτελεί µια ειρά. εδοµένα που χηµατίζουν ειρές προέρχονται γενικά από την καταγραφή της τιµής µιας µεταβλητής κατά την εξέλιξή της. Χρονοειρά είναι η καταγραφή της τιµής µίας µεταβλητής που εξελίεται τον χρόνο. Εάν η καταγραφή είναι υνεχής τότε χηµατίζεται υνεχής χρονοειρά. Οι υνεχείς χρονοειρές προκύπτουν από αναλογικά καταγραφικά όργανα µετρήεων Μηχανικοί βροχογράφοι, ταθµηγράφοι, θερµογράφοι κ.λ.π.. Είναι δυνατόν όµως η καταγραφή των τιµών να γίνεται µόνο ε οριµένες χρονικές τιγµές οπότε έχουµε διακριτή χρονοειρά διακριτή τον χρόνο. Αυτή είναι η υνηθέτερη περίπτωη. Οι ειρές αυτές προκύπτουν είτε από µετρήεις παρατηρητών ηµερήιες, ωριαίες µε απλά όργανα: ταθµήµετρα, βροχόµετρα, θερµόµετρα κ.λ.π., είτε από τα ύγχρονα αυτόµατα ψηφιακά όργανα µετρήεως όπως ηλεκτροµηχανικά βροχόµετρα, ηλεκτρονικά θερµόµετρα κ.λ.π. Αδρανή,00% 0,00% 8,00% Ποοτό % 6,00% 4,00%,00% 0,00% εβδοµάδες Χρονοειρά του ποοτού % αδρανών υλικών τα απορρίµµατα της Θεαλονίκης την διάρκεια ενός έτους Επειδή για οποιαδήποτε µαθηµατική επεξεργαία µίας χρονοειράς είναι απαραίτητη η ύπαρξη διακριτών τιµών, οι υνεχείς χρονοειρές µετατρέπονται τελικά και αυτές ε διακριτές µε δειγµατοληψία τιµών επάνω τη υνεχή καταγραφή.

29 9 Οι διακριτές χρονοειρές µπορεί να έχουν ταθερό βήµα, δηλαδή χρονική απόταη µεταξύ των διαδοχικών τιµών, ή τυχαίο, µεταβλητό. Όταν το βήµα δεν είναι ταθερό είναι απαραίτητο η χρονοειρά να είναι διπλή: τιµές - αντίτοιχος χρόνος. Αυτό είναι προφανώς επιβαρυντικό για την αποθήκευη και παράταη της ειράς είτε ε πίνακα είτε ε διάγραµµα και δυχεραίνει και τη µαθηµατική επεξεργαία της ειράς. Για τον κοπό αυτό επιδιώκεται ε κάθε ειρά να αποκαταταθεί ταθερό βήµα είτε µε υµπλήρωη είτε µε παρεµβολή τη ειρά.. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Το πουδαιότερο ιδιαίτερο χαρακτηριτικό των χρονοειρών, ε χέη µε κάθε άλλη υλλογή µετρήεων ή δειγµατοληψία, είναι η διάταξη των τιµών ε µία χρονική κλίµακα και η εξάρτηη της τιµής τους από την χρονική τιγµή της µετρήεως. Αυτή η εξάρτηη µπορεί να είναι απόλυτη και να είναι δυνατή η έκφραη της από µία υνάρτηη του τύπου ft, οπότε η ειρά είναι προδιοριτική. Η εξάρτηη όµως από τον χρόνο µπορεί να εκφράζεται κυρίως την εξάρτηη από µια ή περιότερες προηγούµενες τιµές x t αx t- + βx t ε δηλαδή να εκφράζεται τη µνήµη ή εµµονή ε ένα κατά τα άλλα τυχαίο ύνολο τιµών. Μία χρονοειρά µπορεί να αντιπροωπεύει:. πρωτογενείς τιγµιαίες µετρήεις: τιγµιαία παροχή. αθροιτικές τιµές: ηµερήιο ή µηνιαίο ύψος βροχής 3. ακραίες τιµές: µέγιτη ή ελάχιτη θερµοκραία 4. µέες τιµές: µέη θερµοκραία 5. ειδικές τιµές: διεύθυνη ανέµου ε µοίρες 0 ο ο ή ε διευθύνεις Β, ΒΑ, Α κ.λ.π. Μια ειρά µπορεί να είναι ψηφιακή εάν οι τιµές εκφράζονται ε αυνεχή βήµατα πεπεραµένα τον αριθµό διατήµατα ή κλάεις ή ακόµη δυαδική εάν οι µόνες δυνατές τιµές είναι το 0 και το ή -, 0 και.

30 Συνεχής ιακριτή Ψηφιακή υαδική Εκτός από τα παραπάνω χαρακτηριτικά των χρονοειρών που αφορούν κυρίως την παρατήρηη, µέτρηη και καταγραφή δειγµατοληψία της µεταβλητής που δηµιουργεί τη ειρά, κάθε χρονοειρά παρουιάζει και οριµένα χαρακτηριτικά που αφορούν το φαινόµενο το οποίο αντιπροωπεύει. Αυτά είναι: ιαλείψεις: Απουία τιµών για κάποιο χρονικό διάτηµα. Το πλέον χαρακτηριτικό παράδειγµα είναι η βροχή. Σε χρονικό βήµα µικρότερο από τον µήνα είναι ένα τελείως αυνεχές φαινόµενο. Τοπικές ανωµαλίες: Κάποιες εξαιρετικά µεγάλες ή εξαιρετικά µικρές τιµές, ε χέη µε τις γειτονικές, που εµφανίζονται πάνια και ακανόνιτα. Μπορεί να οφείλονται ε λάθος µετρήεις ή να παριτούν κάποιο εξαιρετικό γεγονός. 3 Τάεις: Όταν η µέη τιµή που λαµβάνεται ε περιοριµένο χρονικό διάτηµα περιοριµένο αριθµό τιµών δεν είναι ταθερή αλλά για διαδοχικά διατήµατα παρουιάζει αύξηη ή µείωη ή ακόµη χαρακτηριτικές αυξοµειώεις. 4 Περιοδικότητες: Κανονικές κυκλικές ηµιτονοειδείς ή υνηµιτονοειδείς διακυµάνεις, αφώς προδιοριτικού χαρακτήρα. 5 Εποχικότητα: ιακυµάνεις που δεν είναι κυκλικές αλλά ωτόο µε αφές χρονικό βήµα. 6 Κανονικότητα: Η διακύµανη γύρω από τη µέη τιµή ακολουθεί την κανονική κατανοµή.

31 3 7 Στατικότητα: Τα τατιτικά χαρακτηριτικά της ειράς παραµένουν αναλλοίωτα τον χρόνο. Συνήθως περιοριζόµατε τη λεγόµενη τατικότητα β τάξεως δηλαδή η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη να είναι ταθερή. 8 Εργοδικότητα: Αν θεωρηθεί ότι µία χρονοειρά αποτελεί µία πραγµατοποίηη της τυχαίας µεταβλητής που παριτά, τότε θα µπορούαν να υπάρξουν και άλλες πραγµατοποιήεις, ταυτόχρονες, ή ε διαφορετικούς χρόνους, της ίδιας µεταβλητής. Εργοδικότητα υπάρχει όταν τα τατιτικά χαρακτηριτικά παραµένουν τα ίδια ε όλες τις δυνατές πραγµατοποιήεις της ειράς. Ο αυτηρός έλεγχος της εργοδικότητας είναι γενικά αδύνατος, και για τον λόγο αυτό δεχόµατε υνήθως ως εργοδική µία ειρά που είναι τατική β τάξεως. 3. ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ Κατ επέκταη των παραπάνω µία χρονοειρά µπορεί να αναφέρεται ε µία µεταβλητή που εξελίεται τον χώρο, ε µία ή περιότερες διατάεις, π.χ. gx, hx,, qx,, z ή ακόµη τον χώρο και τον χρόνο: gx,t, hx,,t, qx,,z,t. Όταν η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι µία, π.χ. χρόνος t ή απόταη x για την ανάλυη και ύνθεη της χρονοειράς εφαρµόζονται πέρα από τις µεθόδους της κλαικής τατιτικής και ειδικές µέθοδοι που αξιοποιούν την εξάρτηη των τιµών της µεταβλητής από τον χρόνο για την εξαγωγή επιπλέον υµπεραµάτων χετικά µε τη µεταβλητή και το φαινόµενο που αυτή παριτά. Μιλούµε για ανάλυη της «δοµής» της µεταβλητής τον χρόνο. Όταν η υπό µελέτη µεταβλητή εξελίεται ε περιότερες διατάεις τον χώρο, τότε εφαρµόζονται επιπλέον µέθοδοι που είτε είναι επέκταη των µεθόδων για «µονοδιάτατη» ανάλυη είτε είναι καθαρά «πολυδιάτατες», «χωρικές» ή «χωροχρονικές» µέθοδοι που τοχεύουν την ανάλυη και αξιοποίηη αντίτοιχα των πολυδιάτατων χαρακτηριτικών ή της χωρικής και χωροχρονικής δοµής της µεταβλητής. Στους Υδατικούς Πόρους για λόγους καθαρά εποπτικούς αναφερόµατε τις ακόλουθες τρεις κατηγορίες µεθοδολογίας:. Στατιτική ανάλυη τυχαίες µεταβλητές. Στοχατική ανάλυη ή Ανάλυη Χρονοειρών χρονοειρές

32 3 3. Πολυδιάτατη, γεωτατιτική και χωρική ανάλυη χωρικές, χωροχρονικές ειρές και οµάδες µεταβλητών Οι µέθοδοι που εφαρµόζονται είναι καθαρά µαθηµατικές και δεν εξετάζονται καθόλου τα φυικά χαρακτηριτικά και οι φυικές χέεις των διαφόρων µεταβλητών µεταξύ τους, παρά µόνο τα τατιτικά πιθανολογικά χαρακτηριτικά και η τοχατική δοµή τους τον χώρο και τον χρόνο. Οι µέθοδοι αυτοί υνιτούν την Στοχατική Μεθοδολογία. Η Προδιοριτική Μεθοδολογία από την άλλη πλευρά είναι αυτή που αχολείται µε τα φυικά χαρακτηριτικά των φαινοµένων που προπαθεί να περιγράψει και να αποδώει µε προδιοριτικές χέεις χωρίς καµία τυχαιότητα. 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Η ανάλυη µιας χρονοειράς έχει τους εξής τόχους:. Τον προδιοριµό των χαρακτηριτικών της που µε τη ειρά τους προδιορίζουν κάποιο φαινόµενο. Τα χαρακτηριτικά αυτά υνιτούν την πληροφορία για το υγκεκριµένο φαινόµενο.. Εκτός από την πληροφορία που είναι χρήιµη µία χρονοειρά µπορεί να περιέχει και παρεµβολές από άλλα φαινόµενα ή εντελώς τυχαίες διαταράξεις που υνιτούν τον θόρυβο της χρονοειράς. Όταν ο θόρυβος είναι έντονος τότε µπορεί να είναι δυχερής ή αδύνατη η εξαγωγή της πληροφορίας. Είναι υνεπώς ενδιαφέρουα η ανάλυη και κατόπιν εξάλειψη του θορύβου, όο αυτό είναι δυνατόν. 3. Το ύνολο πληροφορία + θόρυβος που χηµατίζουν την χρονοειρά αντιπροωπεύεται υνήθως από ένα µεγάλο πλήθος τιµών. Με τα τοιχεία που προέκυψαν από την ανάλυη της χρονοειράς επιδιώκεται να χηµατιτεί ένα µοντέλο της χρονοειράς ε µορφή εξιώεως ικανό να αναπαράγει χρονοειρές µε τα ίδια χαρακτηριτικά. Αυτό αποτελεί αφ ενός υµπύκνωη της πληροφορίας και αφ ετέρου δίνει τη δυνατότητα παραγωγής υνθετικών ειρών είτε για επέκταη της αρχικής είτε έλεγχο όλων των δυνατών πραγµατοποιήεων της χρονοειράς. Όταν αντιµετωπίζεται η ανάλυη µιας χρονοειράς, είναι υνήθως γνωτά από την θεωρία ή την εµπειρία του αναλυτή οριµένα χαρακτηριτικά της ειράς. Για παράδειγµα, γνωρίζουµε ότι µία ειρά ηµερηίων υψών βροχής από πεδινή περιοχή την Ελλάδα, θα είναι µία ειρά

33 33 θετικών τιµών από το 0 έως περίπου τα 500 mm. Εάν αντίτοιχα πρόκειται για κάποιο ηλεκτρικό ήµα, π.χ. τάη ε κάποιο ρευµατολήπτη υνδεδεµένο το δίκτυο της ΕΗ είναι αναµενόµενη κυκλική περιοδικότητα ~ 50 Hz. Τα περιότερα όµως χαρακτηριτικά της κάθε χρονοειράς είναι εκ των προτέρων άγνωτα και επιπλέον µπορεί να µην τα υποπτευόµατε καν. Για τον λόγο αυτό η ανάλυη πρέπει να γίνει βήµα-βήµα. Τα αποτελέµατα κάθε βήµατος προδιορίζουν τους ελέγχους και αναλύεις που θα γίνουν τη υνέχεια. Τα κύρια βήµατα είναι τα ακόλουθα: Σχεδίαη της χρονοειράς. Η γραφική παράταη της ειράς δίνει τη δυνατότητα για άµεη αντίληψη, έτω και χονδρικά, των χαρακτηριτικών της τάεις, ακραία, περιοδικότητες κ.λ.π. καθώς και τον εντοπιµό εξαιρετικών τιµών που γενικά χάνονται µέα το πλήθος αριθµών όταν η χρονοειρά παριτάνεται από ένα πίνακα τιµών. ιερευνητική τατιτική ανάλυη Γίνεται προδιοριµός της µέης τιµής, τυπικής αποκλίεως, ακραίων τιµών και πλάτους τιµών. Σε πλέον προχωρηµένη διερευνητική ανάλυη υπολογίζονται και επιπλέον τατιτικές παράµετροι και επιχειρείται η προαρµογή ε κάποιο νόµο πιθανοτήτων. 3 Έλεγχος και αφαίρεη της τάεως Αναζητούµε κυρίως τη γραµµική τάη ου βαθµού, που εκφράζεται από την ευθεία παλινδροµήεως. Εάν δεν είναι ικανοποιητική ή εάν υπάρχουν πληροφορίες ότι µπορεί να υπάρχει ηµαντική τάη άλλης µορφής Μη γραµµική τότε αντίτοιχα προδιορίζεται η κατάλληλη καµπύλη. 4 Εξοµάλυνη της ειράς Με φίλτρα που υνήθως έχουν τη µορφή απλών κινητών µέων ή ταθµιµένων κινητών µέων απαλείφονται οι µεγάλες και απότοµες διακυµάνεις ώτε να φανεί η κύρια πορεία της ειράς και ενδεχοµένως κάποια περιοδικά εποχικά χαρακτηριτικά της.

34 34 5 Κανονικοποίηη της ειράς Προκειµένου να µπορεί να γίνει ύγκριη και επεξεργαία διαφορετικών ειρών, όταν το κύριο ενδιαφέρον είναι η µεταβολές τον χρόνο και όχι οι τιµές της µεταβλητής, κάθε χρονοειρά µπορεί να κανονικοποιηθεί µε βάη τη µέη τιµή και την τυπική απόκλιή της, δηλαδή να µετατραπεί ε µία ειρά µε µέη τιµή ίη µε 0 και τυπική απόκλιη ίη µε. Αυτό γίνεται αν όλες οι τιµές της ειράς αντικαταταθούν από τις αντίτοιχες τυποποιηµένες ή ανηγµένες τιµές. 6 Ανάλυη φάµατος Κάθε χρονοειρά µπορεί να θεωρηθεί ότι υντίθεται από ή περιέχει έναν αριθµό τριγωνοµετρικών ειρών ηµιτονοειδείς ή υν ηµιτονοειδείς ειρές. Οι ειρές αυτές εκφράζουν αυτηρά περιοδικά φαινόµενα και είναι προδιοριτικές: ft A cos ωt + φ Υ Κ Α Κ cos kθ - φ κ Η ανάλυη φάµατος φαµατική ανάλυη επιδιώκει να προδιορίει τον υνδυαµό των ειρών ηµιτόνου και υνηµιτόνου, µε τα αντίτοιχα πλάτη και τη διαφορά φάεως κάθε ειράς, που είναι πολλαπλάιας υχνότητας της βαικής περιόδου της χρονοειράς αρµονικές, έτι ώτε το άθροιµα τους να αναπαράγει πιτά τη χρονοειρά. Εάν η ειρά προέρχεται από προδιοριτικό περιοδικό φαινόµενο τότε κάποια ή κάποιες αρµονικές θα παρουιάζουν µεγάλη υγκέντρωη ιχύος, δηλαδή αφώς µεγαλύτερο πλάτος από τις άλλες αρµονικές, και θα ξεχωρίουν. Εάν ένας µεγάλος αριθµός αρµονικών παρουιάζουν λίγο-πολύ το ίδιο πλάτος η ιχύς είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη, τότε το πιθανότερο είναι να µην υπάρχουν πραγµατικές περιοδικότητες αλλά αυτές να προκύπτουν αν αποτέλεµα των µαθηµατικών µεθόδων για τη φαµατική ανάλυη των χρονοειρών. 7 Ανάλυη αυτουχετίεως Η ανάλυη αυτουχετίεως δίνει και αυτή µια εικόνα του περιοδικού χαρακτήρα της χρονοειράς. Συχετίζεται η χρονοειρά µε τον εαυτό της αφού µετατεθεί κατά,,3, κλπ χρονικά βήµατα. Σε κάθε µετάθεη υπολογίζεται ο υντελετής αυτουχετίεως. Το ύνολο των υντελετών αυτουχετίεως χηµατίζει τη υνάρτηη

35 35 αυτουχετίεως της χρονοειράς, που δίνει τον υντελετή αυτουχετίεως ε υνάρτηη του χρονικού βήµατος. ρ τ Ε Ε x x x E x t t t+ τ t+ τ 8 Ειδικές αναλύεις α Ανάλυη Markov Είναι ένας ιδιαίτερος τρόπος υπολογιµού της υχετίεως µεταξύ διαδοχικών τιµών της χρονοειράς, όπου διακρίνονται δύο µόνο κατατάεις που δε µπορούν να υµβούν ταυτοχρόνως: 0,, δηλαδή υπολογίζεται η χέη διαδοχικών τιµών της ειράς που έχει µετατραπεί ε ψηφιακή-δυαδική. Η εµφάνιη της µιας ή της άλλης κατατάεως καθώς και η µετάβαη από τη µια κατάταη την άλλη, προδιορίζουν το βαικό τοχατικό χαρακτήρα της µεταβλητής. Μία αλυίδα MARKOV ης τάξεως είναι η διαδοχή δύο τιµών που µπορεί να παρουιάζει µία από τις ακόλουθες κατατάεις: Αντιτοίχως µία αλυίδα MARKOV ας τάξεως περιλαµβάνει διαδοχή τριών τιµών κοκ.: Για τη βροχή ενδιαφέρον παρουιάζει κυρίως η διαδοχή δύο ηµερών που χετίζεται µε τα µήκη των "ξηρών" και των "υγρών" περιόδων, δηλαδή των υνεχών χρονικών διατηµάτων χωρίς καθόλου βροχή ή µε "υνεχόµενη" βροχή. β Ανάλυη διατηµάτων Σε οριµένες περιπτώεις, όπως για παράδειγµα τη µελέτη της ξηραίας, δεν έχουν ηµαία οι αριθµητικές τιµές της µεταβλητής που χηµατίζει χρονοειρά, αλλά τα χρονικά διατήµατα που οι τιµές αυτές είναι επάνω ή κάτω από κάποιο όριο που καλείται κατώφλι: