& 2. Брзина. (слика 3). Током кратког временског интервала Δt тачка пређе пут Δs и изврши елементарни (бесконачно мали) померај Δ r

Transcript

1 &. Брзина Да би се окарактерисало кретање материјалне тачке уводи се векторска величина брзина, коју одређује како интензитет кретања тако и његов правац и смер у датом моменту времена. Претпоставимо да се материјална тачка креће по некој криволинијској трајекторији тако да у моменту времена њој одговара вектор положаја r 0 (слика 3). Током кратког временског интервала Δ тачка пређе пут Δs и изврши елементарни (бесконачно мали) померај Δ r. Слика 3. Елементарни померај материјалне тачке по криволинијској трајекторијуи. Вектор средње брзине је количник вектора померања Δ r материјалне тачке и временског интервала Δ. Δr = Δ (.1) Вектор средње брзине карактерише средњу промену вектора положаја у датом интервалу времена. Смер вектора средње брзине поклапа се са смером вектора положаја Δ r, док му је интензитет различит од интензитета тог вектора. При неограниченом смањивању временског интервала (Δ 0) средња брзина тежи ка граничној вредности која се назива тренутна брзина само брзином): Δr. Δ (која се често се назива Тренутна брзина је векторска величина једнака првом изводу вектора положаја материјалне тачке која се креће, по времену. Обзиром да се поклапа са тангентом, Вектор брзине има правац тангенте а усмерен је у страну кретања (такође слика 3). Смањивањем временског интервала Δ пређени пут материјалне тачке Δs се све више приближава померају Δr (праволинијско кретање), па је интензитет тренутне брзине: 1

2 Δr Δr Δs = = Δ Δ Δ ds d (.) Значи да је интензитет тренутне брзине материалне тачке у датом тренутку једнак првом изводу пређеног пута по времену. Дужина пута коју је прешла тачка за временски интервал од 1 до описује се интегралом: s = () d. (.3) 1 При неравномерном кретању ( cons) интензитет тренутне брзине се током времена мења. У датом случају користи се скаларна величина - средња брзина неравномерног кретања Δs =.. Δ Може да се примети (слика 3.) да је > јер је Δr <Δs. Само у случају праволинијског кретања Δ r =Δs. У случају равномерног кретања бројна вредност тренутне брзине је константна (=cons) и тада једначина (.3) узима облик: s= d. Ако горњу једначину интегралимо по времену у границам од до +Δ, наћићемо дужину пута s коју је прешла материјална тачка за време Δ. 1 +Δ +Δ ( ) Δ. s = d = = +Δ = У међународном систему (SI) jединица за брзину је [m/s]. & 3. Убр3ање и његове компоненте У случају неравномерног кретања важно је знати колико брзо се мења брзина током времена. Физичка величина која карактерише брзину промене брзине по интензитету и смеру је убрзање.

3 Проучимо кретање у равни. Предпоставимо да вектор одређује брзину материјалне тачке у моменту времена. За времнски интервал Δ тачка која се креће прешла је у положај неки други положај и у том положају и има брзину 1 која се од брзине разликује како по интензитету тако и по правцу тј. једнака је 1 = +Δ. Средње убрзање при неравномерном кретању у временском интервалу Δ је векторска величина једнака количнику промене брзине Δ = Δ Δ и Δ: Тренутно убрзање (које се често назива само убрзањем) материјалне тачке у тренутку је гранична вредност средњег убрзања: Што значи да је убрзање времену. Δ d =. Δ d векторска величина једнака првом изводу брзине по Вектор Δ ( Δ = 1 ) разлажемо на две компоненте: прву вектор, Δ који карактерише промену брзине у временском интервалу Δ по интензитету; другу, нормалну компоненту Δ n вектора Δ која карактерише промену брзине у временском интервалу Δ по правцу. На тај начин можемо одредити: Тангенцијалну компоненту убрзања Δ Δ d =, Δ Δ d Која је једнака је првом изводу од интензитета брзине по времену, па самим тим одређује брзину промене брзине по интензитету. Нађимо и другу (нормалну) компоненту убрзања. Вектор Δ n перпендикуларан је на вектор брзине и нормалан на трајекторију. Друга компонента брзине једнака је n Δn = Δ r n je нормална компонента убрзања и усмерена је нормално на трајекторију (често се назива и центрипетално убрзање). 3

4 Укупно убрзање тела је геометријска сума тангенцијалне и нормалне компоненте (слика 5): Слика 5. d = = +n d И тако, тангенцијална компонента убрзања карактерише брзину промене брзине по интензитету (правац јој се поклапа са правцем тангенте на траекторију) а нормална компонента убрзања- брзину промене брзине по правцу (усмерена је ка центру кружне трајекторије). У зависности од тангенцијалне и нормалне компоненте убрзања, кретање се може квалификовати на следећи начин: 1) = 0, n = 0 равномерно праволинијско кретање ( = cons, = s/ ); ) = а = cons, n = 0 равномернопроменљиво праволинијско кретање. При овом кретању: Δ = = = Δ 1 1 Ако у је тренутку 1 = 0 почетна брзина 1 = 0, означивши = и =, следи да је = 0, одакле је = 0 +. Интеграљењем једначине.3 (уз коришћење последње једначине) у границама од нула ( 1 =0) до произвољног момента времена ( =), налазимо да је дужина пута коју је тачка прешла у случају равномернопроменљивог праволинијског кретања 4

5 ( ) s = () d = + d = + = +. Треба обратити пажњу да убрзање а може да има како позитиван тако и негативан знак (негативан знак убрзања указује на то да тело успорава) па сходно томе више навдене формуле имају облик: = 0 ± ; s = ± 0. Пример 1. Слободно падање тела је пример равномернопроменљивог праволинијског кретања без почетне брзине ( 0 = 0 ) са константним убрзањем силе Земљине теже g које за Београд износи 9,806 m/s а са географском ширином се мења обрнуто пропшорционално полупречнику Земље R. = 0 + g 0 = 0 = g Пример. g h= s = o+ ( kko je 0 = 0) h = g = gh. g g h = = h g Тело је бачено са неке висине вертикално наниже почетном брзином 0. Његова брзина се мења по закону = 0 + g. = 0. Са друге стране путкоји тело прелази g g док пада мења се по закону h = 0+ 0 g g h = + = + = g g g g g 0 = gh = 0 g g 0 = + gh 3) = f(), n = 0 праволинијско кретање са променљивим убрзањем; 4) = 0 а а n = cons. При = 0 брзина се по модулу не мења, али се мења по правцу. Из једначине n = / r следи да радијус траекторије мора да буде константан, па следи да је кретање по кругу равномерно равномерно кружно кретање; 5

6 5) = 0 а а n 0 равномерно криволинијско кретање; 6) = cons а а n 0 равномерно променљиво криволинијско кретање; 7) = f(), а а n 0 криволинијско кретање са променљивим убрзањем. & 4. Угаоно убрзање и угаона брзина Проучимо кретање чврстог тела, које ротира око непокретне осе. Појединачне тачке тог тела описују кружнице различитих радијуса, центри којих леже на оси ротације. Претпоставимо да тело ротира у правцу супротном од кретања казаљке на сату, што значи да се нека од тачка креће по кругу радијуса R (слика 6). Његов положај после временског интервала Δ одређује се углом Δϕ. Елементарни (бесконачно мали) обрт при ротацији можемо разматрати као вектор елементарног угла (он се обележава клао Δ ϕ или dϕ ). Интензитет вектора dϕ једанак је описаном углу при ротацији dϕ, а његов смер се поклапа са смером транслаторног кретања завртња, чија игла ротира у смеру кретања тачке по кругу, тј. важи правило десног завртња (слика 6). Слика 6. Угаона брзина је векторска величина једнака првом изводу обртног угла по времену Δϕ dϕ ω =. Δ d Слика 7. 6

7 Вектор ω је усмерен дуж ос е ротације а смер му се по правилу десног завртња поклапа са смером вектора d ϕ (слика 7). Јединица за угаону брзину у SI је [ rd/s]. Линијска брзина тачке (слика 7) Δs RΔϕ Δϕ = Rlim Rω Δ Δ Δ = тј. = ωr. У векторском облику једначин а за линијску брзину записује се као векторски производ вектора ω и вектора R = ω R. Алгебарска вредност векторског производа (интензитет вектора ) једнак ωr sin ( ω R), а смер вектора поклапа се са смером транслаторног кретања десног завртња при његовом окретања од ω ка R. Ако је ω = cons, ротација је равномерна и може да се дефинише периодом ротације Т тј. временом за које тачка изврши један пун обрт (опише један круг π rd]). Како временском интервалу Δ = T одговара Δϕ=π, онда је π π ω = T =. T ω Број пуних обрта које изврши тело при равномерном кретању по кругу у јединици времена је фреквенција ротације 1 ω ν = = одакле је ω = πν. T π Угаонио убрзање је векторска величина једнака првом изводу угаоне брзине по времену dω rd α = [ ]. d s При ротацији тела око непокретне осе вектор угаоног убрзања има правац осе ротације. При убрзаном кретању вектор α има смер вектора ω (слика 8), а при успореном смер супротан смеру вектора ω (слика 9). 7

8 Слика 8. Слика 9. Тангенцијална компонента убрзања d =, = ωr па је d ( ) d ωr dω = = R = Rα. d d Нормална компонента убрзања n ( ωr) ω R = = = = ω R. R R R Значи да је веза између линеарниx (дужина пута s који прође таччка по кругу радијуса R, линијске брзине, тангенцијалног убрзања, нормалног убрзања n ) и угаоних величина (обрта угао ϕ, угаона брзина ω, угаоно убрзање α) изражена следећимједначинама: s= Rϕ, = Rω, = Rα, n = ω R. У случају равномерно променљивог кружног кретања (α = cons) ω = ω0 ± α, 8

9 где je ω 0 - почетна брзина. α ϕ = ω0 ±, ПИТАЊА: 1. Које кретање називамо транслаторно а које ротационо?. Дефиниши вектор средње брзине и средњег убрзања као и вектор тренутне брзине и тренутног убрзања? 3. Шта каракрактерише тангенцијална компонента убрзања? Шта каракрактерише нормална компонента убрзања? Какви су им модули (интензитети)? 4. Да ли је могуће кретање при коме одсуствује нормална компонента убрзања? Да ли је могуће кретање при коме одсуствује тангенциална компонента убрзања? Наведи примере. 5. Шта је угаона брзина? Шта је угаоно убрзиње? Каско се одређује њихов правац? 6. Каква је веза између линеарних и угаоних величина у кинематици? 9