Примена првог извода функције

Transcript

1 Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први извод је једнак 0 за х=7 и у тој тачки долази до промене знака првог извода са на +, тј. функција P(x) прво опада па расте. Дакле, за х=7 функција P(x) има минимум. Даље се лако види да је и у=7, тј. да су у питању квадрати са страницама истих дужина.. Од свих правоугаоника који су уписани у кружницу полупречника r одреди онај који има максималну површину. Ре: P(x, y) = x y и x + y = r Oд функције са две променљиве P(x, y) елиминацијом једне променљиве, преко датог услова, добијамо функцију једне променљиве P(x) = 4x r x P (x) = 4 r x r x Водећи рачуна о природи проблема и о томе да се посматрана тачка налази у првом квадранту, добијамо x = y = r. Дакле, од свих правоугаоника уписаних у дату кружницу максималну површину има квадрат. 3. Од свих правоугаоника који су уписани у кружницу полупречника r одреди онај који има максималан обим. Ре: квадрат странице r 4. Једнакокраки троугао има основицу b и висину h. Одреди димензије уписаног правоугаоника који има највећу површину. Ре: димензије уписаног правоугаоника су b и h

2 5. Желимо да направимо базен запремине 3m 3 који је свуда исте дубине и чије дно је облика квадрата, а да при томе потрошимо најмање материјала за облагање пода и страна. Израчунај димензије тог базена. Ре: Нека је х дужина, а уједно и ширина базена, а h дубина базена. Тада је P = x + 4xh, V = x h, h = 3 x P(x) = x3 +18, P = 0 x = 4 x Промена знака првог извода показује да функција има минимум за х=4m и h = m. 6. Одреди х и у тако да површина датог квадра буде минимална ако је запремина 36m 3. Ре: x =, y= Права кружна купа има базу полупречника b и висину Н. Које су димензије ваљка максималне запремине који се може уписаног у ту купу. Ре: 1 3 H, 3 b (сличност троуглова) 8. Од свих правоуглих троуглова са истом хипотенузом одреди онај који има највећи обим. Ре: једнакокраки правоугли троугао 9. Од свих правоуглих троуглова са обимом р одреди онај који има максималну површину. Ре: z = x + y, z = p x y, P = xy, P = p(x p) x x p 1, = ( ± )/p 10. Од свих правоуглих троуглова који имају исту површину P одреди онај који има најмањи обим. Ре: O = x + P x + x + 4 P x, O (x) = 0 (x P)( x 4 + 4P + x + P) = 0 Једнакокраки троугао са катетама x = y = P има најмањи обим.

3 11. Од свих троуглова са истом основицом b и обимом p одреди онај који има максималну површину. Ре: P(x, y) = p(p b)(p x)(p y) y = p b x x = y 1. Од свих једнакокраких троуглова чији су краци дужине b одреди онај који има максималну површину. Ре: P = 1 b sinx, x = π 13. Одреди димензије трапеза који се може уписати у полукруг полупречника r тако да му површина буде максимална. Ре: P(x, y) = (r + x)y P(x) = (r + x) r x x = r 14. Које су мере једнакокраког троугла најмање површине који се може описати око круга полупречника r? Ре: P = xy z = ry z = r y /x x = r y x = r 3 x y r 15. Од свих купа уписаних у сферу полупречника R одреди ону која има највећу запремину? Ре: V = 1 3 r πh, H = r + x, V = 1 3 (R (H R) )πh V = 0 H = 4 R, r = Дата је сфера полупречника а. Одреди димензије оног кружног ваљка који се може уписати у ову сферу тако да му површина омотача буде максимална. Ре: r = a, H =

4 17. Одреди праву кружну купу најмање запремине која се може описати око сфере полупречника r. Ре: 18. Одреди димензије правоугаоника (слика) који се може уписти у квадрат странице а тако да му површина буде максимална. Ре: x=y=a/ 19. Од свих правоугаоника истог обима О одреди онај који има максималну површину. Ре: квадрат 0. Одреди троугао максималне површине који се може уписати у круг полупречника r. Ре: h = 3 r, b = 1. Од свих правоуглих троуглова са обимом р одреди онај који има најмању хипотенузу. Ре: x + y + z = p, x + y = z (p y z) + y = z, z = p py+y (p y) z = 0 y 4py + p = 0, y = p, x =, z =. Од свих правоуглих троуглова са хипотенузом с, који има максималну површину? Ре: једнакокраки правоугли троугао са катетама c 3. Од свих правоугаоника који се могу уписати у елипсу чије су полуосе a и b одреди онај који има максималну површину. Ре: P=ab

5 4. Одреди правоугаоник максималне површине чија темена се налазе на графицима кривих линија y=e x, y=e -x, y=-e x и y=-e -x. Ре: Теме правоугаоника које се налази у првом квадранту има координате (1, 1 e ). 5. Одреди дужине страница правоугаоника тако да му површина буде максимална а темена му припадају линијама y=x(a²-x²) и y=x(x²-a²). Ре: Нацртај! За теме правоугаоника које се налази у првом квадранту је x = a. На основу ове вредности може се израчунати друга координата и дужине страница. 6. Одреди димензије ваљка тако да му обим осног пресека буде дати број О а запремина максимална. Ре: H = r = 1 6 O 7. Који кружни исечак површине Ѕ има најмањи обим? Ре: r = S 8. Дате су линије y = px и x = a. Одреди димензије правоугаоника уписаног у област ограничену овим линијама тако да му површина буде максимална. Ре: a, pa Од свих правих кружних конуса површине Р одреди онај чија је запремина максимална. Ре: V = 1 3 r π ( P rπ r) r = 1 3 r P r 4 πp, r = 1 P π 30 На параболи y = x одреди тачку која је најмање удаљена од праве y = x 4. Ре: A(1,1) 31. Потребно је направити ограду дужине 16m да би се оградио простор облика правоугаоника максималне површине тако да једна тог ограђеног простора буде већ постојећи зид. Израчунај димензије тог правоугаоника тако да ограђена површина буде максимална. Ре: 4, 4 и 8 3. Лопта бачена у вис достиже висину h[m] за време t[s] по формули h = 4t t. Израчунај време потребно да лопта постигне максималну висину и одреди је. Ре: s, 4m

6 33. Одреди тачку (тачке) на графику функције y = x која је најближа тачки A (0, 3 ). Ре: (1,1) и ( 1,1) 34. Одреди максималну запремину ваљка ако је збир висине и полупречника 4. Ре: 048π 35. Кутија са поклопцем облика квадра има запремину 7cm 3. Дужина кутије је пута већа од ширине. Израчунај висину кутије тако да количина материјала за њену израду буде најмања. Ре: 3, 4 и 6 36.У једнакокраки правоугли троугао чије су катете дужине a уписан је правоугаоник тако да му две странице леже на катетама а једно теме на хипотемузи. Од свих таквих правоугаоника одреди обим оног чија је површина максимална. Ре: a 37. (ФОН) У правоугли троугао чије катете имају дужине a и b уписан је правоугаоник максималне површине тако да му једна страница припада хипотенузи триугла. Одреди дужине страница тог правоугаоника. Ре: a +b, ab a +b 38. (ФОН) Дужина странице квадрата ABCD је 1cm. Нека су E и F тачке редом на страницама AD и AB такве да је AE=AF и да је површина четвороугла CDEF максимална. Израчунај површину четвороугла CDEF. Ре: 5 8