Organska kemija i Biokemija. Predavanje 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Organska kemija i Biokemija. Predavanje 1"

Transcript

1 Organska kemija i Biokemija Predavanje 1

2 Povijesni pregled XVIII. st. IZOLACIJA čistih organskih spojeva Berzelius ''vis vitalis' Friedrich Wöhler: iz amonij cijanata sintetizirao ureu Johann Friedrich Gmelin : organska kemija je kemija ugljikovih spojeva XIX / XX st. SINTEZA organskih spojeva ''zlatna'' era organske kemije danas: polimeri, farmaceutika, pesticidi, gnojiva, eksplozivi...

3 Organska kemija kemija spojeva koji sadrže ugljik (kemija ugljikovih spojeva bilo da su izolirani iz biljaka i životinja ili dobiveni sintezom) - UGLJIK najčešće vezan s VODIKOM, zatim KISIKOM, a vrlo je brojna grupa spojeva koji sadrže i DUŠIK. - Nešto je manje spojeva u kojima je ugljik vezan na SUMPOR, FOSFOR, HALOGENE i neke druge elemente

4 Broj organskih i anorganskih spojeva godine - 95% poznatih spojeva su organski spojevi godine - 25 milijuna organskih spojeva (godišnji prirast ~ 2 milijuna)

5 Razlozi postojanja velikog broja organskih spojeva 4-valentnost C-atoma (1857. Kekulé) C C C C Vezivanje C-atoma s elektronegativnim i elektropozitivnim elementima Tvorba lančastih i prstenastih molekula iz C-atoma (1859. Couper, Kekulé) Izomerija C-spojeva (Wöhler, Liebig) Prostorna građa C atoma

6 Neka razlikovna svojstva organskih i anorganskih spojeva Organski spojevi Nisko talište i vrelište Slabo topljivi u vodi Dobro topljivi u nepolarnim otapalima zapaljivi otopine ne provode elektricitet kemijske reakcije su obično spore pokazuju izomeriju zastupljena je kovalentna veza Anorganski spojevi visoko talište i vrelište dobro topljivi u vodi slabo topljivi u nepolarnim otapalima nezapaljivi otopine provode elektricitet kemijska reakcije su vrlo brze izomerija je vrlo rijetka zastupljenija je ionska veza

7

8 Atomske orbitale orbitala - matematička funkcija koja predstavlja područje u kojem je vjerojatnost nalaženja elektrona velika Najčešće 1s, 2s i 2p-orbitale određuju elektronsku konfiguraciju i karakteristike atoma u organskim molekulama

9 Elektronska konfiguracija (razmještaj elektrona u atomskim orbitalama) Paulijev princip isključivosti: u određenu atomsku orbitalu mogu se smjestiti samo dva elektrona sa suprotnim kvantnim brojem spina Hundovo pravilo: elektroni istog spina zauzimaju pojedinačno sve orbitale jednake energije, prije nego što se dva elektrona spare.

10 Prilikom vezanja atoma u molekulu oslobađa se energija. To vezanje atoma je posljedica težnje atoma da postigne kinetičku energiju njemu najbližeg plemenitog plina (stanje s najnižom energijom) Spoj koji nastane je stabilan jedino ako je ukupna energija povezanih atoma manja od energije razdvojenih atoma Veza koja nastane kao posljedica privlačenja dva ili više atoma u spoj zove se kemijska veza. Kemijske veze proizvoljno su podjeljene na dva osnovna tipa: - kovalentnu - ionsku vezu

11 Ionska veza - OSTVARUJE IZMEĐU ATOMA SA IZRAZITO RAZLIČITIM ELEKTRONSKIM AFINITETOM (VEZA SE OSTVARUJE PRIJENOSOM ELEKTRONA) Kovalentna veza - NASTAJE IZMEĐU ATOMA KOJI IMAJU SLIČNE ELEKTRONSKE AFINITETE (STVARANJEM ZAJEDNIČKOG ELEKTRONSKOG PARA SMANJUJE SE MEĐUSOBNO ODBIJANJE POZITIVNO NABIJENIH ATOMSKIH JEZGARA)

12 Kovalentna veza - zasniva na formiranju zajedničkog elektronskog para. - zajednički elektronski par(ovi) povezuju atome i pripadaju i jednoj i drugoj jezgri - Kovalentna veza može biti nepolarna(a) i polarna (b) - Nepolarnu kovalentnu vezu će imati svi spojevi dva istovrsna atoma (H 2, O 2, N 2...)(elektronski oblak je kod takvih molekula simetrično raspoređen oko atomskih jezgri)

13 Broj kovalentnih veza: - Jednostruka kovalentna veza - nastaje stvaranjem jednog zajedničkog elektronskog para - Dvostruka kovalentna veza - nastaje stvaranjem dva zajednička elektronska para - Trostruka kovalentna veza - nastaje stvaranjem tri zajednička elektronska para

14 Polarna kovalentna veza jest kovalentna veza čiji pripadajući elektroni nisu jednako podijeljeni između dva atoma jer ih jedan atom jače privlači nego drugi. Veća je gustoća elektrona oko atoma većeg afiniteta za elektrone, pa dolazi do iskrivljenosti elektronskog oblaka molekule. - Raspodjela naboja nije više simetrična i dolazi do stvaranja dipola (kovalentna veza s ionskim karakterom)

15 Primjenom kvantne mehanike na teoriju kemijske veze razvile su se dvije teorije: - teorija valentne veze - teorija molekulskih orbitala Teorija valentne veze Valencija (lat. valentia = moć, kapacitet) svojstvo atoma nekog elementa da se spaja s određenim brojem atoma drugog ili istog elementa -Teorija uzima u početno razmatranje međusobno djelovanje valentnih elektrona dvaju atomskih sustava i pretpostavlja da prilikom nastajanja veze atomske orbitale svakog atoma koje se ne preklapaju ostaju netaknute. - Ta teorija je jednostavnija, ali ne može rastumačiti magnetska svojstva molekula i kvantitativno obuhvatiti njihovo energijsko stanje.

16 - Sve dvoatomske i neke jednostavne višeatomske molekule se mogu prikazati jednostavnim preklapanjem atomskih orbitala, dok veze u složenijim molekulama teorija valentne veze objašnjava nastajanjem hibridnih orbitala. - Veza koja nastaje preklapanjem atomskih orbitala duž osi koja povezuje jezgre atoma zove se sigma (s) veza. Veza koja nastaje bočnim preklapanjem atomskih orbitala, odnosno iznad i ispod osi koja povezuje jezgre atoma zove se pi (p) veza.

17 σ veza σ veza σ veza σ veza π veza Vezivanje između atomskih orbitala

18 - σ molekulske orbitale redovito se koriste za smještanje elektrona koji se pripisuju jednostrukim vezama u organskim molekulama. - Višestruke veze organskih spojeva sastoje se od π molekulskih orbitala. -π veza ili banana veza nastaje prekrivanjem orbitala okomito na monunuklearnu os (p x - p x, p x -d xz, d xz - d xz ). - dok je kod σ veze, najveća elektronska gustoća između atomskih jezgara, kod π veze najveća gustoća je iznad i ispod ravnine jezgara atoma. - zato je dvostruka veza u spojevima ugljika uvijek slabija od dvije jednostruke ili trostruka od tri jednostruke

19 Energija kovalentne veze Energija kovalentne veze je mjera jakosti kovalentne veze. Pod energijom kovalentne veze podrazumijeva se energija koja je potrebna da se u molekuli u plinovitom stanju raskine određena vrsta veze, a oslobođeni atomi se nalaze u plinovitom stanju. E(C-C) = 333,8 kj mol -1 (d(c-c) = 154 pm); E(C=C) = 615 kj mol -1 (d(c=c) = 133 pm); E(C C) = 841 kj mol -1 (d(c C) = 120 pm). Usporedbom vrijednosti E(C=C) i E(C C) s E(C-C) (s-veza) vidi se da je π -veza u dvostrukoj i trostrukoj vezi 20 % slabija (zbog slabijeg preklapanja atomskih p orbitala).

20 Hibridizacija -matematički postupak u kojem se linearnim kombiniranjem valnih funkcija energijski bliskih orbitala stvaraju dvije nove hibridne orbitale. - Model hibridnih orbitala (Pauling i Slater) pokušava objasnitiuočene oblike i veze u molekulama koristeći hibridne orbitale individualnih atoma:. npr. u metanu, CH 4, sve četiri veze ugljik-vodik jednake. - hibridne orbitale su rezultat kombinacije atomskih orbitala istog atoma ("miješanje" utječe na prostorni raspored i energiju hibridnih orbitala) Osnovna spoznaje o hibridnim orbitalama mogu se sumirati na slijedeči način: 1) Hibridizacija je proces miješanja atomskih orbitala istog atoma (hibridne orbitale su atomske orbitale) 2) Miješanje orbitala je to jače što je manja razlika u njihovoj energiji 3) Broj hibridnih orbitala uvijek je jednak broju atomskih orbitala koje se miješaju

21 σ-veze određuju geometriju molekule

22 Kako se teorija valentne veze koristi hibridizacijom za obješnjenje strukture molekula prikazano je na slijedećim primjerima: sp hibridizacija

23 sp hibridizacija C atoma sp hibridizacija sp p y, p z 1s Miješanjem jedne 2s i jedne 2p orbitale nastaju dvije hibridne sp orbitale koje leže na jednom pravcu pod kutom od 180 0

24 2 H 2C ( sp hibridne orbitale) - U etinu, hibridne sp-orbitale tvore s-vezu preklapanjem dviju sp-hibridnih orbitala dvaju ugljikovih atoma, te tvore σ-veze preklapanjem sp-hibridnih orbitala i 1s orbitale dvaju atoma vodika. - Preostale dvije 2p-orbitale svakog ugljikovog atoma međusobno su smještene pod kutem od 90 o, a okomite na sp-orbitale. - sp hibridne orbitale imaju 1/2 energije s-orbitale i ½ energije p-orbitale, položene su uzduž pravca, imaju linearnu geometriju i pod kutem od 180 o. Takav prostorni raspored naziva se digonski.

25 sp 2 hibridizacija

26 sp 2 hibridizacija C atoma sp 2 hibridizacija Atomske orbitale ugljika mogu se hibridizirati i tako da se miješa jedna s orbitala i dvije p-orbitale pri čemu nastaje sp 2 hibridizacija.

27 ETEN 4 H 2 C ( sp 2 orbitale) - U istoj ravnini nalazi se 6 atoma; dva ugljika i četiri vodika. - Vezni kutovi iznose Vezanje u etenu može se objasniti pretpostavkom da se svaki ugljikov atom koristi trima sp 2 hibridnim orbitalama i jednom p orbitalom - sp 2 hibridne orbitale imaju 1/3 energije s-orbitale i 2/3 energije p-orbitale i nalaze u istoj ravnini pod kutem od 120 o među njihovim osima. Takav prostorni raspored naziva se trigonski.

28 sp 3 hibridizacija

29 Primanjem energije od oko 400 kj mol -1, može se pobuditi elektron iz 2s orbitale i prijeći u praznu 2p orbitalu. sp 3 hibridizacija C atoma sp 3 hibridizacija C C* Miješanjem jedne 2s i triju 2p atomskih orbitala ugljika nastaju četiri potpuno jednake (degenerirane) sp 3 hibridne orbitale - jednake po energiji i prostornom obliku.

30 ETAN Kod metana dolazi do stvaranja četiriju jednostrukih σ-veza prekrivanjem četiriju sp 3 hibridnih orbitala ugljika i 1s atomskih orbitala vodika Teorija hibridnih orbitala objašnjava ne samo četiri jednake C-H veze metana nego i tetraedarske kuteve od 109,5 o među tim vezama.

31 PODJELA I STRUKTURA ORGANSKIH SPOJEVA Osnova za podjelu organskih spojeva je njihova struktura. Organski spojevi Ugljikovodici Derivati Podjela prema funkcionalnoj skupini kao najvažnijoj karakteristici strukture spoja. To je ujedno podjela prema karakterističnim kemijskim svojstvima.

32 Ugljikovodici su spojevi izgrađeni isključivo od ugljika i vodika, dok su u derivatima zastupljeni osim ugljika i vodika i drugi kemijski elementi (Cl, Br, O, S, N itd.)

33 II. način podjele Ugljikovodika prema zasičenosti

34 PRIKAZIVANJE MOLEKULA ORGANSKIH SPOJEVA - Dvodimenzijsko (plošno ili 2D) i trodimenzijsko (prostorno ili 3D)

35 Konstitucijska formula Sažeta formula Linijska formula Načini prikaza PROPAN-1-OLA

36 Važnost Konstitucijskih (Strukturnih) Formula Zbog svojstva ugljikova atoma da stvara veze s drugim ugljikovim atomima, mogu nastati različite strukture za molekule iste molekulske formule. To znači da mogu nastati konstitucijski (strukturni) izomeri Na primjer, poznata su dva spoja iste molekulske formule C 2 H 6 O: 1) dimetil-eter: plin pri sobnoj temperaturi, ne reagira s natrijem. 2) etilni alkohol (etanol): tekućina pri sobnoj temperaturi, reagira s natrijem. Imaju različita fizička svojstva, a najčešće i kemijska

37 Vrste reakcija u organskoj kemiji SUPSTRAT organska molekula kojoj se mijenja funkcionalna skupina REAGENS drugi reaktant u reakciji, može biti anoragnaski ili organski OTAPALO protonsko ili aprotonsko KATALIZATOR najčešće anorganski spoj ili enzim REAKTANTI : nukleofil - negativno nabijeni ili elektroneutralni sa slobodnim elektronskim parom ( Lewisova baza: OH -, X -,CN -, RO -, H 2 O,...) Elektrofil pozitivno nabijeni ili neutralni kojima nedotaje par elektrona (Lewisova kiselina; H +,NH 4+, NO 2+, AlCl 3,...)

38 HOMOLIZA I HETEROLIZA KOVALENTNIH VEZA

39 2. HOMOLITIČKA DISOCIJACIJA KOVALENTNE VEZE: - Veze u kojima se atomi ne razlikuju zantnije po elektronegativnosti cijepaju se simetrično uz stvaranje radikala - Dogovorno: elektroni se pomiču u smjeru strelice bogatog elektronima prema mjestu siromašnom elektronima. -Prilikom pisanja reakcijskog mehanizma pomaci veznih i neveznih eletrona prikazuju se zakrivljenom strelicom -Pomaci pojedinačnih elektrona prikazuju se nepotpunom strelicom

40 Osnovne vrste kemijskih reakcija organskih spojeva: 1) Supstitucija 2) Adicija 3) Eliminacija - Premještanje -oksidacija i redukcija

41 1) ADICIJSKE REAKCIJE - zbivaju se na molekulama koje mogu prihvatiti dodatne atome ili grupe atoma. Kod nezasićenih spojeva pucaju dvostruke ili trostruke veze uz adiciju atoma ili atomskih skupina

42 Adicija na π vezu; dvostruka i trostruka veza: NPR.

43 2. SUPSTITUCIJSKE REAKCIJE - događaju se kada jedna elektronima bogata skupina ili atom zamjenjuje drugi atom ili skupinu koja je bogata elektronima. - Supstitucijske reakcije su pretežito nukleofilnog karaktera, a od posebnog su značaja one koje se odvijaju na zasičenom ugljikovom atomu - Razlika u elektronegativnosti između ugljika i heteroatoma izlazne skupine osnova je za razumjevanje zašto nukleofil reagira sa zasičenim ugljikom

44 -Reakcije supstitucije mogu se odvijati putem 2 osnovna mehanizma koji objašnjavaju zamjenu jedne nukleofilne skupine drugom: SN1 Mehanizam-unimolekularna nukleofilna supstitucija SN2 Mehanizam-bimolekularna nukleofilna supstitucija Bimolekularna ili monomolekularna se odnosi na broj čestica koje su prisutne u prijelaznom stanju

45 Varijable u nukleofilnoj supstituciji A. Izlazna skupina B. Nukleofil C. Mjesto supstitucije D. Utjecaj otapala

46 A) IZLAZNA SKUPINA - u nukleofilnoj supstituciji izlazna skupina (L) odlazi sa svojim veznim elektronima -dobre izlazne skupine su konjugirane baze jakih kiselina Najslabija baza Najstabilnija baza Najjača baza Najmanje stabilna baza Najbolja odlazeća skupina Slaba odlazeća skupina

47 B) UTJECAJ NUKLEOFILA Dobri nukleofili su dobri donori elektrona tj. Jače LEWISOVE BAZE BAZIČNOST je ravnotežna pojava kojom se mjeri položaj ravnoteže u reakciji reagensa s protonom, obično u vodi NUKLEOFILNOST - uključuje brzinu reakcije s C atomom, obično u bezvodnom otapalu. s povećanjem atomskog broja raste nukleofilnost, opada bazičnost

48 Jača baza, bolji nukleofil Slabija baza, Slabiji nukleofil OH > H 2 O CH 3 O > CH 3 OH NH 2 > NH 3 CH 3 CH 2 NH > CH 3 CH 2 NH 2 Nukleofilnost je uvjetovana steričkim efektom kad se Lewisova baza približi tetrakoordiniranom C atomu mogu nastati prostorne smetnje npr. etoksid i tert-butoksid. tert-butoksid ima znatno veći volumen pa PROSTORNE SMETNJE smanjuju njegovo djelovanje kao nukleofila.

49 C) UTJECAJ MJESTA SUPSTITUCIJE 1 o 2 o 3 o CH 3 CH 2 Br (CH 3 ) 2 CBr (CH 3 ) 3 CBr Veliki supstituenti smanjuju reaktivnost radi steričkih smetnji

50 D) UTJECAJ OTAPALA polarnost otapala određena dielektričnom konstantom S N 1 pogoduju polarna otapala jer je nastajanje karbokationskog intermedijara stupanj koji određuje brzinu reakcije otapalo utječe na brzinu reakcije tako što mijenja E a mijenjanjem energetskih razina reaktanata i prijelaznog stanja S N 2 naboji mogu nastati, gubiti se ili raspršiti pa brzina varira prema sudbini naboja.

51 ION DIPOL INTERAKCIJE R O H R M + O O H R R O H Nu - H H O O R R H SOLVATIRANJE KATIONA SLOBODNIM ELEKTRONSKIM PAROVIMA SOLVATIRANJE ANIONA VODIKOVIM VEZAMA metanol i etanol su polarna protonska otapala koja su izvor protona kad se supstitucija izvodi u protonskom otapalu Nu je solvatiran vodikovim vezama da bi nukleofil ostvario vezu sa supstratom mora se odstraniti jedan dio solvatne ovojnice pa će energija potrebna za kidanje vodikovih veza s otapalom biti dio ukupne energije E a

52

53 3) ELIMINACIJSKE REAKCIJE - Atomi ili skupine se uklanjaju iz molekule uz stvaranje višestruke veze ili prstenova - suprotno od adicije

54 E1 mehanizam unimolekularna reakcija E2 mehanizam bimolekularna reakcija

55 Natjecanje između supstit i eliminacije

56 4. Premiještanje

57 Oksidacija i redukcija Oksidacija i redukcija su pretvorbe koje su popratne adiciji, supstituciji i eliminaciji * Vezanje ugljika sa elektronegativnijim atomom naziva se oksidacija * Vezanje ugljika sa elektropozitivnijim atomom naziva se redukcija Oksidacijsko stanje organskih molekula: -određuje se uz pretpostavku da je oksidacijsko stanje elementaranog ugljika nula -Oksidacijsko stanje ugljikova atoma mijenja se za -1 nastajanjem svake veze sa elektropozitivnijim atomom ( poput vodika) - Oksidacijsko stanje ugljikova atoma mijenja se za +1 nastajanjem svake veze sa elektronegativnijim atomom ( poput kisika) -Dvostruke odnosno trostruke veze računaju se dva odnosno tri puta. -Pri određivanju oksidacijskog stanja ne računaju se veze između ugljikovih atoma.

58

59

60 Ka = konstanta disocijacije kisleine Velika vrijednost Ka znači da je kiselina jaka kiselina, a manje vrijednosti Ka znače da je kiselina slaba. Kiselost i pka pka: pka= -log Ka ph: ph= -log[h 3 O + ] ŠTO JE VEĆA VRIJEDNOST pka KISELINA JE SLABIJA

61 za određivanje smjera odvijanja kiselinsko bazne reakcije služimo se ljestvicom kiselosti kod kojih uobičajeno u nizu odozgo prema dolje raste jačina kiselina, a pada jačina odgovarajučih baza

62

63 Reakcija prijenosa protana često su prvi korak u mnogim reakcijama u kojima sudjeluju alkoholi, eteri, aldehidi, ketoni, esteri, amidi i karboksilne kiseline

64 Utjecaj strukture na kiselost i bazičnost spojeva - položaj kiselo - bazičnih ravnoteža i brzine kemijskih reakcija mogu uvelike ovisiti o prirodi i rasporedu atoma vezanih na funkcionalne skupine -općenito utjecaje strukture možemo podjeliti u tri kategorije sterički efekti induktivni efekti rezonancijski efekti

65 U PSE KISELOST RASTE: - vertikalno prema dolje u skupini - slijeva na desno u periodi (porast elektronegativnosti) Kiselost CH 4, NH 3, H 2 O i HF

66 INDUKTIVNO DJELOVANJE - polarizacija veze zbog djelovanja susjedne polarne skupine ili veze -i nduktivno djelovanje elektronegativnih atoma povećava kiselost - Elektron akceptorsko induktivno djelovanje karboksilne skupine povećava kiselost karboksilnih kiselina. Etanska kiselina Etanol JAČA KISELINA SLABIJA KISELINA karboksilne skupi k Polarizirana karboksilna skupina odvlači elektrone od kiselog vodika

67 Utjecaj atoma halogena na induktivno djelovanje - Halogeni atomi su samo jedna od mnogih vrsta elektron akceptorskih skupina koje susreaćemo u orgasnkoj kemiji. - S obzirom da su elektronegativniji od atoma ugljika pokazuju eletron-akceptorski induktivni efekt

68 - Induktivni efekt najače su izraženi na susjednim vezama i naglo slabe s povečanjem udaljenosti između međudjelujučih skupina

69 STERIČKI UTJECAJI - strukturni utjecaji do kojih dolazi zbog prostornog međudjelovanja između kemijskih skupina nazivaju se sterički (prostorni utjecaji) A) STERIČKI UTJECAJI NA SOLVATIRANJE - dolazi do obujma molekule otapala mogu smanjiti stabiliziranje konjugirane baze otapalom radi čega dolazi do smanjene kiselosti

70 REZONANCIJSKI UTJECAJ - Rezonancija je pojava kod nekih molekula u kojima jedan π ili n elektronski par može sudjelovati u vezi između više od dva atoma i u stvarnosti zauzimati veći prostor od prostora nalaženja tog elektronskog para kad povezuje samo dvije jezgre - delokalizacija elektrona je energetski povoljna (rezonancijski hibrid je energetski povoljniji od bilo koje pojedinačne rezonancijske strukture)

71 - Nepolarne rezonancijske strukture stabilnije su od polarnih - Strukture sa odjeljenim nabojem manje pridonose rezonacijskom hibridu i uvijetuju slabiju stabilizaciju.

72 Djelovanje rezonancije: Delokalizacija elektronskog para uzrokuje veću kiselost karboksilnih kiselina u odnosu na alkohole jer je konjugirana baza karbokisline kiseline jače stabilizirana rezonancijom u usporedbi s alkoksidnim anionom kod alkohola

dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju

dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju Kovalentna veza Za razliku od ionske veze gdje se veza ostvaruje prijenosom elektrona, kod kovalentne veze ona se ostvaruje tako da u toj vezi atomi dijele jedan ili više zajedničkih elektronskih parova.

Διαβάστε περισσότερα

Pri međusobnom spajanju atoma nastaje energetski stabilniji sistem. To se postiže:

Pri međusobnom spajanju atoma nastaje energetski stabilniji sistem. To se postiže: HEMIJSKE VEZE Pri međusobnom spajanju atoma nastaje energetski stabilniji sistem. To se postiže: - prelaskom atoma u pozitivno i negativno naelektrisane jone koji se međusobno privlače, jonska veza - sparivanjem

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Kovalentna veza , CO 2. U molekulima H 2

Kovalentna veza , CO 2. U molekulima H 2 Kovalentna veza U molekulima H 2, N 2, O 2, CO 2, NH 3, H 2 O,... ili molekulima organskih jedinjenja ne postoje joni. To je veza između atoma i ona se bitno razlikuje od jonske veze a naziva se kovalentnom

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA ŠTA DRŽI STVARI (ATOME) ZAJEDNO?

HEMIJSKA VEZA ŠTA DRŽI STVARI (ATOME) ZAJEDNO? HEMIJSKA VEZA ŠTA DRŽI STVARI (ATOME) ZAJEDNO? U OKVIRU OVOG POGLAVLJA ĆEMO RADITI Jonska i kovalentna veza. Metalna veza. Elektronska teorija hemijske veze. Struktura molekula. Međumolekulske interakcije.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija molekula Lusiove formule su dvodimezione i ne daju nam nikakve informacije o geometriji molekula Srećom postoje razvijene eksperimentalne

Geometrija molekula Lusiove formule su dvodimezione i ne daju nam nikakve informacije o geometriji molekula Srećom postoje razvijene eksperimentalne Geometrija molekula Lusiove formule su dvodimezione i ne daju nam nikakve informacije o geometriji molekula Srećom postoje razvijene eksperimentalne metode (rentgenska kristalografija, NMR spektroskopija...)

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

KEMIJA SKRIPTA ZA DRŽAVNU MATURU. Kristina Kučanda. ožujak 2015.

KEMIJA SKRIPTA ZA DRŽAVNU MATURU. Kristina Kučanda. ožujak 2015. KEMIJA SKRIPTA ZA DRŽAVNU MATURU Kristina Kučanda ožujak 2015. Autor: Kristina Kučanda streberica.gimnazijalka@yahoo.com prema: Ispitni katalog za državnu maturu u šk. god. 2013/2014., Kemija, NCVVO www.ncvvo.hr

Διαβάστε περισσότερα

STRUKTURA I VEZE UVOD

STRUKTURA I VEZE UVOD UVOD Šta je organska hemija i zašto je vi treba da proučavate? Odgovori su svuda oko nas. Svaki živi organizam je sačinjen od organskih hemikalija. Proteini koji izgrađuju našu kosu, kožu i mišiće su organske

Διαβάστε περισσότερα

1s 2 2s 2 2p 2. C-atom. Hibridne atomske orbitale. sp 3 hibridizacija. sp 3. Elektronska konfiguracija ugljenika: aktivacija. ekscitovano stanje

1s 2 2s 2 2p 2. C-atom. Hibridne atomske orbitale. sp 3 hibridizacija. sp 3. Elektronska konfiguracija ugljenika: aktivacija. ekscitovano stanje PREAVAJE 2. Ugljenik je u organskim jedinjenjima četvorovalentan. Elektronska konfiguracija ugljenika: 1s 2 2 2p 2 dva nesparena elektrona -atom oc.dr Mirjana Abramović 2p osnovno stanje aktivacija 2p

Διαβάστε περισσότερα

Organska kemija. Organski spojevi s kisikom i derivati

Organska kemija. Organski spojevi s kisikom i derivati Organska kemija Organski spojevi s kisikom i derivati KARBONILNI SPOJEVI klase opća formula klase opća formula ketoni karboksilne kiseline esteri aldehidi kiselinski kloridi amidi ALDEHIDI I KETONI - dvije

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Molekulska Pregradjivanja

Molekulska Pregradjivanja Molekulska Pregradjivanja 1 1. Pregradjivanje na elektronom osiromasenom atomu 2. Slobodni radikali i anionska pregradjivanja 2 Pregradjivanje na elektronom osiromasenom atomu Migracija prema karbokationu

Διαβάστε περισσότερα

Hemijska veza Kada su atomi povezani jedan sa drugim tada kažemo da izmeñu njih postoji hemijska veza Generalno postoji tri vrste hemijske veze:

Hemijska veza Kada su atomi povezani jedan sa drugim tada kažemo da izmeñu njih postoji hemijska veza Generalno postoji tri vrste hemijske veze: Hemijska veza Kada su atomi povezani jedan sa drugim tada kažemo da izmeñu njih postoji hemijska veza Generalno postoji tri vrste hemijske veze: Jonska, Kovalentna i Metalna Luisovi simboli veoma zgodan

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

I HEMIJSKI ZAKONI I STRUKTURA SUPSTANCI

I HEMIJSKI ZAKONI I STRUKTURA SUPSTANCI dr Ljiljana Vojinović-Ješić I HEMIJSKI ZAKONI I STRUKTURA SUPSTANCI ZAKON STALNIH MASENIH ODNOSA (I stehiometrijski zakon, Prust, 1799) Maseni odnos elemenata u datom jedinjenju je stalan, bez obzira na

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

n (glavni ) 1, 2, 3,.. veličina orbitale i njena energija E= -R(1/n 2 )

n (glavni ) 1, 2, 3,.. veličina orbitale i njena energija E= -R(1/n 2 ) Kvantni brojevi Jedna atomska orbitala je definisana sa tri kvantna broja n l m l Elektroni su rasporedjeni u nivoima i podnivoima n l definiše nivo definiše podnivo ukupni broj orbitala u podnivou: 2

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

REAKCIJE ADICIJE. Karakteristične reakcije adicije su adicije na alkene

REAKCIJE ADICIJE. Karakteristične reakcije adicije su adicije na alkene Karakteristične reakcije adicije su adicije na alkene REAKIJE ADIIJE + A B A B syn-ad Adicija i anti-adi Adicija syn addition anti addition Eleketrofilna adicija hidrogen halida na alkene pšti pšti primjer

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

KEMIJSKA RAVNOTEŽA II

KEMIJSKA RAVNOTEŽA II Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 09 EMIJSA RAVNOTEŽA II Ravnoteže u otopinama elektrolita 2 dr. s. Biserka Tkalče dr. s. Lidija Furač EMIJSA RAVNOTEŽA II ONJUGIRANE

Διαβάστε περισσότερα

JONSKA VEZA (metal-nemetal) KOVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA VEZA (metal-metal) jake H N. prelazne VODONIČNA VEZA H F

JONSKA VEZA (metal-nemetal) KOVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA VEZA (metal-metal) jake H N. prelazne VODONIČNA VEZA H F HEMIJSKE VEZE HEMIJSKE VEZE I GRAĐA JEDINJENJA,, I deo Postoje tri osnovna tipa veza (primarne veze) i one imaju najveći uticaj na svojstva jedinjenja. Pored njih postoje i dopunske (sekundarne) veze između

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

ALDEHIDI I KETONI. Jedinjenja sa karbonilnom funkcionalnom grupom

ALDEHIDI I KETONI. Jedinjenja sa karbonilnom funkcionalnom grupom ALDEHIDI I KETNI Jedinjenja sa karbonilnom funkcionalnom grupom I aldehidi i ketoni sadrže karbonilnu grupu C R C H R C karbonilna grupa aldehid keton R 1 Nomenklatura aldehida i ketona ALKANAL I ALKANN

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009.

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009. Osnove kvantne kemije za matematičare Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj 2009. Nekoliko uvodnih zadataka Zadatak Odredite frekvenciju i valni broj elektromagnetskog zračenja valne duljine λ

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Organska kemija. Predavanje 2

Organska kemija. Predavanje 2 Organska kemija Predavanje 2 I. Klasifikacija organskih spojeva Podjela ugljikovodika ugljikovodici Alifatski ili aciklički Ciklički i aromatski alkani alkeni alkini ALKANI Sadrže samo C i H Opća formula

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

H 3 CH 3 CH 2 C CH CH CHC CH CH 2 C CH C CH CH 2. propin. 2-butin (acetilen) etin. (metilacetilen) (dimetilacetilen)

H 3 CH 3 CH 2 C CH CH CHC CH CH 2 C CH C CH CH 2. propin. 2-butin (acetilen) etin. (metilacetilen) (dimetilacetilen) 1 ALKINI n n Alkini su ugljovodonici koji sadrže vezu u molekulu. Dele se na: terminalne, R, unutrašnje, R R'. IMENVANJE ALKINA UBIČAJENA (trivijalna) imena: trivijalni naziv za alkin sa atoma, je acetilen,,

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU METALURŠKI FAKULTET OPĆA KEMIJA MIRA LEGIN KOLAR DAMIR HRŠAK. Sisak, 2008.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU METALURŠKI FAKULTET OPĆA KEMIJA MIRA LEGIN KOLAR DAMIR HRŠAK. Sisak, 2008. 1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU METALURŠKI FAKULTET OPĆA KEMIJA MIRA LEGIN KOLAR DAMIR HRŠAK Sisak, 008. SADRŽAJ 1. UVOD......5. TVARI......6.1. PODJELA TVARI......6.. STRUKTURA ATOMA......9.. ATOMNA JEZGRA......11.4.

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Elektronska struktura atoma

Elektronska struktura atoma Elektronska struktura atoma Raderfordov atomski model jezgro u sredini pozitivno naelektrisano skoro sva masa jezgru veoma malo Elektroni kruže oko jezgra elektrostatičke interakcije ih drže da ne napuste

Διαβάστε περισσότερα

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE Prof. dr. sc. Z. Prelec INŽENJERSTO ZAŠTITE OKOLIŠA Poglavlje: (Emisija u atmosferu) List: 1 EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZOR EMISIJE Izgaranje - najveći uzrok

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR

ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR UVD STATISTIKA osnovni pojmovi BLTZMANNVA RAZDIBA ATMSKA SPEKTRSKPIJA predavanja i seminar MLEKULSKA SPEKTRSKPIJA primjena UV/VIS MLEKULSKA SPEKTRSKPIJA primjena UV/VIS dodatni

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GRAFIČKI FAKULTET KATEDRA ZA KEMIJU U GRAFIČKOJ TEHNOLOGIJI

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GRAFIČKI FAKULTET KATEDRA ZA KEMIJU U GRAFIČKOJ TEHNOLOGIJI SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GRAFIČKI FAKULTET KATEDRA ZA KEMIJU U GRAFIČKOJ TEHNOLOGIJI INTERNA SKRIPTA Priredili: Doc. dr.sc. Mirela Rožić Doc. dr.sc. Željka Barbarić-Mikočević Ivana Plazonić, asistent Zagreb

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

PERIODNI SISTEM ELEMENATA

PERIODNI SISTEM ELEMENATA PERIODNI SISTEM ELEMENATA 1/43 PERIODNI SISTEM ELEMENATA - Kratka istorija Otkriće elemenata do danas otktiveno još 11 elemenata 2011. IUPAC potvrdio otkriće 2 nova elementa: Flerovijum (Fl, Z = 114) i

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ АЛКИНИ И ДИЕНИ

ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ АЛКИНИ И ДИЕНИ ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ Предавања АЛКИНИ И ДИЕНИ Др Весна Антић, ванредни професор Др Малиша Антић, ванредни професор ALKINI C C Ugljovodonici sa trostrukom vezom C C Opšta formula alkina: C n H 2n-2 Ugljenikovi

Διαβάστε περισσότερα

Kemija je znanost o tvarima i njihovim promjenama. Kemijska znanost toliko je opširna da se tijekom svog razvitka podijelila na uža područja:

Kemija je znanost o tvarima i njihovim promjenama. Kemijska znanost toliko je opširna da se tijekom svog razvitka podijelila na uža područja: PRIRODNE ZNANOSTI I KEMIJA Prirodne znanosti su znanosti koje proučavaju prirodu i prirodne pojave Tri osnovne prirodne znanosti su: fizika, kemija i biologija Kemija proučava tvari od kojih je sastavljen

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA KRISTALNOG POLJA TEORIJA LIGANDNOG POLJA. ili ELETRONSKA STRUKTURA KOORDINACIONIH JEDINJENJA

TEORIJA KRISTALNOG POLJA TEORIJA LIGANDNOG POLJA. ili ELETRONSKA STRUKTURA KOORDINACIONIH JEDINJENJA TEORIJA KRISTALNOG POLJA TEORIJA LIGANDNOG POLJA ili ELETRONSKA STRUKTURA KOORDINACIONIH JEDINJENJA Alfred Verner otac modere neorganske hemije Prusko plavo - Fe 4 [Fe(CN) 6 ] 3, je prvo poznati sintetisani

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Metan CH 4 C H. 0,110 nm. 109,5 o

Metan CH 4 C H. 0,110 nm. 109,5 o 1 2 ALKANI Zasićeni (aciklični) ugljovodonici ili parafini neaktivni (nedovoljno afiniteta, lat parum affinis) Pokazuju slabu reaktivnost Nemaju funkcionalnu grupu! Svi -atomi su sp 3 hibridizovani Opšta

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Karboksilne kiseline

Karboksilne kiseline Karboksilne kiseline Značaj Sinteza polimera akrilna i metakrilna k., adipinska k., maleinska k., tereftalna k. Sinteza rastvarača estri Industrija tekstila, kože, graf. boja. mravlja k. Aditivi hrane

Διαβάστε περισσότερα

d-elemeti su su elementi koji se nalaze u PS između 2. i 13.grupe (od IIa do IIIa podgrupe ili glavnih grupa)

d-elemeti su su elementi koji se nalaze u PS između 2. i 13.grupe (od IIa do IIIa podgrupe ili glavnih grupa) PRELAZNI ELEMENTI d-elemeti su su elementi koji se nalaze u PS između 2. i 13.grupe (od IIa do IIIa podgrupe ili glavnih grupa) Prelazni elementi d-elementi Lantanoidi i aktinoidi II-b-grupa cinka U prelazne

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

OSTALE SIMULACIJSKE TEHNIKE (MC, RAMD, METADINAMIKA, QM/MM) Kolegij: Strukturna računalna biofizika

OSTALE SIMULACIJSKE TEHNIKE (MC, RAMD, METADINAMIKA, QM/MM) Kolegij: Strukturna računalna biofizika OSTALE SIMULACIJSKE TEHNIKE (MC, RAMD, METADINAMIKA, QM/MM) Kolegij: Strukturna računalna biofizika Empirijske metode - računalne metode temeljene na polju sila: molekularna mehanika (MM) molekularna dinamika

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα