2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις

Transcript

1 ο Διγώνισμ 08-9 Ύλη: Συνρτήσεις Θέμ Α Α Θεωρήστε τον πρκάτω ισχυρισμό: «Oι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες κι ) Ν χρκτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντς στο τετράδιό σς το γράμμ Α, ν είνι ληθής, ή το γράμμ Ψ, ν είνι ψευδής (μονάδ ) β) Ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς στο ερώτημ (μονάδες 5) Μονάδες +5 ΑΈστω Α έν μη κενό υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ; Μονάδες 4 A3N ντιστοιχίσετε τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων,g,h της στήλης Α με τις προτάσεις της στήλης Β y Oy ˆ Oy ˆ» ) Δεν ντιστρέφετι κι έχει ελάχιστο β) Είνι - λλά δεν είνι γνησίως μονότονη γ) 3 Είνι γνησίως ύξουσ στο δ) 4 Έχει πεδίο ορισμού,το πεδίο ορισμού του θροίσμτος δύο συνρτήσεων με πεδί ορισμού τ διστήμτ,5,, ε) 5 Είνι γνησίως ύξουσ,όμως έχει κρόττ Μονάδες 5

2 A4Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη ) Αν δύο συνρτήσεις, g δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού,τότε δεν ορίζοντι πράξεις μετξύ τους β) Δύο συνρτήσεις είνι ίσες ν κι μόνο ν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού κι τον ίδιο τύπο γ) Η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της που βρίσκοντι κάτω πό τον άξον χ χ κι πό τ συμμετρικά,ως προς τον άξον χ χ,των τμημάτων της που βρίσκοντι πάνω πό τον άξον χ χ δ) Αν υπάρχουν τιμές της συνάρτησης που νήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης g τότε ορίζετι η σύνθεση της με την g ε) Μί συνάρτηση λέγετι γνησίως μονότονη ν υπάρχει κάποιο διάστημ του πεδίο ορισμού της στο οποίο ν είνι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ Μονάδες 5 C C Θέμ B Στο διπλνό σχήμ δίνοντι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων κι g Β Ν βρείτε το πεδίο ορισμού κι το σύνολο τιμών των συνρτήσεων κι g Β Ν βρείτε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων: ) g β) κι γ) g Μονάδες 4 Μονάδες 6 Β3Με δεδομένο ότι ορίζετι στο σύνολο Α η σύνθεση των συνρτήσεων g με την ( g ),ν την εξετάσετε ως προς την μονοτονί Μονάδες 3 Αν 3 κι g 7 Β4 Ν βρείτε τ πεδί ορισμού κι τους τύπους των συνρτήσεων ) g β) κι γ) g Μονάδες

3 Θέμ Γ Δίνετι η συνάρτηση Γ Ν δείξετε ότι : e e ln ln, 0, γι την οποί δίνετι ότι Μονάδες 9 Γ ) Ν δείξετε ότι η ντιστρέφετι β) Ν ορίσετε την ντίστροφη της κι ν βρείτε τον τύπο της Γ3 ) Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισμού της β) Ν λύσετε την νίσωση e e e e 0 Μονάδες 8 Μονάδες 8 Θέμ Δ Στο διπλνό σχήμ είνι AB,A 3 Δίνετι ότι το Μ κινείτι πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ ΑΓ Δ Ν δείξετε ότι η το εμβδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου εκφράζετι,0 σν συνάρτηση του AM με τύπο, 3 Δ ) Ν ποδείξετε ότι η ντιστρέφετι β) Ν ορίσετε την ντίστροφη της κι ν βρείτε τον τύπο της Δ3 ) Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της β) Με την βοήθει της γρφικής πράστσης της,ν σχεδιάσετε την γρφική πράστση της Κλή Επιτυχί! Μονάδες 8 Μονάδες 4+5 Μονάδες 4+4 Δημήτρης Πτσιμάς

4 Λύσεις Θέμ Α Α Σ β Επειδή y y γρφική πράστση C της,τότε το σημείο,ν έν σημείο Μ(,β) νήκει στη M, θ νήκει στη γρφική πράστση C της κι ντιστρόφως Τ σημεί, όμως, υτά είνι συμμετρικά ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες κι Άρ οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτομεί τις γωνίες ˆ Oy κι Oy ˆ Oy ˆ Oy ˆ Α Θεωρί Α3-,β-,γ-4,δ-3,ε-5 Α4 ) Λ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε) Λ Θέμ B Β Από το σχήμ πρτηρούμε ότι D 3,, D,7 0,g 0 οπότε A ga 0, Β ) A g A Ag 3,7 β) A A / 0 3, g γ) A A / g 0 3,7 g > < Ακόμη πρτηρούμε ότι g με Β3Έστω, Ag g g g g g g Άρ η g είνι γνησίως φθίνουσ στο Α Β4 ) Άρ A, g g A A / g A Έχουμε ν λύσουμε το σύστημ :, g 3, g Ο τύπος της g είνι g g 7 3

5 A A / A Έχουμε ν λύσουμε το σύστημ : β) 3, , Άρ A 3, 9 Ο τύπος της 8 γ) Άρ A 3,5 g g 3 3 είνι A A / A Έχουμε ν λύσουμε το σύστημ : 3, , g Ο τύπος της g είνι g g 7 3 Θέμ Γ ln ln, 0 () Θέτουμε ln e,οπότε η σχέση () μεττρέπετι στη σχέση : e e () Αν βάλουμε όπου το,προκύπτει η σχέση : e e e 3 e e e Πολλπλσιάζουμε τη σχέση () με κι την προσθέτουμε στην σχέση (3) οπότε έχουμε: e e 3 3e e 3 3 e e e e e Άρ η συνάρτηση έχει τύπο, e Γ Έχουμε τη σχέση : Γ ) Έστω, με e e e e e e e e e e e e e e άρ η είνι - οπότε ντιστρέφετι

6 β) Θέτουμε Γ3 ) e y y e y e y e y e y e y y y y ye y e ln, y y ln, y y y y y (Πρέπει 0 y y 0 y 0 y y y ) y Άρ η έχει τύπο ln κι πεδίο ορισμού το A, e e e e e Έστω με, e e e e e e e e e e Άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισμού της < β) e e e e 0 e e e e 0 e e e e e 0 e e e e e e e < : e 0 e e e e e e 0 e 0 e 0 e e 0 Θέμ Δ Δ Αν το σημείο Μ τυτίζετι με το Α τότε 0 Έστω ότι σημείο Μ κινείτι μετξύ των σημείων Α κι Β,τότε 0 κι το ζητούμενο εμβδόν είνι το εμβδόν του τριγώνου ΑΜΝ : AMN AM MN κι 0 0 (Τ τρίγων ΑΜΝ κι ΑΒΕ είνι όμοι (ορθογώνι με τη γωνί Â B ά AM MN MN MN οπότε MN ) AB BE Έστω ότι σημείο Μ κινείτι μετξύ των σημείων Β κι Γ,τότε 3 κι το ζητούμενο εμβδόν είνι το εμβδόν του τετρπλεύρου ΑΜΝΕ : (AMNE) (ABE) (BMNE) ABBE BM NE Άρ,0, 3 κοινή),

7 Δ ) Η συνάρτηση Δ3 ) y η συνάρτηση y είνι ευθεί με στο,3 είνι γνησίως ύξουσ στο 0 0, άρ κι στο 0, επομένως είνι γνησίως ύξουσ στο Επομένως η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ σε κθέν πό τ διστήμτ Έστω Τότε : κι Άρ,οπότε η είνι γνησίως ύξουσ στο β) Έστω με y y 0 y y y Άρ, 0, 0, ( 0 0 y 0 y ),3, 0, y y Έστω με y y y y Άρ,,5 y ( 3 3 y 6 y 5 ),0 Οπότε η έχει τύπο :, 5,,3 άρ κι β) Oι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτομεί τις γωνίες Oy ˆ κι Oy ˆ