Mathematical Foundation of Fluid Mechanics

Transcript

1 Mathematical Fondation of Flid Mechanics Otline of the lecte Conseation of tanspotable qantities he geneal fom of the eqations Paabolic-elliptic and hpebolic eqations he choice of dependent and independent aiables Bonda conditions he teatment of comple geomet he fist steps Νόµοι ιαήησης.

2 Conseation las Conseation of mass Conseation of momentm Conseation of eneg ( st la of hemodnamics) Conseation of species Second La of hemodnamics Each of the aboe eqations has one tanspotable qantit as dependent aiable (tanspot mechanisms ae thogh conection and diffsion) and ee eqation epesses the balance of aios tanspot mechanisms Νόµοι ιαήησης.

3 Balance of tanspot mechanisms he tempoal ate of change of a tanspotable qantit Φ pe olme tanspot thogh conection tanspot thogh diffsion podction o destction of the qantit Νόµοι ιαήησης.

4 Conectie tanspot of aiable Φ J V Φ J d. d ( J dj ) d d. - Components J,J,J JΦ, JΦ, JΦ Aea: d d {( J dj ) d. d J d. d}/ d. d. d Balance of conectie tanspot di J J J J pe nit olme Νόµοι ιαήησης.4

5 Diffsie tanspot/ Basic Diffsion las Neton s la fo diffsion of momentm Foie s la fo diffsion of heat Fic s la fo diffsion of species i j ij µ ( ), q, j i q c Sc C All Diffsion las ae of the gadient tpe D Γ gad Φ ϕ Νόµοι ιαήησης.5

6 Diffsie tanspot/ Balance of diffsie tanspot D D D d did ( Γ Φ ) di gad φ Aea: d d Combined conectie and diffsie tanspot (pe nit olme ddd) di ( J D) di( VΦ Γ gadφ) di( V Φ) di( Γ gadφ) φ φ Νόµοι ιαήησης.6

7 Podction and destction tems eamples of sch tems SΦ -gad p Bod foces as Coiolis foces in atmospheic flos, boant foces, centifgal foces, electostatic foces olme o aea soces of heat Kinetic heating phase changes chemical eactions Νόµοι ιαήησης.7

8 Geneal fom of the balance eqation (pe nit olme) ( ) Φ t di V Φ Γ gad Φ S ( ) Φ Φ net ate of change conection diffsion soce di and gad epessed on aios coodinate sstems i.e. Catesian, Cilinea othogonal, cilinea, pola Νόµοι ιαήησης.8

9 Choice of dependent aiables coodinate sstem,,,p, Ω,ψ (D) Catesian elocities & Catesian coodinates Contaaiant elocities & Cilinea othogonal o not coodinates Catesian elocities & Cilinea coodinates Soltion in phsical o tansfomed space Need fo ceating cilinea bod fitted gid Νόµοι ιαήησης.9

10 Εξισώσεις διαήησης µάζας (καεσιανό σύσηµα συνεαγµένων) D Dt V 0 (µη συνηηική µοφή) t ( ) V 0 (συνηηική µοφή) Νόµοι ιαήησης

11 Νόµοι διαήησης οµής (µη συνηηική έκφαση) D P f Dt -συνισώσα οµής D P f Dt -συνισώσα οµής D P f Dt -συνισώσα οµής Ολική παάγωγος Κλίση πίεσης ιαµηικές άσεις Εξωεικές δυνάµεις Νόµοι ιαήησης

12 Εξισώσεις οµής (συνηηική έκφαση) ( ) P ( V ) f t ( ) P ( V ) f t ( ) P ( V ) f t -συνισώσα οµής -συνισώσα οµής -συνισώσα οµής Νόµοι ιαήησης

13 Νόµοι ιαήησης Εξίσωση διαήησης ενέγειας (µη συνηηική έκφαση) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V f P P P q V e D t D & V e D t D V V e V e t (συνηηική έκφαση)

14 Νόµοι ιαήησης Εκφάσεις ων διαµηικών άσεων Οθές διαµηικές άσεις ) ( ) ( ) ( µ µ µ ) ( ) ( ) ( µ µ µ

15 Νόµοι ιαήησης Εξίσωση µεαφοάς εσωεικής ενέγειας Ποκύπει από ην εξίσωση διαήησης ης ενέγειας ( ) ( ) Φ µ V P q Dt D e P q Dt D e & & Φ Φ συνάηση αποόφησης)

16 Νόµοι ιαήησης Εξίσωση µεαφοάς ενοπίας Dt D P Dt D e Dt s D d p S d e d ( ) Φ Dt s D µ S gen D t D s Φ K m att S gen µ

17 Νόµοι ιαήησης Μηωική µοφή εξισώσεων διαήησης J H G F t U P V e P F V e U ) (,

18 Νόµοι ιαήησης Μηώα G,H,J P V e P G P V e P H ( ) q f f f f f f J & 0

19 Κλείσιµο συσήµαος Ε Οι πος επίλυση διαφοικές εξισώσεις διαήησης είναι πένε: ιαήηση µάζας (), διαήηση οµής (), διαήηση ενέγειας (). Το σύσηµα ων εξισώσεων διαήησης έχει πένε διαφοικές εξισώσεις µε έξι αγνώσους (,,,, p, ). Η εσωεική ενέγεια e ου ευσού εκφάζεαι µε µία εξίσωση ης µοφής ( p ) e e, που για αέια απλοποιείαι σην e CV µε CV ην ειδική θεµόηα ου αείου υπό σαθεό όγκο και Τα η θεµοκασία ου αείου. Τέλος η πίεση, η πυκνόηα και η θεµοκασία συνδέοναι µε ην καασαική εξίσωση ( p, ) που για αέια παίνει η γνωσή µοφή P R Νόµοι ιαήησης

20 Εκφάσεις ων Ε διαήησης σε άλλα οθογώνια συσήµαα συνεαγµένων Μεασχηµαισµός συνεαγµένων Έσω καεσιανό σύσηµα συνεαγµένων (, ), και,, ένα καµπυλόγαµµο σύσηµα. Μεαξύ ων δύο συσηµάων υπάχει η µονοσήµανη σχέση µεασχηµαισµού i (, ) (,,) i i, Ένα διαφοικό σύσηµα µήκους ds σο καεσιανό σύσηµα εκφάζεαι ds d d d. Ένα διαφοικό µήκος d i καά µήκος ου άξονα i εκφάζεαι ως συνάηση ων καµπυλόγαµµων οθογωνίων συνεαγµένων d i i j d j Συνεπώς ο διαφοικό µήκος ds εκφάζεαι ως ds d j d d l j l Νόµοι ιαήησης

21 Νόµοι ιαήησης Μεασχηµαισµός συνεαγµένων Επειδή όµως ο καµπυλόγαµµο σύσηµα συνεαγµένων είναι οθογώνιο όε ο µεικό γινόµενο θα είναι µηδέν, ποκύπει ( ) ( ) ( ) d d d ds d d d ds j i α α α (ι, j, βουβοί δείκες) όπου i i α

22 Νόµοι ιαήησης Έκφαση ανάδελα Σο καµπυλόγαµµο σύσηµα οθογωνίων συνεαγµένων,,, η διανυσµαική σχέση ( ) [ ] ( ) K K K K K α α α α α α α και για Κ σαθεό K K K K α α α α α α α

23 Νόµοι ιαήησης Κυλινδικό σύσηµα συνεαγµένων (α) Για κυλινδικό σύσηµα συνεαγµένων, sin, cos ϕ ϕ όε sin cos ϕ ϕ α ( ) ( ) 0 cos sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α ϕ 0 0 α Οπόε: ϕ

24 Νόµοι ιαήησης Σφαιικό σύσηµα συνεαγµένων (β) Για σφαιικό σύσηµα συνεαγµένων θ ϕ θ ϕ θ cos, sin sin, cos sin θ ϕ α θ α α, sin, sin sin sin ϕ θ θ θ θ θ

25 A geneal fom of the eqation Catesian elocities-catesian coodinates Neal all eqations ae of the fom t Φ ( ) Φ U jφγ S Φ j j Chaacteistics mltidimensional tblent flos eqie at least 6 eqations stong copling non-linea Φ Φ Ui, H, c,, ε, Γ, S φ φ Νόµοι ιαήησης.4

26 Νόµοι ιαήησης Soce ems SΦ -Ö- -S Ö - 0 µ µ P µ µ µ P Ô 0 G-ñå å (C åg-c ñå )/ G µ

27 Classification of flo phenomena Stead, nstead Incompessible, compessible D, D Geneal fom of PDE AΦ BΦ CΦ DΦ EΦ FΦG Whee A,B,C,D,E,F and G fnctions of,,φ,φ,φ B -AC<,0,> paabolic, elliptic, hpebolic, patiall elliptic diectional tanspot of infomation tpe of bonda conditions Νόµοι ιαήησης.5

28 Model Poblems Heat Condction Bonda laes Reciclating flos Spesonic flos ime dependent poblems Bonda ale poblems Initial ale poblems Νόµοι ιαήησης.6

29 Stating steps otline of the engineeing poblem select dependent aiables select coodinate sstem ite don tanspot eqations ite don bonda conditions (ell posed mathematical poblem) non-dimensionalie if possible Νόµοι ιαήησης.7

30 Eamples of gids and dependent aiables Boile geomet E/P geomet 4 4 W Κυψέλες Β-Τύπου P Κυψέλες Α-Τύπου V B P S Νόµοι ιαήησης.0

31 Eamples of gid/ C/d.6 C/d.6 Νόµοι ιαήησης.

32 Eamples of gid/ he intae pot (UP Valencia) An I.C engine A gaphics pacage is a mst Νόµοι ιαήησης.

33 Methods fo gid geneation Soltion of a Poisson eqation ith Diichlet o Nemann bonda conditions-focing fnctions A Laplacian Eqation Method fo Nmeical Geneation of Bonda-fitted D Othogonal Gids.heodoopolos, G. C. Begeles Jonal of Comptational Phsics, ol. 8,No,989,pp69-88 Nmeical Gid Geneation echniqefo D Comple Spaces Gleas, J., Begeles, G., Athanassiades, N. d Inten. Confeence, Comptational Methods and Epeimental measements, Sept 986,Poto Caas,Spinge Velag,Vol,pp Νόµοι ιαήησης.