МЕХАНИКА ФЛУИДА. скрипта

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "МЕХАНИКА ФЛУИДА. скрипта"

Transcript

1 Факултет техничких наука Нови Сад МЕХАНИКА ФЛУИДА скрипта Маша Букуров септембар, 2006.

2 УВОД У МЕХАНИКУ ФЛУИДА У циљу побољшања услова живота, иако несвесно, принципи механике флуида примењивани су још у праисторији. Древне цивилизације започеле су развој механике флуида у емпиријском искуственом облику, нарочито у области наводњавања. Сам почетак развоја механике флуида као теоријске дисциплине и практичне науке датира из трећег века пре нове ере са Архимедовим записом "О телима која пливају". До данас наука о флуидима превалила је дуг пут. Механика флуида развила се у једну од најкомплекснијих дисциплина. Њен развој још није завршен и постоје многа питања која захтевају одговоре. Развој рачунарске технике, нумеричких анализа и брзих и поузданих мерних уређаја на крају двадесетог и почетку двадесетпрвог века отварају нове стране у историји механике флуида. Развој механике флуида захтева промене и у њеном проучавању. То је изазов за све институције које се баве образовањем и истраживањем у пољу механике флуида. Историја механике флуида Још од праскозорја цивилизације, људска врста била је фасцинирана флуидима; било да је реч о струјању воде у рекама, ветру и временским приликама у атмосфери, топљењу метала, снажним струјама океана или дисању и струјању крви кроз наша тела. Механика флуида открива опчињавајућу историју. Почетак развоја механика флуида датира из времена када су маштовити и довитљиви становници планете Земље открили да чамац сличан струјницама реке путује брже од оног затупљеног корита, као и да од облика стреле зависи исход лова. Древне цивилизације Старе цивилизације настајале су у близини воде. Једна од њих је и дуговечна кинеска цивилизација од пре седам миленијума. Ова цивилизација настала у долини две велике реке: Хоангхо на северу и Јангцејанг на југу Кине, изолована од остатка Азије скоро непремостивим природним баријерама, Хималајима и пустињом Гоби, развила се у комплексну и другачију цивилизацију. Река Јангцејанг служила је као извор воде за наводњавање пиринчаних поља. Пиринач иначе може да исхрани већи број људи по хектару од осталих житарица, али захтева велике количине воде. Тако је и потреба за водом довела до настанка прве примитивне пумпе за воду коју су у почетку покретали људи, а касније животиње. Друга древна цивилизација Месопотамија, такође је била позната као земља између двеју река Тигра и Еуфрата. У овој области кише су падале сезонски, што је изазивало поплаве зими и у пролеће, а сушу у лето и јесен. Земљорадња је зависила од наводњавања из Тигра и Еуфрата, те је изграђена мрежа канала за наводњавање и одводњавање који су повезивали градове и омогућавали транспорт људи и робе. Античка времена Старогрчки мислилац Хераклит у филозофском смислу поставио је постулат да "све тече". Грчка цивилизација оставила нам је у наслеђе пуно плодова размишљања у свим сферама људског интересовања, укључујући и механику флуида. Каже се да је статика флуида започела свој развој у време Старе Грчке. Поменуто Архимедово дело (250 п.н.е.) поставља основне темеље хидростатике. У то време тежиште проучавања односило се на радове са водом: аквадукте, канале, луке и купатила, која су Стари Римљани, касније довели до савршенства. Ренесанса Инспирисан Архимедом, холандски инжењер хидраулике Симон Стевин написао је документ у коме показује да сила притиска течности која делује на одређену површину зависи од висине стуба 1

3 течности и површине на коју делује. Чињеница да ова сила не зависи од облика суда постала је позната као хидростатички парадокс. Многи сматрају да је Стевин оснивач науке о хидростатици. У јужној Европи, велики уметници и инжењери тог времена, попут највећег од свих, Леонарда да Винчија, поново су се заинтересовали за природу око себе, а посебно струјање флуида. Леонардо је проучавао феномене у визуелном свету, препознаво је структуру и форму тих феномена, описивао их скицама на тачан начин како их је видео. Учествовао је у пројектовању и надгледању изградње радова на каналима и лукама у средњој Италији. Свој допринос механици флуида оставио је у девет делова својих расправа у којима покрива површинско струјање, кретање воде, таласе, вртлоге, падање воде, слободне млазеве, интерференцију таласа, летеће машине и многе друге новооткривене појаве. Леонардов наследник с краја 17. века био је Исак Њутн ( ). Њутн је, поред мноштва других ствари којима се бавио, спровео низ експеримената из области отпора тела при његовом кретању кроз флуид. Формулисао је брзину звука у ваздуху, основе вискозних напона и дао је једначину коју данас зовемо силом отпора, при чему је направио грешку сматрајући да облик тела нема утицаја. Својим радовима утврдио је почетак континуалног проучавања механике флуида. Почетак развоја механике флуида траје око сто година (1650. до 1750.) и у вези је са општим интересом за природне науке. Овај период окарактерисан је ослобађањем људског духа и мисли који су до тада били под утицајем застарелих ставова, углавном Аристотелових, што је било у складу са клерикалним поимањем света. Тако је прво Галилео Галилеј ( ) оповргао теорију о сили отпора у течностима и гасовима. Експериментом је показао да сила отпора расте са порастом густине флуида и брзине тела. Француски научник Едме Мариот ( ) године дао је квантитативну процену ове силе. Њутн је покушао да квантификује и предвиди струјање флуида помоћу својих елементарних њутновских физичких релација. Покушао је да створи нову теорију о отпорима, али је касније утврђено да ова теорија води до погрешних резултата јер није узео у обзир трење. Његов допринос механици флуида огледа се у следећем: o други Њутнов закон F=m a o концепт њутновске вискозности у коме тангенцијални напон линеарно зависи од брзине деформације, o постављање једначине о промени количине кретања у флуиду, o успостављање везе између брзине таласа на површини течности и таласне дужине. 18. век (Хидраулика) Током 18. и 19. века уложено је пуно труда у математичко описивање кретања флуида. Данијел Бернули ( ) извео је своју, и данас битну и чувену, једначину, а Леонард Ојлер ( ) поставио је једначине које описују закон одржања количине кретања невискозног флуида и закон одржања масе. Такође је увео и теорију потенцијалног струјања. Жозеф Луј Лагранж ( ), највећи математичар осамнаестог века, Леонард Ојлер и Данијел Бернули оснивачи су науке о механици флуида. Да би описали различите појаве у струјном пољу, физичка својства флуида морала су да се идеализују у великој мери. И поред тога, компликоване једначине нису могле да се примене на решавање практичних проблема. Неминовна поједностављивања водила су до нетачних решења која нису могла да се користе за многе техничке проблеме. Тако је започет развој практичне - експерименталне хидромеханике - хидраулика. Француз Клод Луј Мари Навије ( ) и ирац Џорџ Габријел Стокс ( ) увели су вискозне утицаје у Ојлерову једначину, што је резултовало чувеном Навије-Стоксовом једначином. Ова векторско диференцијална једначина, постављена пре 200 година, данас представља основу за развој нове научне дисциплине - рачунарске динамике флуида, или краће и опште прихваћено ЦФД (Computational Fluid Dynamics), а у себи обухвата изразе за одржање масе, количине кретања, притисак, вискозност и турбуленцију. Скаларни облик ове једначине толико је комплексан за решавање да је тек развитак дигиталних рачунара шездесетих и седамдесетих година прошлог века омогућио њихову примену на проблеме реалног струјања. 2

4 19. век (невискозно струјање) Од 19. века надаље, достигнућа у механици флуида била су углавном везана за војно-техничке и индустријске проблеме. Густав Кирхоф ( ) увео је функцију комплексног потенцијала и одредио параметре дводимензионалног безвртложног струјања невискозних течности око различитих тела. Николај Јегорович Жуковски ( ) даље је развио тај метод и увео нове комплексне функције које су омогућиле решавање различитих практичних проблема од велике важности. Године Херман фон Хелмхолц ( ) описао је понашање струјних линија вртлога у невискозном, некомпресибилном флуиду под дејством конзервативних сила на тело. Безвртложно струјање око сфере решио је Симеон Денис Поасон ( ), а сер Џорџ Габријел Стокс је побољшао решења. За прорачун безвртложног струјања око осносиметричних тела Вилијем Ренкин ( ) предложио је метод сингуларитета (извор, понор, дипол) који је нашироко прихваћен и примењен. Тако се развило идеално невискозно струјање. Још један правац у развоју механике флуида у 19. веку био је проблем турбуленције и сила отпора при великим брзинама. Године Озборн Рејнолдс ( ) извео је једноставан експеримент и уочио два различита струјна режима: ламинаран и турбулентан. Експерименти су потврдили Навије- Стоксове једначине за ламинарно струјање. Турбулентно струјање морало је да се опише додатним члановима који обухватају утицај турбуленције и ове једначине добиле су име Рејнолдсове једначине. Систем Рејнолдсових једначина није решен до данас јер недостаје квалитетнија аналитичка веза између турбулентних напона и основних карактеристика струјања. Лудвиг Прантл ( ) поставио је године теорију о граничном слоју и на тај начин поједноставио решавање бројних практичних проблема. У 19. веку добијени су и значајни резултати у вези са струјањем гасова. Друге кључне личности које су утицале на развој теорије струјања флуида током 19. века биле су Жан Ле Ронд Даламбер ( ), Жан Луј Мари Поисел ( ), Џон Вилијем Рејли ( ), Морис Кует ( ) и Пјер Симон де Лаплас ( ). Савремена механика флуида Почетком 20. века много је урађено на развоју теорије граничног слоја и турбуленције у флуидној струји. Прантлов допринос механици флуида обухвата и теорију узгонске линије (узгон и отпор крила), рад на турбуленцији и експериментално и теоријско проучавање динамике гасова. Његова теорија граничног слоја сматра се најважнијим открићем у механици флуида свих времена и стога се Прантл сматра оцем савремене механике флуида. Теодор фон Карман ( ) анализирао је оно што се данас зове фон Карманов вртложни траг. Џефри Инграм Тејлор ( ) предложио је статистичку теорију турбуленције и Тејлорову микро скалу. Андреј Николајевич Колмогоров ( ) увео је концепт Колмогорове скале и универзалног енергијског спектра турбуленције, а Џорџ Кит Бечелор ( ) дао је допринос теорији хомогене турбуленције. Највећи развој у историји механике флуида десио се током четрдесетих година двадесетог века. Разлог лежи у изузетно брзом развоју индустрије и војне технике. Градња нуклеарних електрана, атомске и хидрогенске бомбе, интерконтиненталних ракета, надзвучних летелица и орбиталних станица захтевали су од механике флуида решавање мноштва различитих проблема који су били незамисливи током 19. и почетком 20. века. Осим наставка на проучавању постојећих научних дисциплина које су започете у 19. и 20. веку, јављају се нове научне области: аеродинамика, динамика гасова, магнетна и хемијска хидродинамика и друге. Радови професора Николаја Егоровича Жуковског ( ) и Сергеја Алексејевича Чапљигина ( ) били су од виталног значаја за аеродинамику, турбине и бродове. Теоријски рад Жуковског био је сконцентрисан на узгон, аеродинамику великих брзина, теорију вртложења, уздужну и попречну стабилност, али је он допунио овај рад и одговарајућим експерименталним опсервацијама за сваки случај понаособ. Овим двоструким прилазом проучавању аеродинамике, утабао је пут развоју руске авијације. Основао је аеродинамичку лабораторију и образовне курсеве из своје теорије аеродинамике. Чапљигин је објавио познато дело "О струјању гасова" године где 3

5 је представио тачна решења многих случајева дисконтинуалног струјања компресибилних гасова. Овај рад отворио је пут за проучавање аеромеханике великих брзина. Године Прантл је извео диференцијалну једначину за струјање у ламинарном граничном слоју. Интеграле ове једначине извео је Карман, који је такође проучавао примену математике у инжињерској пракси, ерозију авионских конструкција и земљишта, турбулентну теорију и надзвучне летове. Током Другог светског рата своја интересовања усмерио је ка проучавању ракета. Експериментална механика флуида Експериментална истраживања која су скоро увек претходила теоријским анализама, дуго времена су била независан правац развоја механике флуида, јер су била везана за проучавање реалног флуида који није задовољавајуће описан све до краја 19. века. Од тада, ове две гране проучавања механике флуида, теоријска и експериментална, развијају се заједно, иако експерименти и даље имају доминантну улогу у проучавању феномена механике флуида, а разлог томе је недостатак потпуног знања о различитим струјним процесима. Током 20. века многи комплексни проблеми који нису могли да се реше коришћењем теоријске механике флуида захтевали су изградњу ваздушних тунела, испитних базена, кавитационих и ударних тунела, брзих хидродинамичких канала и др. Експерименталне истраживачке лабораторије, као и различити струјни уређаји и инструменти користе се за проучавање сложених струјања и насталих сила, са применом у турбо машинама, цевоводима у фосилним и нуклеарним електранама, кавитацијом у пропулзивним системима, кабловима за платформе у океанима. Заједнички задатак при пручавању свих ових и многих других феномена је да се разумеју, предвиде и контролишу струјањем изазване вибрације, стварање буке, мешање и процеси преноса топлоте. Упркос чињеници да су основне једначине механике флуида (континуитета, количине кретања, Навије-Стоксова и Рејнолдсова једанчина) познате још са краја 18. века, њихово потпуно решавање није било могуће због недостатка метода решавања. Сви методи за решавање ових једначина за инжењерске проблеме развијени су тек у другој половини 20. века захваљујући огромном напретку нумеричких метода и развоју моћнијих рачунара. Из истих разлога, друга половина 20. века такође доноси огроман напредак у пољу експерименталне механике флуида. Развој брзих електронских компоненти, ласера, интегрисане оптике, различитих сензора, микро технике итд., омогућио је развој широког спектра мерних техника које су сада на располагању за проучавање струјања флуида. Велики избор ласерских система (Јаг, аргон-јон, хелијум-неон) омогућавају расветљавање комплексних струјања. Мале промене површинског притиска могу да се измере коришћењем великог броја сензорских система који раде на принципу пијезо ефекта уз појачиваче и филтере. Модерне оптичке технике у огромној мери побољшале су визуелизацију струјања. Представљање нумеричких резултата у облику путање или струјница јасно говори о томе да су оптичке методе још увек корисне за разумевање струјне слике и њених промена при опструјавању различитих препрека, као и за добијање општег увида у природу струјања флуида. Врло брзи електронски појачивачи одзива омогућили су развој мерења брзине флуида (анемометрија) помоћу вреле жице и на тај начин добијене су прве детаљне информације о брзинама при турбулентном струјању. Међутим, анемометар са топлом жицом и даље је ограничене примене на струјања са малим степеном турбуленције. Ласер-доплер анемометрија је техника мерења која је заснована на мерењу расипања светлости при наиласку на ситне честице које прате флуидну струју. Поред ове технике, постоје и друге, као што су фазна-доплер анемометрија и друге које омогућавају још прецизнија мерења струјања флуида. Рачунарска динамика флуида (ЦФД) Осим развоја експерименталне механике флуида сведоци смо крупних корака у развоју рачунарске динамике флуида. Може да се говори о новој научној дисциплини насталој применом нумеричких метода у механици флуида уз помоћ рачунара. 4

6 Најранија нумеричка решења за струјање око цилиндра извео је А. Том године. Убрзо је слична решења добио и јапанац Кавагучи коришћењем механичког стоног калкулатора чији је прорачун трајао 18 месеци 20 сати недељно. Током 60. година прошлог века, теоријски департман у Наси у Лос Аламосу у САД направио је многе нумеричке методе који се и данас користе у ЦФД. Раних осамдесетих комерцијални ЦФД кодови улазе на отворено тржиште. ЦФД постаје незаменљиви у аеро и хидродинамици при пројектовању авиона, возова, аутомобила, ракета, бродова, подморница и било ког возила или радног процеса. Будућност Механика флуида дошла је у стадијум када је могуће проблеме добро представити математички, али није могуће, услед сложености, добити аналитичка решења. Таквим проблемима обично се приступа комбинацијом физичких експеримената и нумеричких варијација, при чему нумерички прорачуни сваким даном напредују, са порастом моћи рачунара. Због тога су вероватне значајне промене у механици флуида. Нико, осим стручњака који израђују софтвере, не мора да зна детаље који се налазе унутар црне кутије, чак ни које се једначине решавају. Зато се поставља питање шта ће се десити са механиком флуида као предметом који се предаје студентима инжењерства и природних наука. Постепено, али сигурно, студенти инжењерства ослањаће се све више на софтвере а мање на анализу нумеричких проблема. Стога, ако једнога дана рачунари буду у могућности да реше све проблеме, неизоставно мора доћи до промене начина учења механике флуида, а могуће и целокупне инжењерске науке. Међутим, постоје примери који потврђују да ће учење теоријских принципа механике флуида преовладати. Током Хладног рата, научници из Русије и Украјине имали су веома ограничене могућности рада на рачунарима у поређењу са научницима и инжењерима западних земаља. Као резултат тога, иза "гвоздене завесе" развили су се изузетно јаки теоријски и аналитички приступи проблемима, који су се касније показали као изузетно драгоцени. Они су допринели да се направе ефикасни компјутерски кодови за потребе нумеричке анализе и обраде података на ограниченом броју рачунара. Примена механике флуида Постоје бројне области у којима се механика флуида примењује. У наставку су наведени неки од примера истраживања која се данас спроводе у различитим светским истраживачким центрима: o Пројектовање возила за свемир (излазак из Земљине атмосфере). o Биомедицинска динамика флуида. Истраживања струјања крви и дисања. o Аеродинамика заобљеног тела. Разумевање и предвиђање комплексних дво- и тродимензионалних струјања. o Рачунарска динамика флуида и симулација. Већина истраживања захтевају или експерименталне или резултате ЦФД симулација. Основна ЦФД симулација заснована је на методима коначних елемената или коначних запремина, спектралним методама вишег реда, симулацијама великих вртлога, модела турбулентних струјања, шемама дисконтинуитета високе резолуције, вртложних метода итд. o Контрола и оптимизација летелица. Контрола је један од најзначајнијих аспеката у пројектовању летилица. Примена укључује и стабилизацију и регулацију динамике летелице. o Контрола струјања. Контрола струјања брзо се развија, као једна од кључних области у технологији и у аеронаутици и у медицинском сектору, у циљу смањења отпора и струјањем изазваних вибрација. o Архитектура морских објеката и енергија таласа. Истраживања су усмерена на повећање разумевања развијања таласа и струја око морских конструкција, нарочито оних који се користе при експолоатацији нафте и гаса. o o Аеродинамика друмских возила. Аеродинамика хеликоптера. Истраживања обухватају синтезу ЦФД и нелинеарне механике чврстог тела уз динамику сложеног тела ради стицања сазнања о перформансама летилица, механици летења, вибрацијама и акустици. 5

7 o o o o Суперсонична и хиперсонична аеродинамика и струјања стишљивог флуида. Ова истраживања основа су будућим летовима у свемир, кроз атмосферу и летовима великих брзина. Истраживачи желе да разјасне феномене у свемиру, и да развију летелице нове генерације. Ветро генератори. Спроводе се истраживања у вези са обликом лопатица и међусобним дејством вртложног трага и нестационарног струјања око хоризонталне осе ротора, пројектовање ефикаснијих елиса. Заштита животне средине. Распростирање контаминаната кроз атмосферу, локално и глобално, кроз подземне и површинске водотокове. Метеорологија. Праћење и предвиђање врменских прилика уз помоћ све напреднијих софтвера, као и њихов развој. 6

8 ОПШТИ ПОЈМОВИ Механика флуида обухвата појаве које су везане за два агрегатна стања тела: течно и гасовито; али и све врсте мешавина сва три агрегатна стања. Гасовито тело карактерише врло велика покретљивост и деформабилност и његово понашање потпуно је супротно од понашања чврстог тела. Течно тело налази се на средини између ова два стања, па су и његове карактеристике сличне карактеристикама и чврстог и гасовитог тела. У механици флуида посматра се кретање делића који је потпуно испуњен материјом. Ако се зна да у коцки чије су ивице димензија 1 микрон има 3, молекула воде на 0 [ С] или 2, молекула ваздуха на 0 [ С], притиску 760 [mmhg] онда, материјом потпуно испуњени и најмањи простор је стварност а не претпоставка, пошто су молекули најмањи делићи флуида који поседују све његове карактеристике. Назив флуид односи се на течности и гасове због њихових заједничких особина. Гасови се врло често тртирају као стишљиви, а течности, пак, као нестишљиви флуиди. Модели флуида Основни модели флуида који се проучавају су: o миран флуид - флуид у стању мировања. Може да буде стишљив и нестишљив, али се увек посматра као невискозан флуид, јер се вискозне силе не јављају при мировању флуида; o нестишљив флуид - флуид код кога је густина константна. Може да буде вискозан и невискозан; o идеалан (савршен) флуид - флуид који је невискозан. Модел флуида у коме су нађена прва решења кретања; o стишљив (компресибилан) флуид - флуид чија је густина променљива а еластичне силе (притиска) доминантне. Вискозни ефекти обично се занемарују. Модел оваквог флуида примењује се у динамици гасова; o реалан флуид - стваран флуид код кога су изражене и вискозне и еластичне силе. За реалан флуид постоји ограничен број тачно решених проблема. Струјни режими Према кретању флуида треба разликовати два (три) основна струјна режима: o ламинаран - са слојевитим кретањем флуида без мешања суседних слојева. Струјни режим који је добро описан Навије - Стоксовим једначинама, теоријски и практично је у доброј мери проучен и испитан. Карактеришу га мали интензитет брзина или јака вискозност; o турбулентан - хаотично кретање флуидних делића са интензивним мешањем. Постављене једначине дају решења за ограничен број проблема. Експериментална истраживања и нумеричка решења донекле задовољавају данашње потребе; o прелазан - зона између ламинарног и турбулентног кретања са низом специфичности у зависности од карактеристика струје. Термин прелазан односи се и на недовољно развијено струјање, нпр. на уструјавање флуида из резервоа у цевовод. Врсте струјања Према струјној слици треба разликовати врсте струјања. Најчешће се срећу: o једнодимензијска струја. Вектор брзине има само једну компоненту. Идеализован случај струјања кроз цев; o раванско струјање. Вектор брзине има два компоненте. Врло је развијена теорија раванског струјања идеалног флуид. Решења из ове теорије (потенцијална теорија) користе се као основа за одређивање решења реалног флуида; o осно - симетрично струјање. Струјање реалног флуида (ламинарно) кроз цеви, опструјавање идеалног флуида око цилиндра и других обртних тела; 7

9 o струјање са обртним координатама. Струјање кроз роторска кола турбомашина. Реолошка класификација Основа понашања флуида веза је између тангенцијалног напона τ, који влада на додирним површинама флуидних слојева или флуида и чврсте граничне површине, и градијента брзине dv dy. Тангенцијални напон проузрокован је спољним утицајима, а градијент брзине представља меру деформације флуида под дејством спољашњих сила. Подела флуида према понашању (реолошка класификација), приказана на слици 1, садржи две основне групе: њутновске и нењутновске флуиде. Њутновски флуид. Веза између тангенцијалног напона и одговарајућег градијента брзине дата је Њутновом (конститутивном) једначином: dv τ = η dy тј. карактеристичан однос тангенцијалног напона и градијента брзине одређује динамичку вискозност τ dτ η = = = const. dv dv d dy dy Нењутновски флуид. Веза између тангенцијалног напона и одговарајућег градијента брзине није линеарна. Постоје две групе нењутновских флуида: o за дилатантни флуид однос тангенцијалног напона и градијента брзине расте са порастом градијента брзине, o за псеудопластичне и пластичне флуиде исти однос се смањује са порастом градијента брзине. Код пластичних флуида потребно је пре кретања остварити почетно напонско стање τ. p За описивање кретања пластичног, псеудопластичног и дилатантног флуида уводи се појам привидне вискозности η p. Бингамов модел и модели степеног закона којима се описује понашање псеудопластичног и дилатантног флуида представљају поједностављена решења. Односе се само на оне флуиде код којих се вискозност током времена не мења. Модел степеног закона дат је са: dv τ = K d y (n<1 псеудопластични; n>1 дилатантни; n=1, K=η њутновски). n Слика 1. Модели струјног понашања и профил брзине 8

10 Временска зависност Струјни процес је везан за неки временски интервал, па треба разликовати: o стационарну струју; независност свих струјних параметара од времена; o нестационарну струју; неки од струјних параметара зависе од времена, нпр. v=f(x, y, z, t). Састав флуида Врло често су представници нењунтновских флуида разне мешавине, па је присутна подела: o једнофазни флуиди - хомогени по саставу; o двофазни и вишефазни флуиди. Мешавине гаса и течности, гаса и чврстог, чврстог и течног (транспорт чврсте компоненте у течној и гасној струји). Многе мешавине (дисперзни системи) показују карактеристике чврсте (еластичност) и флуидне (вискозност) компоненте, а односи τ, dv dy, η p су нестационарног карактера. Стационарност, врсте струјања, струјни режими и модели су обележја и нењутновских флуида. Иако се данас са сигурношћу може потврдити да је подједнака потреба за познавањем нењутновских и њутновских флуида, већа пажња посвећује се њутновским, јер се чешће срећу, а исти су принципи и методе проучавања. Статика флуида је од исте важности као и статика чврстог тела. Без доброг познавања проблема из статике флуида, немогуће је решавати проблеме из динамике флуида. У инжењерској пракси срећу се струјни (динамички) проблеми који могу да се поделе у две групе: унутрашња (ограничена) и спољашња (слободна) струјања. Унутрашња струјања везана су за цевоводе, флуидне машине и струјне процесе, а спољашња струјања најчешће проучавају силе отпора које делују на опструјавана тела или тела која се крећу кроз флуид. Основни закони који се користе у струјној анализи су: o Закон одржања масе. Маса не може да се створи нити уништи, може само да мења место. Овај закон у механици флуида изражава једначина континуитета. o Три Њутнова закона кретања. 1. Маса флуида задржава равнотежно стање, односно мирује или се креће једноликом брзином у истом смеру све док се не појаве силе које могу да наруше ово стање. 2. Промена количине кретања масе флуида изазива пропорционалну силу која дејствује на ту масу. Овај алтернативни облик другог Њутновог закона у пракси се најчешће користи за одређивање сила којима флуид делује на чврсте границе. Други Њутнов закон у механици флуида представљен је динамичком једначином (кретања), која је основа за решавање струјних проблема. 3. Свака активна сила има једнаку (по величини) и супротну (по смеру) реактивну силу (нпр. покретачка сила ракете). Ова природна и добро позната законитост користи се често без посебних напомена. Она је у склопу једначине о промени количине кретања. o Први закон термодинамике (закон о одржању енергије). Енергија, као и маса, не може да се створи нити уништи. Она може да мења облик, да се транспортује и да се складишти. Редуковани облик овог закона - Бернулијева једначина користи се за поређење и одређивање три основне компоненте флуидне струје: кинетичке енергије, енергије притиска и висинске енергије (положајне). Бернулијева једначина своје порекло, такође, дугује и другом Њутновом закону. Наведени закони су физичког карактера и важе за све врсте и случајеве струјања. Немају ограничења у погледу природе флуида и геометрије њихових граница, али важе само за инерцијске координатне системе. Инерцијски координатни систем је непокретан или се креће једноликом брзином. Егзактно математичко моделирање физичких закона спроводи се постављањем и решавањем диференцијалних једначина кретања. Приближна струјна анализа која због једноставног и брзог рачуна има велик практични значај, спроводи се применом физичких законитости на контролну запремину и контролни систем. 9

11 ФИЗИЧКА СВОЈСТВА ФЛУИДА Молекуларна грађа - микроструктура Флуиди су састављени из елементарних честица (молекула и атома), пречника реда d m. За грађу материје од битног утицаја су само два стања ових честица: o Честице су далеко једна од друге, густина је довољно мала и честице врше стохастичко (хаотично Брауново, за гасове) кретање. Дужина слободне путање за ваздух под нормалним условима је l 10-7 m, средња брзина молекула износи 500 m/s. o Честице су релативно близу једна другој, густина је довољно велика и постоји узајамни утицај честица. Делују међумолекуларне (Вандервалсове силе) на растојању од око 10d 10-9 m. (слика 1). Слика 1. Међумолекулска сила F којом честица делује на другу честицу у зависности од њиховог међусобног растојања r Подела физичких својстава Стање флуида одређује се различитим физичким својствима. Сва својства су макроскопско представљање микроскопских (или молекуларних) структура и кретања. Макроскопско престављање изражено је кроз хипотезу континуума која описује флуид зависно од његових својстава, која репрезентују средње вредности карактеристика његове молекуларне структуре. С обзиром да све материје постоје у чврстом или флуидном стању, потребно је, поред добро познатих разлика, уочити и следећу: при деловању тангенцијалне силе издвојена запремина флуида, која приања за непокретну површину, наставиће са деформисањем докле год дејствује сила. Након престанка деловања силе издвојена запрмина флуида неће се вратити у почетни облик, (за разлику од чврстог тела при еластичној деформацији). Процес континуалне деформације (под дејством силе или тангенцијалног напона) назива се струјање. Флуид је материја која је у стању да струји (тече), па се у физичким својствима флуида разматрају величине које се јављају при кретању: вискозност, брзина звука, као и величине које су последица различитих интеракција, нпр. површински напон и кавитација. Физичка својства флуида погодно је да се поделе у три групе: o механичка (густина (), притисак (p)) o термичка (температура (t, T), унутрашња енергија (u), енталпија (h), специфична топлота (c)) o узрокована (вискозност (η,ν), стишљивост (s,ε), површински напон (γ), напон паре (p k ), топлотно ширење (β), кавитација (κ)). У наставку, независно од редоследа и набројаних величина дате су основне карактеристике и везе најважнијих физичких својстава. 10

12 Притисак Притисак је скалар и представља једно од својстава флуида везаних за једну тачку (као и густина, температура итд.). Означава се са р и има димензију Паскал (Ра=N/m 2 ). У употреби је и бар (1 bar=10 5 Pa). Разликује се унутрашњи и спољашњи притисак. Унутрашњи притисци у оквиру елементарних запремина у посматраној издвојеној флуидној запремини се поништавају. Спољашњи притисак представља дејство спољашњих сила. Тачна дефиниција притиска одређена је напонским стањем, односно познавањем тензора напона. Може се рећи да притисак повезује све остале утицајне струјне величине. Мерење притиска Зависно од тога да ли се притисак мери од нуле или од атмосферског притиска разликују се (слика 2): - манометарски притисак или натпритисак p mb, - вакуумметарски притисак или потпритисак p va, - апсолутни притисак p A, p B. Слика 2. Релативни и апсолутни притисци Збир атмосферског притиска и натпритиска или разлика атмосферског притиска и потпритиска једнаки су апсолутном притиску. pa = pa pva p = p + p B a mb Уређаји за мерење притиска Стандардни механички инструменти за мерење статичког притиска су манометар са Бурдоновом цеви (слика 3) и анероидни барометар (слика 4). Манометар са Бурдоновом цеви састоји се из танке еластичне цеви елипсастог облика А која је учвршћена у тачки Б. Слободан крај повезан је са казаљком Ц. Услед дејства притиска флуида који се уводи у цев, цев тежи да заузме кружни облик што се одражава на показивање казаљке. Како са спољашње стране цеви дејствује обично атмосферски притисак, то казаљка показује само релативан притисак, односно натпритисак. Казаљка је на нултом подеоку када су притисци у цеви и око ње једнаки. 11

13 Слика 3. Манометар са Бурдоновом цеви Слика 4. Анероидни барометар Основни елемент анероидног барометра јесте кратак цилиндар А са еластичном мембраном Б. У цилиндру нема ваздуха. Ако је околни простор такође без ваздуха, онда казаљка показује нулу, што одговара нултом апсолутном притиску. При сваком повећању спољашњег притиска, казаљка се помера удесно. Инструменти, код којих се притисак мери стубом течности су различите врсте U - цеви, помоћу којих се одређује релативан притисак и добро је познат и живин барометар којим се одређује апсолутни притисак. Слика 5. Мерење притика помоћу U-цеви Препоручује се да се висине мере над хоризонталном равни (хоризонт) која се провлачи кроз ниво нижег стуба течности у U - цеви. На слици 5 хоризонт је обележен словима x-x. У левом краку налази се течност густине t и висине H [m], а у десном краку је жива (која се не меша са течношћу). Њен стуб над хоризонтом x-x висок је h, а густине је ž. Нека је пресек левог крака цеви A 1 =const. и десног A 2 =const. рачунајући по висини крака. Ниво живе у левом краку U - цеви трпи притисак p од тежине стуба течности (H) и атмосферског притиска. Сила од притиска једнака је pa 1, а уравнотежава се тежином стуба течности gha и силом атмосферског притиска p t 1 aa 1 Једначина за равнотежу захтева да је отуд pa = gha + p A 1 t 1 a 1 12

14 p = gh + p. (#) t Слично овоме, следи једначина за исти притисак p на хоризонт x-x десног крака p = gh + p. (##) ž Прво се истиче да није важно да ли су пресеци кракова U - цеви једнаки или не, важно је да се пресек истог крака не мења. Јасно је да се притисак p код хоризонта може срачунати помоћу једначине (#) или (##). Кад се те две једначине изједначе, што представља једначину равнотеже за течност у U - цеви која се практично увек употребљава, налази се однос висина стубова различитих течности H ž =. h t Стуб живе висок 1 m држао би, на пример, равнотежу стубу воде високом 13,6 m. С једначином равнотеже за течност у U-цеви треба забележити свако различито временско статичко стање исте течности (нпр. почетно и радно) и сваку врсту течности када је спојено више U-цеви. Запремина одређене масе течности постојана је. Ако се нпр. неки крак мерне цеви шири од пречника d на пречник D, а услед промене равнотеже промени се и висина течности у таквој цеви, онда треба имати на уму да смањење (или повећање) запремине течности у оба дела мора имати исту вредност, тј. V = V. Ова једначина повезује различита временска стања. Густина Масу флуида представља густина, те је густина и најзначајније физичко својство флуида. Густина је дефинисана као маса по јединици запремине, димензија је kg/m 3. D m V 3 = lim = kg m V 0 d a a dm dv Могућност да се изабере произвољна запремина dv при описивању неког струјног процеса проистиче из, већ споменутих чињеница да и најмања запремина флуида садржи огроман број носилаца (молекула) свих физичких и хемијских својстава флуида. На 4 С густина воде је 1000 kg/m 3, а на 20 С густина воде је 998,2 kg/m 3. Ваздух при атмосферском притиску од Pa и температури од 15 С (стандардна атмосфера) има густину 1,226 kg/m 3. Густина ваздуха одређује се из једначине стања идеалног гаса. Густине неких флуида приказане су у Табели 1. Густина смеше течности одређује се зависно од количинских или запреминских делова из следећих релација: Vs = V1 + V2 ms = m1 + m2 ms m1 m2 = + svs = 1V1+ 2V2 s ms s = m + m V + V s = V Густина гасова одређује се из једначине стања идеалног гаса: s 13

15 где су: p притисак [Pa] - густина [kg/m 3 ] R специфична гасна константа [J/kgK] T термодинамичка температура [K]. p = RT Табела 1. Густине флуида Флуид [kg/m 3 ] Флуид [kg/m 3 ] Глицерин 1260 Бензол 875 Нафталин 1145 Шпиритус 830 Лож уље Алкохол (15 С) 790 Млеко 1030 Бензин Ланено уље 940 Жива (0 С) Уље за цилиндре 930 Азот (0 С, 1 bar) 1,251 Морска вода Угљен-диоксид 1,977 Маст Ваздух 1,292 Маслиново уље Кисеоник 1,429 Нафта Водоник 0,090 Једначина стања идеалног гаса повезује основна физичка својства гаса у једној тачки. За познату специфичну гасну константу R, густина одређије се мерењем притиска p и температуре T. Густина течности која мирује одређује се на различите начине: мерењем масе и запремине, хидростатичким мерењем (мерењем силе потиска), помоћу "U" цеви, вагом. Слика 6. Распоред флуидних слојева различитих густина У пракси се често користи специфична густина која представља густину посматраног флуида подељену са густином воде. Када је специфична густина мања од 1, флуид плива на води. Ређи флуиди пливају над гушћим флуидима (слика 6). 14

16 Стишљивост Сви флуиди су стишљиви или копресибилни. То значи да при промени притиска флуид мења запремину. Међутим, често може да се усвоји апроксимација да је флуид нестишљив, поготово када су у питању течности. Када су у питању гасови, мале разлике притисака изазивају мале промене густине. Нпр. промена притиска за 1% при константној температури, довешће до промене густине за 1%. У атмосфери 1% промене притиска одговара висини од 85 метара, тако да се код високих зграда обично сматра да су притисак и густина ваздуха по њиховој висини константни. Количник промене запремине V и првобитне запремине V подељен разликом притисака p (због које се запремина и променила), има константну вредност за сваки флуид и назива се коефицијент стишљивости s: где су: V = V0 V [m 3 ] и p p0 p1 s = [Pа ]; V 0 почетан запремина [m 3 ] p 0 почетни притисак [Pa]; или у виду диференцијалних промена V 1 V p 1 = Pa dv 1 s = V dp. Знак - показује да се запремина смањује када се притисак повећава и обрнуто. Реципрочна вредност коефицијента стишљивости назива се модул стишљивости ε, који је аналоган модулу еластичности Е код чврстих тела: Течности ε = 1 V d p [ Pa] s = dv. Са познатим коефицијентом стишљивости може да се одреди густина течности у зависности од промене притиска или дубине. Маса флуида - која се не мења m= V = const. диференцирањем се доводи на тј. те је односно Интеграљењем од почетних вредности (0) V + dv = 0, dv = ; V 1 s = dp s d = p. 15

17 s = p 0 p0 dp добија се тј. ln s p p = 0 ( ) ( p ) 0 s p 0 = 0e. (*) За миран флуид у пољу Земљине теже притисак се мења сразмерно висини флуидног слоја и важи основна једначина за мировање флуида dp = gdz где је: z - оса усмерена вертикално наниже [m]. Заменом овог израза у релацију: sdp = и даљим сређивањем, добија се закон промене густине у функцији дубине 0 2 = = 2 0 z0 sgdz z sgdz 1 1 = sg z ( z ) 0 0 = 1 s0g( z z0) (**) Изједначавањем израза (*) и (**) доводи се дубина z у зависност од притиска, јер следи s( p p0 ) 1 e z z0 =. sg Мера стишљивости течности одређена је променом густине (једн. (*) или (**)). Гасови Модул стишљивости гасне средине зависи од карактера промене стања гаса. Једначина промене (стања) гаса описује карактер промене између два гасна стања. Најчешће се среће изотермска промена са законом промене Т=const. и адијабатска промена са законом промене Q=const. (без одвођења и довођења топлоте током промене). Адијабатска промена може да буде изентропска и политропска. Изентропска је реверзибилна промена - без губитака, а политропска промена представља стварну са губицима. Обе врсте адијабатске промене карактерише експонент изентропе или политропе κ. Експонент изентропе је: o за једноатомне гасове (хелијум) κ=1,66 o за двоатомне гасове (ваздух, азот, кисеоник) κ=1,40 o за тро- и вишеатомне гасове (метан) κ=1,

18 Модул стишљивости за изотермску промену идентичан је статичком притиску p, а за изентропску промену производу κp. До овог се долази на следећи начин: Једначина промене, односно карактеристична једначина за изотерму за изентропу p1 p2 p1 p2 = = const. const. κ κ 1 2 = 1 = 2 тј. тј. p const. = p const. κ = Логаритмовањем и диференцирањем долази се до ln p ln = const. dp = 0 p dp = p Замена у једначину = sdp доводи до 1 = ε = s p; ln p κ ln = const. dp κ = 0 p dp = κ p 1 = ε = κ p; s што значи да је при изотермској промени гасне средине мера стишљивости статички притисак, а при изентропској промени - производ κp. Коефицијент стишљивости за неке течности и вредности гасне константе и експонента адијабате дати су у табелама 2 и 3. Табела 2. Коефицијенти стишљивости s за неке течности при стандардним атмосферским условима Течност s GPa 1 Течност s GPa 1 етар 1, 948 уље (0, 484-0, 637) алкохол 1, 222 вода (0, 419-0, 479) бензин (бензол) 0, 966 морска вода (0, 50-0, 51) угљениктетрахлорид 0, 907 глицерин 0, 230 нафта 0, 705 жива 0, 038 Табела 3. Вредности специфичне гасне константе R, експонента адијабате κ и специфичне топлоте c p (при константном притиску) за неке гасове R [J/kgK] κ c p [J/kgK] угљен диоксид 188,78 1,30 820,61 кисеоник 259,78 1,40 916,91 ваздух 287,04 1, ,83 азот 296,75 1, ,33 метан 518,67 1, ,39 хелијум 2078,03 1, ,50 водоник 4125,66 1, ,12 Брзина звука Брзина простирања слабих еластичних поремећаја c (звука) кроз хомогену средину одређена је једначином 17

19 dp c = [m/s] где су dp и елементарна промена притиска и густине средине кроз коју се преноси еластични поремећај звучни талас. Брзина распростирања звучног таласа кроз течна и чврста тела изражава се преко модула стишљивости ε [Pa], односно преко модула еластичности Е [N/m 2 ]. Проширењем претходне једначине следи: из следи па је односно за течност: а за чврста тела: c c p = 2 d sdp = dp = ε p ε =, dp 2 d 2 c ε =, 2 E c =. Брзина распростирања звучног таласа кроз гасове зависи од карактера промене која изазива звук. Ови поремећаји су узастопне компресије и експанзије са изентропским и изотермским карактером промене. За изентропску промену, логаритмовањем и диференцирањем карактеристичне једначине добија се брзина звука p = const. κ ln p κln = ln C dp = κ p 2 dp p c = = κ = κrt За изотермску промену, слично следи p = const. ln p ln = ln C 18

20 dp = p 2 dp p c = = = RT Брзина звука кроз: o ваздух на 15 C је 342 m/s o воду на 15 C је 1445 m/s o челик на 15 C је 4120 m/s o водену пару око 500 m/s. Вискозност Вискозност је природно својство флуида због којег се у додирној површини два флуидна слоја производи напон смицања (тангенцијални напон). Према Њутну напони смицања у додирним слојевима за једнолико раванско струјање једнаки су dv τ = η dy где су: - τ [Pa] - тангенцијални напон, - η [Pa s] - динамичка вискозност, - d v m s dy s - промена брзине v флуида у правцу нормалном на струјање (v=f(y)). dv Фундаментална законитост τ = η важи само за ламинарно кретање њутновских флуида код којих dy је тангенцијални напон сразмеран градијенту интензитета брзине. dv dy често се замењује следећим појмовима: брзина деформације, величина деформације, деформацијa, градијент брзине итд. Код нењутновских флуида зависност тангенцијалног напона и деформације дата је читавим низом релација, зависно од реолошког типа флуида, инструмента којим је одређивана зависност и нивоа познавања својства флуида. Динамичка вискозност (њутновских флуида) подељена са густином флуида назива се кинематска вискозност 2 η m ν =. s Експериментално се ова вискозност одређује вискозиметром.. Слика 7. Зависност динамичке вискозности течности и гасова од температуре У мирном флуиду тангенцијални напони се не примећују, те су сви флуиди у том стању невискозни. Носиоци вискозних својстава код течности су међумолекулске силе, а код гасова интензитет судара 19

21 међу молекулима; отуда вискозност течности опада, а гасова расте са порастом температуре (слика 7). На сликама 24, 25 и 26 приказане су вискозности важнијих флуида у зависности од температуре. Вискозност се изузетно исказује при кретању флуида, па пошто повезује спољашње утицаје, због којих се кретање остварује, са кинематским карактеристикама струјања, треба уочити неке законитости. Распоред тангенцијалног напона при ламинарном струјању флуида преко равне плоче сагласно Њутновој једначини дат је на слици 8. Слика 8. Распоред тангенцијалног напона при ламинарном струјању флуида преко равне плоче. Клизно лежиште са обртним вратилом чији је међупростор испуњен флуидом (уљем) има расподеле: брзине, угаоне брзине, обртног момента, тангенцијалног напона и предате снаге флуиду представљени су на слици 9. Слика 9. Расподеле: брзине, угаоне брзине, обртног момента, тангенцијалног напона и предате снаге флуиду у зазору клизног лежишта Обртни момент који се доводи на вратило преноси се кроз све слојеве флуида непромењен све до спољашњег цилиндра.елементарни отпорни момент услед обртања вискозног флуида изражава се као dm = r df df = τ da dv τ = η dy Молекули флуида нераскидиво су повезани чак и када су присутни изразито високи градијенти брзина (код класичног клизног лежаја радилице аутомобилског мотора и m/s/m. Могућност издржавања врло високих промена брзина при одржавању континума флуидног филма једно је од основних својстава уља за подмазивање (проучава се у оквиру трибологије). Вискозност или еластичност представља отпор према промени облика. У односу на ово својство постоји начелна разлика између чврстих, еластичних тела с једне стране и флуида с друге. Објасниће се преко смицања. На чврсто, еластично тело делује смичућа сила F (слика 10). Угао γ је мера за деформацију, а А је површина на коју делује сила F. При незнатним деформацијама делује Хуков закон, према коме је напон τ пропорционалан деформацији γ: 20

22 где је G модул смицања [ Pa ]. F G A = τ = γ Слика 10. Деформација еластичног чврстог тела при дејству смичуће силе Вискозност постоји само код флуида који струји. Најједноставнији случај је случај смичућег (пузајућег) или Куетовог струјања између две равне плоче (слика 11). Горња плоча креће се константном брзином U, док доња мирује. Ово струјање представља се просторним планом у (x,y)- равни и планом брзина у (u,y)-равни. Експеримент даје линеарну промену брзина: Слика 11. Расподела брзине код Куетовог струјања ( ) y ds t u = U U = h dt du U = dy h ( ) = γ ( ) = γ ( ) U = h γ ( t) ds t htgd t hd t Из дефиниције њутновског флуида следи: τ du U = η = dy η = h ηγ Код чврстих, еластичних тела, напон је пропорционалан деформацији F G A = τ = γ, а код њутновских флуида брзини деформације. du τ = η = ηγ dy () t () t У Табели 4. приказане су динамичке и кинематске вискозности ваздуха, воде и силиконског уља при стандардним условима. Из табеле се види да динамичка вискозност карактерише силу која се преноси због вискозности, док кинематска вискозност не даје ту информацију. Табела 5. Типичне бројне вредности вискозности при стандардним условима ( Pa, 288 K): флуид η 10 6 [Pa s] ν 10 6 [m 2 /s] Ваздух 18,2 15,11 Вода 1002,0 1,004 21

23 Силиконско уље (Bayer M100) ,0 135 Површински напон, капиларност и напон паре Површински напон Слободан ниво мирне течности не остаје хоризонталан на месту где се додирује са чврстим зидом. Деформисање површине настаје због површинског напона. Границе између две течности различитих густина које се не мешају су унутрашње граничне површи. Спољашња или слободна површина образује се на местима на којима се граниче течности и гас. Слика 12. Међумолекулске силе на површини и унутрашњости течности У унутрашњости течности честице се налазе у средини дејства међумолекуларних привлачних сила, одн. поље је сферно (слика 12). Резултантна сила на честице једнака је нули. На честице које се налазе непосредно на слободној површини не делују привлачне силе са стране гаса (занемарљиво мале у односу на течну страну), тако да на њих делује резултантна сила R усмерена ка унутрашњости течности. Дебљина овог слоја слободне површине је сравњива са подручјем деловања међумолекуларних сила (око 10 пречника молекула тј. око 10-9 m = 1 nm). Због деловања резултантне силе R, честице на површини врше притисак на честице у унутрашњости течности, због чега унутрашње честице теже да растежу слободну површину и због чега честице на слободној површини поседују већу енергију од честица у унутрашњости. Свака слободна површина садржи додатну енергију. Због ове допунске енергије природа је омогућила да се са минимумом честица гради слободна површина. Тако је настала минимална слободна површина. Течност у стању равнотеже има минималну потенцијалну енергију. Због тога свако течно тело на које дејствују спољашње силе мора имати такав облик при коме ће површина његовог омотача бити најмања. Односно, за нестишљиву течност, услов стационарне равнотеже је минимални количник површине омотача и одговарајуће запремине. Тај услов задовољавају тела сферног облика. Површински напон γ једнак је сили по јединици ободне дужине која слободну површину држи у равнотежи. Зависи од оба медијума који се граниче на слободној површини. Површински напон опада са порастом температуре, јер, као и код вискозности, пораст температуре слаби међумолекулске силе. нападна сила F на ободу N γ = дужина обода l m Табела 5. Вредности површинског напона γ при сусрету различитих медијума медијуми на 20 С γ 10 2 (N/m) вода/ваздух 7,1 уље/ваздух 2,5-3 жива/ваздух 46 22

24 Карактеристични примери криве слободне површине приказани су на слици 13: течна капљица течни мехур гасни мехур Слика 13. Примери карактеристичне слободне површине У сва три случаја површински напон настоји да сабије капљицу, односно мехуре, при чему долази до повећања притиска у унутрашњости. Ако се занемари тежина, успоставља се равнотежа између резултантних сила притиска и силе површинског напона. При одређивању равнотеже силе притиска и силе површинског напона за сферну течну капљицу (слика 14) резултантна сила површинског напона, ако се капљица пресече по екватору износи Слика 14. Разматрање равнотеже сферне капљице (p u =p 2 ; p a =p 1 ) F 0 = 2 π rγ, резултанта сила притиска је F = pπ r = p p r D ( ) π, ( ) и из њихове равнотеже следи За мехур, бројилац се множи са 2, јер он има две слободне површине. 2γ p= p2 p1 =. ( ) r У капљици, односно гасном мехуру, могу да настану знатни натпритисци у зависности од њиховог радијуса. На пример у капљици магле, полупречника r=1 µm, влада 2 27,110 p = = 1, 42 bar У механици флуида површински напон игра значајну улогу при: формирању мехурова у течностима, распрскавању течног млаза (спреј) и одређивању облика маса флуида у одсуству гравитацијске силе. Облик површине течности, која је у контакту са чврстим телом или другим флуидом, најчешће 23

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

ФИЗИКА Веза протока и брзине струјања. Проток запремински, масени,... јединица: кубни метар у секунди

ФИЗИКА Веза протока и брзине струјања. Проток запремински, масени,... јединица: кубни метар у секунди ФИЗИКА 2011. Понедељак, 14. новембар 2011. године Статика флуида Густина и притисак флуида Промена притиска са дубином флуида Паскалов принцип Калибрација, апсолутни притисак и мерење притиска Архимедов

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела Густина : V Специфична запремина : V s Q g Специфична тежина : σ V V V g Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

Стања материје. Чврсто Течно Гас Плазма

Стања материје. Чврсто Течно Гас Плазма Флуиди 1 Стања материје Чврсто Течно Гас Плазма 2 Чврсто тело Има дефинисану запремину Има дефинисан облик Молекули се налазе на специфичним локацијама интерагују електричним силама Вибрирају око положаја

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. = 0.2 dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год.

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год. КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН 7. год. Тест има задатака. Време за рад је 8 минута. Задаци са редним бројем -6 вреде по поена задаци 7- вреде по 5 поена задаци 5- вреде

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4)

3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4) 3.1 3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4) 3.1 Основни појмови o испаравању 3.2 Кружење воде у природи У атмосфери водена пара затвара један круг који је познат под именом кружење воде или

Διαβάστε περισσότερα

Еластичне и пластичне деформације рекристализација

Еластичне и пластичне деформације рекристализација Машински материјали Предавање број 4 Понашање метала при деловању спољних силаеластична деформација, пластична деформација, рекристализација, обрада деформисањем у хладном и топлом стању. Својства метала

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

Смер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ

Смер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ Испит из предмета Електротехника са електроником 1. Шест тачкастих наелектрисања Q 1, Q, Q, Q, Q 5 и Q налазе се у теменима правилног шестоугла, као на слици. Познато је: Q1 = Q = Q = Q = Q5 = Q ; Q 1,

Διαβάστε περισσότερα

У к у п н о :

У к у п н о : ГОДИШЊИ (ГЛОБАЛНИ) ПЛАН РАДА НАСТАВНИКА Наставни предмет: ФИЗИКА Разред: Осми Ред.број Н А С Т А В Н А Т Е М А / О Б Л А С Т Број часова по теми Број часова за остале обраду типове часова 1. ЕЛЕКТРИЧНО

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

1. Функција интензитета отказа и век трајања система f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани

Διαβάστε περισσότερα

СКРИПТА ЗА ПРВИ КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОПШТЕГ КУРСА ФИЗИЧКЕ ХЕМИЈЕ I

СКРИПТА ЗА ПРВИ КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОПШТЕГ КУРСА ФИЗИЧКЕ ХЕМИЈЕ I СКРИПТА ЗА ПРВИ КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОПШТЕГ КУРСА ФИЗИЧКЕ ХЕМИЈЕ I 9/ . ГУСТИНА ТЕЧНОСТИ Апсолутна густина ( ρ ) је маса јединице запремине на одређеној 4 температури и притску (јединица у СИ систему за апсолутну

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

3.5. МЕРЕЊЕ СИЛЕ ДИНАМОМЕТРОМ

3.5. МЕРЕЊЕ СИЛЕ ДИНАМОМЕТРОМ 3.5. МЕРЕЊЕ СИЛЕ ДИНАМОМЕТРОМ Подсетимо се. Шта је сила еластичности? У ком смеру она делује? Од свих еластичних тела која смо до сада помињали, за нас је посебно интересантна опруга. Постоје разне опруге,

Διαβάστε περισσότερα

Eлектричне силе и електрична поља

Eлектричне силе и електрична поља Eлектричне силе и електрична поља 1 Особине наелектрисања Постоје две врсте наелектрисања Позитивна и негативна Наелектрисања супротног знака се привлаче, а различитог знака се одбијају Основни носиоц

Διαβάστε περισσότερα

ХИДРАУЛИЧКЕ И ПНЕУМАТСКЕ КОМПОНЕНТЕ

ХИДРАУЛИЧКЕ И ПНЕУМАТСКЕ КОМПОНЕНТЕ ХИДРАУЛИЧКЕ И ПНЕУМАТСКЕ КОМПОНЕНТЕ У следећим задацима заокружите број испред траженог одговора. Разводници су компоненте хидрауличког система које:. дозвољавају слободно протицање радног флуида у једном

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

и атмосферски притисак

и атмосферски притисак II РАЗРЕД 5. ДРЖАВНО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ Друштво Физичара Србије Министарство просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије ЗАДАЦИ бозонска категорија БЕОГРАД 3-4.04.03.. Машина за испуцавање

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ У БЕОГРАДУ КАТЕДРА ЗА ЕЛЕКТРОНИКУ АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ВЕЖБА БРОЈ 2 ПОЈАЧАВАЧ СНАГЕ У КЛАСИ Б 1. 2. ИМЕ И ПРЕЗИМЕ БР. ИНДЕКСА ГРУПА ОЦЕНА ДАТУМ ВРЕМЕ ДЕЖУРНИ

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 1 МОНОФАЗНИ ФАЗНИ РЕГУЛАТОР СА ОТПОРНИМ И ОТПОРНО-ИНДУКТИВНИМ ОПТЕРЕЋЕЊЕМ

Διαβάστε περισσότερα

ВИЗУAЛИЗАЦИЈА СТРУЈАЊА ОКО МОДЕЛА КЛАСИЧНОГ ОСНОСИМЕТРИЧНОГ ПРОЈЕКТИЛА

ВИЗУAЛИЗАЦИЈА СТРУЈАЊА ОКО МОДЕЛА КЛАСИЧНОГ ОСНОСИМЕТРИЧНОГ ПРОЈЕКТИЛА ВИЗУAЛИЗАЦИЈА СТРУЈАЊА ОКО МОДЕЛА КЛАСИЧНОГ ОСНОСИМЕТРИЧНОГ ПРОЈЕКТИЛА Дамир Јерковић, Војна академија, Београд Славица Ристић, Институт Гоша, Београд Душан Регодић, Универзитет Сингидунум, Београд Марија

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

СКРИПТА ЗА ТРЕЋИ КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОПШТЕГ КУРСА ФИЗИЧКЕ ХЕМИЈЕ II ПОЈАВЕ НА ГРАНИЦИ ФАЗА, КОЛОИДИ И МАКРОМОЛЕКУЛИ

СКРИПТА ЗА ТРЕЋИ КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОПШТЕГ КУРСА ФИЗИЧКЕ ХЕМИЈЕ II ПОЈАВЕ НА ГРАНИЦИ ФАЗА, КОЛОИДИ И МАКРОМОЛЕКУЛИ СКРИПТА ЗА ТРЕЋИ КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОПШТЕГ КУРСА ФИЗИЧКЕ ХЕМИЈЕ II ПОЈАВЕ НА ГРАНИЦИ ФАЗА, КОЛОИДИ И МАКРОМОЛЕКУЛИ 008/009 Програм III колоквијума Површински напон и површинска енергија. Угао додира *. Кохезиони

Διαβάστε περισσότερα

МЕХАНИКА ФЛУИДА Б - проблеми и задаци из прве области

МЕХАНИКА ФЛУИДА Б - проблеми и задаци из прве области Машински факултет Београд Катедра за механику флуида МЕХАНИКА ФЛУИДА Б - проблеми и задаци из прве области. Наjдубља тачка у океанима jе 0m, измерена у Мариjанскоj бразди у близини острва Гвам у Тихом

Διαβάστε περισσότερα

брзина којом наелектрисања пролазе кроз попречни пресек проводника

брзина којом наелектрисања пролазе кроз попречни пресек проводника Струја 1 Електрична струја Кад год се наелектрисања крећу, јавља се електрична струја Струја је брзина којом наелектрисања пролазе кроз попречни пресек проводника ΔQ I Δtt Јединица за струју у SI систему

Διαβάστε περισσότερα

Са неким, до сада неуведеним појмовима из теоријских основа турбомашина, упознаћемо се кроз израду следећих задатака.

Са неким, до сада неуведеним појмовима из теоријских основа турбомашина, упознаћемо се кроз израду следећих задатака. Основе механике флуида и струјне машине 1/11 Са неким, до сада неуведеним појмовима из теоријских основа турбомашина, упознаћемо се кроз израду следећих задатака 1задатак Познате су следеће величине једнe

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

3.5. Пливање и тоњење тела

3.5. Пливање и тоњење тела Физика 7. разред 3.5. Пливање и тоњење тела Из искуства знамо да нека тела, кад их потопимо у воду и пустимо - потону ( камен, ексер, кликер,новчић... ), док друга испливају ( оловка, лопта, запушач од

Διαβάστε περισσότερα

КРИТИЧНИ НАПОНИ И СТЕПЕН СИГУРНОСТИ

КРИТИЧНИ НАПОНИ И СТЕПЕН СИГУРНОСТИ Машински факултет Универзитета у Београду/ Машински елементи / Предавање 3 КРИТИЧНИ НАПОНИ И СТЕПЕН СИГУРНОСТИ Критична стања машинских делова У критичном стањеу машински делови не могу да извршавају своју

Διαβάστε περισσότερα

Сунчев систем. Кеплерови закони

Сунчев систем. Кеплерови закони Сунчев систем Кеплерови закони На слици је приказан хипотетички сунчев систем. Садржи једну планету (Земљу нпр.) која се креће око Сунца и једина сила која се ту појављује је гравитационо привлачење. Узимајући

Διαβάστε περισσότερα

МИЋО М. МИТРОВИЋ Практикум ФИЗИКА 7 збирка задатака и експерименталних вежби из физике за седми разред основне школе САЗНАЊЕ Београд, 2013.

МИЋО М. МИТРОВИЋ Практикум ФИЗИКА 7 збирка задатака и експерименталних вежби из физике за седми разред основне школе САЗНАЊЕ Београд, 2013. МИЋО М МИТРОВИЋ Практикум ФИЗИКА 7 збирка задатака и експерименталних вежби из физике за седми разред основне школе САЗНАЊЕ Београд, 1 ПРАКТИКУМ ФИЗИКА 7 Збирка задатака и експерименталних вежби из физике

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април Суботица, СРБИЈА

4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април Суботица, СРБИЈА 4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април 2016. Суботица, СРБИЈА УПОРЕДНА АНАЛИЗА ЕЛАСТИЧНЕ И ЕЛАСТО- ПЛАСТИЧНЕ НОСИВОСТИ ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА Аљоша Филиповић 1 Љубо Дивац

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ ИЗ ФИЗИКЕ (3 сата)

ТЕСТ ИЗ ФИЗИКЕ (3 сата) Електријада 003 Будва ТЕСТ ИЗ ФИЗИКЕ (3 сата) Заокружује се само један од понуђених одговора. Сваки тачан и адекватно образложен одговор бодује се са по 5 поена. ЗАДАЦИ. Положај материјалне тачке (МТ),

Διαβάστε περισσότερα

Структура атмосфере. Атмосфера. Звездана атмосфера

Структура атмосфере. Атмосфера. Звездана атмосфера Структура атмосфере Атмосфера реч атмосфера? ατµοσ(=пара)+ σφαιρα(=лопта) гасовити омотач око небеских тела (и Земље) атмосфера планете атмосфера звезде Танки омотач ваздуха око (наше) планете који гравитација

Διαβάστε περισσότερα

МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6. уџбеник за шести разред основне школе

МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6. уџбеник за шести разред основне школе МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6 уџбеник за шести разред основне школе САЗНАЊЕ БЕОГРАД, 01 ФИЗИКА 6 уџбеник за шести разред основне школе Аутор Проф. др Мићо Митровић Редовни професор Физичког факултета Универзитета

Διαβάστε περισσότερα

Основе теорије вероватноће

Основе теорије вероватноће . Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

Тест за 7. разред. Шифра ученика

Тест за 7. разред. Шифра ученика Министарство просвете Републике Србије Српско хемијско друштво Окружно/градско/међуокружно такмичење из хемије 28. март 2009. године Тест за 7. разред Шифра ученика Пажљиво прочитај текстове задатака.

Διαβάστε περισσότερα

ТАЛАСИ У МАГНЕТОСФЕРАМА ПУЛСАРА

ТАЛАСИ У МАГНЕТОСФЕРАМА ПУЛСАРА ТАЛАСИ У МАГНЕТОСФЕРАМА ПУЛСАРА ПУЛСАРИ Настанак, структура и својства МАГНЕТОСФЕРА ПУЛСАРА Структура електромагнетног поља МАГНЕТОСТАТИЧКО ПОЉЕ ~ ~ МАГНЕТОСФЕРА ПУЛСАРА Структура електромагнетног поља

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 2 ТРОФАЗНИ ПУНОУПРАВЉИВИ МОСТНИ ИСПРАВЉАЧ СА ТИРИСТОРИМА 1. ТЕОРИЈСКИ УВОД

Διαβάστε περισσότερα

Бернулијева једначина

Бернулијева једначина Бернулијева једначина За инжењерску анализу струјних проблема најважнија је Бернулијева једначина. Скоро сви практични задаци решавају се директно - применом Бернулијеве једначине (Б.ј.) са њеним пратећим

Διαβάστε περισσότερα

Топлотна проводљивост

Топлотна проводљивост УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Топлотна проводљивост СЕМИНАРСКИ РАД Ментор: Студент: Ђорђе Вучковић др Светлана Лукић Број индекса : 6/06 Нови

Διαβάστε περισσότερα

4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април Суботица, СРБИЈА

4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април Суботица, СРБИЈА 4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април 2016. Суботица, СРБИЈА ПРИКАЗ МЕТОДА ЗА ПРОРАЧУН ПЛОЧА ДИРЕКТНО ОСЛОЊЕНИХ НА СТУБОВЕ Никола Мирковић 1 Иван Милићевић 2 Драгослав

Διαβάστε περισσότερα

Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група

Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 0/0. ГОДИНЕ I РАЗРЕД Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група СЕНТА.0.0.. Играчи билијара су познати по извођењу специфичних удараца

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ПЕТНАЕСТО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ПИТАЊА И ЗАДАЦИ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ДРУГОГ РАЗРЕДА број задатка 3

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

ЦЕНТАР ЗА ТЕХНИЧКА ИСПИТИВАЊА. Листа мерне опреме. Мерење нивоа буке, терцна и октавна анализа буке, статистичка анализа буке, профил буке.

ЦЕНТАР ЗА ТЕХНИЧКА ИСПИТИВАЊА. Листа мерне опреме. Мерење нивоа буке, терцна и октавна анализа буке, статистичка анализа буке, профил буке. Bruel&Kjaer Данска 2010 2731656 2010 2747765 Листа мерне Страна: 1/12 (инв. број-ознака лабораторијапросторија) 1/001 Преносни анализатор са мерачем нивоа звука, фреквенцијском анализом и софтвером за

Διαβάστε περισσότερα

УВОД У ЕКСПЕРИМЕНТ И ЛАБОРАТОРИЈУ Банка питања

УВОД У ЕКСПЕРИМЕНТ И ЛАБОРАТОРИЈУ Банка питања УВОД У ЕКСПЕРИМЕНТ И ЛАБОРАТОРИЈУ Банка питања ЈЕДИНИЦЕ: А) Изразите следеће изведене јединице преко основних јединица SI система, при чему ћете користити релације које су наведене:. њутн F N F a. паскал

Διαβάστε περισσότερα

Демонстрациони огледи у обради теме Њутнови закони - дипломски рад -

Демонстрациони огледи у обради теме Њутнови закони - дипломски рад - УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА ФИЗИКУ Демонстрациони огледи у обради теме Њутнови закони - дипломски рад - Ментор: Др Душанка Обадовић, ред.проф. Кандидат: Ђорђе Ћипаризовић

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

Проф. д-р Ѓорѓи Тромбев ГРАДЕЖНА ФИЗИКА. Влажен воздух 3/22/2014

Проф. д-р Ѓорѓи Тромбев ГРАДЕЖНА ФИЗИКА. Влажен воздух 3/22/2014 Проф. д-р Ѓорѓи Тромбев ГРАДЕЖНА ФИЗИКА Влажен воздух 1 1 Влажен воздух Влажен воздух смеша од сув воздух и водена пареа Водената пареа во влажниот воздух е претежно во прегреана состојба идеален гас.

Διαβάστε περισσότερα

3. 5. ИЗРАЧУНАВАЊЕ РЕАКТАНСИ РАСИПАЊА

3. 5. ИЗРАЧУНАВАЊЕ РЕАКТАНСИ РАСИПАЊА Школска година 2014 / 2015 Припремио: Проф. Зоран Радаковић октобар 2014., материјал за део градива из поглавља 3. и 4. из књиге Ђ. Калић, Р. Радосављевић: Трансформатори, Завод за уџбенике и наставна

Διαβάστε περισσότερα