Осцилације система са једним степеном слободе кретања

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Осцилације система са једним степеном слободе кретања"

Δωρίς Δεσποτόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 03-ec-18 Осцилације система са једним степеном слободе кретања Опруга Принудна сила F(t) Вискозни пригушивач ( дампер ) 1 Принудна (пертурбациона) сила опруга Реституциона сила (сила еластичног отпора) Вискозни пригушивач ( damper ) Сила пригушења (сила вискозног отпора) 1

2 03-ec-18 Осцилаторно кретање = кретање при коме положаји варирају око неког референтног полoжаја 3 Примери осцилатора са n=1 Математичко клатно физичко клатно 4

3 03-ec-18 Осцилације (вибрације) у грађевинарству Утицај рада машина Земљотрес кретање подлоге Модел са n=1 Kobe, Japan 1995 time [s] Инерцијална (сеизмичка) сила 6 3

4 03-ec-18 Модел зграде са n=1 Равански и просторни модел зграде n>

5 03-ec-18 9 Вибрације моста услед кретања возила 10 5

6 03-ec-18 Вибрације од удара ветра 11 Вибрације услед кретања људи 1 6

7 03-ec-18 Вибрације околних објеката услед кретања возила 13 Осцилаторно кретање Осцилаторно кретање = кретање при коме положаји тачака варирају око референтног полoжаја Осцилације: 1) периодичне ) непериодичне 14 7

8 03-ec-18 Периодичне осцилације x(t)=x(t+t) Т Т. Просто периодично (хармонијско) кретање Т Т 15 Непериодичне (апериодичне) осцилације 16 8

9 03-ec-18 Диференцијална једначина кретања F( t) принудна сила F ( t) = kx сила у опрузи ( реституциона сила) op F ( t) cx сила вискозног отпора c =ɺ k = кoефицијент крутости опруге ( Nm c = коефицијент вискозности пригушивача 1 1 дампера ( Nm s = kgs ) 1 ) 17 ma = F mx ɺɺ = F cxɺ kx 0 = N mg m ɺɺ+ x cxɺ + kx = F 18 9

10 03-ec Слободне непригушене осцилације mɺ ɺx + kx = 0. Слободне пригушене осцилације mɺɺ x + cxɺ + kx = 0 3. Принудне непригушене осцилације m ɺɺ+ x kx = F 4. Принудне пригушене осцилације m ɺɺ+ x cxɺ + kx = F Слободне непригушене осцилације mx ɺɺ+ kx = 0 x k x m ɺɺ+ = 0 ɺɺ+ x w x = 0 w = k m Почетни услови x(0)=x 0 и v(0)=v

11 03-ec-18 Решење се тражи у облику: ɺɺ+ x w x = 0 w = x = Ce rt rt r Ce rt + w Ce = 0 k m Карактеристична једначина и корени: w 1, Решење диференцијалне једначине: r + = 0 r = ± iw i = 1 Односно: i w t * x = C e + C e iwt gde su: C = CR + ici * C = C ic x = C coswt + C sinwt C = C C = C 1 1 R R I I 1 x(0) = x v(0) = x(0) = v 0 0 v0 C1 = x0 C = w Решење диф. једначине, тј. коначна једначина кретања v0 x = x0 coswt + sinwt w Уводи се смена cos v sin v = e = e = 0 + e arctan v w w = wx0 x A A A x x = Acose coswt + Asine sinwt ɺ 11

12 03-ec-18 x = Acose coswt + Asinesinwt x = Acos( wt e) v0 v0 0 e arctan w wx0 A = x + = 3 x = Acos( wt e) p `T = w 1 f = Т период осциловања фреквенција k w = кружна фреквенција m A = амплитуда осциловања e = фазни угао 4 1

13 03-ec-18 x 0 > 0 v 0 =0 x 0 =0 v 0 > 0 5 Математичко клатно Диференцијална једначина кретања mlj mg sinj 0 ɺɺ+ = а lj N =ɺ ат =ɺɺ lj Рестистуциона сила Мале осцилације j 1 sinj j cosj 1 g ɺɺ+ j j = 0 l кружна фрквенција период осциловања g l w = T = p l g 6 13

14 03-ec-18. Слободне пригушене осцилације ɺɺ ɺ mx + cx + kx = 0 c k x + x + x = m m ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ 0 x + zwx + w x = 0 z = c wm = релативно пригушење w= k m 7 ɺɺ ɺ x + zwx + w x = 0 Решење се тражи у облику: x = Ce Карактеристична једначина и њени корени: r rt + zwr + w = 0 r 1, = zw ± w z

15 03-ec-18 a) Велико пригушење z > 1 ( c> wm) r = zw ± l l = w z 1, 1 zwt lt lt 1 x = e ( H e + H e ) zwt x = e ( G coshl t + G sinh l t) 1 G = x G = 1 0 v + zwx 0 0 w z 1 9 б) Критично пригушење z = 1 ( c = wm) r 1, = w x = ( C + t C ) e wt 1 x = [ x (1 + wt ) + v t] e wt

16 03-ec-18 Утицај почетне брзине 31 в) Мало пригушење z < 1 ( c< c = wm) kr r1, = zw ± iw w = w 1 z i = 1 Решење диференцијалне једначине zwt iw t * iw t x = e ( e + e ) Односно zwt x = e ( cosw t + sin w t)

17 03-ec-18 zwt x = e ( cosw t + sin w t) 1 Коначна једначина кретања zwt v0 zwx0 [ 0 cosw + sin w ] w x = e x t + t.написана на други начин zwt x = A e cos( w t e ) tane v0 + x0zw = x w 0 A v0 + x0zw = x0 + w 33 x(t) e w arctg v 0 x 0 A e zw t t A e zw t T T T p p = = w w 1 z 34 17

18 03-ec-18 p p z << 1 w = w 1 z w T = w w x = ± А 1 z e А e zwt ext zwt 35 Овакво кретање је осцилаторно кретање са експоненцијално опадајућом амплитудом. У питању су амортизоване осцилације Кретање није периодично Међутим,нуле функције и амплитуде осциловања се јављају периодично са периодом T p p = = w w 1 z 36 18

19 03-ec-18 A e zw t ω d = ω 1 ζ T d π = ω d Ae ζωt Ae ζωt A d e ζωt T T e w 37 Утицај пригушења A e zw t ζ=0,05 ζ=0,

20 03-ec-18 Утицај пригушења Кружна фреквенција w = w 1 z w < w Период осциловања p p T = = T > Т w w 1 z 39 У инжињерским проблемима најчешће је задовољен услов ζ<<1 Утицај пригушења може да се занемари на период осциловања (и фреквенцију) p p w = w 1 z w T = w w Утицај пригушења је значајан на величину амплитуде и не може да се занемари x ext А e zw t 40 0

21 03-ec-18 Логаритамски декремент логаритам односа две суседне амплитуде истог знака xi e d = ln = ln = ln = x e i+ 1 d = pz z << 1 pz zwt zwt e zw( t + T ) 1 z x(t) x i x i+1 zwt x = A e cos( w t e ) 41 1

Σχετικά έγγραφα

МЕХАНИЧКЕ ОСЦИЛАЦИЈЕ. Осиловање

МЕХАНИЧКЕ ОСЦИЛАЦИЈЕ. Осиловање МЕХАНИЧКЕ ОСЦИЛАЦИЈЕ Понедељак, 29. децембар, 2010 Хуков закон Период и фреквенција осциловања Просто хармонијско кретање Просто клатно Енергија простог хармонијског осцилатора Веза са униформним кретањем